【精品】2017年陕西省延安市黄陵中学高一上学期期末数学试卷(重点班)

陕西省黄陵中学2017届高三数学上学期期末考试试题（重点班） 文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合}log ,3{2a P =，{}b a Q ,=，若}0{=Q P ，则=Q P （ ） A.{}0,3 B.{}2,0,3 C.{}1,0,3 D. {}2,1,0,3 2．若奇函数f （x ）的定义域为R ，则有（ ）A ．f （x ）＞f （-x ） C ．f （x ）≤f （-x ） C ．f （x ）·f （-x ）≤0 D ．f （x ）·f （-x ）＞03．若a,b 是异面直线，且a ∥平面 ，那么b 与平面 的位置关系是（ ） A ．b ∥ B ．b 与 相交C ．b ⊂D ．以上三种情况都有可能 4．“1a =-”是“直线1x ay +=与直线5ax y +=平行”的（ ）条件。

A ．充分但不必要 B ．必要但不充分 C ．充分 D ．既不充分也不必要 5.设直线l 与平面α相交但不垂直，则下列命题错误．．的是 （ ） A ．在平面α内存在直线a 与直线l 平行 B ．在平面α内存在直线a 与直线l 垂直 C ．在平面α内存在直线a 与直线l 相交 D ． 在平面α内存在直线a 与直线l 异面 6. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 （ ）A ．4B ．6+4+ D ．2 7. 已知{}n a 是等比数列，且 5371,422a a a =+=，则9a = （ ）A ．2B ．2± C.8 D ．188. 已知对数函数 ()log (0a f x x a =>，且1)a ≠在区间[]2,4上的最大值与最小值之积为2，则a = （ ）A ．12 B ．12或 2 C. D ．2 9. 执行如图所示的程序框图，则输出的 a = （ ）A ．1B ．1- C.4- D ．52-10. 已知函数 ()214xf x =--，若在区间()0,16内随机取一个数0x ，则()00f x > 的概率为 （ ） A ．14 B ．13 C. 23 D ．3411. 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为 （ ）A 12. 已知12,x x 是函数 ()2sin cos f x x x m =+-在[]0,π 内的两个零点，则()12sin x x +=（ ） A ．12 B ．35 C. 45 D ．34第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设向量a 与b 满足()()2,1,1,2a a b =-+=-- ,则a b -=．14. 设实数,x y 满足约束条件250403100x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则 z y x =- 的最大值等于 ．15. 抛物线 ()2:20M y px p =>与椭圆 ()2222:10x y N a b a b+=>>有相同的焦点F ， 抛物线M 与 椭圆N 交于,A B ，若,,F A B 共线，则椭圆N 的离心率等于 ．16. 已知数列{}n a 的前n 项和26n S n n =-，则数列 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和等于 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知22cos cos 2sin a a A B b A =-.（1）求C ；（2）若ABC ∆，周长为 15，求c . 18. （本小题满分12分）在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1:3，且成绩分布在[]40,100，分数在80以上（含80）的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.（1）求a 的值，并计算所抽取样本的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）填写下面的22⨯列联表，能否有超过0095的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++19. （本小题满分12分）已知椭圆C 的左、右焦点分别为(、，且经过点)2（I ）求椭圆C 的方程：（II ）直线y kx =（,0k R k ∈≠）与椭圆C 相交于,A B 两点，D 点为椭圆C 上的动点，且AD BD =，请问△ABD 的面积是否存在最小值？若存在，求出此时直线AB 的方程：若不存在，说明理由．20. （本小题满分12分）已知a 为实数，()()32327f x x ax a x =-+++.（1）若()'10f -=，求()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值； （2）若()f x 在(],2-∞-和[)3,+∞上都递减，求a 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知圆()()22:222M x y -+-=，圆()22:840N x y +-=，经过原点的两直线12,l l 满足12l l ⊥，且1l 交圆M 于不同两点2,,A B l 交圆N 于不同两点,C D ，记1l 的斜率为k .