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第7章 二次根式7.1二次根式及其性质（第1课时）【教师寄语】天才就是无止境刻苦勤奋的能力 【学习目标】1. 了解二次根式的概念；能判断b ax +(a 、b 是已知数，且a ≠0)中，字母x 的取值范围；能利用公式对二次根式进行化简.2. 通过例子的呈现和反复分析比较，总结二次根式的基本性质，并正确利用其对二次根式进行化简；3. 在运用二次根式解决时间问题的过程中，体会二次根式与实际生活的紧密联系，培养学习数学的兴趣.重点：二次根式的意义与性质;难点：利用公式对二次根式进行化简. 【学习过程】 一、学前准备1.(1)什么叫平方根？ （2）什么叫算术平方根？2.引入：本节课我们学习的问题就是建立在算术平方根上的新知识——二次根式. 二、探究活动 （一）自主学习1.学校有东、西两个正方形花园，已知东花园面积为s 平方米.（1）如果西花园比东花园面积大25平方米，西花园的边长是多少米？（2）如果西花园的面积是东花园面积的2倍，西花园的边长是多少米？（3）如果西花园的面积是东花园面积之比为4:9，西花园的边长是多少米？2.归纳二次根式的概念.形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中a 为整式或分式，a 叫被开方式，如3，51，0，12+x 等，都是二次根式.特别注意：当a ≥0时，a 是有意义的，它表示a 的算术平方根. （二）合作交流 例题解析 1.出示教材例1，自己探索解答.2.尝试练习.（1）当a 为实数时，下列各式中是二次根式的是_________________________________.10+a ，a ，2a ，12-a ，12+a ，2)1(-a（2）因为16是二次根式，而416=，所以4也是二次根式；1+x 是二次根式； 12+a 不是二次根式； 75是二次根式.你认为哪几个是正确的？把序号填在横线上_________.（3）归纳总结：二次根式具体可以分为以下几种，请根据下列问题填空： ①被开方数是整式.如52-x 有意义的条件_________. ②被开数是分式.如61-x 有意义的条件是_________.③分母中含有二次根式.如531-x 有意义的条件是_________.④分子、分母中都含有二次根式.如1312+-x x 有意义的条件是_________.3.出示教材例2，自己探索解答.4. 尝试练习.（1）计算. 2)15( 2)4.0(- 273)(23- 2)13(-- 2)52(-（2）化简下列各式.2)7(-； 12122+-⋅-x x x （x ＜1）.（3）归纳总结：二次根式性质1：a a =2)(（a ≥0）． 二次根式性质2：⎩⎨⎧<-≥==).0(),0(||2a a a a a a2a 与2)(a 的相同点和不同点：三、巩固练习 1．要使代数式32-x 有意义，则x 的取值范围是（ ）2．化简()2216921x x x -+--得（ ）3．如果62x--是二次根式，那么x 应满足的条件是（ ）4．下列运算正确的是（ ） A.39±= B.33-=- C.39-=- D.932=-5．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2|1|a a -+的结果为（ ）A ．1B ．1-C ．12a -D ．21a -四、中考链接1. （2010·安徽芜湖）要使式子2a a+有意义，a 的取值范围是（ ） 2.（2010·广东广州）若a ＜1，化简2(1)1a --＝（ ）3.（2010·湖南常德）函数26y x =-中，自变量x 的取值范围是_________4．(2009·湖北武汉)二次根式2(3)-的值是（ ）五、小结反思这节课我学会了： ； 我的困惑： 。
7.1 算术平方根【学习目标】1.了解算术平方根的意义，会用根号表示一个非负数的算术平方根；2.了解平方运算与开平方的互逆关系，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。
【学习重难点】了解平方运算与开平方的互逆关系，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。
【学习过程】一、课前准备任务一：说说这一章我们将要学习哪些内容二、学习新知任务二：解决下列问题：1.如果知道了正方形的面积，如何求它的边长？2.①一个正方形的面积是4，它的边长是 ；②一个正方形的面积是9，它的边长是 ；③一个正数的平方是16，这个数是 。
