高中数学人教b版高二必修5同步练习：第3章_不等式_3.5_第2课时 含解析

3.5 第2课时简单的线性规划的概念基础巩固一、选择题1．设G是平面上以A(2,1)、B(－1，－4)、C(－2,2)三点为顶点的三角形区域(包括边界点)，点(x，y)在G上变动，f(x，y)＝4x－3y 的最大值为a，最小值为b，则a＋b的值为()A．－1 B．－9C．13 D．－6[答案] D[解析]设4x－3y＝c，则3y＝4x－c，∴y＝43x－c 3，－c3表示直线l：4x－3y＝c在y轴上的截距，∵k AB＝53，而k l＝43，∴l过C(－2,2)时，－c3有最大值；－c3＝2－43×(－2)＝143，∴c min＝b＝－14，l过B(－1，－4)时，－c3有最小值；－c3＝－4－43×(－1)＝－83， ∴c max ＝a ＝8，∴a ＋b ＝－6. 2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34[答案] A[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点(0，43)．因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点M (12，52)． 当y ＝kx ＋43过点(12，52)时，52＝k 2＋43，∴k ＝73.3．(2011·天津文)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43 D ．4[答案] D[解析]⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0x －3y ＋4≤0，表示的平面区域如图所示．z ＝3x －y 在(2,2)取得最大值． z max ＝3×2－2＝4.4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝2x ＋4y 的最小值为( )A ．5B ．－6C ．10D ．－10 [答案] B[解析] 可行域为图中△ABC 及其内部的平面区域，当直线y ＝－x 2＋z4经过点B (3，－3)时，z 最小，z min ＝－6. 5．(2011·安徽文)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≤1x ≥0，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1[答案] B [解析]画出可行域为图中阴影部分． 作直线l ：x ＋2y ＝0，在可行域内平移l 当移至经过点A (0,1)时取最大值z max ＝x ＋2y ＝2当移至经过点B (0，－1)时取最大值z min ＝x ＋2y ＝－2. 6．(2009·浙江)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，2x －y ≤4，x －y ≥0.则2x ＋3y 的最小值是( )A ．13B ．15C ．15D ．28 [答案] A [解析]作出可行域如图所示， 令z ＝3x ＋4y ∴y ＝－34x ＋z4求z 的最小值，即求直线y ＝－34x ＋z4截距的最小值．经讨论知点M 为最优解，即为直线x ＋2y －5＝0与2x ＋y －7＝0的交点，解之得M (3,1)．∴z min ＝9＋4＝13. 二、填空题7．设a ＞0.点集S 内的点(x ，y )满足下列所有条件：①a 2≤x ≤2a ，②a2≤y ≤2a ，③x ＋y ≥a ，④x ＋a ≥y ，⑤y ＋a ≥x .那么S 的边界是一个________边形(填边数)．[答案] 6[解析]首先由⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤x ≤2aa2≤y ≤2a围成正方形ABCD ，又结合⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－ax －y ≤a位于二平行直线l 1x －y ＝－a 和l 2x －y ＝a 之间．再结合，x ＋y ≥a 可知．围成的区域是多边形APQCRS .它是一个六边形．8．已知变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝2x ＋y ，取点(3,2)可求得z ＝8，取点(5,2)可求得z max ＝12，取点(1,1)可求得z min ＝3，取点(0,0)可求得z ＝0，点(3,2)叫做________，点(0,0)叫做________，点(5,2)和点(1,1)均叫做________．[答案] 可行解，非可行解，最优解． 三、解答题9．购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少有两张．如果小明带有10元钱，问有多少种买法？[解析] 设购买8角和2元邮票分别为x 张、y 张，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0.8x ＋2y ≤10.x ，y ∈N x ≥2，y ≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≤25x ≥2y ≥2x ，y ∈N∴2≤x ≤12,2≤y ≤5，当y ＝2时，2x ≤15，∴2≤x ≤7，有6种； 当y ＝3时，2x ≤10，∴2≤x ≤5有4种； 当y ＝4时，2x ≤5，∴2≤x ≤2，∴x ＝2有一种； 当y ＝5时，由2x ≤0及x ≥0知x ＝0，故有一种． 综上可知，不同买法有：6＋4＋1＋1＝12种．[点评] 本题采用的解法是穷举法．也可以画出可行域．数出其中的整点数求解．10．(2011·衡阳高二检测)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ≥0x ≤a (a 为正常数)表示的平面区域的面积是4，求2x ＋y 的最大值．[解析] 由题意得：S ＝12×2a ×a ＝4，∴a ＝2.设z ＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＝2，得(2,2)，即z 在(2,2)处取得最大值6. 能力提升一、选择题1．如图，目标函数z ＝ax －y 的可行域为四边形OACB (含边界)，若C (23，45)是该目标函数z ＝ax －y 的最优解，则a 的取值范围是( )A ．(－103，－512)B ．(－125，－310)C ．(310，125)D ．(－125，310)[答案] B[解析] y ＝ax －z .在C 点取最优解，则一定是z 的最小值点，∴－125≤a ≤－310.结合选项可知选B. 2．(2011·安徽理)设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( )A ．1，－1B ．2，－2C ．1，－2D ．2，－1 [答案] B[解析] |x |＋|y |≤1表示的平面区域如图阴影部分所示．设z ＝x ＋2y ，作l 0：x ＋2y ＝0，把l 0向右上和左下平移，易知： 当l 过点(0,1)时，z 有最大值z max ＝0＋2×1＝2； 当l 过点(0，－1)时，z 有最小值 z min ＝0＋2×(－1)＝－2. 二、填空题3．已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤3，x ＋2y ≤8，则z ＝2x ＋5y 的最大值为________．[答案] 19[解析] 可行域如图．当直线y ＝－25x ＋z5经过直线y ＝3与x ＋2y ＝8交点(2,3)时，z 取最大值z max ＝19.4．(2010·陕西理)铁矿石A 和B 的含铁率为a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c ，如下表：22(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．[答案] 15[解析] 设购买铁矿石A 、B 分别为x ，y 万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，则⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ＋0.7y ≥1.9x ＋0.5y ≤2x ≥0y ≥0，目标函数z ＝3x ＋6y ，由⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5x ＋0.7y ＝1.9x ＋0.5y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2. 可行域如图中阴影部分所示：设P (1,2)，画出可行域可知，当目标函数z ＝3x ＋6y 过点P (1,2)时，z 取到最小值15.三、解答题5．已知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1x －y ＋1≤02x －y －2≤0，求x 2＋y 2的最小值．[解析] 画出可行域如下图所示，可见可行域中的点A (1,2)到原点距离最小为d ＝5，∴x 2＋y 2≥5.即x 2＋y 2的最小值为5.6．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．[解析] 画出可行域如图，目标函数z ＝ax ＋2y 在点(1,0)处取最小值为直线ax ＋2y －z ＝0过点(1,0)时在y 轴上的截距最小，斜率应满足0<－a 2<2或－a 2>－1，即a ∈(－4,2)．∴a的取值范围是(－4,2)．。

第三章 不等式3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.下列不等式一定成立的是( )A.-3＜-4B.0≤0C.3≥4D.-5≤-6解析：不等式a≥b 的含义是指“或者a ＞b ，或者a=b”，不等式a≤b 的含义是指“或者a ＜b ，或者a=b”，根据含义可知只有B 正确.答案：B2.已知ba 11>，则下列一定成立的是( ) A.a ＞b B.a ＜b C.b a 11-＞0 D.b a ＞1 解析：根据实数比较大小的方法,可知ba 11-＞0一定成立,其他选项可以采用特殊值代入进行排除.答案:C3.若x ＞1＞y ，下列不等式中不成立的是( )A.x-1＞1-yB.x-1＞y-1C.x-y ＞1-yD.1-x ＞y-x解析：∵x ＞1＞y,∴x+(-1)＞y+(-1)，即B 正确；x+(-y)＞1+(-y)，即C 正确；1+（-x ）＞y+(-x)，即D 正确.故选A.答案：A4.已知:a ＞b,则a 3与b 3的大小关系是____________.解析：因为a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)=(a-b)［(a+22b )+432b ］＞0， 所以,a 3＞b 3.答案：a 3＞b 310分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.若b ＜0,a+b ＞0,则a-b 的值是( )A.大于零B.小于零C.等于零D.不能确定解析:因为b ＜0,所以-b ＞0,则-2b ＞0.又a+b ＞0,所以a+b-2b ＞0,即a-b ＞0.易知只有选项A 正确.答案:A2.若a ＜b ＜0，则下列不等式中，不能成立的是( ) A.b a 11> B.bb a 11>-C.b a ->-D.|a|＞-b解析：取a=-3，b=-2，可知B 错.再由不等式的性质可推证A 、C 、D 正确.也可以采用作差直接比较大小进行判断.答案：B3.若a ＞b,则( )A.a 2＞b 2B.a 2≥b 2C.a 2≤b 2D.以上都不对解析:a 2-b 2=(a+b)(a-b),而a ＞b,所以,a-b ＞0,当a+b ＞0时,a 2-b 2＞0,a 2＞b 2;当a+b=0时,a 2=b 2;当a+b ＜0时,a 2＜b 2.答案:D4.用“＞、＜、≥、≤”符号填空(1)(2a+1)(a-3)____________(a-6)(2a+7)+45；(2)a 2+b 2____________2(a-b-1).解析:(1)(2a+1)(a-3)-［(a-6)(2a+7)+45］=-6＜0,所以,(2a+1)(a-3)＜(a-6)(2a+7)+45; (2)a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+（b+1)2≥0,所以,a 2+b 2≥2(a -b-1).答案:＜ ≥5.已知:x ＞y 且y≠0,比较yx 与1的大小. 解:yy x y x -=-1. 因为x ＞y,所以x-y ＞0.当y ＜0时,0<-y y x ,即y x -1＜0,所以,yx ＜1; 当y ＞0时,y y x -＞0,即y x -1＞0,所以,y x ＞1. 6.已知a ＞b ＞0,比较3333b a b a +-与ba b a +-的大小. 解:33332233223333)(2))((ba b a ab b a b ab a b a b ab a b a b a b a b a b a +-=++--+++-=+--+-, 因为a ＞b ＞0,所以a-b ＞0,所以0)(233>+-b a b a ab .所以03333>+--+-b a b a b a b a , 即b a b a ba b a +->+-3333. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知a 、b 分别对应数轴上的A 、B 两点,且A 在B 的左侧,则下列关系中一定正确的是( )A.a 2＞b 2B.ba 11> C.a-b≤0 D.以上都不对解析:根据条件可知a ＜b,所以a-b ＜0,根据这个结论可知C 正确,其他选项可以取特殊值代入检验,也可作差比较得到答案.答案：C2.如果a ＜0,b ＞0，那么下列不等式中正确的是( )A.ba 11< B.-a ＜b C.a 2＜b 2 D.|a|＞|b| 解析:如果a ＜0,b ＞0，那么a 1＜0,b1＞0， ∴a 1＜b 1，选A. 答案：A3.若a ＞b ，下列不等式中一定成立的是( )A.b a 11<B.ab ＜1 C.a 2＞b 2 D.lg （a-b ）＞0 解析：因为a ＞b ，y=2x 是增函数.答案:C4.设a 、b 、c 、d ∈R ,且a ＞b,c ＞d,则下列结论中正确的是( )A.a+c ＞b+dB.a-c ＞b-dC.ac ＞bdD.cb d a > 解析:可以取值代入检验,也可以作差进行比较,由条件易知a+c-(b+d)=(a-b)+(c-d)＞0,故A 正确.答案:A5.如下图，y=f （x ）反映了某公司的销售收入y 万元与销量x 之间的函数关系，y=g （x ）反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关系.（1）当销量x 时，该公司赢利；（2）当销量x 时，该公司亏损.①x ＞a;②x ＜a;③x≥a;④0≤x ＜a.A.①②B.③④C.①④D.②③解析：当销售收入f （x ）大于销售成本g （x ）时，公司赢利；当销售收入f （x ）小于销售成本g （x ）时，公司亏损.故选C.答案：C6.如果[x]表示不超过x 的最大整数,a=[-3.1],b=[m],c=[7.1]且a≤b≤c,那么实数m 的取值范围是_____________.解析:根据定义,可知a=-4,c=7，所以-4≤b≤7,再根据定义知,m 最小为-4,最大值也不能达到8,因此m 的取值范围是-4≤m ＜8.答案:-4≤m ＜8 7.已知0＜b ＜21，a ＞1，试比较log b a 与log 2b a 的大小. 解法一:用商比求解如下：a b b a a ab b lg 2lg lg lg log log 2•==log b 2b. ∵0＜b ＜21， ∴0＜b ＜2b ＜1，a ＞1. ∴log b 2b ＜log b b ＜1，则a ab b 2log log ＜1. ∴log b a ＞log 2ba.解法二:用作差比较求解如下：log b a-log 2ba=bb a b b b b a b a b a 2lg lg 2lg lg 2lg lg )lg 2(lg lg 2lg lg lg lg ••=•-•=-. ∵0＜b ＜21， ∴lgb ＜0，lg2b ＜0.又∵a ＞1，lga ＞0，lg2＞0，∴log b a-log 2b a ＞0.∴log b a ＞log 2b a.8.若a 、b 、c 满足b+c=3a 2-4a+6，b-c=a 2-4a+4，试比较a 、b 、c 三个实数的大小.解:b-c=a 2-4a+4=(a-2)2≥0.所以b≥c.由题意可得方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-=+.44,64322a a c b a a c b 解得b=2a 2-4a+5,c=a 2+1.所以c-a=a 2+1-a=(a-21)2+43＞0, 所以c ＞a,故b≥c ＞a.9.已知一个三边分别为15、19、23单位长度的三角形，若把它的三边分别缩短x 单位长度，且能构成钝角三角形，试用不等式写出x 的不等关系.解:缩短x 单位长度后三边长分别为15-x ，19-x ，23-x ，则⎪⎩⎪⎨⎧-+->-->-+->-.)19()15()23(,23)19()15(,015222x x x x x x x10.船在流水中航行，在甲地和乙地之间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么?解:设甲地到乙地的距离为s ，船在静水中的速度为u ，水流速度为v （u ＞v ＞0），则船在流水中在甲地和乙地之间来回行驶一次的时间t=222v u us v u s v u s -=-++,平均速度uv u t s u 222-==， ∴uv u u v u u u 222-=--=-＜0. ∴u ＜u.因此，船在水流中来回行驶一次的平均速度小于船在静水中的速度.。