（1）求k 的取值范围；（2）若四边形ABCD 为梯形，求k 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1:4C x y +=，曲线21cos :(sin x C y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）， 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系．（1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）若射线():0l p θα=>分别交12,C C 于,A B 两点， 求OB OA的最大值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()10f x a x x a a =-+->. （1）当2a =时，解不等式()4f x ≤； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围．文科数学参考答案一、选择题：1-5CCDA A 6-12 BABCD AC 二、填空题：（13）5 （14）－2 （15）2－1（16）－435三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由正弦定理可得sin A ＝2sin A cos A cos B －2sin B sin 2A＝2sin A (cos A cos B －sin B sin A )＝2sin A cos(A ＋B )＝－2sin A cos C ． 所以cos C ＝－ 1 2，故C ＝2π 3．（Ⅱ）由△ABC 的面积为15 34得ab ＝15，由余弦定理得a 2＋b 2＋ab ＝c 2，又c ＝15－(a ＋b )， 解得c ＝7． …12分（18）解：（Ⅰ）a ＝[1－(0.01＋0.015＋0.03＋0.015＋0.005)×10]÷10＝0.025，x －＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.25＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.05＝69． …4分 （Ⅱ）…8分k ＝200(5×115－35×45)250×150×40×160＝25 6≈4.167＞3.841，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．（19）解：（Ⅰ）过N 作NE ∥BC ，交PB 于点E ，连AE ， ∵CN ＝3NP ，∴EN ∥BC 且EN ＝ 14BC ，又∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，M 为AD 的中点， ∴AM ∥BC 且AM ＝ 14BC ，∴EN ∥AM 且EN ＝AM ， ∴四边形AMNE 是平行四边形， ∴MN ∥AE ，又∵MN ⊂/平面PAB ，AE ⊂平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB ．（Ⅱ）连接AC ，在梯形ABCD 中， 由BC ＝2AD ＝4，AB ＝CD ，∠ABC ＝60° 得AB ＝2，∴AC ＝23，AC ⊥AB ． ∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥AC ．又∵PA ∩AB ＝A ，∴AC ⊥平面PAB ． 又∵CN ＝3NP ，∴N 点到平面PAB 的距离d ＝1 4AC ＝32．（20）（I ）由题意，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=1413322b a c ，∴a =2，b =1， ∴椭圆C 的方程：1422=+y x（II ）D 在AB 的垂直平分线上，∴OD：x ky 1-= ． 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=1422y x kx y ，可得（1+4k 2）x 2=4，|AB|=2|OA|=222y x +=414122++k k ， 同理可得|OC|=24122++k k ，则S △ABC =2S △OAC由于2)1(5)4)(41(222k k k +≤++，所以S △ABC =2S △OAC ≥58，当且仅当1+4k 2=k 2+4（k ＞0）， 即k =1时取等号．△ABD 的面积取最小值85．直线AB 的方程为y =x ．（21）解：（Ⅰ）显然k ≠0，所以l 1：y ＝kx ，l 2：y ＝－ 1kx ．依题意得M 到直线l 1的距离d 1＝|2k －2|1+k 2＜2， 整理得k 2－4k ＋1＜0，解得2－3＜k ＜2＋3；同理N 到直线l 2的距离d 2＝|8k |1+k2＜40，解得－153＜k ＜153，所以2－3＜k ＜153．