专题04+三角函数+4.4 三角函数的图象及其平移变换讲义(无解析)

三角函数的图像和性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的图像中，五个关键点是：(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 2 sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值 当22x k ππ=+时，max 1y =；当22x k ππ=- 时，min 1y =-．当2x k π=时，max 1y =；当2x k ππ=+时，min1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数 奇函数单调性 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数； 在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数． 在[]2,2k k πππ-上是增函数； 在[]2,2k k πππ+上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭上是增函数．对称性 对称中心(),0k π 对称轴2x k ππ=+对称中心,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称轴x k π=对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭无对称轴函数 性质例作下列函数的简图(1)y=|sinx|，x ∈[0，2π]， (2)y=-cosx ，x ∈[0，2π]例利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：21sin )1(≥x 21cos )2(≤x3、周期函数定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：()()f x T f x +=，那么函数()y f x =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

注意： 周期T 往往是多值的（如sin y x = 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()y f x =的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）sin y x =, cos y x =的最小正周期为2π （一般称为周期）正弦函数、余弦函数：ωπ=2T 。

三角函数的图象变换与性质三角函数是数学中非常重要的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

在数学的应用中，三角函数的图象变换与性质是非常重要的内容。

接下来，我将详细介绍三角函数的图象变换与性质，包括平移、伸缩、翻转等操作以及周期性、奇偶性等性质。

三角函数的图象变换主要包括平移、伸缩和翻转三种操作。

平移是指将函数图象沿横轴或纵轴方向移动一定的距离，可以通过改变函数中的自变量来实现平移。

伸缩是指将函数图象在横轴或纵轴方向上拉伸或压缩，可以通过改变自变量或函数值来实现伸缩。

翻转是指将函数图象关于条直线对称翻转，可以通过改变自变量或函数值的正负来实现翻转。

通过这三种变换操作，可以得到各种不同形态的三角函数图象。

正弦函数是最基本的三角函数之一，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的纵坐标所得。

正弦函数的周期为2π，并且其图象在[-π/2,π/2]处取得最大值1，在[-3π/2,-π/2]和[π/2,3π/2]取得最小值-1、正弦函数的图象关于y轴对称，并且具有奇函数的性质，即f(-x)=-f(x)。

余弦函数是正弦函数的平移变换，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的横坐标所得。

余弦函数的周期也是2π，并且其图象在[0,π/2]处取得最大值1，在[π/2,π]处取得最小值-1、余弦函数的图象关于x轴对称，并且具有偶函数的性质，即f(-x)=f(x)。

正切函数是正弦函数和余弦函数的商，其图象为一条连续的波形，由平面直角坐标系中y轴上一点在单位圆上运动时的纵坐标与横坐标的比值所得。

正切函数的周期为π，其图象在[-π/2,π/2]处为正无穷大，在[π/2,3π/2]处为负无穷大。

正切函数的图象关于原点对称，但不满足奇偶性。

除了正弦函数、余弦函数和正切函数，还有其他的三角函数，如余切函数、正割函数和余割函数等。

它们的图象可以通过适当的变换得到。

例如，余切函数是正切函数的倒数，而正割函数是余弦函数的倒数，余割函数是正弦函数的倒数。

三角函数图像的变换教案一、教学目标：1. 理解三角函数图像的基本特征。

2. 掌握三角函数图像的平移、缩放、翻折等变换方法。

3. 能够运用变换方法分析三角函数图像的性质。

二、教学内容：1. 三角函数图像的基本特征：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像。

2. 图像的平移变换：向上或向下平移、向左或向右平移。

3. 图像的缩放变换：水平方向缩放、垂直方向缩放。

4. 图像的翻折变换：水平翻折、垂直翻折。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角函数图像的平移、缩放、翻折变换方法。

2. 教学难点：变换方法在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解三角函数图像的基本特征及变换方法。

2. 利用多媒体展示图像，直观地演示变换过程。

3. 引导学生通过观察、分析、归纳，自主探索图像的变换规律。

4. 运用例题讲解，让学生学会运用变换方法解决实际问题。

五、教学步骤：1. 导入新课：回顾三角函数图像的基本特征，引导学生关注图像的变换。

2. 讲解图像的平移变换：以正弦函数为例，讲解向上或向下平移、向左或向右平移的规律。

3. 讲解图像的缩放变换：以正弦函数为例，讲解水平方向缩放、垂直方向缩放的规律。

4. 讲解图像的翻折变换：以正弦函数为例，讲解水平翻折、垂直翻折的规律。

5. 运用例题，让学生学会运用变换方法解决实际问题。

6. 课堂练习：让学生独立完成一些图像变换的练习题，巩固所学知识。

8. 布置作业：布置一些有关三角函数图像变换的练习题，让学生课后巩固。

六、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习和作业，评价学生对三角函数图像变换的理解和掌握程度。