3.3一元二次不等式及其解法5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.已知2a+1＜0，关于x 的不等式x 2-4ax-5a 2＞0的解集是( ) A.{x|x ＞5a 或x ＜-a} B.{x|x ＜5a 或x ＞-a} C.{x|-a ＜x ＜5a} D.{x|5a ＜x ＜-a} 解析：x 2-4ax-5a 2＞0⇒（x-5a ）（x+a ）＞0.∵a＜21-，∴5a＜-a.∴x＞-a 或x ＜5a.故选B.答案：B2.不等式x 2-x-2＜0的解集是___________.解析：原不等式可以变化为(x+1)(x-2)＜0,可知方程x 2-x-2=0的解为-1和2,所以,解集为:{x|-1＜x ＜2}. 答案：{x|-1＜x ＜2}3.不等式423--x x≤1的解集是___________.解析：423--x x ≤1,即423--x x -1≤0,4237--x x≤0.因为两实数的积与商是同号的,所以上述不等式同解于如下的不等式组:⎩⎨⎧≤--≠-.0)2)(37(,042x x x即⎪⎩⎪⎨⎧≥--≠.0)2)(37(,2x x x 所以,原不等式的解集为{x|x ＜2或x≥37}. 答案：{x|x ＜2或x≥37} 4.)1(-x x ＜0的解集为____________.解析：根据条件有⎩⎨⎧<->.01,0x x 即0＜x ＜1,解集为:{x|0＜x ＜1}.答案：{x|0＜x ＜1}10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|31-＜x ＜2}，则不等式cx 2+bx+a ＜0的解集为( ) A.{x|-3＜x ＜21} B.{x|x ＜-3或x ＞21}C.{x|-2＜x ＜31}D.{x|x ＜-2或x ＞31}解法一：ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|31-＜x ＜2}⇔3x 2-5x-2＜0⇔-3x 2+5x+2＞0.设a=-3k ，b=5k ，c=2k （k ＞0），则cx 2+bx+a ＜0⇔2kx 2+5kx-3k ＜0⇔2x 2+5x-3＜0⇔-3＜x ＜21，故选A.解法二：由题意知a ＜0，且a b -=（31-）+2，a c =（31-）×2，即a b =35-，a c =32-，而cx 2+bx+a ＜0⇔a c x 2+a b x+1＞0⇔32-x 235-x+1＞0⇔2x 2+5x-3＜0⇔-3＜x ＜21，所以应该选A.答案：A2.下列不等式中,解集是R 的是( )A.x 2+2x+1＞0 B.2x ＞0C.(31)x +1＞0 D.xx 121<- 解析：因为x 2+2x+1=(x+1)2≥0,所以A 不正确,又2x =|x|≥0,所以B 也不正确,而(31)x＞0,所以(31)x+1＞1＞0(x∈R ). 答案：C3.不等式21-+x x ＞0的解集是______________. 解析：21-+x x ＞0⇔（x+1）（x-2）＞0⇔x ＜-1或x ＞2.答案：{x|x ＜-1或x ＞2} 4.解下列不等式(1)x 2-x-2＞0(2)-2x 2+x+3＞0解:(1)∵Δ＞0，对应方程x 2-x-2=0的根分别为-1，2.∴不等式x 2-x-2＞0的解集：{x|x ＜-1 或x ＞2};(2)原不等式可以变为2x 2-x-3＜0. ∴对应方程2x 2-x-3=0的根分别为-1，23. ∴原不等式的解集为{x|-1＜x ＜23}. 5.解关于x 的不等式(m+3)x 2+2mx+m-2＞0(m∈R ).解:(1)当m+3=0,即m=-3时,原不等式可化为-6x-3-2＞0,即x ＜65-; (2)当m+3＞0,即m ＞-3时,Δ=4m 2-4(m+3)(m-2)=4(6-m). 当Δ≥0,即-3＜m≤6时,原不等式的解为:x ＜36+---m m m 或x ＞36+-+-m mm ;当Δ＜0,即m ＞6时,原不等式的解集为R ; (3)当m+3＜0,即m ＜-3时,Δ=4(6-m)＞0所以,解为:36+-+-m m m ＜x ＜36+---m mm .综上所述,当m ＜-3时,不等式的解集为:{x|36+-+-m m m ＜x ＜36+---m mm };m=-3时,不等式的解集为{x|x ＜65-};当-3＜m≤6时,不等式的解集为{x|x ＜36+---m m m }或x ＞36+-+-m mm .6.已知a ＞1，P ：a （x-2）+1＞0，Q ：（x-1）2＞a （x-2）+1.试寻求使得P 、Q 都成立的x 的集合.解:由题意得⎪⎩⎪⎨⎧>--->⇒⎪⎩⎪⎨⎧>++-->⇒⎩⎨⎧+->->+-0)2)((1202)2(121)2()1(01)2(22x a x a x a x a x a x x a x x a 若1＜a ＜2,则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->,2,12a x x ax 或而a-（2-a 1）=a+a 1-2＞0，所以a ＞2-a 1.故x∈{x|x＞2或2-a1＜x ＜a}. 若a=2，则有x∈{x|x＞21且x≠2}. 若a ＞2，则有⎪⎩⎪⎨⎧<>->.2,12x a x ax 或 故x∈{x|x＞a 或2-a1＜x ＜2}. 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.函数f （x ）=⎩⎨⎧≤->,1,1,1,x x x 则不等式xf （x ）-x≤2的解集为( )A.［-2，2］B.［-2，-1］∪［1，2］C.［1，2］D.［-1，2］ 解法一：（排除法）∵x=0时，xf （x ）-x=0≤2成立，而B 、C 中均不含有0，故排除B 、C.只需验证x=-2即可，当x=-2时，xf （x ）-x=（-2）·（-1）+2=4＞2，∴排除A 而选D.解法二：（直接法）①当x ＞1时，xf （x ）-x≤2可化为x 2-x≤2，即x 2-x-2≤0，解得-1≤x≤2.又x ＞1，∴1＜x≤2.②当x≤1时，xf （x ）-x≤2可化为-2x≤2，∴x≥-1.此时有-1≤x≤1，故适合原不等式的解集为①②两部分的并集，为［-1，2］. 答案：D2.不等式11-x ＞x+1的解集为( ) A.{x|x ＜-3} B.{x|x ＞1} C.{x|x ＜2-|∪{x|1＜x ＜2}D.{x|34＜x ＜2} 解析：原不等式可以化为11-x -(x+1)＞0,即122--x x ＞0,即(x+2)(x 2-)(x-1)＜0,由高次不等式的标根法可得C 正确.答案：C3.已知集合M={x|x 2-3x-28≤0},N={x|x 2-x-6＞0}，则M∩N 为( ) A.{x|-4≤x＜-2或3＜x≤7} B.{x|-4＜x≤-2或3≤x＜7} C.{x|x≤-2或x ＞3} D.{x|x ＜-2或x≥3}解析：M={x|-4≤x≤7},N={x|x＜-2或x ＞3},再把M 、N 两个集合对应的范围在数轴上表示出来即可看出答案. 答案：A4.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向上，对称轴为x=1，图象与x 轴的两个交点中，一个交点的横坐标x 1∈（2，3），则有( )A.a-b-c ＞0B.a+b+c ＜0C.a+c ＜bD.3b ＜2c解析：由题意知另一交点必在（-1，0）之间，且f （-1）＞0，即a-b+c ＞0（*）.又知ab2-=1，得a=2b -，代入（*）式得21-b-b+c ＞0，即3b ＜2c.故选D. 答案：D5.若x 1、x 2是方程x 2-2kx+1-k 2=0的两个实根，则x 12+x 22的最小值是( ) A.-2 B.0 C.1 D.2解析：由题意得⎪⎩⎪⎨⎧-==+≥---=∆)3(1)2(2)1()1(4)2(2212122kx x kx x k k ∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=4k 2-2（1-k 2）=6k 2-2.由①式得k 2≥21， ∴6k 2-2≥6×21-2=1.∴x 12+x 22的最小值为1. 答案：C2x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6-4-6-6-46则不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是___________________.解析：根据所给数表中函数的单调性可以看出a ＞0,且方程ax 2+bx+c=0的两个解分别为-2和3.答案：(-∞,-2)∪(3,+∞)7.某大楼共有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第二至第二十层，每层1人，而电梯只允许停1次，只可使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假定乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走1层的不满意度为2，所有人的不满意度的和为S ，为使S 最小，电梯应当停在第_______________层. 解析：设电梯停在第x 层（2≤x≤20），则 S=［1+2+…+（x-3）+（x-2）］×1+［1+2+…+（19-x ）+（20-x ）］×2 =2)20(12)2(2)2(1x x x -+⨯++-+×（20-x ） =)2485421()685(2342128523222-+-=+-x x x .∵x 取正整数，∴取x=14即可. 答案：148.据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都受到影响（见右图）.从现在小时__________后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为__________.解析：设风暴中心坐标为（a ，b ），则a=3002，所以22)2300(b +＜450，即-150＜b ＜150.而20300),122(215201502300-=-=15.所以经过215（22-1）小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时. 答案：215(22-1) 15小时9.已知函数f(x)=bax x +2（a ，b 为常数）且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式： f(x)＜xkx k --+2)1(.解:（1）将x 1=3,x 2=4分别代入方程b ax x +2-x+12=0得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+.8416,939ba ba解得⎩⎨⎧=-=.2,1b a 所以f(x)=x x -22(x≠2).（2）不等式即为x k x k x x --+<-2)1(22,可化为xk x k x -++-2)1(2＜0, 即(x-2)(x-1)(x-k)＞0.①当1＜k ＜2，解集为x∈(1,k)∪(2+∞).②当k=2时，不等式为(x-2)2(x-1)＞0解集为x∈(1,2)∪(2,+∞). ③当k ＞2时，解集为x∈(1,2)∪(k,+∞). 10.若不等式23+>ax x 的解集为（4，b ），求实数a 、b 的值. 解法一：（换元法）设u=x （u≥0），则原不等式可化为u ＞232+au ， 即au 2-u+23＜0. ∵原不等式的解集为（4，b ），∴方程au 2-u+23=0的两根分别为2、b . 由韦达定理知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+.232,12a b ab解得⎪⎩⎪⎨⎧==.36,81b a解法二：（图象法）设y 1=x ，y 2=23+ax （x≥0），其图象如上图所示，不等式x ＞ax+23的解是当y 1=x 的图象在y 2=ax+23（x≥0）的图象上方时相应的x 的取值范围.由于不等式的解集为（4，b ），故方程x =ax+23有一个解x=4，将x=4代入得2344+=a ，∴a=81，再求方程x =2381+x 的另一个解得x=36，即b=36.。

3.2 第2课时 基本不等式的应用——证明问题基础巩固一、选择题1．a ，b ∈R ＋，则a ＋b 2，ab ，2aba ＋b三个数的大小顺序是( )A.a ＋b 2≤ab ≤2aba ＋bB.ab ≤a ＋b 2≤2aba ＋bC.2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2D.ab ≤2ab a ＋ba ＋b2[答案] C[解析] 取a ＝2，b ＝8，则a ＋b2＝5，ab ＝4，2aba ＋b 3.2 ∴选C.比较如下：已知a ＋b 2≥ab ，又ab －2aba ＋b＝ab (a ＋b －2ab )a ＋b ＝ab (a －b )2a ＋b ≥0∴ab ≥2ab a ＋b .也可作商比较ab 2ab a ＋b ＝a ＋b2ab ≥1.2．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则有( ) A ．1<ab <a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D.a 2＋b 22<ab <1[答案] B[解析] 特值法：取a ＝－1，b ＝3则ab ＝－3，a 2＋b 22＝5排除A 、C 、D 选B.比较如下：a 2＋b 22－1＝a 2＋b 2－22＝(a ＋b )2－2－2ab2＝1－ab ∵a ，b ∈R 且a ≠b ，若ab ≤0，则有1－ab >0； 若ab >0，∵a ＋b ＝2，∴a ，b ∈R ＋，∴2＝a ＋b >2ab ∴ab <1，∴1－ab >0.总有a 2＋b 22－1>0，∴a 2＋b 22>1；由上面可知1>ab ，∴选B.3．已知R 1、R 2是阻值不同的两个电阻，现分别按图①②连接，设相应的总阻值分别为R A 、R B ，则R A 与R B 的大小关系是( )A ．R A >RB B ．R A ＝R BC ．R A <R BD ．不确定[答案] A[解析] R A ＝R 1＋R 22，R B ＝2R 1R 2R 1＋R 2，R A －R B ＝R 1＋R 22－2R 1R 2R 1＋R 2＝(R 1＋R 2)2－4R 1R 22(R 1＋R 2)＝(R 1－R 2)22(R 1＋R 2)>0，所以R A >R B .4．已知a >1，b >1，且lg a ＋lg b ＝6，则lg a ·lg b 的最大值为( ) A ．6 B ．9 C ．12 D ．18 [答案] B[解析] ∵a >1，b >1，∴lg a >0，lg b >0，又lg a ＋lg b ＝6，∴lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b 2)2＝(62)2＝9，故选B.5．设a 、b 是正实数，以下不等式①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2恒成立的序号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④[答案] D[解析] ∵a 、b ∈R ＋时，a ＋b ≥2ab ，∴2aba ＋b≤1，∴2ab a ＋b ≤ab ，排除A 、B ； ∵ab ＋2ab≥22>2恒成立，故选D.6．