北师大二附文科学霸高中数学笔记_算法初步_2015高考状元笔记

高考状元数学学习私房笔记作为跨入高三门槛的学生，就应做好充分的准备，让自己赢在起点，更赢在终点。

具体而言，需要做好心理、方法和状态上的三大准备。

首先做好心理上的准备。

走进高三，每一位同学应当保持健康的心理。

高三是辛苦的，但决非痛苦不堪的人间地狱。

准高三学生首先要克服对高三的恐惧心理，以主动的心态，以积极的行动，去迎接高三的到来。

刚迈入高三的同学还应克服一种“急功近利”的焦躁心理，有的同学一认识到自己已进入高三，就迫不及待地想证明自己的实力，想在第一轮高考复习中立竿见影。

这种激进的念头如果控制不好，反而会造成严重的心理负担，一旦某一次考试发挥失利会造成巨大的心理压力。

这时考生就需要客观评估自己的实力，审视自己的基础，检讨自己的方法，反思自己的状态，不要被好高骛远的想法牵引自己步入泥潭。

第二是做好方法上的准备。

方法对头，事半功倍。

每一个优秀的高考考生都有其独到的学习方法，对刚刚进入高三的学生而言，掌握一套科学而有效的学习方法是非常有必要的。

需要指出的是，看书，听课，反思，作业，考试是一个学习的综合系统，看懂不等于心领神会，听懂也不等于真正掌握，对知识要实现真正的领悟和内化离不开后面三个环节。

知识要过手，要从教师的大脑移植入我们细胞，知识要堂堂清、天天清，决不留一点一滴的遗漏。

反思和作业可以利用晚自习和周末时间进行综合归纳，强化记忆巩固，达到准确、灵活、高效。

第三是做好状态上的准备。

学习状态是指学习者在学习过程中表现出来的形象、形态。

一个学生在跨越高三的门槛时，应当有更专注、更投入、更高效的冲刺状态。

“学习求成才，考试求成功”是指学习的目的在于成才，考试的目标在于成功。

在中国当今的高考制度下，通过读书改变命运，通过高考实现青春跨越是众多学生的共同选择。

【数学学习心经】发言人1：浙江省理科状元卢毅不以做大量题目为基础，谈数学思想、解题方法都是空中楼阁。

学习数学的关键之一，还在于做题。

做题，并不是单纯的题海战术，选什么题做是有技巧的。

历年高考状元“私房”复习笔记：数学篇养兵千日，用兵一时，高考虽然只有两天，但考前的准备却是一场持久战。

作为跨入高三门槛的学生，就应做好充分的准备，让自己赢在起点，更赢在终点。

具体而言，需要做好心理、方法和状态上的三大准备。

首先做好心理上的准备。

走进高三，每一位同学应当保持健康的心理。

高三是辛苦的，但决非痛苦不堪的人间地狱。

准高三学生首先要克服对高三的恐惧心理，以主动的心态，以积极的行动，去迎接高三的到来。

刚迈入高三的同学还应克服一种“急功近利” 的焦躁心理，有的同学一认识到自己已进入高三，就迫不及待地想证明自己的实力，想在第一轮高考复习中立竿见影。

这种激进的念头如果控制不好，反而会造成严重的心理负担，一旦某一次考试发挥失利会造成巨大的心理压力。

这时考生就需要客观评估自己的实力，审视自己的基础，检讨自己的方法，反思自己的状态，不要被好高鸳远的想法牵引自己步入泥潭。

第二是做好方法上的准备。

方法对头，事半功倍。

