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湖南省蓝山二中高一数学《3.1.1 直线的倾斜角与斜率（1）》教案新人教A版必修2一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》（人教版）第三章直线方程第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时。
直线的倾斜角与斜率是高中数学重要内容之一，有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面, 直线的倾斜角与斜率与一次函数密不可分；另一方面,学习直线的倾斜角与斜率也为进一步学习直线方程等内容做好准备。
二、学生学习情况分析本节课学生很容易在以下两个地方产生错误或困惑：1.由正切函数的单调性得到倾斜角与斜率的变化关系;2. 斜率计算公式的运用.三、教学目标知识与技能1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．2.理解直线的倾斜角的唯一性.3.理解直线的斜率的存在性.4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观1.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神四、教学重点，难点重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式.难点：斜率公式的应用。
五、教学过程(一)．复习旧知问题1:正切函数的定义及定义域问题2: 正切函数的图象与单调性(二).问题情境问题3:对于平面直角坐标系内的一条直线,它的位置由哪些条件确定呢?我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同.问题4:怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?(三).形成定义定义1:直线倾斜角的概念： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角 注意:当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.。
3.2.1《直线的点斜式方程》导学案【学习目标】 1、知识与技能：（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系. 2、过程与方法：在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素----直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。
3、情感态度与价值观：通过让体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。
【重点难点】（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
【学法指导】1、先浏览教材，再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号。
2、牢记直线的点斜式方程形式，注意适用条件。
3、要求小班、重点班学生全部完成，平行班学生完成A 、B 类问题。
【知识链接】1．直线倾斜角的概念 2. 直线的斜率两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直． 【学习过程】A 问题1、在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？B 问题2、直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k 。
设点),(y x P 是直线l 上的任意一点，请建立y x ,与00,,y x k 之间的关系。
A 问题3、（1）过点),(000y x P ，斜率是k 的直线l 上的点，其坐标都满足方程（1） （2）坐标满足方程（1）的点都在经过),(000y x P ，斜率为k 的直线l 上吗？B 问题4、直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？B 问题5、（1）x 轴所在直线的方程是什么？y 轴所在直线的方程是什么？（2）经过点),(000y x P 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是什么？（3）经过点),(000y x P 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是什么？.l l lα︒A 例１直线经过点P(-3,2)，且倾斜角为=45，求直线的点斜式方程，并画出直线A 问题7、已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b ，求直线l 的方程。
高中数学人教A版选修一2.1.1 倾斜角与斜率【教学目标】1、探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程。
2、通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。
3、充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面，刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想。
4、经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。
【教学重难点】重点：倾斜角、斜率、过两点的直线的斜率公式；难点：斜率。
【教学过程】（一）新知引入1.综合法与坐标法；2.解析几何相关内容介绍；（二）新课讲授问题1：直线是最简单的几何图形之一。
确定一条直线的几何要素是什么?师生活动：学生独立思考后回答，教师总结：一点+一个方向。
追问：观察以下过同一点A的直线，它们有何区别？你能找出一个量来区分它们吗？师生活动：对直线的方向进行规定后，引导学生观察这些直线与坐标系之间所蕴含的位置关系，为后续倾斜角的引出做铺垫。
明确定义：直线的倾斜角：当直线 l 与x 轴相交时，我们以x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上的方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角．规定：当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°追问：下图中哪些角是直线的倾斜角？想一想：直线的倾斜角的范围是什么？师生活动：通过两个问题，加强学生对直线的倾斜角这一概念的理解，并指出：任何一条直线都有一个倾斜角与之对应，直线的方向不同，直线的倾斜程度不同，倾斜角也不相等。
练习：说出如图所示直线的倾斜角问题2：直线l 的倾斜角从形的角度刻画了直线的方向，能否用代数的方法刻画直线方向？α与P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2)两点的坐标有什么内在联系？1800<≤α探究：在平面直角坐标系中，设l 直线的倾斜角为α .（1）已知直线l 经过O (0,0), P (√3，1) ,α与O , P 的坐标有什么关系？ （2）类似地,若直线l 经过P 1(−1,1), P 2(√2,0) ,α与P 1, P 2的坐标又有什么关系？（3）一般地,若直线l 经过P 1(x 1,y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠ x 2) ,那么α与P 1,P 2的坐标有怎样的关系？问题3：这个关系式对任意给定的两点都适用吗？追问：这个关系式的意义是什么？联系生活实际想一想。
