平面直角坐标系中的对称

判断平面直角坐标系中的对称性在平面直角坐标系中，对称性是指图形在某个特定的变换下不变。

这些变换包括关于x轴、y轴或原点的对称变换，以及关于某一直线或点的对称变换。

通过判断图形是否具有对称性，我们可以更好地理解和描述图形的性质和特点。

下面将介绍如何判断平面直角坐标系中的对称性。

一、关于x轴对称：当一个图形在关于x轴的对称变换下不变时，我们称其具有关于x 轴的对称性。

具体判断方法如下：1. 对于一段直线，如果该直线与x轴垂直，那么它是关于x轴对称的。

例如：y = a（a为常数）。

2. 对于一个点(x, y)，如果这个点与另一个点(x, -y)关于x轴对称，那么这个点也具有关于x轴对称性。

3. 对于一个函数图像，如果该函数图像关于x轴对称（即对于任意点(x, y)在图像上，点(x, -y)也在图像上），那么该函数具有关于x轴的对称性。

例如：y = sin(x)。

二、关于y轴对称：当一个图形在关于y轴的对称变换下不变时，我们称其具有关于y 轴的对称性。

具体判断方法如下：1. 对于一段直线，如果该直线与y轴垂直，那么它是关于y轴对称的。

例如：x = a（a为常数）。

2. 对于一个点(x, y)，如果这个点与另一个点(-x, y)关于y轴对称，那么这个点也具有关于y轴对称性。

3. 对于一个函数图像，如果该函数图像关于y轴对称（即对于任意点(x, y)在图像上，点(-x, y)也在图像上），那么该函数具有关于y轴的对称性。

例如：y = x^2。

三、关于原点对称：当一个图形在关于原点的对称变换下不变时，我们称其具有关于原点的对称性。

具体判断方法如下：1. 对于一段直线，如果该直线通过原点且斜率不存在或为0，那么它是关于原点对称的。

2. 对于一个点(x, y)，如果这个点与另一个点(-x, -y)关于原点对称，那么这个点也具有关于原点的对称性。

3. 对于一个函数图像，如果该函数图像关于原点对称（即对于任意点(x, y)在图像上，点(-x, -y)也在图像上），那么该函数具有关于原点的对称性。

平面直角坐标系对称变换【摘要】平面直角坐标系对称变换是一种重要的数学概念，通过在平面直角坐标系下进行对称变换，可以改变图形的位置、形状和大小。

本文将介绍关于平面直角坐标系的基本概念，平面对称变换的定义以及其意义，同时讨论了各种对称变换方法和如何进行平面直角坐标系对称变换。

对称变换在几何学和工程学等领域有着广泛的应用，能够简化问题的求解过程并提高计算效率。

平面直角坐标系对称变换不仅在理论研究中具有重要意义，而且在实际应用中也起到了重要的作用。

展望未来，随着科学技术的不断发展，平面直角坐标系对称变换将继续在更多领域展现其重要性，成为数学研究和工程实践中不可或缺的一部分。

【关键词】平面直角坐标系对称变换、对称变换、基本概念、定义、意义、方法、应用领域、重要性、未来发展。

1. 引言1.1 什么是平面直角坐标系对称变换平面直角坐标系对称变换是指在平面直角坐标系中，通过某种规则将图形围绕某个中心点或轴进行对称操作，从而得到新的图形。

这种变换通常可以分为对称轴对称和点对称两种形式。

对称轴对称是指当图形绕着一条直线旋转180度时，图形和原图形完全一致；而点对称是指当图形围绕一个点旋转180度时，图形和原图形完全一致。

在平面几何学中，对称变换是一种非常重要的变换方式。

通过对称变换，我们可以更好地理解图形的性质、特点和关系。

对称变换可以帮助我们简化问题，找出规律，从而更加高效地解决一些复杂的数学问题。

对称变换还可以美化图形，增加图形的美感和艺术性，使得图形更加优雅和动人。

平面直角坐标系的对称变换是一种非常有趣且实用的数学概念，对于我们理解几何学、数学建模、图形设计等领域具有重要意义。

通过对称变换，我们可以更深入地探索数学世界的奥秘，同时也可以在实际应用中发挥其巨大的作用。

1.2 对称变换的重要性对称变换在平面直角坐标系中起着重要的作用，它能够帮助我们更好地理解和描述几何形体的特性和性质。

通过对称变换，我们可以将一个图形沿着某条直线、某个点或某个平面进行镜像、旋转或平移，从而得到新的图形。