若A ＝a sin 2x ＋b cos 2x ，B ＝a cos 2x ＋b sin 2x (a 、b 、x ∈R)，则m ＝AB ，n ＝ab ，p ＝A 2＋B 2，z ＝a 2＋b 2满足( )A ．m ≥n ，p ≥zB ．m ≤n ，p ≤zC ．mn ≥pzD ．m ＋z ≥p ＋n[答案] D[解析] AB ＝(a 2＋b 2)sin 2x cos 2x ＋ab (sin 4x ＋cos 4x ) ＝ab ＋(a －b )2sin 2x cos 2x ≥ab ，∴m ≥n ， p ＝A 2＋B 2＝(A ＋B )2－2AB ＝(a ＋b )2－2AB ，z ＝a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ，∴p ≤z ， ∴m ＋z ≥p ＋n . 二、填空题7．已知2x ＋3y ＝2(x >0，y >0)，则xy 的最小值是________．[答案] 6[分析] 此类题一般利用基本不等式转化为xy 的不等式求解． [解析] 2x ＋3y ≥26xy ，∴26xy≤2，∴xy ≥6. 三、解答题8．若a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )．[解析] ∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )．同理b 2＋c 2≥22(b ＋c )，c 2＋a 2≥22(a ＋c )． 故a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22(a ＋b ＋b ＋c ＋a ＋c )＝2(a＋b ＋c )．9．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证a 2b ＋b 2c ＋c2a ≥a ＋b ＋c .[解析] ∵a ，b ，c ∈R ＋，a 2b ，b 2c ，c2a均大于0，又a 2b ＋b ≥2a 2b ·b ＝2a ， b 2c＋c ≥2b 2c·c ＝2b ，c 2a ＋a ≥2c 2a·a ＝2c ， 三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2aa ＋b ＋c . 能力提升一、选择题1．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab ＋cd ，Q ＝ax ＋cy ·b x ＋dy ，则有( )A ．P ＝QB ．P ≥QC ．P ≤QD ．P >Q[答案] C[解析] Q ＝ax ＋cy · b x ＋dy＝ab ＋cd ＋adx y ＋bcyx≥ab ＋cd ＋2abcd＝ab ＋cd ＝P .2．设a 、b 、c 都是正实数，且a 、b 满足1a ＋9b ＝1，则使a ＋b ≥c恒成立的c 的取值范围是( )A ．(0,8]B ．(0,10]C ．(0,12]D ．(0,16][答案] D[解析] 解法一：∵a 、b 都是正实数，且1a ＋9b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b＝10＋b a ＋9ab ≥10＋2b a ·9ab＝16， 当且仅当b a ＝9ab 即b ＝3a 时等号成立，此时a ＝4，b ＝12，∴(a ＋b )min ＝16. ∵a ＋b ≥c 恒成立，∴0<c ≤16. 解法二：由1a ＋9b ＝1得b ＋9a ＝ab ，∴(a －1)(b －9)＝9， 又∵1a ＋9b ＝1，a >0，b >0，∴a >1，b >9，∴(a －1)(b －9)≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a －1)＋(b －9)22∴a ＋b ≥16，等号在a －1＝b －9＝3时成立， ∴要使a ＋b ≥c 恒成立，应有0<c ≤16. 二、解答题3．已知a 、b 、c 为正数，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc ≥3.[解析] 左边＝b a ＋c a －1＋c b ＋a b －1＋a c ＋b c －1＝(b a ＋a b )＋(c a ＋ac )＋(c b ＋bc)－3. ∵a ，b ，c 为正数，∴b a ＋ab≥2(当且仅当a ＝b 时取“＝”)； c a ＋ac2(当且仅当a ＝c 时取“＝”)； c b ＋bc2(当且仅当b ＝c 时取“＝”)．从而(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋bc )≥6(当且仅当 a ＝b ＝c 时取等号)．∴(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋bc )－3≥3. 即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c≥3.4．设a ，b ，c ，d 都是正数，求证ad ＋bc bd ＋ab ＋cd ac 4.[解析] ∵a ，b ，c ，d ∈R ＋，∴ad ＋bc bd ＋ab ＋cd ac ＝a b ＋c d ＋b c ＋da≥2acbd ＋2bd ac≥22ac bd ·2bdac＝4当且仅当a ＝b ＝c ＝d 时取等号．5．设a >b >c ，求证bc 2＋ca 2＋ab 2<b 2c ＋c 2a ＋a 2b . [解析] ∵a >b >c ∴(a －b )(b －c )(a －c )>0 即(a －b )(b －c )[(a ＋b )－(b ＋c )]>0 ∴(a 2－b 2)(b －c )＋(c 2－b 2)(a －b )>0∴a 2(b －c )＋c 2(a －b )－[b 2(b －c )＋b 2(a －b )]>0 ∴a 2(b －c )＋b 2(c －a )＋c 2(a －b )>0 即：a 2b ＋b 2c ＋c 2a >ab 2＋bc 2＋ca 2. 6．设a ，b ，c 均为实数．求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b .[解析] ∵a 、b 、c 均为实数，∴12(12a ＋12b )≥12ab ≥1a ＋b ，当a ＝b 时等号成立；同时，12(12b ＋12c )≥12bc ≥1b ＋c ，当b ＝c 时等号成立，12(12c ＋12a )≥12ca ≥1c ＋a， 当a ＝c 时等号成立．三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≤1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．。

人教B版高中数学必修5同步章节训练题及答案全册汇编高中数学人教B版必修5同步练习目录1.1.1《正弦定理》测试题 1.1.2《余弦定理》测试题 1.2《正余弦定理的应用》测试2.1《数列》同步练习 2.2.1《等差数列》例题解析2.2.2《等差数列前n项和》例题解析 2.3.1《等比数列》例题解析 2.3.1《等比数列》测试3.1.1《不等关系与不等式》测试题 3.1.2《不等式的性质》测试题 3.2《均值不等式》测试题 3.2《均值不等式》测试题3.3《一元二次不等式的解法》测试题 3.3《一元二次不等式的解法》测试题 3.4《不等式的实际应用》测试题3.4《不等式的实际应用》测试题（人教B版必修5） 3.5.1《二元一次不等式（组）所表示的平面区域》测试题3.5.2《简单线性规划》测试题高中数学人教B版必修5同步练习1.1.1正弦定理测试题【能力达标】一、选择题1. 不解三角形，下列判断正确的是（）ooA. a=7，b=14，A=30，有两解.B. a=30，b=25，A=150，有一解.ooC. a=6，b=9，A=45，有两解.D. a=9，b=10，A=60，无解. 2．在?ABC中acosA=bcosB,则?ABC是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形3．在?ABC中，已知a=52，c=10，∠A＝30，则∠B等于（）oA.105B. 60C. 15D.105或154．在?ABC中，a(sinB－sinC)+b(sinC－sinA)+c(sinA－sinB)的值是（）oo o oo1 B.0 C.1 D.? 25. 在?ABC中下列等式总成立的是（）A.A. a cosC=c cosAB. bsinC=c sinAC. absinC=bc sinBD. asinC=c sinA 6. 在ΔABC中，∠A=45,∠B=60,a=2,则b=( ) A．6 B．26 C．36 D．46 7．在ΔABC中，∠A=45, a=2，b=2，则∠B=（）00A．300 B．300或1500 C．600 D．600或1200 二、填空题8．在ΔABC中，a=8,B=1050,C=150,则此三角形的最大边的长为。

3.1 第2课时不等式的性质基础巩固一、选择题1．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：()①若ab＜0，bc－ad＞0，则ca－db＞0；②若ab＞0，ca－db＞0，则bc－ad＞0；③若bc－ad＞0，ca－db＞0，则ab＞0.其中正确命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．3 [答案] C[解析]①∵ab＜0，∴1ab＜0又∵bc－ad＞0∴1ab·(bc－ad)＜0即ca－db＜0∴①错；②∵ab＞0，ca－db＞0∴ab(ca－db)＞0 即：bc－ad＞0 ∴②正确；③∵ca－db＞0∴bc－adab＞0，又∵bc－ad＞0∴ab＞0∴③正确．2．如果a、b、c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是________( )A ．ab ＞acB ．c (b －a )＞0C ．cb 2＜ab 2D ．ac (a －c )＜0[答案] C[解析] 由已知c ＜0，a ＞0，易判断A 、B 、D 正确． 3．下面的推理过程中错误之处的个数为( )⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a >b ⇒①ac >bc c >d ⇒②bc >bd ⇒③ac >bd ⇒④a d >bcA ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] ①②④三处错误．4．已知a <b <|a |，则以下不等式中恒成立的是( ) A ．|b |<－a B ．ab >0 C ．ab <0 D ．|a |<|b |[答案] A[解析] 特殊值法：令a ＝－1，b ＝0，满足a <b <|a |，ab ＝0，排除B 、C ，|a |>|b |，排除D ，故选A.5．已知A ＝a 5＋b 5，B ＝a 2b 3＋a 3b 2(其中a >0，b >0，a ≠b )则( ) A ．A ≥B B ．A ≤B C ．A >B D ．A <B [答案] C[解析] A －B ＝a 5＋b 5－a 2b 3－a 3b 2 ＝a 3(a 2－b 2)＋b 3(b 2－a 2)＝(a 2－b 2)(a 3－b 3)＝(a －b )2(a ＋b )(a 2＋ab ＋b 2)，∵a >0，b >0，a ≠b ，∴A －B >0，故选C.6．(2011·余姚高二检测)设P ＝2，Q ＝7－3，R ＝6－2，则P 、Q 、R 的大小顺序是( )A ．P >Q >RB ．P >R >QC ．Q >P >RD ．Q >R >P[答案] B[解析] ∵P 2＝2，Q 2＝10－221，R 2＝8－43，P 2－Q 2＝221－8>0，P 2－R 2＝43－6>0，Q 2－R 2＝2＋43－221<0.又∵P >0，Q >0，R >0，∴∴P >R >Q . 二、填空题7．已知三个不等式：①ab >0；②c a >db ；③bc >ad .以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的不等式命题________．[答案]⎭⎪⎬⎪⎫①②⇒③，⎭⎪⎬⎪⎫①③⇒②，⎭⎪⎬⎪⎫②③⇒①中任选两个即可． [解析]c a >db ⇒bc －ad ab ＞0.若③成立，则①成立∴②③⇒①；若③成立即bc ＞ad ，若①成立，则bc ab ＞ad ab ，∴c a ＞db ∴①③⇒②；若①与②成立显然有③成立．8．实数a 、b 、c 、d 满足下列两个条件：①d >c ；②a ＋d <b ＋c .则a 、b 的大小关系为________．[答案] a <b[解析] ∵d >c ，∴d －c >0， 又∵a ＋d <b ＋c ， ∴b －a >c －d >0，∴b >a . 三、解答题9．证明下列不等式： (1)已知a <b <0，求证：b a <ab ； (2)已知a >b >0，求证：a b >ba ； (3)已知a >b ，1a <1b ，求证：ab >0.[解析] (1)b a －a b ＝b 2－a2ab∵a ＜b ＜0，∴－a ＞－b ＞0，∴a 2＞b 2. 故b 2－a 2＜0.又∵ab ＞0，∴b 2－a 2ab ＜0，∴b a ＜ab .(2)∵a ＞b ＞0，∴a ＞b ＞0， ① 又∵a ＞b ＞0，两边同乘正数1ab 得：1b ＞1a ＞0， ② ①、②两式相乘得：ab ＞ba .(3)1a －1b ＝b －aab ，∵a ＞b ，∴b －a ＜0， 又∵1a ＜1b ，∴1a －1b ＜0，∴b －a ab ＜0， ∴ab ＞0.10．已知a >b >c ，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a >ab 2＋bc 2＋ca 2. [解析] 左边－右边＝ab (a －b )＋bc (b －c )＋ca (c －a ) ＝ab (a －b )＋bc (b －c )＋ca [(c －b )＋(b －a )] ＝a (a －b )(b －c )＋c (b －c )(b －a )＝(a －b )(b －c )(a －c )∵a >b >c ，∴(a －b )(b －c )(a －c )>0，命题得证．能力提升一、选择题1．已知a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( ) A ．a 2>a >－a 2>－a B ．－a >a 2>－a 2>a C ．－a >a 2>a >－a 2 D ．a 2>－a >a >－a 2[答案] B[解析] 特殊值法：∵a 2＋a <0，∴－1<a <0. ∴令a ＝－12，a 2＝14，－a ＝12，－a 2＝－14，故选B.2．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2b D.b a <a b[答案] C[解析] 对于A 可举反例，如－2<1，可得(－2)2>12故A 错，对于B 要使ab 2<a 2b 成立，即ab (b －a )<0成立，而此时ab 的符号不确定，故B 错．对于D 要使b a <ab 成立，即b 2－a 2ab <0成立，ab 的符号也不确定．故D 错．二、填空题3．若a >0，b >0则a ＋b ________a ＋b (填上适当的等号或不等号)．[答案] >[解析] ∵a >0，b >0，∴(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ，∴(a ＋b )2>(a ＋b )2，即a ＋b >a ＋b . 4．设a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0，则p ＝b a ，q ＝ab ，r ＝b ＋m a ＋m ，s ＝a ＋nb ＋n 的大小顺序是________________．[答案] p ＜r ＜s ＜q[解析] 取a ＝4，b ＝2，m ＝3，n ＝1，则p ＝12，q ＝2，r ＝37，s＝53则p ＜r ＜s ＜q (特值探路)． 具体比较如下：p －r ＝b a －b ＋m a ＋m ＝(b －a )m a (a ＋m )＜0，∴p ＜r .∵a ＞b ＞0，m ＞0，n ＞0∴a ＋m ＞b ＋m ＞0.a ＋n ＞b ＋n ＞0， ∴b ＋m a ＋m ＜1，a ＋n b ＋n＞1，∴r ＜s . 或r －s ＝b ＋m a ＋m －a ＋n b ＋n ＝(b －a )(b ＋a ＋m ＋n )(a ＋m )(b ＋n )＜0.∴r ＜s .s －q ＝a ＋n b ＋n －a b ＝(b －a )·nb (b ＋n )＜0，∴s ＜q .