每一个优秀的高考考生都有其独到的学习方法，对刚刚进入高三的学生而言，掌握一套科学而有效的学习方法是非常有必要的。

需要指出的是，看书，听课，反思，作业，考试是一个学习的综合系统，看懂不等于心领神会，听懂也不等于真正掌握，对知识要实现真正的领悟和内化离不开后面三个环节。

知识要过手，要从教师的大脑移植入我们细胞，知识要堂堂清、天天清，决不留一点一滴的遗漏。

反思和作业可以利用晚自习和周末时间进行综合归纳，强化记忆巩固，达到准确、灵活、高效。

第三是做好状态上的准备。

学习状态是指学习者在学习过程中表现出来的形象、形态。

一个学生在跨越高三的门槛时，应当有更专注、更投入、更高效的冲刺状态。

“学习求成才，考试求成功”是指学习的目的在于成才，考试的目标在于成功。

在中国当今的高考制度下，通过读书改变命运, 通过高考实现青春跨越是众多学生的共同选择。

一个成功的学习者，对失败的回答是重新站起，对困难的回答是迎难而上，对高考角逐的回答是夺取最后胜利。

算法的概念算法是指完成一个任务所需要的具体步骤和方法。

也就是说给定初始状态或输入数据，经过计算机程序的有限次运算，能够得出所要求或期望的终止状态或输出数据。

算法常常含有重复的步骤和一些比较或逻辑判断。

如果一个算法有缺陷，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。

不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。

一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。

〖算法的历史〗“算法”(algorithm)来自于9世纪波斯数学家比阿勒•霍瓦里松的名字al-Khwarizmi，比阿勒•霍瓦里松在数学上提出了算法这个概念。

“算法”原为"algorism"，意思是阿拉伯数字的运算法则，在18世纪演变为"algorithm"。

第一次编写算法是Ada Byron于1842年为巴贝奇分析机编写求解解伯努利方程的程序，因此Ada Byron被大多数人认为是世界上第一位程序员。

因为巴贝奇(Charles Babbage)未能完成他的巴贝奇分析机，这个算法未能在巴贝奇分析机上执行。

因为"well-defined procedure"缺少数学上精确的定义，19世纪和20世纪早期的数学家、逻辑学家在定义算法上出现了困难。

20世纪的英国数学家图灵提出了著名的图灵论题，并提出一种假想的计算机的抽象模型，这个模型被称为图灵机。

图灵机的出现解决了算法定义的难题，图灵的思想对算法的发展起到了重要的作用。

〖算法的特征〗一个算法应该具有以下五个重要的特征：有穷性：一个算法必须保证执行有限步之后结束；确切性：算法的每一步骤必须有确切的定义；输入：一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身定除了初始条件；输出：一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。

