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三角形的证明复习课的教学设计（第三课时）一、教学目标1. 熟练地掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理,以及三角形三条边的垂直平分线相交于一点定理。
2. 熟练地掌握角平分线的性质定理和判定定理,以及三角形三条角平分线相交于一点定理。
3. 进一步发展学生的推理证明意识和能力。
二、学情分析虽然对线段垂直平分线和角平分线的性质和判定有所了解,但不能熟练掌握需要加强训练巩固与提高。
三、教学重点难点重点:会运用线段垂直平分线与角平分线的性质定理及判定定理解决问题。
难点:对线段垂直平分线与角平分线的性质定理及判定定理的灵活运用。
四、教学过程通过学生自学后在课堂展示,小组交流合作,共同学习提高19、如图，△ABC中，AC=5, AB 的垂直平分线DE交AB,AC于E,D .（1）若△BCD的周长是8，求BC的长；（2）若BC=4，求△BCD的周长。
?20．如图，AD是∠BAC的角平分线，BE ⊥AD，交AD 胡延长线于E,EF∥AC,交AB于F．求证：AF=BF．21（10分）（2013?沈阳）如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC 于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD= ，求AD的长．22、如图①，以△ABC两边AB、AC为边，向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD（1）求证：BE=CD?（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外做正方形ABFD和正方形ACGE．连接BE，CD．BE与CD有什么数量关系？简单说明理由．（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE．求BE的。
《回顾与思考》学习目标1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。
2、发展学生的初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。
学习重点通过例题的讲解和课堂练习对所学知识进行复习巩固 学习难点本章知识的综合性应用。
学习过程第一环节：知识回顾1.第二环节：题组训练 （一）.等腰三角形1.等腰三角形的一边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（ ）． A 、9 B 、12 C 、15 D 、12或152．等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为______． 3．等腰三角形的一个角是80°，则它的另两个角是 ． 4.等腰三角形底边长为，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为.则腰长为 . 5.如图，在 中，D 是AC 上的一点，且 ，，则_______，______，________.6.如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD,求∠EDC 的度数通过探索、猜测、计算、证明得到的定理与等腰三角形、等边三角形有关的结论与直角三角形有关的结论 与一般三角形有关的结论命题的逆命题及其真假尺规作图线段的垂直平分线 角的平分线（二）等边三角形1.如图，等边三角形ABC中，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且DB=DE，若△ABC的周长为12，则△DCE的周长为___________．2.如图，已知：在等边三角形ABC中，D、E分别在AB和AC上，且，BE和CD相交于点P.求：的度数.（三）线段的垂直平分线1.如图，，AB的垂直平分线交AC于D，则．2如图，中，DE垂直平分的周长为13，那么的周长为__________．3.如图,△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,EF垂直平分AB, EF=2．求AB与BC的长．（四）角平分线1.如图，在△ABC中，∠A的平分线交BC于E，DE⊥AB于D，BC=8，AC=6，AB=10，则△BDE的周长为_________.2.如图，已知：在中，，AD=BD=BC,求∠A的度数3.．如图，中，，试说明：．（五）命题1.下列命题中正确的是 ( )A．有两条边相等的两个等腰三角形全等 B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等C．两角对应相等的两个等腰三角形全等 D．一边对应相等的两个等边三角形全等2.下列定理中，没有逆定理的是 ( )A．直角三角形的两个锐角互余 B．等腰三角形两腰上的高相等C．全等三角形的周长相等 D．有一个锐角对应相等的两直角三角形相似（六）作图如图，求作一点P，使，并且使点P到的两边的距离相等，并说明你的理由．三：综合练习1.如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC.你能说明BE 与DF 相等吗？2. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于点G 求证：EG=FGFCBE GAABCDEF1 22019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．式子2x+有意义的实数x的取值范围是（）A．x≥0B．x＞0C．x≥﹣2D．x＞﹣22．