∴p ＜r ＜s ＜q .三、解答题5．比较log 135与log 125的大小．[解析] ∵log 135<0，log 125<0，6．船在水流速度一定的甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？[分析] 要比较船在水流速度一定的甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度的大小关系，首先要把这两个速度用两地距离和时间的关系表示出来，再作比较．[解析] 设甲地到乙地的距离为s ，船在静水中的速度为u ，水流速度为v (u >v >0)，则船在水流速度一定的甲地和乙地间来回行驶一次的时间t ＝s u ＋v ＋su －v ＝2us u 2－v 2， 平均速度u －＝2s t ＝u 2－v 2u .∵u －－u ＝u 2－v 2u －u ＝u 2－v 2－u 2u ＝－v 2u <0 ∴u －<u .因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度．7．若二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2，3≤f (1)≤4.求f (－2)的范围．[解析] 解法一：设f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋b f (－1)＝a －b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f (1)＋f (－1)]b ＝12[f (1)－f (－1)].∵f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)，1≤f (－1)≤2，3≤f (1)≤4， ∴6≤f (－2)≤10.解法二：设f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3≤f (1)＝a ＋b ≤41≤f (－1)＝a －b ≤2，又f (－2)＝4a －2b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝x ＋y －2＝x －y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3. ∴3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6.∴6≤a ＋b ＋3(a －b )≤10即6≤4a －2b ≤10.8．已知0<a ＋b <π2，－π2<a －b <π3，求2a 和3a －b3的取值范围．[解析]∵⎩⎪⎨⎪⎧0<a ＋b <π2－π2<a －b <π3，两式相加得－π2<2a <5π6. 设3a －b3＝m (a ＋b )＋n (a －b )＝a (m ＋n )＋b (m －n )，则有⎩⎨⎧m ＋n ＝3m －n ＝－13，解得m ＝43，n ＝53.∴3a －b 3＝43(a ＋b )＋53(a －b )．∴⎩⎪⎨⎪⎧0<43(a ＋b )<2π3－5π6<53(a －b )<5π9，两式相加，得－5π6<3a －b 3<11π9.故2a ∈(－π2，5π6)，3a －b3∈(－5π6，11π9)．。

人B版高中数学必修5同步习题目录第1章1.1.1第一课时同步练习第1章1.1.1第二课时同步练习第1章1.1.2第一课时同步练习第1章1.1.2第二课时同步练习第1章1.2同步练习第1章章末综合检测第2章2.1.1同步练习第2章2.1.2同步练习第2章2.2.1第一课时同步练习第2章2.2.1第二课时同步练习第2章2.2.2第一课时同步练习第2章2.2.2第二课时同步练习第2章2.3.1第一课时同步练习第2章2.3.1第二课时同步练习第2章2.3.2第一课时同步练习第2章2.3.2第二课时同步练习第2章章末综合检测第3章3.1.1同步练习第3章3.1.2第一课时同步练习第3章3.1.2第二课时同步练习第3章3.2第一课时同步练习第3章3.2第二课时同步练习第3章3.3第一课时同步练习第3章3.3第二课时同步练习第3章3.4同步练习第3章3.5.1同步练习第3章3.5.2第一课时同步练习第3章3.5.2第二课时同步练习第3章章末综合检测人教B 版必修5同步练习1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C等于( )A.8381B.2393C.393D ．27 解析：选B.由比例的运算性质知a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，故a sin A ＝1332＝2393. 3．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．4．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ， 即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形5．在△ABC 中，已知b ＝16，A ＝30°，B ＝120°，求边a 及S △ABC .解：由正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝16×sin30°sin120°＝1633.又C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋120°)＝30°，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1633×16×12＝6433.1．在△ABC 中，若AB ＝3，∠ABC ＝75°，∠ACB ＝60°，则BC 等于( ) A.3 B ．2 C. 5 D. 6解析：选D.∠BAC ＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝ABsin ∠ACB，∴BC ＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB＝3×sin 45°sin 60°＝ 6.2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.3．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A，sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.4．三角形的两边长为3 cm 、5 cm ，其夹角的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是( )A ．6 cm 2B ．152cm 2C ．8 cm 2D ．10 cm 2 解析：选A.设其夹角为θ，由方程得cos θ＝－35，∴sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×45＝6(cm 2)．5．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝m ∶(m ＋1)∶2m ，则m 的取值范围是( ) A ．m ＞2 B ．m ＜0C ．m ＞－12D ．m ＞12解析：选D.由已知和正弦定理可得：a ∶b ∶c ＝m ∶(m ＋1)∶2m .令a ＝mk ，b ＝(m ＋1)k ，c ＝2mk (k ＞0)，则a ，b ，c 满足三角形的三边关系，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，b ＋c ＞a .得m ＞12.6．△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ＝cos Cc，则△ABC 中最长的边是( )A ．aB ．bC ．cD ．b 或c解析：选A.cos B b ＝cos Cc，∴tan B ＝tan C ，∴B ＝C ， sin A a ＝cos B b ＝cos B a sin B sin A＝sin A ·cos Ba sin B，∴tan B ＝1，∴B ＝4＝π4，A ＝π2，故a 最长．7．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 68．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R (sin A －2sin B ＋sin C )sin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：29．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：2 310．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°.又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C . 当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝bsin B，∴b ＝215.当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)． 故边b 的长为215.11．已知△ABC 中，A 、B 、C 分别是三个内角，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，△ABC 的外接圆半径为12，且C ＝π3，求△ABC 面积S 的最大值．解：S △ABC ＝12ab sin C ＝12·2R sin A ·2R sin B ·sin C ＝3R 2sin A sin B ＝32R 2[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝32R 2[cos(A －B )＋12]． 当cos(A －B )＝1，即A ＝B 时，(S △ABC )max ＝334R 2＝334×144＝108 3.12．在平面四边形OAPB 中，∠AOB ＝120°，OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，且AB ＝23，求OP 的长．解：如图，在平面四边形OAPB 中，∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴O 、A 、B 、P 四点共圆．∴OP 的长就是四边形OAPB 外接圆的直径．∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 在△AOB 中，∠AOB ＝120°，AB ＝23，∴2R ＝AB sin ∠AOB ＝23sin 120°＝4，∴△AOB 外接圆的直径为4， 即OP 的长为4.人教B 版必修5同步练习1．(2011年开封高二检测)在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin Bsin A＝ 6.2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝4 6.3．在△ABC 中，∠B ＝45°，c ＝22，b ＝433，则∠A 的大小为( )A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°解析：选D.∵∠B 为锐角，又c sin B ＜b ＜c ，∴三角形有两解．4．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝csin C，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12.又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π65．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°， ∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A＝20sin30°sin45°＝102(km)． 即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.1．在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a sin B ＝b sin A C ．a cos A ＝b cos B D ．a cos B ＝b cos A解析：选B.由正弦定理得：a sin A ＝b sin B，故a sin B ＝b sin A . 2．(2009年高考广东卷)已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝c ＝6＋2，且∠A ＝75°，则b ＝( )A ．2 B.6－ 2 C ．4－2 3 D ．4＋2 3解析：选A.sin A ＝sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64.由a ＝c ＝6＋2可知，∠C ＝75°，所以∠B ＝30°，sin B ＝12，由正弦定理得b ＝asin A ·sin B ＝2＋62＋64×12＝2，故选A. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.4．(2011年青岛高二检测)在△ABC 中，∠A ＝π3，BC ＝3，则△ABC 的两边AC ＋AB的取值范围是( )A ．[33，6]B ．(2,43)C ．(33，43]D ．(3,6]解析：选D.在△ABC 中，AC ＝BC ·sin B sin A ＝3·sin Bsin π3＝23sin B ，AB ＝23sin C ，∴AC ＋AB ＝23sin B ＋23sin C ＝23(sin B ＋sin C )＝23[sin B ＋sin(2π3－B )]＝23(sin B ＋sin 2π3cos B －cos 2π3sin B )＝23(32sin B ＋32cos B )＝23×3(32sin B ＋12cos B )＝6sin(B ＋π6)，∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B ＋π6＜5π6，∴sin(B ＋π6)∈(12，1]，∴AC ＋AB ＝6sin(B ＋π6)∈(3,6]．5．在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝60°，a ＝1，则最短边的边长是( )A.63B.62C.12D.32解析：选C.由a sin A ＝b sin B 得，b ＝a sin B sin A ＝12，∵∠B 最小，∴最小边是b .6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝csin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.7．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32.答案：328．(2011年盐城高二检测)在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝bsin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3. 答案：8 39．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2，∴c <b sin C ，∴此三角形无解． 答案：010．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sinB sinC ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A2，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.11．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010，∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.12．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2B ＝A ＋C ，a ＋2b ＝2c ，求sin C 的值．