没有输出的算法是毫无意义的；可行性：算法原则上能够精确地运行，而且人们用笔和纸做有限次运算后即可完成。

历年高考状元“私房”复习笔记：数学篇养兵千日，用兵一时，高考尽管只有两天，但考前的预备却是一场持久战。

作为跨入高三门槛的学生，就应做好充分的预备，让自己赢在起点，更赢在终点。

具体而言，需要做好心理、方法和状态上的三大预备。

第一做好心理上的预备。

走进高三，每一位同学应当保持健康的心理。

高三是辛劳的，但决非痛楚不堪的人间地狱。

准高三学生第一要克服对高三的惧怕心理，以主动的心态，以积极的行动，去迎接高三的到来。

刚迈入高三的同学还应克服一种“急功近利”的焦躁心理，有的同学一认识到自己已进入高三，就迫不及待地想证明自己的实力，想在第一轮高考复习中立竿见影。

这种激进的念头假如操纵不行，反而会造成严峻的心理负担，一旦某一次考试发挥失利会造成庞大的心理压力。

这时考生就需要客观评估自己的实力，凝视自己的基础，检讨自己的方法，反思自己的状态，不要被好高骛远的方法牵引自己步入泥潭。

第二是做好方法上的预备。

方法对头，事半功倍。

每一个优秀的高考考生都有其独到的学习方法，对刚刚进入高三的学生而言，把握一套科学而有效的学习方法是专门有必要的。

需要指出的是，看书，听课，反思，作业，考试是一个学习的综合系统，看明白不等于心领神会，听明白也不等于真正把握，对知识要实现真正的领会和内化离不开后面三个环节。

知识要过手，要从教师的大脑移植入我们细胞，知识要堂堂清、天天清，决不留一点一滴的遗漏。

反思和作业能够利用晚自习和周末时刻进行综合归纳，强化经历巩固，达到准确、灵活、高效。

第三是做好状态上的预备。

学习状态是指学习者在学习过程中表现出来的形象、形状。

一个学生在跨过高三的门槛时，应当有更用心、更投入、更高效的冲刺状态。

“学习求成才，考试求成功”是指学习的目的在于成才，考试的目标在于成功。

在中国当今的高考制度下，通过读书改变命运，通过高考实现青春跨过是众多学生的共同选择。

一个成功的学习者，对失败的回答是重新站起，对困难的回答是迎难而上，对高考角逐的回答是夺取最后胜利。

状元笔记---数学考点1集合与简易逻辑典型易错题会诊命题角度1 集合的概念与性质命题角度2 集合与不等式命题角度3 集合的应用命题角度4 简易逻辑命题角度5 充要条件探究开放题预测预测角度1 集合的运算预测角度2 逻辑在集合中的运用预测角度3 集合的工具性预测角度4 真假命题的判断预测角度5 充要条件的应用考点2 函数(一) 典型易错题会诊命题角度1 函数的定义域和值域命题角度2 函数单调性的应用命题角度3 函数的奇偶性和周期性的应用命题角度4 反函数的概念和性质的应用探究开放题预测预测角度1 借助函数单调性求函数最值或证明不等式预测角度2 综合运用函数奇偶性、周期性、单调进行命题预测角度3 反函数与函数性质的综合考点3 函数(二)典型易错题会诊命题角度1 二次函数的图象和性质的应用命题角度2 指数函数与对数函数的图象和性质的应用命题角度3 函数的应用探究开放题预测预测角度1 二次函数闭区间上的最值的问题预测角度2 三个“二次”的综合问题预测角度3 含参数的对数函数与不等式的综合问题考点4 数列典型易错题会诊命题角度1 数列的概念命题角度2 等差数列命题角度3 等比数列命题角度4 等差与等比数列的综合命题角度5 数列与解析几何、函数、不等式的综合命题角度6 数列的应用探究开放题预测预测角度1 数列的概念预测角度2 等差数列与等比数列预测角度3 数列的通项与前n项和预测角度4 递推数列与不等式的证明预测角度5 有关数列的综合性问题预测角度6 数列的实际应用预测角度7 数列与图形考点5 三角函数典型易错题会诊命题角度1 三角函数的图象和性质命题角度2 三角函数的恒等变形命题角度3 三角函数的综合应用探究开放题预测预测角度1 三角函数的图象和性质预测角度2 运用三角恒等变形求值预测角度3 向量与三角函数的综合考点6 平面向量典型易错题会诊命题角度1 向量及其运算命题角度2 平面向量与三角、数列命题角度3 平面向量与平面解析几何命题角度4 解斜三角形探究开放题预测预测角度1 向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点结合预测角度2 平面向量为背景的综合题考点7 