山西省朔州市平鲁区李林中学高中数学 直线的点斜式方程 （2）导学案 新人教A 版必修25. 已知三角形的三个顶点(2,2),(3,2),(3,0)A B C -，求这个三角形的三边所在的直线方程.二、知新例1.已知直线111222:;:l y k x b l y k x b =+=+，试讨论：（1）1l ∥2l 的条件是什么？（2）12l l ⊥的条件是什么？变式1：判断下列各对直线是否平行或垂直；（1）1211:3,:222l y x l y x =+=- （2）1253:,:35l y x l y x ==- 2.求经过点(1,2)且与直线23y x =-平行的直线方程.3.求经过点（-2，-2），且与直线35y x =-垂直的直线方程例2.求与直线4350x y -+=垂直，且与坐标轴围成面积为24的直线方程变式：直线l 过点(2,3)P -且与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程.三、当堂检测1.直线的方程00()y y k x x -=-（ ）A.可以表示任何直线B.不能表示过原点的直线C.不能表示与y 轴垂直的直线D.不能表示与x 轴垂直的直线2.方程1y ax a=+表示的直线可能是（ ）3.若k<0,b<0,则直线y=kx+b 一定不过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知直线12:,:,l y kx b l y bx k =+=+则可以表示它们的图像的是（ ）5.直线l ：y-3=k(x+1)必经过定点 ；若l 的倾斜角为120°,则l 的纵截距是6.直线l 的倾斜角是直线1y x =+的倾斜角的两倍，且过定点P （3,3），则直线l 的方程为7.k 取不同实数时，方程2kx+y+1-6k=0表示不同的直线，这些直线都过一定点P ，则P 的坐标为8.已知直线l 与直线230x y +=有相同的斜率，且经过点（-1,2），求直线l 的点斜式方程9.已知三角形的三个顶点是A （4,0），B （6,7），C （0,3）求BC 边上的高所在直线的方程10.已知直线l 始终与直线y=2x+3垂直，且与直线y-2=k(x-1)相交，求直线l 的斜截式方程.。
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系（习题课）学习目标1.理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；2. 掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；3. 会判断异面直线，掌握异面直线的求法；4. 会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系.学习过程一、课前准备40~ P 50，找出疑惑之处） 复习1：概念与性质⑴平面的特征和平面的性质(三个公理)； ⑵平行公理、等角定理；⑶直线与直线的位置关系⎧⎪⎨⎪⎩平行相交异面 ⑷直线与平面的位置关系⎧⎪⎨⎪⎩在平面内相交平行⑸平面与平面的位置关系⎧⎨⎩平行相交复习2：异面直线夹角的求法：平移线段作角，解三角形求角.复习3：图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系⑴点与线、点与面的关系； ⑵线与线、线与面的关系； ⑶面与面的关系.二、新课导学※ 典型例题例1 如图4-1,ABC ∆在平面α外，AB P α=，BC Q α=，AC R α=， 求证：P ,Q ,R 三点共线.图4-1小结：证明点共线的基本方法有两种⑴找出两个面的交线，证明若干点都是这两个平面的公共点，由公理3可推知这些点都在交线上，即证若干点共线.⑵选择其中两点确定一条直线，证明另外一些点也都在这条直线上.例2 如图4-2,空间四边形ABCD中，E,F分别是AB和CB上的点，G,H分别是CD和AD 上的点，且EH FG与相交于点K.求证：EH,BD,FG三条直线相交于同一点.图4-2小结：证明三线共点的基本方法为：先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明此点是二直线所在平面的公共点，第三条直线是两个平面的交线，由公理3得证这三线共点.例3 如图4-3,如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的12条棱中，共有异面直线多少对?图4-3反思：分析清楚几何特点是避免重复计数的关键，计数问题必须避免盲目乱数，分类时要不重不漏.※动手试试练1. 如图4-4,是正方体的平面展开图,则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN是异面直线其中正确命题的序号是（）图4-4A.①②③B.②④C.③④D.②③④练2. 如图4-5，在正方体中，E,F分别为AB、AA'的中点，求证：CE,DF',DA三线交于一点.图4-5练3. 由一条直线和这条直线外不共线的三点,能确定平面的个数为多少?小结：分类讨论的数学思想三、总结提升※ 学习小结1. 平面及平面基本性质的应用；2. 点、线、面的位置关系；3. 异面直线的判定及夹角问题.※ 知识拓展异面直线的判定方法：①定义法：利用异面直线的定义，说明两直线不平行，也不相交，即不可能在同一个平面内.②定理法：利用异面直线的判定定理说明.③反证法(常用)：假设两条直线不异面，则它们一定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然后根据题设条件推出矛盾.学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 直线1l ∥2l ,在1l 上取3个点，在2l 上取2个点，由这5个点确定的平面个数为（ ）. A.1个 B.3个 C.6个 D.9个2. 下列推理错误的是（ ）.A.A l ∈,A α∈,B l ∈,B α∈l α⇒⊂B.A α∈,A β∈,B α∈,B β∈AB αβ⇒=C.l α⊄,A l A α∈⇒∉D.A ,B ,C α∈, A ,B ,C β∈,且A ,B ,C 不共线αβ⇒与重合3. a ,b 是异面直线,b ,c 是异面直线，则a ,c 的位置关系是（ ）. A.相交、平行或异面 B.相交或平行 C.异面 D.平行或异面4. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则它与另一平面____________.5. 垂直于同一条直线的两条直线位置关系是__________________；两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条和这条直线______.课后作业'与CN所成的角.1. 如图4-6,在正方体中M,N分别是AB和DD'的中点，求异面直线B M图4-62. 如图4-7,已知不共面的直线a,b,c相交于O点，M,P点是直线α上两点，N,Q分别是直线b,c上一点.求证：MN和PQ是异面直线.。
3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计一、教学目标（1）知识与技能：正确理解直线倾斜角和斜率的概念。
理解直线倾斜角的唯一性。
理解直线斜率的存在性。
斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。
（2）过程与方法：经历用代数方法刻画直线斜率的过程，初步掌握过已知两点的直线的斜率计算公式，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想和数形结合思想。
（3）情感态度与价值观：通过教学，使学生从生活中的坡度，自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于实际生活，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想。
二、教学重点与难点重点：直线倾斜角和斜率的概念及斜率与倾斜角的关系。
难点：倾斜角与斜率的关系的探究。
三、教学方法计算机辅助教学与发现法相结合。
即在多媒体课件支持下，让学生在教师引导下，积极探索，亲身经历概念的发现与形成过程，体验公式的推导过程，主动建构自己的认知结构。
四、教学过程（一）创设情境，揭示课题北盘江大桥由云贵两省合作共建，全长1341.4米，桥面到谷底垂直高度565米，相当于200层楼高——这也是世界最高的桥梁：大桥主桥采用主跨720m 钢桁架梁斜拉桥方案，为目前世界最大跨径的钢桁架梁斜拉桥。
