北京东城区示范校2011届高三综合练习试题(一)(数学理)

北京市东城区2011届十校联考（理科）考试时间：120分钟 试卷分值：150分注意：本试卷共分Ⅰ、Ⅱ两卷，所有答案必须写在答题卷的相应位置上，写在试卷上不予记分。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（每小题5分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1．已知集合{}31|≥≤=x x x A 或，集合{}R k k x k x B ∈+<<=,1|，若φ=⋂B A C R )(，则k 的取值范围是( )A ．),3()0,(+∞⋃-∞B ．(][),30,+∞⋃∞-C ．(][),31,+∞⋃∞-D ． (1,2)2.已知复数122,32z i z i =+=+，则12z z z =在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3．设l m n 、、为不同的直线，αβ、为不同的平面，有如下四个命题： ①若,l αβα⊥⊥，则l ∥β ② 若,l αβα⊥⊂，则l β⊥ ③若,l m m n ⊥⊥，则l ∥n ④若,m n α⊥∥β且α∥β则m n ⊥ 其中正确的命题个数是A ．1B ．2C ． 3D ．44．某器物的三视图如右图所示，根据图中数据可知该器物的表面积为（ ） A ．4π B ．5π C ．8π D ．9π 5．若()mf x x ax =+的导函数为()21f x x '=+，则数列1()(*)()n N f n ∈的前n 项和为（ ） A ．21n n ++ B ．1n n - C ．1n n + D ．1n n+ 6．若34cos ,sin ,2525θθ==则角θ的终边落在直线（ ）上A ．2470x y -=B ．2470x y +=C ．7240x y +=D ．7240x y -=7．若1a >，设函数()4xf x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是（ ）A ．7(,)2+∞B ．(1,)+∞C ．(4,)+∞D ．9(,)2+∞8．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为9,,2,1 的9个小正方形（如右图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 A ．108种 B ．60种 C ．48种D ．36种二、填空题（每小题5分，共30分）9．若命题“存在实数x ，使210x ax ++<”的否定是假命题，则实数a 的取值范围为 ．2-<a ，或2>a10．已知向量a =),2,1(-x b =),4(y ,若a ⊥b ，则yx 39+的最小值为 6．11．M 为椭圆2213x y +=上任意一点，P 为线段OM 的中点，求12PF PF ⋅的最小值 74-。

北京市东城区2012-2013学年度第二学期综合练习（一）高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为（A ）{3} （B ） {3,4} （C ）{1,2} （D ）{2,3} 【答案】B【解析】因为{1,2}A =，所以={3,4}U A ð，选B.（2）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB =u u u r a ，AC =u u u r b ，则向量BC uuu r 为（A ）-a b （B ）a +b （C ）-b a （D ）--a b 【答案】C【解析】因为=BC AC AB -u u u r u u u r u u u r ，所以=BC b a -u u u r r r，选C.（3）已知圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，那么该圆圆心到直线3,1x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为（A ）2 （B ）2（C ）2 （D ）2【答案】C【解析】圆心坐标为(1,2)，半径2r =，直线方程为20x y --=，所以圆心到直线的距离为2d ===，选 C.（4）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 （A ）316 （B ）14 （C ）34 （D ）116【答案】A【解析】到圆心的距离大于14且小于12的圆环面积为22113()()2416πππ-=，所以所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为331616ππ=，选A.（5）已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于（A ）130 （B ）120 （C ）55 （D ）50 【答案】C【解析】由120n n a a +-=得12n n a a +=，所以数列{}n a 为公比数列，公比2q =，所以111222n n n n a a q --==⨯=，所以22log log 2n n n b a n ===，为等差数列。

