人教版高中数学必修一第三章《函数概念与性质》解答题(含解析)

第三章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数20()(31)f x x =+-的定义域是（ ） A .1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .1,13⎛⎫⎪⎝⎭C .11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D .11,,133⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.已知函数1(2),()(3)(2),x f x f x x =+⎪⎩≥＜则(1)(9)f f +等于（ ）A .2-B .7-C .27D .73.函数111y x -=+-的图像是下列图像中的（ ）ABCD4.若函数y ax =与by x=-在(0,)+∞上都是减函数，则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上是（ ） A .增函数B .减函数C .先增后减D .先减后增5.函数2()(2)1f x ax a x =+++是偶函数，则函数的单调递增区间为（ ） A .[0,)+∞B .(,0]-∞C .(,)-∞+∞D .[1,)+∞6.函数2()(1)1f x mx m x =+-+在区间(,1]-∞上为减函数，则m 的取值范围是（ ）A .10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B .10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7.定义在R 上的偶函数()f x ，对任意()1212,[0,)x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x --＜，则（ ）A .(3)(2)(1)f f f -＜＜B .(1)(2)(3)f f f -＜＜C .(2)(1)(3)f f f -＜＜D .(3)(1)(2)f f f -＜＜8.若函数,1,()(23)1,1ax f x x a x x ⎧⎪=⎨⎪-+⎩＞≤是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A .2,13⎛⎫⎪⎝⎭B .3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦D .2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭9.设函数()f x 满足对任意的,m n （,m n 为正数）都有()()()f m n f m f n +=⋅且(1)2f =，则(2)(3)(2020)(1)(2)(2019)f f f f f f +++等于（ ）A .2 020B .2 019C .4 038D .4 04010.在函数([1,1])y x x =∈-的图像上有一点(,)P t t ，此函数图象与x 轴、直线1x =-及x t =围成图形的面积为S （如图的阴影部分所示），则S 与t 的函数关系的图象可表示为（ ）ABCD11.设奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式()()0f x f x x --＜的解集为（ ）A .(2,0)(2,)-+∞B .(2,0)(0,2)-C .(,2)(2,)-∞-+∞D .(,2)(0,2)-∞-12.已知定义在R 上的函数()f x ，若函数(1)y f x =+为偶函数，且()f x 对任意()1212,[1,)x x x x ∈+∞≠都有()()21210f x f x x x --＞，若(1)(2)f a f a -≥，则实数a 的取值范围是（ ）A .[1,1]-B .(,1]-∞-C .[1,)+∞D .(,1][1,)-∞-+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）13.设函数0()1,02x x f x x =⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩≥＜则((4))f f -=________.14.若函数2(1)2()1a x a f x x a -+-=+-为奇函数，则实数a =________. 15.设函数2()24f x x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[6,2]-，则m n +的取值范围是________.16.已知函数29,3,()6,3,x f x x x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩≥＜则不等式()22(34)f x x f x --＜的解集是________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.[10分]已知函数22(),[1,)x x af x x x++=∈+∞. （1）当12a =时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞＞恒成立，试求实数a 的取值范围； （3）讨论函数的单调性.（只写出结论即可）18.[12分]设函数2()23,f x x x a x =--+∈R .（1）小鹏同学认为，无论a 取何值，()f x 都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由. （2）若()f x 是偶函数，求a 的值.（3）在（2）的情况下，画出()y f x =的图象并指出其单调递增区间。

高中数学必修一第三章函数的概念与性质知识点梳理单选题>0，1、已知函数f(x)=(m2−m−1)x m3−1是幂函数，对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2若a,b∈R,a+b<0，则f(a)+f(b)的值（）A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断答案：B解析：根据函数为幂函数以及函数在(0,+∞)的单调性，可得m，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果.由题可知：函数f(x)=(m2−m−1)x m3−1是幂函数则m2−m−1=1⇒m=2或m=−1>0又对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2所以函数f(x)为(0,+∞)的增函数，故m=2所以f(x)=x7，又f(−x)=−f(x)，所以f(x)为R单调递增的奇函数由a+b<0，则a<−b，所以f(a)<f(−b)=−f(b)则f(a)+f(b)<0故选：B>小提示：本题考查幂函数的概念以及函数性质的应用，熟悉函数单调递增的几种表示，比如f(x1)−f(x2)x1−x20,[f(x1)−f(x2)]⋅(x1−x2)>0，属中档题.<0，且f(2)=0，则不2、定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2∈[0,+∞),(x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1等式xf(x)>0的解集是（）A．(−2,2)B．(−2,0)∪(2,+∞)C．(−∞,−2)∪(0,2)D．(−∞,−2)∪(2,+∞)分析：依题意可得f(x)在[0,+∞)上单调递减，根据偶函数的性质可得f (x )在(−∞,0)上单调递增，再根据f(2)=0，即可得到f (x )的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集； 解：因为函数f(x)满足对任意的x 1,x 2∈[0,+∞),(x 1≠x 2)，有f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1<0，即f(x)在[0,+∞)上单调递减，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )在(−∞,0)上单调递增， 又f(2)=0，所以f (−2)=f (2)=0，函数的大致图像可如下所示：所以当−2<x <2时f (x )>0，当x <−2或x >2时f (x )<0， 则不等式xf(x)>0等价于{f(x)>0x >0 或{f(x)<0x <0，解得0<x <2或x <−2，即原不等式的解集为(−∞,−2)∪(0,2)； 故选：C3、已知函数f (x )对于任意x 、y ∈R ，总有f (x )+f (y )=f (x +y )+2，且当x >0时，f (x )>2，若已知f (2)=3，则不等式f (x )+f (2x −2)>6的解集为（ ） A ．(2,+∞)B ．(1,+∞)C ．(3,+∞)D ．(4,+∞)分析：设g (x )=f (x )−2，分析出函数g (x )为R 上的增函数，将所求不等式变形为g (3x −2)>g (4)，可得出3x −2>4，即可求得原不等式的解集. 令g (x )=f (x )−2，则f (x )=g (x )+2，对任意的x 、y ∈R ，总有f (x )+f (y )=f (x +y )+2，则g (x )+g (y )=g (x +y )， 令y =0，可得g (x )+g (0)=g (x )，可得g (0)=0，令y =−x 时，则由g (x )+g (−x )=g (0)=0，即g (−x )=−g (x )， 当x >0时，f (x )>2，即g (x )>0，任取x 1、x 2∈R 且x 1>x 2，则g (x 1)+g (−x 2)=g (x 1−x 2)>0，即g (x 1)−g (x 2)>0，即g (x 1)>g (x 2)， 所以，函数g (x )在R 上为增函数，且有g (2)=f (2)−2=1，由f (x )+f (2x −2)>6，可得g (x )+g (2x −2)+4>6，即g (x )+g (2x −2)>2g (2)， 所以，g (3x −2)>2g (2)=g (4)，所以，3x −2>4，解得x >2. 因此，不等式f (x )+f (2x −2)>6的解集为(2,+∞). 故选：A. 4、函数f(x)=0√x−2定义域为（ ）A ．[2，+∞)B ．(2，+∞)C ．(2，3)∪(3，+∞)D ．[2，3)∪(3，+∞) 答案：C分析：要使函数有意义，分母不为零，底数不为零且偶次方根被开方数大于等于零. 要使函数f(x)=0√x−2有意义，则{x −3≠0x −2>0，解得x >2且x ≠3， 所以f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞). 故选：C.小提示：具体函数定义域的常见类型： （1）分式型函数，分母不为零；（2）无理型函数，偶次方根被开方数大于等于零；（3）对数型函数，真数大于零；（4）正切型函数，角的终边不能落在y轴上；（5）实际问题中的函数，要具有实际意义.5、下列函数既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的是（）A．y=x+1x B．y=−x3C．y=2−|x|D．y=−1x2答案：C分析：逐项判断函数奇偶性和单调性，得出答案.解析：A项y=x+1x，B项y=−x3均为定义域上的奇函数，排除；D项y=−1x2为定义域上的偶函数，在(0,+∞)单调递增，排除；C项y=2−|x|为定义域上的偶函数，且在(0,+∞)上单调递减.故选：C.6、函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（）A．f(x)+g(x)为奇函数B．f(x)+g(x)为偶函数C．f(x)g(x)为奇函数D．f(x)g(x)为偶函数答案：C分析：依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.令F1(x)=f(x)+g(x)，则F1(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)+g(x)≠−F1(x),且F1(−x)≠F1(x)，∴F1(x)既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；令F2(x)=f(x)g(x)，则F2(−x)=f(−x)g(−x)=−f(x)g(x)=−F2(x),且F2(−x)≠F2(x)，∴F2(x)是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；故选：C7、已知f(2x−1)=4x2+3，则f(x)=（）．A．x2−2x+4B．x2+2x C．x2−2x−1D．x2+2x+4答案：D分析：利用换元法求解函数解析式. 令t =2x −1，则x =t+12，f (t )=4(t+12)2+3=t 2+2t +4；所以f(x)=x 2+2x +4. 故选：D.8、下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A ．f(x)=x 2−x x，g (x )=x −1B ．f(x)=√x 2，g(x)=(√x)2C ． f (x )=x 2−2，g (t )＝t 2－2D ．f (x )=√x +1⋅√x −1，g(x)=√x 2−1 答案：C分析：根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案. 解：由题意得： 对于选项A ：f(x)=x 2−x x的定义域为{x|x ≠0}，g(x)=x −1的定义域为R ，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A 错误；对于选项B ：f(x)=√x 2的定义域为R ，g(x)=(√x)2的定义域为{x|x ≥0}，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B 错误；对于选项C ：f (x )=x 2−2的定义域为R ，g (t )=t 2−2的定义域为R ，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C 正确；对于选项D ：f (x )=√x +1⋅√x −1的定义域为{x|x ≥1}，g(x)=√x 2−1的定义域为{x|x ≤−1或x ≥1}，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D 错误. 故选：C 多选题9、已知f(2x −1)=4x 2，则下列结论正确的是A ．f(3)=9B ．f(−3)=4C ．f(x)=x 2D ．f(x)=(x +1)2答案：BD解析：利用换元法求出f(x)的解析式，再对选项进行一一验证，即可得答案. 令t =2x −1⇒x =t+12，∴f(t)=4(t+12)2=(t +1)2.∴f(3)=16,f(−3)=4,f(x)=(x +1)2. 故选：BD.小提示：本题考查换元法求函数的解析式、函数值的求解，考查运算求解能力，属于基础题.10、已知函数f (x )={kx +1,x ≤0log 2x,x >0，下列是关于函数y =f [f (x )]+1的零点个数的判断，其中正确的是（ ）A ．当k >0时，有3个零点B ．当k <0时，有2个零点C ．当k >0时，有4个零点D ．当k <0时，有1个零点 答案：CD解析：令y ＝0得f [f (x )]=−1，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论．令y =f [f (x )]+1=0，得f [f (x )]=−1，设f （x ）＝t ，则方程f [f (x )]=−1等价为f （t ）＝﹣1， ①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解， 由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．小提示：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．11、下列函数既是偶函数，在(0,+∞)上又是增函数的是（）A．y=x2+1B．y=2x C．y=|x|D．y=|1x−x|答案：AC分析：根据偶函数的定义和增函数的性质，逐个分析判断即可得解.对A，开口向上，且对称轴为x=0，所以y=x2+1是偶函数，在(0,+∞)上是增函数，故A正确；对B，y=2x为奇函数，故B错误；对C，y=|x|为偶函数，当x∈(0,+∞)时，y=x为增函数，故C正确；对D，令f(x)=|1x −x|，f(−x)=|1−x+x|=|1x−x|=f(x)为偶函数，当x∈(0,1)，y=1x−x为减函数，故D错误，故选：AC填空题12、有对应法则f：（1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→x2；（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；（3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→1x2；（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1；（5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.其中能构成从集合A到集合B的函数的有________(填序号)．答案：（1）(4)分析：利用函数的定义判断.（1）由函数的定义知，正确；（2）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误；（3）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误；（4）由函数的定义知，正确；（5）因为集合A不是数集，故错误；所以答案是：（1）(4)13、函数y=√7+6x−x2的定义域是_____.答案：[−1,7].分析：由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知得7+6x−x2≥0,即x2−6x−7≤0解得−1≤x≤7，故函数的定义域为[−1,7].小提示：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．14、已知函数f(x)={|lnx|,x>0，x2+4x+3,x≤0，若函数g(x)=[f(x)]2−4f(x)+m+1恰有8个零点，则m的范围为___________．答案：2≤m<3解析：设f(x)=t，则g(x)=[f(x)]2−4f(x)+m+1=0，转化为t2−4t+m+1=0，由g(x)有8个零点，转化为方程f(x)=t，t∈(0,3]有4个不同的实根，即m+1=−t2+4t在t∈(0,3]内有2个不同的实根，利用数形结合法求解.画出函数f(x)={|lnx|,x>0,x2+4x+3,x≤0,的图像如图所示，设f(x)=t，由g(x)=[f(x)]2−4f(x)+m+1=0，得t2−4t+m+1=0．因为g(x)有8个零点，所以方程f(x)=t有4个不同的实根，结合f(x)的图像可得在t∈(0,3]内有4个不同的实根．所以方程t2−4t+m+1=0必有两个不等的实数根，即m+1=−t2+4t在t∈(0,3]内有2个不同的实根，画出函数y=−t2+4t的图象，如图所示：结合图像可知，3≤m+1<4，故2≤m<3．小提示：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解解答题15、已知幂函数f(x)=(m2−2m+2)x3k−k2(k∈Z)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增.（1）求函数f(x)的解析式；（2）若f(2x−1)<f(2−x)，求x的取值范围：（3）若实数a,b(a,b∈R∗)满足2a+3b=7m，求3a+1+2b+1的最小值.答案：（1）f(x)=x2；（2）(−1,1)；（3）2．分析：（1）由幂函数定义得m值，由单调性得k的范围，结合奇偶性得k值．（2）利用偶函数和单调性解不等式；（3）由（1）得2a+3b=7，用“1”的代换凑配出定值，由基本不等式得最小值．（1）f(x)是幂函数，则m2−2m+2=1，m=1，又f(x)是偶函数，所以3k−k2=k(3−k)是偶数，f(x)在(0,+∞)上单调递增，则3k−k2>0，0<k<3，所以k=1或2．所以f(x)=x2；（2）由（1）偶函数f(x)在[0,+∞)上递增，f(2x−1)<f(2−x)⇔f(|2x−1|)<f(|2−x|)⇔|2x−1|2<|2−x|2⇔−1<x<1．所以x的范围是(−1,1)．（3）由（1）2a+3b=7，2(a+1)+3(b+1)=12，a>0,b>0，3 a+1+2b+1=112(3a+1+2b+1)[2(a+1)+3(b+1)]=112(12+9(b+1)a+1+2(a+1)b+1)≥112(12+2√9(b+1)a+1×4(a+1)b+1)=2，当且仅当9(b+1)a+1=4(a+1)b+1，即a=2,b=1时等号成立．所以3a+1+2b+1的最小值是2．。

第三章函数的概念与性质总分：120分时间：120分钟一、单选题（总分48分，每题4分)1．若函数y=的图象经过点(2，3)，则该函数的图象一定经过( )A．(1，6) B．(–1，6)C．(2，–3) D．(3，–2)【答案】A【解析】将代入函数解析式得，故，也即，经验证知A选项正确，故选A.2．对于集合，，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（）个A.个B.个C.个D.个【答案】C【解析】第一个图形中，有剩余元素，所以不能构成从到的函数第二个图形中，存在对应两个不同的，所以不能构成从到的函数第三个图形中，在时，对应两个不同的，所以不能构成从到的函数第四个图形中，每个都有唯一确定的与之对应，所以可以构成从到的函数综上所述，共有个图形不能构成从到的函数本题正确选项：3．设函数若，则实数（）A．-4或2 B．-4或-2 C．-2或4 D．-2或2【答案】A【解析】分类讨论：当时，有；当时，有或(舍去)；综上可得，实数-4或2 .本题选择A选项.4．已知函数的定义域为，则的定义域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】的定义域为，即，，所以，函数的定义域为，故选：C.5．函数的值域为A．B．RC．D．【答案】B【解析】解：函数在定义域上是单调增函数，且满足，的值域为R．故选：B．6．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，则f(1)的值等于( )A．11 B．2 C．5 D．－1【答案】B【解析】令2x＋1=1，解得：x=0∴f(1)=3×0+2=2故选：B7．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得的始终是匀速增长，开始时，的增长比较快，但中间有一段时间停止增长，在最后一段时间里，的增长又较快，但的值没有超过的值，结合所给的图象可知，B选项适合，故选B．8．已知当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是( )A.0<α<1B.α<0C.α<1D.α>1【答案】C【解析】由幂函数的图象特征知α<1.9．下列函数中，在区间上是增函数且是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】A.是偶函数,并且在区间时增函数，满足条件；B.不是偶函数,并且在上是减函数，不满足条件；C.是奇函数,并且在区间上时减函数，不满足条件；D.是偶函数，在区间上是减函数，不满足条件；故选A.10．下列哪一组函数相等（）A.与B.与C.与D.与【答案】D【解析】选项：定义域为；定义域为：两函数不相等选项：定义域为；定义域为：两函数不相等选项：定义域为；定义域为：两函数不相等选项：与定义域均为，且两函数相等本题正确选项：11．函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（）A．a>1 B．0<a<1 C．a<0 D．a<1【答案】A【解析】解：因为函数的定义域为R，所以的解为R，即函数的图像与x轴没有交点，，当时，函数与x轴有交点，故不成立；，当时，要使函数的图像与x轴没有交点，则，解得，故本题选A。

