课时跟踪检测(六十三) 直线与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系考点与题型归纳、基础知识1.直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)2.圆与圆的位置关系(两圆半径为r i,匕，d=|O i O2|)、常用结论(1 )圆的切线方程常用结论①过圆x2 + y2= r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为 x o x+ y o y= r2②过圆(x- a)2+ (y- b)2= r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为(x o—a)(x— a)+ (y o — b)(y -b) = r2.③过圆x2 + y2= r2外一点M(x o, y o)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x o x+ y o y =r2.(2)直线被圆截得的弦长1 i弦心距d、弦长I的一半及圆的半径r构成一直角三角形，且有r2 = d2+ ~l 2.考点一直线与圆的位置关系考法(一)直线与圆的位置关系的判断［典例］直线I: mx— y+ 1— m = 0与圆C： x2+ (y— 1)2= 5的位置关系是( )A•相交 B •相切C.相离 D •不确定mx— y+ 1 — m= 0,［解析］法一：由o ox2 + y — 1 = 5,消去 y,整理得(1 + m2)x2— 2m2x+ m2— 5= 0,因为△= 16m2+ 20>0,所以直线I与圆相交.法二：由题意知，圆心(0,1)到直线I的距离d=―<1<寸5，故直线I与圆相交.yj m2 + 1法三：直线I: mx — y+ 1 — m= 0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2 + (y— 1)2= 5的内部，所以直线I 与圆相交.［答案］A［解题技法］判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用△判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.［提醒］上述方法中最常用的是几何法.考法(二)直线与圆相切的问题［典例］(1)过点P(2,4)作圆(x— 1)2+ (y— 1)2 = 1的切线，则切线方程为()A . 3x+ 4y — 4= 0B.4x— 3y + 4= 0C.x = 2 或 4x— 3y+ 4 = 0D.y= 4 或 3x+ 4y— 4 = 0(2)(2019成都摸底)已知圆C： x2+ y2— 2x— 4y+ 1 = 0上存在两点关于直线I: x+ my+ 1=0对称，经过点 M(m, m)作圆C的切线，切点为 P,则|MP|= ________________________ .［解析］⑴当斜率不存在时，x= 2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y— 4= k(x-2），即 kx — y+ 4-2k= 0,则|k — 1 + 4 - 2k|■ k 2 + 1=1，解得4k= 3，则切线方程为4x — 3y + 4= 0,故切线方程为 x= 2或4x — 3y + 4= 0.⑵圆C: x 2 + y 2— 2x — 4y+ 1= 0的圆心为C(1,2)，半径为2•因为圆上存在两点关于直线I: x+ my + 1= 0 对称，所以直线 I: x+ my+ 1 = 0 过点(1,2)，所以 1 + 2m+ 1 = 0,解得 m = —1，所以 |MC|2= 13, |MP|= 13— 4= 3.［答案］(1)C(2)3考法(三)弦长问题［典例］ ⑴若a 2 + b 2= 2C 2(C M 0)，则直线ax+ by+ c= 0被圆x 2 + y 2= 1所截得的弦长为( )1B . 1C#D. . 2(2)(2019海口一中模拟)设直线y= x+ 2a 与圆C ：x 2 + y 2— 2ay — 2= 0相交于A,B 两点， 若|AB|= 2 .3,则圆C 的面积为()A . 4 nB . 2 n C. 9 nD. 22 n［解析］⑴因为圆心(0,0)到直线ax+ by+ C = 0的距离d = t |C|=#弟=¥‘因此根寸 a 2+ b 2 V 2|C| 2据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1 — I2 =于，所以弦长为2.(2)易知圆C: x 2 + y 2— 2ay — 2 = 0的圆心为(0, a)，半径为-a 2+ 2.圆心(0, a)到直线y = x+ 2a 的距离d = |a 2，由直线y= x+ 2a 与圆C: x 2 + y 2— 2ay — 2= 0相交于A, B 两点，|AB| =2诵，可得 齐3 = a 2 + 2,解得a 2= 2，故圆C 的半径为2,所以圆C 的面积为4 n 故选 A.［答案］(1)D(2)A［题组训练］1 •已知圆的方程是X2+ y2= 1,则经过圆上一点M 誓，当的切线方程是 _________________________ -解析：因为M #, +是圆X2+y2= 1上的点，所以圆的切线的斜率为一1,则设切线方程为x + y+ a = 0，所以 #+#+ a= 0,得a=— 2,故切线方程为 x+ y— 2= 0.答案：x+ y— 2 = 02.若直线kx— y+ 2 = 0与圆x2 + y2— 2x — 3 = 0没有公共点，则实数 k的取值范围是解析：由题知，圆 x2 + y2— 2x— 3 = 0可写成(x— 1)2+ y2= 4,圆心(1,0)到直线 kx— y+ 2=0的距离|k + 2| 4 d>2,即------------ >2,解得 0v kv3.p k2+1 3答案：4 033.设直线y= kx+ 1与圆x2 + y2 + 2x— my= 0相交于A, B两点，若点A, B关于直线l:x+ y= 0 对称，则 |AB|= _____________ .解析：因为点A, B关于直线I: x+ y= 0对称，所以直线y= kx+ 1的斜率k= 1,即y = 「、mx+ 1•又圆心—1, 2在直线I: x+ y= 0上，所以m= 2,则圆心的坐标为(一1,1)，半径r = 2，所以圆心到直线 y= x+ 1的距离du^2，所以AB|= 2 r2— d2= ,6.答案：6考点二圆与圆的位置关系［典例］(2016 •东高考)已知圆M : x2 + y2— 2ay= 0(a> 0)截直线x+ y= 0所得线段的长度是2 2，则圆M与圆N: (x— 1)2+ (y— 1)2= 1的位置关系是( )A.内切 B .相交C.外切 D .相离x2+ y2— 2ay= 0,［解析］法一：由x+ y= 0,得两交点为(0,0), (— a, a).•••圆M截直线所得线段长度为 2 2,r = 1,则点N到直线2x-2y- 1= 0的距离d = —1| 2,2•••- a2 + - a 2 = 2 2.又 a>O,「・a= 2.A圆 M 的方程为 x2 + y2-4y= 0, 即 x2 + (y- 2产=4,圆心 M(0,2)，半径 r i = 2.又圆 N : (x- 1)2+ (y- 1)2= 1,圆心 N(1,1)，半径 r2= 1, •••|MN|=- 0 - 1 2+ 2- 1 2= 2.•.•「1-「2= 1, r1+ r2 = 3,1<|MN|<3,•两圆相交.法二a 一：由题知圆 M : x2 + (y- a)2— a2(a>0),圆心(0, a)到直线x+ y= 0的距离d —所以2 :a2—2—2 2，解得a —2•圆M，圆N的圆心距|MN|— .2,两圆半径之差为 1,两圆半径之和为3，故两圆相交.［答案］B［变透练清］1. (2019 太原模拟)若圆 C1： x2 + y2= 1 与圆 C2： X2 + y2- 6x- 8y+ m= 0 外切，则 m=( )A. 21 B . 19C. 9 D . - 11解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1= 1，因为圆C2的方程可化为(x- 3)2+ (y-4)2= 25- m,所以圆 C2 的圆心为 C2(3,4)，半径 r2= 25 - m(m V 25).从而 |C1C2=：32+ 42=5•由两圆外切得 C1C2= r1 + ",即卩1 +「25 - m= 5,解得m= 9，故选C.2.变结论若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为 ___________________ .x+ y — 4y= 0,解析：联立两圆方程两式相减得，2x-2y- 1 = 0,因为N(1,1),x-1 2 + y-1 2= 1,答案：*4匚2,故公共弦长为• 2 2. 144 = 2B . ±5C. 3［解题技法］几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤(1) 确定两圆的圆心坐标和半径长； (2) 利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d,求r i + r 2, |r i — r 2|;⑶比较d, r i + r 2, |r i — r 2|的大小，写出结论.[课时跟踪检测]1.若直线2x+ y + a= 0与圆x 2 + y 2 + 2x — 4y= 0相切，则a 的值为()A. ±,5 D . ±3解析：选B 圆的方程可化为(x+ 1)2+ (y — 2)2= 5，因为直线与圆相切，所以有|a 5 = ,5, 即a= ±故选B. 2.与圆 C i ： x 2 + y 2— 6x+ 4y+ 12 = 0, C 2： x 2+ y 2— 14x — 2y+ 14= 0 都相切的直线有C. 3条 解析：选A两圆分别化为标准形式为C i ： (x — 3)2+ (y+ 2)2= 1, C 2 : (x — 7)2 + (y — 1)2=36，则两圆圆心距|C i C 2|= 7 — 3 2+ [1 —— 2 ]2= 5,等于两圆半径差，故两圆内切.所 以它们只有一条公切线.故选A.3. (2019南宁、梧州联考)直线y= kx+ 3被圆(x — 2)2+ (y — 3)2= 4截得的弦长为2.3, 则直线的倾斜角为(),n ［、. 5 nA ・6或石n D ・6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2,所以圆心到直线的距离为d= 22— 3 2 =1.即d=J^= 1，所以k=±富由k=tan"得a= 6或于故选A.B.x+ ay+ 1线的距离为1,故圆心（一1,3）到直线x+ ay+ 1 = 0的距离为1,即|— 1+ 3a+ 1| :1'1 + a 2=1,解得a =4.过点（3,1）作圆（x — 1）2+ y 2= r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（）A . 2x+ y — 5= 0B . 2x+ y — 7= 0 C. x — 2y — 5 = 0D . x — 2y — 7= 0解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r 2 = 5,圆的方程为(x — 1)2+ y 2=5，则过点(3,1)的切线方程为(x — 1)・—3) + y(1 — 0) = 5，即2x+ y — 7 = 0•故选5. （2019重庆一中模拟）若圆x 2 + y 3+ 2x — 6y+ 6= 0上有且仅有三个点到直线 =0的距离为1，则实数a 的值为（）C. 土，2解析：选B 由题知圆的圆心坐标为（一1,3），半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直D . y=— 4圆(x — 1)2+ y 2= 1 的圆心为 C(1,0)，半径为 1,以 |PC|= -''=2为直径的圆的方程为（x — 1）2+ （y+ 1）2= 1,将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2yC. y =解析：选B解析：易知圆心（2, — 1）,半径r = 2,故圆心到直线的距离|2+ 2 X — 1 — 3| 3,5 弦长为2 r 2— d2 =迸5答案: 2 '555.12 + 22±2±4 -6.（2018嘉定二模）过点P（1 , — 2）作圆C : （x— 1）4+ y2= 1的两条切线，切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为（）1B . y=— 21+ 1 = 0，即 y= —2•故选 B.x— (3 + a)y— a= 0,圆心(0,0)到直线的距离I— a| d= . 1 +3 + a&若P(2,1)为圆(x— 1)2+ y2= 25的弦AB的中点，则直线 AB的方程为 _____________________一 1解析：因为圆(x— 1)2+ y2= 25的圆心为(1,0),所以直线AB的斜率等于 =—1,由点1 — 0斜式得直线 AB的方程为y— 1 = — (x— 2)，即卩x+ y— 3= 0.答案：x+ y— 3 = 09.____________________________________________________________________________ 过点P(— 3,1),Q(a,O)的光线经x轴反射后与圆x2+ y2= 1相切，则a的值为_____________________________解析：因为P( — 3,1)关于x轴的对称点的坐标为P' (— 3, — 1),一 1所以直线P' Q的方程为y= (x— a),即—3 — a所以a=— |.5答案：—|10.点 P 在圆 C1: x2+ y2— 8x— 4y + 11 = 0 上，点 Q 在圆 C2: x2+ y2+ 4x+ 2y + 1 = 0 上,则|PQ|的最小值是 ____________解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x— 4)2+ (y— 2)2= 9, (x + 2)2 + (y+ 1)2 =4.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3;圆C2的圆心坐标是(一 2,— 1)，半径是2.圆心距d =■4+ 2 2 + 2+ 1 2= 3 ,5> 5•故圆C1与圆C2相离，所以|PQ |的最小值是3 .5 — 5.答案：3 5—511.已知圆 C1: x2+ y2— 2x— 6y— 1 = 0 和圆 C2: x2 + y2— 10x— 12y+ 45 = 0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；⑵求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.解：(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径「1=111, 圆C2的圆心 C2(5,6)，半径r2= 4,y=— 2x 上.C 截得的弦长为两圆圆心距 d = |C i C 2|= 5, r i + r 2 = ：.； 11 + 4, |r i — r 2|= 4— 11,-■•|r i — r 2|<d<门 + r 2,「.圆 C 1 和圆 C 2 相交. ⑵圆C 1和圆C 2的方程相减，得 4x+ 3y — 23 = 0, •••两圆的公共弦所在直线的方程为4x + 3y — 23= 0.|20+ 18— 23| 圆心C 2(5,6)到直线4x+ 3y —23= 0的距离d=, = 3, 寸 16+ 9故公共弦长为 2 16— 9= 2 ,7.12. 已知圆C 经过点A(2, — 1)，和直线x + y= 1相切，且圆心在直线 (1) 求圆C 的方程；(2) 已知直线I 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为2，求直线I 的方程解：(1)设圆心的坐标为 C(a,— 2a),化简，得a 2— 2a + 1 = 0,解得a= 1. •Q(1 , — 2)，半径 r = |AC|=1 —2 2+ — 2 + 1 2= ,2.•••圆 C 的方程为(x — 1)2 + (y+ 2)2= 2.⑵①当直线I 的斜率不存在时，直线I 的方程为x = 0,此时直线I 被圆 2,满足条件.②当直线I 的斜率存在时，设直线I 的方程为y= kx, K+ 2|3由题意得 -------- =1，解得k=— 4,寸 1 + k 243•直线I 的方程为y= — ]x,即3x+ 4y= 0. 综上所述，直线I 的方程为x= 0或3x+ 4y= 0.—2a+ 11.过圆x2+ y2= 1上一点作圆的切线，与 x轴、y轴的正半轴相交于 A, B两点，则|AB|B. ,.''3 D . 3解析：选C 设圆上的点为(x o , y o ),其中x o > 0, y o >0，则有x g + 的最小值为() A. .''2C. 2y 0= 1，且切线方程为x o x+ y o y = 1.分别令 y = 0, x= 0得1 / 12 1 1B0，y ，则IAB =.. x 04 5 6+ y 02=硕》右=2当且仅当 等号成立.2.(2018 •苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线I: y= 2x 上在第一象限内的点,B(5,0)，以AB 为直径的圆 C 与直线I 交于另一点 D.若AB CD = 0，则点A 的横坐标为n解析：因为AB CD = 0,所以AB 丄CD ，又点C 为AB 的中点，所以/ BAD = 4,设直n线I 的倾斜角为0,直线AB 的斜率为k ，则tan 0= 2, k=tan 0+ 4 =- 3.又B(5,0)，所以直线AB 的方程为y=— 3(x — 5)，又A 为直线l: y= 2x 上在第一象限内的点，联立直线y=— 3 x — 5 ,x= 3,AB 与直线l 的方程，得解得所以点A 的横坐标为3.y= 2x,y= 6, 答案：33. (2018 安顺摸底)已知圆 C: x 2 + (y — a)2= 4,点 A(1,0). 5 当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数 a 的取值范围；6 设AM , AN 为圆C 的两条切线，M , N 为切点，当|MN|= 誓时，求MN 所在直线的 方程. 解：(1)过点A 的切线存在，即点 A 在圆外或圆上， •••1 + a 2>4,^a> '3或 a< — .'3. (2)设MN 与AC 交于点D, O 为坐标原点.4/52 需•••|MN|=〒，.・.|DM|=才.20_ 4 又 |MC|= 2 ,「.|CD| =25= .5,4A 的方程为(x — 1)2+ y 2 =即 x — 2y= 0 或(x — 1)2+ y 2 V 52|MC| 2 厂2丢cos Z MCA 2_7•••|OC|= 2, |AM|= 1,• MN 是以点A 为圆心，1为半径的圆A 与圆C 的公共弦，圆 1,圆 C 的方程为 x 2+ (y — 2)2 = 4 或 x 2+ (y+ 2)2= 4,•'■MN 所在直线的方程为 (x — 1)2+ y 2— 1 — x 2 — (y — 2)2+ 4 = 0, —1 — x 2— (y+ 2)2 + 4= 0，即 x+ 2y= 0,因此MN 所在直线的方程为 x — 2y= 0或x+ 2y= 0.17.在平面直角坐标系 xOy 中，直线x+ 2y — 3 = 0被圆（x — 2）2+ （y+ 1）2= 4截得的弦长为 __________ .。