2011年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分)1．（5分）（2011•北京）已知集合P={x｜x2≤1｝,M=｛a}．若P∪M=P,则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1］B．［1,+∞）C．[﹣1，1］D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】集合．【分析】通过解不等式化简集合P；利用P∪M=P⇔M⊆P；求出a的范围．【解答】解：∵P={x|x2≤1},∴P=｛x｜﹣1≤x≤1}∵P∪M=P∴M⊆P∴a∈P﹣1≤a≤1故选：C．【点评】本题考查不等式的解法、考查集合的包含关系：根据条件P∪M=P⇔M⊆P是解题关键．2．(5分）（2011•北京）复数=(）A．i B．﹣i C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】将分子、分母同乘以1﹣2i，再按多项式的乘法法则展开,将i2用﹣1代替即可．【解答】解：==i故选A【点评】本题考查复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数；再按多项式的乘法法则展开即可．3．(5分)（2011•北京）在极坐标系中，圆ρ=﹣2sinθ的圆心的极坐标系是（）A．B．C．（1，0）D．（1，π）【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】直线与圆;坐标系和参数方程．【分析】先在极坐标方程ρ=﹣2sinθ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2,进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程求解即可．【解答】解:将方程ρ=﹣2sinθ两边都乘以p得：ρ2=﹣2ρsinθ，化成直角坐标方程为x2+y2+2y=0．圆心的坐标（0，﹣1）．∴圆心的极坐标故选B．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．4．（5分)（2011•北京)执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣3 B．﹣C．D．2【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】i=0，满足条件i＜4,执行循环体，依此类推，当i=4，s=2，此时不满足条件i＜4，退出循环体，从而得到所求．【解答】解：i=0，满足条件i＜4，执行循环体,i=1，s=满足条件i＜4,执行循环体，i=2，s=﹣满足条件i＜4,执行循环体,i=3，s=﹣3满足条件i＜4，执行循环体,i=4,s=2不满足条件i＜4，退出循环体，此时s=2故选：D【点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为:分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．5．（5分）（2011•北京）如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F,延长AF与圆O 交于另一点G．给出下列三个结论:①AD+AE=AB+BC+CA；②AF•AG=AD•AE③△AFB～△ADG其中正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等,得到第一个说法是正确的，根据切割线定理知道第二个说法是正确的,根据切割线定理知,两个三角形△ADF～△ADG,得到第三个说法错误．【解答】解：根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，有CE=CF，BF=BD，∴AD+AE=AB+BC+CA,故①正确，∵AD=AE，AE2=AF•AG，∴AF•AG=AD•AE，故②正确，根据切割线定理知△ADF～△ADG故③不正确，综上所述①②两个说法是正确的,故选A．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查圆的切线长定理,考查圆的切割线定理，考查切割线构成的两个相似的三角形，本题是一个综合题目．6．（5分）（2011•北京）根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位:分钟）为（A，C为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是(）A．75，25 B．75，16 C．60,25 D．60，16【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先，x=A的函数值可由表达式直接得出，再根据x=4与x=A的函数值不相等，说明求f（4)要用x＜A对应的表达式,将方程组联解，可以求出C、A的值．【解答】解：由题意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4)==30，可得出=30故=4,可得A=16从而c=15=60故答案为D【点评】分段函数是函数的一种常见类型，解决的关键是寻找不同自变量所对应的范围，在相应区间内运用表达式加以解决．7．（5分）（2011•北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A．8 B． C．10 D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】三视图复原的几何体是一个三棱锥,根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中,最大的值．【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为:8，6，，10,显然面积的最大值,10．故选C．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的知识，考查几何体的面积，空间想象能力，计算能力，常考题型．8．（5分)（2011•北京)设A（0，0），B（4，0）,C(t+4,4），D（t，4）（t∈R)．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为（)A．{9,10,11｝B．｛9，10，12｝ C．｛9，11，12｝ D．{10，11，12}【考点】集合的含义．【专题】集合．【分析】分别由t=0,1，2求出N（t）,排除错误选项A,B，D，从而得到正确选项．【解答】解：当t=0时，▱ABCD的四个顶点是A(0，0），B(4,0），C（4，4），D(0，4)，符合条件的点有(1，1），（1，2），（1,3）,（2，1)，(2,2)，（2，3)，(3,1），（3,2)，（3，3），共九个,N（t）=9,故选项D不正确．当t=1时，▱ABCD的四个顶点是A(0，0），B(4，0)，C(5，4)，D（1，4),同理知N（t）=12，故选项A不正确．当t=2时，▱ABCD的四个顶点是A（0，0），B（4，0),C（6，4），D（2，4），同理知N（t)=11，故选项B不正确．故选C．【点评】本题考查集合的性质和应用，解题时要注意排除法的合理运用．本题中取整点是个难点,常用的方法是，先定横（或纵）坐标，在定纵（横）坐标，以确定点的个数，如果从图形上看,就是看直线x=r（r是整数）上有几个整点在四边形内．二、填空题（共6小题，每小题5分,满分30分）9．（5分）（2011•北京）在△ABC中．若b=5，，tanA=2，则sinA=；a=2．【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系．【专题】解三角形．【分析】由tanA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的平方，然后由A的范围,再利用同角三角函数的基本关系求出sinA的值，然后再利用正弦定理，由sinA,sinB及b 的值即可求出a的值．【解答】解：由tanA=2，得到cos2A==，由A∈（0,π）,得到sinA==,根据正弦定理得:=，得到a===2．故答案为:;2【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系以及正弦定理化简求值,是一道中档题．10．（5分）（2011•北京）已知向量=（，1），=（0,﹣1），=(k，）．若与共线，则k=1．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算求出的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k的值．【解答】解:∵与共线，∴解得k=1．故答案为1．【点评】本题考查向量的坐标运算、考查向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等．11．（5分)（2011•北京）在等比数列{a n｝中，a1=，a4=﹣4,则公比q=﹣2;｜a1｜+｜a2｜+…+｜a n|=．【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】先利用等比数列的通项公式求得公比;|a n|是以a1为首项，|q｜为公比，进而利用等比数列的求和公式求解．【解答】解:q===﹣2，｜a1|+｜a2｜+…+|a n|==故答案为:﹣2，【点评】本题主要考查了等比数列的性质．考查了对等比数列的通项公式和求和公式的灵活运用．12．（5分)（2011•北京）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有14个．（用数字作答)【考点】计数原理的应用．【专题】算法和程序框图．【分析】本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数，当数字中有1个2，3个3时，当数字中有2个2，2个3时,当数字中有3个2，1个3时，写出每种情况的结果数，最后相加．【解答】解:由题意知本题是一个分类计数问题，首先确定数字中2和3 的个数,当数字中有1个2，3个3时，共有C41=4种结果，当数字中有2个2，2个3时，共有C42=6种结果，当数字中有3个2，1个3时，共有有C41=4种结果，根据分类加法原理知共有4+6+4=14种结果，故答案为：14【点评】本题考查分类计数原理，是一个数字问题,这种问题一般容易出错,注意分类时要做到不重不漏，本题是一个基础题，也是一个易错题，易错点在数字中重复出现的数字不好处理．13．（5分）（2011•北京）已知函数若关于x 的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是（0，1)．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】要求程f(x）=k有两个不同的实根是数k的取值范围，根据方程的根与对应函数零点的关系，我们可以转化为求函数y=f（x）与函数y=k交点的个数,我们画出函数的图象，数形结合即可求出答案．【解答】解：函数的图象如下图所示:由函数图象可得当k∈（0，1）时方程f(x)=k有两个不同的实根,故答案为：（0,1)【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据方程的根与对应函数零点的关系,将方程问题转化为函数问题是解答的关键．14．(5分）(2011•北京）曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0)的距离的积等于常数a2（a＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2．其中,所有正确结论的序号是②③．【考点】轨迹方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1,0）的距离的积等于常数a2(a＞1）,利用直接法，设动点坐标为（x，y）,及可得到动点的轨迹方程,然后由方程特点即可加以判断．【解答】解：对于①，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的距离公式的得：⇔[（x+1）2+y2]•［（x﹣1)2+y2]=a4（1)将原点代入验证，此方程不过原点，所以①错；对于②,把方程中的x被﹣x代换,y被﹣y 代换,方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；对于③，由题意知点P在曲线C上，则△F1PF2的面积=a2sin∠F1PF2，≤a2，所以③正确．故答案为:②③．【点评】此题重点考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域．三、解答题（共6小题，满分80分）15．(13分)（2011•北京)已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x)在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．（Ⅱ）利用x的范围确定2x+的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值．【解答】解：(Ⅰ）∵，=4cosx（）﹣1=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）,所以函数的最小正周期为π;（Ⅱ）∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2，当2x+=﹣时，即x=﹣时,f(x）取得最小值﹣1．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值．解题的关键是对函数解析式的化简整理．16．（14分)（2011•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2,∠BAD=60°．（Ⅰ)求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值;（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．【考点】直线与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（I）由已知条件可得ACBD，PABD，根据直线与平面垂直的判定定理可证（II）结合已知条件，设AC与BD的交点为O，则OB⊥OC，故考虑分别以OB，OC为x 轴、y轴,以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系,设PB与AC所成的角为θ，则,代入公式可求（III）分别求平面PBC的法向量，平面PDC的法向量由平面PBC⊥平面PDC可得从而可求t即PA【解答】解：(I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A所以BD⊥平面PAC（II）设AC∩BD=O,因为∠BAD=60°，PA=AB=2,所以BO=1，AO=OC=,以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z 轴,建立空间直角坐标系O﹣xyz,则P（0，﹣,2），A（0，﹣，0），B(1，0,0),C（0，,0）所以=（1，，﹣2），设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|（III）由（II）知，设,则设平面PBC的法向量=（x，y，z）则=0，所以令,平面PBC的法向量所以,同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC，所以=0，即﹣6+=0,解得t=，所以PA=．【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力17．（13分）(2011•北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（Ⅰ）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差;（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望．（注：方差,其中为x1，x2，…x n的平均数）【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】(Ⅰ)根据所给的数据，把所有数据相加再除以4写出这组数据的平均数，再利用所给的方差的公式,做出这组数据的方差．（Ⅱ）根据所给的变量写出随机变量可能的取值，结合变量对应的事件写出变量的概率，写出分布列,做出期望值．【解答】解:(Ⅰ)当X=8，乙组同学植树棵数是8,8，9，10，平均数是=，方差为+=；（Ⅱ)当X=9时，甲组同学的植树棵数是9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是9，8，9，10，分别从甲和乙两组中随机取一名同学,共有4×4=16种结果,这两名同学植树的总棵数Y可能是17，18，19,20，21，事件Y=17，表示甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵，∴P（Y=17)=P（Y=18)=P（Y=19)=P(Y=20）=,P（Y=21）=Y 17 18 19 20 21P 0。