如图所示，已知A（12，y1），B(2,y2)为反比例函数1yx=图像上的两点，动点P(x，0)在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（）A．(12，0) B．(1,0) C．(32,0) D．(52,0)3．下列根式中，不．是．最简二次根式的是（）A．B．C．D．4．已知△ABC的三边长分别为6，8，10，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形或钝角三角形5．正八边形的每一个内角的度数为：( )A．45°B．60°C．120°D．135°6．如图，点P（-3，3）向右平移m个单位长度后落在直线y=2x-1上，则m的值为（）A．7 B．6 C．5 D．47．下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．8．某班抽取6名同学进行体育达标测试，成绩如下：80,90,75,80,75,80.下列关于对这组数据的描述错误的是（ ） A ．中位数是75B ．平均数是80C ．众数是80D ．极差是159．P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是正比例函数1y x 2=-图象上的两点，下列判断中，正确的是 A ．y 1＞y 2B ．y 1＜y 2C ．当x 1＜x 2时，y 1＜y 2D ．当x 1＜x 2时，y 1＞y 210．计算()1524555⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭的结果为（ ）A ．7B ．-5C ．5D ．-7二、填空题11．如图所示，为估计池塘两岸边A ，B 两点间的距离，在池塘的一侧选取点C ，分别取CA 、CB 的中点E ，F ，测的18EF m =，则A ，B 两点间的距离是______m .12．若一次函数y=kx+b ，当－3≤x≤1时，对应的y 值满足1≤y≤9，则一次函数的解析式为____________. 13．请写出8的一个同类二次根式：________.14．计算：26342m m m --+＝_____.15．计算：（﹣23）2＝_____．16．已知α、β是一元二次方程x 2﹣2019x+1＝0的两实根，则代数式（α﹣2019）（β﹣2019）＝_____． 17．在某次数学测验中，班长将全班50名同学的成绩（得分为整数）绘制成频数分布直方图（如图），从左到右的小长方形高的比为0.6:2:4:2.2:1.2，则得分在70.5到80.5之间的人数为________.三、解答题18．计算：（1212×32． 19．（6分）某校初中部三个年级共挑选100名学生进行跳绳测试，其中七年级40人，八年级30人，九年级30人，体育老师在测试后对测试成绩进行整理，得到下面统计图表.年级 平均成绩 中位数 众数 七年级 78.5 m 85 八年级 80 78 82 九年级828584（1）表格中的m 落在 组（填序号）；①4050x ≤<； ②5060x ≤<；③6070x ≤<；④7080x ≤<；⑤8090x ≤<；⑥90100x ≤<；⑦100110x ≤<（2）求这名100学生的平均成绩；（3）在本次测试中，八年级与九年级都只有1位学生跳80下，判断这两位学生成绩在自己所在年级参加测试学生中的排名，谁更考前？请简要说明理由. 20．（6分）已知函数的图象经过第四象限的点B （3，a ），且与x 轴相交于原点和点A（7，0）（1）求k 、b 的值；（2）当x 为何值时，y ＞﹣2；（3）点C 是坐标轴上的点，如果△ABC 恰好是以AB 为腰的等腰三角形，直接写出满足条件的点C 的坐标21．（6分）为了响应“足球进学校”的号召，某学校准备到体育用品批发市场购买A 型号与B 型号两种足球，其中A 型号足球的批发价是每个200元，B 型号足球的批发价是每个250元，该校需购买A ，B 两种型号足球共100个.(1)若该校购买A ，B 两种型号足球共用了22000元，则分别购买两种型号足球多少个?(2)若该校计划购进A 型号足球的数量不多于B 型号足球数量的9倍，请求出最省钱的购买方案，并说明理由22．（8分）如图，AD =CB ,AB =CD ，求证：△ACB ≌△CAD23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线1:=-+l y x b 与x 轴的正半轴交于点()6,0A ，与直线2:l y kx =交于点B ，若B 点的横坐标为3，求直线1l 与直线2l 的解析式．24．（10分）用适当的方法解下列方程： （1）5x 2＝4x（2）（x+1）（3x ﹣1）＝025．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O 是原点，ABCO 的顶点A 、C 的坐标分别为(3,0)A -、(1,2)C ，反比例函数(0)ky k x=≠的图像经过点B .(1)求点B 的坐标； (2)求k 的值.(3)将ABCO 沿x 轴翻折，点C 落在点C '处.判断点C '是否落在反比例函数(0)ky k x=≠的图像上，请通过计算说明理由.参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．C 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】, ∴x+1≥0, ∴x≥﹣1． 故选：C ． 【点睛】考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 2．