2011年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解浙江理

2011年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共2页） 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准备考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷个答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：如果事件,A B 互斥，那么柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ v sh =如果事件,A B 相互独立，那么其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13v sh =一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设函数2,0,(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨⎩> 若()4f α=，则实数α= （A ） —4或—2 （B ） —4或2 （C ）—2或4 （D ）—2或2 （2）把负数z 的共轭复数记作i,i 为虚数单位。

若z=1+i,则(1)z z -+•= （A ）3i - （B ）3i + （C ）13i + （D)3 (3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()()()P A B P A P B •=•（4）下列命题中错误的是（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定直线平行于平面β（B ）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ （D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β（5）设实数x 、y 是不等式组 ，若x 、y 为整数，则34x y + 的最小值为（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19（6）若02πα<<，02πβ-<<，1cos ()23πα+=，cos ()423πβ-=，则cos ()2βα+= （A ）（B ）（C （D ） （7）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <”或1b a>的 （A ）充分二而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）已知椭圆 221221x y C a b =+=（a >b >0）与双曲线 22214y C x =-=有公共的焦点，1C 的一条最近线与以2C 的长轴为直径的圆相交于,A B 来两点。

2011年浙江省高考数学试卷和答案（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1、（2011•浙江）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（）A、﹣4或﹣2B、﹣4或2C、﹣2或4D、﹣2或22、（2011•浙江）把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位．若z=1+i，则（1+z）•=（）A、3﹣iB、3+iC、1+3iD、33、（2011•浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A、B、C、D、4、（2011•浙江）下列命题中错误的是（）A、如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB、如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC、如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD、如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5、（2011•浙江）设实数x、y满足不等式组，若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（）A、14B、16C、17D、196、（2011•浙江）若0＜a＜，﹣＜β＜0，cos（+α）=，cos（﹣）=，则cos（α+）=（）A、B、﹣C、D、﹣7、（2011•浙江）若a、b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜”或“b＞”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件8、（2011•浙江）已知椭圆的离心率e=，则k的值为（）A、4或B、4C、4或﹣D、﹣9、（2011•浙江）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（）A、B、C、D、10、（2011•浙江）设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）．记集合S={x|f （x）=0，x∈R}，T={x|g（x）=0，x∈R}．若{S}，{T}分别为集合S，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A、{S}=1且{T}=0B、{S}=1且{T}=1C、{S}=2且{T}=2D、{S}=2且{T}=3二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11、（2011•浙江）若函数f（x）=x2﹣|x+a|为偶函数，则实数a=_________．12、（2011•浙江）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是_________．13、（2011•浙江）若二项式（x﹣）n（a＞0）的展开式中x的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是_________．14、（2011•浙江）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α和β的夹角θ的范围是_________．15、（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=_________．16、（2011•浙江）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是_________．17、（2011•浙江）一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，则椭圆的离心率为_________．三、解答题（共5小题，满分72分）18、（2011•浙江）在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c．已知sinA+sinC=psinB（p∈R）．且ac=b2．（Ⅰ）当p=，b=1时，求a，c的值；（Ⅱ）若角B为锐角，求p的取值范围．19、（2011•浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小．20、（2011•浙江）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A﹣MC﹣β为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．21、（2011•浙江）已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y﹣4）2=1的圆心为点M（Ⅰ）求点M到抛物线C1的准线的距离；（Ⅱ）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂足于AB，求直线l的方程．22、（2011•浙江）设函数f（x）=（x﹣a）2lnx，a∈R（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点，求实数a；（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈（0，3a]，恒有f（x）≤4e2成立．注：e为自然对数的底数．答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1、（2011•浙江）设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=（）A、﹣4或﹣2B、﹣4或2C、﹣2或4D、﹣2或2考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法。

2011年辽宁文一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合A=x∣x>1，B=x∣−1<x<2，则A∩B= A. x∣−1<x<2B. x∣x>−1C. x∣−1<x<1D. x∣1<x<22. i为虚数单位，1i +1i3+1i5+1i7= A. 0B. 2iC. −2iD. 4i3. 已知向量a=2,1，b=−1,k，a⋅2a−b=0，则k= A. −12B. −6C. 6D. 124. 已知命题p:∃n∈N，2n>1000，则¬p为 A. ∀n∈N，2n≤1000B. ∀n∈N，2n>1000C. ∃n∈N，2n≤1000D. ∃n∈N，2n<10005. 若等比数列a n满足a n a n+1=16n，则公比为 A. 2B. 4C. 8D. 166. 若函数f x=x2x+1x−a为奇函数，则a= A. 12B. 23C. 34D. 17. 已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，∣AF∣+∣BF∣=3，则线段AB的中点到y轴的距离为 A. 34B. 1 C. 54D. 748. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 A. 4B. 23C. 2D. 39. 执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是 A. 8B. 5C. 3D. 210. 已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45∘，则棱锥S−ABC的体积为 A. 33B. 233C. 433D. 53311. 函数f x的定义域为R，f−1=2，对任意x∈R，fʹx>2，则f x>2x+4的解集为 A. −1,1B. −1,+∞C. −∞,−1D. −∞,+∞12. 已知函数f x=A tanωx+φ ω>0,∣φ∣<π2，y=f x的部分图象如图，则fπ24= A. 2+3B. 3C. 33D. 2−3二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知圆C经过A5,1，B1,3两点，圆心在x轴上，则C的方程为．14. 调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y=0.254x+0.321．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加万元．15. S n为等差数列a n的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=．16. 已知函数f x=e x−2x+a有零点，则a的取值范围是．三、解答题（共8小题；共104分）17. △ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，a sin A sin B+b cos2A=2a．；（1）求ba（2）若c2=b2+3a2，求B．PD．18. 如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=12（1）证明：PQ⊥平面DCQ；（2）求棱锥Q−ABCD的体积与棱锥P−DCQ的体积比值．19. 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．x1−x2+x2−x2+⋯+x n−x2，其中x为样附：样本数据x1,x2,⋯,x n的样本方差s2=1n本平均数．（1）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；（2）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你应该种植哪一品种?20. 设函数f x=x+ax2+b ln x，曲线y=f x过P1,0，且在P点处的切线斜率为2．（1）求a,b的值；（2）证明：f x≤2x−2．21. 如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e．直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．（1）设e=12，求∣BC∣与∣AD∣的比值；（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN ?并说明理由．22. 如图，A,B,C,D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（1）证明：CD∥AB；（2）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A,B,G,F四点共圆．23. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=cosφy=sinφ（φ为参数），曲线C2的参数方程为x=a cosφy=b sinφ（a>b>0，φ为参数）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l:θ=α与C1，C2各有一个交点，当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=π2时，这两个交点重合．（1）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；（2）设当α=π4时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=−π4时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．24. 已知函数f x=∣x−2∣−∣x−5∣．（1）证明：−3≤f x≤3；（2）求不等式f x≥x2−8x+15的解集．答案第一部分1. D2. A3. D4. A5. B【解析】因为a n a n+1=16n，所以a1a2=16，a2a3=162，后式除以前式，得q=±4，又因为a1a2=a12q=16>0，所以q>0，所以q=4．6. A 【解析】因为函数f x=x2x+1x−a 为奇函数，所以函数的定义域关于原点对称，解得a=12．7. C 【解析】由抛物线定义可知，AB中点到准线的距离为∣AF∣+∣BF∣2=32，故其到y轴的距离为3 2−14=54．8. B 【解析】提示：由体积求得底面边长为2．9. C 【解析】第3次循环后结束循环，此时p=3，s=2，t=3，k=4．10. C【解析】由SC为直径，∠ASC=∠BSC=45∘，得△ASC和△BSC都是等腰直角三角形．由SC=4，得SA=SB=AC=BC=22．因为球心O是SC的中点，所以SC⊥OA，SC⊥OB，从而SC⊥平面OAB．因为OA=OB=AB=2，所以△OAB为正三角形．因此，棱锥S−ABC的体积为V=1SC⋅S△OAB=1×4×3×22=43.11. B 【解析】令 x=f x−2x−4，则 ʹx=fʹx−2，由题可知 ʹx>0，故 x单增，又 −1=f−1−2=0，所以解集为−1,+∞．12. B 【解析】提示：f x=tan2x+π4．第二部分13. x−22+y2=1014. 0.25415. −116. −∞,2ln2−2【解析】fʹx=e x−2，当x<ln2时，fʹx<0，f x单调递减，当x>ln2时，fʹx>0，所以f x 单调递增，要使函数f x有零点，则f x min=f ln2=2−2ln2+a≤0，则a≤2ln2−2．第三部分17. （1）由正弦定理得，sin2A sin B+sin B cos2A=2sin A,即sin B sin2A+cos2A=2sin A.故sin B=A，所以ba=2．（2）由余弦定理和c2=b2+3a2，得cos B=1+3 a.由（1）知b2=2a2，故c2=2+3 a2.可得cos2B=12．又b<c，所以cos B>0，故cos B=22，所以B=45∘．18. （1）由条件知PDAQ为直角梯形．∵QA⊥平面ABCD，∴平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD．又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，∴DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC．在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=22 PD,则PQ⊥QD．又QD∩DC=D，所以PQ⊥平面DCQ．（2）设AB=a．由题设知AQ为棱锥Q−ABCD的高，所以棱锥Q−ABCD的体积V1=1a3.由（1）知PQ为棱锥P−DCQ的高，而PQ=2a，△DCQ的面积为22a2，所以棱锥P−DCQ的体积V2=1a3.故棱锥Q−ABCD的体积与棱锥P−DCQ的体积比值为1．19. （1）设第一大块地中的两小块地编号为1,2，第二大块地中的两小块地编号为3,4．令事件A= "第一大块地都种品种甲"．从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个：1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4.而事件A包含1个基本事件：1,2，所以P A =1.（2）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：x 甲=1403+397+390+404+388+400+412+406=400,s 甲2=1832+ −3 2+ −10 2+42+ −12 2+02+122+62=57.25;品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：x 乙=18 419+403+412+418+408+423+400+413=412,s 乙2=18 72+ −9 2+02+62+ −4 2+112+ −12 2+12=56.由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且品种乙的样本方差小于品种甲的样本方差，故应选择种植品种乙． 20. （1）fʹ x =1+2ax +b.由已知条件得f 1 =0,fʹ 1 =2,即1+a =0,1+2a +b =2,解得a =−1,b =3.（2）f x 的定义域为 0,+∞ ，由（1）知f x =x −x 2+3ln x ,设g x =f x − 2x −2=2−x −x 2+3ln x ,则gʹ x =−1−2x +3x =− x −1 2x +3 ,当0<x <1时，gʹ x >0;当x >1时，gʹ x <0.所以g x在0,1单调递增，在1,+∞单调递减．而g1=0，故当x>0时，g x≤0，即f x≤2x−2.21. （1）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1:x2a2+y2b2=1a>b>0,C2:b2y24+x22=1,设直线l:x=t∣t∣<a，分别与C1、C2的方程联立，求得A t,aa2−t2,B t,ba2−t2.当e=12时，b=3 a,分别用y A、y B表示A、B的纵坐标，可知∣BC∣:∣AD∣=2∣y B∣A=b22=3.（2）t=0时的l不符合题意．t≠0时，BO∥AN，当且仅当k BO=k AN,即b a a2−t2=aba2−t2,解得t=−ab2a2−b2=−1−e2e2⋅a,因为∣t∣<a，且0<e<1，所以1−e2e2<1,解得22<e<1.综上，得当0<e≤22时，不存在直线l，使得BO∥AN；当22<e<1时，存在直线l，使得BO∥AN．22. （1）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.因为A,B,C,D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA.所以CD∥AB．（2）由（1）知，AE=BE，因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC,从而∠FED=∠GEC.连接AF,BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE.又CD∥AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.由（1）中结论CD∥AB可得∠AFG+∠FAB=180∘，所以∠AFG+∠GBA=180∘.故A,B,G,F四点共圆．23. （1）C1是圆，C2是椭圆．当α=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为1,0，a,0．因为这两点间的距离为2，所以a=3．当α=π2时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为0,1，0,b．因为这两点重合，所以b=1．（2）C1，C2的普通方程分别为x2+y2=1,x2+y2=1.当α=π4时，射线l与C1交点A1的横坐标为x=22，与C2交点B1的横坐标为xʹ=31010．当α=−π4时，射线l与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1的面积为2xʹ+2x xʹ−x2= 2 5.24. （1）f x=∣x−2∣−∣x−5∣=−3,x≤2,2x−7,2<x<5, 3,x≥5,当2<x<5时，−3<2x−7<3,所以−3≤f x≤3.（2）由（1）可知，当x≤2时，f x≥x2−8x+15的解集为空集；当2<x<5时，f x≥x2−8x+15的解集为x∣5−3≤x<5;当x≥5时，f x≥x2−8x+15的解集为x∣5≤x≤6.综上，不等式f x≥x2−8x+15的解集为x∣5−3≤x≤6.。