于2016年12月29日通车，云南宣威城区至贵州六盘水的车程将从此前的5个小时左右，缩短为1个多小时。
桥梁上斜拉钢丝与桥面形成了之间具有不同的倾斜程度，这就是我们这节课所要研究的内容。
（二）新课探究，形成新知（1）动动手，画出满足条件的直线 1）在平面直角坐标系中画一条直线 2）在平面直角坐标系中画一条过原点的直线3）在平面直角坐标系中画一条与x 轴正方向所成的角为30°的直线4）在平面直角坐标系中画一条过原点且与x 轴正方向所成的角为 30°的直线（2）动动脑，回答下列问题1）在平面直角坐标系中，怎样确定一条直线的位置呢？ 2）在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件： 1.两点可以确定一条直线2. 已知直线上一点和这条直线的方向 （3）直线的方向——倾斜角的概念形成问题：在如图的平面直角坐标系中，以哪个角刻画倾斜程度？倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角。
_3.1直线的倾斜角与斜率3．1.1倾斜角与斜率[提出问题]在平面直角坐标系中，直线l经过点P.问题1：直线l的位置能够确定吗？提示：不能．问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？提示：无数条．问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？提示：倾斜程度不同．[导入新知]1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l 的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.2．倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.3．倾斜角与直线形状的关系[化解疑难]对直线的倾斜角的理解(1)倾斜角定义中含有三个条件：①x 轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角．(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x 轴的倾斜程度．(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.[提出问题]日常生活中，常用坡度(坡度＝升高量前进量)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度32＞22.问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？提示：可以．问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？提示：可以．问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？ 提示：与倾斜角的正切值相等． [导入新知]1．斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α.2．斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.当x 1＝x 2时，直线P 1P 2没有斜率．3．斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．[化解疑难]1．倾斜角α与斜率k 的关系(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x 轴(平行于y 轴或与y 轴重合)．(2)直线的斜率也反映了直线相对于x 轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大．2．斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说， 如果分子是y 2－y 1，分母必须是x 2－x 1；反过来，如果分子是y 1－y 2，分母必须是x 1－x 2，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 2－y 1x 2－x 1.(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．[例1] (1)若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成30°角，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．30°或150°D ．60°或120°(2)下列说法中，正确的是( )A ．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB ．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC ．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0D ．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α[解析] (1)如图，直线l 有两种情况，故l 的倾斜角为60°或120°.(2)对于A ，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B ，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C ，当直线平行于x 轴时，α＝0°，sin α＝0，故C 不正确，故选D.[答案] (1)D (2)D [类题通法]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [活学活用]1．直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角范围是( ) A ．[0°，90°) B ．[90°，180°) C ．(90°，180°)D ．(0°，180°)解析：选C 直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，又直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角范围是(90°，180°)．2．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°解析：选D 当0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角是α＋45°.当135°≤α＜180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l 1的倾斜角为α－135°，故应选D.[例2] (1)已知过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y ＝________； (2)过点P (－2，m )，Q (m,4)的直线的斜率为1，则m 的值为________； (3)已知过A (3,1)，B (m ，－2)的直线的斜率为1，则m 的值为________． [解析] (1)直线AB 的斜率k ＝tan 135°＝－1， 又k ＝－3－y 2－4，由－3－y 2－4＝－1，得y ＝－5.(2)由斜率公式k ＝4－mm ＋2＝1，得m ＝1.(3)当m ＝3时，直线AB 平行于y 轴，斜率不存在． 当m ≠3时，k ＝－2－1m －3＝－3m －3＝1，解得m ＝0.[答案] (1)－5 (2)1 (3)0 [类题通法]利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P 1，P 2的先后顺序无关，也就是说公式中的x 1与x 2，y 1与y 2可以同时交换位置．[活学活用]3．