直线与圆的位置关系知识点及例题Prepared on 22 November 2020直线与圆的位置关系一、知识点梳理1、直线与圆的位置关系：图形名称相离相切相交判定d>r d=r d<r交点个数无1个2个例1、下列判断正确的是（）①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，•则直线与圆相交．A．①②③ B．①② C．②③ D．③例2、过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．例3、以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．例4、下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线例5．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C为圆心，r为半径作⊙C，当r为多少时，⊙C与AB相切2、切线的判定：（1）根据切线的定义判定：即与圆有一个公共点的直线是圆的切线.（2）根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）根据切线的判定定理来判定：即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.判定切线时常用的辅助线作法：（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直.（2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径.例6、判断下列命题是否正确（1）经过半径的外端的直线是圆的切线（2）垂直于半径的直线是圆的切线；（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；（4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.例7．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，•那么⊙P与OB的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切例8、如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，•如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m•的取值范围是_______．例9、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）如果CD=6，tan∠BCD=12，求⊙O的直径．例10、如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=12，∠D=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长．例11、如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．3、切线的性质：1、经过切点的半径垂直于圆的切线，经过切点垂直于切线的直线必经过圆心对于切线的性质可分解为：过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中任意两个作为条件，就可以推出第三个作为结论4、切线长定理：切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．例12、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。

