一类泛函微分方程解的有界性与最终有界性

泛函分析知识点总结本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March泛函分析一，距离空间定义设X是任一非空集合，对于X中的任意两点x,y，均有一个实数d(x,y)与它对应，且满足：1）d(x,y)≥0（非负性）2）d(x,y)=0当且仅当x=y(严格正)3）d(x,y)=d(y,x)4）d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）则称d(x,y)为X中的一个距离，定义了距离d的集合称为一个距离空间，记为（X,d），有时简记为X。

设（X,d）是一个距离空间，X中的一个数列，存在X中的任意点，如果当n趋于无穷时，这个数列按照距离收敛到这个点，则称这个数列以这点收敛。

(x,y)是x,y的二元函数，若当存在一个x的数列收敛到x,存在一个y 的数列收敛到y，则这个距离关于x,y的二元函数也收敛。

(利用三角不等式证明)开球的定义（X,d）是一个距离空间，r>0，集合B(x0,r)={x∈X|d(x,x0)<r}则称以x0为中心，r为半径的开球。

有界集：称A为有界集，若存在一个开球，使得A属于这个开球。

内点：称x0为集合G的内点，若存在一个开球B(x0,r)属于G。

开集：称G为开集，若G中的每一个点都是它的内点。

闭集：开集的补集就是闭集。

（若用接触点定义闭集就是，A的接触点的全体称为A的闭包，也就是闭集。

）闭集的等价条件是这个集合中的收敛点列收敛到这个集合中的元素。

全空间和空集即使开集也是闭集。

任意个开集的并是开集，有限个开集的交是开集。

任意个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集。

等价距离：两个距离空间称为等价距离，如果它们之间可以互相表示。

连续映射：在两个距离空间之间存在一个映射：T，称T为连续映射。

若在定义域的距离空间中存在一个开集，经过映射T，在另一个距离空间定义的距离下是任意小的。

映射T是连续的等价于值域里的开集的原像仍然是开集。

泛函微分方程是指除了理想的情形以外，任何具有反馈的动力系统总是存在滞后现象；用传统的常微分方程去描述物理系统只是一种近似，而且是有条件的，这就需要考虑带有各种滞后量的微分方程，诸如微分差分方程，各种具有复杂偏差变元的微分方程，有滞后量的积分微分方程，等等。

泛函微分方程是这一类方程的概括和抽象。

最早的泛函微分方程来自1750年L.欧拉提出的几何问题：求一曲线使之与其渐缩线相似。

这种曲线便满足一个特殊的泛函微分方程，此后不断从各个学科中提出这类问题。

到20世纪40年代为止，主要是研究微分差分方程的解析解。

50年代开始探讨稳定性理论，1959年H.H.克拉索夫斯基在函数空间之间建立解映射，从而确立了滞后型泛函微分方程。

70年代初，J.黑尔与A.克鲁兹分离出一类广泛的中立型方程。

1978年赫尔与加藤敏夫共同奠立了具有无穷滞后的泛函微分方程。

以后又有对其他类型的中立型泛函微分方程的研究。

给定实数r≥0,区间【-r,0】到n维实（或复）线性空间R n的连续映射全体记为C(【-r,0】,R n),简记为C，C中元素φ的范数取为则C 为巴拿赫空间且具有一致收敛拓扑。