人教版高一上学期数学(必修1)《第三章函数的概念与性质》单元检测卷及答案考试时间：90分钟；满分：150分学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）函数f （x ）=√x +√4−x 2的定义域为（ ）A ．[﹣2，2]B ．[0，2]C ．（0，2]D ．[﹣2，0）∪（0，2]2．（5分）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ） A ．y 1=√x 2，y 2=(√x)2 B ．y 1＝|x |，y 2=√x 2C ．y 1=x 2−1x−1，y 2＝x +1D ．y 1=√x +1⋅√x −13．（5分）已知函数f(x)={x +1−x +3(x ≤1)(x ＞1)，则f[f(52)]的值为（ ）A ．52B ．32C ．12D ．−124．（5分）已知幂函数f （x ）＝（3m 2﹣11）x m 在（0，+∞）上单调递减，则f （4）＝（ ） A ．2B ．16C ．12D ．1165．（5分）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）A ．y ＝x 3B ．y ＝x 2C ．y ＝xD ．y =x 586．（5分）已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f （x ）＝3x 2﹣2x +m ，则f （x ）在[1，2]上的最大值为（ ） A ．1B ．8C ．﹣5D ．﹣167．（5分）已知函数f （x +1）是偶函数，当1＜x 1＜x 2时，[f （x 1）﹣f （x 2）]（x 1﹣x 2）＞0恒成立，设a =f(−12) b ＝f （2） c ＝f （3），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c8．（5分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述所用的时间．若用f （x ）表示学生掌握和接受概念的能力（f （x ）越大，表示学生的接受能力越强），x 表示提出和讲授概念的时间（单位：min ），长期的实验和分析表明，f （x ）与x 有以下关系：f(x)={−0.1x 2+2.6x +43，0＜x ≤1059，10＜x ≤16−3x +107.16＜x ≤30则下列说法错误的是（ ）A ．讲授开始时，学生的兴趣递增；中间有段时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散B ．讲课开始后第5分钟比讲课开始后第20分钟，学生的接受能力更强一点C ．讲课开始后第10分钟到第16分钟，学生的接受能力最强D ．需要13分钟讲解的复杂问题，老师可以在学生的注意力至少达到55以上的情况下完成 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（黄梅县校级期末）下列函数中，值域为[1，+∞）的是（ ） A ．f(x)=√x 2+1 B ．f(x)=2x+1x+1C ．f(x)=x +1−√2x −1D ．f （x ）＝x 3+110．（5分）（营口期末）已知幂函数f （x ）的图象经过点（4，2），则下列命题正确的有（ ） A ．函数f （x ）为非奇非偶函数 B ．函数f （x ）的定义域为RC ．f （x ）的单调递增区间为[0．+∞）D ．若x 2＞x 1＞0，则f(x 1)+f(x 2)2＞f(x 1+x 22)11．（5分）（瑶海区校级开学）下列说法不正确的是（ ） A ．函数f(x)=1x在定义域内是减函数 B ．若g （x ）是奇函数，则一定有g （0）＝0C ．已知函数f （x ）={−x 2−ax −5(x ≤1)a x (x ＞1)在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a 的取值范围是[﹣3，﹣1]D ．若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）的定义域为[−12，32]12．（5分）（新兴区校级期末）已知y ＝f （x ）是周期为4的奇函数，且当0≤x ≤2时f(x)={x ，0≤x ≤12−x ，1＜x ≤2，设g （x ）＝f （x ）+f （x +1），则（ ） A ．g （2022）＝1B ．函数y ＝g （x ）为周期函数C ．函数y ＝g （x ）在区间（6，7）上单调递减D ．函数y ＝g （x ）的图象既有对称轴又有对称中心 三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（南京模拟）函数f(x)=√−x 2+4x +12+1x−4的定义域为 ．14．（5分）（富阳市校级期中）某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k 是单位产品数Q 的函数k （Q ）＝40Q −120Q 2，则总利润L （Q ）的最大值是 ．15．（5分）（渝水区校级开学）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣4m +4）x m﹣2在（0，+∞）上单调递减，若正数a ，b 满足2a +3b ＝m ，求3a+2b 的最小值 ．16．（5分）（鹤峰县月考）已知定义域为[﹣2，2]的函数f （x ）在[﹣2，0]上单调递增，且f （x ）+f （﹣x ）＝0，若f(−1)=−12，则不等式f(2x −1)≤12的解集为 ． 四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（泰安期中）判断下列各组函数是否为相等函数： （1）f （x ）＝f （x ）=(x+3)(x−5)x+3，g （x ）＝x ﹣5； （2）f （x ）＝2x +1（x ∈Z ），g （x ）＝2x +1（x ∈R ）； （3）f （x ）＝|x +1|，g （x ）={x +1，x ≥−1−x −1，x ＜−1．18．（12分）（桂林开学）已知函数f （x ）＝x 3+2x ，x ∈R ． （1）判断函数f （x ）的奇偶性； （2）用定义证明函数f （x ）的单调性．19．（12分）（房山区期末）已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点(√2，2)．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1），试求实数a的取值范围．20．（12分）（虎丘区校级月考）已知函数f（x）＝x2﹣2x，g（x）＝a|x﹣2|，F（x）＝f（x）+g（x）．（1）a＝2，求F（x）在x∈[0，3]上的值域；（2）a＞2，求F（x）在x∈[0，3]上的值域．21．（12分）（越秀区校级期中）某车间生产一种仪器的固定成本是7500元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H（x）={400x−x2，(0≤x≤200)40000，(x＞200)，其中x是仪器的月产量．（利润＝总收入﹣总成本）．（Ⅰ）将利润表示为月产量x的函数；（Ⅱ）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润是多少元？22．（12分）函数f(x)=ax−b9−x2是定义在（﹣3，3）上的奇函数，且f(1)=14．（1）确定f（x）的解析式；（2）证明f（x）在（﹣3，3）上的单调性；（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）函数f（x）=1√x+√4−x2的定义域为（）A．[﹣2，2]B．[0，2]C．（0，2]D．[﹣2，0）∪（0，2]【解题思路】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解． 【解答过程】解：由题意{x ＞04−x 2≥0，解得0＜x ≤2．∴函数f （x ）=1√x√4−x 2的定义域为（0，2]． 故选：C ．2．（5分）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ） A ．y 1=√x 2 y 2=(√x)2 B ．y 1＝|x | y 2=√x 2C ．y 1=x 2−1x−1y 2＝x +1 D ．y 1=√x +1⋅√x −1【解题思路】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．【解答过程】解：对于选项A ，第一个函数的定义域为R ，第二个函数的定义域为[0，+∞），故错误； 对于选项B ，第一个函数与第二个函数的定义域都为R ，对应关系也相同，故正确； 对于选项C ，第一个函数的定义域为{x |x ≠1}，第二个函数的定义域为R ，故错误；对于选项D ，第一个函数的定义域为[1，+∞），第二个函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故错误； 故选：B ．3．（5分）已知函数f(x)={x +1−x +3(x ≤1)(x ＞1)，则f[f(52)]的值为（ ）A ．52B ．32C ．12D ．−12【解题思路】由已知中函数f(x)={x +1−x +3(x ≤1)(x ＞1)，先求出f(52)值，进而代入可求出f[f(52)]的值．【解答过程】解：∵已知函数f(x)={x +1−x +3(x ≤1)(x ＞1)∴f(52)=−52+3=12f[f(52)]=f(12)=12+1=32 故选：B ．4．（5分）已知幂函数f （x ）＝（3m 2﹣11）x m 在（0，+∞）上单调递减，则f （4）＝（ ） A ．2B ．16C ．12D ．116【解题思路】由题意，利用幂函数的定义，用待定系数法求出函数的解析式，可得要求函数的值． 【解答过程】解：由题意得，3m 2﹣11＝1，且m ＜0，解得m ＝﹣2 所以f （x ）＝x ﹣2，故f （4）＝4﹣2=116故选：D ．5．（5分）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（）A．y＝x3B．y＝x2C．y＝x D．y=x 5 8【解题思路】由题意，根据①对应的幂函数图象是上凸型的，故有幂指数α∈（0，1），从而得出结论．【解答过程】解：由于①对应的幂函数图象是上凸型的，故有幂指数α∈（0，1）故选：D．6．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f（x）＝3x2﹣2x+m，则f（x）在[1，2]上的最大值为（）A．1B．8C．﹣5D．﹣16【解题思路】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝m＝0，可得x≤0时，f（x）的解析式，由此可得f（x）在区间[﹣2，﹣1]上的单调性，结合奇偶性可得f（x）在[1，2]上为减函数，据此分析可得答案．【解答过程】解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，且x≤0时f（x）＝3x2﹣2x+m则有f（0）＝m＝0，即m＝0则f（x）＝3x2﹣2x，（x≤0）在区间[﹣2，﹣1]上，f（x）为减函数，则f（x）在[1，2]上为减函数则f（x）在[1，2]上的最大值f（1）＝﹣f（﹣1）＝﹣5故选：C．7．（5分）已知函数f（x+1）是偶函数，当1＜x1＜x2时，[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0恒成立，设a=f(−12 )，b＝f（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c【解题思路】由题意得f（x）的图象关于x＝1对称且在[1，+∞）上单调递增，结合对称性及单调性即可比较函数值大小．【解答过程】解：因为函数f（x+1）是偶函数所以f（x）的图象关于x＝1对称又当1＜x1＜x2时，[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0恒成立，即f（x）在[1，+∞）上单调递增a＝f（−12）＝f（52），b＝f（2），c＝f（3）所以c ＞a ＞b ． 故选：A ．8．（5分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述所用的时间．若用f （x ）表示学生掌握和接受概念的能力（f （x ）越大，表示学生的接受能力越强），x 表示提出和讲授概念的时间（单位：min ），长期的实验和分析表明，f （x ）与x 有以下关系：f(x)={−0.1x 2+2.6x +43，0＜x ≤1059，10＜x ≤16−3x +107.16＜x ≤30，则下列说法错误的是（ ）A ．讲授开始时，学生的兴趣递增；中间有段时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散B ．讲课开始后第5分钟比讲课开始后第20分钟，学生的接受能力更强一点C ．讲课开始后第10分钟到第16分钟，学生的接受能力最强D ．需要13分钟讲解的复杂问题，老师可以在学生的注意力至少达到55以上的情况下完成【解题思路】分段研究函数f （x ）的单调性，由此可判断选项A ，求出f （5）和f （20），比较大小即可判断选项B ，由函数的单调性以及最值，即可判断选项C ，计算学生注意力至少达到55以上的持续时间，与13分钟比较即可判断选项D ．【解答过程】解：由题意：f(x)={−0.1x 2+2.6x +43，0＜x ≤1059，10＜x ≤16−3x +107.16＜x ≤30当0＜x ≤10时f （x ）＝﹣0.1x 2+2.6x +43＝﹣0.1（x ﹣13）2+59.9 故函数f （x ）在（0，10]上单调递增，最大值为f （10）＝59.9； 当10＜x ≤16时，f （x ）＝59，故f （x ）为常数函数当16＜x ≤30时，f （x ）＝﹣3x +107，故f （x ）单调递减，所以f （x ）＜f （16）＝59则讲授开始时，学生的兴趣递增；中间有段时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散故选项A 正确；因为f （5）＝﹣0.1×（5﹣13）2+59.9＝59.9﹣6.4＝53.5 f （20）＝﹣3×20+107＝47＜53.5所以讲课开始后第5分钟比讲课开始第20分钟，学生的接受能力更强一点 故选项B 正确；由选项A 的分析可知，讲课开始后第10分钟到第16分钟，学生的接受能力最强 故选项C 正确；当0＜x ≤10时，令f （x ）＝55则﹣0.1×（x ﹣13）2＝﹣4.9，所以（x ﹣13）2＝49解得x ＝20或x ＝6 又0＜x ≤10，故x ＝6当16＜x ≤30时，令f （x ）＝55，则﹣3x +107＝55 解得x ＝1713因此学生达到（或超过）55的接受能力的时间为1713−6＝1113＜13所以需要13分钟讲解的复杂问题，老师不可以在学生的注意力至少达到55以上的情况下完成 故选项D 错误． 故选：D ．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（黄梅县校级期末）下列函数中，值域为[1，+∞）的是（ ） A ．f(x)=√x 2+1 B ．f(x)=2x+1x+1C ．f(x)=x +1−√2x −1D ．f （x ）＝x 3+1【解题思路】结合二次函数，幂函数，反比例函数的性质先求出各选项中函数的值域，然后检验各选项即可判断．【解答过程】解：A ：f （x ）=√x 2+1≥1，符合题意； B ：f （x ）=2x+1x+1=2−1x+1≠2，不符合题意；C ：令t =√2x −1，则x =1+t 22且t ≥0所以y ＝1+1+t 22−t =12(t 2−2t +3)=12（t ﹣1）2+1≥1，符合题意；根据幂函数性质可得f （x ）＝1+x 3的值域为R ，不符合题意． 故选：AC ．10．（5分）（营口期末）已知幂函数f （x ）的图象经过点（4，2），则下列命题正确的有（ ） A ．函数f （x ）为非奇非偶函数 B ．函数f （x ）的定义域为RC ．f （x ）的单调递增区间为[0．+∞）D ．若x 2＞x 1＞0，则f(x 1)+f(x 2)2＞f(x 1+x 22)【解题思路】求出函数的解析式，根据幂函数的性质分别判断即可． 【解答过程】解：设f （x ）＝x α，则4α＝2，解得α=12故f （x ）=√x ，函数的定义域是[0，+∞），函数f （x ）是非奇非偶函数，故A 正确，B 错误 且f （x ）=√x 在[0，+∞）为增函数，故C 正确；因为函数f （x ）=√x 是凸函数，所以对定义域内任意x 2＞x 1＞0，都有f(x 1)+f(x 2)2＜f(x 1+x 22)，故D错误 故选：AC ．11．（5分）（瑶海区校级开学）下列说法不正确的是（ ） A ．函数f(x)=1x在定义域内是减函数 B ．若g （x ）是奇函数，则一定有g （0）＝0C ．已知函数f （x ）={−x 2−ax −5(x ≤1)a x (x ＞1)在（﹣∞，+∞）上是增函数，则实数a 的取值范围是[﹣3，﹣1]D ．若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则f （2x ﹣1）的定义域为[−12，32]【解题思路】由反比例函数的性质可判断A ，由奇函数的性质可判断B ，由分段函数的单调性可判断C ，由抽象函数的定义域可判断D ．【解答过程】解：对于A ，由反比例函数的性质可知，函数f （x ）=1x 在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递减，但是在定义域内不是减函数，故A 错误对于B ，若g （x ）是奇函数，不一定有g （0）＝0，例如g （x ）=1x 为奇函数，但在x ＝0处无意义，故B 错误对于C ，若函数f （x ）={−x 2−ax −5(x ≤1)a x (x ＞1)在（﹣∞，+∞）上是增函数，则{−a2≥1−1−a −5≤a a ＜0解得﹣3≤a ≤﹣2，故C 错误对于D ，若f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则﹣2≤2x ﹣1≤2 解得−12≤x ≤32所以f （2x ﹣1）的定义域为[−12，32]，故D 正确故选：ABC ．12．（5分）（新兴区校级期末）已知y ＝f （x ）是周期为4的奇函数，且当0≤x ≤2时，f(x)={x ，0≤x ≤12−x ，1＜x ≤2，设g （x ）＝f （x ）+f （x +1），则（ ） A ．g （2022）＝1B ．函数y ＝g （x ）为周期函数C ．函数y ＝g （x ）在区间（6，7）上单调递减D ．函数y ＝g （x ）的图象既有对称轴又有对称中心【解题思路】根据题意，先分析函数g （x ）在区间[﹣2，2]上的解析式，依次分析选项是否正确，即可得答案．【解答过程】解：根据题意，y ＝f （x ）是周期为4的奇函数，且当0≤x ≤2时，f(x)={x ，0≤x ≤12−x ，1＜x ≤2当﹣2≤x ＜﹣1时，1＜﹣x ≤2，f （﹣x ）＝2+x ，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣2﹣x 当﹣1≤x ＜0时，0＜﹣x ≤1，f （﹣x ）＝﹣x ，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝x 对于g （x ）＝f （x ）+f （x +1）当﹣2≤x ＜﹣1时，﹣1≤x +1＜0，g （x ）＝f （x ）+f （x +1）＝﹣1 当﹣1≤x ＜0时，0≤x +1＜1，g （x ）＝f （x ）+f （x +1）＝2x +1 当0≤x ＜1时，1≤x +1＜2，g （x ）＝f （x ）+f （x +1）＝1 当1≤x ＜2时，2≤x +1＜3，g （x ）＝f （x ）+f （x +1）＝3﹣2x 故在区间[﹣2，2]上，g （x ）={−1，−2≤x ＜−12x +1，−1≤x ＜01，0≤x ＜13−2x ，1≤x ≤2；由此分析选项：对于B ，因为f （x ）是周期为4的奇函数 所以f （x +4）＝f （x ）所以g （x +4）＝f （x +4）+f （x +5）＝f （x ）+f （x +1）＝g （x ） 所以函数y ＝g （x ）是以4为周期的周期函数，故B 正确；对于A ，函数y ＝g （x ）是以4为周期的周期函数，则g （2022）＝g （2）＝f （2）+f （3）＝f （2）+f （﹣1）＝f （2）﹣f （1）＝2﹣2﹣1＝﹣1，故A 错误；对于C ，函数y ＝g （x ）是以4为周期的周期函数，在区间（6，7）上，有g （x ）＝﹣1，C 错误； 对于D ，函数y ＝g （x ）的图象的对称中心为（2n −12，0），n ∈Z ，对称轴为x ＝2n +12，n ∈Z ，故D 正确 故选：BD ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（南京模拟）函数f(x)=√−x 2+4x +12+1x−4的定义域为 [﹣2，4）∪（4，6] ． 【解题思路】根据根式的定义及分式的定义即可得到不等式组，即可求解．【解答过程】解：由题可得{−x 2+4x +12≥0x −4≠0，解得，﹣2≤x ≤6，且x ≠4；∴f （x ）的定义域为：[﹣2，4）∪（4，6]． 故答案为：[﹣2，4）∪（4，6]．14．（5分）（富阳市校级期中）某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k 是单位产品数Q 的函数，k （Q ）＝40Q −120Q 2，则总利润L （Q ）的最大值是 2500万元 ．【解题思路】先计算单位产品数Q 时的总成本，再确定利润L （Q ），利用配方法，即可求得结论．【解答过程】解：∵每生产一单位产品，成本增加10万元，∴单位产品数Q 时的总成本为2000+10Q 万元∵k （Q ）＝40Q −120Q 2 ∴利润L （Q ）＝40Q −120Q 2﹣10Q ﹣2000=−120Q 2+30Q ﹣2000=−120（Q ﹣300）2+2500∴Q ＝300时，利润L （Q ）的最大值是2500万元故答案为：2500万元.15．（5分）（渝水区校级开学）已知幂函数f （x ）＝（m 2﹣4m +4）x m﹣2在（0，+∞）上单调递减，若正数a ，b 满足2a +3b ＝m ，求3a +2b 的最小值 24 ． 【解题思路】结合幂函数性质求出f （x ），利用基本不等式能求出3a +2b 的最小值． 【解答过程】解：∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣4m +4）x m﹣2在（0，+∞）上单调递减 ∴{m 2−4m +4=1m −2＜0，解得m ＝1 ∴正数a ，b 满足2a +3b ＝1∴3a +2b =（3a +2b）（2a +3b ）＝12+9b a +4a b ≥12+2√9b a ⋅4a b =24 当且仅当9b a =4a b ，即2a ＝3b =12时，等号成立 ∴3a +2b的最小值为24． 故答案为：24．16．（5分）（鹤峰县月考）已知定义域为[﹣2，2]的函数f （x ）在[﹣2，0]上单调递增，且f （x ）+f （﹣x ）＝0，若f(−1)=−12，则不等式f(2x −1)≤12的解集为 {x |12≤x ≤1} ． 