D 【解析】 【分析】求出AB 的坐标，设直线AB 的解析式是y=kx+b ，把A 、B 的坐标代入求出直线AB 的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP 中，|AP-BP|＜AB ，延长AB 交x 轴于P′，当P 在P′点时，PA-PB=AB ，此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，求出直线AB 于x 轴的交点坐标即可． 【详解】∵把A （12，y 1），B （2，y 2）代入反比例函数y=1x 得：y 1=2，y 2=12， ∴A （12，2），B （2，12），∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB ， ∴延长AB 交x 轴于P′，当P 在P′点时，PA-PB=AB ， 即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，设直线AB 的解析式是y=kx+b ， 把A 、B 的坐标代入得：122122k b k b ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩＝＝， 解得：k=-1，b=52， ∴直线AB 的解析式是y=-x+52， 当y=0时，x=52， 即P （52，0）， 故选D ． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和用待定系数法求一次函数的解析式的应用，解此题的关键是确定P 点的位置，题目比较好，但有一定的难度． 3．D 【解析】 【分析】按照最简二次根式的定义判断即可. 【详解】 解：因为=，所以不是最简二次根式，而、、都是最简二次根式，故选D.【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，看是否同时满足最简二次根式中的两个条件（被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式），同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．4．C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理进行判断即可．【详解】解：∵62+82=102，∴根据勾股定理的逆定理，三角形是直角三角形，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的判定，关键是根据勾股定理的逆定理解答．5．D【解析】【分析】【详解】180°-360°÷8=135°，故选D.【点睛】错因分析较易题.失分原因：没有掌握正多边形的内角公式.6．C【解析】【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征求出点P平移后的坐标，结合点P的坐标即可求出m的值．【详解】解：当y=3时，2x-1=3，解得：x=2，∴m=2-（-3）=1．故选：C．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化-平移，利用一次函数图象上点的坐标特征求出点P平移后的坐标是解题的关键．7．D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念即可解答．【详解】选项A ，旋转180°，与原图形不能够完全重合，不是中心对称图形；选项B ，旋转180°，不能与原图形能够完全重合，不是中心对称图形；选项C ，旋转180°，不能与原图形能够完全重合，不是中心对称图形；选项D ，旋转180°，能与原图形能够完全重合，是中心对称图形；故选D ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，熟练运用中心对称图形的概念（在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）是解决问题的关键．8．A【解析】【分析】根据平均数，中位数，众数及极差的概念进行判断．【详解】解：将6名同学的成绩从小到大排列，第3、4个数都是80，故中位数是80，∴答案A 是错误的，其余选项均正确．故选：A ．【点睛】本题重点考查平均数，中位数，众数及极差的概念及其求法．9．D【解析】试题分析：∵1y x 2=-，k=12-＜0，∴y 随x 的增大而减小． ∴当x 1＜x 1时，y 1＞y 1．故选D ．10．C【解析】【分析】利用最简二次根式的运算即可得.【详解】((((5⎛÷=÷=-÷= ⎝本题考查二次根式的运算，掌握同类二次根式的运算法则及分母有理化是解题的关键.二、填空题11．36【解析】【分析】根据E、F是CA、CB的中点，即EF是△CAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解.【详解】解：据E、F是CA、CB的中点，即EF是△CAB的中位线，∴EF=12 AB，∴AB=2EF=2×18=36.故答案为36.【点睛】本题考查了三角形的中位线定理应用，灵活应用三角形中位线定理是解题的关键. 12．y=2x+7或y=-2x+1【解析】解：分两种情况讨论：（1）当k＞0时，319k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得：27kb=⎧⎨=⎩，此时y=2x+7；（2）当k＜0时，391k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得：23kb=-⎧⎨=⎩，此时y=-2x+1．综上所述：所求的函数解析式为：y=2x+7或y=-2x+1．点睛：本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式的知识，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质：在定义域上是单调函数，本题难度不大．13【解析】=．