2011年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(浙江卷)本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．选择题部分(共50分)参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重新试验中事件A 恰好发生k 次的概率()=(1)k k n kn n P k C p p -- (k ＝0，1，2，…，n ) 台体的体积公式11221()3V h S S S S =++其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高 柱体的体积公式 V ＝Sh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh ＝其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 S ＝4πR 2球的体积公式343V R π＝其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数2,0(),0x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩.若f (α)＝4，则实数α等于( ) A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或22．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝( ) A ．3－i B ．3＋i C ．1＋3i D ．33．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )4．下列命题中错误．．的是( ) A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5．设实数x ，y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．14B ．16C ．17D ．196．若02πα<<，02πβ-<<，1cos(+)=43πα，3cos()=423πβ-，则cos()2βα+等于( )A ．33B ．33-C ．539D ．69-7．若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“1a b <或1b a>”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知椭圆C 1：2222=1x y a b + (a ＞b ＞0)与双曲线C 2：2214y x -=有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点， 若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132 B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝29．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )A ．15 B ．25 C ． 35 D ．4510．设a ，b ，c 为实数，f (x ) ＝(x ＋a )(x 2＋bx ＋c )，g (x )＝(ax ＋1)(cx 2＋bx ＋1)．记集合S ＝{x |f (x )＝0，x ∈R }，T ＝{x |g (x )＝0，x ∈R }，若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是( ) A ．|S |＝1且|T |＝0B ．|S |＝1且|T |＝1C ．|S |＝2且|T |＝2D ．|S |＝2且|T |＝3非选择题部分(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是________．13．设二项式6()a x x-(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ， 若B ＝4A ，则a 的值是________．14．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与 β的夹角θ的取值范围是________． 15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.16．设x ，y 为实数．若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．17．设F 1，F 2分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上．若125F A F B = ，则点A 的坐标是________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且214ac b =. (1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．19．已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a (a ∈R )，设数列的前n 项和为S n ，且11a ，21a ，41a 成等比数列，(1)求数列{a n }的通项公式及S n ； (2)记A n ＝1231111n S S S S ++++…，B n ＝2-112221111+n a a a a +++…，当n ≥2时，试比较A n 与B n 的大小．20．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．21．已知抛物线C 1：x 2＝y ，圆C 2 ：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为点M.(1)求点M 到抛物线C 1的准线的距离；(2)已知点P 是抛物线C 1上一点(异于原点)，过点P 作圆C 2的两条切线，交抛物线C 1于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．22．设函数f (x )＝(x －a )2ln x ，a ∈R .(1)若x ＝e 为y ＝f (x )的极值点，求实数a ；(2)求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(0，3e]，恒有f (x )≤4e 2成立.注：e 为自然对数的底数．参考答案1．B 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．A 8．C 9．B 10．D 11．答案：0 12．答案：5 13．答案：214．答案：[6π，56π] 15．答案：5316．答案：210517．答案：(0，1)或(0，－1)18．解：(1)由题设并利用正弦定理，得5414a c ac ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,1,4a c =⎧⎪⎨=⎪⎩或1,41.a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝222211cos 22p b b b B --， 即231cos 22p B =+，因为0＜cos B ＜1，得p 2∈(32，2)，由题设知p ＞0，所以622p <<.19．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则(2214111()a a a =⋅，得(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )．因为d ≠0，所以d ＝a 1＝a ．所以a n ＝na ，(1)2n an n S +=. (2)因为1211()1n S a n n =-+，所以123111121(1)1n n A S S S S a n =++=-++…+．因为a 2n －1＝2n －1a ，所以21122211()111112112n nn B a a a a a --=+++=⋅-…+ 21(1)2n a =-． 当n ≥2时，0122n nn n n nC C C C =+++…+＞n ＋1，即111112n n -=-+，所以，当a ＞0时，A n ＜B n ； 当a ＜0时，A n ＞B n . 20．解：方法一： (1)证明：如图，以O 为原点，以射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz . 则O (0，0，0)，A (0，－3，0)，B (4，2，0)，C (－4，2，0)，P (0，0，4)，A P＝(0，3，4)，BC ＝(－8，0，0)，由此可得A 0P BC ⋅= ，所以A P BC ⊥，即AP ⊥BC ．(2)解：设PM PA λ= ，λ≠1，则PM＝λ(0，－3，－4)． BM BP PM BP PA λ=+=+＝(－4，－2，4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC ＝(－4，5，0)，BC＝(－8，0，0)．设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由11·0,·0,BM n BC n ⎧=⎪⎨=⎪⎩得1111423440,80,x y z x λλ--(+)+(-)=⎧⎨-=⎩即1110,23,44x z y λλ=⎧⎪+⎨=⎪-⎩可取n 1＝(0，1，2344λλ+-)． 由220,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即2222340,450,y z x y +=⎧⎨-+=⎩得22225,43,4x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可取n 2＝(5，4，－3)． 由n 1·n 2＝0，得4－3×2344λλ+-＝0，解得25λ=，故AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3.方法二：(1)证明：由AB ＝AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC ． 又PO ⊥平面ABC ，得PO ⊥BC ．因为PO ∩AD ＝O ，所以BC ⊥平面P AD ，故BC ⊥P A ．(2)解：如图，在平面P AB 内作BM ⊥P A 于M ，连结CM .由(1)知AP ⊥BC ，得AP ⊥平面BMC ． 又AP ⊂平面APC ，所以平面BMC ⊥平面APC ．在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2＋BD 2＝41，得41AB =. 在Rt △POD 中，PD 2＝PO 2＋OD 2， 在Rt △PDB 中，PB 2＝PD 2＋BD 2，所以PB 2＝PO 2＋OD 2＋DB 2＝36，得PB ＝6.在Rt △POA 中，P A 2＝AO 2＋OP 2＝25，得P A ＝5.又cos ∠BP A ＝2222PA PB AB PA PB++⋅＝13，从而PM ＝PB cos ∠BP A ＝2，所以AM ＝P A －PM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3.21．解：(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：14y =-，所以圆心M (0，4)到准线的距离是174.(2)设P (x 0，20x )，A (x 1，21x )，B (x 2，22x )，由题意得x 0≠0，x 0≠±1，x 1≠x 2.设过点P 的圆C 2的切线方程为y －20x ＝k (x －x 0)， 即y ＝kx －kx 0＋20x .① 则2002|4|1kx x k+-+＝1，即(x 02－1)k 2＋2x 0(4－x 02)k ＋(x 02－4)2－1＝0.设P A ，PB 的斜率为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1，k 2是上述方程的两根，所以k 1＋k 2＝20020241x x x (-)-，k 1k 2＝22020411x x (-)--. 将①代入y ＝x 2，得x 2－kx ＋kx 0－x 02＝0，由于x 0是此方程的根，故x 1＝k 1－x 0，x 2＝k 2－x 0，所以k AB ＝221212x x x x --＝x 1＋x 2＝k 1＋k 2－2x 0＝20020241x x x (-)-－2x 0，k MP ＝2004x x -. 由MP ⊥AB ，得k AB ·k MP ＝220000200244(2)()1x x x x x x (-)--⋅-＝－1，解得20235x =， 即点P 的坐标为(235±，235)，所以直线l 的方程为31151145y x =±+. 22．解：(1)求导得()22()ln x a f x x a x x(-)'＝－＋()(2ln )1x a x ax＝－＋－．因为x ＝e 是f (x )的极值点，所以()e (e )(3e)0f a a '＝－－＝，解得a ＝e 或a ＝3e.经检验，符合题意，所以a ＝e 或a ＝3e.(2)①当0＜x ≤1时，对于任意的实数a ，恒有f (x )≤0＜4e 2成立． ②当1＜x ≤3e 时，由题意，首先有f (3e)＝(3e －a )2ln(3e)≤4e 2，解得2e ln(33e 3e)e a ≤≤－＋2eln(3e).由(1)知()()(2ln 1)f x x a x a x'＝－＋－， 令h (x )＝2ln x ＋1－ax，则h (1)＝1－a ＜0，h (a )＝2ln a ＞0，且()()()2e 3e+ln(3e)3e 2ln 3e 12ln 3e 133eah e≥＝＋－＋－132l (l n3n3e )0e>＝－.又h (x )在(0，＋∞)内单调递增，所以函数h (x )在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零点为x 0，则1＜x 0＜3e ，1＜x 0＜A ．从而，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.即f (x )在(0，x 0)内单调递增，在(x 0，a )内单调递减，在(a ，＋∞)内单调递增．。

2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（全国卷，含答案）本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分。

第Ⅰ卷 1 至 2 页。

第Ⅱ卷 3 至 4 页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前， 考生在答题卡上务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

