必修四三角函数的图象与性质讲义
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— 三角函数的图象与性质
一、正弦函数的图象与性质
1、利用描点法作函数图象 (列表、描点、连线)
自变量x 2 32 2 0 2 32 2
函数值sinx 0 1 0 1 0 1 0 1 0
注意：（1）由于sin(2k＋)＝sin，因此作正弦函数图象时，我们经常采用“五点．．．法”：．．．(0．．，．0)．．，．(．2，．1)．．，．(．，．0)．．，．(．23，－．．1)．．，．(2．．，．0)．．；．再通过向左、右平移(每次2个单位)，即可得正弦函数图象；（2）正弦函数自变量一般采用弧度制。
二、余弦函数的图象
1、余弦函数的图象：y＝cosx＝sin(x＋2)可将正弦函数y＝sinx向左平移2个单位得到。
2、“五点作图法”： (0．．，．1．)．，． (．2，．0．)．，． (．，－．．1．)．，．
(．23，．0．)．，． (2．．，．1．)．
三、正、余弦函数的性质
f(x)＝sinx h(x)＝cosx
f(x)＝sinx h(x)＝cosx
定义域 R R
值域 [－1，1] [－1，1] –
–
2 2 2 5 2 5 O x y 1
1 当x＝2k＋2时，f(x)max＝1
当x＝2k－2时，f(x)min＝－1 当x＝2k时，f(x)max＝1
当x＝2k＋时，f(x)min＝－1
单调区间 [2 k－2，2 k＋2] 单增
[2 k＋2，2 k＋23] 单减 [2 k，2 k＋] 单减
[2 k＋，2 k＋2] 单增
对称轴 x＝k＋2 x＝k
对称中心 (k，0) (k＋2，0)
周期性 sin(2 k＋)＝sin cos(2 k＋)＝cos 最小正周期为2
奇偶性 sin(－)＝－sin
奇函数 cos(－)＝cos
例1：求下列函数的定义域。
（1）f(x)＝xsin （2）f(x)＝21cosx
变式练习1：求下列函数的定义域
（1）f(x)＝lg(sinx) （2）f(x)＝3cos7cos2xx （3）f(x)＝1sinsin22xx
变式练习2：已知cos x＝－21，且x∈[0，2]，则角x等于( )
A：32或34 B：32或31 C： 65或61 D：65或611
【解析】A
变式练习3：当x∈时[0，2]，满足sin(2－x)≥－21的x的取值范围是( )
A： [0，32] B： [34，2] C：[0，32]∪[34，2] D：[32，34]
【解析】C
例2：下列函数图象相同的是( )
A：y＝sin x与y＝sin(x＋) B：y＝cos x与y＝sin(2－x)
C：y＝sin x与y＝sin(－x) D：y＝－sin(2＋x)与y＝sin x
【解析】B
变式练习1：y＝1＋sin x，x∈[0，2]的图象与直线y＝2交点的个数是( )
A：0 B：1 C：2 D：3 解析 B
变式练习2：函数y＝sin(－x)，x∈[0，2] 的简图是( )
【解析】B
变式练习3：.函数y＝2sin x与函数y＝x图象的交点________个。
【解析】在同一坐标系中作出函数y＝2sin x与y＝x的图象可见有3个交点。3个
变式练习4：.若函数y＝2cos x(0≤x≤2)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为___________。
【解析】：图形S1与S2，S3与S4是两个对称图形，有S1＝S2，S3＝S4，因此函数y＝2cos
x的图象与直线y＝2所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC的面积。
因为|OA|＝2，|OC|＝2π，所以S矩形OABC＝2×2π＝4π.故所求封闭图形的面积为4π.