（答案不唯一）．考点：1．同类二次根式；2．开放型．14．32 -m先通分，再把分子相加减即可．【详解】解：原式= 63(2)(2)(2)(2)(2)--+-+-m m m m m m 636(2)(2)3(2)(2)(2)32-+=+-+=+-=-m m m m m m m m 故答案为：32-m 【点睛】本题考查的是分式的加减，熟知异分母的分式相加减的法则是解答此题的关键．15．49. 【解析】【分析】根据乘方的定义计算即可.【详解】 （﹣23）2＝49． 故答案为：49． 【点睛】本题考查了乘方的意义，一般地，n 个相同的因数a 相乘，即a ·a ·a ·…·a 计作a n ，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数.16．1【解析】【分析】根据根与系数的关系可得：α+β＝2019，αβ＝1，将其代入（α﹣2019）（β﹣2019）＝αβ-2019（α+β）+22019 中即可求出结论．【详解】∵α、β是一元二次方程x 2﹣2019x+1＝0的两实根，∴α+β＝2019，αβ＝1，∴（α﹣2019）（β﹣2019）＝αβ-2019（α+β）+22019＝1．故答案为1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键. 17．20【解析】【分析】所有小长方形高的比为0.6：2：4：2.2：1.2，可以求出得分在70.5到80.5之间的人数的小长方形的高占总高的比，进而求出得分在70.5到80.5之间的人数．【详解】 解：450=200.624 2.2 1.2⨯++++人 故答案为：20【点睛】考查频数分布直方图的制作特点以及反映数据之间的关系，理解各个小长方形的高表示的实际意义，用所占比去乘以总人数就得出相应的人数．三、解答题18．10－40 【解析】【分析】先化简二次根式，然后利用乘法的分配率进行计算，最后化成最简二次根式即可．【详解】原式＝（）÷＝（3）÷ 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式运算的法则和运算律．19．（1）④；（2）80；（3）八年级得80分的那位同学名次较靠前，理由详见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，七年级由40人，则中位数应该在第20和21个人取平均值，即可得到答案；（2）利用加权平均数，即可求出100名学生的平均成绩；（3）由题意，八九年级人数一样，则比较中位数，即可得到答案.【详解】解：根据直方图可知，七年级第20和第21个人都落在7080x ≤<；故答案为：④.(2)这100名学生的平均成绩为： 78.5408030823080100x ⨯+⨯+⨯==； (3)八年级得80分的那位同学名次较靠前，理由如下：依题意得：八年级和九年级被挑选的学生人数相同，分别把两个年级的成绩按从高到低排列，由两个年级的中位数可知，八年级跳80下的学生在该年级排名中上，而八年级跳80下的学生在该年级排名中下，八年级得80分的那位同学名次较靠前.【点睛】本题考查了众数，中位数，平均数，熟练掌握众数，中位数，平均数的定义是解题的关键．20．（1）；（2）x ＜2或x ＞时，有y ＞﹣2；（3）点C 的坐标为（2，0）或（12，0）或（-1，0）或（0，1）或（0，-7）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法可得k 和b 的值；（2）将y=-2代入函数中，分别计算x 的值，根据图象可得结论；（3）分两种情况画图，以∠BAC 和∠ABC 为顶角，根据AB=5和对称的性质可得点C 的坐标．【详解】（1）当x=3时，a=-3，∴B （3，-3），把B （3，-3）和点A （7，0）代入y=kx+b 中，得：，解得：；（2）当y=-2时，-x=-2，x=2，，解得，，如图1，由图象得：当x＜2或x＞时，y＞-2；（3）∵B（3，-3）和点A（7，0），∴AB==5，①以∠BAC为顶角，AB为腰时，如图2，AC=AB=5，∴C（2，0）或（12，0）；②以∠ABC为顶角，AB为腰时，如图3，以B为圆心，以AB为腰画圆，当△ABC是等腰三角形时，此时存在三个点C，得C3（-1，0），由C3与C4关于直线y=-x对称得：C4（0，1）由C5与点A关于直线y=-x对称得：C5（0，-7）综上，点C的坐标为（2，0）或（12，0）或（-1，0）或（0，1）或（0，-7）．【点睛】本题是分段函数与三角形的综合问题，考查了待定系数法求函数解析式以及等腰三角形的判定，同时还要注意运用数形结合与分类讨论的思想解决问题．21． (1)该校购买A 型号足球60个，B 型号足球40个；(2)最省钱的购买方案为:A 型足球90个，B 型足球10个.【解析】【分析】（1）设购买A 型号足球x 个，B 型号足球y 个，根据总价=单价×数量，结合22000元购买A ，B 两种型号足球共100个，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买A 型号足球m 个，总费用为w 元，则购买B 型号足球（100-m ）个，根据总价=单价×数量可得出w 关于m 的函数关系式，由购进A 型号足球的数量不多于B 型号足球数量的9倍可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【详解】解：(1) 设购买A 型号足球x 个，B 型号足球y 个，依题意，得10020025022000x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解之得6040x y =⎧⎨=⎩答:该校购买A 型号足球60个，B 型号足球40个；(2) 设购买A 型号足球m 个，总费用为w 元，则购买B 型号足球（100-m ）个，根据题意得w=200m+250(100-m)=-50m+25000又∵m≤9(100-m)；∴0<m≤90或(m≤90)∵K=-50<0∴w 随m 的増大而減小∴当m=90肘w 最小∴最省钱的购买方案为：A 型足球90个，B 型足球10个．