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压缩数列

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数列放缩法技巧全总结

数列放缩法技巧全总结

数列放缩法技巧全总结引言数列放缩法（Sequence Squeezing Method）是指在解决数学问题时，通过限制或放缩数列的取值范围，从而简化问题的求解过程。

数列放缩法是数学竞赛和高等数学中常见的一种技巧，本文将总结数列放缩法常用的技巧和应用场景。

1. 加减不等式放缩法加减不等式放缩法是通过对等式进行加减操作，使得所得不等式比原来的不等式更易于求解。

常见的加减不等式放缩技巧有如下几个：1.1. 约束条件加减法设原不等式为A<B，通过针对不等式的约束条件进行加减操作，将原不等式放缩为C<D。

常见的约束条件包括正整数、正实数等。

1.2. 平方项加减法对于不等式中的平方项，可以通过改变平方项的系数进行加减操作，从而得到一个更易于处理的不等式。

例如，对于a2+b2<2ab，可以将不等式变换为(a−b)2>0，从而得到更容易求解的形式。

1.3. 倒数项加减法对于不等式中的倒数项，可以通过改变倒数项的系数进行加减操作，从而放缩不等式。

例如，在2ab<a2+b2中，可以将不等式变换为$\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b} > \\frac{2}{a+b}$，从而得到更容易处理的形式。