4.2.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系（典例）已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=01．位置关系的判定：判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交；(2)△=0相切；(3)△<0相离。

判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d(1)d<r相交；(2)d=r相切；(3)d>r相离。

例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。

法一：直线L：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点，∵点P在圆O内，∴直线L与圆O相交。

法二：圆心O到直线L的距离为当d<3时，(2m-1)2<9(2m2+2)，∴14m2+4m+17>0 ∴m∈R所以直线L与直线O相交。

2．切线问题：例3：已知点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，求过点P的圆C的切线方程；(x0x+y0y=r2) 法一：∵点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，∴当x0≠0且y0≠0时，∴切线方程为当P为(0，r)时，切线方程为y=r，满足方程(1)；\当P为(0，-r)时，切线方程为t=-r，满足方程(1)；当P为(r，0)时，切线方程为x=r，满足方程(1)；当P为(-r，0)时，切线方程为x=-r，满足方程(1)；综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2法二：设M(x，y)为所求切线上除P点外的任一点，则由图知|OM|2=|OP|2+|PM|2，即x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2∴x0x+y0y=r2且P(x0，y0)满足上面的方程。

综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2。

(1)已知圆O：x2+y2=16，求过点P(4,6)的圆的切线PT的方程。

解：当PT方程为x=4时，为圆O的切线，满足题意：设PT的方程为y-6=k(x-4)，即kx-y-4k+6=0则圆心O到PT的距离为所以PT的方程为综上，切线PT的方程为x=4，5x-12y+52=0 例4、求过下列各点的圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程：(1)；（2） B(4，5) 解： (1)圆C：(x-1)2+(y+2)2=9，圆心C(1，-2)，r=3，且点A在圆C上，法一：设切线方程为，则圆心到切线的距离为，∴所求切线方程为法二：∵AC⊥l，∴所求切线方程为(2)点B在圆外，所以过B点的切线有两条设切线方程为y=k(x-4)+5，则圆心C到切线的距离为又直线x=4也是圆的切线方程，∴所求切线方程为例5、设点P(x，y)是圆x2+y2=1上任一点，求的取值范围。

课时跟踪检测（四十六） 直线与圆、圆与圆的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但不过圆心 C ．相交过圆心D ．相离解析：选B 由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋12＝5＜6且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．2．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3D ．2解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)， 所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.3．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11解析：选C 圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1， 因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ， 所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m ＜25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9.4．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线方程为________；其与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：因为点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上， 故过点A 的圆的切线方程为x ＋2y －5＝0，令x ＝0，得y ＝52.令y ＝0，得x ＝5，故所求三角形的面积S ＝12×52×5＝254.答案：x ＋2y －5＝02545．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________. 解析：设直线上一点为P ，切点为Q ，圆心为M ， 则|PQ |即切线长，|MQ |为圆M 的半径，长度为1，|PQ |＝|PM |2－|MQ |2＝|PM |2－1.要使|PQ |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离， 设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝2 2.所以|PM |的最小值为2 2.所以|PQ |＝|PM |2－1≥ (22)2－1＝7，即切线长的最小值为7. 答案：7二保高考，全练题型做到高考达标1．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上的点到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选C 圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点． 2．若直线l ：y ＝kx ＋1(k ＜0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与 圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 因为圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2， 所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为2， 因为直线l 与圆C 相切．所以|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1，因为k ＜0，所以k ＝－1， 所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22＜3，所以直线l 与圆D 相交．3．(2018·温州调研)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14解析：选B 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1， 以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.4．(2018·台州调研)已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1 相外切，则ab 的最大值为( )A.62B.32C.94D.2 3解析：选C 由圆C 1与圆C 2相外切， 可得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据基本不等式可知ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b ＝32时等号成立，即ab 的最大值为94.5．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为( )A.33B ．－33C ．±33D ．－ 3解析：选B 由S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ，可知当∠AOB ＝π2时，△AOB 的面积最大，为12.此时点O 到直线AB 的距离d ＝22. 设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)(k <0)， 即kx －y －2k ＝0. 则d ＝|2k |k 2＋1＝22，解得k ＝－33. 6．若直线y ＝－12x －2与圆x 2＋y 2－2x ＝15相交于点A ，B ，则弦AB 的垂直平分线方程的斜截式为________；弦长|AB |的值为________．解析：圆的方程可整理为(x －1)2＋y 2＝16，所以圆心坐标为(1,0)，半径r ＝4，易知弦AB 的垂直平分线l 过圆心，且与直线AB 垂直，而k AB ＝－12，所以k l ＝2.由点斜式方程可得直线l 的方程为y －0＝2(x －1)， 即y ＝2x －2.因为圆心到直线y ＝－12x －2的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪－12－2⎝⎛⎭⎫－122＋12＝ 5.所以弦长|AB |＝216－5＝211.答案：y ＝2x －2 2117．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．解析：由x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝9， 所以圆C 的圆心坐标为C (－1,2)，半径为3，由AC ⊥BC ，可知△ABC 是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，由点到直线的距离公式可得|－1－2＋a |2＝322，解得a ＝0或a ＝6. 答案：0或68．若直线x cos θ＋y sin θ－1＝0与圆(x －1)2＋(y －sin θ)2＝116相切，且θ为锐角，则该直线的斜率为________．解析：依题意得，圆心到直线的距离等于半径， 即|cos θ＋sin 2θ－1|＝14，|cos θ－cos 2θ|＝14，所以cos θ－cos 2θ＝14或cos θ－cos 2θ＝－14(不符合题意，舍去)．由cos θ－cos 2θ＝14，得cos θ＝12，又θ为锐角，所以sin θ＝32， 故该直线的斜率是－cos θsin θ＝－33.答案：－339．已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12. (1)试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； (2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长．解：(1)证明：因为不论k 为何实数，直线l 总过定点P (0,1)，而|PC |＝5<23， 所以点P (0,1)在圆C 的内部．所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点． (2)由平面几何知识知过圆内定点P (0,1)的弦，只有与PC (C 为圆心)垂直时才最短，而此时点P (0,1)为弦AB 的中点， 由勾股定理，知|AB |＝212－5＝27，即直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.10．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程； (2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解：把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1， C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件． 当l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0， 则|－k －2＋3－k |k 2＋1＝2，解得k ＝－34.∴切线l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4，|PO |2＝x 2＋y 2， ∵|PM |＝|PO |，∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2，整理得2x －4y ＋1＝0， ∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0 和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D.49解析：选A x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0，化为标准形式为(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0，化为标准形式为x 2＋(y －2b )2＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，则a 2＋(2b )2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋4b 29 ＝19⎝⎛⎭⎫5＋a 2b 2＋4b 2a 2 ≥19⎝⎛⎭⎫5＋2a 2b 2·4b 2a 2＝1， 当且仅当a 2b 2＝4b 2a 2，即a ＝±2b 时取等号，故1a 2＋1b2的最小值为1. 2．(2018·宁波十校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎫a ＞－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍去)． 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB 成立．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x －1)得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2(k 2－4)k 2＋1－2k 2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM＝∠BNM 总成立．故当点N 为(4,0)时，使得x 轴平分∠ANB .。

