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四年级数学培优专题：巧妙求和（一），典型题型方法思维精讲精炼巧妙求和（一）一、方法思维若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：通项公式和项数公式。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399.【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25首项=2.末项=50，项数=25等差数列的和=（2+50）×25÷2=650.【例题5】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)【思路导航】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。
奥数（数学思维拓展）专题培优质量检测
——《巧妙求和》
1、假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？
2、求1～3000这3000个连续自然数的所有数字之和。
3、丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？
4、有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了？
5、假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78次电话，问有多少位同学相约互通电话？
6、求1～999这999个连续自然数的所有数字之和。
四年级奥数专题巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
这一周学习“等差数列求和”。
需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习一1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399练习二1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。
3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。
例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。
8讲巧妙求和（一）第一、知识要点．若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项2.有一个等差数列：，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项3.已知等差数列，，…，1001.这个等差数列共有多少项【例题2】有一等差数列：，，……，这个等差数列的第100项是多少【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。
要求第100）”进行计算。
1公差×（项数－+首项=项，可根据“末项．第100项=3+4×（100－1）=399.练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少2.求，7，10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列，10，14……的第100项。
【例题3】有这样一个数列：，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
【思路导航】如果我们把，…，99，100与列100，99，…，相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。
四下6——5基础知识填空1、0.5扩大10倍等于500缩小（）倍。
2、500缩小100倍等于0.25扩大( )倍。
3、去掉1.32的小数点,原数扩大( ) 倍,结果比原数大( )。
4、一个数的小数点右移两位，增加了198，这个数是（）。
5、一个数的小数点左移一位，减少了88.2，这个数是（）。
6、一个数扩大100倍后比原来的数多782.1，原来的数是( )。
7、在2.5的末尾添上两个0,它的计数单位由( )变为( )。
8、整数部分最小的计数单位比小数部分最大的计算单位多（）。
9、小数点的左边第二位是( )位,它的计数单位是( )，小数点右边第二位是( )位,它的计数单位是( ) 。
10、一个数写错了,丢掉了小数点,读四万五千零一,原来的小数只读一个零,这个小数是( )。
11、小数点左边第二位上的2要比小数点右边第二位上的2多（）。
12、一个等腰三角形的顶角是70°,它的一个底角是( )，按角分它是( ) 三角形。
13、一个等腰三角形的两边长分别是8厘米、7厘米，它的周长是（）厘米。
14、一个等腰三角形的一个角为80度，则它的另外两个角分别是（）。
判断1、比0.6大比0.7小的小数只有9个。
( )2、一个小数它的位数越多,数就越大。
( )3、20.560化简后是2.56。
( )4、大于0.3小于0.5的一位数只有0.4。
( )5、把10.060化简得1.6 。
( )选择1、大于0.6而小于0.7的小数有（）个。
A、9B、0C、无数2、直角三角形的两个锐角之和（）A、大于90度B、等于90度C、小于90度3、笑笑和淘气玩“剪刀、石头、布”游戏，下面说法中正确的是（）。
A、笑笑一定胜B、淘气一定胜C、淘气可能胜4、下面（）组线段能围成一个三角形。
A、1㎝、2㎝、3㎝B、2㎝、3㎝、6㎝C、2㎝、3㎝、4㎝列方程解应用题1、今天是奶奶的70岁生日，她的年龄比我的年龄的6倍还大4岁，我几岁？能力提高1、刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都比前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。
巧妙求和教学目标：①知识与技能目标:使学生理解首项，末项以及项数的概念，掌握数列求和的公式②过程与方法目标:使学生能利用数列求和公式解决实际问题③情感态度与价值观目标:让学生体验到生活中处处是数学，体验数学的应用价值和数学学习的乐趣教学重点：数列求和公式及其适用条件教学难点：数列求和公式的推导过程[知识引领与方法]通项公式：第n项=首项+（项数-1）X公差项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1求和公式：总和=（首项+末项）X项数÷2巧妙求和(一)[例题精选及训练]【例1】等差数列4，10，16，22，…,52共有多少项？练习：1.等差数列中，首项=7，末项=119，公差=4。