故答案为：(1)该校购买A 型号足球60个，B 型号足球40个；(2)最省钱的购买方案为:A 型足球90个，B 型足球10个．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量之间的关系，找出w 关于m 的函数关系式．22．见解析【解析】【分析】利用SSS 即可证明.【详解】证明：在△ACB 与△CAD 中AD CB AB CD AC CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ACB ≌△CAD （SSS ）【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，能够根据SSS 证明三角形全等是解题的关键.23．直线l 1的解析式为y=﹣x+6，直线l 2的解析式为y=x ．【解析】【分析】把A （6，0）代入y=﹣x+b 求得直线l 1的解析式，把B 点的横坐标代入y=﹣x+6得到B 点的坐标，再把B 点的坐标代入y=kx ，即可得到结论．【详解】∵直线l 1：y=﹣x+b 与x 轴的正半轴交于点A （6，0），∴0=﹣6+b ，∴b=6，∴直线l 1的解析式为y=﹣x+6； ∵B 点的横坐标为3，∴当x=3时，y=3，∴B （3，3），把B （3，3）代入y=kx 得：k=1，∴直线l 2的解析式为y=x ．【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键． 24．（1）x 1＝0，x 2＝45；（2）x 1＝﹣1，x 2＝13． 【解析】【分析】（1）先移项，然后利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【详解】解：（1）由原方程，得x （5x ﹣4）＝0，则x ＝0或5x ﹣4＝0，解得x 1＝0，x 2＝45； （2）（x+1）（3x ﹣1）＝0，x+1＝0或3x ﹣1＝0，x 1＝﹣1，x 2＝13． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题（数学转化思想）． 25． (1)B (2,2)-；(2)4k =-；(3)点C '不落在反比例函数图像上.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得B 的坐标；（2）已知B 的坐标，可得k 的值；（3）根据图形全等和对称，可得C '坐标，代入反比例函数，可判断是否在图像上.【详解】解：(1)∵平行四边形ABCO ，∴OA BC =，∵A 的坐标为(3,0)-，∴3BC OA ==，∵C 的坐标为(1,2)，∴点B 的坐标为(2,2)-；(2)把B 的坐标代入函数解析式得：22k =-， ∴4k =-.(3)点C '不落在反比例函数图像上；理由：根据题意得：C '的坐标为(1,2)-，当1x =时，4421y =-=-≠-， ∴点C '不落在反比例函数图像上.【点睛】本题综合考查平行四边形性质、反比例函数、图形翻折、全等等知识.2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．已知数据：1，2，0，2，﹣5，则下列结论错误的是（ ）A ．平均数为0B ．中位数为1C ．众数为2D ．方差为342．一组数据：2，3，3，4，若添加一个数据3，则发生变化的统计量是（ ）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差 3．关于x 的分式方程2322x m m x x++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是( ) A ．6m <-且2m ≠ B ．6m >且2m ≠ C ．6m <且2m ≠- D ．6m <且2m ≠4．如图，在矩形ABCD 中，AB=5cm,BC=4cm 动点P 从B 点出发，沿B-C-D-A 方向运动至A 处停止.设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，x,y 关系（）,A ．B ．C ．D ．5．如图，在正方形ABCD 中，以点A 为圆心，以AD 长为半径画圆弧，交对角线AC 于点E ，再分别以点D 、E 为圆心，以大于12DE 长为半径画圆弧，两弧交于点F ，连结AF 并延长，交BC 的延长线于点P ，则P ∠的大小为（ ）A ．22︒B ．22.5︒C ．25︒D ．27.5︒6．如图，E 是边长为4的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ⊥BC 于点Q ，PR⊥BR 于点R ，则PQ+PR 的值是（ ）A ．22B ．2C ．23D ．837．经过多边形一个角的两边剪掉这个角，则得到的新多边形的外角和（ ）A ．比原多边形多180︒B ．比原多边形少180︒C ．与原多边形外角和相等D ．不确定8．某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下:80，90，75，75，80，80.下列表述错误的是( ) A ．众数是80 B ．中位数是75 C ．平均数是80 D ．极差是159．下列事件中，属于随机事件的是（ ）A ．抛出的篮球往下落B ．在只有白球的袋子里摸出一个红球C ．购买10张彩票，中一等奖D ．地球绕太阳公转10．如图，在一张△ABC 纸片中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，DE 是中位线，现把纸片沿中位线DE 剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．