(2012·河南平顶山高一调研)若直线过点 (1,2)，(4，2＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°解析：选A 设直线的倾斜角为α， 直线斜率k ＝(2＋3)－24－1＝33，∴tan α＝33. 又∵0°≤α＜180°，∴α＝30°.[例3] 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求yx 的最大值和最小值．[解] 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得yx 的最大值为2，最小值为23.[类题通法]根据题目中代数式的特征，看是否可以写成y 2－y 1x 2－x 1的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题．[活学活用]4．点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，求y ＋1x ＋1的取值范围．解：y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率．∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈[2,5]， ∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)． ∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53.∴y ＋1x ＋1的取值范围为[－16，53]．6.倾斜角与斜率的关系[典例] 已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (1,0)的直线l 与线段AB 有公共点，则l 的倾斜角的取值范围________；直线l 的斜率k 的取值范围________．[解析] 如图，由题意可知k P A ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1，则直线l 的倾斜角介于直线PB 与P A 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，P A 的倾斜角是135°，∴直线l 的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°；要使l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1.[答案] 45°≤α≤135° k ≤－1或k ≥1 [易错防范]1．本题易错误地认为－1≤k ≤1，结合图形考虑，l 的倾斜角应介于直线PB 与直线P A 的倾斜角之间，要特别注意，当l 的倾斜角小于90°时，有k ≥k PB ；当l 的倾斜角大于90°时，则有k ≤k P A .2.如图，过点P 的直线l 与直线段AB 相交时，因为过点P 且与x 轴垂直的直线PC 的斜率不存在，而PC 所在的直线与线段AB 不相交，所以满足题意的斜率夹在中间，即k P A ≤k ≤k PB .解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线是夹在中间还是在两边．[成功破障]已知直线l 过点P (3,4)，且与以A (－1,0)，B (2,1)为端点的线段AB 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：∵直线P A 的斜率k P A ＝4－03－(－1)＝1，直线PB 的斜率k PB ＝4－13－2＝3，∴要使直线l与线段AB 有公共点，k 的取值范围为[1,3]．[随堂即时演练]1．关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是( ) A ．任一直线都有倾斜角，都存在斜率 B ．倾斜角为135°的直线的斜率为1C ．若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan αD ．直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)解析：选D 任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为90°时，斜率不存在．所以A 、C 错误；倾斜角为135°的直线的斜率为－1，所以B 错误；只有D 正确．2．已知经过两点(5，m )和(m,8)的直线的斜率等于1，则m 的值是( ) A ．5 B ．8 C.132D ．7解析：选C 由斜率公式可得8－m m －5＝1，解之得m ＝132.3．直线l 经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角为________． 解析：k l ＝1－0－1－0＝－1，因此倾斜角为135°. 答案：135°4．已知三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，实数a 的值为________．解析：∵A 、B 、C 三点共线， ∴k AB ＝k BC ，即53－a＝9a ＋75，∴a ＝2或29.答案：2或295．已知A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1,4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，求m 的值．解：由题意直线AC 的斜率存在，即m ≠－1. ∴k AC ＝(－m ＋3)－4m ＋1，k BC ＝(m －1)－42－(－1).∴(－m ＋3)－4m ＋1＝3·(m －1)－42－(－1).整理得：－m －1＝(m －5)(m ＋1)， 即(m ＋1)(m －4)＝0， ∴m ＝4或m ＝－1(舍去)． ∴m ＝4.[课时达标检测]一、选择题1．给出下列说法，正确的个数是( )①若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等； ②一条直线的倾斜角为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条；④直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A 若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，①错；直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)，②错；所有垂直于y 轴的直线倾斜角均为0°，③错；不同的直线可以有相同的倾斜角，④错．2．过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y ＝( ) A ．－32B.32C ．－1D ．1解析：选C tan 45°＝k AB ＝y ＋34－2，即y ＋34－2＝1，所以y ＝－1.3.如图，设直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 1＜k 3＜k 2C ．k 2＜k 1＜k 3D ．k 3＜k 2＜k 1解析：选A 根据“斜率越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A 正确． 4．经过两点A (2,1)，B (1，m 2)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞－1 C ．－1＜m ＜1D ．m ＞1或m ＜－1解析：选C ∵直线l 的倾斜角为锐角， ∴斜率k ＝m 2－11－2＞0，∴－1＜m ＜1.5．(2012·广州高一检测)如果直线l 过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[0,2] C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．(0,3]解析：选B 过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线斜率时，图象不过第四象限．二、填空题6．