2010—2011学年度第二学期北京东城区示范校综合练习高三数学 （理）第二次联考2011年3月第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1、若集合{} 1A x x =>，{} 0B xx =≥，全集U=R ，则()R A B ð等于（ ）（A ）{}11x x -≤≤（B ）{}0x x ≥ （C ）{}01x x ≤≤（D ）∅2、“1m =”是“直线0x y -=和直线0x my +=互相垂直”的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件3、已知各项不为0的等差数列{}n a 满足22712220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则311b b 等于 （ ）（A ）16 （B ）8 （C ）4 （D ）24、某程序框图如图所示，现输入如下四个函数：2()f x x =，1()f x x=，()e xf x =，()sin f x x =，则可以输出的函数是 （ ）（A ）2()f x x = （B ）1()f x x=（C ）()e x f x = （D ）()sin f x x =5、如果三位正整数如“a b c ”满足,a b b c <>，则这样的三位数称为凸数（如120,352） 那么，所有的三位凸数的个数为 （ ）（A ）240 （B ）204 （C ）729 （D ）920 6、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （ ）(A) 1 (B) 23 (C) 56(D)137、已知向量()2,1x x +a =，()1,x t -b =，若函数()f x =⋅a b 在区间()1,1-上是增函数，则实数t 的取值范围是 （ ）（A ）[)5,+∞ （B ）()5,+∞ （C ）(],5-∞ （C ）(),5-∞8、 定义函数()y f x =，x D ∈．若存在常数c ，对任意1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得()()122f x f x c +=，则称函数()fx 在D 上的算术平均数为c ．已知()ln f x x =，[]2,8x ∈，则()ln f x x =在[]2,8上的算术平均数为 （ ）（A ）ln 2 （B ）ln 4 （C ）ln 5 （D ）ln 8第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9、复数2i 1iz -=+= ；其所确定的点Z 位于复平面的第______象限．10、右图是样本容量为200的频率分布直方图． 根据样 本的频率分布直方图估计，样本数据落在[)6,14内的频数为 ；数据落在[)2,14 内的概率约为 ．11、若抛物线()20y ax a =>的焦点与双曲线22172xy-=的一个焦点相同，则该抛物线的方程为______________． 12、已知在极坐标系下，点π2π1,,3,,33A B O ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是极点，则,A B 两点间的距离 AB = _____________； A O B ∆的面积等于_______．13、如图，已知A B 是圆O 的直径，4A B =，C 为圆上任意一点，过C 点做圆的切线分别与过,A B 两点的切线交于,P Q 点，则CP CQ ⋅=________________．14、如图，在正方体1111ABC D A B C D -中，E ，F ，G ，H ，M 分别是棱A D ，1DD ，111,D A A A AB ，的中点，点N 在四边形EFGH 的四边及其内部运动，则当N 只需满足条件________时，就有11M N A C ⊥；当N 只需满足条件________时，就有MN ∥平面11B D C ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15、（本小题共13分）已知函数()22cos cos f x x x x a =++，且π46f ⎛⎫=⎪⎝⎭． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）当ππ43x -≤≤时，求函数()f x 的值域．16、（本小题共13分）某单位在2011新年联欢会上举行一个抽奖活动：甲箱中装有3个红球，2个黑球，乙箱中装有2个红球4个黑球，参加活动者从这两个箱子中分别摸出1个球，如果摸到的都是红球则获奖． （Ⅰ）求每个活动参加者获奖的概率；（Ⅱ）某办公室共有5人，每人抽奖1次，求这5人中至少有3人获奖的概率．17、（本小题共14分）如图，在四棱柱1111ABC D A B C D -中，底面A B C D 是正方形，侧棱与底面垂直，点O 是正方形A B C D 对角线的交点，124AA AB ==，点E ，F 分别在1C C 和1A A 上，且1C E A F =．（Ⅰ）求证：1B F ∥平面BD E ；（Ⅱ）若1A O BE ⊥，求C E 的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角1A BE O --的余弦值．18、（本小题共13分）已知函数()ln (m f x x m x=-∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的定义域，并讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）问是否存在实数m ，使得函数()f x 在区间[]1,e 上取得最小值3？请说明理由． 19、（本小题共14分）已知椭圆的的右顶点为A ，离心率12e =，过左焦点()1,0F -作直线l 与椭圆交于点P ，Q ，直线AP ，AQ 分别与直线 4x =-交于点,M N ． (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)证明以线段M N 为直径的圆经过焦点F ．20、(本小题共13分)对数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中1(n n n a a a n +∆=-∈N *)．对正整数k ，规定 {}k n a ∆为{}n a 的k 阶差分数列，其中()1111kk k k n n n n a a a a ---+∆=∆-∆=∆∆．（Ⅰ）若数列{}n a 的首项11a =，且满足212nn n n a a a +∆-∆+=-，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列{}n a ，若数列{}n b 是等差数列，使得12311231n nn n nn n n n n b C b C b C b C b C a --+++⋅⋅⋅++= 对一切正整数n ∈N *都成立，求n b ；（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，令()21,n n c n b =-设312123,n n nc c c c T a a a a =+++⋅⋅⋅+若n T m <成立，求最小正整数m 的值．2010-2011学年度东城区示范校综合练习高三数学 （理科）参考答案一、选择题1.C2.C3.A4.D5.A6.C7.A8.B 二、填空题9．13i 22-，4 10．136；0.76 11． 212y x = 12413．4CP CQ ⋅= 14．点N 在EG 上；点N 在EH 上 （填空题，第一空3分，第二空2分） 三、解答题15．解：（Ⅰ）由π46f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得2124222a ⨯+⨯+=⎝⎭,—————2分 ∴ 1a =． ——————————4分（Ⅱ）()22cos cos 1f x x x x =++cos 222x x =++π2s i n 226x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．——————————————8分∵ ππ43x -≤≤，∴ππ5π2336x -≤+≤，∴ πs i n 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，————11分∴ ()24f x -≤≤，所以，函数()fx 的值域为24⎡⎤-⎣⎦．————13分16． 解：（Ⅰ）设事件1A 表示从甲箱中摸出红球，事件2A 表示从乙箱中摸出红球．