2024年新高二数学提升精品讲义直线与圆的位置关系（解析版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解直线与圆的三种基本位置关系：相离、相切、相交，并能准确描述每种关系的特征；2．掌握判断直线与圆位置关系的方法，包括利用圆心到直线的距离与半径的关系进行判断；3．能够运用所学知识解决实际问题，如计算切点坐标、交点坐标等.知识点1直线与圆的位置关系1、直线与圆的三种位置关系（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有共同点．2、判断直线与圆位置关系的方法（1）几何法判断直线与圆的位置关系：直线0++=Ax By C 与圆()()222-+-=x a y b r ，圆心到直线的距离22BA C Bb Aa d +++=．>⇔d r 直线与圆相离⇔无交点；=⇔d r 直线与圆相切⇔只有一个交点；<⇔d r 直线与圆相交⇔有两个交点．（2）代数法判断直线与圆的位置关系：联立直线方程与圆的方程，得到⎩⎨⎧=++++=++022F Ey Dx y x C By Ax ，通过解的个数来判断：当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离．知识点2直线与圆相交弦长1、几何法：利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系2222⎛⎫=+ ⎪⎝⎭l r d ，整理出弦长公式为：22=-l r d 2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．3、弦长公式法：设直线:=+l y kx b 与圆的交点为()11,x y ，()22,x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长()()222121212114⎡⎤=+-=++-⎣⎦l kx k x x x x 知识点3直线与圆相切1、圆的切线的条数（1）过圆外一点，可以作圆的两条切线；（2）过圆上一点，可以作圆的一条切线；（3）过圆内一点，不能作圆的切线．2、过圆上一点()00,x y 的切线方程法一：先求出切点与圆心的连线斜率k ，若k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程0=y y ；若0=k，则结课图形可直接写出切线方程0=x x ；若k 存在且0≠k，则由垂直关系知切线的斜率为1-k，由点斜式写出切线方程．法二：若k 不存在，验证是否成立；若k 存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可．3、过圆外一点()00,x y 的圆的切线方程法一：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为()00-=-y y k x x ，即000-+-=kx y y kx 由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程．法二：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为()00-=-y y k x x ，即000-+-=kx y y kx 代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0=∆，求得k ，切线方程即可求出．4、与圆的切线相关的结论（1）过圆222+=x y r 上一点()00,P x y 的圆的切线方程为200+=xx yy r ．（2）过()()222-+-=x a y b r 上一点()00,P x y 的圆的切线方程为()()()()200--+--=x a x a y b y b r（3）过()()222-+-=x a y b r 外一点()00,P x y 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在直线方程为：()()()()200--+--=x a x a y b y b r ．（4）过圆外一点()00,P x y 引圆()()222-+-=x a y b r 的两条切线，则过圆外一点()00,P x y 的切线长为=d考点一：直线与圆的位置关系判断例1．（23-24高二上·广西南宁·月考）直线240x y ++=与圆22240x y y +--=的位置关系为（）A ．相交且过圆心B ．相交且不过圆心C ．相切D ．相离【答案】C【解析】圆22240x y y +--=，即()2215x y +-=，其圆心坐标为()0,1，半径为r =，圆心到直线240x y ++=的距离d r ===，直线与圆的位置关系为相切.故选：C【变式1-1】（23-24高二下·安徽芜湖·月考）直线l ：20ax y +-=与圆C ：()()22121x y -+-=的公共点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．1或2【答案】C【解析】由直线:20l ax y +-=，可得直线l 过定点()0,2，又由圆C ：()()22121x y -+-=，可得点()0,2在圆C 上，因为直线l 的斜率显然存在，所以公共点的个数为2.故选：C.【变式1-2】（23-24高二上·福建福州·期中）设R m ∈，则直线l ：210mx y m +--=与圆225x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．相切C ．相交或相切D ．相交【答案】C【解析】直线l 可化为()210m x y -+-=，由2010x y -=⎧⎨-=⎩可得，21x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过点()2,1A .又22215+=，即点A 在圆225x y +=上，所以，过点A 的直线l 与圆相交或相切.故选：C.【变式1-3】（22-23高二上·上海宝山·期中）已知点()00,x y 在圆C ：224x y ＋＝外，则直线004x x y y ＋＝与圆C 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】由点00P x y （,）在圆22:4C x y +=外，可得22004x y +>，求得圆心00C （，）到直线00:4l x x y y +=的距离422d <=，故直线和圆C 相交，故选:A.考点二：根据直线与圆的位置关系求参数例2.（23-24高二下·河南·月考）若直线20x y ++=与圆()()()222:80M x a y a a a -+-=>相切，则圆M 的半径为（）A ．2B ．4C ．D ．8【答案】C=，解得1a =（负值舍），所以圆M 的半径为故选:C.【变式2-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知直线3y kx =-与圆()2224x y -+=相交，则实数k 的取值范围是（）A ．5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．5,12∞⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．5,12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】圆()2224x y -+=的圆心为()2,0，半径2r =，因为直线3y kx =-与圆()2224x y -+=相交，所以圆心()2,0到直线3y kx =-的距离d r <，2<，解得512k >，所以实数k 的取值范围是5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：B.【变式2-2】（23-24高二下·河北衡水·月考）已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤【答案】A【解析】由题意可知圆C 的圆心坐标为()0,m ，半径为1.因为直线l 与圆C 有公共点，所以直线l 与圆C 相切或相交，所以圆心()0,C m 到直线l 的距离1d =≤，解得112m -≤≤.其必要不充分条件是把m 的取值范围扩大，所以选项中只有11m -≤≤是112m -≤≤的必要不充分条件.故选：A 【变式2-3】（23-24高二上·河北石家庄·期中）若直线l 过点()0,A a ，斜率为1，圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为（）A ．B ．±C ．2±D ．【答案】D【解析】由题意知，:0l x y a -+=，又圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以圆心到直线的距离等于半径减去1，则圆心(0,0)到直线l 21=-，解得a =故选：D.考点三：求圆的切线方程例3.（23-24高二上·河北承德·月考）过点()2,3P 引圆222440x y x y +--+=的切线，其方程是（）A ．2x =B ．12590x y -+=C ．2x =或3y =D ．3x =或2y =【答案】C【解析】根据题意，圆222440x y x y +--+=，即()()22121x y -+-=，其圆心为()1,2，半径1r =；过点()2,3P 引圆222440x y x y +--+=的切线，若切线的斜率不存在，切线的方程为2x =，符合题意；若切线的斜率存在，设其斜率为k ，则有()32y k x -=-，即320kx y k -+-=，1=，解得0k =，此时切线的方程为()302y x -=-，即3y =．综上：切线的方程为2x =和3y =．故选：C ．【变式3-1】（22-23高二下·河南安阳·开学考试）已知圆22:42110C x y x y +++-=，过点()2,1作圆C 的切线m ，则m 的方程为（）A ．2x =B ．34100x y +-=C ．34100x y +-=或2x =D ．34100x y +-=或3420x y --=【答案】C【解析】将圆22:42110C x y x y +++-=化为标准方程()()222116x y +++=，则圆心()2,1C --，4r =，当切线l 的斜率不存在时，切线l 的方程为2x =，当切线l 的斜率存在时，设切线l 的方程为()12y k x -=-，即120kx y k -+-=，由题意知，4=.解得34k =-.此时切线l 的方程为34100x y +-=.综上，切线l 的方程为2x =或34100x y +-=.故选：C.【变式3-2】（23-24高二上·湖南长沙·期中）过点()40，的直线l 与圆2248160x y x y +--+=相切，则直线l 的方程为（）A ．34120x y +-=或0y =B ．34120x y +-=或4x =C ．43120x y +-=或0y =D ．43120x y +-=或4x =【答案】B【解析】圆2248160x y x y +--+=化为标准方程为22(2)(4)4x y -+-=，得圆心()2,4，半径为2，当直线l 的斜率不存在时，直线4l x =：，此时直线l 与圆2248160x y x y +--+=相切，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()4y k x =-，即40kx y k --=，圆心()2,4到直线l 的距离为d =由相切得2d r ==，2=，平方化简得34k =-，求得直线方程为34120x y +-=，综上，直线l 的方程为34120x y +-=或4x =．故选：B【变式3-3】（23-24高二上·天津武清·月考）已知过点()2,3P 的直线与圆()22110x y -+=相切，且与直线10x ay -+=平行，则=a （）A ．2B ．3-C ．12-D ．12【答案】B【解析】已知过点()2,3P 的直线与圆()22110x y -+=相切，将点()2,3P 代入圆()22110x y -+=恒成立，则点P 在圆上．即过点()2,3P 的直线与圆()22110x y -+=相切的切线只有一条，令过点()2,3P 的切线的方程为3(2)y k x -=-，即230kx y k --+=，由此切线与10x ay -+=平行，两直线的斜率相等且y 轴截距不等，可得1k a=且123k a -+≠；由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径22023101k k r k --+==+，13k =-，即3a =-.故选：B ．考点四：与切线长有关的问题例4.（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）由点(1,4)P -向圆2246120x y x y +--+=引的切线长是（）A ．3B 5C 10D ．5【答案】A【解析】圆2246120x y x y +--+=即圆()()22231x y -+-=的圆心半径分别为()2,3,1r =，点(1,4)P -到圆心()2,3的距离为()()22124310d =--+-所以点(1,4)P -向圆2246120x y x y +--+=1013-=.故选：A.【变式4-1】（23-24高二上·浙江宁波·期末）过点()0,2与圆22410x y x ++-=相切的两条直线的夹角为α，则cos α=（）A ．14B ．154C ．154-D ．14-【答案】A【解析】因为2202421110++⨯-=>，所以点()0,2在圆外，设圆心为C ，点()0,2为点D ，切点为,A B ，圆22410x y x ++-=化为标准方程得()2225x y ++=，则圆心()2,0C -，半径5r =，在Rt ACD △中，22,5CD AC ==853AD =-=故35cos 2222ADC ADC ∠=∠由圆的切线的性质可得ADC BDC ∠=∠，所以351cos cos cos 2884ADB ADC α=∠=∠=-=.故选：A.【变式4-2】（23-24高二上·四川乐山·期末）已知点(),P x y 是直线23y x =+上一动点，PM 与PN 是圆C ：()2211x y -+=的两条切线，M 、N 为切点，则四边形PMCN 的最小面积为（）A ．4B ．25C ．2D ．1【答案】C【解析】由题意知，圆C ：()2211x y -+=的圆心()1,0C ,半径1r =，因为PM 与PN 是圆C ：()2211x y -+=的两条切线，所以PM PN =，22221PMPC MC PC =-=-,则21PM PC =-当PC 最小时，PM 也最小,又点(),P x y 是直线23y x =+上一动点，故圆心()1,0C 到直线23y x =+的距离2355d +=PC 的最小值，此时min2PM=，则此时四边形PMCN 的面积S PM MC PM ==也最小，最小值为2S =.故选：C.【变式4-3】（23-24高二上·陕西西安·期中）已知圆O 的半径为2，过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，那么PA PB的最小值为（）A ．1642-+B ．1242-+C ．1282-+D ．1682-+【答案】C 【解析】如图，设PO d =，则24PA PB d ==-，因为2sin APO d ∠=，所以2228cos 121APB d d ⎛⎫∠=-=- ⎪⎝⎭，所以()2222832411223212212PA PB d d dd ⎛⎫⋅=--=+-≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2232d d=，即2424d =>时，等号成立，故PA PB ⋅的最小值为8212，故选：C.考点五：切点弦及其方程应用例5.（23-24高三上·云南曲靖·月考）过点()0,2P 作圆22:430C x x y -++=的两条切线，设切点为A ，B ，则切点弦AB 的长度为（）A 14B ．142C ．144D ．147【答案】B【解析】圆22:430C x x y -++=，即()2221x y -+=，易知22PC =C 的半径1r =，所以切线长7PA PB ==．所以四边形PACB 的面积为127172PACB S =⨯=．所以根据等面积法知：172PACB S PC AB ==⨯⨯，所以142AB =．故选：B ．【变式5-1】（23-24高二上·河北·期中）过点)3,0M作圆C ：()2211x y +-=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为．30x y -=【解析】由图可知，其中一条切线为x 轴，切点为坐标原点．因为AB CM ⊥,303CM k ==-，则3AB k =所以直线AB 30x y -=．30x y -=.【变式5-2】（22-23高三上·广东·开学考试）过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为．【答案】2+-x y 0=【解析】方法1：由题知，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =，所以过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为()0,2A 、()2,0B ，所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为2y x =-+，即20x y +-=；方法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则由2211111142.12x y y y x x ⎧+=⎪-⎨=-⎪-⎩，可得112x y +=，同理可得222x y +=，所以直线AB 的方程为2+-x y 0=.故答案为：20x y +-=【变式5-3】（23-24高二上·江西上饶·期末）P 是直线4x y +=上的一个动点，,A B 是圆224x y +=上的两点，若,PA PB 均与圆O 相切，则弦长AB 的最小值为．【答案】【解析】因为12AB PO OA PA ⋅=⋅，所以AB ==当PO 的长最小时，弦长AB 最小，而PO 的最小值为圆心（即原点）到直线4x y +=的距离，所以min PO =min AB ==故答案为：考点六：直线与圆相交弦问题例6.（23-24高二上·江西上饶·期末）直线30x y -+=被圆22240x y x y ++-=所截得的弦长为（）A ．2BC．D ．10【答案】C【解析】圆22240x y x y ++-=即()()22125x y ++-=，故圆心为()1,2-，显然圆心在直线30x y -+=上，故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为故选：C ．