…（Ⅱ）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 将l 1代入圆M 可得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋6＝0， 所以x 1＋x 2＝4(1＋k ) 1＋k 2，x 1x 2＝61＋k2；将l 2代入圆N 可得：(1＋k 2)x 2＋16kx ＋24k 2＝0， 所以x 3＋x 4＝－16k 1＋k 2，x 3x 4＝24k21＋k2．由四边形ABCD 为梯形可得x 1x 2＝x 4x 3，所以(x 1＋x 2)2 x 1x 2＝(x 3＋x 4)2x 3x 4，所以(1＋k )2＝4，解得k ＝1或k ＝－3（舍）．（22）解：（Ⅰ）C 1：ρ(cos θ＋sin θ)＝4，C 2的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以ρ＝2cos θ．（Ⅱ）设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，－ π 4＜α＜ π2，则ρ1＝ 4cos α＋sin α，ρ2＝2cos α，|OB ||OA |＝ ρ2 ρ1＝ 14×2cos α(cos α＋sin α) ＝1 4(cos 2α＋sin 2α＋1)＝ 1 4[2cos (2α－ π4)＋1]， 当α＝ π 8时，|OB ||OA |取得最大值 1 4(2＋1)．（23）解：（Ⅱ）①若a ＞1，f (x )＝(a －1)|x －1|＋|x －1|＋|x －a |≥a －1， 当且仅当x ＝1时，取等号，故只需a －1≥1，得a ≥2． ②若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，f (1)＝0＜1，不合题意．③若0＜a ＜1，f (x )＝a |x －1|＋a |x －a |＋(1－a )|x －a |≥a (1－a )， 当且仅当x ＝a 时，取等号，故只需a (1－a )≥1，这与0＜a ＜1矛盾． 综上所述，a 的取值范围是[2，＋∞)．解法2f (x )≥1⇒f (1)＝|1－a |≥1且a ＞0，解得a ≥2.当a ≥2时，f (x )＝a |x －1|＋|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)x ＋2a ，x ＜1，(a －1)x ，1≤x ≤a ，(a ＋1)x －2a ，x ＞a ．所以，f (x )在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，则f (x )≥f (1)．f (x )≥1⇔f (1)＝a －1≥1，解得a ≥2．综上所述，a 的取值范围是[2，＋∞)．。

2017-2018学年陕西省延安市黄陵中学重点班高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|x＜2 017}，N={x|0＜x＜1}，则下列关系中正确的是（）A. M∪N=RB. M∩N={x|0<x<1}C. N∈MD. M∩N=⌀2.函数f（x）=21−x+lg（3x+1）的定义域为（）A. (−13,1) B. (−13,13) C. (−13,+∞) D. (−∞,13)3.log513+log53等于（）A. 0B. 1C. −1D. log51034.用二分法求函数f（x）=x3+5的零点可以取的初始区间是（）A. [−2,1]B. [−1,0]C. [0,1]D. [1,2]5.时针走过2时40分，则分针转过的角度是（）A. 80∘B. −80∘C. 960∘D. −960∘6.-300°化为弧度是（）A. −43π B. −53π C. −54π D. −76π7.已知角α的终边经过点（3，-4），则sinα+cosα的值为（）A. ±15B. ±75C. −15D. 758.已知f（x）=sin（2x-π4），则f（x）的最小正周期和一个单调增区间分别为（）A. π，[−π4,π4] B. π，[−π8,3π8] C. 2π，[−π4,3π4] D. 2π，[−π4,π4]9.函数f（x）=cos（3x+φ）的图象关于原点成中心对称，则φ不会等于（）A. −π2B. 2kπ−π2(k∈Z) C. kπ(k∈Z)m D. kπ+π2(k∈Z)10.若cos2αsin(α−π4)=−22，则cosα+sinα的值为（）A. −72B. −12C. 12D. 7211.已知cos（π6+θ）=33，则cos（5π6-θ）=（）A. 3B. −3C. 33D. −3312.在（0，2π）内，使tan x＞1成立的x的取值范围为（）A. (π4,π2) B. (54π,32π)C. (π4,π2)∩(54π,32π) D. (π4,π2)∪(54π,32π)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.将函数y=sin（-2x）的图象向左平移π4个单位，所得函数图象的解析式为______．14.已知cosα+cosβ=12，sinα+sinβ=32，则cos（α-β）=______．15.已知tan（α+β）=7，tanα=34，且β∈（0，π），则β的值为______．16.2sin222.5°-1=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求函数f（x）=1+x-x2在区间[-2，4]上的最大值和最小值．