【解题思路】由已知可判断出函数f （x ）为奇函数且在[﹣2，2]上单调递增，结合单调性及奇偶性即可求解．【解答过程】解：由题意可知f （x ）为奇函数且在[﹣2，0]上单调递增根据奇函数对称性可知f （x ）在[﹣2，2]上单调递增又f(−1)=−12，则f （1）=12则不等式f(2x −1)≤12可转化为f （2x ﹣1）≤f （1）所以﹣2≤2x ﹣1≤1解得12≤x ≤1． 故答案为：{x |12≤x ≤1}.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（泰安期中）判断下列各组函数是否为相等函数：（1）f （x ）＝f （x ）=(x+3)(x−5)x+3，g （x ）＝x ﹣5； （2）f （x ）＝2x +1（x ∈Z ），g （x ）＝2x +1（x ∈R ）；（3）f （x ）＝|x +1|，g （x ）={x +1，x ≥−1−x −1，x ＜−1． 【解题思路】运用函数的定义域和对应关系完全相同，才是相等函数，对（1）（2）（3）一一判断，即可得到结论．【解答过程】解：（1）（2）不是，（3）是．对于（1），f （x ）的定义域为{x |x ≠﹣3}，g （x ）的定义域为R ；对于（2），f （x ）的定义域为Z ，g （x ）的定义域为R所以（1）（2）中两组函数均不是相等函数；对于（3），两函数的定义域、对应关系均相同，故为相等函数．18．（12分）（桂林开学）已知函数f （x ）＝x 3+2x ，x ∈R ．（1）判断函数f （x ）的奇偶性；（2）用定义证明函数f （x ）的单调性．【解题思路】（1）根据题意，先分析函数的定义域，再分析f （x ）与f （﹣x ）的关系，即可得答案；（2）根据题意，利用作差法分析可得结论．【解答过程】解：（1）根据题意，函数f （x ）＝x 3+2x ，x ∈R ，其定义域为R有f （﹣x ）＝﹣（x 3+2x ）＝﹣f （x ），函数f （x ）为奇函数；（2）根据题意，设x 1＜x 2f （x 1）﹣f （x 2）＝（x 13+2x 1）﹣（x 23+2x 2）＝（x 1﹣x 2）（x 12+x 1x 2+x 22+2）＝（x 1﹣x 2）[（x 1+12x 2）2+2+34x 22] 又由x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）＜0则f （x ）在R 上为增函数．19．（12分）（房山区期末）已知幂函数f （x ）＝x α的图象经过点(√2，2)．（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若函数f （x ）满足条件f （2﹣a ）＞f （a ﹣1），试求实数a 的取值范围．【解题思路】（Ⅰ）利用待定系数法求解．（Ⅱ）由偶函数的性质可知原不等式可化为f （|2﹣a |）＞f （|a ﹣1|），再利用函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，即可求出结果．【解答过程】解：（Ⅰ）∵幂函数f （x ）＝x α的图象经过点(√2，2)∴(√2)α=2，∴α＝2∴f （x ）＝x 2．（Ⅱ）函数f （x ）＝x 2为偶函数，在（0，+∞）上单调递增，且满足f （x ）＝f （|x |）∴不等式f （2﹣a ）＞f （a ﹣1）可化为f （|2﹣a |）＞f （|a ﹣1|）∴|2﹣a |＞|a ﹣1|两边平方得（2﹣a ）2＞（a ﹣1）2解得a ＜32即实数a 的取值范围为（﹣∞，32）． 20．（12分）（虎丘区校级月考）已知函数f （x ）＝x 2﹣2x ，g （x ）＝a |x ﹣2|，F （x ）＝f （x ）+g （x ）．（1）a ＝2，求F （x ）在x ∈[0，3]上的值域；（2）a ＞2，求F （x ）在x ∈[0，3]上的值域．【解题思路】（1）求出F （x ）的解析式，再结合图象可求出值域．（2）求出F （x ）的解析式，分0≤x ≤2和2＜x ≤3讨论．【解答过程】解：（1）当a ＝2时F （x ）＝x 2﹣2x +2|x ﹣2|={x 2−4x +4，(0≤x ≤2)x 2−4，(2＜x ≤3) 当0≤x ≤2时，F （x ）＝x 2﹣4x +4＝（x ﹣2）2，则值域为[0，4]；当2＜x ≤3时，F （x ）＝x 2﹣4，则值域为（0，5]；∴F （x ）的值域为[0，5]．（2）当a ＞2时，F （x ）={x 2−(a +2)x +2a ，(0≤x ≤2)x 2+(a −2)x −2a ，(2＜x ≤3)当0≤x ≤2时，F （x ）＝x 2﹣（a +2）x +2a ，对称轴为x =a+22≥2，所以值域为[0，2a ]；当2＜x ≤3时，F （x ）＝x 2+（a ﹣2）x ﹣2a ，对称轴为x =2−a 2＜0，所以值域为[0，a +3]；∴当2＜a ＜3时，F （x ）的值域为[0，a +3]；当a ≥3时，F （x ）的值域为[0，2a ]．21．（12分）（越秀区校级期中）某车间生产一种仪器的固定成本是7500元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数：H（x）={400x−x2，(0≤x≤200)40000，(x＞200)，其中x是仪器的月产量．（利润＝总收入﹣总成本）．（Ⅰ）将利润表示为月产量x的函数；（Ⅱ）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润是多少元？【解题思路】（Ⅰ）设月产量为x台时的利润为f（x）．则总成本t＝7500+100x，由f（x）＝H（x）﹣t，可得答案；（Ⅱ）根据（I）中函数的解析式，分类讨论得到函数的性质，进而可得最值．【解答过程】解：（Ⅰ）设月产量为x台时的利润为f（x）．则总成本t＝7500+100x又∵f（x）＝H（x）﹣t∴利润f（x）={−x2+300x−7500，(0≤x≤200)−100x+32500，(x＞200)（Ⅱ）当0≤x≤200时，f（x）＝﹣（x﹣150）2+15000∴f（x）max＝f（150）＝15000；当x＞200时，f（x）＝﹣100x+32500在（200，+∞）上是减函数∴f（x）＜f（200）＝12500．而12500＜15000，所以当x＝150时，f（x）取最大，最大为15000元．答：当月产量为150台时，该车间所获利润最大，最大利润是15000元．22．（12分）函数f(x)=ax−b9−x2是定义在（﹣3，3）上的奇函数，且f(1)=14．（1）确定f（x）的解析式；（2）证明f（x）在（﹣3，3）上的单调性；（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．【解题思路】（1）由题意，根据f（0）＝0、f（1）=14，求出b和a的值，可得函数的解析式．（2）由题意，利用单调性函数的定义，证明函数的单调性．（3）由题意，利用函数的定义域和单调性解不等式，求得t的范围．【解答过程】解：（1）∵函数f(x)=ax−b9−x2是定义在（﹣3，3）上的奇函数，则f(0)=−b9=0，解可得b＝0．又由f（1）=14，则有f(1)=a8=14，解可得a＝2，故f(x)=2x9−x2．（2）由（1）的结论f(x)=2x9−x2，设﹣3＜x1＜x2＜3则f(x1)−f(x2)=2x19−x12−2x29−x22=2x1(9−x22)−2x2(9−x12)(9−x12)(9−x22)=2(9+x1x2)(x1−x2)(9−x12)(9−x22)再根据﹣3＜x 1＜x 2＜3 可得9+x 1x 2＞0 x 1﹣x 2＜0 9−x 12＞0 9−x 22＞0故有f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）可得函数f （x ）在（﹣3，3）上为增函数．（3）由（1）（2）知f （x ）为奇函数且在（﹣3，3）上为增函数关于t 的不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0，即式f （t ﹣1）＜﹣f （t ）＝f （﹣t ）可得{−3＜t −3＜3−3＜t ＜3t −1＜−t，解可得：−2＜t ＜12 即不等式的解集为(−2，12)．。

高中数学人教A版必修一第三章《函数的概念与性质》解答题提高训练 (28)一、解答题（本大题共29小题，共348.0分）1.已知函数f(x)=|x|(x−a)+x−3,a∈R．(1)若函数f(x)在R上为增函数，求a的取值范围；(2)若a<0，试求函数f(x)在x∈[−2,2]时的最小值．2.已知函数f(x)=2a x−4+a(a>0且a≠1)是定义在R上的奇函数．2a x+a(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求函数f(x)的值域；(Ⅲ)当x∈[1,2]时，2+mf(x)−2x≥0恒成立，求实数m的取值范围．3.已知函数f(x)=|1−1丨(x>0)x(1)当0<a<b且f(a)=f(b)时，①求1a +1b的值；②求1a2+1b2的取值范围；(2)是否存在实数a，b(a<b)，使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a,b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．4.已知函数f(x)=m−g(x)1+g(x)是定义在R上的奇函数，其中g(x)为指数函数，且y=g(x)的图象过定点(2,9)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的方程，f(x)=a有解，求实数a的取值范围；(3)若对任意的t∈[0,5]，不等式f(t2+2kt)+f(−2t2−4)>0恒成立，求实数k的取值范围．5.已知函数y=f(x)(x∈R)是偶函数，当x≥0时，f(x)=x2−2x．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间[a,a+2]上具有单调性，求实数a的取值范围．6.若函数f(x)与g(x)对任意x1∈D，总存在唯一的x2∈D，使f(x1)g(x2)=m成立，则称f(x)是g(x)在区间D上的“m阶伴随函数”；当f(x)=g(x)时，则称f(x)为区间D上的“m阶自伴函数”．(1)判断f(x)=log2(x2+1)是否为区间[1,√7]上的“2阶自伴函数”？并说明理由；(2)若函数f(x)=4x−1为区间[a,b](b>a>0)上的“1阶自伴函数”，求2a2+b的最小值；ab(3)若f(x)=4是g(x)=x2−2ax+a2−1在区间[0,2]上的“2阶伴随函数”，求实数a的取x+2值范围．(0<a<1)．7.设函数f(x)=log a x−2x+2(1)若a=1，解不等式f(x)>−1；2(2)是否存在常数m,n∈(2,+∞)时，使函数在[m,n]上的值域为[log a a(n−1),log a a(m−1)]，若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．8.如果函数y=f(x)的定义域为R，且存在实常数a，使得对于定义域内任意x，都有f(x+a)=f(−x)成立，则称此函数f(x)具有“性质P(a)”.(1)判断函数y=|x+1|是否具有“P(a)性质”，若具有“P(a)性质”，求出所有a的值的集合，若不具有“P(a)性质”，请说明理由；(2)已知函数y=f(x)具有“P(0)性质”，且当x≤0时，f(x)=(x+m)2，求函数y=f(x)在区间[0,1]上的值域；9.设f(x)是R上的减函数，且对任意实数x，y，都有f(x+y)=f(x)+f(y)；函数g(x)=x2+ax+b(a,b∈R).(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)若a=−1，b=5，且______．(①存在t∈[−3,2]；②对任意t∈[−3,2])，不等式f(g(t)−1)+f(3t+m)>0成立，求实数m的取值范围；请从以上两个条件中选择一个填在横线处，并完成求解．(3)当a>0时，若关于x的不等式g(x)≤0与g(g(x))≤3的解集相等且非空，求a的取值范围．10.已知函数，且a≠1)，且f(3)=1．(1)求a的值，并写出函数f(x)的定义域；(2)设函数，试判断g(x)的奇偶性，并说明理由；(3)若不等式对任意x∈[1,2]恒成立，求实数t的取值范围．11.设函数f(x)=ka x−a−x(a>0且a≠1)是奇函数．(1)求常数k的值，并证明0<a<1时f(x)在定义域内为减函数；(2)若f(1)=83，且函数g(x)=a2x+a−2x−2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为−2，求m的值．12.已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(−1,1)上的奇函数，且f(12)=25．(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(−1,1)上是增函数；(3)解不等式：f(t−1)+f(t)<0．13.设函数f(x)=x+ax(x≠0.且x，a∈R)．(1)判断f(x)的奇偶性，并用定义证明；(2)若不等式f(2x)<−2x+12x+6在[0,2]上恒成立，试求实数a的取值范围；(3)(说明：如果要用到函数的单调性，可直接交代单调性，不必证明．)g(x)=1−x1+x ,x∈[0,12]的值域为A.函数f(x)在x∈A上的最大值为M，最小值为m，若2m>M成立，求正数a的取值范围．14.已知函数f(x)=|x−a|+|x2−b2|，其中a，b，x∈R．(Ⅰ)若y=f(x)是偶函数，求实数a的值；(Ⅱ)当a=b=1时，求函数y=f(x)的单调区间；(Ⅲ)若对任意x∈[0,1]，都有f(x)≤a+b2恒成立，求实数a+b2的最小值．15.已知函数f(x)=(12)x，函数g(x)=log2x.(1)若g(mx2+2x+m)的定义域为R，求实数m的取值范围；(2)当x∈[−1,1]时，函数y=[f(x)]2−2af(x)+3的最小值为1，求实数a的值．(3)已知G(x)为偶函数，H(x)为奇函数，且满足G(x)−H(x)=2x，若存在x∈[−1,1]，使得不等式m·G(x)+H(x)≤0有解，求实数m的最大值．。

高中数学（必修一）第三章 函数的概念与性质幂函数 练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：_____________一、单选题1．下列幂函数中，定义域为R 的是（ ） A ．1y x -= B ．12y x -=C ．13y x =D ．12y x = 2．已知幂函数n y x =在第一象限内的图像如图所示，若112,2,,22n ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭则与曲线1C 、2C 、3C、4C 对应的n 的值依次为（ ）A ．12-、2-、2、12B ．2、12、2-、12-C ．2、12、12-、2-D ．12-、2-、12、23．四个幂函数在同一平面直角坐标系中第一象限内的图象如图所示，则幂函数12y x =的图象是（ ）A ．①B ．①C ．①D ．①4．下列函数中，既是偶函数，又满足值域为R 的是（ ） A ．y =x 2B ．1||||y x x =+C ．y =tan|x |D ．y =|sin x |5．如下图所示曲线是幂函数y ＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±12四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为（ ）A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2，2，12 D ．.2，12，－2，－126．若幂函数()f x 经过点，且()8f a =，则=a （ ）A ．2B ．3C ．128D ．5127．函数()0a y x x =≥和函数()0xy a x =≥在同一坐标系下的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．式子）A ．1633- B ．1633--C ．1633+D ．1633-+9．对,a b ∈R ，记{},max ,,a a ba b b a b ≥⎧=⎨<⎩，函数()}2maxf x x -=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、解答题10．设函数()222f x x x =-+，[],1,x t t t R ∈+∈（1）求实数t 的取值范围，使()y f x =在区间[],1t t +上是单调函数； （2）求函数()f x 的最小值． 11．已知幂函数()223m m y x m --=∈Z 的图像与x 、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的草图.12．已知幂函数()()25mf x m m x =+-在()0,∞+上单调递增.(1)求()f x 的解析式；(2)若()31f x x k >+-在[1,1]-上恒成立，求实数k 的取值范围. 13．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()21x ax b f x x +=++.(1)求实数a ，b 的值；(2)当x ∈⎤⎦，不等式()()22f x mx x ≥-有解，求实数m 的取值范围.三、填空题14．若点(2,4)P ，0(3,)Q y 均在幂函数()y f x =的图象上，则实数0y =_____．15．已知实数a ，b 满足等式a 12＝b 13，下列五个关系式：①0<b<a<1；①－1<a<b<0；①1<a<b ；①－1<b<a<0；①a ＝b.其中可能成立的式子有________．(填上所有可能成立式子的序号) 16．函数3223125y x x x =--+在[0，3]上的最大值等于__________.17．定义{}()max ,()a ab a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，则{}2max 1,2x x x +--的最小值为_________.参考答案：1．C【分析】直接根据幂函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于0才有意义，分式则必须分母不为0【详解】对选项A，则有：0x≠对选项B，则有：0x>对选项C，定义域为：R对选项D，则有：0x≥故答案选：C2．C【解析】本题可根据幂函数的图像与性质并结合题目中的图像即可得出结果.【详解】由幂函数的图像与性质可知：在第一象限内，在1x=的右侧部分的图像，图像由下至上，幂的指数依次增大，故曲线1C、2C、3C、4C对应的n的值依次为：2、12、12-、2-，故选：C.【点睛】本题考查幂函数的图像与性质，在第一象限内，幂函数在1x=的右侧部分的图像，图像由下至上，幂的指数依次增大，考查数形结合思想，是简单题.3．D【解析】由幂函数12y x=为增函数，且增加的速度比较缓慢作答．【详解】幂函数12y x=为增函数，且增加的速度比较缓慢，只有①符合.故选：D.【点睛】本题考查幂函数的图象与性质，属于基础题．4．C【分析】由函数的值域首先排除ABD，对C进行检验可得．【详解】选项A，B中函数值不能为负，值域不能R，故AB错误，选项D值域为[]0,1，故D也错误，那么选项C为偶函数，当3(,)22xππ∈时，tan tany x x==，值域是R，因此在定义域内函数值域为R，故选：C5．B【分析】在图象中，作出直线1x m =>，根据直线x m =和曲线交点的纵坐标的大小，可得曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的α应是从大到小排列．【详解】在图象中，作出直线1x m =>，直线x m =和曲线的交点依次为,,,A B C D , 所以A B C D y y y y >>>，所以C A B D m m m m αααα>>>， 所以A B C D αααα>>>，所以可得曲线1C ，2C ，3C ，4C 相应的α依次为 2，12，－12，－2 故选：B【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．A【解析】设幂函数()f x x α=，代入点求出3α=，即可求解.【详解】设()f x x α=，因为幂函数()f x 经过点，所以f α==， 解得3α=，所以()38f a a ==，解得2a =， 故选：A 7．C【分析】按照x y a =和a y x =的图像特征依次判断4个选项即可.【详解】()0a y x x =≥必过(0,0)，()0xy a x =≥必过(0,1)，D 错误；A 选项：由x y a =图像知1a >，由a y x =图像可知01a <<，A 错误；B 选项：由x y a =图像知01a <<，由a y x =图像可知1a >，B 错误；C 选项：由x y a =图像知01a <<，由a y x =图像可知01a <<，C 正确. 故选：C. 8．A【分析】利用根式与分数指数幂互化和指数幂运算求解.【详解】231322333⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭， 21131326223333--=-=-，故选：A 9．A【分析】由()}2maxf x x -=2x -的较大者，在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，取图象较高者即可得()f x 的图象.【详解】y =2y x 都是偶函数，当0x >时，12y x =在()0,∞+上单调递增，2yx 在()0,∞+上单调递减，当1x =2x -=在同一平面直角坐标系中作出y =和2yx 的图象，如图：()}2maxf x x -=2x -的较大者，所以()f x 图象是两个图象较高的，故选：A.10．（1）(][),01,-∞⋃+∞；（2）()2min21,01,0122,1t t f x t t t t ⎧+≤⎪=<<⎨⎪-+≥⎩【解析】（1）由题可得11t +≤或1t ≥，解出即可；（2）讨论对称轴在区间[],1t t +的位置，根据单调性即可求出. 【详解】（1）()f x 的对称轴为1x =，要使()y f x =在区间[],1t t +上是单调函数， 则11t +≤或1t ≥，解得0t ≤或1t ≥， 即t 的取值范围为(][),01,-∞⋃+∞；（2）()f x 的对称轴为1x =，开口向上，则当1t ≥时，()f x 在[],1t t +单调递增，()()2min 22f x f t t t ∴==-+，当11t t <<+，即01t <<时，()()min 11f x f ==，当11t +≤，即0t ≤时，()f x 在[],1t t +单调递减，()()2min 11f x f t t ∴=+=+，综上，()2min21,01,0122,1t t f x t t t t ⎧+≤⎪=<<⎨⎪-+≥⎩. 11．1m = ；草图见祥解【分析】根据幂函数的性质，可得到2230m m --<，再有图像关于y 对称，即可求得m 的值． 【详解】因为幂函数223()m m y x m Z --=∈的图像与坐标轴无交点，所以2230m m --<，解得13m -<<，又因为m Z ∈，所以0,1,2m =，因为图像关于y 对称，所以幂函数为偶函数， 当0m =时，则3y x -=为奇函数，不满足题意； 当1m =时，则4y x -= 为偶函数，满足题意； 当2m =时，则3y x -=为奇函数，不满足题意； 综上所述：1m = 草图（如下）【点睛】本题考查幂函数的性质和图像，需熟练掌握幂函数的性质和图像． 12．