因为从甲箱中摸球的结果不影响从乙箱中摸球的结果，所以1A 和2A 相互独立．()()12321,,563p A p A ===所以 121231()()()0.253P P A A P A P A ===⨯=（获奖）．———7分（Ⅱ）设X 为5人中获奖的人次，则(5,0.2)X B ， —————————9分 (3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ≥==+=+=33244555550.2(10.2)0.2(10.2)0.2C C C =⋅⋅-+⋅⋅-+⋅1813125=．所以，5人中至少有3人获奖的概率为1813125． ————13分17．解：（Ⅰ）证明：取1BE C E =，连结1E E 和1AE ,∴1EE BC =，1E E ∥B C ，B C A D =，B C ∥A D ， ∴1EE AD =，1E E ∥A D ． ∴四边形1AE ED 为平行四边形， ∴1AE ∥D E ，在矩形11A ABB 中，11A F BE =，∴四边形11B FAE 为平行四边形． ∴1B F ∥1AE ，1B F ∥D E ．∵D E ⊂平面BD E ，1B F ⊄平面BD E ， ∴1B F ∥平面BD E ．———4分（Ⅱ）连结O E ，在正四棱柱1111ABC D A B C D -中， 1A A ⊥平面A B C D ， ∴1AA BD ⊥，B D A C ⊥，∴B D ⊥平面1A A O ， ∴1BD A O ⊥． 由已知1A O BE ⊥，得1A O ⊥平面BD E ． ∴190A O E ∠= ，190A O A EO C ∠+∠= ，在△1A A O 与△O C E 中， 1EO C O A A ∠=∠，1EC O O AA ∠=∠， ∴△1A A O ∽△O C E ∴1A A A O O CC E=，12C E =．—————————9分（Ⅲ）以A 为原点，A B ，A D ，1A A 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系． 11(2,0,0),(2,2,),(0,0,4),(1,1,0)2B E A O ．1117(1,1,4),(2,0,4),(2,2,)2O A A B A E =--=-=- ，由（Ⅱ）知1O A为平面O B E 的一个法向量，设(,,)x y z =n 为平面1A BE 的一个法向量，则 1100A B A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ，即 24072202x z x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩， 令1z =，所以 1(2,,1)4=-n ．∴1cos ,6O A <>=n∵二面角1A BE O --的平面角为锐角，∴二面角1A BE O --的余弦值为6． —————————13分18． 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，且 ()'221m x m f x xxx+=+=．令()'0fx =，得x m =-． ——————————————2分当0m ≥时，0x m +>，()'20x m fx x+=>，函数()fx 在()0,+∞上是增函数；当0m <时，在区间()0,m -上()'0f x <，函数()f x 在()0,m -上是减函数；在区间(),m -+∞上()'0f x >，函数()f x 在(),m -+∞上是增函数．———6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()'2x m fx x+=，（1）若1m ≥-，则在区间[]1,e 上()'0fx ≥，函数()f x 在[]1,e 上是增函数，此时，()f x 取最小值()1f ，由()13f m =-=，得[)31,m =-∉-+∞；————————8分 （2）若e,m ≤-则在区间[]1,e 上()'0fx ≤，函数()f x 在[]1,e 上是减函数，此时，()f x 取最小值()e f ， 由()e 13em f =-=，得(]2e ,e m =-∈-∞-；———————10分（3）若e 1m -<<-，则在区间[)1,m -上()'0f x ≤，函数()f x 在[)1,m -上是减函数，在区间(),m -+∞上()'0fx ≥，函数()f x 在(),m -+∞上是增函数，此时，()f x 取最小值()f m -，由()()ln 13f m m -=-+=，得2e m =∉()e,1--；———12分 综上所述，存在实数2e m =-，使得()f x 在区间[]1,e 上取得最小值3．———13分19． (Ⅰ)解： 由已知 11,,2c c a==∴2,a b == 椭圆方程为22143xy+=．———5分(Ⅱ) 设直线l 方程为 ()1y k x =+，由 ()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得()22223484120k x k x k +++-=．设()()1122,,,P x y Q x y ，则221212228412,3434kk x x x x kk-+=-=++．—————7分设()()4,,4,M N M y N y --，则由,,A P M 共线，得1111,42M y y y x x -=--- 有 1162M y y x =--．同理 2262N y y x =--．∴ ()()()()2121212121212361362224M Nk x x x x y y y y x x x x x x +++⎡⎤⎣⎦==---++．——————9分()()()()212121212222222222223,3,9361 92441283613434936 990.412836243434M NM NFM FN y y y y k x x x x x x x x k k k k k k k k kk k⋅=-⋅-=++++⎡⎤⎣⎦=+-++⎡⎤--+⎢⎥++⨯⎣⎦=+=-=-++++∴FM FN ⊥，即F M F N ⊥，以线段M N 为直径的圆经过点F ；————12分当直线l 的斜率不存在时，不妨设()()4,3,4,3M N ---．则有()()3,33,3990FM FN ⋅=-⋅--=-=,∴ FM FN ⊥，即F M F N ⊥，以线段M N 为直径的圆经过点F ．综上所述，以线段M N 为直径的圆经过定点F ． ———————————14分 20． 解：（Ⅰ）由212n n n n a a a +∆-∆+=-及21n n n a a a +∆=∆-∆，得 2n n n a a ∆-=， ∴122,n n n a a +-= ∴111,222n n n na a ++-=———————————————2分∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,2公差为12的等差数列， ∴()111,222n na n =+-⨯12n n a n -=⋅．————————4分（Ⅱ）∵ 12311231n nn n n n n n n n b C b C b C b C b C a --+++⋅⋅⋅++=，∴ 1231112312n n n n n n n n n n b C b C b C b C b C n ---+++⋅⋅⋅++=⋅．∵11 k k n n kC nC --=，()()1231012111110121111112312.n n n n n n nn n n n n n n n n n n C C C n C nC nC nC nC nC n CCCCn ------------∴+++⋅⋅⋅+-+=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=⋅∴ n b n =．————————————9分（Ⅲ）由（Ⅱ）得 21135211222n n n T --=+++⋅⋅⋅+， ① 有 2311352122222n nn T -=+++⋅⋅⋅+， ②①-② 得 2322111112112111322222222n n nn nn n T ----=+++++⋅⋅⋅+-=--，∴311216622n n n n T ---=--<， ——————————10分 又21135211222n n n T --=+++⋅⋅⋅+，∴10n n T T +->，∴{}n T 是递增数列，且6351116522T =-->，∴ 满足条件的最小正整数m 的值为6．————————13分。