已知a ＞0，若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝________. 解析：若平面内三点共线，则k AB ＝k BC ，即a 2＋a 2－1＝a 3－a 23－2，整理得a 2－2a －1＝0，解得a ＝1＋2，或a ＝1－2(舍去)．答案：1＋ 27．如果直线l 1的倾斜角是150°，l 2⊥l 1，垂足为B .l 1，l 2与x 轴分别相交于点C ，A ，l 3平分∠BAC ，则l 3的倾斜角为________．解析：因为直线l 1的倾斜角为150°，所以∠BCA ＝30°，所以l 3的倾斜角为12×(90°－30°)＝30°.答案：30°8．已知实数x ，y 满足方程x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，y －1x －2的取值范围为________．解析：y －1x －2的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率，因为点M 在函数x ＋2y＝6的图象上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且A ⎝⎛⎭⎫1，52，B ⎝⎛⎭⎫3，32，由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞三、解答题9．已知直线l 过点A (1,2)，B (m,3)，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围． 解：设l 的斜率为k ，倾斜角为α， 当m ＝1时，斜率k 不存在，α＝90°， 当m ≠1时，k ＝3－2m －1＝1m －1，当m ＞1时，k ＝1m －1＞0，此时α为锐角，0°＜α＜90°，当m ＜1时，k ＝1m －1＜0，此时α为钝角，90°＜α＜180°.所以α∈(0°，180°)，k ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)． 10．已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)， (1)求直线AB 和AC 的斜率．(2)若点D 在线段BC (包括端点)上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围． 解：(1)由斜率公式可得直线AB 的斜率k AB ＝2－3－4－3＝17.直线AC 的斜率k AC ＝－2－30－3＝53.故直线AB 的斜率为17，直线AC 的斜率为53.(2)如图所示，当D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤17，53.3．1.2 两条直线平行与垂直的判定[提出问题]平面几何中，两条直线平行同位角相等．问题1：在平面直角坐标中，若l1∥l2，则它们的倾斜角α1与α2有什么关系？提示：相等．问题2：若l1∥l2，则l1，l2的斜率相等吗？提示：不一定，可能相等，也可能都不存在．问题3：若l1与l2的斜率相等，则l1与l2一定平行吗？提示：不一定．可能平行也可能重合．[导入新知]对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.[化解疑难]对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在.[提出问题]已知两条直线l1，l2，若l1的倾斜角为30°，l1⊥l2.问题1：上述问题中，l1，l2的斜率是多少？提示：k1＝33，k2＝－ 3.问题2：上述问题中两直线l1、l2的斜率有何关系？提示：k1k2＝－1.问题3：若两条直线垂直且都有斜率，它们的斜率之积一定为－1吗？提示：一定．[导入新知]如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.[化解疑难]对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k 1≠0且k 2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．[例1] 根据下列给定的条件，判断直线l 1与直线l 2是否平行． (1)l 1经过点A (2,1)，B (－3,5)，l 2经过点C (3，－3)，D (8，－7)； (2)l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3,4)，H (2,3)； (3)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)； (4)l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0,5)．[解] (1)由题意知，k 1＝5－1－3－2＝－45，k 2＝－7＋38－3＝－45，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，又k BC ＝5－(－3)－3－3＝－43≠－45，故l 1∥l 2.(2)由题意知，k 1＝－1－1－2－0＝1，k 2＝3－42－3＝1，所以直线l 1与直线l 2平行或重合，k FG ＝4－(－1)3－(－2)＝1，故直线l 1与直线l 2重合．(3)由题意知，k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－23－3－2－1＝3，k 1＝k 2，所以直线l 1与直线l 2平行或重合．(4)由题意知l 1的斜率不存在，且不是y 轴，l 2的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以l 1∥l 2. [类题通法]判断两条不重合直线是否平行的步骤[活学活用]1．试确定m 的值，使过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行．解：由题意直线CD 的斜率存在，则与其平行的直线AB 的斜率也存在．k AB ＝m －0－5－(m ＋1)＝m －6－m ，k CD ＝5－30－(－4)＝12，由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以m －6－m ＝12，得m ＝－2.经验证m ＝－2时直线AB 的斜率存在，所以m ＝－2.[例2] 已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2，－3)，直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，如果l 1⊥l 2，求a 的值．[解] 设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2.∵直线l 2经过点C (2,3)，D (－1，a －2)，且2≠－1， ∴l 2的斜率存在．当k 2＝0时，a －2＝3，则a ＝5，此时k 1不存在，符合题意．当k 2≠0时，即a ≠5，此时k 1≠0，由k 1·k 2＝－1，得－3－a a －2－3·a －2－3－1－2＝－1，解得a ＝－6.综上可知，a 的值为5或－6. [类题通法]使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步．(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．总之，l 1与l 2一个斜率为0，另一个斜率不存在时，l 1⊥l 2；l 1与l 2斜率都存在时，满足k 1·k 2＝－1.[活学活用]2．已知定点A (－1,3)，B (4,2)，以A 、B 为直径作圆，与x 轴有交点C ，则交点C 的坐标是________．解析：以线段AB 为直径的圆与x 轴的交点为C ，则AC ⊥BC .设C (x,0)，则k AC ＝－3x ＋1，k BC ＝－2x －4，所以－3x ＋1·－2x －4＝－1，得x ＝1或2，所以C (1,0)或(2,0)． 答案：(1,0)或(2,0)[例3] 已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A ，B ，C ，D 四点，试判定图形ABCD 的形状．