截一个几何体

12．把一个正方体用刀切去一块，能否还得到正方体？长方体、三棱柱、三棱锥、四棱柱、五棱柱呢？考点：截一个几何体。

专题：应用题。

分析：当截面的角度和方向不同时，圆柱体的截面不相同．解答：解：不能得到正方体，当截面平行正方体一面截取正方形时可以截得长方体，把正方体按面对角线垂直截取正方体可以得到三棱柱，经过正方体三个相邻的顶点截取可以得到三棱锥，经过两个相对面棱上中点截取可以得到四棱柱，经过上下两面棱的中截取可以得到五棱柱．点评：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．13．今有正方形蛋糕，切两刀把蛋糕分成形状相同的4块，请设计三种不同的方法．考点：截一个几何体。

专题：作图题。

分析：可沿正方形的两条对角线切；沿过正方形的对边中点的两条线切；由此推出只要经过正方形的对角线的交点且互相垂直的两条直线均可且成形状相同的4部分．解答：解：点评：用到的知识点为：经过正方形的中心且互相垂直的两条直线把正方形分成形状相同的4块．14．如图是一个三棱柱，把它一刀切去一部分，剩下的部分会是一个什么图形？先动手做做实验，然后得出结论．考点：截一个几何体。

专题：操作型。

分析：沿垂直于轴截面剪去，可得三棱柱；沿经过上底面的一个顶点及下底面相对的顶点的对边的面剪去，可得到三棱锥；沿平行于三棱柱的一个侧面面剪去，可得到的一个四棱柱．解答：解：可以切成三棱柱、三棱锥、四棱柱．点评：用到的知识点为：棱柱的侧面是四边形；棱锥的侧面是三角形；注意根据截面经过的不同位置得到相应的几何体的形状．15．用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码．如A（1、5、6）；则B（）；C（）；D（）；E（）．考点：截一个几何体。

分析：分别分析其余四种图形的所有的截面情况，再写出答案．解答：解：B三棱锥，截面有可能是三角形，正方形，梯形C正方体，截面有可能是三角形，四边形（矩形，正方形，梯形），五边形，六边形D球体，截面只可能是圆E圆柱体，截面有可能是椭圆，圆，矩形，梯形因此应该写B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）．点评：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．16．附加题：（1）解方程：．（2）按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），请你任意画出此正方体的两种平面展开图，并在展开图上画出所有的切割线．考点：截一个几何体；解一元一次方程。

截一个几何体
知识点一：截面，用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面，截面形状通常为三角形、正方形、长方形、梯形、圆、椭圆等，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关。

知识点二：截一个几何体所得截面的形状
1、用平面去截正方体：用一个平面截正方体，
截面的形状可能是三角形、正方形、长方形、梯形、五
边形、六边形等。

2、用平面去截圆柱：常见的截面有长方形、圆、
椭圆、类似于梯形、类似于拱形。

3、用平面去截圆锥：截面的形状可能是三角形、圆、椭圆、类似于拱形。

4、用平面去截球：截面的形状都是圆。

教学内容【重点知识归纳及讲解】1、截面用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面用一个平面从不同的方向去截同一个几何体，所得到的截面形状可能是不同的．充分想像截面可能的形状，可以先找出平面和几何体的面相交而成的线，然后再判断这些线围成的截面形状.2、从不同方向观察物体从不同方向观察同一物体时，可能看到不一样的结果．当观察画在纸上面的立体图形时，只能通过想像，推出从其他方向观察这个物体所可能得到的结果.3、物体的主视图、左视图、俯视图从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的图形，其中，把正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，合称三视图.这里所说的主视图、俯视图、左视图是相对于观察者而言的，位于物体不同方向的观察者，他们所画出的主视图、俯视图、左视图可能是不同的.4、多边形多边形是由一些线段首尾顺次相连围成的封闭图形，多边形根据它的边数可以分为三角形（即三边形）、四边形、五边形等，多边形的边数为n（n≥3）的叫做n边形．在多边形中，三角形是最基本的图形.从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，n边形可以分割成(n－2)个三角形，这样，多边形可以化归为三角形来研究．【难点知识剖析】1、物体三视图的画法及识别对于简单物体的三视图，要能识别观察方向，能够想像出物体的原形.2、平面图形的组合和分割再复杂的平面图形都是由若干简单的基本图形组合而成的，就是由三角形、正方形、长方形、多边形、圆、扇形等基本图形组成．对于平面图形能进行简单的分割和组合.【典型例题解析】【例1】（1）如果用一个平面去截一个几何体，如果截面是圆，那么原来的几何体可能是什么？（2）如果用一个平面去截一个几何体，如果截面是三角形，那么原来的几何体可能是是什么？解：（1）如图所示，用平面去截球体，圆锥、圆柱等一些几何体，都可能使截面是圆。