解：因为2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°， 所以B ＝60°，A ＋C ＝120°. 所以0°＜A ＜120°，0°＜C ＜120°.又因为a ＋2b ＝2c ，所以sin A ＋2sin B ＝2sin C ， 所以sin(120°－C )＋2sin60°＝2sin C ，所以3sin C －cos C ＝2，即sin(C －30°)＝22.又因为0°＜C ＜120°且sin(C －30°)＞0， 所以0°＜C －30°＜90°. 所以C －30°＝45°，C ＝75°.所以sin C ＝sin75°＝6＋24.人教B 版必修5同步练习1．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c 2－a 2－b22ab＞0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析：选C.∵cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＜0，∴C 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形． 2．如果满足∠ABC ＝60°，AC ＝12，BC ＝k 的三角形恰有一个，那么k 的取值范围是( ) A ．k ＝8 3 B ．0＜k ≤12 C ．k ≥12 D ．0＜k ≤12或k ＝8 3 解析：选D.设AB ＝x ，由余弦定理得 122＝x 2＋k 2－2kx cos60°，化简得x 2－kx ＋k 2－144＝0，因为方程的两根之和x 1＋x 2＝k ＞0，故方程有且只有一个根，等价于k 2－4(k 2－144)＝0或k 2－144≤0，解得0＜k ≤12或k ＝8 3.3．在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，那么a 、b 、c 的关系是( )A ．a ＋b ＝cB ．a ＋c ＝2bC ．b ＋c ＝2aD ．a ＝b ＝c解析：选B.cos 2C 2＝1＋cos C 2，cos 2A 2＝1＋cos A2，代入已知条件等式，得a ＋c ＋a cos C ＋c cos A ＝3b ，a ＋c ＋a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×b 2＋c 2－a 22bc＝3b ，整理，得a ＋c ＝2b .4．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________.解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°. 答案：45°5．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A，得AB ＝sin Csin ABC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255，于是sin A ＝1－cos 2A ＝55.从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35.所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.1．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.2．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c＝c .3．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．4．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A＝12×4×1×sin A ， ∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.5．已知△ABC 的三个内角∠A ，∠B ，∠C 所对的三边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积S ＝c 2－(a －b )2，则tan C2等于( )A.12B.14C.18D ．1 解析：选B.依题意知S ＝c 2－(a －b )2＝c 2－a 2－b 2＋2ab ＝2ab －2ab cos C ＝12ab sin C ，得sin C ＋4cos C ＝4，即2sin C 2cos C 2＋4(2cos 2C2－1)＝4，即2sin C 2cos C 2＋8cos 2C 2sin 2C 2＋cos 2C 2＝8，得2tan C 2＋8tan 2C 2＋1＝8.解得tan C 2＝14或tan C2＝0(舍去)．6．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°解析：选B.设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°即为所求．7．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或618．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4， 设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(2k )2＋(4k )2－(3k )22×2k ×4k＝1116，同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4)9．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43， ∴b ＝2 3. 答案：2 310．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝cb.由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b.又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2， 所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ， 因此△ABC 为等边三角形．11．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝60°，c ＝3b .求： (1)ac的值； (2)cot B ＋cot C 的值．解：(1)由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(13c )2＋c 2－2·13c ·c ·12＝79c 2，故a c ＝73.(2)cot B ＋cot C ＝cos B sin C ＋cos C sin B sin B sin C ＝sin (B ＋C )sin B sin C ＝sin Asin B sin C，由正弦定理和(1)的结论得sin A sin B sin C ＝1sin A ·a 2bc＝23·79c 213c ·c ＝1433＝1439，故cot B ＋cot C ＝1439.12．在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c .求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C.证明：法一：右边＝sin A cos B －cos A sin Bsin C＝a ·cos B －cos A ·b c＝a ·a 2＋c 2－b 22ac －b 2＋c 2－a 22bc·bc＝a 2＋c 2－b 2－b 2－c 2＋a 22c c ＝a 2－b 2c 2＝左边．法二：左边＝sin 2A －sin 2Bsin 2C＝1－cos 2A 2－1－cos 2B2sin 2C＝cos 2B －cos 2A 2sin 2C＝－2sin (B ＋A )sin (B －A )2sin 2C＝sin C ·sin (A －B )sin 2C ＝sin (A －B )sin C＝右边．人教B 版必修5同步练习1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．4 6 解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ 42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( ) A. 3 B. 2 C. 5 D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选D.cos ∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32，∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×1×2×12＝ 3.答案： 35．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数． 解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)， ∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.1．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12解析：选B.易知c 最小，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32. 又∵0＜C ＜π，∴C ＝π6.2．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2<b 2＋c 2，则角A 的取值范围是( )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)解析：选C.因为a 是最大的边，所以A >π3.又a 2<b 2＋c 2，由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0，所以A <π2，故π3<A <π2.3．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.4．在△ABC 中，已知a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 等于( ) A ．30° B ．60° C ．45°或135° D ．120°解析：选C.由a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)， 得(a 2＋b 2－c 2)2＝2a 2b 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±22，所以C ＝45°或135°.5．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则角A 为( ) A.π3 B.π6 C.2π3 D.π3或2π3解析：选C.由a 2＝b 2＋bc ＋c 2得b 2＋c 2－a 2＝－bc ， 即b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，联想到余弦定理，∴cos A ＝－12，∴∠A ＝2π3.6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.22解析：选B.由b 2＝ac ，又c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34.7．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935)＝－19. 答案：－198．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋(k －1)2－(k ＋1)2＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：789．设△ABC 中，AB →＝(1,2)，AC →＝(－x,2x )(x >0)．若△ABC 的周长为65时，则x 的值为________．解析：c ＝5，b ＝5x ，∴a ＝(5－x )5，由余弦定理得cos A ＝5x －12x ，又cos A ＝AB →·AC→|AB →||AC →|＝35， ∴x ＝3011.答案：301110．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，求边c 的长． 解：由题意得a ＋b ＝5，ab ＝2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝25－4＝21， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝21－2＝19. ∴c ＝19.11．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12.又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10， ∴AB ＝10.12．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C . (1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ， 两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB22AC ·BC＝(AC ＋BC )2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°.人教B 版必修5同步练习1．如图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量下列四组数据，较适宜的是( )A ．a 和cB ．c 和bC ．c 和βD ．b 和α解析：选D.在河的一岸测量河的宽度，关键是选准基线，在本题中AC 即可看作基线，在△ABC 中，能够测量到的边角分别为b 和α.2．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km 解析：选B.利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB ＝120°，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝2a 2－2a 2×(－12)＝3a 2.∴AB ＝3a .3．在200 m 的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )A.4003 mB.40033mC.20033 mD.2003m解析：选A.如图，设塔高为AB ，山顶为C ，在Rt △CDB 中，CD ＝200，∠BCD ＝90°－60°＝30°，∴BC ＝200cos30°＝40033.在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝120°，BC sin120°＝ABsin30°，∴AB ＝BC ·sin30°32＝4003(m)．4．一河两岸有A 、B 两地，为了测出AB 的距离，在河岸上选取一点C ，测得∠CAB ＝60°，∠ACB ＝45°，AC ＝60 m ，则AB ≈________.(精确到1 m)．解析：在△ABC 中，先由三角形的内角和定理求出∠B ，再由正弦定理求出AB . 答案：44 m5．已知A 、B 两点的距离为100海里，B 在A 的北偏东30°方向，甲船从A 点以50海里/小时的速度向B 航行，同时乙船从B 点以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船之间的距离最小？解：如图所示，设航行x 小时以后，甲船到达C 点，乙船到达D 点，在△BCD 中，BC ＝100－50x (海里)(0≤x ≤2)，BD ＝30x (海里)，∠CBD ＝60°，由余弦定理得： CD 2＝(100－50x )2＋(30x )2－2(100－50x )·30x ·cos60° ＝4900x 2－13000x ＋10000， 作为二次函数考虑，当x ＝130002×4900＝6549(小时)时，CD 2最小，从而得CD 最小．