如图，90MON ∠=︒ ,矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，则运动过程中，点C 到点O 的最大距离为___________.12．如图，圆柱体的高为8cm ，底面周长为4cm ，小蚂蚁在圆柱表面爬行，从A 点到B 点，路线如图所示，则最短路程为_____．13．若2220x y -=，且2x y +=-，则x y -的值是__________．14．如图，在第1个1A BC ∆中，130,B A B CB ∠==：在边1A B 取一点D ，延长1CA 到2A ，使121A A A D =，得到第2个12A A D ∆；在边2A D 上取一点E ，延长12A A 到3A ，使232A A A E =，得到第3个23A A E ∆，…按此做法继续下去，则第3个三角形中以3A 为顶点的底角度数是__________．15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的面积为49，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为_____．16．已知反比例函数3y x =的图像过点()211,A m y +、()222,B m y +，则1y __________2y ． 17．将两个全等的直角三角形的直角边对齐拼成平行四边形，若这两个直角三角形直角边的长分别是1,2cm cm ，那么拼成的平行四边形较长的对角线长是__________．三、解答题18．（127118312；（2） 32125219．（6分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （2，1），B （﹣2，4），直线AB 与y 轴交于点C ．（1）求点C 的坐标；（2）求证：△OAB 是直角三角形．20．（6分）近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某商场计划购进一批A 、B 两种空气净化装置，每台B 种设备价格比每台A 种设备价格多0.7万元，花3万元购买A 种设备和花7.2万元购买B 种设备的数量相同．（1）求A 种、B 种设备每台各多少万元？（2）根据销售情况，需购进A 、B 两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A 种设备至少要购买多少台？（3）若每台A 种设备售价0.6万元，每台B 种设备售价1.4万元，在（2）的情况下商场应如何进货才能使这批空气净化装置售完后获利最多？21．（6分）某市推出电脑上网包月制，每月收取费用y （元）与上网时间x （小时）的函数关系如图所示，其中BA 是线段，且BA ∥x 轴，AC 是射线．（1）当x ≥30，求y 与x 之间的函数关系式；（2）若小李4月份上网20小时，他应付多少元的上网费用？（3）若小李5月份上网费用为75元，则他在该月份的上网时间是多少？22．（8分）如图，抛物线2142y x x =--+与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A ，点B 的坐标；（2）求ABC ∆的面积；（3）P 为第二象限抛物线上的一个动点，求ACP ∆面积的最大值．23．（8分）三月底，某学校迎来了以“学海通识品墨韵，开卷有益览书山”为主题的学习节活动.为了让同学们更好的了解二十四节气的知识，本次学习节在沿袭以往经典项目的基础上，增设了“二十四节气之旅”项目，并开展了相关知识竞赛.该学校七、八年级各有400名学生参加了这次竞赛，现从七、八年级各随机抽取20名学生的成绩进行抽样调查.收集数据如下:七年级:八年级:整理数据如下:分析数据如下：根据以上信息，回答下列问题:(1)a=______，b=______；(2)你认为哪个年级知识竞赛的总体成绩较好，说明理由(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)；(3)学校对知识竞赛成绩不低于80分的学生颁发优胜奖，请你估计学校七、八年级所有学生中获得优胜奖的大约有_____人.24．（10分）如图，已知正方形ABCD的边长为3，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形的边AB、CD、DA上，AH＝1，联结CF．（1）当DG＝1时，求证：菱形EFGH为正方形；（2）设DG＝x，△FCG的面积为y，写出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）当DG 433GHE的度数．25．（10分）某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成．设x（件）是销售商品的数量，y（元）是销售人员的月工资．如图所示，y1为方案一的函数图象，y2为方案二的函数图象．已知每件商品的销售提成方案二比方案一少8元．从图中信息解答如下问题（注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用）：（1）求y1的函数解析式；（2）请问方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？（3）小丽应选择哪种销售方案，才能使月工资更多？参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确）1．D【解析】【分析】根据平均数、方差的计算公式和中位数、众数的定义分别进行解答，即可得出答案．【详解】A.这组数据：1，2，0，2，﹣5的平均数是：(1+2+0+2-5)÷5=0，故本选项正确；B.