．．．．．．．．．．3．第Ⅰ卷共 l2 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。

一、选择题(1) 复数 z 1i ， z 为 z 的共轭复数，则 zz z 1（ A ） 2i（ B ） i（ C ） i（ D ） 2i【答案】 B(2) 函数 y 2 x( x 0) 的反函数为（ A ） yx 2( x R)（ B ）4（ C ）y 4x 2( x R)（ ）Dyx 2( x 0)4y 4x 2 ( x 0) 【答案】 B(3) 下面四个条件中，使 a b 成立的充分而不必要的条件是（ A ） a ＞b 1（ B ） a ＞b 1（C ） a 2＞ b 2（ D ） a 3＞ b 3【答案】 A(4) 设 S n 为等差数列a n 的前 n 项和，若 a 1 1，公差 d2 ， S k 2 S k 24 ，则 k（ A ） 8 （B ） 7（ C ） 6（ D ） 5【答案】 D(5) 设函数 f ( x) cos x(0) ，将 yf ( x) 的图像向右平移个单位长度后，所得的图3像与原图像重合，则的最小值等于（ A ）1（B ） 3（C ） 6（ D ） 93【答案】 C(6) 已知直二面角l , 点 A ， AC l , C 为垂足 , B ， BD l , D 为垂足．若 AB2, AC BD 1，则 D 到平面 ABC 的距离等于2 (B) 36 (D) 1(A)3 (C)33【答案】 CA(7) 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有(A) 4 种(B)10 种(C)18 种(D)20 种lD【答案】 BCB E(8) 曲线 y e 2 x1在点 (0,2) 处的切线与直线 y 0 和 y x 围 成的三角形的面积为(A)1(B)1 (C)2 (D)1323【答案】 A(9) 设 f ( x) 是周期为 2 的奇函数，当 0x 1 时， f (x)2x(1 x) , 则 f (5 )11112(A) -(B)(C)(D)2442【答案】 A(10) 已知抛物线C ： y 24x 的焦点为 F ，直线 y2x 4 与 C 交于 A ， B 两点．则cos AFB(A)4(B)3 (C)3 (D)4 5555【答案】 D(11) 已知平面 α截一球面得圆 M ，过圆心 M 且与 α 成 600 二面角的平面 β 截该球面得圆 N .若该球面的半径为 4，圆 M 的面积为 4 ，则圆 N 的面积为(A) 7 (B) 9(C)11(D)13【答案】 D(12) r r rr rr r 1 rr r rr设向量 a ， b ， c 满足 | a | | b |1， agb， ac,bc60 ，则 | c | 的最大值2等于(A) 2 (B)3(c)2(D) 1【答案】 AB绝密★启用前2011 年普通高等学校招生全国统一考试ACD理科数学 ( 必修 +选修 II)第Ⅱ卷注意事项：1 答题前，考生先在答题卡上用直径0． 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2011年重庆文一、选择题（共10小题；共50分）1. 在等差数列a n中，a2=2，a3=4，则a10= A. 12B. 14C. 16D. 182. 设U=R，M=x x2−2x>0，则∁U M= A. 0,2B. 0,2C. −∞,0∪2,+∞D. −∞,0∪2,+∞3. 曲线y=−x3+3x2在点1,2处的切线方程为 A. y=3x−1B. y=−3x+5C. y=3x+5D. y=2x4. 从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下（单位：克）：12512012210513011411695120134则样本数据落在114.5,124.5内的频率为 A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.55. 已知向量a=1,k，b=2,2，且a+b与a共线，那么a⋅b的值为 A. 1B. 2C. 3D. 46. 设a=log1312，b=log1323，c=log343，则a，b，c的大小关系是 A. a<b<cB. c<b<aC. b<a<cD. b<c<a7. 若函数f x=x+1x−2x>2在x=a处取最小值，则a= A. 1+B. 1+3C. 3D. 48. 若△ABC的内角A、B、C满足6sin A=4sin B=3sin C，则cos B= A. 154B. 34C. 31516D. 11169. 设双曲线的左准线与两条渐近线交于A、B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率取值范围为 A. 0,2B. 1,2C. 22,1 D. 2,+∞10. 高为2的四棱锥S−ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 A. 102B. 2+32C. 32D. 2二、填空题（共5小题；共25分）11. 1+2x6的展开式中x4的系数是．12. 若cosα=−35，且α∈ π,3π2，则tanα=．13. 过原点的直线与圆x2+y2−2x−4y+4=0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为．14. 从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为．15. 若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是．三、解答题（共6小题；共78分）16. 设a n是公比为正数的等比数列，a1=2，a3=a2+4．（1）求a n的通项公式；（2）设b n是首项为1，公差为2的等差数列，求数列a n+b n的前n项和S n．17. 某市公租房的房源位于A、B、C三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（1）没有人申请A片区房源的概率；（2）每个片区的房源都有人申请的概率．18. 设函数f x=sin x cos x−3cosπ+x cos x x∈R．（1）求f x的最小正周期；（2）若函数y=f x的图象按b=π4,32平移后得到函数y=g x的图象，求y=g x在0,π4上的最大值．19. 设f x=2x3+ax2+bx+1的导数为fʹx，若函数y=fʹx的图象关于直线x=−12对称，且fʹ1=0．（1）求实数a,b的值；（2）求函数f x的极值．20. 如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1．（1）求四面体ABCD的体积；（2）求二面角C−AB−D的平面角的正切值．21. 如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=22，一条准线的方程是x=22．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P满足：OP=OM+2ON，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为−12，问：是否存在定点F，使得 PF 与点P到直线l:x=210的距离之比为定值?若存在，求F的坐标；若不存在，说明理由．答案第一部分1. D 【解析】设该数列的公差为d，则d=a3−a2=2，因而a10=a2+8d=2+2×8=18．2. A 【解析】因为x2−2x>0，得x>2或x<0，所以∁U M=0,2．3. A4. C 【解析】落在114.5,124.5内的样本数据为120，122，116，120，共4个．故所求频率为410=25=0.4．5. D【解析】a+b=1,k+2,2=3,k+2，∵a+b与a共线，∴k+2−3k=0，解得k=1．∴a⋅b=1,1⋅2,2=4．6. B 【解析】由已知，得c=log34=log133.因为12<23<34，且函数f x=log13x在其定义域上为减函数，所以log131>log132>log133,即a>b>c．7. C 【解析】f x=x+1x−2=x−2+1x−2+2．∵x>2，∴x−2>0．∴f x=x−2+1x−2+2≥2 x−2⋅1x−2+2=4．当且仅当x−2=1x−2，即x=3时，" = "成立．又f x在x=a处取最小值．所以a=3．8. D 【解析】由6sin A=4sin B=3sin C得sin A:sin B:sin C=2:3:4．设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由正弦定理知a:b:c=2:3:4，不妨设a=2k，b=3k，c=4k k>0，则cos B=a 2+c2−b22ac=22+42−32k22×2k×4k=1116．9. B 【解析】由x=−a2c,y=−bax得A −a2c,abc．同理，可得B −a2c,−abc．又左焦点F−c,0，∴FA=b2c ,abc，FB=b2c,−abc．∵点F在以AB为直径的圆内，∴FA⋅FB<0，即b2c2−abc2<0，∴b4<a2b2，∴b2<a2，即c2−a2<a2，∴c2<2a2，即e2<2，∴e<2．又∵e>1，∴1<e< 2．其他解法：由x=−a2c,y=−bax,得A −a2c,abc．同理可得B −a2c,−abc．∵点F−c,0在以AB为直径的圆内，∴左焦点F到圆心的距离小于半径长，即c−a 2c <abc，即a>b．∴e=ca= a2+b2a=1+b2a2<2．又∵e>1，∴1<e<2．10. A【解析】如图：设四棱锥S−ABCD的外接球球心为E，则OE⊥面ABCD．在Rt△EOC中，EC=1，OC=22，∴EO= EC2−OC2=22．∵四棱锥S−ABCD的高SH=2，∴OE=12SH，OE∥12SH．过E作EM⊥SH交SH于M，则SM=22．在Rt△SEM中，ES=1，则EM=2−SM2=22．∴OH=22，∴OS= OH2+SH2=12+2=102．第二部分11. 24012. 4313. 2x−y=0【解析】圆的方程化为x−12+y−22=1，因为相交所得弦长为2，则该直线过圆心1,2，故所求直线方程为2x−y=0．14. 730【解析】若所选的3位中有甲但没有乙，只需从剩下的8位同学中选2位即可．故所求概率为P =C 82C 103=730．15. 2−log 23【解析】∵2a +2b =2a +b ，∴2a +b =2a +2b ≥2 2a ⋅2b =2 2a +b ，即2a +b ≥2 2a +b ． ∴2a +b ≥4．又∵2a +2b +2c =2a +b +c ，∴2a +b +2c =2a +b ⋅2c ，即2c =2a +b 2c −1 ， ∴2c2−1=2a +b ≥4，即2c2−1≥4，解得2c ≤43， ∴c ≤log 243=2−log 23．第三部分16. （1）设q 为等比数列 a n 的公比，则由a 1=2,a 3=a 2+4,得2q 2=2q +4,即q 2−q −2=0,解得q =2或q =−1 舍去 ,因此q =2.所以 a n 的通项公式为a n =2⋅2n−1=2n n ∈N ∗ .（2）S n=2 1−2n 1−2+n ×1+n n −12×2=2n +1+n 2−2.17. （1）方法1：所有可能的申请方式有34种，而"没有人申请A 片区房源"的申请方式有24种． 记"没有人申请A 片区房源"为事件A ，则P A =244=16.方法2：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验， 记"申请A 片区房源"为事件A ，则P A=1 .由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式知，没有人申请A片区房源的概率为P40=C401024=16.（2）所有可能的申请方式有34种，而"每个片区的房源都有人申请"的申请方式有C42A33种．记"每个片区的房源都有人申请"为事件B，从而有P B=C42A3334=49.18. （1）因为f x=12sin2x+3cos2x=12sin2x+321+cos2x=1sin2x+3cos2x+3=sin2x+π+3.故f x的最小正周期为T=2π2=π．（2）依题意g x=f x−π+3=sin2 x−π+π+3+3=sin2x−π+ 3.当x∈0,π4时，2x−π6∈ −π6,π3，g x为增函数，所以g x在0,π4上的最大值为gπ4=332．19. （1）因为f x=2x3+ax2+bx+1，故fʹx=6x2+2ax+b,从而fʹx=6 x+a2+b−a2,即y=fʹx关于直线x=−a6对称，从而由题设条件知−a6=−12，解得a=3．又由于fʹ1=0，即6+2a+b=0，解得b=−12．（2）由（1）知f x=2x3+3x2−12x+1,fʹx=6x2+6x−12=6x−1x+2.令fʹx=0，即6x−1x+2=0,解得x1=−2,x2=1．当x∈−∞,−2时，fʹx>0,故f x在−∞,−2上为增函数；当x∈−2,1时，fʹx<0,故f x在−2,1上为减函数；当x∈1,+∞时，fʹx>0,故f x在1,+∞上为增函数．从而函数f x在x1=−2处取得极大值f−2=21，在x2=1处取得极小值f1=−6．20. （1）解法1：如图，过D作DF⊥AC，垂足为F．由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高．设G为边CD的中点，连接AG．则由AC=AD，知AG⊥CD，从而AG=AC2−CG2=22−12=15.由12AC⋅DF=12CD⋅AG，得DF=AG⋅CDAC=154.在Rt△ABC中，AB= AC2−BC2=3，S△ABC=12AB⋅BC=32.故四面体ABCD的体积V=1⋅S△ABC⋅DF=5.解法2：如图设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB于H，过O作OM⊥AC，交AD于M．由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM．因此以O为原点，以射线OH，OC，OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间直角坐标系O−xyz．已知AC=2，故点A，C的坐标分别为A0,−1,0，C0,1,0．设点B的坐标为B x1,y1,0，则AB=x1,y1+1,0,BC=−x1,1−y1,0.由AB⊥BC，BC=1，有x12+y12=1,x12+y1−12=1,解得x1=3 ,y1=12,或x1=−3,y1=12.舍去即点B的坐标为B32,12,0．又设点D的坐标为D0,y2,z2，则CD=0,y2−1,z2,AD=0,y2+1,z2.由CD=1，AD=2，有y2−12+z22=1,y2+12+z22=4,解得y2=3 4 ,z2=154,或y2=34,z2=−154.舍去即点D的坐标为0,34,154．从而△ACD边AC上的高为=z2=15 .又AB=322+12+12=3,BC=1,故四面体ABCD的体积V=1×1⋅AB⋅BC⋅ =5.（2）解法1：如图，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE．由（1）知DF⊥平面ABC．由三垂线定理知DE⊥AB．故∠DEF为二面角C−AB−D的平面角．在Rt△AFD中，AF=AD2−DF2=22−15=7.在Rt△ABC中，EF∥BC，从而EF:BC=AF:AC,所以EF=AF⋅BCAC=78.在Rt△DEF中，tan∠DEF=DFEF=2157.解法2：由（1）知AB=3,3,0,AD=0,74,154.设非零向量n=l,m,n是平面ABD的法向量，则由n⊥AB有3l+3m=0. ⋯⋯①由n⊥AD，有7m+15n=0. ⋯⋯②取m=−1，由①②可得l=3，n=71515，即n=3,−1,715.显然向量k=0,0,1是平面ABC的法向量，从而cos n,k=715153+1+15=7109.故tan n,k=1−491097109=2157,即二面角C−AB−D的平面角的正切值为2157．21. （1）由e=ca =22，a2c=22，解得a=2,c=2,b2=a2−c2=2,故椭圆的标准方程为x2+y2=1.普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解完美版（2）设P x ,y ，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则由OP=OM +2ON ，得 x ,y = x 1,y 1 +2 x 2,y 2 = x 1+2x 2,y 1+2y 2 ,即x =x 1+2x 2,y =y 1+2y 2.因为点M ，N 在椭圆x 2+2y 2=4上，所以x 12+2y 12=4,x 22+2y 22=4,故x 2+2y 2= x 12+4x 22+4x 1x 2 +2 y 12+4y 22+4y 1y 2= x 12+2y 12 +4 x 22+2y 22 +4 x 1x 2+2y 1y 2 =20+4 x 1x 2+2y 1y 2 .设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题设条件知k OM ⋅k ON =y 1y 2x 1x 2=−12, 因此x 1x 2+2y 1y 2=0，所以x 2+2y 2=20.点P 是椭圆x 220+y 210=1上的点，焦点F 10,0 ，准线l :x =2 10，离心率为 22．根据椭圆的第二定义， PF 与点P 到直线l :x =2 10的距离之比为定值 22．故存在点F 10,0 ，满足 PF 与点P 到直线l :x =2 10的距离之比为定值．。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理科）一、选择题（1）设函数 若，则实数 （ ） （A ） —4或—2 （B ） —4或2 （C ）—2或4 （D ）—2或2（2）把负数的共轭复数记作i,i 为虚数单位。