(1)2()f x x = (2)(),1-∞-【分析】（1）根据幂函数的定义和()f x 的单调性，求出m 得值； （2）结合第一问求出的2()f x x =，利用函数的单调性，解决恒成立问题. (1)()f x 是幂函数，则251m m +-=，2m ∴=或-3，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则2m =所以2()f x x =； (2)()31f x x k >+-即2310x x k -+->，要使此不等式在[1,1]-上恒成立，只需使函数()231g x x x k =-+-在[1,1]-上的最小值大于0即可.①()231g x x x k =-+-在[1,1]-上单调递减，①()()11min g x g k ==--， 由10k -->，得1k <-.因此满足条件的实数k 的取值范围是(),1-∞-. 13．(1)0a =，0b = (2)1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）根据定义在R 上的奇函数的性质以及定义即可解出；（2）由（1）可知，()21x f x x =+，根据分离参数法可得()()22112m x x ≤+-，再求出()()22112x x +-的最大值，即得解． (1)因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f a ==，()()1111022f f b b-+-=+=+-，解得0b =，检验可知函数()21xf x x =+为奇函数，故0a =，0b =． (2)由（1）可知，()21x f x x =+，而x ∈⎤⎦，所以 ()()22f x mx x ≥-可化为()()22112m x x ≤+-，设[]23,4t x =∈，则()()()()[]222219121224,1024x x t t t t t ⎛⎫+-=+-=--=--∈ ⎪⎝⎭，而不等式()()22f x mx x ≥-有解等价于()()22max11412m x x ⎡⎤⎢⎥≤=+-⎢⎥⎣⎦，故实数m 的取值范围为1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．14．9【分析】设出幂函数的解析式，代入P 点坐标求得这个解析式，然后令3x =求得0y 的值.【详解】设幂函数为()f x x α=，将()2,4P 代入得24,2αα==，所以()2f x x =，令3x =，求得2039y ==.【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查幂函数上点的坐标，属于基础题. 15．①①①【分析】在同一坐标系中画出函数121y x =，132y x =的图象，结合函数图象，进行动态分析可得，当01b a <<<时，当1a b <<时，当1a b ==时，1132a b =可能成立，10b a -<<<、10a b -<<<时，12a 没意义，进而即可得到结论【详解】10b a -<<<、10a b -<<<时，12a 没意义，①①不可能成立；’画出121y x =与132y x =的图象(如图)， 已知1132x x m ==，作直线y m =， 若0m =或1，则a b =，①能成立； 若01m <<，则01b a <<<，①能成立；若1m ，则1a b <<，①能成立，所以可能成立的式子有①①①，故答案为①①①.【点睛】本题主要考查幂函数的图象与性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，以及数形结合思想的应用，属于中档题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．16．5【分析】对3223125y x x x =--+求导，根据单调性求最大值.【详解】3223125y x x x =--+，则266126(2)(1)y x x x x '=--=-+当2x >时，0y '>，此时函数3223125y x x x =--+单调递增；当12x -<<时，0y '<，此时函数3223125y x x x =--+单调递减；当1x <-时，0y '>，此时函数3223125y x x x =--+单调递增．则函数3223125y x x x =--+在区间[0,2]内单调递减，在区间[2,3]内单调递增当0x =时，5y =，当3x =时，4y =-所以函数3223125y x x x =--+在0x =处取到最大值5所以函数3223125y x x x =--+在区间[0,3]上的最大值是5.故答案为：5.17．1【分析】根据题干中max 函数的定义，可以得到所求函数为分段函数，求出每一段的最小值，取其中的最小值即可 【详解】令212x x x +-=-得：3x =-或1x =，由题意可得：{}2221,3max 1,22,311,1x x x x x x x x x x x ⎧+-≤-⎪+--=--<<⎨⎪+-≥⎩，画出函数对应的图像如下：由图可得：当1x =时，{}2max 1,2x x x +--最小，代入解析式可得：最小值为1故答案为：1。

(名师选题)部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案重点易错题单选题1、若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是（）A．[−1,1]∪[3,+∞)B．[−3,−1]∪[0,1]C．[−1,0]∪[1,+∞)D．[−1,0]∪[1,3]2、设a为实数，定义在R上的偶函数f(x)满足：①f(x)在[0,+∞)上为增函数；②f(2a)<f(a+1)，则实数a 的取值范围为（）A．(−∞,1)B．(−13,1)C．(−1,13)D．(−∞,−13)∪(1,+∞)3、设函数f(x)=x3−1x3,则f(x)（）A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减4、已知f(x)是一次函数，2f(2)−3f(1)=5，2f(0)−f(−1)=−1，则f(x)=（）A．3x+2B．3x−2C．2x+3D．2x−35、设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则A．f(log314)>f(2−32)>f(2−23)B．f(log314)>f(2−23)>f(2−32)C．f(2−32)>f(2−23)>f(log314)D．f(2−23)>f(2−32)>f(log314)6、已知函数f(1x+1)=2x+3．则f(2)的值为（）A．6B．5C．4D．37、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x+4)，且f(x+1)是奇函数，则（）A．f(x)是偶函数B．f(x)的图象关于直线x=12对称C．f(x)是奇函数D．f(x)的图象关于点(12,0)对称8、下列四个函数在(−∞,0)是增函数的为（）A．f(x)=x2+4B．f(x)=1−2xC．f(x)=−x2−x+1D．f(x)=2−3x多选题9、已知函数f(x)是一次函数，满足f(f(x))=9x+8，则f(x)的解析式可能为（）A．f(x)=3x+2B．f(x)=3x−2C．f(x)=−3x+4D．f(x)=−3x−410、已知函数f(x)的定义域是(0,+∞)，且f(xy)=f(x)+f(y)，当x>1时，f(x)<0，f(2)=−1，则下列说法正确的是（）A．f(1)=0B．函数f(x)在(0,+∞)上是减函数C．f(12022)+f(12021)+⋅⋅⋅+f(13)+f(12)+f(2)+f(3)+⋅⋅⋅+f(2021)+f(2022)=2022D．不等式f(1x)−f(x−3)≥2的解集为[4,+∞)11、已知函数f(x)={−x 2−2x,x≤mx−4,x>m，如果函数f(x)恰有两个零点，那么实数m的取值范围可以是（）A．m<−2B．−2≤m<0C．0≤m<4D．m≥4.填空题12、若函数y=2x+3x+2的值域是____.13、（1）函数y=x45的定义域是________，值域是________；（2）函数y=x−25的定义域是________，值域是________；（3）函数y=x 32的定义域是________，值域是________；（4）函数y=x−34的定义域是________，值域是________．部编版高中数学必修一第三章函数的概念与性质带答案(三)参考答案1、答案：D分析：首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数f(x)在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.因为定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(2)=0，所以f(x)在(0,+∞)上也是单调递减，且f(−2)=0，f(0)=0，所以当x∈(−∞,−2)∪(0,2)时，f(x)>0，当x∈(−2,0)∪(2,+∞)时，f(x)<0，所以由xf(x−1)≥0可得：{x<0−2≤x−1≤0或{x>00≤x−1≤2或x=0解得−1≤x≤0或1≤x≤3，所以满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是[−1,0]∪[1,3]，故选：D.小提示：本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.2、答案：B分析：利用函数的奇偶性及单调性可得|2a|<|a+1|，进而即得.因为f(x)为定义在R上的偶函数，在[0,+∞)上为增函数，由f(2a)<f(a+1)可得f(|2a|)<f(|a+1|)，∴|2a|<|a+1|，解得−13<a<1.故选：B.3、答案：A分析：根据函数的解析式可知函数的定义域为{x|x≠0}，利用定义可得出函数f(x)为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．因为函数f(x)=x3−1x3定义域为{x|x≠0}，其关于原点对称，而f(−x)=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数．又因为函数y =x 3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增， 而y =1x 3=x −3在(0,+∞)上单调递减，在(−∞,0)上单调递减， 所以函数f(x)=x 3−1x 3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增．故选：A ．小提示：本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 4、答案：D分析：设出函数f(x)的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.依题意，设f(x)=kx +b,k ≠0，则有{2(2k +b)−3(k +b)=52b −(−k +b)=−1，解得k =2,b =−3，所以f(x)=2x −3. 故选：D 5、答案：C解析：由已知函数为偶函数，把f (log 314) , f (2−32) , f (2−23)，转化为同一个单调区间上，再比较大小．∵f (x )是R 的偶函数，∴f (log 314)=f (log 34)．∵log 34>log 33=1,1=20>2−23>2−32,∴log 34>2−23>2−32， 又f (x )在(0，+∞)单调递减， ∴f (log 34)<f (2−23)<f (2−32)，∴f (2−32)>f (2−23)>f (log 314)，故选C ．小提示：本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． 6、答案：B分析：根据题意，令1x +1=2可得x 的值，将x 的值代入f(1x +1)=2x +3，即可得答案． 解：根据题意，函数f(1x +1)=2x +3，若1x +1=2，解可得x =1， 将x =1代入f (1x +1)=2x +3，可得f (2)=5， 故选：B ．7、答案：C分析：由周期函数的概念易知函数f (x )的周期为2，根据图象平移可得f (x )的图象关于点(1,0)对称，进而可得奇偶性.由f (x +2)=f (x +4)可得2是函数f (x )的周期，因为f (x +1)是奇函数，所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称， 所以f (x )=−f (2−x )，f (x )=−f (−x )，所以f (x )是奇函数， 故选：C. 8、答案：D分析：根据各个函数的性质逐个判断即可对A ，f (x )=x 2+4二次函数开口向上，对称轴为y 轴，在(−∞,0)是减函数，故A 不对． 对B ，f (x )=1−2x 为一次函数，k <0，在(−∞,0)是减函数，故B 不对．对C ，f (x )=−x 2−x +1，二次函数，开口向下，对称轴为x =−12，在(−∞,−12)是增函数，故C 不对．对D ，f (x )=2−3x 为反比例类型，k <0，在(−∞,0)是增函数，故D 对． 故选：D 9、答案：AD分析：设f (x )=kx +b ，代入f(f (x ))=9x +8列方程组求解即可. 设f (x )=kx +b ，由题意可知f(f (x ))=k (kx +b )+b =k 2x +kb +b =9x +8，所以{k 2=9kb +b =8，解得{k =3b =2 或{k =−3b =−4 ， 所以f (x )=3x +2或f (x )=−3x −4. 故选：AD. 10、答案：ABD分析：利用赋值法求得f (1)=0，判断A ；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B;利用f (xy )=f (x )+f (y )，可求得C 中式子的值，判断C ；求出f (14)=f (12)+f (12)=2，将f (1x )−f (x −3)≥2转化为f (1x )+f (1x−3)≥f (14)，即可解不等式组求出其解集，判断D. 对于A ，令x =y =1 ，得f (1)=f (1)+f (1)=2f (1)，所以f (1)=0，故A 正确； 对于B ，令y =1x >0，得f (1)=f (x )+f (1x )=0，所以f (1x )=−f (x )， 任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)−f (x 1)=f (x 2)+f (1x 1)=f (x2x1)，因为x 2x 1>1，所以f (x2x1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)，所以f (x )在(0,+∞)上是减函数，故B 正确；对于C ，f (12022)+f (12021)+⋅⋅⋅+f (13)+f (12)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (2021)+f (2022)=f (12022×2022)+f (12021×2021)+⋅⋅⋅+f (13×3)+f (12×2)=f (1)+f (1)+⋅⋅⋅+f (1)+f (1)=0，故C 错误；对于D ，因为f (2)=−1，且f (1x )=−f (x )，所以f (12)=−f (2)=1， 所以f (14)=f (12)+f (12)=2，所以f (1x )−f (x −3)≥2等价于f (1x )+f (1x−3)≥f (14)，又f (x )在(0,+∞)上是减函数，且f (xy )=f (x )+f (y )，所以{1x (x−3)≤141x >01x−3>0 ，解得x ≥4，故D 正确, 故选:ABD ． 11、答案：BD解析：在同一平面直角坐标系中，作出函数y =−x 2−2x,y =x −4的图象，观察函数图象即可得出答案. 在同一平面直角坐标系中，作出函数y =−x 2−2x,y =x −4的图象，如图，由图象可知，当−2≤m<0时，函数f (x)有两个零点−2和4，当m≥4时，函数f(x）有两个零点−2和0. 故选：BD12、答案：(－∞，2)∪(2，+∞)分析：利用分离常数法去求函数y=2x+3x+2的值域即可∵y=2−1x+2，∴y≠2，∴函数的值域是：(－∞，2)∪(2，+∞).所以答案是：(－∞，2)∪(2，+∞)13、答案：R[0,+∞)(−∞,0)∪(0,+∞)(0,+∞)[0,+∞)[0,+∞)(0,+∞)(0,+∞)分析：画出对应幂函数的图像，结合幂函数的图像特征，写出定义域与值域（1）幂函数y=x 45图像如图所示，定义域为R，值域为[0,+∞),（2）幂函数y=x−25图像如图所示，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，值域为(0,+∞),（3）幂函数y=x 32图像如图所示，定义域为[0,+∞)，值域为[0,+∞),（4）幂函数y=x−34图像如图所示，定义域为(0,+∞)，值域为(0,+∞),所以答案是：（1）R;[0,+∞), （2）(−∞,0)∪(0,+∞);(0,+∞), （3）[0,+∞);[0,+∞),（4）(0,+∞);(0,+∞).。

3.4 函数的应用（一）必备知识基础练知识点一用一次函数模型解决实际问题1.某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x 的函数关系式为( )A．y＝0.2x(0≤x≤4 000)B．y＝0.5x(0≤x≤4 000)C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A．310元 B．300元C．390元 D．280元知识点二用二次函数模型解决实际问题3.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x 和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A．90万元 B．60万元C．120万元 D．120.25万元4．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______m.知识点三用幂函数、分段函数模型解决实际问题5.一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图所示，则当t＝2时，汽车已行驶的路程为( )A ．100 kmB ．125 kmC ．150 kmD ．225 km6．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x (万元)与药品利润y (万元)存在的关系为y ＝x α(α为常数)，其中x 不超过5万元，已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．关键能力综合练 一、选择题1．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．要使租赁公司的月收益最大，则每辆车的月租金应定为( )A ．4 050元B ．4 000元C ．4 100元D ．4 150元2．某厂生产中所需一些配件可以外购，也可以自己生产．如果外购，每个配件的价格是1.10元；如果自己生产，则每月的固定成本将增加800元，并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元，则决定此配件外购或自产的转折点(即生产多少件以上自产合算)是( )A ．1 000件B ．1 200件C ．1 400件D ．1 600件3．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元)满足一次函数：m ＝162－3x ，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )A ．30元B ．42元C ．54元D ．越高越好5．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，1≤x ≤10，x ∈N ，2x ＋10，10<x <100，x ∈N ，1.5x ，x ≥100，x ∈N ，其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．1306．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断： ①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水． 则一定正确的是( ) A ．① B．①② C ．①③ D．①②③ 二、填空题7．稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4 000元，定额减除费用800元；每次收入在4 000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：(1)每次收入不超过4 000元的：应纳税额＝(每次收入额－800)×20%×(1－30%)； (2)每次收入在4 000元以上的：应纳税额＝每次收入额×(1－20%)×20%×(1－30%)． 已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前)为________元． 8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米．9．(探究题)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是______(单位：元)．三、解答题10．某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，－t ＋100，25≤t ≤30.(t ∈N *)设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？学科素养升级练1．(多选题)生活经验告诉我们，当把水注进容器(设单位时间内进水量相同)，水的高度会随着时间的变化而变化，则下列选项中容器与图象匹配正确的是( )A ．(A)—(3)B ．(B)—(1)C ．(C)—(4)D ．(D)—(2)2．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋xb ，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )A ．a ＝45，b ＝－30B ．a ＝30，b ＝－45C ．a ＝－30，b ＝45D ．a ＝－45，b ＝－303．(学科素养—数据分析)医院通过撒某种药物对病房进行消毒．已知开始撒放这种药物时，浓度激增，中间有一段时间，药物的浓度保持在一个理想状态，随后药物浓度开始下降．若撒放药物后3小时内的浓度变化可用下面的函数表示，其中x 表示时间(单位：小时)，f (x )表示药物的浓度：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ＋400<x ≤1，431<x ≤2，－3x ＋482<x ≤3.(1)撒放药物多少小时后，药物的浓度最高？能维持多长时间？(2)若需要药物浓度在41.75以上消毒1.5小时，那么在撒放药物后，能否达到消毒要求？并简要说明理由．3．4 函数的应用(一)必备知识基础练1．解析：由题意得y ＝0.3(4 000－x )＋0.2x ＝－0.1x ＋1 200.(0≤x ≤4 000) 答案：C2．解析：由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y ＝500x ＋300(x ≥0)，当x ＝0时，y ＝300.答案：B3．解析：设公司在甲地销售x 台，则在乙地销售(15－x )台，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．答案：C4．解析：设隔墙的长为x m ，矩形面积为S m 2，则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，0<x <6，所以当x ＝3时，S 有最大值为18. 