18.已知一个扇形的周长为8π9+4，圆心角为80°，求这个扇形的面积．19.已知tanα=-12，求1+2sinαcosαsinα−cosα的值．20.已知函数f(x)=2cos(2x−π4)，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[−π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．21.如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=A sin（ωx+φ）+b．（0＜φ＜π）（1）求这段时间的最大温度；（2）写出这段曲线的函数解析式．22.已知函数f（x）=cos（π3+x）cos（π3−x），g（x）=12sin2x-14．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|x＜2 017}，N={x|0＜x＜1}，∴M∩N={x|x＜2 017}∩{x|0＜x＜1}={x|0＜x＜1}．故选：B．利用交集、并集定义直接求解．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2.【答案】A【解析】解：要使函数有意义，x应满足：解得：-＜x＜1故函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域为（-，1）故选：A根据二次根式的定义及分母不为0可知1-x＞0且根据对数函数定义得3x+1＞0，联立求出解集即可．考查学生理解函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围．应会求不等式的解集．3.【答案】A【解析】【分析】利用对数运算性质即可得出．本题考查了对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解答】解：原式==log51=0．故选A．4.【答案】A【解析】解：二分法求变号零点时所取初始区间[a，b]，应满足使f（a）•f（b）＜0．由于本题中函数f（x）=x3+5，由于f（-2）=-3，f（1）=6，显然满足f（-2）•f（1）＜0，故函数f（x）=x3+5的零点可以取的初始区间是[-2，1]，故选A．由于函数只有满足在零点两侧的函数值异号时，才可用二分法求函数f（x）的零点，经检验，A满足条件．本题主要考查函数的零点的定义，注意函数只有满足在零点两侧的函数值异号时，才可用二分法求函数f（x）的零点，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵40÷60=，∴360°×=240°，由于时针都是顺时针旋转，∴时针走过2小时40分，分针转过的角的度数为-2×360°-240°=-960°，故选：D．由于时针都是顺时针旋转，故由时针走过2小时40分，即可求分针转过的角的度数．本题考查角度制的推广，考查学生的计算能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：-300°=-rad=-．故选：B．利用rad即可得出．本题考查了角度与弧度的互化，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：由题意可得x=3、y=-4、r=5，∴sinα==-，cosα==，∴sinα+cosα=-，故选：C．由题意可得x=3、y=-4、r=5，求得sinα=的值，cosα=的值，可得sinα+cosα 的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：易得函数的最小正周期为T==π，由2kπ-≤2x-≤2kπ+可得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数的一个单调递增区间为[-，]故选：B．由周期公式可得函数的周期，由2kπ-≤2x-≤2kπ+可得函数的单调递增区间．本题考查三角函数的单调性和周期性，属基础题．9.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=cos（3x+φ）的图象关于原点成中心对称，∴φ=kπ+=（2k+1）•，k∈Z，故φ不会等kπ，故选：C．根据三角函数的图象的对称性，求得φ的值，可得结论．本题主要考查三角函数的图象的对称性，属于基础题．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查两角和与差的三角函数及二倍角公式题目的条件和结论都是三角函数式，第一感觉是先整理条件，用二倍角公式和两角差的正弦公式，约分后恰好是要求的结论．本题解法巧妙，能解的原因是要密切注意各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．【解答】解: ∵，∴，故选C．11.【答案】D【解析】解：∵cos（+θ）=，则cos（-θ）=cos[π-（+θ）]=-cos（+θ）=-，故选：D．由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．12.