任务三： 什么叫做一个正数的算术平方根？3. 算术平方根： 。
记作： ；读作： 。
特别地， 。
由此得 。
负数 。
4. 是4的算术平方根，记作 。
是9的算术平方根，记作 。
是16的算术平方根，记作 。
任务四： 怎样求一个数的算术平方根？三、合作交流问题一：算术平方根的求法例1、求下列各数的算术平方根：（1）49 （2）100 （3）169 （4）0.64问题二：算术平方根的应用例2、用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60m 2的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？问题三：算术平方根的代数意义与几何意义1.如果将算术平方根的定义中的等式a x =2左边的a 换成x ，你能得到一个怎样的等式？2.怎样用图7－1解释一个数a 的算术平方根？3.为什么式子中要注明a≥０？问题四：巩固练习四、课堂小结：这节课你有什么收获？【当堂检测】一、选择题1.25的算术平方根是（ ）A.5B.－5C. 625D. 50 2.14的算术平方根是（ ） A.12- B.12C.12±D.116二、填空题 9= ； 81的算术平方根是 。
5.(-5)2的算术平方根是 。
6.如果x 2=a 且x≥0，那么x 叫做a 的 ，记作 。
7.算术平方根等于它本身的数是 。
三、解答题8.求下列各数的算术平方根。
八年级数学下册 7.1二次根式及其性质学案青岛版7、1二次根式及其性质一学习目标：1 了解二次根式的定义。
2会二次根式的简单计算。
二学习重点：1会判断二次根式，2会二次根式的简单计算三知识回顾：（1）说出下列各数的算数平方根4，6 02000，，－9、（2）正方形的面积为s时，它的边长为（3）矩形的长宽分别是a,b，它的对角线的长是（4）（a≥0） 0四探索新知：探究一二次根式的定义1 终兴中学有甲、乙两块正方形的花园，已知甲花园的面积为s平方米。
（1）如果以花园的面积比家花园的面积大36平方米，乙花园的边长是（2）如果乙花园的面积是甲花园面积的2倍，乙花园的边长是（3）如果乙花园的面积与甲花园的面积之比为4∶9，乙花园的边长是（4）你发现上面各题的答案有什么共同点？2定义形如（a≥0）式子叫做，其中a为整式或分式，a 叫3练一练：判断下列各式是不是二次根式？（1），（2）（3）（a≤0） (4)(a,b异号)（5），（6）－五例题1 例一 x取什么实数时，二次根式有意义？2练一练（1）若是二次根式，则x－3 0,即x (2)当a 时，式子在实数分为内有意义。
（3）当x 时，有意义，（4）当a 时，有意义。
（5）当a 时，有意义。
（6）已知，｜x＋2｜＋＝0,则x＝ ,y＝ (7)已知（a＋2）2＋＝0,则a2－b＝探究二（）2＝a (a≥0)1 找规律（）2＝（）2＝（）2＝（）2＝（）2＝（）2＝（）2＝（a≥0）2直接得数（）2＝（）2＝（）2＝（m≥0）(－)2＝ ()2＝－()2＝3例三计算①（2）2＝②(－3)2＝练一练（）2 （4）2（6）2（）2六当堂达标：1下列各式一定是二次根式的是（） A B C D2 下列各式：，（b≥0），，，中，二次根式有（）A2 B3 C4 D53 使二次根式有意义的x的取值范围是（）A x≥0 B x＜4 C x≥4 D x≤44 已知是正整数，则满足条件的最小整数a为（）A8 B4 C2 D1七能力提升1 当x取何值时，代数式有意义？2一个数的算数平方根为a 那么，比这个数大1的数的算数平方根是多少？。
八年级数学下册 7.2 二次根式的加减法导学案
青岛版
7、2《二次根式的加减法》导学案课本内容：
P10-P11 例
1、例2学习目标:
1、了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式。
2、经历二次根式的加减法运算法则的形成过程，感悟类比思想。
3、会利用二次根式的加减运算法则进行计算。
一、自主预习课本P10-P11内容，独立完成课本练习
1、2题后与小组同学交流（课前完成）。
二、通过预习课本P10-P11，回答下列问题：
1、(1)最简二次根式的定义：。
(2)化简、。
(3)
叫做同类二次根式。
(4)二次根式相加减，应先，然后。
2、计算：（1）+ (2)
+3 (3)-2+5
三、巩固练习：
1、计算：2-3+6= 。
2、若最简二次根式与的被开方式相同，则=
3、若x= ,则x2-2x+1=
4、若x=+，y=-，则（+）(-)= 。
5、计算：
（1）2-+-- （2）2+3-4
四、学习小结（回顾一下这一节所学的，看看你学会了吗）。
五、达标检测：