[解] 由题意知A ，B ，C ，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得k AB ＝5－32－(－4)＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－(－4)＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.所以k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合， 所以AB ∥CD .由k AD ≠k BC ，所以AD 与BC 不平行． 又因为k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，所以AB ⊥AD ，故四边形ABCD 为直角梯形． [类题通法]1．在顶点确定的情况下，确定多边形形状时，要先画出图形，由图形猜测其形状，为下面证明提供明确目标．2．证明两直线平行时，仅有k 1＝k 2是不够的，注意排除两直线重合的情况． [活学活用]3．已知A (1,0)，B (3,2)，C (0,4)，点D 满足AB ⊥CD ，且AD ∥BC ，试求点D 的坐标． 解：设D (x ，y )，则k AB ＝23－1＝1，k BC ＝4－20－3＝－23，k CD ＝y －4x ，k DA ＝yx －1.因为AB ⊥CD ，AD ∥BC ，所以，k AB ·k CD ＝－1，k DA ＝k BC，所以⎩⎨⎧1×y －4x＝－1，y x －1＝－23.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－6.即D (10，－6)．8.利用平行或垂直确定参数值[典例] 已知直线l 1经过A (3，m )，B (m －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，m ＋2)． (1)若l 1∥l 2，求m 的值； (2)若l 1⊥l 2，求m 的值． [解题流程]欲求m 的值，需根据l 1∥l 2或l 1⊥l 2列出关于m 的关系式由直线l 1过A 、B 两点，直线l 2过C 、D 两点，求斜率[规范解答]由题知直线l 2的斜率存在且k 2＝2－(m ＋2)1－(－2)＝－m 3①.(2分)(1)若l 1∥l 2，则直线l 1的斜率也存在，由k 1＝k 2，得2－m m －4＝－m 3，解得m ＝1或m ＝6，(4分)经检验，当m ＝1或m ＝6时，l 1∥l ③2.(6分)(2)若l 1⊥l 2，当k 2＝0②时，此时m ＝0，l 1斜率存在，不符合题意；(8分)当k 2≠0②时，直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，且k 1·k 2＝－1，即－m 3·2－m m －4＝－1，解得m ＝3或m ＝－4，(10分) 所以m ＝3或m ＝－4时，l 1⊥l ③2.(12分)[名师批注]①处易漏掉而直接利用两直线平行或垂直所具备的条件来求m 值，解答过程不严谨 ②处讨论k 2＝0和k 2≠0两种情况③此处易漏掉检验做解答题要注意解题的规范 [活学活用]已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得k AB ＝4－2－2m －4－(－m －3)＝2－(m ＋1)，k CD＝3m ＋2－m 3－(－m )＝2(m ＋1)m ＋3.因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，解得m ＝1. 综上，m 的值为1或－1.[随堂即时演练]1．下列说法正确的有( )①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直； ④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选A 若k 1＝k 2，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于x 轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．2．直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．相交但不垂直D ．垂直解析：选D 设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1.3．已知△ABC 中，A (0,3)、B (2，－1)，E 、F 分别为AC 、BC 的中点，则直线EF 的斜率为________．解析：∵E 、F 分别为AC 、BC 的中点， ∴EF ∥AB . ∴k EF ＝k AB ＝－1－32－0＝－2. 答案：－24．经过点(m,3)和(2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________． 解析：由题意可知k l ＝14，又因为k l ＝m －32－m ，所以m －32－m ＝14，解得m ＝145.答案：1455．判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)． 解：(1)k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110.∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(2)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴．k 2＝40－4010－(－10)＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2.(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－(－1)＝－1，∴k 1＝k 2.又k AM ＝3－1－1－0＝－2≠k 1，∴l 1∥l 2. (4)∵l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.[课时达标检测]一、选择题1．已知过点P (3,2m )和点Q (m,2)的直线与过点M (2，－1)和点N (－3,4)的直线平行，则m 的值是( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选B 因为MN ∥PQ ，所以k MN ＝k PQ ，即4－(－1)－3－2＝2－2mm －3，解得m ＝－1.2．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形解析：选C 如右图所示，易知k AB ＝－1－12－(－1)＝－23，k AC ＝4－11－(－1)＝32，由k AB ·k AC ＝－1知三角形是以A 点为直角顶点的直角三角形．3．已知点A (－2，－5)，B (6,6)，点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为( )A ．(0，－6)B ．(0,7)C ．(0，－6)或(0,7)D ．(－6,0)或(7,0)解析：选C 由题意可设点P 的坐标为(0，y )．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，且直线AP 与直线BP 的斜率都存在．又k AP ＝y ＋52，k BP ＝y －6－6，k AP ·k BP ＝－1， 即y ＋52·(－y －66)＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为(0，－6)或(0,7)． 4．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥AD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD 中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题意得k AB ＝－4－26－(－4)＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35，k AD ＝12－22－(－4)＝53，k AC＝6－212－(－4)＝14，k BD ＝12－(－4)2－6＝－4，所以AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AC ⊥BD .5．