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查正切函数的图象特征，属于基础题．根据正切函数的图象特征，求得在（0，2π）内，使tanx＞1成立的x的取值范围．【解答】解：结合正切函数y=tanx的图象，可得使tanx＞1成立的x的取值范围，k∈Z．结合x∈（0，2π），可得使tanx＞1成立的x的取值范围为，故选D．13.【答案】y=-cos2x【解析】解：函数y=sin（-2x）的图象向左平移个单位，所得函数图象的解析式为y=sin[-2（x+）]=-cos2x，故答案为：y=-cos 2x．由题意利用诱导公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查诱导公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．14.【答案】-12【解析】解：已知等式平方得：（cosα+cosβ）2=cos2α+2cosαcosβ+cos2β=①，（sinα+sinβ）2=sin2α+2sinαsinβ+sin2β=②，①+②得：2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1，即cosαcosβ+sinαsinβ=-，则cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-．故答案为：-已知两等式两边分别平方，利用同角三角函数间的基本关系化简得到关系式，所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入计算即可求出值．此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．15.【答案】π4【解析】【分析】本题主要考查两角差的正切公式的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．由题意利用两角差的正切公式，求得tanβ的值，结合β∈（0，π），求得β的值．【解答】解：∵β∈（0，π），tanβ=tan[（α+β）-α]===1，∴β=，故答案为．16.【答案】-22【解析】解：根据题意，原式=2sin222.5°-1=-（1-2sin222.5°）=-cos45°=-，故答案为：-．根据题意，由余弦的二倍角公式可得2sin222.5°-1═-（1-2sin222.5°）=-cos45°，由特殊角的三角函数值计算可得答案．本题考查余弦的二倍角公式，注意余弦的二倍角公式有三种形式，需要熟练掌握并应用．17.【答案】解：f（x）=1+x-x2=-（x-12）2+54，故函数的图象开口向下，对称轴为x=12，f（x）在[-2，12]上递增，在[12，4]上递减，y max=f（12）=54，y min=f（4）=-11．【解析】对f（x）进行配方，由图象形状，可判断f（x）在[2，4]上的单调性，据单调性即可求得最值．本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，属基础题，数形结合是解决该类问题的强有力工具．18.【答案】（本小题满分12分）解：设扇形的半径为r，面积为S，由已知，扇形的圆心角为80°×π180=4π9，∴扇形的弧长为4π9r，由已知得，4π9r+2r=8π9+4，∴解得：r=2，∴S=12•4π9r2=8π9．故扇形的面积是8π9．【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，利用已知条件求出弧长与半径，然后求出扇形面积．本题考查扇形面积公式的应用，弧长与半径圆心角的关系，考查计算能力．19.【答案】解：∵tanα=-12，∴1+2sinαcosαsinα−cosα=(sinα+cosα)2sin2α−cos2α=sinα+cosαsinα−cosα=tanα+1 tanα−1=-13．【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题．20.【答案】解：（1）f（x）的最小正周期T=2π|ω|=2π2=π，当2kπ≤2x−π4≤2kπ+π，即kπ+π8≤x≤kπ+5π8，k∈Z时，f（x）单调递减，∴f（x）的单调递减区间是[kπ+π8，kπ+5π8]，k∈Z．（2）∵x∈[−π8，π2]，则2x−π4∈[−π2，3π4]，故cos（2x−π4）∈[−22，1]，∴f（x）max =2，此时2x−π4=0，即x=π8；f（x）min=-1，此时2x−π4=3π4，即x=π2．【解析】本题考查复合三角函数的单调性，着重考查余弦函数的周期公式及单调性与最值的应用，属于中档题．（1）由余弦函数的周期公式即可求得答案；（2），则，利用余弦函数的单调性即可求得其最小值和最大值及取得最值时x的值．21.【答案】解：（1）由图知，这段时间的最大温差是30-10=20（℃）．（2）图中从6时到14时的图象是函数y=A sin（ωx+φ）+b的半个周期的图象．∴1 2⋅2πω=14-6，解得ω=π8．由图知，A=12（30-10）=10，b=12（30+10）=20，这时y=10sin（π8x+φ+20，将x=6，y=10代入上式，可取φ=34π．综上所求的解析式为y=10sin（π8x+3π4）+20，x∈[6，14]．