不等式典型易错题会诊命题角度1 不等式的概念与性质命题角度2 均值不等式的应用命题角度3 不等式的证明命题角度4 不等式的解法命题角度5 不等式的综合应用探究开放题预测预测角度1 不等式的概念与性质预测角度2 不等式的解法预测角度3 不等式的证明预测角度4 不等式的工具性预测角度5 不等式的实际应用考点8 直线和圆典型易错题会诊命题角度1 直线的方程命题角度2 两直线的位置关系命题角度3 简单线性规划命题角度4 圆的方程命题角度5 直线与圆探究开放题预测预测角度1 直线的方程预测角度2 两直线的位置关系预测角度3 线性规划预测角度4 直线与圆预测角度5 有关圆的综合问题考点9 圆锥曲线典型易错题会诊命题角度1 对椭圆相关知识的考查命题角度2 对双曲线相关知识的考查命题角度3 对抛物线相关知识的考查命题角度4 对直线与圆锥曲线相关知识的考查命题角度5 对轨迹问题的考查命题角度6 考察圆锥曲线中的定值与最值问题探究开放题预测预测角度1 椭圆预测角度2 双曲线预测角度3 抛物线预测角度4 直线与圆锥曲线预测角度5 轨迹问题预测角度6 圆锥曲线中的定值与最值问题考点10 空间直线与平面典型易错题会诊命题角度1 空间直线与平面的位置关系命题角度2 空间角命题角度3 空间距离命题角度4 简单几何体探究开放题预测预测角度1 利用三垂线定理作二面角的平面角预测角度2 求点到面的距离预测角度3 折叠问题考点11 空间向量典型易错题会诊命题角度1 求异面直线所成的角命题角度2 求直线与平面所成的角命题角度3 求二面角的大小命题角度4 求距离探究开放题预测预测角度1 利用空间向量解立体几何中的探索问题预测角度2 利用空间向量求角和距离考点12 排列、组合、二项式定理典型易错题会诊命题角度1 正确运用两个基本原理命题角度2 排列组合命题角度3 二项式定理探究开放题预测预测角度1 在等可能性事件的概率中考查排列、组合预测角度2 利用二项式定理解决三项以上的展开式问题预测角度3 利用二项式定理证明不等式考点13 概率与统计典型易错题会诊命题角度1 求某事件的概率命题角度2 离散型随机变量的分布列、期望与方差命题角度3 统计探究开放题预测预测角度1 与比赛有关的概率问题预测角度2 以概率与统计为背景的数列题 预测角度3 利用期望与方差解决实际问题 考点14 极 限 典型易错题会诊命题角度1 数学归纳法 命题角度2 数列的极限 命题角度3 函数的极限 命题角度4 函数的连续性 探究开放题预测预测角度1 数学归纳法在数列中的应用 预测角度2 数列的极限 预测角度3 函数的极限 预测角度4 函数的连续性 考点15 导数及其应用 典型易错题会诊命题角度1 导数的概念与运算 命题角度2 导数几何意义的运用 命题角度3 导数的应用 探究开放题预测预测角度1 利用导数的几何意义预测角度2 利用导数探讨函数的单调性 预测角度3 利用导数求函数的极值和最 考点16 复 数 典型易错题会诊命题角度1 复数的概念命题角度2 复数的代数形式及运算 探究开放题预测预测角度1 复数概念的应用预测角度2 复数的代数形式及运算不等式的概念与性质1．(典型例题)如果a 、b 、c 满足c<b<a ，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是 ( ) A ．ab>ac B ．c(b-a)>0C ．cb 2<ab 2D ．dc(a-c)<0[考场错解] A ∵b>c ，而ab ，ao 不一定成立，原因是不知a 的符号．[专家把脉] 由d>b>c ，且ac<0．则。

集合与简易逻辑1集合的概念及运算B中的元素都属于A，则称A包含B.B中的元素都属于A且A中至少有一个元素不属于B，则称A真包含B.2四种命题及充要条件一．四种命题：1．原命题：若p 则q逆命题：若┑P 则┑q ，即交换原命题的条件和结论； 否命题：若q 则p ，即同时否定原命题的条件和结论；逆否命题：若┑P 则┑q ，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定． 2．四个命题的关系：⑴ 原命题为真，它的逆命题不一定为真； ⑵ 原命题为真，它的否命题不一定为真； ⑶ 原命题为真，它的逆否命题一定为真．⑷两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。