答案：35．解析：t ＝2时，汽车行驶的路为s ＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150(km)．答案：C6．解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y ＝x α中，即3α＝27，解得α＝3，故函数解析式为y ＝x 3，所以当x ＝5时，y ＝125.答案：125关键能力综合练1．解析：设每辆车的月租金为x (x ＞3 000)元， 则租赁公司月收益为y ＝⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050(x －150)－x －3 00050×50， 整理得y ＝－x 250＋162x －21 000＝－150(x －4 050)2＋307 050.∴当x ＝4 050时，y 取最大值为307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元． 答案：A2．解析：设生产x 件时自产合算，由题意得1.1x ≥800＋0.6x ，解得x ≥1600，故选D. 答案：D3．解析：设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20.B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15.t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.∴A 正确． 答案：A4．解析：设当每件商品的售价为x 元时，每天获得的销售利润为y 元． 由题意得，y ＝m (x －30)＝(x －30)(162－3x )(30≤x ≤54)． 上式配方得y ＝－3(x －42)2＋432. 所以当x ＝42时，利润最大． 答案：B5．解析：若4x ＝60，则x ＝15>10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40<100，不合题意．故拟录用25人．答案：C6．解析：由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确，故选A.答案：A7．解析：当此人收入为4 000元时(扣税前)，应纳税(4 000－800)×20%×(1－30%)＝448＞280，可知此人收入不超过4000元(扣税前)，则设此人应得稿费为x 元(扣税前)，则(x －800)×20%×(1－30%)＝280，解得x ＝2 800.故正确答案为2 800. 答案：2 8008．解析：设出租车行驶x 千米时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋2.15x －3＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85x －8＋1，x >8，当x ＝5.6时，y ＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)． 由y ＝22.6，知x >8，由8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1＝22.6，解得x ＝9. 答案：14.59 99．解析：设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号.所以该容器的最低总造价为160元． 答案：16010．解析：设日销售金额为y (元)，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0<t <25，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30.(t ∈N *)①当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900， 所以当t ＝10时，y max ＝900(元)．②当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900， 所以当t ＝25时，y max ＝1 125(元)． 结合①②得y max ＝1 125(元)．因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大．学科素养升级练1．解析：(A)容器下粗上细最上方为柱形，水高变化为逐渐变快再匀速，故(A)应匹配(4)，(B)容器下方为球形上方为柱形，水高变化为先逐渐变慢再逐渐变快再匀速，故(B)应匹配(1)；(C)，(D)容器都是柱形的，水高变化的速度都应是不变的，但(C)容器细，(D)容器粗，故(C)容器水高变化快，(D)容器慢．(C)应匹配(3)，(D)应匹配(2)，故正确匹配的是BD.答案：BD2．解析：设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元， 则y ＝xQ －P ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x b －⎝ ⎛⎭⎪⎫1 000＋5x ＋110x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000(x >0)． 由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.所以⎩⎨⎧－a －52⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30.答案：A3．解析：(1)当0<x ≤1时，f (x )＝－x 2＋4x ＋40＝－(x －2)2＋44，∴f (x )在(0,1]上是增函数，其最大值为f (1)＝43；f (x )在(2,3]上单调递减，故当2<x ≤3时， f (x )<－3×2＋48＝42.因此，撒放药物1小时后，药物的浓度最高为43，并维持1小时．(2)当0<x ≤1时，令f (x )＝41.75，即－(x －2)2＋44＝41.75，解得x ＝3.5(舍去)或x ＝0.5；当2<x ≤3时，令f (x )＝41.75，即－3x ＋48＝41.75，解得x ≈2.08. 因此药物浓度在41.75以上的时间为2.08－0.5＝1.58小时>1.5小时， ∴撒放药物后，能够达到消毒要求．。

高中数学第三章函数的概念与性质知识点题库单选题1、“n=1”是“幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅x n2−3n在(0,+∞)上是减函数”的一个（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要答案：A分析：由幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅x n2−3n在(0,+∞)上是减函数，可得{n 2−3n+3=1n2−3n<0，由充分、必要条件的定义分析即得解由题意，当n=1时，f(x)=x−2在(0,+∞)上是减函数，故充分性成立；若幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅x n2−3n在(0,+∞)上是减函数，则{n 2−3n+3=1n2−3n<0，解得n=1或n=2故必要性不成立因此“n=1”是“幂函数f(x)=(n2−3n+3)⋅x n2−3n在(0,+∞)上是减函数”的一个充分不必要条件故选：A2、函数y=√2x+4x−1的定义域为（）A．[0,1)B．(1,+∞)C．(0,1)∪(1,+∞)D．[0,1)∪(1,+∞)答案：D分析：由题意列不等式组求解由题意得{2x≥0x−1≠0，解得x≥0且x≠1，故选：D3、“幂函数f(x)=(m2+m−1)x m在(0,+∞)上为增函数”是“函数g(x)=2x−m2⋅2−x为奇函数”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要答案：A分析：要使函数f (x )=(m 2+m −1)x m 是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，求出m =1，可得函数g (x )为奇函数，即充分性成立；函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数，求出m =±1，故必要性不成立，可得答案. 要使函数f (x )=(m 2+m −1)x m 是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，则{m 2+m −1=1m >0，解得：m =1，当m =1时，g (x )=2x −2−x ，x ∈R ， 则g (−x )=2−x −2x =−(2x −2−x )=−g (x )，所以函数g (x )为奇函数，即充分性成立； “函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数”，则g (x )=−g (−x )，即2x −m 2⋅2−x =−(2−x −m 2⋅2x )=m 2⋅2x −2−x ， 解得：m =±1，故必要性不成立， 故选：A ．4、下列函数中是增函数的为（ ）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍. 对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意， 故选：D.5、下列图形能表示函数图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：D分析：根据函数的定义，判断任意垂直于x 轴的直线与函数的图象的交点个数，即可得答案. 由函数的定义：任意垂直于x 轴的直线与函数的图象至多有一个交点，所以A 、B 显然不符合，C 在x =0与函数图象有两个交点，不符合，只有D 符合要求. 故选：D6、已知函数f(x)={2x 2+1,x ≤1,3x ,x >1.则f(f (3))=（ ）A ．319B ．3C ．1D ．19 答案：B分析：根据解析式代入求解即可f(f (3))=f (33)=f (1)=2+1=3故选：B7、已知函数f(x)={x 2+2，x ＜12x +a 2，x ≥1，若f(f(0))=4a ，则实数a ＝（ ）A ．12B ． 45C ．2D ．9 答案：C分析：由函数的解析式可得f(f(0))=f(2)=4+a 2=4a ，求解可得答案． ∵函数f(x)={x 2+2，x ＜12x +a 2，x ≥1，∴f(0)=2，则f(f(0))=f(2)=4+a 2=4a ， 即(a −2)2=0，解可得：a =2. 故选：C8、下列四个函数在(−∞,0)是增函数的为（ ） A ．f (x )=x 2+4B ．f (x )=1−2x C ．f (x )=−x 2−x +1D ．f (x )=2−3x答案：D分析：根据各个函数的性质逐个判断即可对A ，f (x )=x 2+4二次函数开口向上，对称轴为y 轴，在(−∞,0)是减函数，故A 不对． 对B ，f (x )=1−2x 为一次函数，k <0，在(−∞,0)是减函数，故B 不对．对C ，f (x )=−x 2−x +1，二次函数，开口向下，对称轴为x =−12，在(−∞,−12)是增函数，故C 不对． 对D ，f (x )=2−3x 为反比例类型，k <0，在(−∞,0)是增函数，故D 对． 故选：D 多选题9、一次函数f(x)满足：f(f(x))=4x +3，则f(x)的解析式可以是（ ） A ．f(x)=2x +1B ．f(x)=1−2x C ．f(x)=2x −3D ．f(x)=−2x −3 答案：AD分析：根据待定系数法，设出f(x)=kx +b (k ≠0)，可得f(f(x))=k (kx +b )+b =4x +3，再根据对应项系数相等即可求出．设f(x)=kx +b (k ≠0)，则f(f(x))=k (kx +b )+b =k 2x +kb +b =4x +3，所以{k 2=4kb +b =3，解得{k =2b =1或{k =−2b =−3，即f (x )=2x +1或f (x )=−2x −3．故选：AD ． 10、已知函数f(x)=x−b x 2+1是奇函数，则下列选项正确的有（ ）A ．b =0B ．f(x)在区间(1,+∞)单调递增C ．f(x)的最小值为−12D ．f(x)的最大值为2 答案：AC分析：利用函数是奇函数，可得f(0)=0，求出b可判断A；利用函数的单调性以及利用单调性求最值可判断B、C、D.函数f(x)=x−bx2+1是奇函数，则f(0)=0，代入可得b=0，故A正确；由f(x)=x−bx2+1=xx2+1=1x+1x，对勾函数y=x+1x在(1,+∞)上单调递增，所以f(x)=1x+1x在(1,+∞)上单调递减，故B错误；由y=x+1x ∈(−∞,−2]∪[2,+∞)，所以f(x)=1x+1x∈[−12,0)∪(0,12]，所以f(x)min=−12，故C正确、D错误.故选：AC11、已知函数y=f(x−1)的图象关于x=1对称，且对y=f(x),x∈R，当x1,x2∈(−∞,0]时，f(x2)−f(x1)x2−x1<0成立，若f(2ax)<f(2x2+1)对任意的x∈R恒成立，则a的可能取值为（）A．−√2B．−1C．1D．√2答案：BC解析：由已知得函数f(x)是偶函数，在[0,+∞)上是单调增函数，将问题转化为|2ax|<|2x2+1|对任意的x∈R恒成立，由基本不等式可求得范围得选项．因为函数y=f(x−1)的图象关于直线x=1对称，所以函数y=f(x)的图象关于直线x=0（即y轴）对称，所以函数f(x)是偶函数.又x1,x2∈(−∞,0]时，f(x2)−f(x1)x2−x1<0成立，所以函数f(x)在[0,+∞)上是单调增函数.且f(2ax)<f(2x2+1)对任意的x∈R恒成立，所以|2ax|<|2x2+1|对任意的x∈R恒成立，当x=0时，0<1恒成立，当x≠0时，|a|<|2x2+1||2x|=|x+12x|=|x|+|12x|，又因为|x|+|12x |≥2√|x|⋅|12x|=√2，当且仅当|x|=√22时，等号成立，所以|a|<√2，因此−√2<a<√2，故选：BC.小提示：方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数a ≥f (x )恒成立(a ≥f (x )max 即可)或a ≤f (x )恒成立（a ≤f (x )min 即可）；② 数形结合(y =f (x ) 图象在y =g (x ) 上方即可)；③ 讨论最值f (x )min ≥0或f (x )max ≤0恒成立.12、已知幂函数f(x)=(m +95)x m ，则下列结论正确的有（ ） A ．f (−32)=116 B ．f(x)的定义域是R C ．f(x)是偶函数D ．不等式f (x −1)≥f (2)的解集是[−1,1)∪(1,3] 答案：ACD分析：首先求函数的解析式，再根据幂函数的性质，判断定义域，奇偶性，以及解不等式. 因为函数是幂函数，所以m +95=1，得m =−45，即f (x )=x −45，f (−32)=[(−2)5]−45=(−2)−4=116，故A 正确；函数的定义域是{x |x ≠0}，故B 不正确； ∵f (−x )=f (x )，所以函数是偶函数，故C 正确；函数f (x )=x −45在(0,+∞)是减函数，不等式f (x −1)≥f (2)等价于|x −1|≤2，解得：−2≤x −1≤2，且x −1≠0，得−1≤x ≤3，且x ≠1，即不等式的解集是[−1,1)∪(1,3]，故D 正确. 故选：ACD13、已知函数f(x)={−x,x <0x 2,x >0，则有（ ）A ．存在x 0>0，使得f (x 0)=−x 0B ．存在x 0<0，使得f (x 0)=x 02C ．函数f (−x )与f(x)的单调区间和单调性相同D ．若f (x 1)=f (x 2)且x 1≠x 2，则x 1+x 2≤0 答案：BC分析：根据函数解析式，分别解AB 选项对应的方程，即可判定A 错，B 正确；求出f (−x )的解析式，判定f (−x )与f(x)的单调区间与单调性，即可得出C 正确；利用特殊值法，即可判断D 错. 因为f(x)={−x,x <0x 2,x >0，当x 0>0时，f(x 0)=x 02，由f (x 0)=−x 0可得x 02=−x 0，解得x 0=0或−1，显然都不满足x 0>0，故A 错；当x 0<0时，f(x 0)=−x 0，由f (x 0)=x 02可得−x 0=x 02，解得x 0=0或−1，显然x 0=−1满足x 0<0，故B 正确；当x <0时，f(x)=−x 显然单调递减，即f(x)的减区间为(−∞,0)；当x >0时，f(x)=x 2显然单调递增，即f(x)的增区间为(0,+∞)；又f(−x)={x,−x <0x 2,−x >0={x,x >0x 2,x <0，因此f (−x )在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；即函数f (−x )与f(x)的单调区间和单调性相同，故C 正确；D 选项，若不妨令x 1<x 2，f (x 1)=f (x 2)=14，则x 1=−14，x 2=12，此时x 1+x 2=14>0，故D 错； 故选：BC.小提示：关键点点睛：求解本题的关键在于根据解析式判定分段函数的性质，利用分段函数的性质，结合选项即可得解. 填空题14、若幂函数y =f(x)的图像经过点(18,2)，则f(−18)的值为_________. 答案：−2分析：根据已知求出幂函数的解析式f(x)=x −13，再求出f(−18)的值得解.设幂函数的解析式为f(x)=x a ， 由题得2=(18)a =2−3a,∴−3a =1,∴a =−13，∴f(x)=x −13.所以f(−18)=(−18)−13=(−12)3×(−13)=−2. 所以答案是：−2.小提示：本题主要考查幂函数的解析式的求法和函数值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15、若函数y =f(x)的值域是[12,3]，则函数F(x)=f(2x +1)+1f(2x+1)的值域是________.答案：[2,103]分析：由给定条件求出f(2x +1)的值域，换元借助对勾函数性质即可得解. 因函数y =f(x)的值域是[12,3]，从而得函数t =f(2x +1)值域为[12,3]，函数F(x)变为y =t +1t，t ∈[12,3]，由对勾函数的性质知y =t +1t在[12,1]上递减，在[1,3]上递增，t =1时，y min =2，而t =12时，y =52，t =3时，y =103，即y max =103，所以原函数值域是[2,103]. 所以答案是：[2,103]16、（1）函数y =x 45的定义域是________，值域是________； （2）函数y =x −25的定义域是________，值域是________； （3）函数y =x 32的定义域是________，值域是________； （4）函数y =x −34的定义域是________，值域是________．答案： R [0,+∞) (−∞,0)∪(0,+∞) (0,+∞) [0,+∞) [0,+∞) (0,+∞) (0,+∞) 分析：画出对应幂函数的图像，结合幂函数的图像特征，写出定义域与值域 （1）幂函数y =x 45图像如图所示，定义域为R ，值域为[0,+∞),（2）幂函数y =x −25图像如图所示，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，值域为(0,+∞),（3）幂函数y =x 32图像如图所示，定义域为[0,+∞)，值域为[0,+∞),（4）幂函数y=x−34图像如图所示，定义域为(0,+∞)，值域为(0,+∞),所以答案是：（1）R;[0,+∞),（2）(−∞,0)∪(0,+∞);(0,+∞),（3）[0,+∞);[0,+∞),（4）(0,+∞);(0,+∞).解答题17、已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=−x2+2x．（1）求x<0时，函数f(x)的解析式；（2）若函数f(x)在区间[−1,a−2]上单调递增，求实数a的取值范围．（3）解不等式f(x)≥x+2．答案：（1）f(x)=x2+2x；（2）(1,3]；（3）(−∞,−2]分析：（1）设x<0，计算f(−x)，再根据奇函数的性质f(x)=−f(−x)，即可得对应解析式；（2）作出函数f(x)的图像，利用数形结合思想，列出关于a的不等式组求解；（3）由（1）知分段函数f(x)的解析式，分类讨论解不等式再取并集即可.（1）设x<0，则−x>0，所以f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x2−2x又f(x)为奇函数，所以f(x)=−f(−x)，所以当x<0时，f(x)=x2+2x，（2）作出函数f(x)的图像，如图所示：要使f(x)在[−1,a −2]上单调递增，结合f(x)的图象知{a −2>−1a −2≤1，所以1<a ≤3，所以a 的取值范围是(1,3].（3）由（1）知f(x)={−x 2+2x,x ≥0x 2+2x,x <0，解不等式f(x)≥x +2，等价于{x ≥0−x 2+2x ≥x +2或{x <0x 2+2x ≥x +2，解得：∅或x ≤−2综上可知，不等式的解集为(−∞,−2]小提示：易错点睛：本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限，属于基础题. 18、求下列函数的值域：(1)f (x )=x 2+2x +1(x ∈{−2,−1,0,1,2})； (2)f (x )=2x+1x−3(3)f (x )=√−2x 2+x +3； (4)f (x )=x −√1−2x ． 答案：(1){0,1,4,9} (2)(−∞,2)∪(2,+∞) (3)[0,5√24](4)(−∞,12]分析：（1）将−2,−1,0,1,2代入f (x )求解即可；（2）形如y =ax+b cx+d (ac ≠0,ad ≠bc )的函数常用分离常数法求值域，y =ax+b cx+d =a c +b−ad c cx+d ，其值域是{y |y ≠a c }.（3）根据二次函数的顶点式求解值域，再结合根式的定义域求解即可.（4）形如y =ax +b +√cx +d(ac ≠0)的函数常用换元法求值域，先令t =√cx +d ，用t 表示出x ，并注明t 的取值范围，再代入原函数将y 表示成关于t 的二次函数，最后用配方法求值域．（1）因为f (−2)=1，f (−1)=0，f (0)=1，f (1)=4，f (2)=9，所以函数f (x )的值域为{0,1,4,9}．（2）因为f (x )=2x+1x−3=2(x−3)+7x−3=2+7x−3，且7x−3≠0，所以f (x )≠2，所以函数f (x )的值域为(−∞,2)∪(2,+∞)． （3）因为f (x )=√−2x 2+x +3=√−2(x −14)2+258，所以0≤f (x )≤5√24，所以函数f (x )的值域为[0,5√24]. （4）设t =√1−2x （换元），则t ≥0且x =−12t 2+12，令y =−12t 2−t +12=−12(t +1)2+1. 因为t ≥0，所以y ≤12，即函数f (x )的值域为(−∞,12].。