若t0∈R,A≥0,且x∈C(【t0-r,t0+A】，R n),则对任何t∈【t0，t0+A】，记x t(θ)=x(t+θ)(-r ≤θ≤0)，显然x t∈C。

若D吇R×C,给定映射ƒ:D→R n，则(1)叫做D上的滞后型泛函微分方程，记为RFDE(ƒ)。

(1)中为右导数。

若存在t0∈R,A >0 使得,(t,x t)∈D,且当)时x(t)满足(1)，则称x(t)为(1)之解。

若t0∈R ,φ∈C 给定,且x(t；t0,φ)为(1)之解。

则当时称x为过 (t0,φ)的解。

由此可以建立两种解映射：及。

而且一般地说解空间是无穷维的。

当r=0时(1)退化为常微分方程，解映射为,解空间是有限维的。

二者截然不同,通常解的存在惟一性,稳定性，周期解的存在性都不等价。

数学中的泛函分析原理泛函分析是数学中一个重要的分支，它研究的是函数空间中的向量和算子，并研究它们之间的关系和性质。

在应用数学和理论数学中都有广泛的应用。

本文将介绍泛函分析的基本原理和一些常见的应用。

一、泛函分析概述泛函分析是在无穷维向量空间中研究函数和算子的一门数学学科。

它主要关注函数的空间与函数之间的线性关系和连续性。

泛函分析广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域，并为这些领域提供了强大的工具和理论支持。

二、函数空间的定义和性质函数空间是泛函分析中非常重要的概念。

它可以用来描述函数的性质和空间结构。

在泛函分析中，常见的函数空间包括连续函数空间、可积函数空间和L^p空间等。

1. 连续函数空间连续函数空间是指定义在某个区间上的连续函数的集合。

常见的连续函数空间有C[0,1]和C^k[0,1]等。

在连续函数空间中，可以定义范数和内积等结构，从而形成一个向量空间。

2. 可积函数空间可积函数空间是指具有有限或无限积分性质的函数集合。

常见的可积函数空间有L^1[0,1]和L^2[0,1]等。

可积函数空间是泛函分析中非常重要的对象，它与概率论、信号处理和图像处理等领域密切相关。

3. L^p空间L^p空间是泛函分析中非常重要的一类函数空间。

它包括了所有p 次幂可积的函数的集合。

L^p空间具有范数结构，可以用来描述函数的大小和趋势，并且在测度论、偏微分方程和调和分析等领域有重要应用。

三、泛函的定义和性质泛函是定义在函数空间上的映射，它将函数映射到实数或复数。

泛函可以看作是函数的函数，它对函数进行操作并输出一个数值。

泛函的定义和性质在泛函分析中起着关键作用。

1. 线性泛函和非线性泛函线性泛函是指满足线性性质的泛函，即对于任意的函数f和g，以及任意的实数a和b，有F(af+bg) = aF(f) + bF(g)。

非线性泛函是不满足线性性质的泛函。

2. 连续性和有界性在泛函分析中，连续性和有界性是泛函的重要性质。

泛函分析知识总结汇总泛函分析知识总结与举例、应⽤学习泛函分析主要学习了五⼤主要内容：⼀、度量空间和赋范线性空间；⼆、有界线性算⼦和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算⼦的谱。

本⽂主要对前⾯两⼤内容进⾏总结、举例、应⽤。

⼀、度量空间和赋范线性空间（⼀）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧⽒空间nR （有限维空间）的推⼴，所以学好它有助于后⾯知识的学习和理解。

1．度量定义：设X 是⼀个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯⼀确定的实数d(x,y)与之对应，⽽且这⼀对应关系满⾜下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ? x=y （⾮负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对?z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。

（这个定义是证明度量空间常⽤的⽅法）注意:⑴定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满⾜1°、2°、3°都称为度量。

这⾥“度量”这个名称已由现实⽣活中的意义引申到⼀般情况，它⽤来描述X 中两个事物接近的程度，⽽条件1°、2°、3°被认为是作为⼀个度量所必须满⾜的最本质的性质。

⑵度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同⼀个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。