【变式6-1】（23-24高二下·山西运城·开学考试）直线10x y --=将圆()()22238x y -+-=分成两段，这两段圆弧的弧长之比为（）A ．1：2B ．1：3C ．1：5D ．3：5【答案】A【解析】设直线与圆的两个交点为,A B ，圆心为C ，过点C 作CD AB ⊥交于D ,如图所示设()0πACD αα∠=<<，所以圆心到直线的距离为d CD ===在Rt ACD △中，1cos 2CD AC α===因为0πα<<，所以π3α=，由圆的性质知，2π23ACB α∠==，所以两段圆弧的弧长之比等于两段弧所对圆心角的弧度数之比，等于2π2π:2π1:233⎛⎫-= ⎪⎝⎭．故选：A.【变式6-2】（23-24高二上·山东聊城·期末）写出经过坐标原点，且被圆()()22:124C x y -+-=截得的弦长为l 的一个方程．【答案】0x =或340x y -=（写出一个即可）【解析】由题意，圆心()1,2到直线l 的距离1d ==，当直线l 的斜率不存在时，方程为0x =满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，即0kx y -=1=，即()2221k k -=+，解得34k =，此时直线l 的方程为340x y -=.故答案为：0x =或340x y -=（写出一个即可）【变式6-3】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）设圆222210x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若AB =，则l 直线方程为．【答案】0x =或34120x y +-=【解析】圆22(1)(1)3x y -+-=的圆心(1,1)C ，半径r =，圆心(1,1)C 到直线0x =的距离为1，满足||AB ==，直线0x =符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+，即30kx y -+=，圆心(1,1)C 到直线l=34k =-，此时直线l ：34120x y +-=，所以直线l 的方程为0x =或34120x y +-=.故答案为：0x =或34120x y +-=考点七：过定点直线的最短弦长例7.（23-24高二下·四川成都·月考）直线()():211850l m x m y m +++--=，被圆22:(2)(1)25C x y -+-=截得最短弦的长为（）A ．B ．C ．D 【答案】C【解析】直线()():211850l m x m y m +++--=，即()2850x y m x y +-++-=，由28050x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得3,2x y ==，设()3,2D ，由于()()223221225-+-=<，所以D 在圆C 内，圆22:(2)(1)25C x y -+-=的圆心为()2,1C ，半径=5r ，如图：当CD AB ⊥时，AB 最短，22112CD +=所以弦长AB 的最小值为()22252223-=故选：C【变式7-1】（22-23高二上·云南临沧·月考）当圆22:450C x x y -+-=截直线:30l x my m -+-=所得的弦长最短时，实数m =（）A 2B ．1-C ．2-D ．1【答案】B【解析】由22:450C x y x +--=得22(2)9x y -+=，圆心坐标是()2,0C ，半径是3,直线l ：30x my m -+-=过定点()3,1P ，且在圆内，∴当l PC ⊥时，直线l 被圆22450x y x +--=截得的弦长最短，由110132m -⋅=--解得1m =-.故选:B.【变式7-2】（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知过点()1,1P a b ++的直线l 与圆22:()()4M x a y b -+-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A ．23B 3C 2D ．22【答案】D【解析】因为22(1)(1)4a a b b +-++-<，所以点P 在圆M 内．且圆22:()()4M x a y b -+-=的圆心为(),M a b ，半径为2，则2MP =，当MP l ⊥时，AB 取得最小值，且最小值为24||22MP -=D【变式7-3】（23-24高二上·四川凉山·期末）过点(3,1)的直线与圆22:410C x y x +--=交于A ，B 两点，则当AB 弦长最短时ABC 的面积为（）A 6B ．22C ．23D ．26【答案】A【解析】圆22:(2)5C x y -+=的圆心(2,0)C ，半径r =，记(3,1)为点P ，||PC 即点(3,1)P 在圆C 内，则当AB CP ⊥时，弦AB 长最短，此时||AB ===所以ABC 的面积11||||22ABC S AB PC =⋅=⨯= 故选：A 考点八：直线与半圆的相交问题例8.（23-24高二下·上海·月考）已如直线y x m =+和曲线1y =只有一个公共点，则实数m的取值范围.【答案】{|02x m <≤或1m =【解析】因为曲线1y =，所以21,011y x ≤≤-≤，解得01,11y x ≤≤-≤≤，曲线可化为1y -=两边同时平方有，()2211y x -=-，即()2211x y +-=，所以曲线是以()0,1为圆心，1为半径的圆的一部分，而直线y x m =+，所以直线的斜率为1，画图象如下：由于直线与曲线只有一个公共点，当直线过()1,1-时，即11m =-+，解得2m =，当直线过()1,1时，即11m =+，解得0m =，由图象可知02m <≤，1=，解得1m =1m =而m 即为y x m =+在y 轴上的截距，由图象可知1m =，综上：02m <≤或1m =故答案为：{|02x m <≤或1m =.【变式8-1】（23-24高二下·重庆·月考）直线:130l x my m ---=与曲线:2C x =+m 的取值范围是（）A ．3,44⎛⎤⎥⎝⎦B ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,24⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意得，直线:130l x my m ---=过定点(1,3)P -，曲线:2C x =+(2,0)M 为圆心，半径为1的半圆（如图所示），曲线C 的下端点为(2,1)N -.要使直线l 与曲线C 有两个交点，则直线l 应位于直线PN 和切线PQ 之间（可以与PN 重合），此时直线l 的斜率存在，且PQ l PN k k k <≤，即0PN l k k ≥>且圆心(2,0)M 到直线l 的距离小于半径.由1(3)12021PN k m ---==≥>-得12m ≥1<得304m <<，所以1324m ≤<.故选：B.【变式8-2】（23-24高二上·河南许昌·月考）直线y x b =+与曲线y =b 取值范围为（）A ．(B ．(C ．⎡⎣D ．(【答案】C【解析】由曲线y =()2210x y y +=≥，表示以原点为圆心，半径为1的半圆，当直线y x b =+与半圆y =1=，则b =，此时直线为y x =+；当直线y x b =+过点()0,1时，1b =，此时直线为1y x =+，要使直线y x b =+与曲线21y x =-有两个交点，则b 取值范围为)1,2⎡⎣.故选：C.【变式8-3】（23-24高二上·四川南充·月考）若直线:(1)4l y k x =+-与曲线214x y =--有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A ．3(,)4+∞B ．3[,1]4C ．[3,)+∞D ．(0,3]【答案】C【解析】由已知直线:(1)4l y k x =+-过定点(1,4)P --，曲线214x y =--是以(1,0)M 为圆心，2为半径的圆的左半部分弧 ACB，(1,2)B ，作出它们的图形，如图，直线PB 的斜率为2(4)31(1)PB k --==--，当直线l 斜率不存在时，它与该半圆相切，由图可知，它们有两个交点时，3k ≥，故选：C ．一、单选题1．（23-24高二上·天津滨海新·月考）直线l ：2y x =+与圆C ：()2215x y +-=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】圆C ：()2215x y +-=的圆心(0,1)C ，半径5r =，故圆心到直线的距离220122521(1)d -+==<+-所以直线与圆相交，故选：A2．（23-24高二上·河南焦作·月考）直线10x ky -+=与圆222x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切【答案】A【解析】方法一：直线10x ky -+=恒过定点(1,0)-，而()212-<，所以点(1,0)-在圆222x y +=内，故直线与圆相交.选A.方法二：因为圆心到直线的距离221d r k=<=+，所以直线与圆相交.故选A.方法三：联立直线方程与圆的方程，消去x 并整理，得2210(2)1k y ky +--=，则()222441840k k k ∆=++=+>，所以直线与圆相交.故选A.故选：A.3．（23-24高二上·湖南长沙·期末）直线:2l x y +=，圆22:2220C x y x y +---=．则直线l 被圆C 所截得的弦长为（）A ．2B ．4C ．D【答案】B【解析】圆C 的标准方程为()()22114x y -+-=,直线l 过圆心()1,1C ,所以直线l 被圆C 所截得的弦长等于直径长度4.故选:B ．4．（23-24高二下·广东茂名·月考）已知圆22:(3)(4)9C x y -+-=，直线()():320l m x m y m +-++=.则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（）A B ．C D ．【答案】D【解析】直线()()():321320l m x m y m m x y x y +-++=-++-=.恒过定点()2,3P ，圆C 的圆心为()3,4C ，半径为3r =，且()()22233429-+-=<，即P 在圆内，当CP l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离最大为d CP ==此时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，最小值为=故选：D.5．（22-23高二上·重庆北碚·月考）过点()2,3A 作圆22:1M x y +=的一条切线，切点为B ，则AB =（）A ．3B ．C D【答案】B【解析】因为圆22:1M x y +=，所以圆M 的圆心为(0,0)M ，半径为1r =，因为AB 与圆M 相切，切点为B ，所以AB BM ⊥，则222AB r AM +=，因为AM =，所以AB ==故选：B.6．（23-34高二上·广东珠海·期末）曲线y =与直线()24y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A ．5,112⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．5,12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据题意画出图形，如图所示:由题意可得，曲线y =的图象为以()0,0为圆心，2为半径的半圆，直线l 恒过()2,4A ，由图当直线l 与半圆相切时，圆心到直线l 的距离d r =2=，解得34k =；当直线l 过()2,0B -点时，直线l 的斜率()40122k -==--，则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的取值范围为3,14⎛⎤⎥⎝⎦.故选:C.二、多选题7．（23-24高二上·安徽滁州·期末）若直线20kx y k -+=与圆()()22124x y -+-=有公共点，则实数k 的取值可能是（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】AB【解析】直线20kx y k -+=恒过定点()2,0-，圆()()22124x y -+-=的圆心为()1,2，半径为2，显然点()2,0-在圆外，直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离2d =≤，解得1205k ≤≤.故选：AB 8．（23-24高二上·福建福州·期末）已知过点(32),的直线l 和圆C ：2242110x y x y +---=，则（）A ．直线l 与圆C 相交B ．直线l 被圆C 截得最短弦长为C ．直线l 与被圆C 截得的弦长为l 的方程为2y =D ．不存在这样的直线l ，使得圆C 上有3个点到直线l 的距离为2【答案】ABD【解析】因为圆C ：2242110x y x y +---=，所以圆C 的圆心为()2,1，半径为4.选项A ：因为2232432211140+-⨯-⨯-=-<，所以点(32),在圆内，故直线与圆相交，选项A 正确；选项B ：设圆心到直线的距离为d ，弦长为m ，则22162m d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为圆心到直线的最长距离()()2232212d =-+-=所以2min max 216214m d =-=B 正确；选项C ：直线l 与被圆C 截得的弦长为21516151-=，当直线l 的斜率不存在时，直线方程为3x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()23y k x -=-，即320kx y k --+=，2213211k k k --+=+，解得0k =，故直线方程为2y =，综上满足题意的直线方程为3x =或2y =，故选项C 不正确；选项D ：当直线经过圆心时，圆上到直线的距离为2的点有4个；当直线不经过圆心时，直线将圆分成优弧与劣弧两个部分，由于半径为4，在优弧上一定存在两个点到直线l 的距离为2，那么此时，在劣弧上有且只有一个点到直线的距离为2.2时，此时圆心到直线的距离最大，又因为半径为4，且422->，所以此时劣弧上有两个点到直线的距离为2，所以不存在，所以选项D 正确.故选：ABD.三、填空题9．（23-24高二下·上海静安·期末）圆2225x y +=在点()3,4M -处的切线方程为．【答案】34250x y -+=【解析】由题意可知：圆2225x y +=的圆心为()0,0O ，半径=5r ，因为()223425-+=，可知点()3,4M -在圆上，又因为404303OM k -==---，可知切线方程的斜率34k =，所以切线方程为()3434y x -=+，即34250x y -+=.故答案为：34250x y -+=.10．（21-22高二上·福建宁德·期中）过圆221x y +=外一点(2,1)P -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是．【答案】210x y --=【解析】设切点分别为()()1122,,,A x y B x y ，因为点,A B 在圆221x y +=上，所以以,A B 为切点的切线方程分别为：11221,1x x y y x x y y +=+=，而点()2,1P -在两条切线上，所以112221,21x y x y -=-=，即点P 满足直线21210x y x y -=⇒--=.故答案为：210x y --=.11．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知直线10x my -+=与22:(1)4C x y -+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC 的m 的一个值.,33-中任意一个皆可以，答案不唯一）【解析】22:(1)4C x y -+= 的圆心为()1,0C ，半径2r =，设点C 到直线AB 的距离为d ，由弦长公式得AB =所以12ABC S d =⨯⨯=△，解得1d =或d =由d =1=m =3m =±．四、解答题12．（23-24高二上·北京·期中）求满足下列条件的曲线方程：(1)求过点()A 3,5且与圆22:2410O x y x y +--+=相切的直线方程；(2)求圆心在直线30x y -=上，与x 轴相切，且被直线0x y -=截得的弦长为.【答案】(1)3x =或512450x y -+=；(2)222610x x y y ++++=或222610x x y y -+-+=【解析】（1）据点()A 3,5可设直线方程为()()()()sin 3cos 50t x t y ---=.圆O 的方程可化为()()22124x y -+-=，故点()1,2到所求直线的距离为22=.所以222242sin 3cos 9cos 4sin 12sin cos 45cos 12sin cos t t t t t t t t t =-+=+-=+-，得()cos 5cos 12sin 0t t t -=.这就说明cos 0t =或5tan 12t =，所以所求直线的方程为3x =或512450x y -+=.（2）设所求圆的圆心坐标为(),3P t t ，由于该圆与x 轴相切，故该圆的半径为3t ，所以该圆的方程是()()22239x t y t t -+-=，即222260x tx y ty t -+-+=.而该圆被直线0x y -=截得的弦长为故该圆圆心到直线0x y -=的距离为d ==1t =±.故所求的圆的方程为222610x x y y ++++=或222610x x y y -+-+=.13．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知圆22:270C x y y +--=及内部一点0(1,3)P -，过点0P 作倾斜角为α的直线，与圆C 交于A B ，两点.(1)当135α= 时，求弦AB 长；(2)当弦AB 的长度最小时，求直线AB 的方程.【答案】(2)270x y -+=【解析】（1）因为135α= ，则tan1351AB k ==- ，所以直线AB 的方程为3(1)y x -=-+，即20x y +-=，圆C 的标准方程为22270x y y +--=，即22(1)8x y +-=，可得圆C 的圆心(0,1)C ，半径为r =所以圆心(0,1)C 到直线20x y +-=的距离为2d =，可得弦长为AB ===（2）由圆的弦长公式，可得AB =当圆心(0,1)C 到直线AB 的距离d 最大时，此时弦AB 的长度最小，即0CP AB ⊥时，弦AB 的长度最小，因为031210CP k -==---，所以12AB k =，所以AB 的方程为13(1)2y x -=+，即270x y -+=.。