北京市东城区2010—2011学年度第二学期高三综合练习（一）理科综合能力测试本试卷分选择题和非选择题两部分，共300分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

以下数据可供解题时参考：可能用到的相对原子质量：H l O 16 cr 52 Fe 56选择题选择题共20小题。

每小题6分，共120分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．细胞是生物体结构和功能的基本单位。

组成生物体的活细胞都具有（）A．选择透过性膜 B．遗传物质C．细胞周期D．有氧呼吸酶2．下列各选项中，生物学实验目的、试剂及原理均符合的一项是3．图一1为果蝇体内某个细胞的示意图，下列相关叙述正确的是（）A．图中的染色体l、2、5、7可组成一个染色体组B．在细胞分裂过程中等位基因D、d不一定发生分离C．图中7和8表示性染色体，其上的基因者B可以控制性别D．含有基因B、b的染色体片段发生交换属于染色体结构变异4．图一2表示一个池塘生态系统中各种生物之间的关系。

下列叙述不正确．．．的是（）A．图中所有的生物构成了此池塘生态系统的生物群落高温 B ．从外部引入消费者4可能会使生产者2的数量暂时增加C ．流经该生态系统的总能量是图中所有生产者固定的能量之和D ．组成消费者的各种元素返回无机环境都需经分解者的分解怍用5．将一株绿色植物置于密闭锥形瓶中，如图一3所示。