⑶集合X 不⼀定是数集，也不⼀定是代数结构。

为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。

⑷在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，⽽称“度量空间X ” 。

大学泛函分析的基本概念与性质泛函分析是数学中的一个重要分支，它的主要研究对象是函数空间及其上的泛函。

本文将介绍大学泛函分析的基本概念和性质，为读者对该领域有一个初步了解和认识。

一、函数空间的定义和性质函数空间是泛函分析中的重要研究对象，它由一组满足一定条件的函数构成。

常见的函数空间包括赋范空间、巴拿赫空间和希尔伯特空间等。

在定义函数空间时，需要给出其元素的性质，比如连续性、可微性等。

函数空间一般具有完备性和线性空间的性质，能够构成一个向量空间。

二、泛函的定义和性质泛函是将函数映射到实数或复数的一种特殊函数。

泛函可以看作是函数空间的“函数”，它对函数进行了某种程度上的“评价”。

泛函可以是线性的、有界的、连续的等。

泛函分析中研究了泛函的一些基本性质，比如泛函的线性性、有界性和连续性等。

三、双共轭空间的定义和性质双共轭空间是泛函分析中一个重要的概念，它描述了函数空间中的函数在泛函作用下所得到的结果。

双共轭空间是原函数空间的“对偶空间”，描述了两个空间之间的关系。

它的定义和性质对于泛函分析的研究具有重要的意义，常常用于描述函数空间中的函数与泛函之间的联系。

四、Hilbert空间的定义和性质Hilbert空间是泛函分析中的一个重要概念，它是一个完备的内积空间。

在Hilbert空间中，我们可以定义范数和内积的概念，并研究它们的性质。

Hilbert空间是泛函分析中一个非常重要的函数空间，常常用于描述物理学中的量子力学问题。

五、紧算子的定义和性质在泛函分析中，紧算子是一类具有特殊性质的线性算子。

紧算子在函数空间中起到了重要的作用，它们具有一些特殊的性质，比如有界性、紧性和可逆性等。

研究和应用紧算子的性质对于泛函分析研究的深入和应用有很大的帮助。

六、弱收敛和弱*收敛的定义和性质弱收敛和弱*收敛是泛函分析中另一个重要概念。

弱收敛是指函数序列在弱拓扑下的收敛性，而弱*收敛是指泛函序列在弱*拓扑下的收敛性。

弱收敛和弱*收敛相对于一般的收敛概念，在泛函分析中具有重要的应用价值，广泛应用于函数空间的理论研究和实际问题的分析。

一阶线性常微分方程解的有界性、渐近性、比较定理、单调方法东北师范大学微分方程教研室,常微分方程(第二版)[M],北京:高等教育出版社,2005.Bellman 不等式 设)(x y 为区间[]b a ,上非负的连续函数, b x a ≤≤0.若存在常数0,0,B A ≥>使得)(x y 满足不等式[],,,)()(0b a x dt t y A B x y xx ∈+≤⎰.则有0)(x x A Bex y -≤，[]b a x ,∈.证明 当0x x ≥时，有[]00()(),,,xx y x B Ay s ds x x b ≤+∈⎰由Gronwall 不等式，即得0()()A x x y x Be -≤，0x x b ≤≤；当0x x <时，有[]00()(),,,x xy x B Ay s ds x a x ≤+∈⎰令[]00()(),,,x xF x y s ds x a x =∈⎰则有()()()F x y x B AF x '=-≥--，0a x x ≤<；()(),AxAx d e F x Be dx ≥- ()(),AxAx d e F x Be dx≥- ()1()()x Ax AxAs Ax xe F x Be ds Be e A-≥-=--⎰， 0()1()(1)A x x F x Be A-≤-， 0()()()(1)A x x By x B AF x B A e A-≤+≤+-0()A x x Be -=，0a x x ≤<；故有 0)(x x A Bex y -≤，[]b a x ,∈.一阶线性常微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==+00)(),()(y x y x f y x p dxdy方程两边同乘以⎰xx d p e0)(ττ,得),()(00)()(x f e x y e dx d xx xx d p d p ⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰ττττ对此式两边从0x 到x 积分,得,)()(000)(0)(⎰⎰=-⎰x x d p d p ds es f y x y esx xx ττττ于是,得,)()(000)()()(0⎰⎰⎰+⎰=--x x d p d p d p ds es f eey x y sx xx xx ττττττ或,)()(00)()(0⎰⎰+⎰=-xx d p d p ds e s f ey x y sxxx ττττ 例3 设函数)(x f 在[)+∞,0上连续且有界,试证明:方程)(x f y dxdy=+ 的所有解均在[)+∞,0上有界.证 设)(x y y =为方程的任一解,它满足初值条件00)(y x y =,[)+∞∈,00x 于是,由求解公式,它可以表示为,)()(00)()(0⎰+=---xx x s x x ds e s f e y x y我们只要证)(x y 在[)+∞,0x 上有界即可, 设 [)+∞∈≤,0,)(x M x f 于是对,0+∞<≤x x 有⎰+≤---xx x s x x ds e s f e y x y 00)()(0)()(⎰+≤-xx s x ds e Me y 00()00x x x e e Me y -+=- ())(001x x e M y ---+= M y +≤0，原题得证,进而)()()(x y x f x y -='在[)+∞,0上有界.