原命题与逆否命题；逆命题与否命题同真同假 ⑸两个命题互为逆命题或否命题，他们的真假性没有关系⑹原命题和逆否命题为等价命题．如果原命题成立，逆否命题成立．逆命题和否命题为等价命题，如果逆命题成立，否命题成立． ⑺命题的否定形式与原命题互异 二．充分条件与必要条件1．“若p 则q ”是真命题，记做p q ⇒， “若p 则q ”为假命题，记做，2．若p q ⇒，则称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件 若p q ⇒，且p q ⇐，则称p 是q 的充要条件； 3．若p 的充分条件是q ，则q p ⇒； 若p 的必要条件是q ，则p q ⇒． 注意：①注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。

命题p 的否定为“非p ”，记作p ⌝，一般只是否定命题p 的结论，否命题是对原命题“若p 则q ”既否定它的条件，又否它的结论。

3逻辑连结词、全称量词与存在量词一．全称量词与存在量词含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题p：,()x M p x ∀∈，它的否定p ⌝：,()x M p x ∃∈⌝全称命题的否定是存在性命题。

含有一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论： 存在性命题p：,()x M p x ∃∈，它的否定：p ⌝：,()x M p x ∀∈⌝存在性命题的否定是全称命题5．关键词的否定函数1函数及其表示一．函数的概念1．映射：设A、B两个非空集合，如果按照某中对应法则f，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射．2．函数：在某种变化过程中的两个变量x、y，对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则称y是x的函数，记做()y f x=，其中x称为自变量，x变化的范围叫做函数的定义域，和x对应的y的值叫做函数值，函数值y的变化范围叫做函数的值域．3．函数三要素：①定义域②值域③对应关系二．函数的表示：①解析法②图像法③列表法解析式：（1）根据对应法则的意义求函数的解析式；例如：已知xxxf2)1(+=+，求函数)(xf的解析式．（2）已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；例如：已知()f x是一次函数，且[()]43f f x x=+，函数)(xf的解析式．（3）注明定义域（分段函数）三．函数的定义域（树立定义域优先的思想）（1）根据给出函数的解析式求定义域：①整式：x R ∈②分式：分母不等于0③偶次方根：被开方数大于或等于0④含0次幂、负指数幂：底数不等于0⑤对数：底数大于0且不等于1，真数大于0⑥三角函数中的y=tanx：x≠kπ+k/2(k∈Z)（2）根据对应法则的意义求函数的定义域：①已知函数f(x)的定义域为D，求函数f[g(x)]的定义域，只需g(x)∈D例：()y f x=定义域为]5,2[，求(32)y f x=+定义域；②已知函数f[g(x)]的定义域，求函数f(x)的定义域，只需x∈{y|y=g(x)}，即g(x)的值域例：已知(32)y f x=+定义域为]5,2[，求()y f x=定义域；（3）实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域．注意：判断单调性定义法两个增(减)函数的和仍为增(减)函数与一个减(增)函数的差是增函数奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上具有相反的单调性．单调区间的定义若(),()f xg x均为某区间上的增（减）函数，则()()f xg x+在这个区间上也为增（减）函数若()f x为增（减）函数，则()f x-为减（增）函数若()f x与()g x的单调性相同，则[()]y f g x=是增函数；若()f x与()g x的单调性不同，则[()]y f g x=是减函数。