2. 观察学生在解决问题时的思维过程和方法，评估他们的分析和应用能力。

3. 收集学生的课堂表现和互动情况，评价他们的参与度和合作精神。

七、教学拓展：1. 探讨三角函数图像变换在实际应用中的例子，如电子音乐合成器的波形调整、工程结构的优化设计等。

2. 引入高级数学工具，如计算机软件，让学生学会使用这些工具进行三角函数图像的变换和分析。

三角函数图像和性质专题讲义1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质π2．用“五点法”作图，就是令ωx＋φ取下列5个特殊值：0, π2, π,3π2, 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象.3．三角函数图象变换4[常用结论]（1）对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期． （2）与三角函数的奇偶性相关的结论若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )．若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )． 题型一 三角函数的5大性质例1 已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πx －3sin 2x ＋sin x cos x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎪⎭⎫⎝⎛20π，时，求函数f (x )的最大值及最小值；(3)写出函数f (x )的单调递增区间． (4)写出函数f (x )的对称轴和对称中心.(5)函数f (x )向右平移t 个单位为偶函数，求t 的最小正值。

[玩转跟踪]1．函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2πC ．2π D ．π2．已知函数()()()2sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A ．56πϕ= B ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C ．()2fϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴3.已知函数21()2cos 22f x x x =-+. (1)求2()3f π的值及f (x )的对称轴； (2)将()f x 的图象向左平移6π个单位得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递增区间. 题型二 三角函数模型中“ω”范围的求法探究 例2 已知函数 f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+6πωx (ω>0)在区间]32,4[ππ-上单调递增，则ω的取值范围为( ) A.]830(， B.]210(， C.]8321[， D.]2,83[ 例3 已知函数f (x )＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛+3πωx (ω>0)的一条对称轴x ＝π3，一个对称中心为点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π，则ω有( ) A ．最小值2 B ．最大值2 C ．最小值1D ．最大值1例4 已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间]4,3[ππ-上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．[玩转跟踪]1．若函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx 在区间]23,32[ππ-上单调递增，则正数ω的最大值为( )A.18 B ．16 C.14 D.13 2.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，若f (x )在区间]2,0[π上是单调函数，且f (－π)＝f (0)＝－f )2(π，则ω的值为( )A.23 B ．23或2 C.13 D ．1或13 3.设函数f (x )＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛-6πωx (ω>0)．若f (x )≤f )4(π对任意的实数x 都成立，则 ω的最小值为________． 题型三 三角函数的图像和图像变换 例5设函数，其中．已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值． [玩转跟踪]1．将函数y ＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间]127,12[ππ上单调递减 B ．在区间]127,12[ππ上单调递增C ．在区间]3,6[ππ-上单调递减 D ．在区间]3,6[ππ-上单调递增 2.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-03ω<<()06f π=ω()y f x =4π()y g x =()g x 3[,]44ππ-3将函数()3cos 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ） A ．最大值为3，图象关于直线12x π=对称 B ．图象关于y 轴对称C ．最小正周期为πD ．图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 题型四 由图象求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例6 (1)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则y ＝ .(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) )2,0(πϕω<>的部分图象如图所示，则y ＝f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx 取得最小值时x 的集合为 ．[玩转跟踪]1．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω<>的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6D ．4，π32已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B )2,0,0(πϕω<>>A 的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点)23,3(π对称，则m 的值可能为( )A.π6B.π2C.7π6D.7π12题型五 三角函数大题 例7 已知函数f (x )＝23sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+42πx ·co ⎪⎭⎫⎝⎛+42πx －sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值． [玩转跟踪]1．已知函数4()cos f x x =-42sin cos sin x x x - （1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及取最小值时的x 的集合. 2．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值；(2)求f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值．[玩转练习]1．函数y ＝2cos ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx 的部分图象大致是( )2．已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．在同一周期内，当x ＝π6时取最大值，当x ＝－π3时取最小值，则φ的值可能为( )A.π12B.π3C.13π6D.7π6 3．将曲线y ＝sin(2x ＋φ))2(πϕ<向右平移π6个单位长度后得到曲线y ＝f (x )，若函数f (x )的图象关于y 轴对称，则φ＝( )A.π3 B ．π6 C ．－π3 D ．－π6 4．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-322πx ，则下列结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 25.(多选)已知函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)与g (x )＝A2cos ωx 的部分图象如图所示，则( )A ．A ＝1B ．A ＝2C ．ω＝π3D ．ω＝3π6．(多选)函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx 的图象为C ，如下结论正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为π B ．对任意的x ∈R ，都有f ⎪⎭⎫⎝⎛+6πx ＋f ⎪⎭⎫⎝⎛+-6πx ＝0 C ．f (x )在)125,12(ππ-上是减函数D ．由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C7．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是____________．8．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f )6(π的值是________．9．将函数y ＝cos x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-6πx 的图象，则φ＝____. 10．(一题两空)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω<>一部分图象如图所示，则ω＝________，函数f (x )的单调递增区间为________．11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ))2,0,0(πϕω<>>A 的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间． 12．设函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-6πωx ＋sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πωx ，其中0<ω<3，且f )6(π＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在]43,4[ππ-上的最小值．。