若z=1+i,则（ ）（A ） （B ） （C ） （D)3(3)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是 （ ）（4）下列命题中错误的是 （ ）（A ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定直线平行于平面β（B ）如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β（C ）如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ⋂=，那么l ⊥平面γ（D ）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β（5）设实数x 、y 是不等式组，若x 、y 为整数，则34x y + 的最小值为 （ ）（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19（6）若02πα<<，02πβ-<<，1cos ()23πα+=，3cos ()42πβ-=，则cos ()2βα+= （A ）3 （B ）3- （C ）53 （D ）6- 2,0,(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨⎩>()4f α=α=z (1)z z -+•=3i -3i +13i +250x y +->270x y +->， 0x ≥，0y ≥（7）若a 、b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <”或1b a>的 （ ） （A ）充分二而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）已知椭圆 221221x y C a b =+=（a >b >0）与双曲线 22214y C x =-=有公共的焦点，1C 的一条最近线与以2C 的长轴为直径的圆相交于,A B 来两点。

若1C 恰好将线段AB 三等分，则 （ ）（A ）232a = （B ） 2a =13 （C ） 212b = （D ）2b =2 （9）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地排成一排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是 （ ）（A ）15 （B ）25 （C ）35 （D ）45（10）设,,a b c 为实数，22()()(),()(1)(1)f x x a x bx c g x ax ax bx =+++=+++。

2011年全国新课标理一、选择题（共12小题；共60分）1. 复数2+i1−2i的共轭复数是 A. −35i B. 35i C. −i D. i2. 下列函数中，既是偶函数，又在0,+∞单调递增的函数是 A. y=x3B. y=∣x∣+1C. y=−x2+1D. y=2−∣x∣3. 执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 A. 120B. 720C. 1440D. 50404. 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A. 13B. 12C. 23D. 345. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ= A. −45B. −35C. 35D. 456. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为 A. B.C. D.7. 设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，∣AB∣为C的实轴长的2倍，则C的离心率为 A. B. C. 2 D. 38. x+ax 2x−1x5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A. −40B. −20C. 20D. 409. 由曲线y=x，直线y=x−2及y轴所围成的图形的面积为 A. 103B. 4 C. 163D. 610. 已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p1:∣∣a+b∣∣>1⇔θ∈0,2π3p2:∣∣a+b∣∣>1⇔θ∈2π3,πp3:∣∣a−b∣∣>1⇔θ∈0,π3p4:∣∣a−b∣∣>1⇔θ∈π3,π其中的真命题是 A. p1,p4B. p1,p3C. p2,p3D. p2,p411. 设函数f x=sinωx+φ+cosωx+φ ω>0,∣φ∣<π2的最小正周期为π，且f−x=f x，则 A. f x在0,π2单调递减 B. f x在π4,3π4单调递减C. f x在0,π2单调递增 D. f x在π4,3π4单调递增12. 函数y=11−x的图象与函数y=2sinπx−2≤x≤4的图象所有交点的横坐标之和等于 A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（共4小题；共20分）13. 若变量x，y满足约束条件3≤2x+y≤96≤x−y≤9，则z=x+2y的最小值为．14. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1、F2在x轴上，离心率为22,过F1的直线l 交C于A、B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为．15. 已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=23，则棱锥O−ABCD的体积为．16. 在△ABC中，B=60∘，AC=3，则AB+2BC的最大值为．三、解答题（共8小题；共104分）17. 等比数列a n的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6．（1）求数列a n的通项公式；（2）设b n=log3a1+log3a2+⋯+log3a n，求数列1b n的前n项和．18. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60∘，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A−PB−C的余弦值．19. 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到了下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组90,9494,9898,102102,106106,110频数82042228B配方的频数分布表指标值分组90,9494,9898,102102,106106,110频数412423210（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=−2,t<94,2,94≤t<102,4,t≥102.从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）20. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A0,−1，B点在直线y=−3上，M点满足MB∥OA,MA⋅AB=MB⋅BA，M点的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值．21. 已知函数f x=a ln xx+1+bx，曲线y=f x在点1,f1处的切线方程为x+2y−3=0．（1）求a,b的值；（2）如果当x>0，且x≠1时，f x>ln xx−1+kx，求k的取值范围．22. 如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2−14x+mn=0的两个根．（1）证明：C，B，D，E四点共圆；（2）若∠A=90∘，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．23. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2cosα,y=2+2sinα,（α为参数），M是C1上的动点，P点满足OP=2OM,P点的轨迹为曲线C2．（1）求C2的方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=π3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求∣AB∣．24. 设函数f x=∣x−a∣+3x，其中a>0．（1）当a=1时，求不等式f x≥3x+2的解集；（2）若不等式f x≤0的解集为x∣x≤−1，求a的值．答案第一部分 1. C 【解析】2+i 1−2i= 2+i 1+2i1−2i 1+2i=5i 5=i2. B3. B【解析】写出每一次循环后的k 和p 的值，第六次循环后k =6和p =720，此时不满足k <N ，退出循环．4. A 【解析】记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为"甲1 "，则基本事件为 " 甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3 "，共9个．记事件A 为 " 甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组 "，其中事件A 有 "甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3 "，共3个．因此P A =39=13． 5. B6. D 【解析】此几何体为组合体，由半个圆锥和一个三棱锥组合而成．7. B8. D【解析】因为 x +ax 2x −1x 5的展开式中各项的系数和为2，所以令x =1，得a +1=2，从而a =1．2x −1x 5的展开式中的第r +1项为T r +1=C 5r 2x 5−r −1x r=C 5r 25−r −1 r x 5−2r ． 当r =2时，为含x 的项；r =3时，为含x −1的项，所以展开式中的常数项为C 52⋅23−C 53⋅22=40．9. C【解析】因为直线y =x −2与y = x 的交点坐标为 4,2 ，所以所求面积为x−x +2 d x 40= 23x 32−12x 2+2x ∣∣∣04=163．10. A【解析】用p 1举例，若∣a +b∣>1，则两边平方可得2cos θ+2>1，解得0≤θ<2π3，反之也能推得成立，所以充分性和必要性都成立，p 1是真命题；同理可以证明p 4正确． 11. A 【解析】f x = 2sin ωx +φ+π4 ，所以ω=2． 又因为f x 为偶函数，所以φ+π4=π2+kπ,k ∈Z ，又∣φ∣<π2，所以φ=π4， 所以f x = 2sin 2x +π2 = 2cos2x ． 12. D 【解析】如图，两个函数的图象有8个交点，且两个函数的图象都关于点 1,0 对称，故横坐标之和为8． 第二部分13. −614. x216+y28=115. 8316. 2【解析】由正弦定理AB sin C =ACsin B=BCsin A,得AB=2sin C,BC=2sin A.所以AB+2BC=2sin C+4sin A=2sin C+4sin120∘−C=4sin C+23cos C=27sin C+φ.所以AB+2BC的最大值为27．第三部分17. （1）设数列a n的公比为q，由a32=9a2a6，得a32=9a42，所以q2=19．由条件可知q>0，故q=13．由2a1+3a2=1，得2a1+3a1q=1，所以a1=13．故数列a n的通项公式为a n=13n．（2）结合（1）可得b n=log3a1+log3a2+⋯+log3a n=−1+2+⋯+n=−n n+12.故1 n =−2=−21−1.所以1 1+12+⋯+1n=−21−12+12−13+⋯+1n−1n+1=−2n n+1.所以数列1b n 的前n项和为−2nn+1．18. （1）因为∠DAB=60∘，AB=2AD，由余弦定理得BD=3AD,从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD．又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD．所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．（2）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D−xyz，则A1,0,0，B 0,0，C −1,0，P0,0,1，故AB= −1,3,0,PB=0,3,−1,BC=−1,0,0.设平面PAB的法向量为n=x,y,z，则n⋅AB=0,n⋅PB=0.即−x+3y=0,3y−z=0.因此可取n=3,1,3.设平面PBC的法向量为m，则m⋅PB=0,m⋅BC=0.可取m=0,−1,− 3,所以cos m,n=−427=−27.故二面角A−PB−C的余弦值为−277．19. （1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为22+8=0.3,所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为32+10=0.42,所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．（2）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90,94，94,102，102,110的频率分别为0.04、0.54、0.42，因此P X=−2=0.04,P X=2=0.54,P X=4=0.42,即X的分布列为X−224P0.040.540.42X的数学期望值EX=−2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68.20. （1）设M x,y，由已知得B x,−3,A0,−1．所以MA=−x,−1−y,MB=0,−3−y,AB=x,−2.再由题意可知 MA+MB⋅AB=0，即−x,−4−2y⋅x,−2=0．所以曲线C的方程式为y=14x2−2．（2）设P x0,y0为曲线C:y=14x2−2上一点，因为yʹ=12x，所以l的斜率为12x0．因此直线l的方程为y−y0=12x0x−x0，即x0x−2y+2y0−x02=0．则O点到l的距离d=∣002∣x0+4．又y0=14x02−2，所以d=12x2+42=12x02+4+2≥2,当x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．21. （1）fʹx=a x+1x−ln xx+12−bx2,由于直线x+2y−3=0的斜率为−12，且过点1,1，故f1=1,fʹ1=−1 ,即b=1,a−b=−1 ,解得a=1,b=1.（2）由（1）知f x=ln x+1,所以f x−ln xx−1+kx=11−x22ln x+k−1x2−1x.考虑函数ℎx=2ln x+k−1x2−1xx>0,则ℎʹx=k−1x2+1+2xx2.（i）设k≤0，由ℎʹx=k x2+1−x−12x2知，当x≠1时，ℎʹx<0．而ℎ1=0，故当x∈0,1时，ℎx>0，可得12ℎx>0;当x∈1,+∞时，ℎx<0，可得11−x2ℎx>0．从而当x>0，且x≠1时，f x−ln x+k>0,即f x>ln xx−1+kx.（ii）设0<k<1．由于当x∈1,11−k时，k−1x2+1+2x>0,故ℎʹx>0，而ℎ1=0，故当x∈1,11−k 时，ℎx>0，可得11−xℎx<0，与题设矛盾．（iii）设k≥1．此时ℎʹx>0，而ℎ1=0，故当x∈1,+∞时，ℎx>0，可得11−x2ℎx<0,与题设矛盾．综合得，k的取值范围为−∞,0．22. （1）连接DE，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB =mn =AE ×AC ,即AD =AE. 又∠DAE =∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB ，因此∠ADE =∠ACB ,所以C ,B ,D ,E 四点共圆．（2）m =4，n =6时，方程x 2−14x +mn =0的两根为x 1=2,x 2=12.故AD =2,AB =12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ,F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH ．因为C ,B ,D ,E 四点共圆，所以C ,B ,D ,E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH ． 由于∠A =90∘，故GH ∥AB ，HF ∥AC ．HF=AG =5,DF =112−2 =5,DH=5 2.故C ,B ,D ,E 四点所在圆的半径为5 23. （1）设P x ,y ，则由条件知M x 2,y2 ． 由于M 点在C 1上，所以x2=2cos α,y2=2+2sin α, 即x =4cos α,y =4+4sin α,从而C 2的参数方程为x =4cos α,y =4+4sin α,α为参数 .（2）曲线C 1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C 2的极坐标方程为ρ=8sin θ.普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解完美版 射线θ=π3与C 1的交点A 的极径为 ρ1=4sin π, 射线θ=π3与C 2的交点B 的极径为 ρ2=8sin π. 所以∣AB∣=∣ρ2−ρ1∣=2 3.24. （1）当a =1时，f x ≥3x +2可化为∣x −1∣≥2．由此可得x ≥3 或 x ≤−1.故不等式f x ≥3x +2的解集为x ∣x ≥3 或 x ≤−1 .（2）由f x ≤0得∣x −a∣+3x ≤0，此不等式可化为不等式组x ≥a x −a +3x ≤0 或 x ≤a a −x +3x ≤0即x ≥a x ≤a 4 或 x ≤a x ≤−a 2因为a >0，所以不等式组的解集为x ∣x ≤−a . 由题设可得−a 2=−1，故a =2．。