【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）+b的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题22.【答案】解：（1）f（x）=cos（π3+x）cos（π3−x）=（cosπ3cos x-sinπ3sin x）（cosπ3cos x+sinπ3sin x）=cos2π3cos2x-sin2π3sin2x=14cos2x-34sin2x，∵cos2x=1+cos2x2，sin2x=1−cos2x2∴f（x）=14×1+cos2x2-34×1−cos2x2=12cos2x-14因此，函数f（x）的最小正周期T=2π2=π；（2）由（1）得f（x）=12cos2x-14，∴h（x）=f（x）-g（x）=12cos2x-14-（12sin2x-14）=12sin2x-12cos2x∵1 2sin2x-12cos2x=22sin（2x-π4）∴当2x-π4=π2+2kπ，即x=3π8+kπ（k∈Z）时，12sin2x-12cos2x取得最大值为22由此可得使h（x）取得最大值的x的集合为{x|x=3π8+kπ，k∈Z}【解析】（1）利用两角和与差的余弦公式将f（x）展开，化简得f（x）=cos2x-sin2x，再根据二倍角的余弦公式化简整理，即可得到f（x）=cos2x-，结合三角函数的周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期；（2）根据（1）中化简的结果，得h（x）=f（x）-g（x）=sin2x-cos2x，利用辅助角公式合并得h（x）=sin（2x-），再由三角函数的图象与性质，即可得到使h （x）取得最大值的x的集合．本题给出三角函数表达式，求函数的最小正周期并求当函数取得最大值时x的集合．着重考查了三角函数的图象与性质和三角恒等变换公式等知识，属于中档题．。

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２0１7-2018学年高一重点班数学期末试题一选择题（共1２小题,每题5分,总计60分)1.1。

设集合M＝｛x|x〈２ 0１7｝，Ｎ={x｜0〈ｘ〈1}，则下列关系中正确的是( )Ａ．Ｍ∪N＝R Ｂ.M∩N={x|0〈x〈１｝Ｃ．N∈ＭD．M∩N=∅2.函数ｆ(ｘ)＝＋lg（３x＋1）的定义域为( )A. （-,1) Ｂ． (-,）Ｃ. (—,+) D．（-)3。

log5＋log5３等于( ）A. 0B. 1C. -1 Ｄ. loｇ54.用二分法求函数ｆ(x)＝x3＋５的零点可以取的初始区间是（)A．[－２,1] B．［－1,0] Ｃ．［0,1] D. [1，2］5。

时针走过了2小时４０分,则分针转过的角度是( )Ａ. 80° B. -８０°C． 96０° D．-96０°6。

－3０0°化为弧度是( )A．－π B．－π C. －π D．－π７.已知角α的终边经过点（３,－4），则siｎα＋cosα的值为（)Ａ. ± B．±Ｃ. － D．８。

已知f(x)＝sin（2x-),则f(x）的最小正周期和一个单调增区间分别为（ )Ａ. π,[－,] B．π,[－,]C． 2π,［-,] Ｄ. 2π，[－,]9.函数f（x)=cos（3x＋φ）的图象关于原点成中心对称,则φ不会等于（）Ａ. － B. ２kπ- (ｋ∈Z) C.kπ(k∈Z）m D.kπ＋ (ｋ∈Ｚ）10.若=-，则sｉｎα＋coｓα的值为( )A．－ B. －Ｃ. D.11.已知ｃｏｓ(＝,则cos＝( ）A. 3 B．—3 C. D．－1２。

陕西省延安市黄陵中学高新部2017-2018学年高一（上）期末数学试卷一、选择题1．（5分）已知集合A={t2+s2|t，s∈Z}，且x∈A，y∈A，则下列结论正确的是（）A．x+y∈A B．x﹣y∈A C．xy∈A D．2．（5分）设集合A={3，4，5}，B={3，6}，P={x|x⊆A}，Q={x|x⊆B}，则P∩Q=（）A．{3} B．{3，4，5，6} C．{{3}} D．{{3}，∅}3．（5分）已知集合，a=3．则下列关系式成立的是（）A．a∉A B．a⊆A C．{a}⊆A D．{a}∈A4．（5分）设集合A={﹣2，1}，B={﹣1，2}，定义集合A⊗B={x|x=x1x2，x1∈A，x2∈B}，则A⊗B中所有元素之积为（）A．﹣8 B．﹣16 C．8 D．165．（5分）下列各个关系式中，正确的是（）A．∅={0} B．C．{3，5}≠{5，3} D．{1}⊆{x|x2=x}6．（5分）设集合M={a|∀x∈R，x2+ax+1＞0}，集合N={a|∃x∈R，（a﹣3）x+1=0}，若命题p：a∈M，命题q：a∈N，那么命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件7．（5分）含有三个实数的集合可表示为{a，，1}，也可表示为{a2，a+b，0}，则a2012+b2013的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±18．（5分）已知集合{b}={x∈R|ax2﹣4x+1=0，a，b∈R}则a+b=（）A．0或1 B．C．D．或9．（5分）以下元素的全体不能够构成集合的是（）A．中国古代四大发明B．周长为10cm的三角形C．方程x2﹣1=0的实数解D．地球上的小河流10．