把这组数按从小到大的顺序排列如下：-5，0，1，2，2，可观察1处在中间位置，所以中位数为1，故本选项正确；C.观察可知这组数中出现最多的数为2，所以众数为2，故本选项正确；D. ，故本选项错误，所以选D【点睛】本题考查众数，算术平均数，中位数，方差；熟练掌握平均数、方差的计算公式和中位数、众数的定义是解决本题的关键.由于它们的计算由易到难为众数、中位数、算术平方根、方差，所以考试时可按照这样的顺序对选项进行判断，例如本题前三个选项正确，直接可以选D ，就可以不用计算方差了.2．D【解析】【分析】依据的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．【详解】原数据的2、3、3、4的平均数为=3，中位数为=3，众数为3，方差为×[（2–3）2+（3–3）2×2+（4–3）2]=0.5；新数据2、3、3、3、4的平均数为=3，中位数为3，众数为3，方差为×[（2–3）2+（3–3）2×3+（4–3）2]=0.4；∴添加一个数据3，方差发生变化.故选:D ．【点睛】考查平均数、中位数、众数、方差，掌握平均数、中位数、众数、方差的计算方法是解题的关键. 3．D【解析】【分析】先根据分式方程的解法，求出用m 表示x 的解，然后根据分式有解，且解为正实数构成不等式组求解即可.【详解】2322x m m x x ++=-- 去分母，得x+m+2m=3（x-2）解得x=62m -+。
第一章三角形的证明回顾与思考微拓展拓展一、角平分线的相关定理在面积问题中的应用：1. 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF的面积为．拓展二、等腰三角形的相关定理在线段最值问题中的应用：2. 如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为．拓展三、等腰（边）三角形的相关定理在角度问题中的应用：3. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．拓展四、等腰三角形的相关定理在几何综合问题中的应用：4. 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD 与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．拓展五、直角三角形的性质和等边三角形的相关定理在几何综合问题中的应用：5. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．（1）如图1，DE与BC的数量关系是；（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．答案1.5.5解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，∵DE=DG，DM=DE，∴DM=DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DN，在Rt△DEF和Rt△DMN中，，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，∴S△MDG=S△ADG﹣S△ADM=50﹣39=11，S=S△DEF=S△MDG==5.5△DNM本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求．2.解：连接BE，与AD交于点M．则BE就是EM+CM的最小值．取CE中点F，连接DF．∵等边△ABC的边长为6，AE=2，∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4，∴CF=EF=AE=2，又∵AD是BC边上的中线，∴DF是△BCE的中位线，∴BE=2DF，BE∥DF，又∵E为AF的中点，∴M为AD的中点，∴ME是△ADF的中位线，∴DF=2ME，∴BE=2DF=4ME，∴BM=BE﹣ME=4ME﹣ME=3ME，∴BE=BM．在直角△BDM中，BD=BC=3，DM=AD=，∴BM==，∴BE=．∵EM+CM=BE∴EM+CM的最小值为．3. 15.解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为：15．4. （1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠CBE，在△ADC和△BDF中，，∴△ADC≌△BDF（ASA），∴BF=AC，∵AB=BC，BE⊥AC，∴AC=2AE，∴BF=2AE；（2）解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=，在Rt△CDF中，CF===2，∵BE⊥AC，AE=EC，∴AF=CF=2，∴AD=AF+DF=2+．5. 解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∵点D是AB的中点，∴DB=DC，∴△DCB为等边三角形，∵DE⊥BC，∴DE=BC；故答案为DE=BC．（2）BF+BP=DE．理由如下：∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，∴∠PDF=60°，DP=DF，而∠CDB=60°，∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB，∴∠CDP=∠BDF，在△DCP和△DBF中，∴△DCP≌△DBF（SAS），∴CP=BF，而CP=BC﹣BP，∴BF+BP=BC，∵DE=BC，∴BC=DE，∴BF+BP=DE；（3）如图，与（2）一样可证明△DCP≌△DBF，∴CP=BF，而CP=BC+BP，∴BF﹣BP=BC，∴BF﹣BP=DE．。