故航行6549小时，两船之间距离最小．1．海面上有A ，B 两个小岛，相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成30°的视角，则B 岛与C 岛之间的距离是( )A ．10 3 海里 B.1063海里C ．5 2 海里D ．5 3 海里解析：选D.在由A ，B ，C 三岛组成的△ABC 中，∠C ＝180°－∠A －∠B ＝90°， 所以BC ＝AB ·sin60°＝5 3.2．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°解析：选B.∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，又∵AC ＝BC ，∴∠ABC ＝∠BAC ＝180°－80°2＝50°，又90°－50°－30°＝10°， ∴塔A 在塔B 的北偏西10°.3．如图，D 、C 、B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D 、C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )A ．10 mB ．5 3 mC ．5(3－1)mD ．5(3＋1) m解析：选D.在△ACD 中，由DC sin (45°－30°)＝ACsin30°得AC ＝10×12sin (45°－30°)＝56－24＝5(6＋2)．在△ABC 中，AB ＝AC ·sin45°＝5(6＋2)×22＝5(3＋1)．4. 如图所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球的中心的仰角∠BAC ＝30°时，测得气球的视角θ为2°，若θ的弧度数很小时，可取sin θ为θ的弧度数，由此可估计该气球的高BC 约为( )A ．70 mB ．86 mC ．102 mD ．118 m解析：选B.由题意，知∠BAC ＝30°，所以BC ＝12AC .又圆的半径为3 m ，sin1°＝sinπ180≈π180，所以AC ≈3×180π，即BC ＝12AC ≈270π≈86 (m)．5．(2011年温州质检)北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)．旗杆底部与第一排在一个水平面上，若国歌长度为50秒，升旗手应以多少米/秒的速度升旗( )A.15B.35C.35D.65 解析：选B.∠ABC ＝180°－60°－15°＝105°， ∠CAB ＝180°－105°－45°＝30°.∴AB ＝BC sin ∠CAB ·sin ∠BCA ＝106sin 30°·sin 45°＝20 3.在Rt △OAB 中，OA ＝AB sin ∠ABO ＝203·sin 60°＝30.∴v ＝3050＝35(米/秒)．故选B.6．在某个位置测得某山峰的仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m 后，测得仰角为原来的2倍，继续在地面上前进200 3 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为( )A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．100 m解析：选B.如图所示，在三角形ABC 中，BC ＝AC ＝600.在三角形ADC 中，DC ＝AD ＝2003，所以AD sin2θ＝AC sin (180°－4θ)＝ACsin4θ，所以2003sin2θ＝6002sin2θcos2θ，所以cos2θ＝32，2θ＝30°，所以在三角形ADE 中，AE ＝AD sin4θ＝2003×32＝300(m)．7．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________．解析：如图所示，AB ＝60 km ，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝180°－30°－105°＝45°.由MB sin30°＝AB sin45°，得MB ＝30 2 km. 答案：30 2 km8.某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向(如图)，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°.在C 处测得距C 为31里的公路上有一人正沿公路向A 城走去，走了20里之后，到达D 处，此时CD 间的距离为21里，问此人还要走__________里路可到达A 城．解析：在△CDB 中，由余弦定理得cos ∠DBC ＝DB 2＋BC 2－CD 22·DB ·BC ＝2331，∴sin ∠DBC ＝12331，∴sin ∠ACB ＝sin[π－(∠DBC ＋∠DAC )]＝sin(∠DBC ＋π3)＝35362，在△CAB 中，由正弦定理得AB ＝BC ·sin ∠ACBsin ∠CAB＝35，∴AD ＝35－20＝15. 答案：159．如图所示的是曲柄连杆结构示意图，当曲柄OA 在水平位置时，连杆端点P 在Q 的位置，当OA 自OB 按顺时针旋转α角时，P 和Q 之间的距离为x ，已知OA ＝25 cm ，AP ＝125 cm ，若OA ⊥AP ，则x ＝________(精确到0.1 cm)．解析：x ＝PQ ＝OA ＋AP －OP ＝25＋125－252＋1252 ≈22.5(cm)． 答案：22.5 cm10．在2008年北京奥运会垒球比赛前，C 国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出．由经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问游击手在这种布置下能否接着球？解：假设游击手能接着球，接球点为B ，游击手从A 点跑出，本垒为O 点，球速为v ，如图所示，则∠AOB ＝15°，OB ＝v t ，AB ≤v t4.在△AOB 中，由正弦定理，得OB sin ∠OAB ＝ABsin15°，所以sin ∠OAB ＝OB sin15°AB≥v t v t 4·6－24＝6－ 2. 因为(6－2)2＝8－43>8－4×1.73>1， 即sin ∠OAB >1，所以∠OAB 不存在，即游击手不能接着球． 11．甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船正以a n mile/h 的速度向北行驶．已知甲船的速度是 3a n mile/h ，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解：如图，设经过t h 两船在C 点相遇， 则在△ABC 中，BC ＝at ，AC ＝3at ，B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝AC sin B， 得sin ∠CAB ＝BC sin BAC＝at ·sin120°3at ＝323＝12.∵0°<∠CAB <90°， ∴∠CAB ＝30°， ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°. 即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．12．(2011年济南调研)A ，B ，C 是一条直路上的三点，AB ＝BC ＝1 km ，从这三点分别遥望一座电视发射塔P ，在A 处看见塔在东北方向，在B 处看见塔在正东方向，在C 处看见塔在南偏东60°方向，求塔到直路的距离．解：如图所示，设BN ＝x，则PQ ＝x ，P A ＝2x ，∵AB ＝BC ，∴CM ＝2BN ＝2x ，PC ＝2PQ ＝2x . 在△P AC 中，由余弦定理，得： AC 2＝P A 2＋PC 2－2P A ·PC ·cos 75°，即4＝2x 2＋4x 2－42x 2·6－24，解得x 2＝2(4＋3)13.过P 作PD ⊥AC ，垂足为D ，则线段PD 的长即为塔到直路的距离．在△P AC 中，由12AC ·PD ＝12P A ·PC sin 75°，得PD ＝P A ·PC ·sin 75°AC ＝22x 2·sin 75°2＝2·2(4＋3)13 ·6＋24＝7＋5313.故塔到直路的距离为7＋5313km.人教B 版必修5第1章章末综合检测(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011年福州高二检测)在△ABC 中，a ＝1，∠A ＝30°，∠B ＝60°，则b 等于( )A.32B.12C. 3 D ．2解析：选C.由a sin A ＝b sin B 得，b ＝a sin B sin A ＝1·sin60°sin30°＝ 3.2．在△ABC 中，a ＝80，b ＝100，∠A ＝45°，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解解析：选B.由a sin A ＝bsin B得sin B ＝100×sin45°80＝528＜1，又∵a ＜b ， ∴B 有两解．故三角形有两解．3．(2011年临沂高二检测)在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C.c 2＝72＋82－2×7×8×1314＝9，∴c ＝3，∴B 最大．cos B ＝72＋32－822×7×3＝－17.4．在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( ) A.2π3 B.5π6 C.3π4 D.π3解析：选A.由余弦定理cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，所以∠BAC ＝2π3.5．在△ABC 中，∠B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90°解析：选 C.设最大角为∠A ，最小角为∠C .由∠B ＝60°得∠A ＋∠C ＝120°.根据正弦定理，得a c ＝sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝3＋12，所以2sin(120°－C )＝(3＋1)·sin C ，即3cos C ＋sin C＝3sin C ＋sin C ，所以tan C ＝1，又0°＜∠C ＜180°，所以∠C ＝45°，所以∠A ＝75°.6．在△ABC 中，a 2＋b 2－ab ＝c 2＝23S △ABC ，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选B.由a 2＋b 2－ab ＝c 2得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴∠C ＝60°，又23S △ABC ＝a 2＋b 2－ab ，∴23×12ab ·sin 60°＝a 2＋b 2－ab ，得2a 2＋2b 2－5ab ＝0， 即a ＝2b 或b ＝2a .当a ＝2b 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得a 2＝b 2＋c 2； 当b ＝2a 时，代入a 2＋b 2－ab ＝c 2得b 2＝a 2＋c 2. 故△ABC 为直角三角形． 7．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1523 mC ．15 3 mD ．45 m 解析：选B.在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝152＋102－(519)22×15×10＝－12，∴∠ACB ＝120°，∴∠ACD ＝180°－120°＝60°.∴AD ＝AC ·sin60°＝1532(m)．8．在△ABC 中，b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A. 152B.15C ．2D ．3解析：选A.∵b 2－bc －2c 2＝0， ∴(b －2c )(b ＋c )＝0.∵b ＋c ≠0，∴b －2c ＝0.∴b ＝2c .∴6＝c 2＋4c 2－2c ·2c ×78，∴c ＝2，b ＝4.∴S ＝12bc sin A ＝12×2×4×1－4964＝152.9．锐角三角形ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1＜a ＜3 B ．1＜a ＜ 5 C.3＜a ＜ 5 D ．不确定 解析：选C.因为△ABC 为锐角三角形， 所以cos A ＞0，cos B ＞0，cos C ＞0， 所以b 2＋c 2－a 2＞0，a 2＋c 2－b 2＞0， a 2＋b 2－c 2＞0，所以1＋4－a 2＞0， a 2＋4－1＞0，a 2＋1－4＞0，即3＜a 2＜5，所以3＜a ＜ 5. 又c －b ＜a ＜b ＋c ，即1＜a ＜3.由⎩⎨⎧3＜a ＜5，1＜a ＜3.得3＜a ＜ 5.10．△ABC 中，a ，b ，c 分别是A 、B 、C 的对边，且满足2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 3解析：选C.2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12⇒ac ＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33.11．在△ABC 中，下列结论：①a 2＞b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2＞c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A.①a 2＞b 2＋c 2⇒b 2＋c 2－a 2＜0⇒b 2＋c 2－a 22bc＜0⇒cos A ＜0⇒A 为钝角⇒△ABC为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ⇒b 2＋c 2－a 2＝－bc ⇒b 2＋c 2－a 22bc ＝－12⇒cos A ＝－12⇒A ＝120°；③与①同理知cos C ＞0，∴C 是锐角，但△ABC 不一定是锐角三角形． ④A ∶B ∶C ＝1∶2∶3⇒A ＝30°，B ＝60°，C ＝90° ⇒a ∶b ∶c ＝1∶3∶2.12．锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，设B ＝2A ，则ba的取值范围是( )A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．(2，2)D ．(2，3)解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ＝sin2Asin A＝2cos A ，又∵△ABC 是锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧B ＝2A ＜90°A ＋2A ＞90°，∴30°＜A ＜45°，则ba＝2cos A ∈(2，3)．二、填空题(本大题共4小题，把答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________.解析：在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝cos120°＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ，即25＋AC 2－492×5×AC＝－12.解得AC ＝－8(舍去)或AC ＝3. 答案：3。