坐标表示轴对称数学知识点归纳坐标表示轴对称数学知识点归纳大家要熟知三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。

用坐标表示轴对称小结：1.在平面直角坐标系中①关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数;②关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等;③关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数;④与X轴或Y轴平行的直线的两个点横(纵)坐标的关系;⑤关于与直线X=C或Y=C对称的坐标点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为_ (x, -y)_____.点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为___(-x, y)___.知识点总结：上面的内容要求大家掌握三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

平面直角坐标系中的对称问题对称性在中学数学中占有非常重要的地位，在学习中应该引起我们的重视. 初中阶段我们遇到的对称性主要包括中心对称和轴对称两种. 在平面直角坐标系中具体表现为点关于点对称、点关于线对称、线关于线对称三类问题，其中第一类问题比较简单，在此主要谈谈点关于线的对称问题.点关于线的对称性中一个最典型的问题是下面的例子.例1 已知A 、B 两点位置如图1所示，试在x 轴上确定一点P ，使PB PA +最短.解：这个问题直接根据点关于线的对称性，作点A 关于x 轴的对称点'A ，连结B 'A ，则B 'A 与x 轴的交点P 即为所求（如图2所示）.题后小结：上面的例子是两条线段之和的最短问题，当线段增加到三条以上时，情况就变得复杂了，但思考问题的方法是一样的，仍然利用对称性. 例2 已知：在直角坐标系中，有四个点()3,8-A ，()5,4-B ，()n C ,0，()0,m D 。

当四边形ABCD 的周长最短时，则=n m :解：如图3所示，作点A关于x 轴的对称点'A ，作点B关于y 轴的对称点'B ，连结B''A ，则B''A 分别与x 轴、y 轴的交点即为D 、C 点，则2:3:=n m题后小结：该题的思考方法同例1，但涉及到的知识面更广泛、更深刻，点的对称性、实用性和对学生的灵活性有了更多的培养.思维激活：有些代数式的最小值问题也可以转化为几何中的线段最短问题，因此，同样可用对称性来解决.例3 代数式1342222+-+++x x x x 的最小值是 思路：将代数式化为：()()()()2222302101-+-+-++x x ，易知原问题可转化为在x 轴上求一点()0,x C ，使它到两点()1,1-A ，()3,2B 的距离和最小，而这个问题由对称性即可解决.解：5。

直角坐标系中的轴对称目标：1、能理解平面直角坐标系中，与已知点关于x 轴或y 轴对称点的坐标的规律；2、能作出一个图形关于x 轴或y 轴对称的图形。

重点：用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标。

难点：找对称点的坐标之间的关系、规律。

教学过程：一、创设情境承上启下动手画一画：已知点A 和一条直线l ，你能画出这个点关于已知直线的对称点吗?二、探索新知1．若A 点在直角坐标系中，且A 点坐标是（-2，3），你能作出A 点关于x 轴对称点'A 吗？能求'A 的坐标吗？能发现点A 与'A 的坐标的关系吗？猜测(,)P a b 关于x 轴对称点'P 的坐标吗？2．在上题中能作出A 点关于y 轴对称点''A 吗？能发现点A 与''A 坐标关系吗？能猜测 (,)P a b 关于于y 轴对称点''P 的坐标吗？三、新课归纳：点（x, y ）关于x 轴对称的点的坐标为______；点（x, y ）关于y 轴对称的点的坐标为_________。