2011年江西理一、选择题（共10小题；共50分）1. 若z=1+2ii，则复数z= A. −2−iB. −2+iC. 2−iD. 2+i2. 若集合A=x−1≤2x+1≤3，B= x x−2x≤0，则A∩B= A. x−1≤x<0B. x0<x≤1C. x0≤x≤2D. x0≤x≤13. 若f x=12，则f x定义域为 A. −12,0 B. −12,0 C. −12,+∞ D. 0,+∞4. 若f x=x2−2x−4ln x，则fʹx>0的解集为 A. 0,+∞B. −1,0∪2,+∞C. 2,+∞D. −1,05. 已知数列a n的前n项和S n满足：S n+S m=S n+m，且a1=1，那么a10= A. 1B. 9C. 10D. 556. 变量X与Y相对应的一组数据为10,1，11.3,2，11.8,3，12.5,4，13,5；变量U与V相对应的一组数据为10,5，11.3,4，11.8,3，12.5,2，13,1．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则 A. r2<r1<0B. 0<r2<r1C. r2<0<r1D. r2=r17. 观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，⋯，则52011的末四位数字为 A. 3125B. 5625C. 0625D. 81258. 已知α1,α2,α3是三个相互平行的平面，平面α1,α2之间的距离为d1，平面α2,α3之间的距离为d2．直线l与α1,α2,α3分别交于P1,P2,P3．那么 " P1P2=P2P3 " 是 " d1=d2 " 的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 若曲线C1:x2+y2−2x=0与曲线C2:y y−mx−m=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 A. −33,33B. −33,0∪0,33C. −33,33D. −∞,−33∪33,+∞10. 如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁一周，点M,N在大圆内所绘出的图形大致是 A. B.C. D.二、填空题（共6小题；共30分）11. 已知a=b=2， a+2b⋅ a−b=−2，则a与b的夹角为．12. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为．13. 下图是某算法程序框图，则程序运行后输出的结果是．14. 若椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上，过点1,12作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是．15. 若曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为．16. 对于实数x,y，若 x−1≤1，y−2≤1，则x−2y+1的最大值为．三、解答题（共6小题；共78分）17. 某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望．18. 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知sin C+cos C=1−sin C2．（1）求sin C的值；（2）若a2+b2=4a+b−8，求边c的值．19. 已知两个等比数列a n，b n，满足a1=a a>0，b1−a1=1，b2−a2=2，b3−a3=3．（1）若a=1，求数列a n的通项公式；（2）若数列a n唯一，求a的值．20. 设f x=−13x3+12x2+2ax．（1）若f x在23,+∞ 上存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）当0<a<2时，f x在1,4上的最小值为−163，求f x在该区间上的最大值．21. P x0,y0x0≠±a是双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0上一点，M,N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM,PN的斜率之积为15．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点，O为坐标原点，C为双曲线上的一点，满足OC=λOA+OB，求λ的值．22. （1）如图，对于任一给定的四面体A1A2A3A4，找出依次排列的四个相互平行的平面α1,α2,α3,α4，使得A i∈αi i=1,2,3,4，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面α1,α2,α3,α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：A i∈αi i=1,2,3,4，求该正四面体A1A2A3A4的体积．答案第一部分1. D2. B3. A4. C 【解析】f x定义域为0,+∞，fʹx=2x−2−4>0,即x2−x−2x>0.∵x>0，∴x−2x+1>0，∴x>2．5. A【解析】由题意可推得S n+S1=S n+1，所以S n+1−S n=S1=a1=1，即a n+1=1，所以a10=1．6. C 【解析】分别画出两组数据的散点图，观察可得变量Y与X正相关，变量V与U负相关，∴r1>0，r2<0．7. D 【解析】此题关键是找到规律，一般是有周期的，列举前几个找到周期，然后看2011这个和哪个一样就行．令f x=5x，则f4=625,f5=3125,f6=15625,f7=78125,f8=390625,⋯,可以发现5x的末四位数字是以4为周期变化的．2011除以4后得到的余数为3，所以52011的末四位数字和57的末四位数字一样，是8125．8. C 【解析】如图，若d1=d2，根据两个三角形全等可知P1P2=P2P3．反之，如果P1P2=P2P3，同样由两个三角形全等可知d1=d2．9. B 【解析】曲线x2+y2−2x=0表示以1,0为圆心，以1为半径的圆．曲线y y−mx−m=0表示y=0和y−mx−m=0两条直线．其中y−mx−m=0过定点−1,0，y=0与圆有两个交点，故y−mx−m=0也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切情况分别对应m=−3和m=3,由图可知，m的取值范围应为−33,0∪0,33.其他解法：观察选项，提炼出待检样例m=0和m=1．当m=0时，C2：y2=0即y=0，与C1至多只有两个不同交点，不符合题意，排除A、C；当m=1时，C2：y=0或y=x+1，与C1交于0,0、2,0，不符合题意，排除D；选B．10. A【解析】根据小圆半径与大圆半径1:2的关系，找上下左右四个点，根据这四个点的位置，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，因此M点的轨迹和N点的轨迹是四条线段，刚好是的大圆的半径．也可以根据某一个位置进行分析，在小圆上取一点A，当点A转到大圆内壁上时（即点A1），小圆圆心转到O1点，此时要找到点M与点N的新位置，因为在小圆上，M,A,N三点的相对位置不变，即∠MOA大小不变；又在小圆上AM的长等于大圆上A1M的长，故点O1,A1,N三点共线．所以四边形MNN1M1为矩形，故点M1在线段MN上，如图：第二部分11. 60∘12. 1316【解析】提示：P= π−π×122+π×142π=1316．13. 10【解析】n=1,s=0,s>9不成立；n=2,s=3,s>9不成立；n=3,s=5,s>9不成立；n=4,s=10,s>9成立．此时输出．14. x25+y24=1【解析】当斜率存在时，设过点1,12的直线方程为y=k x−1+12，根据直线与圆相切，圆心0,0到直线的距离等于半径1，可以得到k=−34，直线与圆方程联立，可以得到切点的坐标B35,45．当斜率不存在时，直线方程为x=1，则得A1,0．根据A1,0，B35,45，可得直线AB的方程为2x+y−2=0，与y轴的交点，即为上顶点坐标⇒b=2．与x轴的交点，即为焦点坐标⇒c=1，a2=b2+c2=5⇒a=5，故椭圆方程为x25+y24=1．15. x2+y2−4x−2y=016. 5【解析】首先解出x的范围：0≤x≤2,再解出y的范围：1≤y≤3,最后综合解出x−2y+1的范围：−5,1，那么x−2y+1最大值为5．第三部分17. （1）X的所有可能取值为0,1,2,3,4，其概率分布分别为：P X=0=C40C44C84=170,P X=1=C41C43C84=835,P X=2=C42C42C84=1835,P X=3=C43C41C84=835,P X=4=C44C40C84=170.∴X的分布列为：X01234P181881（2）令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100,2800,3500．则P Y=3500=P X=4=1 ,P Y=2800=P X=3=8 ,P Y=2100=P X≤2=53 70,所以EY=3500×170+2800×835+2100×5370=2280,所以新录用员工月工资的期望为2280元．18. （1）已知sin C+cos C=1−sin C2，所以2sin CcosC+cos2C−sin2C=cos2C+sin2C−sinC,整理即有2sin CcosC−2sin2C+sinC=0,⇒sin C22cosC2−2sinC2+1=0.又C为△ABC中的角，所以sin C2≠0，所以sin C−cosC=1⇒sinC−cosC2=1⇒−2sinCcosC+cos2C+sin2C=1,所以2sin C2cosC2=34⇒sin C=34.（2）因为a2+b2=4a+b−8，所以a2+b2−4a−4b+4+4=0⇒a−22+b−22=0⇒a=2,b=2.∵sin C2−cos C2=12>0，∴π4<C2<π2，即π2<C<π，∴cos C<0，所以cos C=− 1−sin2C=−74，所以c=a2+b2−2ab cos C=7+1.19. （1）当a=1时，b1=1+a=2,b2=2+a2,b3=3+a3,又因为a n，b n为等比数列，不妨设a n公比为q，b22=b1b3⇒2+a22=23+a3,同时又有a2=a1q,a3=a1q2⇒2+a1q2=23+a1q2⇒2+q2=23+q2⇒q=2+2或q=2−2所以a n=2+2n−1或a n=2−2n−1.（2）设a n公比为q，则有2+aq2=1+a3+aq2,继而得到aq2−4aq+3a−1=0. ⋯⋯①由a>0，得Δ=4a2+4a>0,故方程①有两个不同实根．由a n唯一，知方程①必有一个根为0，代入①得a=1 .20. （1）已知f x=−13x3+12x2+2ax，可得出fʹx=−x2+x+2a,函数f x在23,+∞ 上存在单调递增区间，即导函数在23,+∞ 上存在函数值大于零的部分，再结合导函数开口向下，且对称轴为x=12，故只需fʹ2=−22+2+2a>0.解得a>−1 .（2）已知0<a<2，f x在1,4上取到最小值−163，而fʹx=−x2+x+2a的图象开口向下，且对称轴x=12，fʹ1=−1+1+2a=2a>0,fʹ4=−16+4+2a=2a−12<0,则必有一点x0∈1,4，使得fʹx0=0,此时函数f x在1,x0上单调递增，在x0,4单调递减，又知道f1=−13+12+2a=16+2a>0,f4=−1×64+1×16+8a=−40+8a<0,所以f4=−403+8a=−163,解得a=1此时，由fʹx0=−x02+x0+2=0⇒x0=2 或 −1舍去,所以函数f x在1,4上的最大值为f2=10 .21. （1）已知双曲线E :x 2a −y 2b =1 a >0,b >0 ，P x 0,y 0 在双曲线上，M ,N 分别为双曲线E 的左、右顶点，所以M −a ,0 ,N a ,0 ，直线PM ,PN 斜率之积为k PM ⋅k PN=y 00⋅y 00=y 020=1⇒x 02−5y 02=1. 而,x 02a −y 02b =1，比较得b 2=15a 2⇒c 2=a 2+b 2=65a 2⇒e =c a = 305.（2）设过右焦点且斜率为1的直线L :y =x −c ，交双曲线E 于A ,B 两点，则不妨设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，又OC=λOA +OB = λx 1+x 2,λy 1+y 2 , 点C 在双曲线E 上，所以有λx 1+x 2 2−5 λy 1+y 2 2=a 2⇒λ2 x 12−5y 12 +2λx 1x 2−10λy 1y 2+ x 22−5y 22 =a 2, ⋯⋯①联立直线L 和双曲线E 方程消去y 得4x 2−10cx +5c 2+a 2=0,由韦达定理得x 1x 2=5c 2+a 2,x 1+x 2=−5c 2,y 1y 2=x 1x 2−c x 1+x 2 +c 2=5c 2+a 2−5c 2+c 2,代入①式得λ2+4λ=0,解得λ=0或λ=−4．22. （1）如图所示，取A 1A 4的三等分点P 2,P 3，A 1A 3的中点M ，A 2A 4的中点N ． 过三点A 2,P 2,M 作平面α2，过三点A 3,P 3,N 作平面α3，因为A 2P 2∥NP 3，A 3P 3∥MP 2，所以平面α2∥平面α3，再过点A 1,A 4分别作平面α1,α4与平面α2平行，那么四个平面α1,α2,α3,α4依次相互平行， 由线段A 1A 4被平行平面α1,α2,α3,α4截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故α1,α2,α3,α4为所求平面．（2）如图（a ），现将此正四面体A 1A 2A 3A 4置于一个正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E1,F1分别是A1B1,C1D1的中点，EE1D1D和BB1F1F是两个平行平面，若其距离为1，则四面体A1A2A3A4即为满足条件的正四面体．如图（b）是正方体的上底面，过点A1、C1分别作B1F1、D1E1的垂线，其中A1M⊥D1E1于点M，A1N⊥B1F1于点N．现设正方体的棱长为a，若A1M=MN=1,则有A1E1=a2,D1E1=A1D12+A1E12=52a,由A1D1×A1E1=A1M×D1E1,得a=5，于是正四面体棱长d=2a=10,其体积V=a3−4×1a3=1a3=55.。