第2课时 均值不等式的应用学习目标 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题.知识点一 均值不等式及变形 思考 使用均值不等式证明：21a ＋1b≤ab (a >0，b >0)，并说明什么时候等号成立. 答案 ∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ≥21ab >0， ∴11a ＋1b ≤ab 2， 即21a ＋1b≤ab (a >0，b >0)，当且仅当1a ＝1b ，即a ＝b 时，等号成立. 梳理 以下是均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件. 当a >0，b >0时，有21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22； 当且仅当a ＝b 时，以上三个等号同时成立. 知识点二 用均值不等式求最值思考 因为x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号.所以当x ＝1时，(x 2＋1)min ＝2. 以上说法对吗？为什么？ 答案 错.显然(x 2＋1)min ＝1.x 2＋1≥2x ，当且仅当x ＝1时取等号.仅说明抛物线y ＝x 2＋1恒在直线y ＝2x 上方，仅在x ＝1时有公共点.使用均值不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值.如果都不是定值，可能出错. 梳理 均值不等式求最值的条件： (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值，即“和定积大，积定和小”. (3)等号成立的条件是否满足.1.函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × )2.函数y ＝sin x ＋1sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值为2.( × ) 3.若x y ＋yx≥2，则必有x >0，y >0.( × )类型一 均值不等式与最值例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值.解 (1)当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4， 当且仅当x ＝4x ，即x 2＝4，x ＝2时取等号.∴函数y ＝x ＋4x (x >0)在x ＝2时取得最小值4.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32.∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0<x <32的最大值为92. (3)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立.∴x ＋4x －2的最小值为6.(4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9xy ＋10≥6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，不等式取等号. 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y ＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值).由1x ＋9y ＝1可知x >1，y >9， ∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2(x －1)(y －9)＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时不等式取等号， 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.反思与感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备. 跟踪训练1 (1)已知x >0，求f (x )＝12x ＋3x 的最小值；(2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (3)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值. 解 (1)∵x >0，∴f (x )＝12x＋3x ≥212x·3x ＝12，当且仅当3x ＝12x ，即x ＝2时取等号，∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号.∴f (x )的最大值为－1.(3)方法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2x x －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)×16x －8＋10＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立.∴x ＋y 的最小值是18.方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y ＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝8y x ＋2xy ＋10≥28y x ·2xy＋10＝18. 当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y ＝12时等号成立.∴x ＋y 的最小值是18.类型二 均值不等式在实际问题中的应用 命题角度1 几何问题的最值例2 (1)用篱笆围一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解 (1)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ， 则xy ＝100，篱笆的长为2(x ＋y ) m.由x ＋y 2≥xy ，可得x ＋y ≥2100，2(x ＋y )≥40.当且仅当x ＝y ＝10时等号成立. 所以这个矩形的长、宽都为10m 时， 所用篱笆最短，最短篱笆为40m.(2)设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2. 由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立.所以这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积为81m 2.反思与感悟 利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.跟踪训练2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？解 设水池底面一边的长度为x m ， 则另一边的长度为48003xm.又设水池总造价为y 元，根据题意，得y ＝150×48003＋120×⎝⎛⎭⎫2×3x ＋2×3×48003x ＝240000＋720×⎝⎛⎭⎫x ＋1600x ≥240000＋720×2x ·1600x＝297600(元)，当且仅当x ＝1600x，即x ＝40时，y 取得最小值297600.所以水池底面为正方形且边长为40m 时总造价最低，最低总造价为297600元. 命题角度2 生活中的最优化问题例3 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 解 设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨.由题意可知，面粉的保管及其他费用为 3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1). 设平均每天所支付的总费用为y 元，则y ＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1800＝9x ＋900x ＋10809≥29x ·900x＋10809＝10989(元)，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立.所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. 引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？ 解 设x 1，x 2∈[15，＋∞)，且x 1＜x 2.则⎝⎛⎭⎫9x 1＋900x 1＋10809－⎝⎛⎭⎫9x 2＋900x 2＋10809＝9(x 1－x 2)＋900⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫9－900x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2. ∵15≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞225， ∴(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫9x 1x 2－900x 1x 2＜0，即y ＝9x ＋900x＋10809在[15，＋∞)上为增函数.∴当x ＝15，即15天购买一次面粉，平均每天支付的费用最少.反思与感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).使用均值不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解.跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要小时. 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则 t ＝400＋16⎝⎛⎭⎫v202v ＝400v ＋16v400≥2400v ×16v400＝8(小时)，当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，所以这批货物全部运到B 市，最快需要8小时.1.设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.80B.77C.81D.82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81， 当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.2.已知a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )(x ，y 为正数)，若a ⊥b ，则xy 的最大值是( ) A.12B.－12C.1D.－1 答案 A解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴4(x －1)＋2y ＝0，∴2x ＋y ＝2， ∴xy ＝12(2x )·y ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 22＝12×⎝⎛⎭⎫222＝12， 当且仅当2x ＝y ＝1时，等号成立.3.设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y 的最小值为( ) A.16B.9C.12D.15 答案 A解析 因为x ，y 为正数，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝1＋9＋y x ＋9xy≥16，当且仅当y ＝3x 时，等号成立.4.已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4的最小值为.答案 1解析 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －2)＋1x －2≥1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立.1.用均值不等式求最值(1)利用均值不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值.这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到.这三个条件缺一不可.(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件.(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px (p >0)的单调性求得函数的最值. 2.求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.一、选择题1.已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( ) A.4B.2C.1D.14答案 A解析 ∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0，lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时取等号.2.已知点P (x ，y )在经过A (3，0)，B (1，1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( ) A.22B.42C.16D.不存在 答案 B解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上， ∴x ＋2y ＝3.∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x +2y ＝4 2.当且仅当2x ＝4y ，即x ＝32，y ＝34时，等号成立.3.函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5(x >1)的最小值为( )A.－3B.3C.4D.－4 答案 B解析 ∵x >1，∴x －1>0， ∴x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2(x －1)·1x －1＋6＝8，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立.∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3，∴y min ＝3.4.已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72B.4C.92D.5 答案 C解析 ∵a ＋b ＝2， ∴a ＋b 2＝1. ∴1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝52＋⎝⎛⎭⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92⎝⎛⎭⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a ＝43时，等号成立，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.5.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A.0B.1C.94D.3答案 B 解析 由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0且z ≠0得x 2z ＋4y 2z ＝3xyz＋1，∵x 2z ＋4y 2z ≥2x 2·4y 2z 2＝4·xyz， ∴3·xy z ＋1≥4·xyz.∴xy z ≤1，当且仅当x 2z ＝4y 2z 即x ＝2y 时取等号. ∴⎝⎛⎭⎫xy z max ＝1，此时x ＝2y ，z ＝xy ＝2y 2.∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝2y －1y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1. 当1y ＝1即y ＝1时取等号. ∴⎝⎛⎭⎫2x ＋1y －2z max ＝1.6.已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy 的最小值为( )A.eB.2C.eD.e 2 答案 C解析 由题意得⎝⎛⎭⎫142＝14ln x ·ln y ， ∴ln x ·ln y ＝14，∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ·ln y ＞0，又ln(xy )＝ln x ＋ln y ≥2ln x ·ln y ＝1，当且仅当ln x ＝ln y ＝12时，等号成立，∴xy ≥e.