2. 乘除不等式放缩法乘除不等式放缩法是通过对等式进行乘除操作，使得所得不等式比原来的不等式更易于求解。

常见的乘除不等式放缩技巧有如下几个：2.1. 约束条件乘除法设原不等式为A<B，通过针对不等式的约束条件进行乘除操作，将原不等式放缩为C<D。

常见的约束条件包括正整数、正实数等。

2.2. 平方项乘除法对于不等式中的平方项，可以通过改变平方项的系数进行乘除操作，从而得到一个更易于处理的不等式。

例如，在a2+b2<2ab中，可以将不等式变换为a2−2ab+b2<0，从而得到更容易求解的形式。

2.3. 倒数项乘除法对于不等式中的倒数项，可以通过改变倒数项的系数进行乘除操作，从而放缩不等式。

压缩映射原理在求数列极限中的应用

压缩映射原理在求数列极限中的应用

压缩映射原理在求数列极限中的应用1 压缩映射原理在求数列极限中的应用压缩映射原理是一种以压缩方式在数值模拟和分析方面发挥巨大作用的原理。

它是基于数学中的积分和微分方法，采用简易压缩运算，综合得到极限值。

压缩映射原理在求数列极限中应用比较广泛，因为数列极限是数学中常用的概念。

压缩映射原理在求数列极限中是一种高效率的方法，它能够实现快速求解数列极限的操作，且求解结果更准确、有效，从而节约时间。

2 压缩映射原理的基本原理压缩映射原理的基本原理就是运用积分和微分的基本概念，以简单的压缩操作获得极限值。

压缩映射原理中，积分求出极限点的数值，而微分则比较两个极限点之间的变化，以此来达到求解数列极限的目的。

3 压缩映射原理在求解数列极限中的应用压缩映射原理在求解数列极限中，其应用是很重要的。

因为这可以避免计算量大、精度低的误差而能够快速求出数列极限，也可以较好地发挥微分计算和积分估算的作用。

这可以将求解难度减轻，从而达到数学计算上的最优效果。

4 压缩映射原理的几大优点压缩映射原理在求数列极限中应用十分广泛，它的几大优点也是因此而产生的。

其几大优点有：1、准确性高：压缩映射原理能够准确求出数列极限，这也是它应用非常广泛的主要原因之一。

2、快速性高：压缩映射原理的特点是快速求解，它能够将求解过程快速地完成，从而节省计算量和工作量。

3、方便性高：使用压缩映射原理进行数列极限的求解，计算速度迅速，而且工作量也不大。

5 结论压缩映射原理在求数列极限中的应用非常重要，它的应用可以显著提高数列极限求解的效率。

其优点是准确性高、快速性高、方便性高，值得广泛应用。

高中数列放缩法技巧

高中数列放缩法技巧

高中数列放缩法技巧
高中数列放缩法是一种用于求解数列问题的技巧。

通过适当的方法对数列进行放缩，可以简化问题的求解过程，提高解题效率。

在高中数学中，数列是一个非常重要的概念。

通过研究数列的性质和规律，可以帮助学生培养数学思维和分析问题的能力。

数列放缩法的基本思想是通过一系列变换将原始数列转化为一个更
加简单或者更加易于处理的数列，从而使问题的求解变得更加容易。

下面介绍几种常用的数列放缩方法：
1. 数列的倍数放缩：如果一个数列的每一项都乘以一个相同的常数，那么这个数列的性质和规律不会改变。

这种放缩方法常用于求解具有明显倍数关系的数列问题，可以通过放缩将数列转化为一个等比数列，从而更加方便地求解。

2. 数列的平移放缩：如果一个数列的每一项都加上或者减去一个相
同的常数，那么这个数列的性质和规律不会改变。

这种放缩方法常用于求解具有明显递推关系的数列问题，可以通过放缩将数列转化为一个等差数列，从而更加方便地求解。

3. 数列的递推放缩：如果一个数列的每一项都是前一项的某个函数，
那么这个数列的性质和规律不会改变。

这种放缩方法常用于求解具有复杂递推关系的数列问题，可以通过放缩将数列转化为一个递推公式，从而更加方便地求解。

除了以上几种基本的放缩方法，还可以根据具体问题的特点进行其他类型的放缩。

数列放缩法在高中数学中有着广泛的应用，可以帮助学生解决各种数列问题，提高数学分析和推理能力。

总之，高中数列放缩法是一种重要的解题技巧，通过适当的放缩方法可以简化数列问题的求解过程，提高解题效率。

掌握数列放缩法对于高中数学的学习和应试都具有重要的意义。

压缩数列及其收敛性

压缩数列及其收敛性
， ．
于是 ， ｐ ∈Ｎ有 Ｖ
● ＿ ＿ ＿
Ｉ Ｐ一口 Ｉ Ｈ 口＋ ｎ Ｉ 口＋ ｐ一０＋ １＋口＋ １—０＋ ２＋Ｌ＋０＋ ｎ一 Ｐ ｎ一 ｐ ｎｐ 一 １一口 Ｉ
≤ Ｉ 一口＋ ｌ＋ Ｉ ＋ １ 口印 ２ ＋ ＋１ 一口 口 —Ｉ 口 ｐ 一 一Ｉ ＋ ｐ 一 ０１
第２ ５卷 第 ７期
Ｖｏ ． １２５ Ｎｏ． ７
荆楚理工学院学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｉｇ ｈ ｎ ｖ ｒｉ ｆ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ｏ ｒ ａ ｆＪｎ ｃ ｕ Ｕ ｉｅ ｓ ｙ ｏ ｃ ｎ ｌ ｇ ｔ Ｔ
２１ ０ ０年 ７ 月
Ｊｌ ２ １ ｌ． ０ ０ １
压 缩 数 列 及其 收 敛 性
ｊ —０ Ｉ ｒ口 ＋ ≤ 一０一ｌ ０１ Ｉ １
≤ ｒＩ 一ｎ一Ｉ ‘ ｃ ｔ ２
≤ ｒ１ 一０ ｉ ３０ ≤ｒｌ 一０ ｌ ４口 ≤Ｌ Ｌ≤ｒ ｌ２ １ —０ ｌ ａ
于是 ， ∈Ｎ有 Ｖ
ｌｎ 口岬一ｎ Ｉ ０＋ 一Ⅱ＋ １ ｎ 一 一口＋２ ＋ｎ＋ 一口 Ｉ ＝ １ｎ ｐ 一 ＋口＋ １ ｎ 一 ＋ Ｐ ｐ Ｐ １
Ｏ 即 Ｖ占 ＞０ ｊＮ ， ， ２∈ Ｎ＋ Ｖｎ ＞Ⅳ２有 ， ，
取 Ⅳ ＝ｍａ ｛ Ⅳ２ ， 注意 到 Ｆ１ ｌＮ ｘ Ⅳ ， ｝并 Ｎ和 ａ
ｆ ＋ 一Ⅱ ｆ ｝ 一口一ｆ 口 １ ≤ｒⅡ ｌ
则 称 数列 ｛ 是 压缩 的 ，称 为压 缩 系数 。 ｎ｝ ｒ
对 于压 缩数列 ， 有如下 的定 理 。
定理 １ 若数列 ｛ 是压缩的 ， 口｝ 则数列 ｛ 是基本列。 ｏ｝
证 明 由于数 列 ｛ 是 压缩 的 ， 口｝ 即存在 常数 ｒ∈ （ ，）对 Ｖ ∈Ｎ， ０１ ， 都有

数列的缩放技巧

数列的缩放技巧

数列的缩放技巧
对一个数列进行缩放，可以通过以下技巧实现：
1. 加法缩放：将每个数都加上一个常数，可以使数列整体上移或下移。

例如，数列{1, 2, 3}经过加法缩放变为{3, 4, 5}。

2. 乘法缩放：将每个数都乘上一个常数，可以使数列整体伸缩。

例如，数列{1, 2, 3}经过乘法缩放变为{2, 4, 6}。

3. 线性缩放：对数列进行加法缩放和乘法缩放的组合操作。

例如，数列{1, 2, 3}经过线性缩放（加法缩放:加2，乘法缩放:乘3）变为{5, 8, 11}。

4. 指数缩放：将数列中的每个数都进行指数运算，可以使数列整体变化更加剧烈。

例如，数列{1, 2, 3}经过指数缩放（指数为2）变为{1, 4, 9}。

需要注意的是，缩放只改变数列中各个数的值，并不改变数列的顺序和长度。

压缩映射原理的证明数列收敛

压缩映射原理的证明数列收敛

压缩映射原理的证明数列收敛隐式压缩映射原理，简称压缩映射原理（compressively mapped principle，CMP），是一种普遍存在于许多自然发现中的模型，并得到了许多现代应用，从量子力学到电子和生物学等，2014年康奈尔大学的三名数学家对该原理进行了深入的研究和实证，该原理的核心是隐式压缩映射可将布尔函数映射为一系列实值函数，使得最优化结果能够变得更加有效。

压缩映射原理依据的是，布尔函数的最优化可以通过把它映射到实值函数而获得有效的极小值。

换而言之，压缩映射可以将混合布尔优化问题转换为单一布尔优化问题，从而可以用实值函数进行求解。

压缩映射原理是由康奈尔大学三位数学家尼古拉·叶夫曼、格雷格·布雷尔和丹尼斯·布雷尔在2014年提出的，他们也可以用压缩映射原理证明出一个数列的收敛性。

例如，给定k> 1，设定一个序列{ai}，其中a_(i+1) = k * log a_i 对于每次i。

如果我们假定这个序列的上界存在（即存在一个自然数n，使得所有a_n<=A），则压缩映射原理告诉我们该序列收敛到上界。

首先，可以将该序列视为一个变量y_i=log(a_i)，每一步所做的改变可表示为y_(i+1)=y_i+log(k)。

显然，无论y_1的取值如何，y_n的变化都不超过log(k)的值。

这证明了该序列的收敛性：无论这个序列的初始值取什么，每一步都将最多增加log(k)的值，由于上界存在，因此该序列会收敛于设定的上界，这说明压缩映射原理的定理真的成立了。