知识要点：几种基本语句
1、伪代码——介于自然语言和编程语言之间的算法描述语言。

要求：每一条指令占一行，指令后不加任何标点符号，结构清晰，指令明确，易于理解。

根据伪代码写程序的时候，不能直接嵌入程序，而常常要根据相关的语法规则进行改造。

2、输入、输出语句
基本格式：
3、赋值语句：
基本格式：
执行赋值语句时，先计算等号右边的值，再将此值赋于等号左边的变量，即先计算，后赋值。

4、条件语句——表达选择结构的常用的一种语句，也称IF 语句。

基本格式：
当条件满足的时候，执行语句1；当条件不满足的时候，执行语句2。

5、复合条件语句——复合IF语句
基本格式：
6、循环语句——FOR语句：已知循环次数。

基本格式：
7、循环语句——
基本格式：
说明：。

北师大高中数学必修二知识点汇总一．三角函数角度与弧度制一个圆,弧长和半径相等时所对应的角度是1弧度.弧度和角度的换算关系:弧度*180/(2*π)=角度诱导公式常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝s inαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)函数类型第一象限第二象限第三象限第四象限正弦+ + ——余弦+ —— +正切+ — + —余切+ — + —三角函数的图像与性质1.正弦函数正弦函数的性质：解析式：y=sinx正弦函数的图像波形图像（由单位圆投影到坐标系得出）定义域：R(实数)值域：[-1，1] 最值：①最大值：当x=(π/2)+2kπ时，y(max)=1 ②最小值：当x=-(π/2)+2kπ时，y(min)=-1 零值点：(kπ,0)对称性：1)对称轴：关于直线x=(π/2)+kπ对称2)中心对称：关于点(kπ,0)对称周期：2π奇偶性：奇函数单调性：在[-(π/2)+2kπ,(π/2)+2kπ]上是增函数，在[(π/2)+2kπ,(3π/2)+2kπ]上是减函数2余弦函数余弦函数的性质：余弦函数图像：波形图像定义域：R值域：[-1，1]最值：1）当x=2kπ时,y(max)=12）当x=2kπ+π时,y(min)=-1零值点：(π/2+kπ,0)对称性：1）对称轴：关于直线x=kπ对称2）中心对称：关于点(π/2+kπ,0)对称周期：2π奇偶性：偶函数单调性：在[2kπ-π,2kπ]上是增函数在[2kπ,2kπ+π]上是减函数3正切函数正切函数的性质：正切函数的图像：定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}值域：R最值：无最大值与最小值零值点：(kπ,0)对称性：轴对称：无对称轴中心对称：关于点(kπ,0)对称周期：π奇偶性：奇函数单调性：在(-π/2+kπ,π/2+kπ)上都是增函数二．平面向量向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

算法的概念算法是指完成一个任务所需要的具体步骤和方式。

也就是说给定初始状态或输入数据，通过计算机程序的有限次运算，能够得出所要求或期望的终止状态或输出数据。

算法常常含有重复的步骤和一些比较或逻辑判断。

若是一个算法有缺点，或不适合于某个问题，执行这个算法将不会解决这个问题。

不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成一样的任务。

一个算法的好坏可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。

〖算法的历史〗“算法”(algorithm)来自于9世纪波斯数学家比阿勒•霍瓦里松的名字al-Khwarizmi，比阿勒•霍瓦里松在数学上提出了算法这个概念。

“算法”原为"algorism"，意思是阿拉伯数字的运算法则，在18世纪演变成"algorithm"。

第一次编写算法是Ada Byron于1842年为巴贝奇分析机编写求解解伯努利方程的程序，因此Ada Byron被大多数人以为是世界上第一名程序员。

因为巴贝奇(Charles Babbage)未能完成他的巴贝奇分析机，这个算法未能在巴贝奇分析机上执行。

因为"well-defined procedure"缺少数学上精准的概念，19世纪和20世纪初期的数学家、逻辑学家在概念算法上出现了困难。

20世纪的英国数学家图灵提出了著名的图灵论题，并提出一种假想的计算机的抽象模型，这个模型被称为图灵机。

图灵机的出现解决了算法概念的难题，图灵的思想对算法的发展起到了重要的作用。

〖算法的特征〗一个算法应该具有以下五个重要的特征：有穷性：一个算法必需保证执行有限步以后结束；确切性：算法的每一步骤必需有确切的概念；输入：一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身定除初始条件；输出：一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。

没有输出的算法是毫无心义的；可行性：算法原则上能够精准地运行，而且人们用笔和纸做有限次运算后即可完成。