这个等差数列共有多少项？2.等差数列2，5，8，11，…,101共有多少项？3.已知一个等差数列的首项是5，末项是117，总和是976，这个数列共有多少项？【例2】已知等差数列3，7，11，15，…，则该等差数列的第100项是多少？练习：1.一个等差数列的首项=3，公差=2，项数=10，则它的末项是多少？2.已知等差数列1，4，7，10，…，则该等差数列的第30项是多少？3.已知等差数列2，6，10，14，…，则该等差数列的第100项是多少？【例3】有这样的一个数列1，2，3，4，…，99，100，请你求出这列数各项相加的和。
练习：计算下面各题。
（1）1+2+3+4+…+49+50（2）6+7+8+9+…+75（3）100+99+98+…+61+60【例4】求等差数列2，4，6,…，48，50的和练习：计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200（3）99+96+93+…+21+18【例5】如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，那么它的第8项是多少？练习：1.如果一个等差数列的第5项是19，第8项是61，那么它的第11项是多少？2.如果一个等差数列的第3项是10，第7项是26，那么它的第12项是多少？3.如果一个等差数列的第2项是10，第6项是18，那么它的第110项是多少？[课堂练习]1.有一个等差数列：9、12、15、18、...、2004，这个数列共有多少项？2.已知等差数列：1000、993、986、979、...、20，这个数列共有多少项？3.求等差数列：1、6、11、16、...的第61项。
第2讲巧妙求和（一）一、知识要点若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中项的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。
二、精讲精练【例题1】有一个数列：4,10,16,22.…,52.这个数列共有多少项？练习1：1、等差数列中,首项=1,末项=39,公差=2.这个等差数列共有多少项？2、有一个等差数列：2.5,8,11.…,101.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3.7,11.15,……,这个等差数列的第100项是多少？练习2：1、一等差数列,首项=3.公差=2.项数=10,它的末项是多少？2、求1,4,7,10……这个等差数列的第30项。
【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4,…,99,100。
请求出这个数列所有项的和。
练习3：计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75【例题4】求等差数列2,4,6,…,48,50的和。
练习4：计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200【例题5】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)练习5：用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)三、课后作业1、已知等差数列11,16,21,26,…,1001.这个等差数列共有多少项？2、求等差数列2,6,10,14……的第100项。
小学四年级奥数题：巧妙求和一、知识要点某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
二、精讲精练【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。
这本书共有多少页？【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。
要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页）想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习1：1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。
这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。
所以，至多需试 29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。
练习2：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。
四下3——3
基础知识
填空
1、小数点的左边是它的（ ）部分，最低位是（ ）；小数点的右边是它的（ ）部
分，最高位是（ ）。
2、2个1、7个0．1和3个0．01用小数表示是（ ）；72个1000
1用小数表示是（ ）；0．79用分数表示是（ ）。
3、小红在读一个小数时，没有看到小数点，结果读成了七万零四，原来的小数只读出一个零，
原来的小数是（ ）。
4、写出小于0．18而大于0．16的两位小数、三位小数、四位小数各一个（ ）（ ）
（ ）。
5、骑车走同一段路程，小芳用了0．68小时，小红用了0．58小时，她俩谁的速度快？（ ）。
6、把4．009的小数点向右移动三位，小数就扩大到原数的（ ）；把8400后面的两个0去掉，就相当于缩小到原数的（ ）；在76的后面添上一个0，这个数就比原数扩大（ ）倍。
判断
1、把0.50中的0都去掉，它的大小不变。
（ ）
2、4.96在自然数4和5之间。
（ ）
3、3.58至4.58之间的小数有无数个。
（ ）
4. 0.1是1的十分之一, 是0.01的10倍． ( )
5. 把6写成两位小数是0.06． ( )
选择
1、把1米平均分成10份，其中的3份是（ ）米。
（1）1/10 （2）3/10 （3）3/100
2、把240缩小到它的（ ）是0.24。
（1）1/10 （2）1/100 （3）1/1000
3、在2.3的末尾添上两个0，这个数（ ）
（1）扩大到它的100倍 （2）缩小为它的1/100 （3）大小不变
能力提高
1、刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。
这批零件共有多少个？
2、胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？
3、丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？
4、有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？
5、甲、乙、丙三个数之和是400，已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。
求甲、乙、丙各是多少。
6、三个植树队共植树1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植300棵。
三个队各植树多少棵？
7、甲、乙、丙三个修路队共修路1200米，甲队修的米数是乙队的2倍，乙队修的数数是丙队的3倍。
三个队各修了多少米？。