习题 4 设函数)(),(x f x p 在[)+∞,0上连续,且,)(,)(lim b x f a x p x ≤=+∞→(常数0,0≥>b a ).求证:方程)()(x f y x p dxdy=+的一切解在[)+∞,0上有界.证明 设)(x y y =为方程的任一解,它满足初值条件00)(y x y =,[)+∞∈,00x ,于是,由求解公式,它可以表示为,)()(0000)()()(0⎰⎰⎰+⎰=--x x d p d p d p ds es f eey x y sx xx xx ττττττ由0,)(lim >=+∞→a a x p x 知,存在00x X >，当0X x ≥时,成立,23)(21a x p a <<, 设00)(Y X y =,由求解公式,,)()(00)()(0⎰⎰+⎰=-xX d p d p ds e s f eY x y sxxX ττττ对0X x ≥,有[],,,,0)(21)()(21)(00x X s ee eex s a d p X x a d p sxxX ∈≤⎰≤⎰----ττττ于是⎰+≤---x X x s a X x a ds beeY x y 00)(21)(210)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅+≤-)(210012x X a e a b Y)(,200X x abY >+≤, ,即)(x y 在[)+∞,0X 上是有界，显然)(x y 在[]0,0X 上是有界的,故)(x y 在[)+∞,0上有界.进而)(x y '在[)+∞,0上也有界. 习题5 设)(x f 在[)+∞,0上连续,且,)(lim b x f x =+∞→ 又0>a .求证:方程)(x f ay dx dy=+的一切解均有,)(lim a b x y x =+∞→0)(lim ='+∞→x y x .证明 设)(x y y =为方程的任一解,它满足初值条件00)(y x y =,[)+∞∈,00x ,于是,由求解公式,它可以表示为,)()(00)()(0⎰+=---xx x s a x x a ds e s f e y x y ,)(0)(000⎰++=---x x ay x x a dy e y x f e y令)(,00,)(),(000x x x x y y x x e y x f y x F ay >⎩⎨⎧-<<<-+=则有,),(,),(lim ayayx Me y x F be y x F ≤=+∞→,),()(000⎰∞--=⎰+dy y x F dy e y x f xx ay利用积分控制收敛定理,于是,),(lim ),(lim )(lim 00abdy be dy y x F dy y x F dy e y x f ayx x x x ay x ====⎰+⎰⎰⎰∞-∞-+∞→∞-+∞→-+∞→,从而有,)(lim a bx y x =+∞→0)(lim ='+∞→x y x . 习题6 设函数)(x y 在[)+∞,0上连续可微,且有[]0)()(lim =+'+∞→x y x y x . 求证: 0)(lim =+∞→x y x证明 设)()()(x f x y x y =+'，则有)(x f 在[)+∞,0上连续,且有,0)(lim =+∞→x f x ,利用习题5的结果,得0)(lim =+∞→x y x ,0)(lim ='+∞→x y x .例7 设f在),[+∞a 上连续可微，)(lim x f x +∞→收敛，且f '在),[+∞a 上一致连续，则必有0)(lim ='+∞→x f x .证明 由f '在),[+∞=a I 上一致连续，得，对0>∀ε，0>∃δ，当Ix x ∈21,，且δ<-||21x x 时，便有12|()()|f x f x ε''-<；由)(lim x f x +∞→收敛，l i m [((1))()]n f n f n δδ→∞+-=，由微分中值定理，存在])1(,[δδξ+∈n n n ，使得1()[((1))()]n f f n f n ξδδδ'=+-，于是有lim ()0n n f ξ→∞'=.对上述0>ε，存在*N N ∈，当N n ≥时，便有|()|n f ξε'<；取δN M=，对任意M x >，必存在正整数N m ≥，使得])1(,[δδ+∈m m x ，|()||()()||()|2m m f x f x f f ξξε''''≤-+<，故得lim ()0x f x →+∞'= .例8 设2[,),f C a ∈+∞且lim()x f x →+∞存在，()f x ''在[),a +∞上有界，则有lim ()0x f x →+∞'=例9 设f在),[+∞a 上连续，且dx x f a⎰+∞)(收敛，若f 在),[+∞a 上一致连续，则必有0)(lim =+∞→x f x .证明 由f 在),[+∞=a I上一致连续，得，对0>∀ε，0>∃δ，当Ix x ∈21,，且δ<-||21x x 时，便有ε<-|)()(|21x f x f ；由于dx x f a⎰+∞)(收敛，则有0)(lim)1(=⎰+∞→dx x f n n n δδ，由积分平均值定理，存在])1(,[δδξ+∈n n n ，使得dx x f f n nn ⎰+=δδδξ)1()(1)(，于是有0)(lim =∞→n n f ξ.对上述0>ε，存在*N N ∈，当N n ≥时，便有εξ<|)(|n f ；取δN M=，对任意M x >，必存在正整数N m ≥，使得])1(,[δδ+∈m m x ，εξξ2|)(||)()(||)(|<+-≤m m f f x f x f ，故得0)(lim =+∞→x f x .例10 设f在),[+∞a 上连续可微，且dx x f a⎰+∞)(收敛，且f '在),[+∞a 上有界，则必有0)(lim =+∞→x f x 。