· A l四、巩固新知3.填表4.如下图，△ABC 关于x 轴对称，点A 的坐标为（1，-2），写出点B 的坐标。

5. 四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A （－5，1）、B （－2，1）、 C （－2，5） 、D （－5，4），分别作出四边形关于x 轴与y 轴对称的图形。

(1)(2)四、课后练习6.如图(2),利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点,分别作出与△ABC 关于x 轴和y 轴对称的图形.7.已知点P(2a+b,-3a)与点P`(8,b+2).（1）若点p 与点p`关于x 轴对称，则a=_____ b=_______.（2）若点p 与点p`关于y 轴对称，则a=_____ b=_______.五、拓展延伸9.分别作出点△ABC 关于直线x=1(记为m)和直线y=-1(记为n)对称的图形.10. 你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗?A B C Dm n。

《平面直角坐标系中的轴对称》教学设计一、教学内容分析我们知道在平面直角坐标系中利用坐标研究图形，要转化为研究图形上的特殊点的坐标，所以要研究轴对称图形，也要先从坐标系中的对称点开始研究. 教师应设置相应的教学活动，引导学生从平面直角坐标系中各象限的坐标符号特征和轴对称的性质两个方面，切实理解点关于x轴或y轴对称的点的坐标，乃至点关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标的变化规律.二、学生分析请看示例：这位学生列出的第（1）问的方程式出现明显的错误，按照他所列的两个等式，可以看出，他认为A，B两点若关于x轴对称，则横纵坐标均互为相反数，与本节课所学的“关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数”相违背. 造成这种错误的原因可能是学生混淆“关于x轴对称”和“关于原点对称”两个不同的图形变换；也有可能是单纯的记忆错误. 但如果在课堂探究环节能够认真地画图和总结，即使记不住结论，也可以在做题的过程中自己操作验证. 这种结论性的命题在数学学习中有很多，只靠记忆并不现实，掌握正确的探究方法才是最关键的，这也是设置本课时的最终目的.三、目标确定1.能够探究并归纳出点关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，并能够在坐标系中画出已知图形关于坐标轴对称的图形.2.能够求出点关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标.四、重点难点1.探索点关于x轴或y轴对称的点的坐标变化规律.2.求出点关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标.五、评价设计平面直角坐标系中的轴对称学习评价量表标准等级会求点关于坐标轴对称的点的坐标 A会在坐标系中画出已知图形关于坐标轴的轴对称图形 A会求点关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标 B 六、活动设计教学环节教学活动设计意图教师活动学生活动探究思考教师提问：已知点A（1，2），在平面直角坐标系中确定点A分别关于x轴和y轴对称的点的位置.教师提问：请同学们用上述方法，分别确定B（2，-3）， C（-1，4），D（-6，-5），E（0，3），F（2，0）各点关于x轴和y轴对称的点的位置. 并将这些点的对称点的坐标填入下面的表格中.观察表格中这些对称学生思考：如图，设点A关于x轴对称的点为A'，根据轴对称的定义，A'的位置可以这样确定：过点A作x轴的垂线，在这条垂线上截取一点A'，使x轴恰好是线段AA'的垂直平分线. 则A'的坐标为（1，-2）.设点A关于y轴对称的点为A"，按同样的方法，我们可以得到A"的坐标为（-1，2）.教师在教学的过程中要给学生足够的时间和空间，探索点关于x轴或y轴对称的点的坐标的变化规律，先通过画已知点关于坐标轴的对称点，得出对称点的坐标，并把得到的点的坐标填在表格中，从中发现并总结规律. 