（2）如图所示，用平面去截三棱锥、四棱锥、三棱柱，四棱柱、圆锥等一些几何体，都可能使截面是一个三角形。

七年级截一个几何体知识点作为初中数学的重要内容，几何体知识点是必须掌握的哦。

那么，今天我来为大家讲解七年级中的一个几何体知识点——截一个几何体。

一、什么是几何体？几何体是由若干个平面图形围成的空间图形。

例如：正方体、立方体、金字塔、棱锥等等。

二、什么是截一个几何体？截一个几何体，就是用一个平面与几何体相交，从而将几何体截成一个新的几何体或一个平面图形。

三、截几何体的种类1. 截正方体截正方体，有以下几种情况：①直截：这种情况下，平面会与边框面上的边直接相交，截掉整个边框面的一部分，形成一个新的平面图形。

②斜截：这种情况下，平面会与边框面上的对角线相交，截掉整个边框面的一部分，形成一块新的平面图形。

③平截：这种情况下，平面会与正方体的某个侧面相交，截掉正方体的一部分，形成一个新的几何体。

2. 截立方体截立方体，也有以上三种情况。

与截正方形的情况大同小异。

3. 截圆柱、圆锥截圆柱和圆锥，平面的截法比较丰富，不再一一赘述。

四、如何计算？截几何体的问题，往往需要我们用到空间想象、解析几何等知识。

需要我们耐心思考，好好分析，才能得出正确的计算结果。

例如，截一个立方体，我们需要知道平面截边框面上的某条边时，整个图形会变成什么样子；我们也需要知道，这个截面与立方体的交线长度是多少，从而得出截掉的体积。

五、总结截几何体是初中几何中的常见考点，需要我们熟练掌握相关知识点。

大家可以通过多做题，增加对题目的敏感度和思考能力，提高解题效率。

另外，还可以通过网络搜索、查找资料等方式，丰富自己的几何知识，从而更好地掌握这一学科。

专题1.7截一个几何体（知识梳理与考点分类讲解）一、知识梳理【知识点】几何体的截面如图所示，把一个底面半径是5cm，高是8cm的圆柱放在水平桌面上．(1)若用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是；(2)若用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是；(3)若用一个平面去截这个圆柱，使截得的截面是长方形且长方形的截面面积最大，请写出截法，并求出此时截面面积．【答案】(1)圆；(2)长方形；(3)当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大，80cm2【分析】（1）根据截的方向可得截面形状；（2）根据截的方向可得截面形状；（3）当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大，再根据截面形状求面积即可．（1）解：若用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得的截面是圆；故答案为：圆；（2）若用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得的截面是长方形；故答案为：长方形；（3）当平面沿竖直方向且经过两个底面的圆心时，截得的长方形面积最大，此时截面的面积为：5×2×8＝80（cm2）．【点拨】本题考查用一个平面去截几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．【变式】用一个平面截一个几何体，所截出的面出现了如图所示的四种形式，试猜想，该几何体可能是___．【答案】圆柱【分析】根据截面图可知，有圆形和长方形，则该几何体为圆柱．解答：平面倾斜竖截圆柱侧面和底面可得图①，平面倾斜竖截圆柱侧面截圆柱可得图②，平面经过两个底面截圆柱可得图③，平面平行与底面截圆柱可得图④，故该几何体可能是圆柱．【点拨】本题考查了由平面截几何体得到的平面图形猜测几何体的形状，根据截面为长方形和圆得到几何体是圆柱是解题的关键．二、考点分类讲解【题型一】根据截面判断几何体的形状【例1】一个几何体的一个截面是三角形，则原几何体一定不是下列图形中的()A．圆柱和圆锥B．球体和圆锥C．