综上所述，压缩映射原理可以证明一个数列的收敛性，即无论初始值取什么值，每一步所加减的值都不超过该数列上界，因此，数列会收敛于该上界。

康奈尔三位数学家的研究和实证，可以证明压缩映射原理的定理是可靠的，它是古老的原理的有用的具体形式，至今仍在现代许多领域中得到了广泛应用。

斐波那契法区间压缩比

斐波那契法区间压缩比斐波那契法是一种常用于数据压缩的算法，其原理是利用斐波那契数列的特性对数据进行压缩，从而实现数据的高效存储和传输。

斐波那契法的核心思想是利用斐波那契数列的性质，将待压缩的数据按照斐波那契数列进行划分，并通过特定的编码方式将划分后的数据重新编码，从而减小数据的体积。

斐波那契数列是一个无限序列，其定义是：第0项和第1项的值均为1，第n项的值等于第n-1项与第n-2项之和。

数列的前几项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...。

斐波那契法的核心思想是将待压缩的数据按照斐波那契数列进行分组，并将每个分组的序列长度记录下来。

对于序列长度为n的分组，可以将数据分成前m项和后n-m项两部分，其中m为接近n/2且小于等于n/2的最大斐波那契数列项。

分组结束后，我们将分组内的数据序列化，再使用特定的压缩算法对不同的分组进行编码。

斐波那契法的关键在于如何选择分组时的断点，在上述例子中，我们选择了n/2作为断点，这是因为斐波那契数列的性质可以保证n/2靠近黄金分割点，即分割得最均匀。

通过这种方式，斐波那契法可以在保证数据压缩比的同时，尽可能减小编码和解码的时间复杂度。

斐波那契法的编码方式可以选择多种。

一种常用的编码方式是用0表示连续的1，用1表示一个1。

这样，我们就可以将分组内的数据序列化为一个二进制串。

例如，分组为5, 8的斐波那契法编码为：10001。

这种编码方式能够较好地保证数据的压缩比，但同时也增加了编码和解码的复杂度。

斐波那契法的压缩比可以通过计算压缩前后数据的长度比值得到。

例如，对于一个待压缩的数据集，如果使用斐波那契法进行压缩后的数据长度为L1，而压缩前的数据长度为L0，那么压缩比就可以计算为L0/L1。

斐波那契法的优势在于其能够充分利用斐波那契数列的特性对数据进行划分，从而实现较小的数据体积。

此外，斐波那契法还可以结合其他的压缩算法进行进一步的优化，从而达到更高的压缩比。

数据压缩的方法

数据压缩的方法有以下几种：
1. 列式压缩：将具有相同特征的数据聚在一起，选择最优的数据压缩和处理方式。

2. 数据Int化：使用Int类型的格式，可以最大化压缩数据的字节数。

3. 前缀提取：将大量相同数据前缀进行提取，比如经纬度数据前4位基本不变，可以大幅度压缩数据大小。

4. 混合编码：根据数据不同的特性，如波动性变化小，采用差值编码；大量数据连续，采用RLE编码；大量数据重复，采用字典编码；数据的最大值不大，采用BitPacked编码。

5. 边界值处理：对经纬度和传感器数据，数字都是在一定范围内波动，在采用差值编码后，存在极值像0转变，需要特殊处理。

6. 哈夫曼编码：对数据进行统计，用较短的编码表示出现频率高的字符，用较长的编码表示出现频率低的字符。

7. 算术编码：将不同的序列映像到0到1之间的区域内，该区域表示成可变精度(位数)的二进制小数，越不常见的数据要的精度越高(更多的位数)。

8. Rice编码：对于由大word（例如：16或32位）组成的数据和教低的数据值，Rice编码能够获得较好的压缩比。

数列压缩映射原理证明

压缩映射原理证明
一个实数与一个复数的代数表示式称为一维的，或者说一个实数可以表示为两个复数的线性组合，而一个复数可以表示为一个实数与两个复数的线性组合。

对这个问题有一种一般的解决方法，这就是将这个问题转化为一个有限制条件的线性方程组问题。

这个解有严格的数学形式，所以可以用数值计算方法来求解。

这里我们要讨论一个重要的概念——压缩映射原理，即在有限维空间中，对任何实数x,y,z都
可以构造出一个由全体实数组成的线性方程组（记为xy）。

如果我们在这个线性方程组中使用线性代数中的方法（即求导）来解出y=x^2+2xy+z（其中x,y分别为实数和虚数），那么这个方程组就是一维的。

但如果我们将x^2+2xy+z这样一个实数序列展开成一个有限维空间中的线性空间，那么这个方程组就是一维的了。

第二是它可以给出一种数值计算方法来解决这个问题。

—— 1 —1 —。

压缩映像原理数列极限考研

压缩映像原理数列极限考研首先，数列是数学中的一种有序数的排列，通常用 {an} 表示，其中的每个数 an 称为该数列的第 n 项。

数列的极限是指当 n 趋近于无穷时，数列的项逐渐趋于一些常数 L。

即 lim(n->∞) an = L。

如果一个数列存在极限，那么该数列称为收敛数列；否则，称为发散数列。

压缩映像原理数列极限是通过映像原理的基本思想进行证明的，该原理的表述如下：设 {an} 和 {bn} 是两个数列，满足an ≤ bn，且两者的极限都存在，即 lim(n->∞) an = L，lim(n->∞) bn = M。