1、选择题：（1）在下列根式中与是同类二次根式的是（）
A、a
B、
C、
D、a （2）下列计算正确的是：（）
A、
B、
C、
D、2
2、若3与2都是最简二次根式，且它们是同类二次根式，则a= 。
3、计算：（1）2 （2）
4、一个长方形两边为a+，求这个长方形的面积和周长。
六、布置作业：
1、课本11页习题
1、2、3题。
2、预习二次根式的乘除法。
二次根式-青岛版八年级数学下册教案1. 教学目标1.了解二次根式的概念和性质2.掌握二次根式的加减、乘除运算法则3.能够应用二次根式解决实际问题2. 教学重难点•二次根式的运算法则•二次根式解决实际问题3. 教学内容及方法(1) 二次根式的概念和性质教学内容：•二次根式的定义•二次根式的性质教学方法：•通过物理模型引入二次根式的概念，让学生直观感受二次根式的含义•结合具体的计算实例，让学生理解和应用二次根式的性质•练习，提高学生对于二次根式的理解和认识(2) 二次根式的加减、乘除运算法则教学内容：•二次根式的加减法则•二次根式的乘法法则•二次根式的除法法则教学方法：•通过多组计算实例，让学生掌握二次根式的运算法则•探讨二次根式加减的常见问题，加强学生对二次根式的理解(3) 应用二次根式解决实际问题教学内容：•应用二次根式解决实际问题教学方法：•以实际问题为背景，让学生结合二次根式运算法则进行计算•练习，加深学生对于应用二次根式解决实际问题的掌握程度4. 教学过程设计(1) 二次根式的概念和性质教学步骤：1.引入二次根式的概念，让学生通过物理模型来理解二次根式的含义。
2.讲解二次根式的定义及性质，通过多组计算实例让学生理解二次根式的运算。
(2) 二次根式的加减、乘除运算法则教学步骤：1.讲解二次根式加减的运算法则，通过多组计算实例让学生掌握二次根式加减的方法。
2.讲解二次根式乘法和除法的运算法则，通过多组计算实例让学生掌握二次根式乘除的方法。
(3) 应用二次根式解决实际问题教学步骤：1.讲解应用二次根式解决实际问题的方法，通过实际例子让学生掌握应用二次根式的方法。
2.学生进行题目练习，检验自己对于学过的知识是否掌握。
5. 教学评价与作业布置(1) 教学评价1.课堂表现：学生是否认真听讲、积极思考，是否回答问题等。
2.练习成绩：学生完成作业的准确率、速度等。
(2) 作业布置1.完成语文课本上相关习题。
某某版初二数学下册第7章《二次根式》复习课学案1课本内容 P4——19【课前延伸】1、回顾本单元主要知识，形成知识网络图表。
2、对二次根式的有关知识进行整理。
3、 利用二次根式的性质，对二次根式进行化简和计算。
【课内探究】复习目标：1、 通过复习了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会识别最简二次根式和同类二次根式。
2、 掌握二次根式的性质。
（1）a 2=a (a ≥0)（2）b a ab ⋅=(a ≥0 b ≥0)（3）b a b a =(a ≥0 b ＞0)3、了解二次根式加、减、乘、除运算法则，会进行简单的二次根式的四则运算一、自主整理通过梳理本章知识回答下列问题：1、 什么叫二次根式?2、2)(a = a (a ≥0 ) a （a ≥0）是一个非负数。
当a ≥0时，=2a3、积的算术平方根：=ab （a ≥0 b ≥0）商的算术平方根：b a = (a ≥0 b ＞0) 4、最简二次根式应满足的条件：①② 5、同类二次根式是指6、二次根式的乘法与除法法则分别是二、交流提升1、下列各式 ：21 39，a 6－（a ＞0）其中是二次根式的有A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、在二次根式①12②32③32④27 其中和3是同类二次根式的是A 、①和③B 、②和③C 、①和④D 、③和④3、计算：(32－23)²－(3322＋)²4、计算：［)1832(50+-］÷（－18）5、已知a+b=5 ab=4求ab b a +的值 三、有效训练1、如果2)2x (-=2－x 那么x 的取值X 围是A 、x ≤2B 、x ＜2C 、x ≥2D 、x ＞22、下列各式属于最简二次根式的是A 、12+xB 、 52y xC 、12D 、5.03、下列各式化成最简二次根式后被开方式不相同的是A 、x x 29283和B 、123175和－ C 、5.0325和 D 、ab c abc 和2 4、下列计算正确的是A 、 28214= B 、363332=⨯ C 、32)23(6－＝-÷ D 