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．矩形解析：选B 如图所示，易知k AB ＝－34，k BC ＝0，k CD ＝－34，k AD ＝0，k BD ＝－14，k AC ＝34，所以k AB ＝k CD ，k BC ＝k AD ，k AB ·k AD ＝0，k AC ·k BD ＝－312， 故AD ∥BC ，AB ∥CD ，AB 与AD 不垂直，BD 与AC 不垂直． 所以四边形ABCD 为平行四边形． 二、填空题6．l 1过点A (m,1)，B (－3,4)，l 2过点C (0,2)，D (1,1)，且l 1∥l 2，则m ＝________. 解析：∵l 1∥l 2，且k 2＝1－21－0＝－1，∴k 1＝4－1－3－m ＝－1，∴m ＝0.答案：07．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2∥l 1，且l 2过点A (－2，－1)和B (3，a )，则a 的值为________．解析：∵l 2∥l 1，且l 1的倾斜角为45°，∴kl 2＝kl 1＝tan 45°＝1，即a －(－1)3－(－2)＝1，所以a＝4.答案：48．已知A (2,3)，B (1，－1)，C (－1，－2)，点D 在x 轴上，则当点D 坐标为________时，AB ⊥CD .解析：设点D (x,0)，因为k AB ＝－1－31－2＝4≠0，所以直线CD 的斜率存在． 则由AB ⊥CD 知，k AB ·k CD ＝－1，所以4·－2－0－1－x ＝－1，解得x ＝－9.答案：(－9,0) 三、解答题9．当m 为何值时，过两点A (1,1)，B (2m 2＋1，m －2)的直线： (1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直； (3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行？ 解：(1)由k AB ＝m －32m 2＝tan 135°＝－1，解得m ＝－32，或m ＝1. (2)由k AB ＝m －32m 2，且－7－20－3＝3. 则m －32m 2＝－13，解得m ＝32，或m ＝－3. (3)令m －32m 2＝9＋3－4－2＝－2， 解得m ＝34，或m ＝－1.10．直线l 1经过点A (m,1)，B (－3,4)，直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，当l 1∥l 2或l 1⊥l 2时，分别求实数m 的值．解：当l 1∥l 2时，由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在，则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m ＝m ＋1－m－1－1，解得m ＝3；当l 1⊥l 2时，由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB k CD ＝－1， 即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1＝－1，解得m ＝－92.综上，当l 1∥l 2时，m 的值为3； 当l 1⊥l 2时，m 的值为－92.3．2直线的方程3．2.1 直线的点斜式方程[提出问题]斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x 轴，桥塔所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．问题1：已知某一斜拉索过桥塔上一点B ，那么该斜拉索位置确定吗？提示：不确定．从一点可引出多条斜拉索．问题2：若某条斜拉索过点B (0，b )，斜率为k ，则该斜拉索所在直线上的点P (x ，y )满足什么条件？提示：满足y －bx －0＝k .问题3：可以写出问题2中的直线方程吗？ 提示：可以．方程为y －b ＝kx . [导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l 过定点P (x 0，y 0)，斜率为k ，则把方程y －y 0＝k (x －x 0)叫做直线l 的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P (x 0，y 0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x －x 0＝0，或x ＝x 0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，则方程y ＝kx ＋b 叫做直线l 的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P (x 0，y 0)和斜率k ；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线． 2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．[例1](1)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．(2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为________．(3)求过点P(1,2)且与直线y＝2x＋1平行的直线方程为________．[解析](1)∵直线平行于y轴，∴直线不存在斜率，∴方程为x＝－5.(2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1，又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)．(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P(1,2)，∴直线方程为y－2＝2(x－1)，即2x －y＝0.[答案](1)x＝－5(2)y－4＝－(x－3)(3)2x－y＝0[类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝x0.[活学活用]1．写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行．解：(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y－5＝4(x－2)．(2)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan45°＝1.∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2.(3)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0.∴直线的点斜式方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.[例2] (1)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________． (2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[解析] (1)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k ＝tan 150°＝－33，由斜截式可得所求的直线方程为y ＝－33x －3. (2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2， 又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.