课时跟踪检测(五十三)直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2014·人大附中月考)设m＞0，则直线2(x＋y)＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为()A．相切B．相交C．相切或相离D．相交或相切2．(2012·福建高考)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于()A．2 5 B．2 3C. 3 D．13．(2013·山东高考)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝04．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A. 2B. 3C．2 D．35．(2013·湛江模拟)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围为()A．(2＋1，＋∞) B．(2－1, 2＋1)C．(0, 2－1) D．(0, 2＋1)6．(2013·梅州模拟)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，P A，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形P ACB的最小面积是2，则k的值为()A. 2B.21 2C．2 2 D．27．(2013·朝阳高三期末)设直线x－my－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为23，则实数m的值是________．8．(2013·肇庆模拟)若a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为________．9．(2012·江西高考)过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．10．(2013·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．11．已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．1．已知两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________________；公共弦长为________．2．(2014·中山模拟)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，a 1，a 2，…，a 11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a 1，a 2，…，a 11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是________．3.(2013·江西六校联考)已知抛物线：C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、B ，且|AO |＝|BO |＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM ,·PF ,的最小值；(3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为S ，T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．答 案A 级1．C 2.B 3.A 4.C5．选A 计算得圆心到直线l 的距离为22＝ 2＞1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离 2＋1.6．选D 圆心C (0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1， 所以四边形面积的最小值为 2×⎝⎛⎭⎫12×1×d 2－1＝2， 解得k 2＝4，即k ＝±2.又k ＞0，即k ＝2.7．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1， 即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解得m ＝±33. 答案：±338．解析：由题意可知圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为 2 4－⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋b 22，由于a 2＋b 2＝c 2，所以所求弦长为2 3. 答案：2 39．解析：因为点P 在直线x ＋y －22＝0上，所以可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .因为两条切线的夹角为60°， 所以∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x 20＋(－x 0＋22)2＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是( 2， 2)．答案：( 2， 2)10．解：(1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34， 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为0，125. 11．解：(1)证明：由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t2， 化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0， 当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)； 当x ＝0时，y ＝0或4t，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ， 所以S △AOB ＝12|OA |·|OB | ＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值． (2)因为|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ， 所以C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率 k ＝2t t ＝2t 2＝12，所以t ＝2或t ＝－2. 所以圆心为C (2,1)或C (－2，－1)，所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.12．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)，Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k . B 级1．解析：由两圆的方程x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为105＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230.答案：2x ＋y －5＝0 2302．解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为10－4610＝5－265. 答案：5－2653．解：(1)易得B (1，3)，A (－1，－3)，设圆M 的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2(a ＞0)， 将点B (1，3)代入圆M 的方程得a ＝2，所以圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，因为点A (－1，－3)在准线l 上，所以p 2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)由(1)得，M (2,0)，F (1,0)，设点P (x ，y )，则PM ,＝(2－x ，－y )，PF ,＝(1－x ，－y )，又点P 在抛物线y 2＝4x 上，所以PM ,·PF ,＝(2－x )(1－x )＋y 2＝x 2－3x ＋2＋4x ＝x 2＋x ＋2，因为x ≥0，所以PM ,·PF ,≥2，即PM ,·PF ,的最小值为2.(3)证明：设点Q (－1，m )，则|QS |＝|QT |＝m 2＋5，以Q 为圆心，m 2＋5为半径的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －m )2＝m 2＋5，即x 2＋y 2＋2x －2my －4＝0，①又圆M 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，②由①②两式相减即得直线ST 的方程3x －my －2＝0，显然直线ST 恒过定点⎝⎛⎭⎫23，0.。