一、选择题1．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()(1)ln f x x -=+，则()1f =（ ） A ．ln 2-B ．ln 2C ．0D ．12．已知m R ∈，若函数()||x m f x e +=对任意x ∈R 满足()()20212120f x f x -=-，则不等式()1ln ln 2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是（ ） A ．[)1,,e e⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)10,,e e⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D ．[),e +∞3．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当0x ≥时，()2x f x =，且(2)(3)f x af x +≤-对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,32⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[32,)+∞D ．(0,32]4．设函数()f x 是定义R 在上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有(1)(1)f x f x +=-，已知当[0,1]x ∈时，1()2x f x -=，若32a f ⎛=⎫⎪⎝⎭，()30.5b f -=，()60.7c f =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >>D ．c b a >>5．设()f x 为定义在R 上的函数，函数()1f x +是奇函数.对于下列四个结论：①()10f =；②()()11f x f x -=-+； ③函数()f x 的图象关于原点对称； ④函数()f x 的图象关于点()1,0对称； 其中，正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，则()()f a f b +的值（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断7．已知函数2()f x x bx c =++，且(2)()f x f x +=-，则下列不等式中成立的是（ ）A ．(4)(0)(4)f f f -<<B ．(0)(4)(4)f f f <-<C ．(0)(4)(4)f f f <<-D ．(4)(0)(4)f f f <<-8．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4等于（ ） A ．－6 B ．6 C ．－8D ．89．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数()1sin 2f x x x =-的图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．10．已知定义在R 上的连续奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()0f x f x x'+>，则使得()()()2213310xf x x f x +-->成立的x 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()11,1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,15⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),1-∞11．若01m n <<<且1mn =，则2m n +的取值范围是（ ） A ．[22,)+∞ B ．[3,)+∞C ．(22,)+∞D ．(3,)+∞12．函数1()2lg f x x x=+- ） A ．(0,2] B ．(0,2) C ．(0,1)(1,2]⋃D ．(,2]-∞13．设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意的x D ∈，存在y D ∈，使得()()f x f y =-成立，则称函数()f x 为“呆呆函数”，下列为“呆呆函数”的是（ ） A ．2sin cos cos y x x x =+ B ．2x y = C ．ln x y x e =+D ．22y x x =-14．若函数()314,025,0xx f x x x x ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--+>⎩，，当[],1x m m ∈+时，不等式()()2-<+f m x f x m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(),4-∞-B ．(),2-∞-C ．()2,2-D ．(),0-∞15．关于函数1()lg 1xf x x-=+，有下列三个命题： ①对于任意(1,1)x ∈-，都有()()f x f x -=-；②()f x 在(1,1)-上是减函数；③对于任意12,(1,1)x x ∈-，都有121212()()()1x x f x f x f x x ++=+； 其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题16．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足(1)(1)f x f x -=+，且当(0,1)x ∈时，3()24x f x =-，则12(log 25)f =________．17．已知函数()()1502f x x x x =+->，则()f x 的递减区间是____. 18．若函数()f x 在定义域D 内的某区间M 上是增函数，且()f x x在M 上是减函数，则称()f x 在M 上是“弱增函数”.已知函数()()24g x x a x a =+-+在(]0,2上是“弱增函数”，则实数a 的值为______.19．已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2()(R)f x x ax a =+∈，(2)6f =，则a = .20．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()()3f x f x =+，若()21f =-，则()2020f =______.21．设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________.22．幂函数()()2231mm f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，则a m +=____．23．如果方程24x +y |y |＝1所对应的曲线与函数y ＝f （x ）的图象完全重合，那么对于函数y ＝f （x ）有如下结论：①函数f （x ）在R 上单调递减；②y ＝f （x ）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1； ③函数f （x ）的值域为（﹣∞，2]； ④函数F （x ）＝f （x ）+x 有且只有一个零点. 其中正确结论的序号是_____.24．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___． 25．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()21f =-，对任意的x ∈R 都有()()2f x f x =--，则()2020f =_________.26．已知函数()h x ,()g x (()0g x ≠)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0x <时,()()()()0h x g x h x g x ''-<,且()10h -=.若()()0h a g a <,则a 的取值范围为__________.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由函数的奇偶性可得()()11f f =--，进而计算即可得解. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 当0x ≤时，()(1)ln f x x -=+∴()()11ln[(1)1]ln 2f f =--=---+=-.故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查函数奇偶性的应用，解题思路如下： （1）根据奇函数的定义，可知(1)(1)=--f f ； （2）根据题中所给的函数解析式，求得函数值； （3）最后得出结果.2．C解析：C 【分析】先判断函数为偶函数，根据奇偶性求得0m =，将原不等式化为ln x e e ≥，等价于ln 1x ≥，进而可得答案.【详解】设2021x t -=，()()()()20212120f x f x f t f t -=-⇒=-， 所以()||x m f x e+=是偶函数，则||||x m x m e e +-+=恒成立，即()()2240x m x m x m x m mx +=-+⇔+=-+⇔=对任意x ∈R 恒成立， 所以0m =⇒()||x f x e =，因为11lnln ln x x x-==-， 所以()1ln ln2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即为()()ln ln 2f x f x e +-≥， ()()ln 2ln 2ln xf x e f x e ee ≥⇒≥⇒≥，因为xy e =为增函数，所以可得ln 1x ≥，则ln 1x ≥或ln 1x ≤-， 解得x e ≥或10x e <≤， 即不等式()1ln ln 2f x f e x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集是[)10,,e e ⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由()()+0f x f x -= 恒成立求解，（2）偶函数由()()0f x f x --= 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由()00f = 求解，偶函数一般由()()110f f --=求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.3．C解析：C 【分析】根据题意，可得()f x 的解析式，分别求得当23x -≤≤时，3x >时，2x <-时，(2)f x +和(3)f x -的表达式，结合题意，即可求得a 的范围，综合即可得答案.【详解】由题意知：2,0()2,0x x x f x x -⎧≥=⎨<⎩当23x -≤≤时，20,30x x +≥-≥，所以2322x x a +-≤⋅，所以212x a -≥， 因为23x -≤≤，所以215max (2)232x a -≥==；当3x >时，20,30x x +>-<， 所以2(3)22x x a +--≤⋅，所以5232a ≥=； 当2x <-时，20,30x x +<-> 所以(2)322x x a -+-≤⋅，所以51232a -≥=， 综上32a ≥. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据题意求得()f x 的解析式，分类讨论，将(2)f x +和(3)f x -进行转化，考查分类讨论的思想，属中档题.4．B解析：B 【分析】由(1)(1)f x f x +=-可得函数的周期为2，再利用周期和偶函数的性质将32a f ⎛=⎫⎪⎝⎭，()30.5b f -=，转化使自变量在区间[0,1]上，然后利用()f x 在[0,1]上单调递增，比较大小 【详解】解：因为(1)(1)f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=， 所以函数()f x 的周期为2，因为函数()f x 是定义R 在上的偶函数，所以331122222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()30.5(8)(0)b f f f -===，因为62100.70.72<<<，()f x 在[0,1]上单调递增， 所以61(0)(0.7)()2f f f <<， 所以b c a <<， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查函数周期性，单调性和奇偶性的应用，解题的关键是利用函数的周期将自变量转化到区间[0,1]上，然后利用()f x 在[0,1]上单调递增，比较大小，属于中档题5．C解析：C【分析】令()()1g x f x =+，①：根据()00g =求解出()1f 的值并判断；②：根据()g x 为奇函数可知()()g x g x -=-，化简此式并进行判断；根据()1y f x =+与()y f x =的图象关系确定出()f x 关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确. 【详解】令()()1g x f x =+，①因为()g x 为R 上的奇函数，所以()()0010g f =+=，所以()10f =，故正确； ②因为()g x 为R 上的奇函数，所以()()g x g x -=-，所以()()11f x f x -+=-+，即()()11f x f x -=-+，故正确；因为()1y f x =+的图象由()y f x =的图象向左平移一个单位得到的，又()1y f x =+的图象关于原点对称，所以()y f x =的图象关于点()1,0对称，故③错误④正确，所以正确的有：①②④， 故选：C. 【点睛】结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：（1）若()f x a +为偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称； （2）若()f x a +为奇函数，则函数()y f x =的图象关于点(),0a 成中心对称.6．A解析：A 【分析】利用幂函数的定义求出m ，利用函数的单调性和奇偶性即可求解． 【详解】∵函数()()2265m m m f x x-=--是幂函数，∴25=1m m --，解得：m = -2或m =3． ∵对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，∴函数()f x 为增函数， ∴260m ->， ∴m =3（m = -2舍去） ∴()3=f x x 为增函数．对任意a ，b R ∈，且0a b +>， 则- a b >，∴()()()f a f b f b >-=-∴()()0f a f b +>． 故选：A 【点睛】(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x 前的系数为1； (2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用．7．C解析：C 【分析】由(2)()f x f x +=-，即可得到()f x 图象的对称轴为1x =，所以根据图象上的点离对称轴的距离即可比较出(0),(4),(4)f f f -的大小关系. 【详解】由(2)()f x f x +=-得()f x 图象的对称轴为1x =，所以()f x 在(,1]-∞上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，且(4)(2)f f =-， 所以(0)(2)(4)(4)f f f f <-=<-， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的比较大小的问题，解题方法如下：（1）首先根据题中所给的函数解析式，判断函数类型，根据题中所给的条件，判断出函数图象的对称轴；（2）利用对称性，将自变量所对应的函数值进行转换； （3）根据函数的单调性求得结果.8．C解析：C 【分析】由奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )可推出周期为8，对称轴为2x =，画出函数大致图象，由图象分析f (x )＝m 的根的分布情况即可 【详解】f (x )在R 上是奇函数，所以f (x －4)＝－f (x )＝f (－x )，令4x x =-得()()8f x f x -=，故()f x 周期为8，即()()()4(4)x f f x f f x x =+==--－，即()()4f x f x -=，函数对称轴为2x =，画出大致图象，如图：由图可知，两个根关于6x =-对称，两个根关于2x =对称，设1234x x x x <<<， 则12346212224x x x x +=-⨯=-+=⨯=,，故12348x x x x +++=-， 故选：C【点睛】结论点睛：本题考查由函数的奇偶性，周期性，对称性求根的分布问题，常用以下结论： （1）()()()()1f x f x a f x f x a =-+=±+,，则()f x 的周期为2T a =；（2）()()2f x f a x =-，则函数的对称轴为x a =.9．A解析：A 【分析】由判断函数()f x 的奇偶性以及利用导数得出区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性即可判断. 【详解】()()()111sin sin sin ()222f x x x x x x x f x ⎛⎫-=---=-+=--=- ⎪⎝⎭则函数()f x 在R 上为奇函数，故排除B 、D.()1cos2f x x '=-，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 2x >，即0fx所以函数()f x 在区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故排除C 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于中档题.10．C解析：C 【分析】根据0x >时()()0f x f x x'+>可得：()()0xf x f x '+>；令()()g x xf x =可得函数在()0,∞+上单调递增；利用奇偶性的定义可证得()g x 为偶函数，则()g x 在(),0-∞上单调递减；将已知不等式变为()()231g x g x >-，根据单调性可得自变量的大小关系，解不等式求得结果. 【详解】当0x >时，()()0f x f x x'+> ()()0xf x f x '∴+>令()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递增()f x 为奇函数 ()()()()g x xf x xf x g x ∴-=--== ()g x ∴为偶函数则()g x 在(),0-∞上单调递减()()()2213310xf x x f x ∴+-->等价于()()231g x g x >-可得：231x x >-，解得：115x << 本题正确选项：C 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题，关键是能够构造函数，根据导函数的符号确定所构造函数的单调性，并且根据奇偶性的定义得到所构造函数的奇偶性，从而将函数值的大小关系转变为自变量之间的比较.11．D解析：D 【分析】先利用已知条件构造函数()2(),01f m m m m+<<=，再求其值域即得结果. 【详解】由01m n <<<且1mn =知，22m n m m +=+，故设()2(),01f m m m m+<<=， 设1201m m <<<，则()1212121212222()()1f m f m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12120,01m m m m -<<<，即1222m m >，故()1212210m m m m ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即12()()f m f m >，函数2()f m m m =+在()0,1上单调递减，2(1)131f =+=，故函数的值域为(3,)+∞. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <； （2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论.12．C解析：C 【分析】对数的真数大于零，分母不为零，偶次根式要求被开方式大于等于零，依据以上三点，列不等式求解. 【详解】欲使函数有意义，则0lg 020x x x >⎧⎪≠⎨⎪-≥⎩，即012x x x >⎧⎪≠⎨⎪≤⎩解得()(]0,11,2x ∈⋃ 故选：C . 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关求函数定义域的问题，在求解的过程中，注意： （1）对数要求真数大于0； （2）分式要求分母不等于0； （3）偶次根式要求被开方式大于等于0.13．C解析：C 【分析】根据“呆呆函数”的定义可知：函数()f x 的值域关于原点对称，由此逐项判断. 【详解】根据定义可知：()f x 为“呆呆函数”⇔()f x 的值域关于原点对称， A ．2111sin cos cos sin 2cos 2222y x x x x x =+=++1242y x π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭⎣⎦，此时值域不关于原点对称，故不符合；B ．()20,xy =∈∞+，值域不关于原点对称，故不符合；C ．ln x y x e =+，当0x →时，y →-∞，当x →+∞时，+y →∞， 所以()ln ,xy x e =+∈-∞+∞，值域关于原点对称，故符合；D ．()[)222111,y x x x =-=--∈-+∞，值域不关于原点对称，故不符合， 故选：C. 【点睛】本题考查新定义函数，涉及到函数值域的分析，主要考查学生的分析理解能力，难度一般.14．B解析：B 【分析】先判断函数的单调性，然后解答不等式，在恒成立的条件下求出结果【详解】依题意得：函数()314,025,0xx f x x x x ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--+>⎩，在x ∈R 上单调递减，因为()()2-<+f m x f x m ，所以2m x x m ->+，即2x m <，在[],1x m m ∈+上恒成立，所以2(1)m m +<，即2m <-，故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性的应用，结合函数的单调性求解不等式，需要掌握解题方法15．D解析：D 【分析】当(1,1)x ∈-时，函数1()1xf x lgx-=+恒有意义，代入计算()()f x f x -+可判断①；利用分析法，结合反比例函数及对数函数的单调性和复合函数“同增异减”的原则，可判断②；代入分别计算12()()f x f x +和1212()1x x f x x ++，比照后可判断③． 【详解】 解：1()1xf x lgx-=+，当(1,1)x ∈-时， 1111()()()101111x x x xf x f x lg lg lg lg x x x x+-+--+=+===-+-+，故()()f x f x -=-，即①正确； 12()(1)11x f x lglg x x -==-++，由211y x=-+在(1,1)-上是减函数，故()f x 在(1,1)-上是减函数，即②正确； 12121212121212121211111()()()11111x x x x x x x x f x f x lglg lg lg x x x x x x x x ----+--+=+==+++++++； 12121212121212121212111()1111x x x x x x x x x x f lg lg x x x x x x x x x x +-+++--==+++++++，即③正确 故三个结论中正确的命题有3个 故选：D ． 