[答案] (1)y ＝－33x －3 [类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]2．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且在y 轴上的截距是－5的直线方程．解：∵直线y ＝－3x ＋1的斜率k ＝－3，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k 1＝tan 30°＝33.∵所求直线的斜率是33，在y 轴上的截距为－5， ∴所求直线的方程为y ＝33x －5.[例3] 当a 为何值时，(1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？ [解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直，∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1， 解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4， 则k 3＝－1，k 4＝a 2－2. ∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相平行． [类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2，则两直线相交． (2)若k 1＝k 2，则两直线平行或重合， 当b 1≠b 2时，两直线平行； 当b 1＝b 2时，两直线重合．(3)特别地，当k 1·k 2＝－1时，两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑． [活学活用]3．(1)若直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直，则a ＝________. (2)若直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行，则a ＝________. 解析：(1)由题意可知kl 1＝2a －1，kl 2＝4. ∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.(2)因为l 1∥l 2，所以a 2－2＝－1，且2a ≠2，解得a ＝－1，所以a ＝－1时两直线平行． 答案：(1)38(2)－17.斜截式判断两条直线平行的误区[典例] 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值．[解] 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，则其斜率k 2＝－m －23，在y 轴上的截距b 2＝－23m .∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0. ∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m.由l 1∥l 2，得⎩⎨⎧－m －23＝－1m，－23m ≠－6m，解得m ＝－1.∴m 的值为－1. [易错防范]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合． [成功破障]当a 为何值时，直线l 1：y ＝－2ax ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－3)x ＋2平行？ 解：∵l 1∥l 2，∴a 2－3＝－2a 且2a ≠2， 解得a ＝－3.[随堂即时演练]1．直线y ＝2x －3的斜率和在y 轴上的截距分别等于( ) A ．2,3 B ．－3，－3 C ．－3,2 D ．2，－3答案：D2．直线l 经过点P (2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是( ) A ．y ＋3＝x －2 B ．y －3＝x ＋2 C ．y ＋2＝x －3D ．y －2＝x ＋3 解析：选A ∵直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线l 的方程为y ＋3＝x －2.3．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________． 解析：α＝60°，k ＝tan 60°＝3， 由点斜式方程，得y ＋4＝3(x ＋2)．答案：y ＋4＝3(x ＋2)4．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________． 解析：∵直线y ＝－3x －4的斜率为－3， 所求直线与此直线平行，∴斜率为－3，又截距为2，∴由斜截式方程可得y ＝－3x ＋2. 答案：y ＝－3x ＋25．(1)求经过点(1,1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的方程． 解：(1)由y ＝2x ＋7得其斜率为2，由两直线平行知所求直线的斜率是2. ∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.(2)由y ＝3x －5得其斜率为3，由两直线垂直知，所求直线的斜率是－13.∴所求直线方程为y ＋2＝－13(x ＋2)，即x ＋3y ＋8＝0.[课时达标检测]一、选择题1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1解析：选C 直线的方程可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.2．直线y ＝ax －1a的图象可能是( )解析：选B 由y ＝ax －1a可知，斜率和截距必须异号，故B 正确．3．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ) A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4。
2.1.1直线的斜率潘自知2009-12-10教学目标：使学生掌握倾斜角和斜率的概念，理解倾斜角和斜率之间的关系，掌握经过两点的直线的斜率公式，并会应用公式解题。
教学重点：倾斜角和斜率的的意义，斜率的公式及其应用。
教学难点：斜率意义的理解。
教学方法：二先二后 教学课时：1节 教学工具：常规教学过程：请同学们预习课本P67-P68，完成并体会以下知识点及结论：1、经过两点),(11y x P ，),(22y x Q 的直线的斜率公式：=k ，其适用范围是21x x ≠。
①斜率公式与两点的顺序无关，也就是说两点的纵，横坐标在公式中的次序可以同时调换（要一致）。
②如果21y y =（21x x ≠），则直线与x 轴平行或重合，0=k ； 如果21x x =（21y y ≠），则直线与x 轴垂直，斜率k 不存在。
例题1（课本例题1）：直线1l ，2l ，3l 都经过点)2,3(P ，又1l ，2l ，3l 分别经过点)1,2(1--Q ，)2,4(2-Q ，)2,3(3-Q ，计算画出直线1l ，2l ，3l 的图象并计算其斜率。
变式训练1：经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率。
⑴)1,1(，)2,3(-； ⑵)2,1(-，)2,5(-； ⑶)4,3(，)5,2(--； ⑷)0,3(，)3,3(变式训练2：过点),2(m M -，)4,(m N 的直线的斜率等于2，则m 的值为例题2（课本例题2）：经过点)2,3(画直线，使直线的斜率分别为： ⑴43 ⑵54-变式训练3：根据下列条件分别画出经过点P ，且斜率为k 的直线： ⑴)2,1(P ，3=k ； ⑵)4,2(P ，43-=k ；⑶)3,1(-P ，0=k ； ⑷)0,2(-P ，斜率不存在。
2、请同学们看书本P69，体会以下知识点及结论：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为00。