直线与圆及圆与圆的位置关系【本讲教育信息】⼀. 教学内容：直线与圆及圆与圆的位置关系⼆. 学习⽬标：1、能根据给出的直线和圆的⽅程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2、在学习过程中，进⼀步体会⽤代数⽅法处理⼏何问题的思想；3、进⼀步体会转化、数形结合等数学思想和⽅法。

三. 知识要点：1、直线和圆的位置关系设△是联⽴直线⽅程与圆的⽅程后得到的判别式，dO－L是圆⼼O到直线L的距离，则有：直线与圆相交：有两个公共点——△>0——dO－L∈[0，R]；直线与圆相切：有⼀个公共点——△＝0——dO－L＝R；直线与圆相离：⽆公共点——△<0——dO－L>R.2、圆与圆的位置关系两圆相交：有两个公共点——△>0——dO－O’∈[|R－r|，R＋r]；两圆外切:有⼀个公共点——△＝0——dO－O’＝R＋r；两圆内切:有⼀个公共点——△＝0——dO－O’＝|R－r|；④两圆相离:⽆公共点——△<0——dO－O’>R＋r;⑤两圆内含：⽆公共点——△<0——dO－O’<|R－r|.【典型例题】考点⼀ 研究直线与圆的位置关系例1 已知直线Ｌ过点（－2，０），当直线Ｌ与圆x2＋y2＝2x有两个不同交点时，求斜率k的取值范围。

法⼀：设直线L的⽅程为：y＝k（x＋2），与圆的⽅程联⽴，代⼊圆的⽅程令△>0可得：。

法⼀：法⼆：设直线L的⽅程为：y＝k（x＋2），利⽤圆⼼到直线的距离dO－L∈[0，R]可解得：。

法⼆：考点⼆ 研究圆的切线例2 直线y＝x＋b与曲线有且仅有⼀个公共点，求b的取值范围。

分析：作出图形后进⾏观察，以找到解决问题的思路。

分析：解：曲线即x2＋y2＝1（x≥0），当直线y＝x＋b解：与之相切时，满⾜：由观察图形可知：当或时，它们有且仅有⼀个公共点。

例3 过点P（1，2）作圆x2＋y2＝5的切线L，求切线L的⽅程。

解：因P点在圆上，故可求切线L的⽅程为x＋2y＝5。

重难点04 圆的基本性质及直线与圆的位置关系中考数学中《圆的基本性质及直线与圆的位置关系》部分主要考向分为十类：一、垂径定理及其应用（每年1道，3~12分）二、圆周角定理（每年1~2道，3~12分）三、圆内接四边形（每年1题，3~6分）四、三角形的外接圆与外心（每年1~2题，3~8分）五、直线与圆的位置关系（每年1题，3~10分）六、切线的性质与判定（每年1~2题，3~13分）七、三角形内切圆与内心（每年1题，3~4分）八、正多边形和圆（每年1题，3~10分）九、弧长与扇形面积的计算（每年1题，3~4分）十、圆锥的计算（每年1题，3~4分）中考数学中，圆的基本性质与直线与圆的位置关系一直都是必考的考点，难度从基础到综合都有，通常选择、填空题会出圆的基本性质，如垂径定理、圆周角定理、弧长与面积的求法、切线的性质等，基本都是基础应用，难度不大，个别会出选择题的压轴题，难度稍大。