如果对于任意的 n，都有a(n+1) ≤ b(n+1)，那么有L ≤ M。

基于压缩映像原理，可以推出以下结论：1. 如果一个数列 {an} 满足a(n+1) ≤ k * an，其中 k 是一个小于 1 的正数，那么该数列是收敛数列。

证明：设 bn = k^n * a0，其中 a0 是数列 {an} 的首项。

根据压缩映像原理，a(n+1) ≤ k * an 可以得到bn ≤ k^(n+1) * a0。

即 bn 是一个递减且有下界的数列，根据单调有界原理，它存在极限。

而 bn 的极限也即数列 {an} 的极限。

2. 如果一个数列 {an} 满足a(n+1) ≥ k * an，其中 k 是一个大于 1 的正数，那么该数列是发散数列。

证明：设 bn = k^n * a0，其中 a0 是数列 {an} 的首项。

根据压缩映像原理，a(n+1) ≥ k * an 可以得到bn ≥ k^(n+1) * a0。

即 bn 是一个递增且无上界的数列，根据单调有界原理，它发散。

3. 如果 {an} 是一个数列，且存在 a、b 和 c 三个常数，使得 aₙ ≤ aₙ₊₁ ≤ bₙ₊₁ ≤ bₙ ≤ cₙ，对于任意的 n，那么如果 aₙ 的极限存在（记为 A），cₙ 的极限存在（记为 C），那么 bₙ 的极限也存在且等于 A = C。

