探究：关于勾股定理的那点事(勾股的历史、证明,勾股数探究等)

探究：关于勾股定理的证明的那点事在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”（Pythagoras Theorem）。

数学公式中常写作a2+b2=c2勾股定理（又称商高定理，毕达哥拉斯定理）是一个基本的几何定理，早在中国商代就由商高发现。

据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。

勾股定理指出：直角三角形两直角边（即“勾”“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。

也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a^2+b^2=c^2 (为了编辑省时，以下“a2”用“a^2”代替)勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

勾股定理其实是余弦定理的一种特殊形式。

我国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。

”它被记录在了《九章算术》中。

勾股数组满足勾股定理方程a^2+b^2=c^2的正整数组(a,b,c)。

例如(3,4,5)就是一组勾股数组。

由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。

勾股数组的通式：a=m^2-n^2b=2mnc=m^2+n^2(m>n,m,n为正整数）推广1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。

即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。

2、勾股定理是余弦定理的特殊情况。

勾股定理定理如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^2+b^ 2=c^2;；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

古埃及人利用打结作Rt如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2;，还有变形公式：A B=根号（AC^2+BC^2），如：一条直角边是3，另一条直角边是4，斜边就是3×3+4×4=x×x，x=5。

那么这个三角形是直角三角形。

（称勾股定理的逆定理）勾股定理的来源毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。

据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。

毕达哥拉斯在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[1]。

法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。

我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

常用勾股数(3, 4 ,5);(6, 8, 10);(5, 12 ,13);(8, 15, 17)毕达哥拉斯树毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。

毕达哥拉斯树又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。

直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。

两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。

利用不等式a^2+b^2≥2ab可以证明下面的结论：三个正方形之间的三角形，其面积小于等于大正方形面积的四分之一，大于等于一个小正方形面积的二分之一。

常见的勾股数顺序：勾，股，弦3，4，56，8，105，12，137，24，258，15，179，40，41勾、股、弦的比例1：√3：2勾股数的介绍①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。

计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。

②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。

③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。

例一设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a^2+b^2=c^2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。

因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2，求出正整数解。

例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。

此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。

如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。

例二再来看下面这些勾股数：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。

由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。

观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。

2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。

掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便题目1直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。

用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。

勾股数的通项公式：题目2已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数，求a,b,c满足的条件.解答：结论1：从题目中可以看出,a+b>c （1）,联想到三角形的成立条件容易得出。

结论2：a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) （2）从（2）中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质，令X=c+b,Y=c-b 所以：a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) （3）首先将Y做分解，设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 （4）又（3）式可知a^2=X*n*m^2 （5）比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子，否则与（4）中的最大平方数矛盾。

同理可知a^2=Y*n '*m'^2 （6），X=n'*m'^2,且n'为不相同素数的乘积将（5）式与（6）式相乘得a^2=(m*m')^2*n'*n,（n,n'为不相同素数的乘积）（7）根据（7）知n*n'仍然为平方数，又由于n',n均为不相同素数乘积知n=n'(自行证明，比较简单）可知a=m'*m*n c= (X+Y)/2=(n*m^2+n*m'^2)/2=n*(m^2+m'^2)/2 b=(X-Y)/2=n*(m'^ 2-m^2)/2 a=m*n*m'勾股数的常用套路所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。

即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。

关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种：第一套路当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。

实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：n= 1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)= (7,24,25) ... ... 这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。

第二套路2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：n=3时(a,b,c)=(6,8, 10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17) n=5时(a,b,c)=(10,24,26)n=6时(a,b,c)=(12,35,37) ... ... 这是次经典的套路，当n 为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。

所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a =4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如：n=2时(a,b,c)=(8, 15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65) ... ...补充========Edward补充======== 对于N 为质因数比较多的和数时还可以参照其质因数进行取相应的勾股数补充，即1个N 会有多对的勾股数,例如：n=9时（a,b,c）=（9,24,25）or (9,1 2,15) --------3* (3,4,5) n=12时（a,b,c）= (12,35,37) or (12, 16,20) ----- 4*（3,4,5）=========ShangJingbo补充====== = 还有诸如此类的勾股数，20、21、29；119、120、169；696、697、985；4059、4060、5741；23660、23 661、33461；137903 137904 195025 803760 803761 1136689 4684659 4684660 6625109 ……已有三千年研究历史的勾股定理还有研究的空间吗? 我用本文试探索。

勾股数的探索基础1．定义：凡符合X＾2+Y＾2=Z＾2公式的正整数值我们称之为勾股数。

X和Y是直角边，Z是斜边。

2．凡最大公约数大于1的勾股数我们称之为派生勾股数，例[30，40，50] 等；3．最大公约数为1的勾股数，例[3，4，5]；[8，15，17]等，我们称之为勾股数。

全是偶数的勾股数必是派生勾股数，三个奇数不可能符合定义公式。

因此，勾股数唯一的可能性是：X和Y分别是奇数和偶数（偶数和奇数），斜边Z只能是奇数。

特性4．勾股数具有以下特性：斜边与偶数边之差是奇数,这个奇数只能是某奇数的平方数, 例1,9,25,49,……，至无穷大；斜边与奇数边之差是偶数,这个偶数只能是某偶数平方数的一半, 例2，8，18，32，……，至无穷大；推导出公式5．由以上定义我们推导出勾股公式：X = P＾2 + PQ （X 等于P平方加PQ）Y = Q＾2/ 2 + PQ （Y等于二分之Q方加P Q）Z = P＾2 + Q＾2 / 2 + PQ （Z等于P平方加二分之Q方加PQ）6．此公式涵盖了自然界的全部勾股数，包括部分派生勾股数。