在连续60分钟监测的过程中，植物一段时间以固定的光照强度持续照光，其余时间则处于完全黑暗中，其他条件相同且适宜，测得瓶内CO 2浓度变化结果如图一4所示。

据此分析可知（ ）A ．最初10 min 内，瓶内CO 2浓度逐渐下降，说明植物的光合作用逐渐增强B ．第20—30 min 内，瓶内植物光合作用逐渐减弱，呼吸作用逐渐增强C ．第40～60 min 内，瓶内植物的光合作用速率与呼吸作用速率大致相等D ．瓶内植物在照光时段内实际的光合作用速率平均为90 ppmCO 2／min6．“化学——我们的生活，我们的未来”。

北京市东城区2012-2013学年度第二学期综合练习（一）高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为（A ）{3} （B ） {3,4} （C ）{1,2} （D ）{2,3} 【答案】B【解析】因为{1,2}A =，所以={3,4}U A ð，选B.（2）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB =a ，AC =b ，则向量BC 为 （A ）-a b （B ）a +b（C ）-b a （D ）--a b 【答案】C【解析】因为=BC AC AB -，所以=BC b a -，选C.（3）已知圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，那么该圆圆心到直线3,1x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）的距离为（A ）2 （B （C ）2 （D 【答案】C【解析】圆心坐标为(1,2)，半径2r =，直线方程为20x y --=，所以圆心到直线的距离为2d ===，选 C.（4）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为 （A ）316 （B ）14 （C ）34 （D ）116【答案】A【解析】到圆心的距离大于14且小于12的圆环面积为22113()()2416πππ-=，所以所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为331616ππ=，选A.（5）已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于（A ）130 （B ）120 （C ）55 （D ）50 【答案】C【解析】由120n n a a +-=得12n n a a +=，所以数列{}n a 为公比数列，公比2q =，所以111222n n n n a a q --==⨯=，所以22log log 2n n n b a n ===，为等差数列。