、9494＋＝＋5、计算：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2225125151－－＋四、课堂小结（回顾一下本章知识，查缺补漏）五、达标测试：1、 3)3(-⋅=-⋅m m m m 则m 的取值X 围是A 、m ≥3B 、m ≥0C 、0≤m ≤ 3D 、m 为一切实数2、如果最简二次根式 a b a -3和22+-a b 能够合并，那么a 、b 的值为A 、a=0 b=2B 、a=2 b=0C 、a=－1 b=1D 、a=1 b=－23、计算：12225341⨯÷ 4、计算：3248312123÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+- 5、若x ＞1 化简12)1(22+-+x x x 6、化简：20082006)347()347(+-7、m 是13的整数部分，n 是13的小数部分，求 （m －n ）2 的值。
八年级数学下册 7.1二次根式性质学案青岛版7、1 二次根式性质（1）[课前延伸]1、4的算术平方根是，平方根是。
2、表示什么？a应满足什么条件？提示：（1）当a是正数时，表示。
（2）当a是零时，表示。
（3）当a是负数时，表示。
∴a应满足。
3、当x 时，式子有意义。
4、要使有意义，字母x的值必须满足的条件（）A、x≥1B、x≤1C、x>1D、x<15、= 。
[课内探究]学习目标：1、经历二次根式意义和性质的探索，掌握二次根式的概念，及性质。
2、灵活运用二次根式的意义及性质。
一、自主学习：1、自学概念与性质（自学课本P4—P5页，回答下面问题）（1）叫做二次根式，其中a为，a叫做，举例如：。
（2）二次根式在时有意义，在时无意义。
（3）二次根式的性质：①具有性。
②= （a≥0）。
二、合作交流：（先自己独立完成，不会的小组内成员之间交流）1、下列式子中哪些是二次根式？哪些不是二次根式？（1）（2）（3）（4）（5）（6）a2（7）（8）2、在二次根式中，字母a的取值范围是（）A、a<1B、a≤1C、a≥1D、a>13、如果是二次根式，那么a,b应满足（）A、a>0,b>0B、a,b同号C、a>0,b≥0D、4、若代数式有意义，则x的取值范围是（）A、x≥-2B、C、x≥-2且D、以上答案都不对5、= ，=6、= ，=7、=8、2=( )23=( )27=( )2=( )2∴a=( )2 (a≥0)9、已知a,b是实数，且有，则a= ，b= 。
10、若有意义，那么直角坐标系中点A（a,b）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限三、精讲点拨：例1、如果代数式有意义，那么直角坐标系中点P(m,n)的位置在第象限。
例2、已知x,y为实数，且，则x-y= 。
例3、若是二次根式，那么x应满足的条件是。
例4、已知，求(xy-64)2的算术平方根。
四、巩固检测：1、小组成员之间互叙本节课的收获。
9.1 二次根式和它的性质〔1〕一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的根本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程〔一〕复习引入：〔1〕x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______,a 一定是_______数。
〔2〕4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
〔二〕提出问题1、式子a 表示什么意义?2、什么叫做二次根式？3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么？5、如何确定一个二次根式有无意义？〔三〕自主学习自学课本第112页例1前的内容，完成下面的问题：1、试一试：判断以下各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x2、计算 ：4〔1〕 2)4( 〔2〕 〔3〕2)5.0( 〔4〕2)31( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。
3、当a 为正数时指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式中，字母a 必须满足 ,才有意义。