本文作者：苏卫军 苗孟义2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（浙江）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数2,0,(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩若()4f a =，则实数a =A ．4-或2-B ．4-或2C ．2-或4D ．2-或2 2．把复数z的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若1z i =+，则(1)z z +⋅= A ．3i - B ．3i + C ．13i + D ．3 3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是A ．B ．C ．D ． 4．下列命题中错误．．的是 A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，那么l ⊥平面γD ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5．设实数,x y 满足不等式组2502700,0.x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩若,x y 为整数，则34x y +的最小值是A ．14B ．16C ．17D ．19 6．若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，3cos ()42πβ-=，则cos ()2βα+= A ．3 B ．3- C ．53 D ．6-7．若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8．已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线2C ：2214y x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点．若1C 恰好将线段AB 三等分，则 A ．2132a =B ．213a =C ．212b = D ．22b = 9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架 的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是A ．15B ．25C ．35D ．4510．设,,a b c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++．记集合{|()0,}S x f x x R ==∈，{|()0,}T x g x x R ==∈．若||S ，||T 分别为集合,S T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是 A ．||1S =且||0T = B ．||1S =且||1T = C ．||2S =且||2T = D ．||2S =且||3T = 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = ． 12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 值为 ． 13．设二项式6()(0)x a x->的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ．若4B A =，则a 的值是 ．14．若平面向量,αβ满足1=a ，1≤β，且以向量,αβ为邻边的平行 四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 ． 15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公 司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的 公司个数. 若(0)P X =112=，则随机变量X 的数学期望()E X = ．16．设,x y 为实数．若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是 ．17．设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =，则点A 的坐标是 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =.(Ⅰ)当5,14p b ==时，求,a c 的值；(Ⅱ)若角B 为锐角，求p 的取值范围.19．（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为()a a R ∈．设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式及n S ； (Ⅱ)记n A ＝11S +21S +31S +…+1n S ,n B ＝11a + 21a +221a +… +121n a -．当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大小.20．（本题满分15分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上， 已知8BC =，4PO =，3AO =，2OD =． (Ⅰ)证明：AP BC ⊥；(Ⅱ)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A MC B --为 直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.21．（本题满分15分）已知抛物线1C ：2x y =，圆2C ：22(4)1x y +-=的圆心为点M ．(Ⅰ)求点M 到抛物线1C 的准线的距离；(Ⅱ)已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交 抛物线1C 于,A B 两点，若过,M P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程.22．（本题满分14分）设函数2()()ln ,f x x a x a R =-∈．(Ⅰ)若x e =为()y f x =的极值点，求实数a ；(Ⅱ)求实数a 的取值范围，使得对任意的(0,3]x e ∈，恒有2()4f x e ≤成立. 注：e 为自然对数的底数.2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（浙江）试题答案与解读一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BADDBCACBD1．设函数2,0,(),0.x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩若()4f a =，则实数a =A ．4-或2-B ．4-或2C ．2-或4D ．2-或2 答案:选B.解法1：(直接法)当0a ≤时，()4f a a =-=，得4a =-；当0a >时，2()4f a a ==，得2a =，2a =-(舍去).故4a =-或2a =.故选B.解法2：(排除法)当2a =-时，()24f a a =-=≠，排除A,C,D. 故选B.点评：本题主要考查了函数、分段函数的概念，结合分段函数的性质用分类讨论的思想方法进行求解，考查基本运算能力．另外也可以不用动笔，利用排除法就能看出答案．属于容易题． 2．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若1z i =+，则(1)z z +⋅= A ．3i - B ．3i + C ．13i + D ．3 答案:选A.解法1：(1)1(1)(1)123z z z zz i i i i i +=+=-++-=-+=-.故选A. 解法2：(1)(2)(1)3z z i i i +=+-=-.故选A.点评：本题主要考查了复数的加法、乘法运算以及共轭复数的概念，计算时要注意运算法则的应用．属于容易题．3．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是A． B． C． D．答案:选D.解法1：(排除法)选项A，B与正视图不符，选项C与俯视图不符. 故选D.解法2：(直接法)从俯视图看，B和D符合，从正视图看D符合，从侧视图看D符合．故选D.点评：本题主要考查了几何体的直观图与三视图之间的转化关系．属于容易题．三视图是新课程新增内容之一，每年必考，应重视，特别是根据几何体的三视图来还原直观图，从而求几何体的体积或表面积．4．下列命题中错误．．的是A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，lαβ=，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案:选D.解法：如果平面α⊥平面β，设交线为l，则在平面α内与交线l平行的直线都平行于平面β，故A正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，则由面面垂直的判定定理知αβ⊥，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易得交线与第三个平面垂直，故C正确；如果平面α⊥平面β，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D错误. 故选D.点评：本题主要考查了平面垂直的性质定理和判定定理，解题时要结合空间想象，对于各种可能出现的情况进行分析处理，要会找反例(画示意图)，加以肯定或否定，平时在学习中积累这些反例．5．设实数,x y满足不等式组2502700,0.x yx yx y+->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩若,x y为整数，则34x y+的最小值是A．14 B．16 C．17 D．19答案：选B．解法：作出可行域，如图中阴影部分所示，由250270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，点(3,1)A 不在可行域， 因为,x y 为整数，借助网格，易得点(4,1)符合条件， 所以min (34)344116x y +=⨯+⨯=，故选B ．点评：本题主要考查了线性规划问题中的取整问题，解答时一要注意最值的求解，二要注意在最小值(临界)处求符合条件的整点．属于中等题． 6．若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，3cos ()42πβ-=，则cos ()2βα+= A ．3 B ．3- C ．53 D ．6- 答案：选C ． 解法：因为02πα<<，1cos()43πα+=，所以3444πππα<+<，22sin()4πα+=，又因为02πβ-<<，3cos()42πβ-=，所以4422ππβπ<-<，6sin()42πβ-=，所以cos ()2βα+= 1322653cos[()()]cos()cos()sin()sin()4424424423ππβππβππβααα+--=+-++-=⨯+⨯=．故选C ． 点评：本题考查了同角三角函数的基本关系以及两角和差公式的运用，解题时要注意合理地拆角和凑角，注意配凑技巧的运用．属于中等题．7．若,a b 为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：选A ．解法：因为01ab <<，所以,a b 同号，且1ab <．当0,0a b >>时，1a b<；当0,0a b <<时， 1b a >．“01ab <<”是“1a b <或1b a >”的充分条件．但取1,1a b =-=，显然有1a b<，此时不能推出01ab <<．因此“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的充分而不必要条件．故选A ． 点评：本题结合不等式的性质考查充要条件的判断，要注意逻辑推理和举反例否定相结合，以提高解题的有效性和针对性．属于中等题． 8．已知椭圆1C ：22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线2C ：2214y x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点．若1C 恰好将线段AB 三等分，则 A ．2132a =B ．213a =C ．212b = D ．22b =答案：选C ．解法：如图，设直线AB 与椭圆1C 的一个交点为C (靠近A 的 交点)，则||3aOC =，因为渐近线为2y x =±，所以tan 2COx ∠=， 所以sinCOx ∠=，cos COx ∠=，所以点C 的坐标为，代入椭圆方程得 2222414545a a a b +=，又因为225a b -=，所以212b =．故选C ． 点评：本题在考查双曲线渐近线的基础上考查了直线与椭圆、圆的位置关系，解题时数形结合，要注意利用直线斜率确定点C 的坐标，运用代数方程思想求参数,a b ．属于中等题． 9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架 的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是A ．15B ．25C ．35D ．45答案：选B ．解法：第一步先排语文书有222A =种排法，第二步排物理书，分成两类：一类是物理书放在 语文书之间，有1种排法，这时数学书可从4个空中选2个进行排列，有2412A =种排法；一类是物理书不放在语文书之间有2种排法，再选一本数学书放在语文书之间有2种排法，另一本有3 种排法．因此同一科目的书都不相邻共有2(12223)48⨯+⨯⨯=种排法，而5本书全排列共有55A120=种，所以同一科目的书都不相邻的概率是4821205=，故选B ． 点评：本题考查利用排列组合知识解决实际问题的能力，可以用整体法和间接法进行巧解，对于相邻情况的分析在使用间接法时要注意避免重复．属于中等题．10．设,,a b c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++．记集合{|()0,}S x f x x R ==∈，{|()0,}T x g x x R ==∈．若||S ，||T 分别为集合,S T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是 A ．||1S =且||0T = B ．||1S =且||1T = C ．||2S =且||2T = D ．||2S =且||3T = 答案：选D ．解法1：取0,0,0a b c ===，则3{|()0}S x f x x ===，||1S =，{|()10}T x g x ===，||0T =，因此A 可能成立．取1,0,1a b c ===，则2{|()(1)(1)0}S x f x x x ==++=，||1S =，2{|()(1)(1)0}T x g x x x ==++=，||1T =，因此B 可能成立．取1,0,0a b c =-==，则2{|()(1)0}S x f x x x ==-=，||2S =，2{|()(1)(1)0}T x g x x x ==-+-+=，||2T =，因此C 可能成立．