第二课.求抛物线的方程

解析
x－y＝2，
由 2
y ＝4x
得 x2－8x＋4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8，y1＋y2＝x1＋x2－4＝4，
故线段AB的中点坐标为(4,2).
→ →
5.已知定点 F(1,0)，动点 P 在 y 轴上运动，点 M 在 x 轴上，且PM·PF＝0，延长
→
→
2

-8
,x1-x2=
2
=
2
-8
.

,
22 +8
8
∴y1-y2=[k(x1-1)+2]-[-k(x2-1)+2]=k(x1+x2)-2k= -2k=.
-
∴kAB=1 - 2=-1.
1 2
∴直线AB的斜率为定值-1.
归纳总结
定值与定点问题的求解策略
1.欲证某个量为定值,先将该量用某变量表示,通过变形化简若能
【答案】由 2

y ＝4x，
消去 y，得 4x2＋4(b－1)x＋b2＝0.
1
由 Δ＞0，得 b＜2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．
b2
则 x1＋x2＝1－b，x1x2＝ 4 .
1
C．6
1
D．8
【答案】A
[线段 AB 所在的直线的方程为
1 1
则焦点到直线 AB 的距离为 1－2＝2.]
1

x＝1，抛物线的焦点坐标为2，0，


2．若直线 x－y＝2 与抛物线 y2＝4x 交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点坐标
是________.
【答案】(4,2)

x－y＝2

【答案】 y＝－18
4．抛物线 y2＝－2px(p>0)上有一点 M 的横坐标为－9， 它到焦点的距离为 10，求此抛物线方程和 M 点的坐标． 【解】 设焦点为 F(－2p，0)， M 点到准线的距离为 d， 则 d＝|MF|＝10，即 9＋p2＝10，∴p＝2， ∴抛物线方程为 y2＝－4x. 将 M(－9，y)代入抛物线的方程， 得 y＝±6.∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
(p2，0)
x＝－p2
y2＝－2px(p>0) (－p2，0) x＝p2
x2＝2py(p>0)
(0，p2)
y＝－p2
x2＝－2py(p>0) (0，－p2)
y＝p2
互动探究
题型一：求抛物线的标准方程
例 1 求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点 M(－6,6)； (2)焦点 F 在直线 l：3x－2y－6＝0 上．
课堂小结
1．利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为 到准线的距离，这一相互转化关系能给解题带来很大的方便， 要注意运用定义解题． 2．在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式， 易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形(抛物线 焦点位置)→定量(参数 p 的值)”的程序求解．
第二章 圆锥曲线与方程
§2.4.1 抛物线及其标准方程
高中数学选修2-1·同步课件
自主导学
1.掌握抛物线的定义及其标 课标 准方程．(重点、难点) 解读 2．会由抛物线方程求焦点
坐标和准线方程．(易错点)
知识点1：抛物线的定义
【问题导思】 如图 2－4－1，把一根直尺固定在图板内直线 l 的位置，一 块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，再把一条绳子的一 端固定于三角板的另一条直角边上的点 A，截取绳子的长等 于 A 到直线 l 的距离 AC，并且把绳子的另一端固定在图板 上的一点 F，用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直 角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样 铅笔描出一条曲线，思考下面两个问题：

x＝sec θ，
解：把双曲线方程化为参数方程
(θ 为参
y＝tan θ
数)，
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18
设双曲线上点 Q(sec θ，tan θ)，则
|PQ|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝
(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)＝
2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2＋3，
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5
2．抛物线的参数方程
如图，抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为
x＝2pt2，
____y_＝__2_p_t ____t为参数，t＝tan1

α.
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6
温馨提示 t＝sin1 α(α 是以射线 OM 为终边的角)，即 参数 t 表示抛物线上除顶点之外的任意一点与原点连线的 斜率的倒数．
第二讲 参数方程
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1
二、圆锥曲线的参数方程 第 2 课时 双曲线的参数方程和
抛物线的参数方程
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2
[学习目标] 1.了解抛物线和双曲线的参数方程，了 解抛物线参数方程中参数的几何意义(重点)． 2.利用抛 物线和双曲线的参数方程处理问题(重点、难点)．
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当 tan θ－1＝0，即 θ＝π4时，
|PQ|2 取最小值 3，此时有|PQ|＝ 3.
即 P、Q 两点间的最小距离为 3.
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19
[迁移探究] (变换条件)已知圆 O1：x2＋(y－2)2＝1 上一点 P 与双曲线 x2－y2＝1 上一点 Q，求 P，Q 两点间 距离的最小值．
解：设 Q(sec θ，tan θ)， 由题意知|O1P|＋|PQ|≥|O1Q|. |O1Q|2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝

（1）求证：y1y2＝－P2，x1x2＝p2/4。
（2）若弦AB被焦点分成长为m，n的两部分，求证：
1/m＋1/n＝2/p。
（3）设θ为直线AB的倾斜角，求证：当θ＝90o时，取 得︱AB︱的最小值2p。
（4）求证：焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
（5）若弦AB过焦点，求证：以AB为直径的圆与准线 相切。
背 葡萄美酒夜光杯,
4cm
景
引 欲饮琵琶马上催.
入
8cm
问题1:如果测量得酒杯杯口宽 4cm，杯深8cm，试求出该抛 物线方程？
4cm 8cm
解：如图建立平面直角坐标系, 则可知A(-2,8),B(2,8) 所以设抛物线的方程
为： x2 = 2 py( p > 0)
A、B点在抛物线上，代入抛
1 物线方程，可得P= 4 ,
B
y2=2px(p>0)，由题意得，点A的坐标为
（40，30）代入方程得 p = 45
4
所以所求抛物线的标准方程是y2=
45
x
2
例2：过抛物线 y2 = 2 px( p > 0)
的焦点F的直线与抛物线相交于A,B两 点,自A、B向准线作垂线,垂足分别为
C、D,求证: CFD = 90
２
１ ３ ６ ５ ４
(0,0)
e=1
y2 = -2 px x 0, ( p > 0) y R
关于x 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
x2 = 2 py ( p > 0)
y 0, xR
关于y 轴 对称，无 对称中心
(0,0)
e=1
x2 = -2 py y 0,
关于y 轴 对称，无