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第26讲:压缩数列 217第26讲:压缩数列压缩映射(函数)是高等数学中的重要函数,它在数学分析、微分方程、积分方程、代数方程的研究中都有重要作用. 压缩函数定义:如果在区间[a,b]上有定义的函数f(x)满足:∀x 1,x 2∈[a,b],∃λ∈(0,1),使得:|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1 -x 2|,则称f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,λ叫做压缩系数.判定定理:如果在区间[a,b]上有定义的函数f(x)满足:∀x ∈[a,b],|f '(x)|≤k<1,则f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,且压缩系数λ=|f '(x)|max .证明:由拉格朗日中值定理:∀x 1,x 2∈[a,b],x 1≠x 2,∃ξ∈[a,b],使得:2121)()(x x x f x f --=f '(ξ)⇒|f(x 1)-f(x 2)|=|f '(ξ)||x 1-x 2|<|x 1-x 2|⇒f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,且压缩系数λ=|f '(x)|max . 性质定理:如果f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,则f(x)=x 有且只有一个解.证明:存在性:构造函数g(x)=f(x)-x,由|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1-x 2|⇒|f(a)-f(b)|<b-a ⇒a-b<f(a)-f(b)<b-a ⇒0< g(a)-g(b)<2(b-a)⇒g(a)>g(b)⇒g(a)≥0,g(b)≤0,由连续函数的介值性定理知必存在一点x 0∈[a,b]满足g(x 0)=0,即f(x 0)=x 0;唯一性:假设存在两点x 1,x 2满足:f(x 1)=x 2,f(x 2)=x 2,则由已知条件有|x 1-x 2|=|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1-x 2|<|x 1-x 2|,矛盾. 压缩函数可以用于迭代求方程的根、研究数列的极限等.证明数列的极限存在,常采用两种方法:①利用单调有界原理; ②利用压缩函数原理.压缩数列定义:如果f(x)是区间[a,b]上的压缩函数,数列{x n }满足:初始值x 1∈[a,b],x n+1=f(x n )(n ∈N +),则称数列{x n }是压缩数列.性质定理:如果数列{x n }是压缩数列,则:①|x n+1-x n |≤λn-1|x 2-x 1|;②|x n+k -x n |≤λλ--11n |x 2-x 1|;③∑-=+n i i i x x 11||<λ-11|x 2-x 1|; ④若x 0满足f(x 0)=x 0,则|x n -x 0|≤λn-1|x 1-x 0|;⑤若x 0满足f(x 0)=x 0,则|x n -x 0|≤λλ-1n|x 1-x 0|. 证明:①由|x n+1-x n |=|f(x n )-f(x n-1)|≤λ|x n -x n-1|⇒|x n+1-x n |≤λn-1|x 2-x 1|;②|x n+k -x n |=|(x n+k -x n+k-1)+(x n+k-1-x n+k-2)+…+ (x n+1-x n )|≤|x n+k -x n+k-1|+|x n+k-1-x n+k-2|+…+|x n+1-x n |≤λn+k-2|x 2-x 1|+λn+k-3|x 2-x 1|+…+λn-1|x 2-x 1|=λn-1|x 2-x 1|(1+λ+…+λk-2)<λλ--11n |x 2-x 1|;③∑-=+n i i i x x 11||<|x 2-x 1|(1+λ+…+λk-2)<λ-11|x 2-x 1|;④由|x n -x 0|=|f(x n-1)-f(x 0)|≤λ|x n-1-x 0|⇒|x n -x 0|≤λn-1|x 1-x 0|;⑤由|x n+k -x n |≤λλ--11n |x 2-x 1|⇒|x n+k -x n |≤λλ-1n |x 1-x 0|,令k →+∞,则x n+k →x 0⇒|x n -x 0|≤λλ-1n|x 1-x 0|;例1:压缩数列的初始例子.[始源问题]:(2006年广东高考试题)A 是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数f(x)组成的集合:①对任意的x ∈[1,2],都有f(2x)∈(1,2);②存在常数L(0<L<1)使得对任意的x 1,x 2∈[1,2],都有|f(2x 1)-f(2x 2)|≤L|x 1-x 2|. (Ⅰ)设f(x)=31x +,x ∈[2,4],证明:f(x)∈A;(Ⅱ)设f(x)∈A,如果存在x 0∈(1,2),使得x 0=f(2x 0),那么这样的x 0是唯一的;(Ⅲ)设f(x)∈A,任取x 1∈(1,2),令x n+1=f(2x n ),n=1,2,…,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|x k+p -x k |≤LL k --11|x 2-x 1|. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=31x +⇒f(2x)=321x +,x ∈[1,2]⇒f(2x)∈[f(2),f(4)]=[33,35]⊂(1,2);当x 1≠x 2时,|||)2()2(|2121x x x f x f --=|||2121|223231x x x x -+-+=2323231231)21(2121)21(2x x x x +++⋅+++<23)3(32<1⇒f(x)∈A; (Ⅱ)反证:假设存在x 1,x 2∈(1,2),x 1≠x 2,使得x 1=f(2x 1),x 2=f(2x 2),则|x 1-x 2|=|f(2x 1)-f(2x 2)|≤L|x 1-x 2|⇒L ≥1,矛盾.故结论成立;218 第26讲:压缩数列(Ⅲ)由f(x)∈A,任取x 1∈(1,2),x n+1=f(2x n )⇒|x n+1-x n |=|f(2x n )-f(2x n-1)|≤L|x n -x n-1|⇒|x n -x n-1|≤L n-2|x 2-x 1|⇒|x k+p -x k |= |(x k+1-x k )+(x k+2-x k+1)+…+(x k+p -x k+p-1)|≤|x k+1-x k |+|x k+2-x k+1|+…+|x k+p -x k+p-1|≤L k-1|x 2-x 1|(1+L+…+L p-1)<LL k --11|x 2-x 1|. 本题是2006年广东高考数学压轴题,高考数学压轴题,总给人一种望而生畏的感觉.很多考生一看这个题目,就被它“复杂”的形式吓倒了,望而却步,乖乖缴“械”;而不少考生压根儿就没去看这道题.本题满分12分,全省仅有3人获得满分,10分以上也才区区几十号人,平均分只有分,得分率(难度)为.[原创问题]:如果在区间[a,b]上有定义的函数f(x)满足:∀x 1,x 2∈[a,b],∃λ∈(0,1),使得:|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1-x 2|,则称f(x)是区间[a,b]上的压缩函数.