北京市东城区2011-2012学年度高三数第一学期期末教学统一检测数学（理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}0≥=x x A ，{}2,1,0=B ，则（A ）B A ⊆ （B ）A B ⊆ （C ）B B A = （D ）∅=B A （2）在复平面内，复数ii21--对应的点位于 (A )第一象限 （B ） 第二象限 （C ） 第三象限 （D ） 第四象限 （3）下列命题中正确的是（A ）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 （B ）过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直（C ）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 （D ）如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面（4）一个几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图的边界为正六边形，那么该几何体的侧(左) 视图的面积为 （A ）21 （B ）1 （C ）23（D ） 2（5）在平面直角坐标系内，若曲线C ：04542222=-+-++a ay ax y x 上所有的点均在第二象限内，则实数a 的取值范围为 （A ）()2,-∞- （B ） ()1,-∞- （C ）()+∞,1 （D ）()+∞,2（6）如图所示，点P 是函数)sin(2ϕω+=x y )0,(>∈ωR x 的图象的最高点，M ，N 是该图象与x 轴的交点，若0=⋅PN PM ，则ω的值为（A ）8π （B ）4π （C ）4（D ）8（7）对于函数(lg 21f x x =-+），有如下三个命题：①)2(+x f 是偶函数；②)(x f 在区间)2,(-∞上是减函数，在区间()∞+,2上是增函数；③)()2(x f x f -+在区间()∞+,2上是增函数．其中正确命题的序号是（A ）①② （B ）①③ （C ）②③ （D ）①②③（8）已知函数1)(2+=x x f 的定义域为[]b a ,)(b a <，值域为[]5,1，则在平面直角坐标系内，点),(b a 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为（A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）2第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2011届北京东城区高三第一学期期末考试--数学理姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题 1 ．若集合{}|4P x x =<,{}2|4Q x x =<,则（ ）A ．Q ⊂PB ．P ⊂QC ．P ⊂Q C RD ．Q ⊂P C R2 ．在复平面内,复数i(i 1)-对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3 ．已知实数,x y 满足条件10,10,10,x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩那么2x y -的最大值为（ ）A ．-3B ．-2C ．1D ．24 ．已知α,β为不重合的两个平面,直线α⊂m ,那么“β⊥m ”是“βα⊥”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5 ．若13log 2a =,12log 3b =,0.31()2c =,则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<6 ．直线0=+++b a by ax 与圆222=+y x的位置关系为（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切7 ．已知△ABD 是等边三角形,且12AB AD AC +=,||CD =那么四边形ABCD 的面积为 （ ）A ．23 B ．323C ．33D ．329 8 ．已知函数)(x f 的定义域为R ,若存在常数0>m ,对任意x ∈R ,有|()|||f x m x ≤,则6 正（主）视图侧（左）视图俯视图称)(x f 为F函数.给出下列函数:①2)(x x f =;②x x x f cos sin )(+=;③1)(2++=x x xx f ;④)(x f 是定义在R 上的奇函数,且满足对一切实数21,x x 均有 21212)()(x x x f x f -≤-.其中是F 函数的序号为 （ ）A ．②④B ．①③C ．③④D ．①②二、填空题9 ．已知1sin()3απ+=-,且α是第二象限角,则sin 2α=_______. 10．一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为_______________.11．在数列{}n a 中,若12a =,且对任意的正整数,p q 都有q p q p a a a =+,则8a 的值为______.12．已知函数3log ,0,()1,0,3x x x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤⎪⎪⎝⎭⎩那么不等式()1f x ≥的解集为___________.13．已知双曲线221kxy -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直,那么双曲线的离心率为 ___________;渐近线方程为____________ .14．已知函数2)1ln()(x x a x f -+=,在区间)1,0(内任取两个实数,p q ,且q p ≠,不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立,则实数a 的取值范围是___.FCBA三、解答题15．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示. (Ⅰ)求()f x 的最小正周期及解析式;(Ⅱ)设()()cos 2g x f x x =-,求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值.16．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+,数列{}n b 满足121n n b b +=-*()n ∈N ,且15b =.(Ⅰ)求{}{},n n a b 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n c 的前n 项和为n T ,且21log (1)n n n c a b =⋅-,证明:12n T <.17．如图,正方形ADEF 与梯形A B C D 所在的平面互相垂直,AD CD ⊥,AB ∥CD ,2AB AD ==,4CD =,M 为CE 的中点. (Ⅰ)求证:BM ∥平面ADEF ; (Ⅱ)求证:平面BDE ⊥平面BEC ;(Ⅲ)求平面BEC 与平面ADEF 所成锐二面角 的余弦值.18．已知函数()ln f x x x =.(Ⅰ)求函数()f x 在[1,3]上的最小值;(Ⅱ)若存在1[,e]ex ∈(e 为自然对数的底数,且e =2.71828 )使不等式22()3f x x ax ≥-+-成立,求实数a 的取值范围.19．设,A B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点,椭圆的长轴长为4,且点)在该椭圆上. (Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设P 为直线4x =上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ,证明:△MBP 为钝角三角形.20．已知集合},,,{21n a a a A =中的元素都是正整数,且n a a a <<< 21,对任意的,,A y x ∈且x y ≠,有25xy y x ≥-. (Ⅰ)求证:251111-≥-n a a n ; (Ⅱ)求证:9≤n ;(Ⅲ)对于9=n ,试给出一个满足条件的集合A .2011届北京东城区高三第一学期期末考试--数学理参考答案一、选择题1. A2. C3. C4. A5. D6. D7. B8. C 二、填空题9. 10. 36 11. 256 12. (,0][3,)-∞+∞102x y ±= 14. [15,)+∞ 三、解答题 15. (共13分)解:(Ⅰ)由图可得1A =,22362T πππ=-=,所以T =π 所以2ω=.当6x π=时,()1f x =,可得 sin(2)16ϕπ⋅+=, 因为||2ϕπ<,所以6ϕπ=所以()f x 的解析式为()sin(2)6f x x π=+(Ⅱ)()()cos 2sin(2)cos 26g x f x x x x π=-=+-sin 2coscos 2sin cos 266x x x ππ=+-12cos 222x x =- sin(2)6x π=-因为02x π≤≤,所以52666x πππ-≤-≤.当262x ππ-=,即3x π=时,()g x 有最大值,最大值为1;当266x ππ-=-,即0x =时,()g x 有最小值,最小值为12-16. (共13分)(Ⅰ)解:当1n =时,112a S ==.当2n ≥时,221[(1)(1)]2n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=. 当1n =时,122n a ==. 所以2n a n =由121n n b b +=-,得112(1)n n b b +-=-,又1140b -=≠, 所以{}1n b -是以4为首项,2为公比的等比数列. 所以1111(1)22n n n b b -+-=-=. 所以121n n b +=+ (Ⅱ)证明:12211log (1)2log (211)n n n n c a b n +==⋅-+- 12112log 22(1)n n n n +==+111()21n n =-+ 故1111[]21223(1)n T n n =+++⨯⨯+… 111111[(1)()()]22231n n =-+-++-+… 11(1)21n =-+ 所以12n T <17. (共14分)(Ⅰ)证明:取DE 中点N ,连结,MN AN . 在△EDC 中,,M N 分别为,EC ED 的中点, 所以MN ∥CD ,且12MN CD =. 由已知AB ∥CD ,12AB CD =, 所以MN ∥AB ,且MN AB =. 所以四边形ABMN 为平行四边形. 所以BM ∥AN .又因为AN ⊂平面ADEF ,且BM ⊄平面ADEF , 所以BM ∥平面ADEF(Ⅱ)证明:在正方形ADEF 中,ED AD ⊥.又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ,且平面ADEF 平面ABCD AD =, 所以ED ⊥平面ABCD . 所以ED BC ⊥.在直角梯形ABCD 中,2AB AD ==,4CD =,可得BC =在△BCD 中,4BD BC CD ===,所以BC BD ⊥.所以BC ⊥平面BDE . 又因为BC ⊂平面BCE , 所以平面BDE ⊥平面BEC(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知ED ⊥平面ABCD ,且AD CD ⊥.以D 为原点,,,DA DC DE 所在直线为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系.(2,2,0),(0,4,0),(0,0,2)B C E .平面ADEF 的一个法向量 为(0,1,0)=m .设(,,)x y z =n 为平面BEC的一个法向量,因为(2,2,0),BC =-, (0,4,2)CE =-所以220420x y y z -+=⎧⎨-+=⎩,令1x =,得1,2y z ==.所以(1,1,2)=n 为平面BEC 的一个法向量. 设平面BEC 与平面ADEF 所成锐二面角为θ. 则cos ||||6||θ⋅===⋅m n m n . 所以平面BEC 与平面ADEF 18. (共13分)解:(Ⅰ)由()ln f x x x =,可得()ln 1f x x '=+, 当1(0,)ex ∈时,()0,()f x f x '<单调递减; 当1(,)ex ∈+∞时,()0,()f x f x '>单调递增. 所以函数)(x f 在[1,3]上单调递增. 又(1)ln10f ==,所以函数()f x 在[1,3]上的最小值为0(Ⅱ)由题意知,22ln 3,x x x ax ≥-+-则32ln a x x x≤++. 若存在1[,e]ex ∈使不等式22()3f x x ax ≥-+-成立, 只需a 小于或等于32ln x x x++的最大值. 设()()32ln 0h x x x x x =++>,则()()()2231231x x h x x x x+-'=+-=. 当1[,1)x e∈时,()()0,h x h x '<单调递减; 当(1,e]x ∈时,()()0,h x h x '>单调递增. 由11()23e e e h =-++,3(e)2e e h =++,12()(e)2e 40e eh h -=-->, 可得1()(e)eh h >.所以,当1[,e]e x ∈时,)(x h 的最大值为11()23e e eh =-++. 故123e ea ≤-++ 19. (共13分)(Ⅰ)解:由题意:24a =,所以2a =.所求椭圆方程为22214x y b+=.又点在椭圆上,可得21b =. 所求椭圆方程为2214x y += (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知:(2,0),(2,0)A B -. 设(4,)P t ,(,)M M M x y . 则直线PA 的方程为:(2)6ty x =+. 由22(2),644,t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(9)44360t x t x t +++-=. 因为直线PA 与椭圆相交于异于A 的点M ,所以22429M t x t --+=+,所以222189M t x t -+=+.由(2)6M M t y x =+,得269M t y t=+. 所以2222186(,)99t tM t t-+++. 从而22246(,)99t tBM t t =-++ ,(2,)BP t = . 所以22228699t t BM BP t t ⋅=-+++ 22209t t=-<+. 又,,M B P 三点不共线,所以MBP ∠为钝角. 所以△MBP 为钝角三角形20. (共14分)(Ⅰ) 证明:依题意有)1,,2,1(2511-=≥-++n i a a a a i i i i ,又n a a a <<< 21, 因此)1,,2,1(2511-=≥-++n i a a a a i i i i . 可得)1,,2,1(251111-=≥-+n i a a i i . 所以122311*********25i i n n n a a a a a a a a +---+-+-++-≥. 即251111-≥-n a a n (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得25111->n a . 又11≥a ,可得2511->n ,因此26<n . 同理2511i n a a n i -≥-,可知251i n a i ->. 又i a i ≥,可得251in i ->, 所以)1,,2,1(25)(-=<-n i i n i 均成立.当10≥n 时,取5=i ,则25)5(5)(≥-=-n i n i , 可知10<n .又当9≤n 时,25)2()2()(22<=-+≤-ni n i i n i . 所以9≤n(Ⅲ)解:对于任意n j i ≤<≤1,j i i a a a ≤<+1, 由)1,,2,1(251111-=≥-+n i a a i i 可知, 25111111≥-≥-+i i j i a a a a ,即25j i j i a a a a ≥-. 因此,只需对n i <≤1,251111≥-+i i a a 成立即可. 因为251211≥-;2513121≥-;2514131≥-;2515141≥-, 因此可设11=a ;22=a ;33=a ;44=a ;55=a . 由2511165≥-a a ,可得4256≥a ,取76=a . 由2511176≥-a a ,可得181757≥a ,取107=a . 由2511187≥-a a ,可得3508≥a ,取208=a . 由2511198≥-a a ,可得1009≥a ,取1009=a . 所以满足条件的一个集合{}100,20,10,7,5,4,3,2,1=A。