学生自己归纳出规律，感受数学的类比思想，的点的坐标特征，我们发现：在平面直角坐标系中，点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）.也就是说，关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等. 最后由师生一起梳理知识，加深理解.提出问题教师提问：当研究了关于轴和轴对称的点后，我们改变对称轴的位置，看有没有新的发现.问题1：已知下列各点的坐标，A（2，3），B（4，-3），C（1，4），D（-6，-5），E（0，1），F（5，0）. 在平面直角坐标系中，分别确定这些点关于直线m：=1的对称点，并将这些点的对称点的坐标填入下面的表格中.学生经过探究发现：在平面直角坐标系中，已知点P（，）与点Q（，）.若点P和点Q关于直线=2对称，则1222x x+=，12y y=.若点P和点Q关于直线=3对称，则1232x x+=，12y y=.若点P和点Q关于直线=-1对称，则1212x x+=-，12y y=.若点P和点Q关于直在探索完点关于x轴或y轴对称的点的坐标的变化规律的基础之上，继续通过画已知点关于平行于x轴或y轴的直线的对称点，得出对称点的坐标，并把得到的点的坐标填在表格中，从中发现并总结规律，让学生继续感受数学观察这些对称点的坐标和给定的直线m ：=1有什么关系呢？我们发现：在平面直角坐标系中，若点P （，）与点Q （，）关于直线m ：=1对称，则1222x x+=，12y y =.也就是说，关于直线m ：=1对称的两点的横坐标之和的一半等于1，纵坐标不变.若将对称轴改为直线=2，=3，=-1，=-2，请你确定上面各点关于这些直线的对称点的坐标.观察各对称点的坐标和给定的直线=2，=3，线=-2对称，则1222x x +=-，12y y =.的类比思想.=-1，=-2有什么关系呢？可以得到更为一般性的结论：在平面直角坐标系中，若点P （，）与点Q （，）关于直线对称，则122x x a +=，12y y =.仿照问题1的研究方法，探究出问题2的结论.教师提问：由这个结论，我们把“直线x a =”改为“直线y b =”，就可以提出新的问题.问题2：在平面直角坐标系中，若点P （，）与点Q （，）关于直线y b =对称，则P ，Q 两点的坐标有什么特征呢？学生发现结论： 在平面直角坐标系中，若点P （，）与点Q （，）关于直线y b =对称，则12x x =，122y y b +=. 典例分析 例1 △ABC 的三个顶点的坐标分别为A （-4，1），B （-2，-2），C （1，3），分别作出与△ABC 关于x 轴和y 轴对称的图形.学生解答例1：解：如图1，A （-4，1），B （-2，-2），C （1，3）关于x 轴对称的点分别为A'（-4，-1），B'（-2，2），C'（1，-3），依次连接A'B'，B'C'，C'A'，△A'B'C'即为所求.让学生巩固本节课所学的新知，加深对变化规律的理解.教师分析：设△ABC关于x轴对称的图形为△A'B'C'，要想确定△A'B'C'的位置，只需要确定A'点，B'点，C'点的位置即可. 所以，我们要先作出A，B，C各点关于x轴对称的点.例2已知点A（2a+b，-1）与点B （5，b-a），在下列条件下求a和b的值. （1）点A，B关于x轴对称；（2）点A，B关于y轴对称；（3）点A，B关于x=3对称；（4）点A，B关于y=2对称.如图2，A（-4，1），B（-2，-2），C（1，3）关于y轴对称的点分别为A"（4，1），B"（2，-2），C"（-1，3），依次连接A"B"，B"C"，C"A"，△A"B"C"即为所求.学生解答例2：学生根据自己的归纳，自主得出结论，并在小组间核对答案并释疑.练习巩固1.如图1，阴影部分组成的图案既是关于x轴对称的图形，又是关于y轴对称的图形.若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别为（）通过课堂练习，反馈学生对所学内容是否掌握. 建议用时15分钟.以上均达成者根据本课时量表可以得到C等级.通过检测，评估学生对本课时学习目标和重难点的把握程度，同时以第4题为例，帮助学生回顾A.M（1，-3），N（-1，-3）B.M（-1，-3），N（-1，3）C.M（-1，-3），N（1，-3）D.M（-1，3），N（1，-3）2.