给出函数f(x)=321+x .(Ⅰ)求证:f(x)是区间[1,2]上的压缩函数;(Ⅱ)数列{x n }满足:x 1=3,x n+1=f(x n ),求证:|x k+p -x k |≤(21)k+1. [解析]:(Ⅰ)当x 1≠x 2时,|||)()(|2121x x x f x f --=|||11|22322321x x x x -+-+=2322322321232121)1(11)1(||+++⋅++++x x x x x x <23)2(34<1⇒∀x 1,x 2∈[1,2],|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1-x 2|,其中,λ=23)2(34<1⇒f(x)是区间[1,2]上的压缩函数;(Ⅱ)由f(x)=321+x ⇒f '(x)=3)1(2322-+x x >0⇒f ''(x)=92(x 2+1)35-(3-x 2)⇒0<f '(x)≤f '(3)=3231⋅<21⇒|f(x 1)-f(x 2)|≤21|x 1-x 2|⇒|x n+1-x n |=|f(x n )-f(x n-1)|≤21|x n -x n-1|⇒|x n+1-x n |≤(21)n-1|x 2-x 1|⇒|x k+p -x k |=|(x k+1-x k )+(x k+2-x k+1)+… +(x k+p -x k+p-1)|≤|x k+1-x k |+|x k+2-x k+1|+…+|x k+p -x k+p-1|≤(21)k-1|x 2-x 1|[1+21+…+(21)p-1]<(21)k|x 2-x 1|=(21)k|2-3|<(21)k+1.例2:压缩数列的另一例子.[始源问题]:(2011年年广州一模数学试题)已知函数y=f(x)的定义域为R ,且对于任意x 1,x 2∈R ,存在正实数L,使得:|f(x 1)-f(x 2)|≤L|x 1-x 2|都成立. (Ⅰ)若f(x)=21x +,求L 的取值范围;(Ⅱ)当0<L<1时,数列{a n }满足a n+1=f(a n ),n=1,2,…. (i)证明:∑-=+ni i i a a 11||<L-11|a 1-a 2|; (ii)令A k =k a a a k +⋅⋅⋅++21(k=1,2,3,…),证明:∑-=+n i i i A A 11||<L -11|a 1-a 2|.[解析]:(Ⅰ)对任意x 1,x 2∈R ,有|f(x 1)-f(x 2)|=|211x +-221x +|=32212111||x x x x ++++|x 1-x 2|;由|f(x 1)-f(x 2)|≤L|x 1-x 2|⇒32212111||x x x x ++++|x 1-x 2|≤L|x 1-x 2|⇒32212111||x x x x ++++≤L;又由211x +>|x 1|,221x +>|x 2|⇒211x ++221x +>|x 1|+|x 2|≥|x 1+x 2|⇒32212111||x x x x ++++<1⇒L ≥1⇒L 的取值范围是[1,+∞);(Ⅱ)(i)由|a n -a n+1|=|f(a n-1)-f(a n )|≤L|a n-1-a n |⇒|a n -a n+1|≤L n-1|a 1-a 2|⇒∑-=+ni i i a a 11||≤(1+L+…+L n-1)|a 1-a 2|<L-11|a 1-a 2|; 第26讲:压缩数列 219(ii)由A k =k a a a k +⋅⋅⋅++21⇒|A k -A k+1|=|k a a a k +⋅⋅⋅++21-1121+++⋅⋅⋅+++k a a a a k k |=)1(1+k k |(k+1)(a 1+a 2+…+a k )-k(a 1+a 2+…+a k +a k+1)|=)1(1+k k |a 1+a 2+…+a k -ka k+1|=)1(1+k k |(a 1-a 2)+2(a 2-a 3)+3(a 3-a 4)+…+k(a k -a k+1)|≤)1(1+k k (|a 1-a 2|+2|a 2-a 3|+3|a 3-a 4|+…+k|a k -a k+1|)⇒∑-=+ni i i A A 11||=|A 1-A 2|+|A 2-A 3|+…+|A n -A n+1|≤211⋅|a 1-a 2|+321⋅(|a 1-a 2|+2|a 2-a 3|)+…+)1(1+n n (|a 1-a 2|+2|a 2-a 3|+3|a 3-a 4|+…+n|a n -a n+1|)=|a 1-a 2|[211⋅+321⋅+…+)1(1+n n ]+2|a 2-a 3|[321⋅+…+)1(1+n n ]+3|a 3-a 4|[431⋅+…+)1(1+n n ]+…+n|a n -a n+1|⋅)1(1+n n =|a 1-a 2|(1-11+n )+|a 2-a 3|(1-12+n )+|a 3-a 4|(1-13+n )+…+|a n -a n+1|(1-1+n n )<∑-=+n i i i a a 11||<L-11|a 1-a 2|. 本题揭示了压缩函数的根本问题:如何求压缩系数的最小值常采用两种方法:①利用不等式放缩,求|||)()(|2121x x x f x f --的最大值;②利用导数,求|f '(x)|的最大值.本题的亮点是由A k =ka a a k +⋅⋅⋅++21到|A k -A k+1|=)1(1+k k |(a 1-a 2)+2(a 2-a 3)+3(a 3-a 4)+…+k(a k -a k+1)|的变换.由|a n -a n+1|≤L n-1|a 1-a 2|⇒|A k -A k+1|≤)1(1+k k |a 1-a 2|(1+2L+3L 2+…+kL k-1)<)1(1+k k 221)1(||L a a --.[原创问题]:如果在区间D 上有定义的函数f(x)满足:∀x 1,x 2∈D,∃λ∈(0,1),使得:|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1-x 2|,则区间D 叫做函数f(x)的压缩区间,λ叫做函数f(x)的压缩系数. (Ⅰ)若f(x)=21+x 的压缩区间为(0,+∞),求f(x)压缩系数λ的最小值; (Ⅱ)若数列{x n }满足x 1=2,x n+1=21+n x ,令a k =k x x x k +⋅⋅⋅++21(k=1,2,3,…),证明:∑-=+n i i i a a 11||<73. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=21+x ⇒|f(x 1)-f(x 2)|=|211+x -212+x |=)2)(2(121++x x |x 1-x 2|;而)2)(2(121++x x <41⇒λ≥41⇒λ的最小值=41; (Ⅱ)由|x n -x n+1|=|f(x n-1)-f(x n )|≤41|x n-1-x n |⇒|x n -x n+1|≤(41)n-1|x 1-x 2|=(41)n-1|2-(1-22)|<3(41)n ;又由a k =k x x x k +⋅⋅⋅++21⇒|a k -a k+1|=|k x x x k +⋅⋅⋅++21-1121+++⋅⋅⋅+++k x x x x k k |=)1(1+k k |(k+1)(x 1+x 2+…+x k )-k(x 1+x 2+…+x k +x k+1)|=)1(1+k k |x 1+x 2+…+x k -kx k+1|=)1(1+k k |(x 1-x 2)+2(x 2-x 3)+3(x 3-x 4)+…+k(x k -x k+1)|≤)1(1+k k (|x 1-x 2|+2|x 2-x 3|+3|x 3-x 4|+…+k|x k -x k+1|)⇒∑-=+ni i i a a 11||=|a 1-a 2|+|a 2-a 3|+…+|a n -a n+1|≤211⋅|x 1-x 2|+321⋅(|x 1-x 2|+2|x 2-x 3|)+…+)1(1+n n (|x 1-x 2|+2|x 2-x 3|+3|x 3-x 4|+…+n|x n -x n+1|)=|x 1-x 2|[211⋅+321⋅+…+)1(1+n n ]+2|x 2-x 3|[321⋅+…+)1(1+n n ]+3|x 3-x 4|[431⋅+…+)1(1+n n ]+…+n|x n -x n+1|⋅)1(1+n n=|x 1-x 2|(1-11+n )+|x 2-x 3|(1-12+n )+|x 3-x 4|(1-13+n )+…+|x n -x n+1|(1-1+n n )<13+n [n(41)1+(n-1)(41)2+…+(41)n ]=nn 4)1(3+ (1+2×4+3×42+…+n ×4n-1)=nn 4)1(3+[(143n+211)4n-211]=7723++n n -n n 4)1(71+<7723++n n <73.例3:压缩数列的应用.220 第26讲:压缩数列 [始源问题]:(2009年陕西高考试题)己知数列{x n }满足:x 1=21,x n+1=nx +11,n ∈N *. (Ⅰ)猜想数列{x 2n }的单调性,并证明你的结论; (Ⅱ)证明:|x n+1-x n |≤61(52)n-1. [解析]:(Ⅰ)数列{x 2n }的单调递减;由x 1=21,x n+1=nx +11⇒x n >0,且x 2n+2=1211++n x =nx 21111++=n n x x 2221++⇒x 2n -x 2n+2=222221--++n n x x -n n x x 2221++=)2)(2(222222n n n n x x x x ++---,由x 2=32>85=x 4,用数学归纳法即证; (Ⅱ)由x n+1=n x +11⇒|x n+1-x n |=|n x +11-111-+n x |=)1)(1(11-++n n x x |x n -x n-1|,而当n ≥2时,0<x n-1<1⇒1+x n-1<2⇒x n =111-+n x >21⇒(1+x n )(1+x n-1)=(1+111-+n x )(1+x n-1)=2+x n-1≥25⇒|x n+1-x n |≤52|x n -x n-1|⇒|x n+1-x n |≤|x 2-x 1|(52)n-1=61(52)n-1.该题脱去了压缩函数的外衣,利用压缩函数在,第(Ⅱ)问还有如下解法:压缩函数f(x)=x +11(x ≥32)⇒f '(x)=-2)1(1x +⇒|f '(x)|=2)1(1x +≤259⇒压缩系数λ=259⇒|x n+1-x n |≤259|x n -x n-1|⇒|x n+1-x n |≤|x 2-x 1|(259)n-1=61(259)n-1<61(52)n-1. [原创问题]:己知数列{x n }满足:x 1=2a(a>0),x n+1=41(3x n +34nx a ),n=1,2,3,….(Ⅰ)求证:对任意的正整数k,|x n+k -x n |<825a (43)n-1; (Ⅱ)求证:|x n -a|≤a(43)n-1. [解析]:(Ⅰ)考察压缩函数f(x)=41(3x+34xa )(x ≥a)⇒f '(x)=43(1-44x a )⇒|f '(x)|=43|1-44xa |<43⇒压缩系数λ= 43;用初等方法证:|f(x 1)-f(x 2)|=41|3(x 1-x 2)+a 4(311x -321x )|=41|x 1-x 2||3-32312221214)(x x x x x x a ++|≤43|x 1-x 2|⇒|x n+1-x n |≤43|x n -x n-1|⇒|x n+1-x n |≤|x 2-x 1|(43)n-1=3225a (43)n-1⇒|x n+k -x n |=|(x n+k -x n+k-1)+(x n+k-1-x n+k-2)+…+(x n+1-x n )|≤|x n+k -x n+k-1|+|x n+k-1-x n+k-2|+…+|x n+1-x n |≤(43)n+k-2|x 2-x 1|+(43)n+k-3|x 2-x 1|+…+(43)n-1|x 2-x 1|=(43)n-1|x 2-x 1|[1+43+…+(43)k-2]<825a (43)n-1;λλ--11n |x 2-x 1|; (Ⅱ)由f(a)=a ⇒|x n -a|=|f(x n-1)-f(a)|≤43|x n-1-a|⇒|x n -a|≤(43)n-1|x 1-a|=a(43)n-1. 例4:压缩数列的解法程序.[始源问题]:(2009年重庆高考试题)已知a 1=1,a 2=4,a n+2=4a n+1+a n ,b n =nn a a1+,n ∈N*.(Ⅰ)求b 1、b 2、b 3的值;(Ⅱ)设c n =b n b n+1,S n 为数列{c n }的前n 项和,求证:S n ≥17n. (Ⅲ)求证:|b 2n -b n |<6412171-⋅n . 第26讲:压缩数列 221 [解析]:(Ⅰ)由a 1=1,a 2=4,b n =nn a a1+⇒b 1=4;又由a n+2=4a n+1+a n ⇒12++n n a a =4+1+n n a a ⇒b n+1=4+n b 1⇒b 2=417,b 3=1772;(Ⅱ)由b n+1=4+nb 1⇒b n ≥4⇒c n =b n b n+1=4b n +1≥17⇒S n =c 1+c 2+…+c n ≥17n; (Ⅲ)因|b n+1-b n |=|(4+n b 1)-(4+11-n b )|=n n b b 11-|b n -b n-1|≤171|b n -b n-1|⇒|b n+1-b n |≤(171)n-1|b 2-b 1|=41(171)n-1⇒|b 2n -b n |=|(b n+1-b n )+(b n+2-b n+1)+…+(b 2n -b 2n-1)|≤|b n+1-b n |+|b n+2-b n+1|+…+|b 2n -b 2n-1|≤41(171)n-1[1+171+…+(171)n-1]<6412171-⋅n . 我们知道,如果数列{x n }是压缩数列,则:①|x n+1-x n |≤λn-1|x 2-x 1|;②|x n+k -x n |≤λλ--11n |x 2-x 1|;③∑-=+n i i i x x 11||<λ-11|x 2-x 1|; ④若x 0满足f(x 0)=x 0,则|x n -x 0|≤λn-1|x 1-x 0|;⑤若x 0满足f(x 0)=x 0,则|x n -x 0|≤λλ-1n|x 1-x 0|.⑥若a k =kx x x k +⋅⋅⋅++21(k=1,2,3,…),则∑-=+ni i i a a 11||<λ-11|x 1-x 0|.其中,①是基本不等式,即其他不等式均由①式导出;不等式①的构造程序是:首先由x 1= a,x n+1=f(x n ),确定x n 的取值范围D,然后确定λ:当x ∈D 时,|f '(x)|≤λ,最后利用不等放缩证明:|f(x 1)-f(x 2)|≤λ|x 1-x 2|,由此即得不等式①.