东城区2010-2011学年度综合练习（一）高三数学 （理科） 2011.4学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）“2x >”是“24x >”的（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（2）已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，2313a a +=，那么则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45（3）已知函数()f x 对任意的x ∈R 有()()0f x f x +-=，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的大致图像为（A ）（B ）（C ） （D ） （4）已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足0PA PB PC ++= ，且AB AC mAP +=，那么实数m 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（5）若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为 A ．5n ≤ B ．6n ≤ C ．7n ≤ D ．8n ≤（6）已知(,)2απ∈π,1tan()47απ+=,那么ααcos sin +的值为 （A ）51- （B ）57（C ）57-（D ）43 （7）已知函数31)21()(x x f x-=，那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是（A ）)31,0( （B ）)21,31( （C ）)32,21( （D ）)1,32(（8）空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是到P 到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是（A ） 33- （B ）323- （C ）36- （D ）340 50 60 70 80 90 体重(kg) 频率A第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

数学（理科） 参考答案及评分标准 2011.4一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）B （3）A （4）C（5）C （6）B （7）B （8）C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） 1- （10）3（11）5.64 32 （12）15 （13）3 （14）65 n -70注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．北京市东城区2011年高三一模试卷数学（理科） 参考答案及评分标准 2011.4一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分数学（理科） 参考答案及评分标准 2012.4一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）D （2）A （3）A （4）B（5）C （6）C （7）D （8）A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）(0,),tan sin 2x x x π∀∈≤ （10（11）84 乙（12） 60o （13） 14x =- 2 （14新课标第一网注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．北京市东城区2012年高三二模试卷数 学（理科） 参考答案及评分标准 2012. 5一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）B （3）D （4）A（5）C （6）B （7）D （8）C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）1- （10）(1,0) 2 （11）)3,1(- （12）125（13）2 （14）③④ 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．数 学（理科） 参考答案及评分标准 2013. 4一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）B （3）C （4）A（5）C （6）D （7）D （8）C二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）45- （10）1 （11）(3,0)（12）75+ （13）乙 （14）2 22n -注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．北京市东城区2013年高三二模试卷数 学（理科） 参考答案及评分标准 2013. 5一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）C （3）A （4）D （5）D （6）B （7）D （8）C \二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）32- （10）1 （11）12 152（12）2 （13）150 （14）①③注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．数 学（理科）参考答案及评分标准 2014. 4一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．C 2．C 3．D 4．D5．A 6．B 7．C 8．B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．116 10．30︒11．78 12．2()6=-+f x x ；(20)(2)-+∞U ，，13．24 14北京市东城区2014年高三二模试卷数 学（理科）参考答案及评分标准 2014. 5一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）A （3）C （4）D（5）D （6）C （7）C （8）D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）35- （10）4 60o（11）14 （12）（13）3（14）6 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．。