已知点A（2x+y，-7）与点B（4，4y-x）关于x轴对称，求x和y的值.3.已知点A（2x+y，-7）与点B（4，4y-x）关于直线x=-1对称，求x，y，AB的值.4.如图，在平面直角坐标系中，直线是第一和第三象限的角平分线. ①由图观察易知点A（0，2）关于直线的对称点A'的坐标为（2，0）. 请在图中分别标明B（5，3），C （-2，5）关于直线的对称点B'，C'的位置，并写出点B'，C'的坐标；本课时的学习方法，类比探究，得到新的结论，形成新的技能.②结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：平面直角坐标系内任一点P （a，b）关于第一和第三象限的角平分线的对称点P'的坐标为______（不证明）；归纳总结1.点关于坐标轴对称的点的坐标的变化规律是什么？2.说一说画一个图形关于x轴或y轴对称的图形的方法和步骤.3.点关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标的变化规律是什么？4.点关于坐标轴的角平分线所在的直线对称的点的坐标的变化规律是什么?在本课时的学习过程中，请同学们总结探究的历程，为下一阶段“一次函数”的学习过程中，如何探究点在教师的引导下，学生回顾反思本节课所掌握的知识、技能和思想方法.通过问题，评估学生对本节课知识的落实情况，同时引导学生体会研究问题的策略和知识背后反映的数学思想.七、板书设计平面直角坐标系中的轴对称例1结论：……结论：……八、练习诊断A级1.若点（5，4）关于x轴对称的点的坐标是（5，m），则m的值是_________.2.点（2，b）与点（a，-4）关于y轴对称，则a的值是_________，b的值是_________.3.已知点A（3，1），B（-1，2），C（0，4），分别写出这三个点关于x轴和y轴对称的点的坐标.4.已知点A（2a+b，-1）与点B（5，3b-a），在下列条件下求a和b的值.（1）点A，B关于x轴对称；（2）点A，B关于y轴对称.5.已知点A（-m+3，2m+1），在下列条件下求m的取值范围.（1）关于x轴对称的点在第三象限；（2）关于y=1对称的点在第四象限.6.△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（-3，1），C（2，0），作出与△ABC关于x轴对称的图形.B级1.已知点A（3，1），B（-1，2），C（0，4），分别写出这三个点关于直线x=-3，直线y=4对称的点的坐标.2.已知点A（2a+b，-1）与点B（5，3b-a），在下列条件下求a和b的值.（1）点A，B关于x=3对称；（2）点A，B关于y=2对称.3.分别作出△PQR关于直线x=1和直线y=-1对称的图形.4.如图所示，在正方形网格上有一个三角形ABC.（1）作△ABC关于直线MN对称的图形（不写作法）；（2）若网格上的最小正方形的边长为1.求△ABC的面积.C级1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，0），点B（3，0），点C是点A关于点B 的对称点.（1）求点C的坐标；（2）如果点P在y轴上，过点P作直线∥x轴，点A关于直线对称的点是点D.那么当△BCD的面积等于10时，求点P的坐标.2.如图，在平面直角坐标系中，直线过点M（3，0），且平行于轴.（1）如果△ABC的三个顶点的坐标分别是A（-2，0），B（-1，0），C（-1，2），△ABC关于轴对称的图形是△，△关于直线对称的图形是△. 写出△的三个顶点的坐标；（2）如果点P的坐标是（-，0），其中0＜＜3，点P关于轴对称的点是点，点关于直线对称的点是. 求的长.九、反思与改进本课时从观察和实验入手，归纳得出平面直角坐标系中，一个点关于x轴或y轴对称所引起的点的坐标的变化规律，并进一步探讨了如何利用这种坐标的变化规律，在平面直角坐标系中画出一个图形关于x轴或y轴对称的图形；在此基础上，进一步探究一个点关于特殊位置的直线对称的点的坐标的变化规律，体现了轴对称在平面直角坐标系中的应用，以及数形结合的数学思想. 通过本课时的学习，让学生感受图形轴对称变换之后的坐标的变化，从而体验数和形的紧密结合，把坐标思想和图形变换的思想联系起来，为后面函数的学习打下坚实的基础，同时让学生在应用规律的过程中，进一步加深对规律的理解，形成善于总结和归纳的良好习惯.。