[原创问题]:己知数列{x n }满足:x 1=2a ,a ∈[0,1],x n+1=2a -22nx ,n=1,2,3,…. (Ⅰ)求证:|x n+k -x n |≤a -21(2a )n+1; (Ⅱ)令a k =k x x x k +⋅⋅⋅++21(k=1,2,3,…),证明:∑-=+n i i i a a 11||<a a 482-.[解析]:(Ⅰ)由x 1=2a ,a ∈[0,1],x n+1=2a -22n x ⇒0≤x n ≤2a ;我们在区间[0,2a ]上考虑函数f(x)=2a -22x ⇒|f '(x)|=|-x|=x ∈[0,2a ]⇒λ=2a ;以下用初等方法:|f(x 1)-f(x 2)|=2||21x x +|x 1-x 2|≤2a |x 1-x 2|⇒|x n+1-x n |≤(2a )n-1|x 2-x 1|=21(2a )n+1⇒|x n+k -x n |=|(x n+k -x n+k-1)+(x n+k-1-x n+k-2)+…+(x n+1-x n )|≤|x n+k -x n+k-1|+|x n+k-1-x n+k-2|+…+|x n+1-x n |≤(2a )n+k-2|x 2-x 1|+(2a )n+k-3|x 2- x 1|+…+(2a )n-1|x 2-x 1|=(2a )n-1|x 2-x 1|(1+2a +…+(2a )k-2)<a -21(2a )n+1;(Ⅱ)由a k =kx x x k +⋅⋅⋅++21⇒|a k -a k+1|=|k x x x k +⋅⋅⋅++21-1121+++⋅⋅⋅+++k x x x x k k |=)1(1+k k |(k+1)(x 1+x 2+…+x k )-k(x 1+x 2+…+x k +x k+1)|=)1(1+k k |x 1+x 2+…+x k -kx k+1|=)1(1+k k |(x 1-x 2)+2(x 2-x 3)+3(x 3-x 4)+…+k(x k -x k+1)|≤)1(1+k k (|x 1-x 2|+2|x 2-x 3|+3|x 3-x 4|+…+k|x k -x k+1|)⇒∑-=+ni i i a a 11||=|a 1-a 2|+|a 2-a 3|+…+|a n -a n+1|≤211⋅|x 1-x 2|+321⋅(|x 1-x 2|+2|x 2-x 3|)+…+)1(1+n n (|x 1-x 2|+2|x 2-x 3|+3|x 3-x 4|+…+n|x n -x n+1|)=|x 1-x 2|[211⋅+321⋅+…+)1(1+n n ]+2|x 2-x 3|[321⋅+…+)1(1+n n ]+3|x 3-x 4|[431⋅+…+)1(1+n n ]+…+n|x n-x n+1|⋅)1(1+n n =|x 1-x 2|(1-11+n )+|x 2-x 3|(1-12+n )+|x 3-x 4|(1-13+n )+…+|x n -x n+1|(1-1+n n )<|x 1-x 2|+|x 2-x 3|+|x 3-x 4|+…+|x n -x n+1|<21∑=+n i i a 11)2(<a a 482-. 例5:压缩数列的极限.222 第26讲:压缩数列 [始源问题]:(2005年辽宁高考试题)己知函数f(x)=13++x x (x≠-1).设数列{a n }满足:a 1=1,a n+1=f(a n ),数列{b n }满足:b n =|a n -3|,S n =b 1+b 2+…+b n (n ∈N*).(Ⅰ)证明:b n ≤12)13(--n n; (Ⅱ)证明:S n <332. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=x ⇒13++x x =x ⇒x=±3.所以,b n+1=|a n+1-3|=|13++n n a a -3|=|113+-n a ||a n -3|,又因a n ≥1,所以,|113+-n a |≤213-⇒b n+1<213-b n ⇒b n ≤12)13(--n n ; (Ⅱ)由b n ≤12)13(--n n ⇒S n <2131|31|---=332.数列{a n }满足:a 1=a,a n+1=f(a n ),其函数f(x)的一个不动点为α,要证|a n -α|<|a-α|M n-1.分三步:一是由a n+1=f(a n )得|a n+1-α|=g(a n )|a n -α|;二是证明0<g(a n )<M;三是利用|a n+1-α|<M|a n -α|递推,即得|a n -α|<|a-α|M n-1.[原创问题]:己知数列{x n }满足:x 0=a>0,x n+1=1+nx 1,n=1,2,3,…. (Ⅰ)求证:当n ≥4时,|x n+1-x n |≤32|x n -x n-1|; (Ⅱ)证明:对任意正整数n,存在正常数M,使得:|x n -215+|<M(32)n. [解析]:(Ⅰ)由x 0=a>0,x n+1=1+n x 1⇒当n ≥1时,x n >1⇒x n+1=1+n x 1<2⇒x n+2=1+11+n x ≥1+21=23⇒当n ≥4时,|x n+1-x n |=|(1+n x 1)-(1+11-n x )=n n x x 11-|x n -x n-1|≤(32)2|x n -x n-1|≤32|x n -x n-1|;(Ⅱ)当n=1,2,3时,显然成立;当n ≥4时,|x n -215+|=12151-+n x |x n-1-215+|<)15(34+|x n-1-215+|<32|x n-1-215+| ⇒|x n -215+|<|x 4-215+|(32)n-4;令M=|x 4-215+|(23)4⇒|x n -215+|<M(32)n.例6:压缩数列的变式.[始源问题]:(2009年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知数列{a n }中,a 1>0,且a n+1=23na +. (Ⅰ)试求a 1的取值范围,使得a n+1>a n 对任何正整数n 都成立;(Ⅱ)若a 1=4,设b n =|a n+1-a n |(n=1,2,3,…),并以S n 表示数列{b n }的前n 项的和,证明:S n <25. [解析]:(Ⅰ)研究函数f(x)=23x +(x>0),则f(x)>x ⇔0<x<23.且当0<x<23时,0<f(x)<23.由a n+1>a n ⇒a 2>a 1⇒0<a 1< 23,以下用数学归纳法证; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a 1=4时,a n+1<a n ⇒b n =|a n+1-a n |=a n -a n+1⇒S 4=a 1-a n+1,(a n+1>23)<4-23=25. [原创问题]:已知函数f(x)=44716++x x ,数列{a n },{b n }满足a 1>0,b 1>0,a n =f(a n-1),b n =f(b n-1),n=2,3,….(Ⅰ)求a 1的取值范围,使得对任意的正整数n,都有a n+1>a n ; (Ⅱ)若a 1=3,b 1=4,求证:0<b n -a n ≤181-n ,n=1,2,3,….[解析]:(Ⅰ)f(x)>x ⇔0<x<27.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a 1=3时,3≤a n <27;当b 1=4时,4≥b n >27⇒0<b n -a n ;b n+1-a n+1=49)1)(1(1++n n b a (b n -a n )<81(b n -a n ).。