简答题部分，一般会把切线的判定和相似三角形、锐角三角函数等结合考察，此时难度变大，综合性较强，需要认真应对。

考向一：垂径定理及其应用【题型1 垂径定理及其推论】满分技巧1.圆中模型“知2得3”由图可得以下5点：①AB ⊥CD ；②AE=EB ；③AD 过圆心O ；④⋂⋂=BC AC ；⑤⋂⋂=BD AD ；以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。

2.常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角1．（2023•宜昌）如图，OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，AC ，OB 交于点D ．若AD ＝CD ＝8，OD ＝6，则BD 的长为（ ）A．5B．4C．3D．2【分析】根据垂径定理的推论得OB⊥AC，再根据勾股定理得OA＝＝＝10，即可求出答案．【解答】解：∵AD＝CD＝8，∴OB⊥AC，在Rt△AOD中，OA＝＝＝10，∴OB＝10，∴BD＝10﹣6＝4．故选：B．2．（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（）A．20m B．28m C．35m D．40m【分析】设主桥拱半径R，根据垂径定理得到AD＝，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【解答】解：由题意可知，AB＝37m，CD＝7m，设主桥拱半径为R m，∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，∵OC是半径，OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝（m），在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，∴（）2+（R﹣7）2＝R2，解得R＝≈28．故选：B．3．（2023•永州）如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10cm，水的最深处到水面AB 的距离为4cm，则水面AB的宽度为16cm．【分析】过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，由垂径定理可得AC＝BC，然后在Rt△AOC中根据勾股定理求出AC的长，即可得出AB的长．【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，∴，由题意知，OA＝10cm，CD＝4cm，∴OC＝6cm，在Rt△AOC中，（cm），∴AB＝2AC＝16（cm），故答案为：16．4．（2023•东营）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为26寸．【分析】连接OA，设⊙O的半径是r寸，由垂径定理得到AE＝AB＝5寸，由勾股定理得到r2＝（r﹣1）2+52，求出r，即可得到圆的直径长．【解答】解：连接OA，设⊙O的半径是r寸，∵直径CD⊥AB，∴AE＝AB＝×10＝5寸，∵CE＝1寸，∴OE＝（r﹣1）寸，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝（r﹣1）2+52，∴r＝13，∴直径CD的长度为2r＝26寸．故答案为：26．5．（2023•贵州）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交⊙O于点E，连接EA，EB．（1）写出图中一个度数为30°的角：∠1，图中与△ACD全等的三角形是△BCD；（2）求证：△AED∽△CEB；（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．【分析】（1）⊙O是等边三角形ABC的外接圆，可知点O为外心，故CD为AB的中线、垂线、∠ACB 平分线（三线合一），并利用HL定理证明△ACD≌△BCD；（2）利用两三角形两个对应角相等，可证明两三角形相似；（3）根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，可证得四边形OAEB四条边相等，从而证明它为菱形．【解答】（1）解：∵已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴点O是等边三角形ABC的外心，∴CE⊥AB，∠1＝∠2＝30°．∴∠ADC＝∠BDC＝90°，又∵AC＝BC，CD＝CD，∴Rt△ACD≌Rt△BCD（HL定理）．故答案为：∠1（答案不唯一），△BCD．（2）证明：∵∠ADE＝∠CBE＝90°，∠3＝∠CAE﹣∠CAB＝90°﹣60°＝30°＝∠2，∴△AED∽△CEB．（3）四边形OAEB为菱形．证明：∵∠CAE＝90°，∠1＝30°，∴AE＝CE．同理可证，BE＝CE．∴OA ＝OB ＝AE ＝BE ，∴四边形OAEB 为菱形．考向二：圆周角定理【题型2 圆周角定理及其推论】 满分技巧圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD ；②⋂⋂=CD AB ；③OM=ON ；④F E ∠=∠；⑤COD AOB ∠=∠；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。

课时跟踪检测（十六） 直线与圆的位置关系[A 级 基础巩固]1．直线l: y －1＝k (x －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的关系是( )A ．相离B ．相切或相交C ．相交D ．相切解析：选C l 过定点A (1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A 在圆上，∵直线x ＝1过点A 且为圆的切线，又l 斜率存在，∴l 与圆一定相交，故选C.2．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( )A ．0或4B ．0或3C ．－2或6D ．－1或3解析：选A 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r ＝2.又直线被圆截得的弦长为22，所以圆心到直线的距离d ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝2.又d ＝|a －2|2，所以|a －2|＝2，解得a ＝4或a ＝0.故选A.3．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为C (－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝0 解析：选A 由圆的一般方程可得圆心为M (－1,2)．由圆的性质易知M (－1,2)与C (－2,3)的连线与弦AB 垂直，故有k AB ×k MC ＝－1⇒k AB ＝1，故直线AB 的方程为y －3＝x ＋2，整理得x －y ＋5＝0.4．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．22 C.7 D ．3解析：选C 因为切线长的最小值是当直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线y ＝x ＋1的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，所以切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7，故选C.5．(多选)与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0相切，且在x ，y 轴上的截距相等的直线方程为( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．x ＝0D ．x ＋y ＝4 解析：选ABD 圆C 的方程可化为(x －2)2＋y 2＝2.可分为两种情况讨论：(1)直线在x ，y 轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y ＝kx ，则|2k|1＋k2＝2，解得k ＝±1；(2)直线在x ，y 轴上的截距均不为0，则可设直线方程为x a ＋y a＝1(a ≠0)，即x ＋y －a ＝0(a ≠0)，则|2－a|2＝2，解得a ＝4(a ＝0舍去)．6．若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________．解析：设切线斜率为k ，则由已知得： k ·k OP ＝－1.∴k ＝－12.∴切线方程为x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝07．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为____________________．解析：令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．因为直线x ＋y ＋3＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r ＝|－1＋0＋3|2＝2， 所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径是________．解析：由题知，直线x －y ＋1＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，－1， 即－k 2＋1＋1＝0，∴k ＝4.∴r ＝16＋4－162＝1. 答案：19．一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且直线y ＝x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程．解：因为圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y ＝0上，故设圆的方程为(x －3b )2＋(y －b )2＝9b 2.又因为直线y ＝x 截圆得弦长为27，则有⎝⎛⎭⎪⎫|3b －b|22＋(7)2＝9b 2， 解得b ＝±1，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.10．已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．解：法一：将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0.则Δ＝4m (3m ＋4)．(1)当Δ>0，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当Δ＝0，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当Δ<0，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 法二：已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝4，即圆心为C (2,1)，半径r ＝2.圆心C (2,1)到直线mx －y －m －1＝0的距离d ＝|2m －1－m －1|1＋m2＝|m －2|1＋m2. (1)当d <2，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当d ＝2，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当d >2，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． [B 级 综合运用]11．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )A ．1.4米B ．3.5米C ．3.6米D ．2米解析：选B 建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h ，则A (0.8，h －3.6)所在圆的方程为： x 2＋(y ＋3.6)2＝3.62，把A (0.8，h －3.6)代入得0.82＋h 2＝3.62.∴h ＝40.77≈3.5(米)．12．直线x ＋7y －5＝0截圆x 2＋y 2＝1所得的两段弧长之差的绝对值是( )A.π4B.π2 C ．π D.3π2 解析：选C 圆心到直线的距离d ＝|0＋0－5|1＋49＝22.又圆的半径r ＝1，∴直线x ＋7y －5＝0被圆x 2＋y 2＝1截得的弦长为2，∴直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为90°，∴劣弧是整个圆周的14，∴直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值为整个圆周长的一半，即12×2πr ＝π. 13．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________．解析：圆的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝5，示意图如图所示．则圆心为O ′(3,4)，r ＝5.切线长|OP |＝|OO′|2－|O′P|2＝25.∴|PQ |＝2·|OP|·|O′P||OO′|＝2×25×55＝4. 答案：414.如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 交于M ，N 两点．(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程．解：(1)设圆A 的半径为r .∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴r ＝|－1＋4＋7|5＝25.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为x ＝－2，易得|MN |＝219，符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.取MN 的中点Q ，连接AQ ，则AQ ⊥MN .∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1，∴|k －2|k2＋1＝1，得k ＝34， ∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.[C 级 拓展探究]15．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C ：x 2＋y 2＝4. (2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由错误!得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k2k2＋1，x 1x 2＝k2－4k2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y1x1－t ＋y2x2－t ＝0⇒错误!＋错误!＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒错误!－错误!＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。