（5分）下列关系式中，正确的是（）A．∅∈{0} B．0⊆{0} C．0∈{0} D．∅={0}11．（5分）若{a2，0，﹣1}={a，b，0}，则a2007+b2007的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．212．（5分）下列六个关系式：①{a，b}⊆{b，a}②{a，b}={b，a}③0=∅④0∈{0}⑤∅∈{0}⑥∅⊆{0}其中正确的个数为（）A．6个B．5个C．4个D．少于4个二、填空题13．（5分）集合A={0，1，x}，B={x2，y，﹣1}，若A=B，则y=．14．（5分）已知集合A={a+2，2a2+a}，若3∈A，则a的值为．15．（5分）定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，已知A={2，3}，B={1，3，4}，则A﹣B=．16．（5分）已知集合M={3，m+1}，4∈M，则实数m的值为．三、解答题17．（10分）已知由方程kx2﹣8x+16=0的根组成的集合A只有一个元素，试求实数k的值．18．（12分）设集合A中含有三个元素3，x，x2﹣2x．（1）求实数x应满足的条件；（2）若﹣2∈A，求实数x．19．（12分）已知集合A={x|x=m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．20．（12分）设S={x|x=m+n，m、n∈Z}．（1）若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？（2）对S中的任意两个x1、x2，则x1+x2、x1•x2是否属于S？21．（12分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．22．（12分）对正整数n，记I n={1，2，3…，n}，P n={|m∈I n，k∈I n}．（1）求集合P7中元素的个数；（2）若P n的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使P n能分成两个不相交的稀疏集的并集．【参考答案】一、选择题1．C【解析】∵集合A={t2+s2|t，s∈Z}，∴1∈A，2∈A，1+2=3∉A，故A“x+y∈A”错误；又∵1﹣2=﹣1∉A，故B“x﹣y∈A”错误；又∵∉A，故D“”错误；故选C.2．D【解析】集合P={x|x⊆A}表示集合A的子集构成的集合，故P={∅，{3}，{4}，{5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，{3，4，5}}，同样Q={∅，{3}，{6}，{3，6}}．∴P∩Q={{3}，Φ}；故选D．3．C【解析】∵3≤2∴a∈A，故A，B错误，{a}⊆a，故C正确，D错误，故选C.4．C【解析】∵集合A={﹣2，1}，B={﹣1，2}，定义集合A⊗B={x|x=x1x2，x1∈A，x2∈B}，∴A⊗B={2，﹣4，﹣1}，故A⊗B中所有元素之积为：2×（﹣4）×（﹣1）=8．故选C．5．D【解析】根据题意，依次分析选项可得，对于A，空集是任何集合的子集，即∅⊆{0}，A错误；对于B，是无理数，则∉Q，B错误；对于C，根据集合元素的无序性，有{3，5}={5，3}，C错误；对于D，{x|x2=x}={0，1}，则有{1}⊆{x|x2=x}，D正确．故选D．6．A【解析】由题意，对于集合M，△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2；对于集合N，a≠3若﹣2＜a＜2，则a≠3；反之，不成立故选A．7．B【解析】根据题意，由{a，，1}={a2，a+b，0}可得a=0或=0，又由的意义，则a≠0，必有=0，则b=0，则{a，0，1}={a2，a，0}，则有a2=1，即a=1或a=﹣1，集合{a，0，1}中，a≠1，则必有a=﹣1，则a2012+b2013=（﹣1）2012+02013=1，故选B．8．D【解析】∵集合{b}={x∈R|ax2﹣4x+1=0，a，b∈R}，∴a=0，或△=16﹣4a=0．当a=0时，{b}={x|﹣4x+1=0}={}，即b=，a+b=；当△=16﹣4a=0时，a=4，{b}={x|4x2﹣4x+1=0}={}，，即b=，a+b=．故选D．9．D【解析】在A中，中国古代四大发明具有确定性，能构成集合，故A能构成集合；在B中，周长为10cm的三角形具有确定性，能构成集合，故B能构成集合；在C中，方程x2﹣1=0的实数解为±1，能构成集合，故C能构成集合；在D中，地球上的小河流不确定，因此不能够构成集合，故D不能构成集合．故选：D．10．C【解析】对于A，∅⊆{0}，用“∈”不对，对于B和C，元素0与集合{0}用“∈”连接，故C正确；对于D，空集没有任何元素，{0}有一个元素，故不正确．11．A【解析】若{a2，0，﹣1}={a，b，0}，则，即，当a=0时，集合{a，b，0}={0，0，﹣1}不成立．∴a=1，b=﹣1．∴a2007+b2007=1﹣1=0．故选：A．12．C【解析】根据集合自身是自身的子集，可知①正确；根据集合无序性可知②正确；根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③⑤不正确；根据元素与集合之间可知④正确；根据空集是任何集合的子集可知⑥正确．