〔三〕合作探究 1、学生自学课本第112页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： x 取何值时，以下各二次根式有意义？①43-x 223x + ③ 2、〔133a a --有意义，那么a 的值为___________．〔2〕假设在实数范围内有意义，那么x 为〔 〕. A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数〔四〕展示反应 (学生归纳总结)1、非负数a 的算术平方根a (a≥0)叫做二次根式.二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。
2021年八年级数学下册 7.3二次根式的乘除法学案 青岛版1、若，则a,b 应满足的条件是 。
2、若，则a,b 应满足的条件是 。
3、计算：（1）= ；（2）= 。
4、若a>0，b>0，则（1）= ；（2）= 。
[课内探究]学习目标：10,0)a b =≥≥。
2、了解并掌握。
自主学习：一、自学概念公式：1、二次根式的乘法法则：= （a ≥0，b ≥0）。
即两个二次根式相乘，将它们的 相乘，根指数 。
2、二次根式的除法法则：= （a ≥0，b>0）即两个二次根式相除，把被开方数 ，根指数 。
二、合作交流：1 ）A 、x ≥0B 、x ≥10C 、0≤x ≤10D 、x 为全体实数 2、下列各式计算正确的是（ ）A 、B 、C 、D 、3、下列式子中不成立的是（ ）A 、B 、C 、D 、4、等式成立的条件是（ ）A 、x ≠5B 、x ≥3C 、x ≥3且x ≠5D 、x>55、下列等式中成立的是（ ）A 、B 、C 4===D 、6、计算：（1）= ； （2）= ；（3）= ； （4）= ；（5）= ； （6）= 。
三、精讲点拨：例1、计算下列各题：（1） （2）例2、计算下列各题：（10,0)x y ≥> （2）四、巩固检测：1、下列计算中，正确的是（ ）A 、B 、C 、D 、2、下列计算中，错误的是（ ）A 、B 、C 、D 、3=m 的取值范围是（）A 、m ≥6B 、m ≤4C 、4≤m ≤6D 、m 为一切实数4、计算下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（62)x <-[课后提升]A组1、若，则x的取值范围是（）A、x≥0B、x≥3C、0≤x≤3D、x是一切实数2、等式成立的条件是（）A、x≥-1B、x≥2C、x>2D、x≥-1且x≠23、计算：= 。
4、计算：= 。
5、化简：（1）；（2）；（3）；（4）B组6、若，，则的值用a,b可以表示为（）A、B、C、D、7、把的根号外的因式移到根号内为。
2021年八年级数学下册第7章二次根式复习学案青岛版[课前延伸]1、形如叫二次根式，其中a是，叫做。
2、二次根式的性质3、是最简二次根式。
4、是同类二次根式。
5、二次根式的加减运算法则。
6、二次根式的乘法法则。
二次根式的除法法则。
7、二次根式的混合运算的法则；。
8、分母有理化。
实用文档[课内探究]一、自主整理：对本章有知识制作一个网络图（能表明各知识点的关系）二、交流提升：1、在下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A、B、C、D、2、代数式有定义的条件。
3、x<0，y>0，则下列与相等的式子是（）A、B、C、D、4、已知，则点P(x·y)在第象限。
5、若，则x= 。
6、= 。
7、若，则a= ，b 。
三、精讲点拨：例1、求意义的x的取值范围实用文档（1）求的值。
例2、（1）已知求（3）若a-b=2+，b-c=2-，求a2+b2+c2-ab-bc-ca （4）先化简再求值：，其中，，其中，（5）221211221x x xx x x++--÷++-，其中（6）已知，求（7）已知2217x y++=-x+y（xy为有理数）例3、在实数范围内分解因式（1）3x-x3（2）（3）x4-16实用文档例4、计算：（1）（2）（3）（4）1)四、巩固检测：1、中x的范围。
2、若2<x<3，则= 。
3、99101-⋅= 。
4、（1）（2）5、分解因式x2y-9y x2y-4xy+4y6、，求((6)a a a a---。
[课后提升]A组实用文档1、下列根式中，不能与合并的是（）A、B、C、D、2、若，则a是（）A、正数B、负数C、非正数D、非负数3、若式子有意义，则x的取值范围是（）A、B、C、D、4、下列等式中一定成立的是（）A、B、C、D、5、若a<1，化简的结果是（）A、a-1B、-a-1C、1-aD、a+16、若，则x的取值范围是（）A、x>5B、x<5C、x≥5D、x≤5B组7、计算的值是（）实用文档实用文档A 、正数B 、负数C 、非负数D 、非正数8、当x 时，是二次根式。