四、正切函数的图象与性质【三点两线】
定义域：x≠k＋2 k∈Z 值域：R
周期性：最小正周期T＝ 单调递增区间：(k－2，k＋2)
奇偶性：tan(－x)＝－tanx 奇函数 对称中心：(2k，0)
例3：求函数f(x)＝tan(2x－3)的定义域，最小正周期、单调区间以及对称中心。
例4：若直线l过点M(2，2)且与以点P(－2，－3)、Q(1，0)为端点的线段恒相交，则直线l的斜率的范围是_________。
【解析】：45≤k≤2
变式练习：若直线l过点M(0，2)且与以点P(－2，－3)、Q(1，0)为端点的线段恒相交，则直线l的斜率的范围是_________。
【解析】：k≤－2，k≥25
五、函数y＝sin(x＋)的图象与性质
（一）由y＝sinx的图象通过变换法作y＝Asin(x＋)的图象 1、先平移后伸缩：y＝sinx 个单位得到时向右）平移时向左，（00y＝sin(x＋)
倍得到伸长）到原来的时缩短（1101y＝sin(x＋)
倍得到缩短）到原来的时伸长（AAA101y＝Asin(x＋)
2、先伸缩后平移：y＝sinx倍得到伸长）到原来的时缩短（1101 y＝sinx
个单位得到时向右）平移时向左，（00 y＝sin[(x＋)]
倍得到缩短）到原来的时伸长（AAA101y＝Asin(x＋)
例5：把函数y＝sin(2x＋4)的图象向右平移8个单位，再把所得图象上各点的纵坐标缩短到原来的21，则所得图象的函数解析式为（ ）
A：y＝sin(4x＋83) B：y＝sin(4x＋8) C：y＝sin4x D：y＝21sin2x
【解析】：D
变式练习1：将函数y＝sin(x＋4)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A：y＝cos2x B：y＝sin(2x＋4) C：y＝sin(21x＋8) D：y＝sin(21x＋4)
【解析】：选D
变式练习2：已知函数f(x)＝sin(x＋3)（＞0）的最小正周期为，则函数f(x)的图象可以由函数y＝sin2x的图象( )
A：向左平移6个单位长度 B：向右平移6个单位长度
C：向左平移3个单位长度 D：向右平移3个单位长度
【解析】选A
变式练习3：要得到函数y＝2cos(2x－6)的图象，只要将函数y＝2cos2x的图象( )
A：向左平行移动6个单位长度 B：向右平行移动6个单位长度
C：向左平行移动12个单位长度 D：向右平行移动12个单位长度
【解析】选D 变式练习4：要得到函数y＝sin(2x－3)的图象，只需将函数y＝－cos(2x－)的图象(
)
A：向左平移6个单位长度 B：向左平移125个单位长度
C.向右平移125个单位长度 D：向右平移3个单位长度
【解析】选C.由于y＝－cos(2x－π)＝cos2x＝sin＝sin2，
y＝sin＝sin2＝sin2.
故只需将函数y＝－cos(2x－π)的图象向右平移π个单位长度得到函数y＝sin的图象.
五、有关函数y＝Asin(x＋)的性质
1、定义域为R 2、值域为[－A，A] 3、最小正周期T＝2
4、当＝k时，函数y＝Asin(x＋)为奇函数；当＝k＋2函数是偶函数。
5、对于函数y＝Asin(x＋)(A＞0，＞0)的单调区间，把x＋看成整体
2k－2≤x＋≤2k＋2，解出x的范围为函数的单调递增区间
2k＋2≤x＋≤2k＋23，解出x的范围为函数的单调递减区间
6、函数y＝Asin(x＋)的对称轴x＋＝k＋2，解出x求得；对称中心x＋＝k，解出x求得。
例6：指出函数y＝3sin(2x－3) 的定义域、值域、最小正周期、单调区间、对称轴以及对称中心。
变式练习1：函数f(x)＝3sin(x＋6)在下列区间内递减的是( )
A：[－21，21] B：[0，21] C：[－32，] D：[21，]
【解析】:令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z可得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，∴函数f(x)的递减区间为，k∈Z.从而可判断， 答案:D
变式练习2：设函数f(x)＝sin(2x－21)，x∈R，则f(x)是( )
A：最小正周期为的奇函数 B：最小正周期为的偶函数
C：最小正周期为21的奇函数 D：最小正周期为21的偶函数
【解析】:因为f(x)＝sin＝-cos 2x，所以f(-x)＝-cos 2(-x)＝-cos 2x＝f(x)，
所以f(x)是最小正周期为π的偶函数.答案:B
例7：若函数)2sin(3)(xxf的图象关于直线32x对称，那么︱︱的最小值为（ ）
A：12 B：6 C：4 D：3
【解析】：B
例8：函数f(x)＝Asin(x＋) （A＞0， ＞0，︱︱＜2）的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为（ ）
A：f(x)＝2sin(x－6) B：f(x)＝2sin(2x－3)
C：f(x)＝2sin(x＋12) D：f(x)＝2sin(2x－6)
【解析】：B
变式练习1：已知cos＝－54，且∈(2，)，函数f(x)＝sin(x＋)（＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2，则f(8)的值为（ ）。
A：102 B：－102 C：1027 D：－1027
【解析】：B
变式练习2：已知函数f(x)＝sin(x＋) （＞0，︱︱＜2）的部分图象如图，则＝_______。
【解析】：6
变式练习3：已知函数f(x)＝sin(x＋)（＞0）的图象如右图如示，则f(4)＝______。