故选C．二、填空题13．0【解析】∵A={0，1，x}，B={x2，y，﹣1}，且A=B，∴x=﹣1，此时集合A={0，1，﹣1}，B={1，y，﹣1}，∴y=0．故答案为：0．14．﹣【解析】∵3∈A，∴a+2=3或2a2+a=3；当a+2=3时，a=1，2a2+a=3，根据集合中元素的互异性，a=1不合题意；当2a2+a=3时，a=1或a=﹣，a=﹣时，A={，3}，符合题意．综上a=﹣，故答案是﹣.15．{2}【解析】∵A={2，3}，B={1，3，4}，又∵A﹣B={x|x∈A且x∉B}，∴A﹣B={2}．故答案为：{2}．16．3【解析】∵集合M={3，m+1}，4∈M，∴4=m+1，解得m=3．故答案为：3．三、解答题17．解：当k=0时，原方程变为﹣8x+16=0，所以x=2，此时集合A中只有一个元素2．当k≠0时，要使一元二次方程kx2﹣8x+16=0有一个实根，需△=64﹣64k=0，即k=1．此时方程的解为x1=x2=4，集合A中只有一个元素4．综上可知k=0或1．18．解：（1）由集合元素的互异性可得：x≠3，x2﹣2x≠x且x2﹣2x≠3，解得x≠﹣1，x≠0且x≠3．（2）若﹣2∈A，则x=﹣2或x2﹣2x=﹣2．由于x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，所以x=﹣2．19．解：（1）∵3=22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2=m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．20．解：（1）∵S={x|x=m+n，m、n∈Z}，a∈Z，∴a=a+0×∈S．∴a是集合S的元素．（2）不妨设x1=m+n，x2=p+q，m、n、p、q∈Z．则x1+x2=（m+n）+（p+q）=（m+n）+（p+q），∵m、n、p、q∈Z．∴p+q∈Z，m+n∈Z．∴x1+x2∈S，x1•x2=（m+n）•（p+q）=（mp+2nq）+（mq+np），m、n、p、q∈Z．故mp+2nq∈Z，mq+np∈Z．∴x1•x2∈S．综上，x1+x2、x1•x2都属于S．21．（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|x=x1+x2•2+x3•22，x i∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，∴s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+（a n﹣1﹣b n﹣1）q n﹣2+（a n﹣b n）q n﹣1≤（q﹣1）+（q﹣1）q+…+（q﹣1）q n﹣2﹣q n﹣1=（q﹣1）（1+q+…+q n﹣2）﹣q n﹣1=﹣q n﹣1=﹣1＜0．∴s＜t．22．解：（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=1时，m=1，2，3…，7，P n={1，2，3…，7}，7个数，当k=2时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，当k=3时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，当k=4时，P n={|m∈I n，k∈I n}=P n={，1，，2，，3，}中有3个数（1，2，3）与k=1时P n中的数重复，当k=5时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，当k=6时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，当k=7时，m=1，2，3…，7，P n对应有7个数，由此求得集合P7中元素的个数为7×7﹣3=46．（2）先证当n≥15时，P n不能分成两个不相交的稀疏集的并集．假设当n≥15时，P n可以分成两个不相交的稀疏集的并集，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=P n⊇I n．不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，这与A为稀疏集相矛盾．再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集．事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1=I14．当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，可以分为下列3个稀疏集的并：A2={，，，}，B2={，，}．当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，，}，可以分为下列3个稀疏集的并：A3={，，，，}，B3={，，，，}．最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，它与P n中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14．综上可得，n的最大值为14．。