即xy 的最小值为e.7.已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A.9B.8C.4D.2答案 A解析 圆C ：x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0，1).因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b ，c >0，所以4c b ＋b c ≥24c b ·b c ＝4， 当且仅当4c b ＝b c时等号成立. 由此可得b ＝2c 且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. 二、填空题8.若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是 答案 4解析 ⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x2 ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4，当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号. 9.若把总长为20m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是m 2.答案 25解析 设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.10.设0<x <2，则函数y ＝3x (8－3x )的最大值为.答案 4解析 ∵0<x <2，∴0<3x <6，8－3x >2>0，∴y ＝3x (8－3x )≤3x ＋(8－3x )2＝82＝4， 当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号. ∴当x ＝43时，y ＝3x (8－3x )有最大值4.11.设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是. 答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0，设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1. ∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9. 12.已知x >0，y >0，且3x ＋4y ＝12，则lg x ＋lg y 的最大值为.答案 lg3解析 由x >0，y >0，且3x ＋4y ＝12，得xy ＝112·(3x )·(4y )≤112⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4y 22＝3. 所以lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg3，当且仅当3x ＝4y ＝6，即x ＝2，y ＝32时，等号成立. 故当x ＝2，y ＝32时，lg x ＋lg y 的最大值是lg3.三、解答题 13.某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3000＋50x (单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得f (x )＝Q (x )＋8000×100004000x ＝50x ＋20000x＋3000(x ≥12，x ∈N ＋)， f (x )＝50x ＋20000x ＋3000≥250x ·20000x＋3000＝5000(元). 当且仅当50x ＝20000x，即x ＝20时，上式取等号， 所以当x ＝20时，f (x )取得最小值5000(元).所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5000元.四、探究与拓展14.已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为. 答案 6解析 由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1，所以2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54， 当且仅当2a b ＝2b a，即a ＝b 时等号成立， 所以9m ≤54，即m ≤6.15.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，现有可围36m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为时，可使每间虎笼面积最大.答案 4.5m ，3m解析 设每间虎笼长为x m ，宽为y m.依题意，得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .方法一 由于2x ＋3y ≥26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272， 即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3. 故每间虎笼长为4.5m ，宽为3m 时，可使面积最大.方法二 由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y . ∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝⎝⎛⎭⎫9－32y y ＝32(6－y )·y . ∵0<y <6，∴6－y >0，∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6－y )＋y 22＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.故每间虎笼长为4.5m ，宽为3m 时，可使面积最大.。

第三章 3.2 第3课时一、选择题1．若x ＞0，y ＞0，且x ＋y ≤4，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．1x ＋y ≤14B ．1x ＋1y ≥1C ．xy ≥2D ．1xy≥1[答案] B[解析] 取x ＝1，y ＝2满足x ＋y ≤4排除A 、C 、D 选B ．具体比较如下：∵0<x ＋y ≤4∴1x ＋y ≥14故A 不对；∵4≥x ＋y ≥2xy ，∴xy ≤2，∴C 不对；又0＜xy ≤4，∴1xy ≥14∴D 不对；1x ＋1y ＝x ＋y xy ≥2xy xy ＝2xy ，∵1xy ≥12，∴1x ＋1y ≥1. 2．已知m 、n ∈R ，m 2＋n 2＝100，则mn 的最大值是( ) A ．100 B ．50 C ．20 D ．10[答案] B[解析] 由m 2＋n 2≥2mn 得，mn ≤m 2＋n 22＝50，等号在m ＝n ＝52时成立，故选B ．3．若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( ) A ．1ab >12B ．1a ＋1b ≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤18[答案] D[解析] ∵a >0，b >0，a ＋b ＝4， ∴ab ≤a ＋b2＝2， ∴ab ≤4，∴1ab ≥14，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，故A 、B 、C 均错，选D ． [点评] 对于D 有，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥16－2×4＝8，∴1a 2＋b 2≤18.4．实数x 、y 满足x ＋2y ＝4，则3x ＋9y 的最小值为( )A ．18B ．12C ．23D ．43[答案] A[解析] ∵x ＋2y ＝4，∴3x ＋9y ＝3x ＋32y ≥23x ·32y ＝23x ＋2y ＝234＝18，等号在3x ＝32y 即x ＝2y 时成立．∵x ＋2y ＝4，∴x ＝2，y ＝1时取到最小值18.5．(2016·云南师大附中高三月考)已知a ＋b ＝t (a >0，b >0)，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t 等于( ) A ．2 B ．4 C ．22 D ．2 5[答案] C[解析] 当a >0，b >0时，ab ≤(a ＋b )24＝t 24，当且仅当a ＝b ＝t 2时取等号．因为ab 的最大值为2，所以t 24＝2，t 2＝8，所以t ＝8＝2 2.故选C ．6．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2] [答案] D [解析] ∵2x ＋2y ≥22x ＋y ，∴22x ＋y ≤1，∴2x ＋y ≤14＝2－2，∴x ＋y ≤－2，故选D ．二、填空题7．已知x 、y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．[答案] 3[解析] ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12， ∴xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4，即x ＝32，y ＝2时取等号．8．已知a 、b 为实常数，函数y ＝(x －a )2＋(x －b )2的最小值为__________ [答案] 12(a －b )2[解析] 从函数解析式的特点看，本题可化为关于x 的二次函数，再通过配方求其最小值(留给读者完成)．但若注意到(x －a )＋(b －x )为定值，则用变形不等式a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2更简捷．∴y ＝(x －a )2＋(x －b )2≥2[(x －a )＋(b －x )2]2＝(a －b )22.当且仅当x －a ＝b －x ，即x ＝a ＋b2时，上式等号成立．∴当x ＝a ＋b 2，y min ＝(a －b )22.三、解答题9．已知正常数a 、b 和正实数x 、y ，满足a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a 、b 的值．[解析] x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·(a x ＋by )＝a ＋b ＋ay x ＋bxy ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，等号在ay x ＝bx y 即y x＝ba时成立． ∴x ＋y 的最小值为(a ＋b )2＝18， 又a ＋b ＝10，∴ab ＝16.∴a 、b 是方程x 2－10x ＋16＝0的两根， ∴a ＝2，b ＝8或a ＝8，b ＝2.10.设x >0，y >0，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．[解析] ∵x >0，y >0且x 2＋y 22＝1，∴x 1＋y 2＝x 2(1＋y 2)＝12·2x 2(1＋y 2) ＝22·2x 2(1＋y 2) ≤22·2x 2＋(1＋y 2)2＝324， 当且仅当2x 2＝1＋y 2，即x ＝32，y ＝22时等号成立． ∴x1＋y 2的最大值为324.一、选择题1．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则⎝⎛⎭⎫1a 2－1⎝⎛⎭⎫1b 2－1的最小值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9[答案] D[解析] ∵a ＋b ＝1，a >0，b >0， ∴ab ≤14，等号在a ＝b ＝12时成立．∴⎝⎛⎭⎫1a 2－1⎝⎛⎭⎫1b 2－1＝1－a 2a 2·1－b 2b 2＝(1＋a )·b a 2·(1＋b )a b 2＝(1＋a )(1＋b )ab＝2＋ab ab ＝2ab ＋1≥214＋1＝9，故选D ．2．若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值为( )A ．14B ．12C ．2D ．4[答案] D[解析] 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a －2b ＋2＝0，即a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝1＋1＋b a ＋ab ≥2＋2b a ×a b ＝4 (等号在a ＝b ＝12时成立)． 故所求最小值为4，选D ．3．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3][答案] D [解析] ∵x >1，∴x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2(x －1)·1x －1＋1＝3(当x ＝2时等号成立)．要使x ＋1x －1≥a 恒成立，则须使a ≤3.4．已知正数x 、y 满足1x ＋4y ＝1，则xy 有( )A ．最小值116B ．最大值16C ．最小值16D ．最大值116[答案] C[解析] ∵x >0，y >0，∴1x ＋4y ≥24xy＝41xy ，又∵1x ＋4y ＝1， ∴41xy≤1， ∴1xy ≤116， ∴xy ≥16，故选C ． 二、填空题5．一批救灾物资随17列火车以v km/h 的速度匀速直达400 km 以外的灾区，为了安全起见，两列火车的间距不得小于(v20)2 km ，则这批物资全部运送到灾区最少需__________ h.[答案] 8[解析] 物资全部运到灾区需t ＝400＋16×(v20)2v ＝400v ＋v 25≥8 h ，等号成立时，400v ＝v25，即v ＝100.故最少要用8 h.6．若正实数x 、y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________． [答案] 18[解析] ∵x >0，y >0， ∴2x ＋y ≥22xy ，∴2x ＋y ＋6＝xy ≥22xy ＋6， ∴(xy )2－22xy －6≥0， 解得xy ≥32，即xy ≥18. 三、解答题7．已知函数f (x )＝lg x (x ∈R ＋)，若x 1、x 2∈R ＋，判断12[f (x 1)＋f (x 2)]与f (x 1＋x 22)的大小并加以证明．[解析] 12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1·x 2)， f (x 1＋x 22)＝lg x 1＋x 22，而x 1、x 2∈R ＋，x 1x 2≤(x 1＋x 22)2，而f (x )＝lg x 在区间(0，＋∞)上为增函数． ∴lg(x 1x 2)≤lg(x 1＋x 22)2，∴12lg(x 1x 2)≤lg x 1＋x 22. 即12(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22. 因此，12[f (x 1)＋f (x 2)]≤f (x 1＋x 22)．8. 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库面积S 的取值范围是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？[解析] (1)设正面铁栅长x m ，侧面长为y m ，总造价为z 元，则z ＝40x ＋2×45y ＋20xy ＝40x ＋90y ＋20xy ，仓库面积S ＝xy .由条件知z ≤3 200，即4x ＋9y ＋2xy ≤320. ∵x >0，y >0，∴4x ＋9y ≥24x ·9y ＝12xy .∴6S ＋S ≤160，即(S )2＋6S －160≤0. ∴0<S ≤10，∴0<S ≤100. 故S 的取值范围是(0,100]．(2)当S ＝100 m 2时，4x ＝9y ，且xy ＝100. 解之得x ＝15(m)，y ＝203(m)．答：仓库面积S 的取值范围是(0,100]，当S 取到最大允许值100 m 2时，正面铁栅长15 m.。