故选D ．解法2：当0a ≠时，方程0x a +=与10ax +=的解互为倒数，方程20x bx c ++=与方程 210cx bx ++=的根互为倒数，则集合,S T 的元素个数不可能出现2个和3个，故选D ．点评：本题结合集合的知识考查函数、零点、方程等内容，解题时要结合一次函数、二次函数、参数可能出现的情况进行分类讨论，采用排除法解题事半功倍．属于难题． 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．111213141516 17 0 5 25[,]66ππ 532105(0,1)±11．若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = ． 答案:填0.解法1：因为函数2()f x x x a =-+为偶函数，所以()()f x f x -=，即2()x x a ---+2x x a =-+， 所以x a x a -+=+，因为x R ∈，所以0a =.解法2：因为函数2()f x x x a =-+为偶函数，所以(1)(1)f f -=，即111|1|a a --+=-+， 1|1|a a -+=+，所以0a =.点评：本题考查了函数的奇偶性，绝对值的性质，解题时可运用特殊值进行求解，以提高解题的效率．属于容易题．12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 值为 ．答案:填5.解法：根据程序框图知，第一次循环得3k =，34a =，43b =，a b <；第二次循环得4k =，44a =，44b =，a b =；第三次循环得5k =，54410245625a b ==>==，所以5k =．点评：本题结合两数大小的比较考查程序框图，解题的关键是识图，特别是循环结构的使用．属于容易题．13．设二项式6()(0)x a x->的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ．若4B A =，则a 的值是 ． 答案:填2.解法：由于3662166()r r rr r rr T C xC a x --+==-．令3632r -=，得2r =，则226()A C a =-215a =；令3602r -=，得4r =，则4446()15B C a a =-=．因为4B A =，得4215415a a =⨯，所以2a =．点评：本题考查二项式定理中的特定项的计算，解题的关键是理解通项，结合方程便可求解．属于容易题．14．若平面向量,αβ满足1=a ，1≤β，且以向量,αβ为邻边的平行四边形的面积为12，则α与 β的夹角θ的取值范围是 ．答案:填5[,]66ππ.解法1：以向量,αβ为邻边的平行四边形的面积112||||sin ||sin 22S θθ⎡⎤=⨯==⎢⎥⎣⎦αββ，因为 1≤β，1sin 2||θ=β，所以1sin 12θ≤≤，又因为[0,]θπ∈，所以5[,]66ππθ∈． 解法2：如图，取(1,0)A ，作OA =α，OB =β， 则(||cos ,||sin )B θθββ．因为以向量,αβ为邻边的 平行四边形的面积11||sin 2θ=⨯β，1≤β，所以sin θ 112||2=≥β，即1sin 12θ≤≤，又因为[0,]θπ∈， 所以5[,]66ππθ∈．点评：本题考查平面向量的几何意义，平行四边形的面积公式等内容，解答时要注意向量夹角的取值范围．属于中等题．15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到 甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数. 若(0)P X =112=，则随机变量X 的数学期望(cos ,sin )βθβθ()E X = ．答案：填53．解法：因为211(0)(1)312P X p ==-⨯=，所以12p =，随机变量X 的可能值为0,1,2,3，所以1(0)12P X ==，2221211(1)()()32323P X ==⨯+⨯=，2221115(2)()2()323212P X ==⨯⨯+⨯=，2211(3)()326P X ==⨯=，随机变量X 的分布列如上图，所以11515()01231231263E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 点评：本题主要考查了离散型随机变量的期望的求解，解答时，先要依据1(0)12P X ==计算出p 的值，再分别求出随机变量X 取1,2,3时的概率，再结合期望公式进行求解． 16．设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是 ．解析：解法1：设1(,)22x y x =+α，(1,)5=β， 2x y +＝||||⋅≤αβαβ＝,αβ同向，即25y x ==取得等号，故2x y +．解法2：(1)当x y ⋅≠0时，2222222222(2)4432)1444x y x y xy xyx y x y xy x y xy x y xy++++===+++++++（3381114551x y y x =+≤=+=++(2)当x y ⋅=0时，显然22)1x y +=（ 综上所得，当且仅当x y ⋅≠0且x yy x =4时，282)5x y +≤（， ∴5102325102≤+≤-y x ，即2x+y 的最大值是5102.解法3：因为2241x y xy ++=，改写为()()2212212x y x y ++⨯⨯=． 当2x y +取得最大值时显然2x y =（选择、填空题解法，有猜的成分）．此时2512y =，故225y =．显然此时25x y ==． 故2x y +． 解法4：设⎩⎨⎧==θρθρsin y cox x ，∴222222244cos sin sin cos 1x y xy ρθρθρθθ++=++=，∴22214cos sin sin cos ρθθθθ=++，(1) 当sin 0cox θθ⋅≠时22222 (2)(2cos sin )(4cos sin 4sin cos )x y ρθρθρθθθθ+=+=++2222224cos sin 4sin cos 3sin cos 14cos sin sin cos 4cos sin sin cos θθθθθθθθθθθθθθ++==+++++ 33811.4cot tan 155θθ=+≤+=++(2)当sin cox θθ⋅=0时，2 (2)1x y +=∴25x y +≤. 解法5：设224x y xy ++＝22(2)()m x y n x y λ++-（0λ>），则244,1,421,m n m n m n λλ+=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩ 解得5,83,21,2m n λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩∴25(2)18x y +≤，当且仅当2x y =时取等号，∴2x y +的最大值为5． 点评：本题主要考查了基本不等式的性质，解答时要注意结合配凑法进行求解，最后要注意开方，避免出错．17．设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =，则点A 的坐标是 ． 解析: 填(0,1)±.解法1：(直接求坐标)设直线A F 1的方程为：2-=my x ，点A 坐标),(A A y x 满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=13222y x my x ，化简得:0122)3(22=--+my y m ，结合图像可知， (1)当0>m 时:3)1(3222+++=m m m y A ……①，由125F A F B =知：A F 1∥B F 2，故直线A F 1的方程为：2+=my x ，同理可得：3)1(3222+++-=m m m y B ……②，由125F A F B =，易得B A y y 5=……③，由①②③联立解得：22=m ，即：1=A y ，故)1,0(A .(2)当0>m 时：由对称性可得)1,0(-A ，综上可得：点A 的坐标是)1,0(±.解法2：(韦达定理)设直线A F 1与椭圆的另一个交点为C ,由125F A F B =知:A F 1∥B F 2,结合椭圆的对称性(关于原点对称)可得:1CF =F 2,故F 1=15CF ,设点A ,C 坐标分别为:),(11y x ,),(22y x ,直线A F 1的方程为:2-=my x , 则),(11y x ,),(22y x 满足方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=+-=13222y x my x ,化简得:0122)3(22=--+my y m ,由韦达定理得: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+31322221221m y y m m y y ……①, 由F 1=15CF ,易得215y y -=……②, 由①②联立解得:22=m ,解得: 11±=y ,点A 的坐标是)1,0(±.解法3：(坐标整体代换)设点A ,B 坐标分别为:),(11y x ,),(22y x ,由125F A F B =可得：⎩⎨⎧=-=21215265y y x x ,代入132121=+y x ,并结合132222=+y x 化简可得: 5262=x ,进一步可求得⎩⎨⎧±==1011y x .故点A 的坐标是)1,0(±. 解法4：(椭圆参数化)设B 点坐标为)sin ,cos 3(θθ,则由125F A F B =易得: 点A 坐标为:)sin 5,26cos 35(θθ-,由于点A 也在椭圆上,把该坐标代入椭圆方程得:03)sin 5(3)26cos 35(22=-⨯+-θθ,化简得:144cos 660=θ,即562cos =θ, 求得51sin ±=θ,故点A 的坐标是)1,0(±. 解法5：(直线参数化) 设直线A F 1与椭圆的另一个交点为C ,由125F A F B =知:A F 1∥B F 2,结合椭圆的对称性(关于原点对称)可得:1CF =F 2,故F 1=15CF ,设直线A F 1的参数方程为:⎩⎨⎧=+-=θθsin cos 2t y t x (t 为参数), 点A ,C 对应的参数分别为21,t t ,满足方程: 2)2cos (-θt +03)sin (32=-θt .即:01cos 22)sin 21(22=-⋅-+t t θθ.故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+θθθ221221sin 211sin 21cos 22t t t t ……①, 由F 1=15CF ,易得215t t -=……②,由①②联立解得:32cos2=θ, 31sin 2=θ解得: 31±=t ,代入得点A 的坐标是)1,0(±. 解法6：(椭圆第二定义)设直线A F 1与椭圆的另一个交点为C ,由125F A F B =知:F 1∥F 2,结合椭圆的对称性(关于原点对称)可得:1CF =F 2,故A F 1=15CF ,设点A ,C 坐标分别为:),(11y x ,),(22y x ,利用椭圆的第二定义可得:2231+x =)223(52+x ,即: 1x =2652+x …①,又由三角形相似的性质可得: 21+x =)2(52--x ,即: 1x =2652--x …②,由①②联立解得: 1x =0, 故点A 的坐标是)1,0(±.点评：本题主要考查了椭圆与平面向量结合的综合问题，解题的关键是充分利用已知条件进行转化，即可求出点A 的坐标．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =.(Ⅰ)当5,14p b ==时，求,a c 的值；(Ⅱ)若角B 为锐角，求p 的取值范围.解: (1)由题并利用正弦定理得:⎪⎩⎪⎨⎧==+4145ac c a . 解得: ⎪⎩⎪⎨⎧==141c a ,或⎪⎩⎪⎨⎧==411c a .(2)由余弦定理,B ac c a b cos 2222-+=B ac ac c a cos 22)(2--+=B b b b p cos 21212222--=,即:B p cos 21232+=因为)1,0(cos ∈B ,得:)2,23(2∈p ,由题设知0>p ,所以226<<p . 点评：（1）本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力,难度与去年持平.（2）对于解三角形问题,通常要同时用到正弦定理和余弦定理.如果两个定理都可以解题,应优先考虑正弦定理,此题中条件“()sin sin sin ,A C p B p R +=∈”可看作是关于三个正弦值关系的齐次式,故可利用正弦定理把角化为边.第(2)小题中, “角B 为锐角”条件的转化必然会想到其余弦值的范围,但需特别注意三角形内角大于零,故)1,0(cos ∈B .（3）学生的错误主要是：对于“角B 为锐角”条件的转化不等价,主要表现为:①只用到0cos >B ,求解范围扩大.②没有注意到三角形的内角不能为零,即1cos ≠B ,从而误把B cos 的范围写成了]1,0(（4）浙江省高考在大题目中考查三角函数已经形成了规律，即在三角形中考查三角函数问题,这一惯例今后将会延续下去.19．（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a （a ∈R ），设数列的前n 项和为n S ，11a ，21a ，41a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及n S ； （Ⅱ） 记n A ＝11S +21S +31S +…+1n S , n B ＝11a + 21a +221a +… +121-n a ，当n ≥2时，试比较n A 与n B 的大小．解: （Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ,由412211)1(a a a ⋅=, 得)3()(1121d a a d a +=+. 因为0≠d ,所以a a d ==1,所以na a n =,2)1(+=n an S n （Ⅱ）解法1：因为)111(21+-=n n a S n ,所以: n A ＝11S +21S +31S +…+1n S )111(2+-=n a .因为a a n n 1221-=-,所以:n B ＝11a + 21a +221a +… +121-n a )211(2211)21(11n na a -=--⋅=. 当2≥n 时,1210+>+++=n C C C nn n n n ,即n n 211111-<+-所以,当0>a 时,n n B A <;当0<a 时,n n B A >.解法2：由(Ⅰ)得na a n =，2)1(+=n an S n ，∴)111(2)1(21+-=+=n n a n an S n ， )111(21111321+-=++++=n a S S S S A n n ．∵1122n n a a --=，∴ )211(2211)21(111111122221n nn a a a a a a B n -=--⋅=++++=- ．考察函数12--=x y x，2ln 21xy '=-,当2≥x 时0>'y 恒成立，故函数21x y x =--在),2[+∞上是增函数．