球体和圆柱D．正方体和圆锥【答案】C【分析】观察题目，每个选项中都有圆锥，而圆锥的截面可能是三角形，故可以判断A、B、D；根据圆柱的截面可能是圆，长方形，不会是三角形，球体的截面永远是圆对C选项进行判断.解：圆柱的截面可能是圆，长方形，不会是三角形，球体的截面永远是圆，也不会是三角形.故选C．【点拨】本题主要考查的是几何体的有关知识，熟练掌握常见几何体截面的形状是解答本题的关键.【变式】用一个平面去截一个几何体，能截出如图所示的四种平面图形，则这个几何体可能是（）A．圆柱B．圆锥C．长方体D．球【答案】A【分析】用平面截圆锥，得到的截面是圆、椭圆或者三角形等，不可能是四边形，用平面截球体，得到的截面始终是圆形；用平面截长方体，得到的截面是三角形，长方形等；接下来，用平面截圆柱，对得到的截面进行分析，即可得到答案.解:∵圆柱体的主视图只有矩形或圆，∴圆柱体的主视图符合题意．故选A．【点拨】此题考查截一个几何体，熟练掌握常见几何体的特征是解题的关键.【题型二】根据截面判断几何体的内部结构【例2】一个物体的外形是长方体，其内部构造不详．用一组水平的平面截这个物体时，得到了一组（自下而上）截面，截面形状如图所示，这个长方体的内部构造可能是（）A．圆柱B．棱柱C．棱锥D．圆锥【答案】D【分析】通过观察可以发现：在长方体内部的三角形自下而上由大圆逐渐变成小圆、最后变成点，由此判定即可．解：∵通过观察可以发现：在正方体内部的圆自下而上由大圆逐渐变成小圆、最后变成点，∴这个长方体的内部构造可能是圆锥，故D正确．故选：D．【点拨】由截面形状去想象几何体与给一个几何体想象它的截面是一个互逆的思维过程，要根据所给截面形状仔细分析，展开想象．【变式1】一个物体的外形是长方体，其内部构造不详．用5个水平的平面纵向平均截这个物体时，得到了一组（自下而上）截面，截面形状如图所示，这个长方体的内部构造可能是（）A．球体B．圆柱C．圆锥D．球体或圆锥【答案】C解：选项A,球体截完是圆，由小变大，再变小,A不符合题意；选项B,圆柱截完都是等圆，B不符合题意；选项C,圆锥是由小变大，或者由大变小.C符合题意；选项D，由A可知不符合题意.故选C.【变式2】一个物体的外形是长方体，其内部构造不详．用一组水平的平面截这个物体时，得到了一组（自下而上）截面，截面形状如图所示，这个长方体的内部构造可能是______．【答案】三棱锥【分析】通过观察可以发现：在长方体内部的三角形自下而上由大三角形逐渐变成小三角形、最后变成点，由此判定即可．解：通过观察可以发现：在正方体内部的三角形自下而上由大三角形逐渐变成小三角形、最后变成点，∴这个长方体的内部构造可能是三棱锥，故答案为：三棱锥．【点拨】由截面形状去想象几何体与给一个几何体想象它的截面是一个互逆的思维过程，要根据所给截面形状仔细分析，展开想象．【题型三】判断截后几何体的形状【例3】用一个平面去截圆锥，截面图形不可能是（）A．B．C．D．【答案】C试题分析：根据圆锥的形状特点判断即可，也可用排除法．解：如果用平面取截圆锥，平面过圆锥顶点时得到的截面图形是一个等腰三角形，如果不过顶点，且平面与底面平行，那么得到的截面就是一个圆，如果不与底面平行得到的就是一个椭圆或抛物线与线段组合体，所以不可能是直角形．故选；C．点评：此题主要考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．【变式】用过正方体上底面的对角线和下底面的一个顶点的平面去截这个正方体，则截面形状是_______．【答案】等边三角形【分析】根据正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．因此截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，据此解答即可．解：用过正方体上底面的对角线和下底面一个顶点的平面去截这个正方体，则截面形状是等边三角形，如下图．故答案为：等边三角形．【点拨】本题考查正方体的截面，注意：截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．。