【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了函数求值，复合函数的单调性，对数的运算性质等知识点，属于中档题．二、填空题16．【分析】由对称性奇偶性得出周期性然后再结合周期性和奇偶性进行计算【详解】因为则又函数为奇函数所以所以是周期函数周期为4又所以故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查函数的奇偶性对称性周期性函数具有两个对 解析：1316-【分析】由对称性、奇偶性得出周期性，然后再结合周期性和奇偶性进行计算． 【详解】 因为(1)(1)f x f x -=+，则()(2)f x f x =-，又函数为奇函数，所以()()(2)(2)(4)f x f x f x f x f x =--=-+=--=+，所以()f x 是周期函数，周期为4． 又125log 254-<<-，所以111122222252525(log 25)(4log 25)(log )(log )(log )161616f f f f f =+==--=-225log 163253132416416⎛⎫=--=-+=- ⎪⎝⎭．故答案为：1316-． 【点睛】结论点睛：本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性．函数()f x 具有两个对称性时，就具有周期性．（1）()f x 的图象关于点(,0)m 对称，又关于直线xn =对称，则()f x 是周期函数，4m n -是它的一个周期；（2）()f x 的图象关于点(,0)m 对称，又关于点(,0)n （m n ≠）对称，则()f x 是周期函数，2m n -是它的一个周期；（3）()f x 的图象关于直线x m =对称，又关于直线x n =（m n ≠）对称，则()f x 是周期函数，2m n -是它的一个周期．17．【分析】将绝对值函数化为分段函数形式判断单调性【详解】由题意当时函数单调递减；当时函数在上单调递增在上单调递减；当时函数单调递增；综上所述函数的单调递减区间为故答案为：解析：()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭， 【分析】将绝对值函数化为分段函数形式，判断单调性. 【详解】由题意()151,02215151,222215,22x x x f x x x x x x x x x ⎧+-<<⎪⎪⎪=+-=--+<≤⎨⎪⎪++≥⎪⎩，当102x <<时，函数15()2f x x x =+-单调递减；当122x ≤<时，函数15()2f x x x =--+，在1(,1)2上单调递增，在(1,2)上单调递减； 当2x ≥时，函数15()2f x x x =+-单调递增； 综上所述，函数()152f x x x =+-的单调递减区间为()10,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 故答案为：()10,1,22⎛⎫⎪⎝⎭，. 18．4【分析】由在上的单调性求出a 的一个范围再令则在上是减函数分类讨论根据的单调性求参数a 的范围两范围取交集即可得解【详解】由题意可知函数在上是增函数解得令则在上是减函数①当时在上为增函数不符合题意；②解析：4 【分析】由()g x 在(]0,2上的单调性求出a 的一个范围，再令()()f x h x x=，则()h x 在(]0,2上是减函数，分类讨论根据()h x 的单调性求参数a 的范围，两范围取交集即可得解. 【详解】由题意可知函数()()24g x x a x a =+-+在(]0,2上是增函数，402a -∴≤，解得4a ≤， 令()()4f x ax a xxh x +==+-，则()h x 在(]0,2上是减函数， ①当0a ≤时，()h x 在(]0,2上为增函数，不符合题意；②当0a >时，由对勾函数的性质可知()h x在上单调递减，2≥，解得4a ≥，又4a ≤，4a ∴=.故答案为：4 【点睛】本题考查函数的单调性、一元二次函数的单调性，属于中档题.19．5【分析】先根据函数的奇偶性求出的值然后将代入小于0的解析式建立等量关系解之即可【详解】函数是奇函数而则将代入小于0的解析式得解得故答案为5解析：5 【分析】先根据函数的奇偶性求出(2)f -的值,然后将2x =-代入小于0的解析式,建立等量关系,解之即可. 【详解】∴函数()y f x =是奇函数,()()f x f x ∴-=-,而(2)6f =,则(2)(2)6f f -=-=-, 将2x =-代入小于0的解析式得(2)426f a -=-=-,解得5a =, 故答案为5.20．1【分析】首先根据题中所给的条件判断出函数的最小正周期结合奇函数的定义求得结果【详解】因为所以函数是以3为周期的周期函数且是定义域为的奇函数所以故答案为：1【点睛】该题考查的是有关函数的问题涉及到的解析：1 【分析】首先根据题中所给的条件，判断出函数的最小正周期，结合奇函数的定义，求得结果. 【详解】因为()()3f x f x =+，所以函数()f x 是以3为周期的周期函数， 且是定义域为R 的奇函数，所以(2020)(67432)(2)(2)1f f f f =⨯-=-=-=， 故答案为：1. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数奇偶性与周期性的综合应用，属于简单题目.21．【解析】由题意得：当时恒成立即；当时恒成立即；当时即综上x 的取值范围是【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么然后代入该段的解析式求值解决此类问题时要注解析：1(,)4-+∞【解析】 由题意得： 当12x >时，12221x x -+>恒成立，即12x >；当102x <≤时，12112x x +-+> 恒成立，即102x <≤；当0x ≤时，1111124x x x ++-+>⇒>-，即014x -<≤.综上，x 的取值范围是1(,)4-+∞.【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值.22．3【分析】由幂函数为偶函数且在（0+∞）上是单调递减函数可得m2-2m-3＜0且m2-2m-3为偶数m ∈Z 且解出即可【详解】∵幂函数为偶函数且在上是减函数∴且为偶数且解得12且只有时满足为偶数∴故答解析：3 【分析】由幂函数()()2231mm f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，可得m 2-2m -3＜0，且m 2-2m -3为偶数，m ∈Z ，且1=1a -．解出即可． 【详解】∵幂函数()()2231mm f x a x --=-(),a m N ∈为偶函数，且在()0,∞+上是减函数，∴2230m m --<，且223m m --为偶数，m N ∈，且1=1a -. 解得13m -<<，0m =，1，2， 且=2a ,只有1m =时满足223=4m m ---为偶数. ∴1m =.3a m +=故答案为：3. 【点睛】本题考查幂函数的性质，根据幂函数性质求参数值，可根据幂函数性质列不等式和等式，求解即可，属于基础题.23．②④【分析】根据题意画出方程对应的函数图象根据图像判断函数单调性值域最值以及函数零点个数的判断数形结合即可选择【详解】当y≥0时方程y|y|＝1化为（y≥0）当y ＜0时方程y|y|＝1化为（y ＜0）解析：②④ 【分析】根据题意，画出方程对应的函数图象，根据图像判断函数单调性、值域、最值以及函数零点个数的判断，数形结合即可选择. 【详解】当y ≥0时，方程24x +y |y |＝1化为2214x y +=（y ≥0），当y ＜0时，方程24x +y |y |＝1化为2214x y -=（y ＜0）.作出函数f （x ）的图象如图：由图可知，函数f （x ）在R 上不是单调函数，故①错误； y ＝f （x ）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1，故②正确； 函数f （x ）的值域为（﹣∞，1]，故③错误；双曲线2214x y -=的渐近线方程为y 12=±，故函数y ＝f （x ）与y ＝﹣x 的图象只有1个交点， 即函数F （x ）＝f （x ）+x 有且只有一个零点，故④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查函数单调性、值域以及零点个数的判断，涉及椭圆和双曲线的轨迹绘制，以及数形结合的数学思想，属综合中档题.24．-1【解析】试题解析：-1 【解析】 试题因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以，则，所以．考点：函数的奇偶性．25．1【分析】根据题意由函数的奇偶性分析可得进而可得即函数是周期为4的周期函数据此可得（4）（2）即可得答案【详解】根据题意函数是定义在上的偶函数对任意的都有则即函数是周期为4的周期函数故答案为：1【点解析：1 【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得()(2)f x f x =--，进而可得()(2)(4)f x f x f x =--=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得(2020)(44504)f f f =+⨯=（4）f =-（2），即可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()(2)f x f x =--，则()(2)f x f x =--，∴()(2)(4)f x f x f x =--=-，即函数()f x 是周期为4的周期函数，(2020)(44504)(4)(2)1f f f f =+⨯==-=，故答案为：1 【点睛】本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性、周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期．26．【分析】令根据当时可得因此函数在时单调递减又为奇函数由于可得即可求得答案【详解】①令当时函数在时单调递减；的解集为②函数()分别是定义在上的奇函数和偶函数是上的奇函数当时的解集为综上所述不等式的解集 解析：()()1,01,-⋃+∞【分析】 令()()()h x F x g x =,根据当0x <时, ()()()()0h x g x h x g x ''-<可得()0F x '<,因此函数()F x 在0x <时单调递减,又()F x 为奇函数,由于()10h -=,可得(1)(1)0F F -==,即可求得答案. 【详解】 ①令()()()h x F x g x =. 当0x <时, ()()()()0h x g x h x g x ''-<,∴()()()()2()()0h x g x h F x g x x g x '=''-< ∴函数()F x 在0x <时单调递减；()10h -=,(1)(1)0F F ∴-==∴()0F a <的解集为()1,0-②函数()h x ,()g x (()0g x ≠)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数∴()()()()()()h x h x F x F x g x g x --==-=-- ∴()F x 是R 上的奇函数,∴当0x >时,()0F a <的解集为(1,)+∞综上所述,不等式()()0h a g a <的解集为:()()1,01,-⋃+∞. 故答案为:()()1,01,-⋃+∞. 【点睛】本题主要考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式,解题关键是掌握根据题意构造函数的方法和由导数判断函数单调性的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.。

2021年高中数学必修第一册第3章《函数概念与性质》同步课件（含答案）1、人教2021A版必修第一册第三章函数概念与性质n函数函数的概念基本性质幂函数单调性〔最值〕奇偶性概念表示法学问结构n一、基础学问整合1．函数的概念一般地，设A，B是两个非空的数集，假如根据某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________，记作y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做________，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做________，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．唯一确2、定的数函数自变量定义域函数值值域n2．函数的表示方法(1)解析法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法．(2)图象法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法．(3)列表法：就是________来表示两个变量之间的对应关系的方法．3．构成函数的三要素(1)函数的三要素是：________，________，________.(2)两个函数相等：假如两个函数的________相同，并且________完全一致，则称这两个函数相等．数学表达式图象列出表格定义域对应关系值域定义域对应关系3、n〔3〕.求函数的定义域应留意：②f(x)是分式，则分母不为0；①f(x)是整式，则定义域是R；③偶次方根的被开方数非负；④若f(x)=,则定义域表格形式给出时,定义域就是表格中数的集合.4．分段函数若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数．n5.函数的单调性(1)增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：①假如对于定义域I内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．②假如对于定义域I4、内某个区间D上的自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是．(2)单调性与单调区间假如函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)，区间D叫做y＝f(x)的．任意两个增函数任意两个减函数单调性单调区间n〔1〕.偶函数的定义：假如对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.〔2〕.奇函数的定义：假如对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(-x)=-f(x),那么函5、数f(x)就叫做奇函数.〔3〕.几个结论:①偶函数的图象关于y轴对称.②奇函数的图象关于原点对称.③函数y=f(x)是奇函数或偶函数的一个必不行少的条件是---定义域关于原点对称,否则它是非奇非偶函数.④推断一个函数是否为奇(偶)函数还可用f(-x)±f(x)=0或.6.奇偶函数定义n7.常见幂函数的性质y=xy=x2y=x3y=x-1图象定义域值域奇偶性单调性公共点函数性质RRRRR[0,+∞)[0,+∞)[0,+∞)奇奇奇偶非奇非偶[0,+∞)增(-∞,0]减(0,+∞)减(-∞,0)减增增增(1,1)n类型6、一函数的定义域n类型二求函数的解析式nnn例3已知函数则－n类型三函数的性质及应用nn探究1.假如分段函数为定义域上的减函数，那么在每个分段区间内的单调性是怎样的？探究 2.要保证分段函数在整个定义域内单调递减，需要满足什么条件？n[解析]由x≥1时，f(x)＝－x2＋2ax－2a是减函数，得a≤1；由x＜1时，函数f(x)＝ax＋1是减函数，得a＜0.分段点x＝1处的值应满足－12＋2a×1－2a≤1×a＋1，解得a≥－2.所以－2≤a＜0.[答案]B[规律总结]在应用分段函数整体的单调性求解参数的取7、值范围时，不仅要保证分段函数的每一段上的函数是单调的，而且还要求函数的特别点——分段点处的值，也要结合函数的单调性比较大小，如本例中的分段点x＝1，即需要在此处列出满足题意的关系式，求出a的限制条件．nn例7求f(x)＝2x2－4x＋1(－1≤x≤1)的值域．解：f(x)＝2(x－1)2－1，此函数在[－1,1]上单减，∴最大值f(－1)＝7，最小值f(1)＝－1，∴值域为[－1,7]．n例8.函数f(x)的定义域为R，且对任意x，y∈R，有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x0时，f(x)8、0，f(1)＝－2.(1)证明f(x)是奇函数；(2)证明f(x)在R上是减函数；(3)求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．[分析]给出函数关系而未给出解析式，要证明函数的奇偶性与单调性，关键是紧紧扣住条件f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x0时，f(x)0，对其中的x，y不断赋值．n[解析](1)令y＝－x，得f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，∴f(x)＋f(－x)＝f(0)．又∵f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0，∴f(x)＋f(－x)＝0，f(－x)＝－f9、(x)，∴f(x)是奇函数．n(2)任取x1，x2∈R，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f[x1＋(x2－x1)]＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2－x1)]＝－f(x2－x1)．∵x1x2，∴x2－x10，又∵当x0时，f(x)0，∴f(x2－x1)0，∴－f(x2－x1)0，即f(x1)f(x2)，从而f(x)在R上是减函数．n(3)∵f(x)在R上是减函数．∴f(x)在[－3,3]上的最大值是f(－3)，最小值是f(3)．f10、(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×(－2)＝－6，∴f(－3)＝－f(3)＝6.从而f(x)在区间[－3,3]上的最大值是6，最小值是－6.nn 达标检测nnnnn所以，nnnn。

高中数学必修一第三章函数的概念与性质解题技巧总结单选题1、函数f(x)在(−∞,+∞)上是减函数，且a为实数，则有（）A．f(a)<f(2a) B．f(a2)<f(a)C．f(a2+1)<f(a)D．f(a2−a)<f(a)答案：C分析：利用a=0可排除ABD；根据函数单调性和a2+1>a恒成立可知C正确.当a=0时，ABD中不等式左右两侧均为f(0)，不等式不成立，ABD错误；∵a2+1−a>0对于a∈R恒成立，即a2+1>a恒成立，又f(x)为R上的减函数，∴f(a2+1)<f(a)，C正确.故选：C.2、已知函数f(x)的定义域为(3,5)，则函数f(2x+1)的定义域为（）A．(1,2)B．(7,11)C．(4,16)D．(3,5)答案：A分析：根据3<2x+1<5求解即可∵f(x)的定义域为(3,5)，∴3<x<5，由3<2x+1<5，得1<x<2，则函数f(2x+1)的定义域为(1,2)故选：A.3、已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1，则∑22k=1f(k)=（）A．−3B．−2C．0D．1答案：A分析：法一：根据题意赋值即可知函数f(x)的一个周期为6，求出函数一个周期中的f(1),f(2),⋯,f(6)的值，即可解出．[方法一]：赋值加性质因为f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y)，令x=1,y=0可得，2f(1)=f(1)f(0)，所以f(0)=2，令x=0可得，f(y)+f(−y)=2f(y)，即f(y)=f(−y)，所以函数f(x)为偶函数，令y=1得，f(x+1)+f(x−1)=f (x )f (1)=f (x )，即有f (x +2)+f (x )=f (x +1)，从而可知f (x +2)=−f (x −1)，f (x −1)=−f (x −4)，故f (x +2)=f (x −4)，即f (x )=f (x +6)，所以函数f (x )的一个周期为6．因为f (2)=f (1)−f (0)=1−2=−1，f (3)=f (2)−f (1)=−1−1=−2，f (4)=f (−2)=f (2)=−1，f (5)=f (−1)=f (1)=1，f (6)=f (0)=2，所以一个周期内的f (1)+f (2)+⋯+f (6)=0．由于22除以6余4，所以∑f (k )22k=1=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1−1−2−1=−3．故选：A ． [方法二]：【最优解】构造特殊函数由f (x +y )+f (x −y )=f (x )f (y )，联想到余弦函数和差化积公式cos (x +y )+cos (x −y )=2cos x cos y ，可设f (x )=a cos ωx ，则由方法一中f (0)=2,f (1)=1知a =2,a cos ω=1，解得cosω=12，取ω=π3， 所以f (x )=2cos π3x ，则f (x +y )+f (x −y )=2cos (π3x +π3y)+2cos (π3x −π3y)=4cos π3x cos π3y =f (x )f (y )，所以f (x )=2cos π3x 符合条件，因此f(x)的周期T =2ππ3=6，f (0)=2,f (1)=1，且f (2)=−1,f (3)=−2,f (4)=−1,f (5)=1,f (6)=2，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0， 由于22除以6余4，所以∑f (k )22k=1=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=1−1−2−1=−3．故选：A ． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.4、下列各组函数表示同一函数的是（ ） A ．f (x )=x ，g (x )=√x 33B ．f (x )=1，g (x )=x 0C ．f (x )=x +1，g (x )=x 2−1x−1D ．f (x )=√x 2，g (x )=(√x)2答案：A分析：根据相同函数的定义，分别判断各个选项函数的定义域和对应关系是否都相同，即可得出答案. 解：对于A ，两个函数的定义域都是R ，3=x，对应关系完全一致，g(x)=√x3所以两函数是相同函数，故A符合题意；对于B，函数f(x)=1的定义域为R，函数g(x)=x0的定义域为{x|x≠0}，故两函数不是相同函数，故B不符题意；对于C，函数f(x)=x+1的定义域为R，函数g(x)=x2−1的定义域为{x|x≠1}，x−1故两函数不是相同函数，故C不符题意；对于D，函数f(x)=√x2的定义域为R，函数g(x)=(√x)2的定义域为[0,+∞)，故两函数不是相同函数，故D不符题意.故选：A.5、已知f(x+1)=x−5，则f(f(0))=（）A．−9B．−10C．−11D．−12答案：D分析：根据f(x+1)=x−5，利用整体思想求出f(x)的解析式，求得f(0)，从而即求出f(f(0))．解：因为f(x+1)=x−5=(x+1)−6，所以f(x)=x−6，f(0)=−6，所以f(f(0))=f(−6)=−12.故选：D．