又当2x =时，222110--=>，所以当2≥x 时，21x x >+恒成立，从而2n ≥时，21nn >+，即111112n n -<-+．所以，当0a >时，n n A B <，当0a <时，n n A B >.点评：(1)本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式、二项式定理等基础知识，同时考查分类讨论思想.此题涉及知识面较广,但难度并不大,属于中档题.(2)学生的困难主要在于:①裂项求和方法掌握不好,因不会对)1(2+n an 进行裂项,导致后面求和无法进行下去.②在比较n2与1+n 大小时,不少同学是先猜测出结果,再利用数学归纳法来证明的,这样做当然可以,但比较费时,不如二项式定理直接、方便.(3)学生的错误主要有:①对数列}{12-n a 的理解有误,误把12-n a 当作有12-n 项来计算.②最后一步结论没有对字母a 的符号进行分类讨论,导致结论不完整.(4) 2009年之前的浙江高考几乎都是把数列作为压轴题来考查的.在新课程以后的连续两年(即:2009,2010两年)高考中均弱化了数列的地位,试卷中不再保留单独的数列大题.但在今年高考卷中数列又重新回到了大题目的位置(代替了概率分布列).这为我们今后的高三教学指明了方向:数列这部分内容很重要,需重视,但在教学中应控制好难度,不应一味拔高. 20．（本题满分15分）如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝AC, D 为 BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8， PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2 （Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A -MC -B 为直二面 角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由． 解法1：（I ）证明：如图，以O 为原点，以射线OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O —xyz则(0,0,0),(0,3,0),(4,2,0),(4,2,0),(0,0,4)O A B C P --，(0,3,4),(8,0,0)AP BC ==-，由此可得0AP BC ⋅=，所以AP BC ⊥，即.AP BC ⊥（II ）解：设,1,(0,3,4)PM PA PM λλλ=≠=--则BM BP PM BP PA λ=+=+ (4,2,4)(0,3,4)(4,23,44)λλλ=--+--=----(4,5,0),(8,0,0)AC BC =-=-设平面BMC 的法向量1111(,,)n x y z =， 平面APC 的法向量2n 222(,,)x y z =由110,0,BM n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得11114(23)(44)0,80,x y x x λλ--++-=⎧⎨-=⎩即11110,23(0,1,)2344,44x n z y λλλλ=⎧+⎪=⎨+-=⎪-⎩可取 由220,0.AP n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222340,450,y z x y +=⎧⎨-+=⎩得222225,4(5,4,3).3,4x y n z y ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩可取 由12230,430,44n n λλ+⋅=-⋅=-得解得25λ=，故AM=3． 综上所述，存在点M 符合题意，AM=3． 解法2：（I ）证明：由AB=AC ，D 是BC 的中点，得AD BC ⊥ 又PO ⊥平面ABC ，得.PO BC ⊥因为PO AD O =，所以BC ⊥平面PAD ，故.BC PA ⊥（II ）解：如图，在平面PAB 内作BM PA ⊥于M ，连CM ， 由（I ）中知AP BC ⊥，得AP ⊥平面BMC ， 又AP ⊂平面APC ，所以平面BMC ⊥平面APC ．在222,41,41.Rt ADB AB AD BD AB ∆=+==中得在222,Rt POD PD PO OD ∆=+中， 在222,,Rt PDB PB PD BD ∆=+中所以222236,PB=6.PB PO OD DB =++=得 在222Rt POA ,25, 5.PA AO OP PA ∆=+==中得又2221cos ,23PA PB AB BPA PA PB +-∠==⋅ 从而PM cos 2PB BPA =∠=，所以AM=PA-PM=3．综上所述，存在点M 符合题意，AM=3． 点评：(1)本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用等，同时考查空间想象能力和运算求解能力.（2）该题难度比去年稍小，主要原因是背景比较熟悉,学生容易入手.但得分情况也不理想,原因在于第(2)小题的计算量较大,学生在建好坐标系后需要同时计算出两个平面的法向量,计算过程中的失误较多.21．（本题满分15分）已知抛物线1:C 2x ＝y ，圆2:C 22(4)1x y +-=的圆心为点M ．（Ⅰ）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂足于AB ，求直线l 的方程.解法1:(1)由题意可知,抛物线的准线方程为:41-=y ,所以圆心)4,0(M 到准线的距离是417. (2)设),(200x x P ,),(211x x A ,),(222x x B , 由题意得:00≠x , 10±≠x ,21x x ≠.设过点P 的圆2C 的切线方程为)(020x x k x y -=-, 即:200x kx kx y +-=…①,则11|4|2200=+-+k x kx ,即01)4()4(2)1(220200220=--+-+-x k x x k x .设PA ,PB 的斜率为21,k k )(21k k ≠, 则21,k k 是上述方程的两根,所以:1)4(22020021--=+x x x k k ,11)4(2022021---=x x k k 将①代入2x y =得02002=-+-x kx kx x , 由于0x 是此方程的根,故011x k x -=,022x k x -=,所以:1621)4(2220002020002121212221--=---=-+=+=--=x x x x x x x k k x x x x x x k AB , 0204x x k MP-=由AB MP ⊥,得:=MP AB k k )16(200--x x 1)4(020-=-⋅x x ,解得:52320=x ,即点P 的坐标为)523,523(±, 所以直线l 的方程为4115115+±=x y 解法2: (1)同解法一(2) 设),(200x x P ,),(211x x A ,),(222x x B , 由题意得:00≠x , 10±≠x ,21x x ≠.直线PA 的斜率为:0101221x x x x x x k PA +=--=,直线PA 的方程为))((00120x x x x x y -+=-,即:0)(0101=--+x x y x x x ,它与圆2C 相切,故1)(1|4|20101=+++x x x x ,化简得:0156)1(20102120=-+⋅-⋅-x x x x x .同理可得: 0156)1(20202220=-+⋅-⋅-x x x x x .即21,x x 是方程0156)1(200220=-+⋅-⋅-x x x x x 的两根,故1620021--=+x x x x , 所以1620021212221--=+=--=x x x x x x x x k AB ,0204x x k MP -= 由AB MP ⊥,得:=MP AB k k )16(200--x x 1)4(020-=-⋅x x , 解得:52320=x ,即点P 的坐标为)523,523(±, 所以直线l 的方程为4115115+±=x y 点评：(1)本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.属于较难题.（2）解法1利用直线的点斜式方程代入计算,但求解过程中斜率值是很难直接计算出来的,事实上也不用去计算两直线的斜率值,而只要利用韦达定理整体代换即可.解法2设出所有相关点坐标,然后找出这些点坐标的关系,最后也要用到韦达定理整体代换.（3）学生的问题主要有：缺乏韦达定理整体代换的意识,碰到未知量问题一味地只想着把未知量都求出来,这样势必会加大运算量.此题是一道好题,摆在这个位置完全能达到预期目的,即能区分出数学功底强弱的学生.这也给我们平时的教学提了醒:数学是一门有思维含量的学科,很多时候需要多思少算,碰到困难需及时转化,如果一味硬上,是要碰壁的..（4）浙江省近几年高考在大题目中比较多地考查了直线与圆锥曲线的位置关系.对于这部分内容的考查几乎都涉及到了韦达定理.虽然韦达定理在初、高中的课本里均没有出现，但作为高中教学应该补充，高中生应该掌握.22．（本题满分14分）设函数()f x ＝2()ln x a x -，a ∈R（Ⅰ）若x ＝e 为()y f x =的极值点，求实数a ；（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈（0,3e ]，恒有()f x ≤42e 成立. 注：e 为自然对数的底数．解法1:(1)求导得: ).1ln 2)(()(ln )(2)(2'xax a x x a x x a x x f -+-=-+-= 因为e x =是)(x f 的极值点,所以.0)3)(()('=--=ea a e e f解得e a =或e a 3=.经检验,均符合题意. 所以e a =或e a 3=(2)①当10≤<x 时,对于任意的实数a ,恒有240)(e x f <≤成立. ②当e x 31≤<时,由题意,首先有224)3ln()3()3(e e a e e f ≤-=,解得:)3ln(23)3ln(23e ee a e e e +≤≤- 由(1)知).1ln 2)(()('xa x a x x f -+-=令xax x h -+=1ln 2)(,,则0ln 2)(,01)1(>=<-=a a h a h ,且e ae e h 31)3ln(2)3(-+=e e ee e 3)3ln(231)3ln(2+-+≥=0)3ln 313(ln 2>-ee 又)(x h 在),0(+∞内单调递减,所以函数)(x h 在),0(+∞内有唯一零点. 记此零点为0x ,则:,310e x <<a x <<01.从而,当),0(0x x ∈时,0)('>x f ; 当),(0a x x ∈时,0)('<x f ; 当),(+∞∈a x 时,0)('>x f ;即:)(x f 在),0(0x 内单调递增,在),(0a x 内单调递减,在),(+∞a 内单调递增.所以要使24)(e x f ≤对]3,1(e x ∈恒成立,只要:⎩⎨⎧≤-=≤-=22202004)3ln()3()3(4ln )()(e e a e e f e x a x x f 成立. 由01ln 2)(000=-+=x ax x h ,知:000ln 2x x x a +=. 代入202004ln )()(e x a x x f ≤-= 可得:202204ln 4e x x ≤.又10>x ,注意到函数x x y 22ln =在),1[+∞内单调递增,可得:e a 31≤<.又因为)3ln(23)3ln(23e e e a e e e +≤≤-,综上可得: e a e e e 3)3ln(23≤≤-.解法2:(1)同解法一.(2) ①当10≤<x 时,对于任意的实数a ,恒有240)(e x f <≤成立. ②当e x 31≤<时, 由224ln )()(e x a x x f ≤-=可得:xe x a xe x ln 2ln 2+≤≤-在区间]3,1(e 上恒成立.令xe x x h ln 2)(-=,xe x x g ln 2)(+=,故min max )()(x g a x h ≤≤易知x e x x h ln 2)(-=在]3,1(e 上单调递增,故)3()(max e h x h =)3ln(23e e e -=又xx x ex g ln ln 1)('⋅⋅-=,令0)('=x g 得:e x x x =⋅⋅ln ln ,注意到函数x x x y ln ln ⋅⋅=在),1[+∞内单调递增,且e e e e =⋅⋅ln ln , 故)(x g 在e x =处取到极小值(最小值) e e g 3)(=,即e x g 3)(min =.综上可得: e a e ee 3)3ln(23≤≤-解法3： (1)同解法一.(2)①当01x <≤时，对任意的实数a ，恒有()0f x ≤，2()4f x e ≤恒成立. ②当13x e <≤时，由2()4f x e ≤得224ln ()e x x a ≤-，当1a <时，224()e x a -在[1,3]e 单调递减，在3x e =取最小值，所以224ln 3(3)e e e a ≤-,所以33e a e ≤≤， 这与1a <矛盾，舍去.当13a e ≤≤时，224()e x a -关于x a =对称，在(,3)a e 上递减， 因为ln x 递增，所以3x e =时，224ln 3(3)e e e a ≤-，得33e a e ≤≤.当3a e >时，[1,3]x e ∈，22()()ln (3)ln f x x a x x e x =->-， 而x e =时，2()4f x e >，矛盾，所以3a e ≤. 综上，实数a 的取值范围为33e a e ≤≤.点评：(1)本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力.属于难题.(2)从2009年开始,浙江省已经连续三年把导函数作为压轴题来命制,现在看来这个模式已经基本固定.就像前几年一直把数列作为压轴题来处理一样,这个模式今后可能还要延续好几年.这个模式的效果究竟怎样呢?从今年高考阅卷反馈的信息来看,该题全省平均分只有2分左右.说明该题确实起到了压轴的作用,去除今年的评卷尺度较严的主观因素,从一个方面更能说明学生能力的欠缺,基本功很不扎实,要知道,此题第(1)小题就有6分的分值呀,而第(1)小题的难度并不大,即使对于第(2)小题,其解法也有很多种,如果我们在平时的学习和复习中能强化思想方法,夯实基础知识,那这道题的难度绝不可能是想象中那么大.(3)含字母参数的恒成立问题,解决的方法主要有以下几种:一是直接构造整体函数,通过分类讨论研究出函数的最值(极值),从而达到解决问题的目的.二是通过分离变量构造确定函数, 再转化为求确定函数的最值问题从而能有效避开繁琐的分类讨论,最终解决问题,此题采用该解法其简洁程度明显优于解法 1.三是先移项构造两个熟悉的函数,再转化为熟悉函数的最值问题作比较,但这种方法的应用是有局限性的,往往对两个函数的单调性有特别要求,解题时必须结合图像来看,需格外小心,否则可能导致错误.(4)与导函数有关的高考大题目,时下比较流行的是幂型函数(二次或三次型)与对数函数x ln 或指数函数xe 组合而成,这类函数问题的解决方法具有一定的套路,不妨看看今年各省的题目,有兴趣的读者可以做做,这或许将对我们今后的教学与复习起到一些作用:(2011安徽卷 理科 第16题)设2()1xe f x ax=+其中a 为正实数 （Ⅰ）当a 43=时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围． (2011北京卷 理科 第18题)。