6、已知三次函数f(x)=2x3+3ax2+bx+c(a,b,c∈R)，且f(2020)=2020，f(2021)=2021，f(2022)= 2022，则f(2023)=（）A．2023B．2027C．2031D．2035答案：D分析：根据题意，构造函数g(x)=f(x)−x，根据g(2020)=g(2021)=g(2022)=0可以知道g(x)=2(x−2020)(x−2021)(x−2022)，进而代值得到答案.设g(x)=f(x)−x，则g(2020)=g(2021)=g(2022)=0，所以g(x)=2(x−2020)(x−2021)(x−2022)，所以g(2023)=2×3×2×1=12，所以f(2023)=12+2023=2035.故选：D.7、函数f(x)=√−x2+5x+6x+1的定义域（）A．(−∞,−1]∪[6,+∞)B．(−∞,−1)∪[6,+∞)C．(−1,6]D．[2,3]答案：C分析：解不等式组{−x 2+5x+6≥0x+1≠0得出定义域.{−x 2+5x+6≥0x+1≠0，解得−1<x⩽6即函数f(x)的定义域(−1,6]故选：C8、若函数f(x)=x2−mx+10在(−2,1)上是减函数，则实数m的取值范围是（）A．[2,+∞)B．[−4,+∞)C．(−∞,2]D．(−∞,−4]答案：A分析：结合二次函数的对称轴和单调性求得m的取值范围.函数f(x)=x2−mx+10的对称轴为x=m2，由于f(x)在(−2,1)上是减函数，所以m2≥1⇒m≥2.故选:A多选题9、函数f(x)的定义域为R，对任意的x1，x2∈R都满足x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，下列结论正确的是（）A．函数f(x)在R上是单调递减函数B．f(−2)<f(1)<f(2)C．f(x+1)<f(−x+2)的解为x<1D．f(0)=02答案：BC分析：由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，可得(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，所以可判断出f(x)在R 上为增函数，然后逐个分析判断即可解：由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，得(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，所以f(x)在R上单调递增，所以A错，因为f(x)为R上的递增函数，所以f(−2)<f(1)<f(2)，所以B对，，所以C对因为f(x)在R上为增函数，f(x+1)<f(−x+2)⇔x+1<−x+2⇒x<12函数R上为增函数时，不一定有f(0)=0，如f(x)=2x在R上为增函数，但f(0)=1，所以D不一定成立，故D 错．故选：BC10、已知f(x)、g(x)都是定义在R上的函数，且f(x)为奇函数，g(x)的图像关于直线x=1对称，则下列说法中正确的有（）A．y=g[f(x)+1]为偶函数B．y=g[f(x)]为奇函数C．y=f[g(x)]的图像关于直线x=1对称D．y=f[g(x+1)]为偶函数答案：ACD分析：本题可根据f(x)为奇函数得出f(−x)=−f(x)，然后根据g(x)关于直线x=1对称得出g(1−x)=g(1+x)，最后以此为依据依次分析四个选项，即可得出结果.因为f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f(x)，因为g(x)的图像关于直线x=1对称，所以g(1−x)=g(1+x)，A项：g[f(−x)+1]=g[−f(x)+1]=g[f(x)+1]，则函数y=g[f(x)+1]为偶函数，A正确；B项：g[f(−x)]=g[−f(x)]≠−g[f(x)]，不是奇函数，B错误；C项：因为g(1−x)=g(1+x)，所以f[g(1−x)]=f[g(1+x)]，则y=f[g(x)]的图像关于直线x=1对称，C正确；D项：因为g(1−x)=g(1+x)，所以f[g(−x+1)]=f[g(x+1)]，则函数y=f[g(x+1)]为偶函数，D正确，故选：ACD.小提示：关键点点睛：本题考查函数奇偶性和对称性的判断，若函数f(x)为奇函数，则满足f(−x)=−f(x)，若函数f(x)为偶函数，则满足f(−x)=f(x)，若函数f(x)关于直线x=k对称，则f(1−k)=f(1+k)，考查推理能力，是中档题.11、（多选）若函数f(x)在(0,+∞)上满足：对任意的x1，x2∈(0,+∞)，当x1≠x2时，恒有x2f(x1)−x1f(x2)x1−x2>0，则称函数f(x)为“理想函数”．下列函数能被称为“理想函数”的有（）A．f(x)=−1B．f(x)=x3+3x2−2xC．f(x)=√x D．f(x)=x2+x答案：ABD分析：先通过分析，得到若y=f(x)x在(0,+∞)上单调递增，则函数f(x)为“理想函数”，然后依次判断四个选项能否满足题意.不妨设x1>x2>0，则由题意可得x2f(x1)>x1f(x2)，即f(x1)x1>f(x2)x2，由单调性定义可知，函数y=f(x)x在(0,+∞)上单调递增，即若y=f(x)x在(0,+∞)上单调递增，则称函数f(x)为“理想函数”．A选项中y=f(x)x =−1x，该函数在(0,+∞)上单调递增，符合“理想函数”的定义；B选项中y=f(x)x=x2+3x−2，该函数在(0,+∞)上单调递增，符合“理想函数”的定义；C选项中y=f(x)x =√xx=√x，该函数在(0,+∞)上单调递减，不符合“理想函数”的定义；D选项中y=f(x)x=x+1．该函数在(0,+∞)上单调递增，符合“理想函数”的定义．故选：ABD．填空题12、对于定义域为D的函数f(x)，若存在x0∈D，使f(x0)=x0，则称点(x0,x0)为f(x)图象上的一个不动点．由此，函数f(x)=4x的图象上不动点的坐标为_________．答案：(−2,−2)、(2,2)分析：由不动点的定义，结合函数解析式求出不动点坐标. 由题设，函数定义域为{x|x ≠0}， 令f(x)=4x =x ，则x =±2，所以函数不动点坐标为(−2,−2)、(2,2). 所以答案是：(−2,−2)、(2,2)13、已知函数f （x ）＝{x +1,x <1x 2−2ax,x ≥1在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案：(−∞,−12]分析：要使f （x ）在R 上单调递增，必须满足：f （x ）在(－∞，1)上单调递增，f （x ）在(1，＋∞)上单调递增；又x =1时，(x 2－2ax )≥(x ＋1)．要使f （x ）在R 上单调递增，必须满足三条： 第一条：f （x ）在(－∞，1)上单调递增； 第二条：f （x ）在(1，＋∞)上单调递增； 第三条：x =1时，(x 2－2ax )≥(x ＋1)．故有{−−2a2=a ≤1,1−2a ≥2,解得a ≤−12．故实数a 的取值范围为(−∞,−12]． 所以答案是：(−∞,−12]. 14、设函数f （x ）=(x+1)2+ax 132x 2+2，a ∈R 的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝__．答案：1分析：令g （x ）＝f （x ）−12=2x+ax 132x 2+2，易判断g （x ）为奇函数，由奇函数的性质，可得（M −12）+（m −12）＝0，即可求出M +m 的值. 解：f （x ）=(x+1)2+ax 132x 2+2=x 2+2x+1+ax 132x 2+2=12+2x+ax 132x 2+2，令g （x ）＝f （x ）−12=2x+ax 132x 2+2，则g （﹣x ）=−2x−ax 132x 2+2=−g （x ），所以g （x ）为奇函数，所以g （x ）的最大最小值分别为M −12，m −12， 由奇函数的性质，可得（M −12）+（m −12）＝0，所以M +m ＝1． 所以答案是：1． 解答题15、函数f(x)对任意的实数m ，n ，有f(m +n)=f(m)+f(n)，当x >0时，有f(x)>0． （1）求证：f(0)=0．（2）求证：f(x)在(−∞,+∞)上为增函数． （3）若f(1)=1，解不等式f(4x −2x )<2．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）{x|x <1} 分析：（1）令m =n =0，代入等式，可求得f(0)=0；（2）令n =−m ，代入等式，结合f(0)=0，可得到f(−m)=−f(m)，从而可知y =f(x)是奇函数，然后用定义法可证明f(x)在(−∞,+∞)上为增函数；（3）原不等式可化为f(4x −2x )<f(2)，结合函数f(x)的单调性，可得出4x −2x <2，解不等式即可. （1）证明：令m =n =0，则f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，∴f(0)=0. （2）证明：令n =−m ，则f(m −m)=f(m)+f(−m)， ∴f(0)=f(m)+f(−m)=0，∴f(−m)=−f(m)，∴对任意的m ，都有f(−m)=−f(m)，即y =f(x)是奇函数． 在(−∞,+∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则x 2−x 1>0，∴f(x 2−x 1)=f(x 2)+f(−x 1)=f(x 2)−f(x 1)>0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴函数y =f(x)在(−∞,+∞)上为增函数.（3）原不等式可化为f(4x −2x )<1+1=f(1)+f(1)=f(2)，由（2）知f(x)在(−∞,+∞)上为增函数，可得4x −2x <2，即(2x −2)(2x +1)<0， ∵2x +1>0，∴2x −2<0，解得x <1，故原不等式的解集为{x|x<1}.小提示：本题考查函数奇偶性、单调性，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.。

高中数学必修一第三章函数的概念与性质知识总结例题单选题1、已知定义在R 上的奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，若实数x 满足xf (x −12)≤0，则x 的取值范围是（ ）A ．[−12,0]∪[12,32]B ．[−12,12]∪[32,+∞)C ．[−12,0]∪[12,+∞)D ．[−32,−12]∪[0,12] 答案：A分析：首先根据函数的奇偶性和单调性得到函数f (x )在R 上单调递增，且f (1)=f (−1)=0，从而得到x ∈(−∞,−1)，f (x )<0，x ∈(−1,0)，f (x )>0，x ∈(0,1)，f (x )<0，x ∈(1,+∞)，f (x )>0，再分类讨论解不等式xf (x −12)≤0即可.因为奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，定义域为R ，f(1)=0，所以函数f (x )在R 上单调递增，且f (1)=f (−1)=0.所以x ∈(−∞,−1)，f (x )<0，x ∈(−1,0)，f (x )>0，x ∈(0,1)，f (x )<0，x ∈(1,+∞)，f (x )>0.因为xf (x −12)≤0，当x <0时，f (x −12)≥0，即−1≤x −12≤0或x −12≥1，解得−12≤x <0.当x =0时，符合题意.当x >0时，f (x −12)≤0，x −12≤−1或0≤x −12≤1， 解得12≤x ≤32. 综上：−12≤x ≤0或12≤x ≤32. 故选：A2、若函数f (x )=x α的图象经过点(9,13)，则f (19)=（ ）A ．13B ．3C ．9D ．8分析：将(9,13)代入函数解析式，即可求出α，即可得解函数解析式，再代入求值即可. 解：由题意知f (9)=13，所以9α=13，即32α=3−1，所以α=−12，所以f (x )=x −12，所以f (19)=(19)−12=3.故选：B3、若函数f(x)=x 2−mx +10在(−2,1)上是减函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[2,+∞)B ．[−4,+∞)C ．(−∞,2]D ．(−∞,−4]答案：A分析：结合二次函数的对称轴和单调性求得m 的取值范围.函数f(x)=x 2−mx +10的对称轴为x =m 2，由于f (x )在(−2,1)上是减函数，所以m 2≥1⇒m ≥2. 故选:A4、函数f (x )=x 2−1的单调递增区间是（ ）A ．(−∞,−3)B ．[0,+∞)C ．(−3,3)D ．(−3,+∞)答案：B分析：直接由二次函数的单调性求解即可.由f (x )=x 2−1知，函数为开口向上，对称轴为x =0的二次函数，则单调递增区间是[0,+∞).故选：B.5、若函数f （x ）＝x ln （x +√a +x 2）为偶函数，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．﹣1D ．1或﹣1答案：B分析：由f （x ）＝x ln （x +√a +x 2）为偶函数，则设g （x ）＝ln （x +√a +x 2）是奇函数，由g （0）＝0，可解：∵函数f（x）＝x ln（x+√a+x2）为偶函数，x∈R，∴设g（x）＝ln（x+√a+x2）是奇函数，则g（0）＝0，即ln√a=0，则√a=1，则a＝1．故选：B．6、函数f(x)=log2x−1x的零点所在的区间为（）A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)答案：B解析：判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项.f(1)=0−1=−1<0，f(2)=1−12=12>0，且函数f(x)=log2x−1x 的定义域是(0,+∞)，定义域内y=log2x是增函数，y=−1x也是增函数，所以f(x)是增函数，且f(1)f(2)<0，所以函数f(x)=log2x−1x的零点所在的区间为(1,2).故选：B小提示：方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断.7、函数y=√2x+4x−1的定义域为（）A．[0,1)B．(1,+∞)C．(0,1)∪(1,+∞)D．[0,1)∪(1,+∞)答案：D分析：由题意列不等式组求解由题意得{2x≥0x−1≠0，解得x≥0且x≠1，故选：D8、设a为实数，定义在R上的偶函数f(x)满足：①f(x)在[0,+∞)上为增函数；②f(2a)<f(a+1)，则实数a 的取值范围为（）A．(−∞,1)B．(−13,1)C．(−1,13)D．(−∞,−13)∪(1,+∞)答案：B分析：利用函数的奇偶性及单调性可得|2a|<|a+1|，进而即得.因为f(x)为定义在R上的偶函数，在[0,+∞)上为增函数，由f(2a)<f(a+1)可得f(|2a|)<f(|a+1|)，∴|2a|<|a+1|，解得−13<a<1.故选：B.多选题9、某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为（）A．2.5元B．3元C．3.2元D．3.5元答案：BC分析：设每册杂志定价为x(x>2)元，根据题意由(10−x−20.2×0.5)x≥22.4，解得x的范围，可得答案.依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，设每册杂志定价为x(x>2)元，则发行量为10−x−20.2×0.5万册，则该杂志销售收入为(10−x−20.2×0.5)x万元，所以(10−x−20.2×0.5)x≥22.4，化简得x2−6x+8.96≤0，解得2.8≤x≤3.2，故选：BC小提示：关键点点睛：理解题意并求出每册杂志定价为x(x>2)元时的发行量是解题关键.10、已知函数f(x)={|x |+2,x <1x +2x,x ≥1 ，下列说法正确的是（ ） A ．f(f(0))=3B ．函数y =f(x)的值域为[2,+∞)C ．函数y =f(x)的单调递增区间为[0,+∞)D ．设a ∈R ，若关于x 的不等式f(x)≥|x 2+a|在R 上恒成立，则a 的取值范围是[−2,2]答案：ABD解析：作出函数f(x)的图象，先计算f(0)，然后计算f(f(0))，判断A ，根据图象判断BC ，而利用参变分离可判断D ．画出函数f(x)图象.如图，A 项，f(0)=2，f(f(0))=f(2)=3，B 项，由图象易知，值域为[2,+∞)C 项，有图象易知，[0,+∞)区间内函数不单调D 项，当x ≥1时，x +2x ≥|x 2+a|恒成立，所以−x −2x ≤x 2+a ≤x +2x 即−32x −2x ≤a ≤x 2+2x 在[1,+∞)上恒成立，由基本不等式可得x 2+2x ≥2，当且仅当x =2时等号成立，3x 2+2x ≥2√3，当且仅当x =2√33时等号成立， 所以−2√3≤a ≤2.当x <1时，|x |+2≥|x 2+a|恒成立，所以−|x |−2≤x 2+a ≤|x |+2在(−∞,1)上恒成立，即−|x |−2−x 2≤a ≤|x |+2−x 2在(−∞,1)上恒成立 令g (x )=|x |+2−x 2={−32x +2,x ≤0x 2+2,0<x <1 ，当x ≤0时，g (x )≥2，当0<x <1时，2<g (x )<32，故g (x )min =2；令ℎ(x )=−|x |−2−x 2={12x −2,x ≤0−3x 2−2,0<x <1 ，当x ≤0时，ℎ(x )≤−2，当0<x <1时，−72<ℎ(x )<−2，故ℎ(x )max =−2； 所以−2≤a ≤2.故f(x)≥|x 2+a|在R 上恒成立时，有−2≤a ≤2. 故选：ABD ．小提示：关键点点睛：本题考查分段函数的性质，解题方法是数形结合思想，作出函数的图象，由图象观察得出函数的性质，绝对值不等式恒成立，可以去掉绝对值符号，再利用参变分离求参数的取值范围．11、已知函数f (x )={x 2,−2≤x <1−x +2,x ≥1关于函数f (x )的结论正确的是（ ） A ．f (x )的定义域为RB ．f (x )的值域为(−∞,4]C ．若f (x )=2，则x 的值是−√2D ．f (x )<1的解集为(−1,1)答案：BC分析：求出分段函数的定义域可判断A ；求出分段函数的值域可判断B ；分x ≥1、−2≤x <1两种情况令f (x )=2求出x 可判断C ；分x ≥1、−2≤x <1两种情况解不等式可判断D.函数f (x )={x 2,−2≤x <1−x +2,x ≥1的定义域是[−2,+∞)，故A 错误； 当−2≤x <1时，f (x )=x 2，值域为[0,4]，当x ≥1时，f (x )=−x +2，值域为(−∞,1]，故f (x )的值域为(−∞,4]，故B 正确；当x ≥1时，令f (x )=−x +2=2，无解，当−2≤x <1时，令f (x )=x 2=2，得到x =−√2，故C 正确； 当−2≤x <1时，令f (x )=x 2<1，解得x ∈(−1,1)，当x ≥1时，令f (x )=−x +2<1，解得x ∈(1,+∞)，故f (x )<1的解集为(−1,1)∪(1,+∞)，故D 错误．故选：BC．填空题12、写出一个同时具有下列性质的函数f(x)=___________.①f(x)是奇函数；②f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数；③f(x1x2)=f(x1)f(x2).答案：x−1（答案不唯一，符合条件即可）分析：根据三个性质结合图象可写出一个符合条件的函数解析式．f(x)是奇函数，指数函数与对数函数不具有奇偶性，幂函数具有奇偶性，又f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数，同时f(x1x2)=f(x1)f(x2)，故可选，f(x)=xα,α<0,且α为奇数，所以答案是：x−113、已知幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m+1的图象关于原点对称，则满足(a+1)m>(3−2a)m成立的实数a 的取值范围为___________.答案：(23,4)分析：利用幂函数的定义及性质求出m值，再解一元二次不等式即可得解.因函数f(x)=(m2−3m+3)x m+1是幂函数，则m2−3m+3=1，解得m=1或m=2，当m=1时，f(x)=x2是偶函数，其图象关于y轴对称，与已知f(x)的图象关于原点对称矛盾，当m=2时，f(x)=x3是奇函数，其图象关于原点对称，于是得m=2，不等式(a+1)m>(3−2a)m化为：(a+1)2>(3−2a)2，即(3a−2)(a−4)<0，解得：23<a<4，所以实数a的取值范围为(23,4).所以答案是：(23,4)14、若幂函数y=f(x)的图像经过点(18,2)，则f(−18)的值为_________.答案：−2分析：根据已知求出幂函数的解析式f(x)=x−13，再求出f(−18)的值得解.设幂函数的解析式为f(x)=x a ，由题得2=(18)a =2−3a ,∴−3a =1,∴a =−13，∴f(x)=x −13.所以f(−18)=(−18)−13=(−12)3×(−13)=−2.所以答案是：−2.小提示：本题主要考查幂函数的解析式的求法和函数值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解答题15、美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为y =kx a (x >0)，其图像如图所示.（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入40千万元资金同时生产A ，B 两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.答案：（1）生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式分别为y =0.25x ，y =√x (x >0)，（2）9千万元分析：（1）根据待定系数法可求出函数解析式，（2）将实际问题转换成二次函数求最值的问题即可求解解：（1）因为生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设y =mx (m >0)，因为当x =1时，y =0.25，所以m =0.25，所以y =0.25x ，即生产A 芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式为y =0.25x ，对于生产B 芯片的，因为函数y =kx a (x >0)图像过点(1,1),(4,2)，所以{1=k k⋅4a=2，解得{k=1a=12，所以y=x12，即生产B芯片的毛收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系为y=√x(x>0)，（2）设投入x千万元生产B芯片，则投入(40−x)千万元生产A芯片，则公司所获利用f(x)=0.25(40−x)+√x−2=−14(√x−2)2+9，所以当√x=2，即x=4千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元。

高中数学必修一第三章函数的概念与性质考点专题训练单选题1、函数f(x)=log 2x −1x 的零点所在的区间为（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案：B解析：判断函数的单调性，结合函数零点存在性定理，判断选项. f (1)=0−1=−1<0，f (2)=1−12=12>0，且函数f (x )=log 2x −1x 的定义域是(0,+∞)，定义域内y =log 2x 是增函数，y =−1x 也是增函数，所以f (x )是增函数，且f (1)f (2)<0，所以函数f(x)=log 2x −1x 的零点所在的区间为(1,2). 故选：B小提示：方法点睛：一般函数零点所在区间的判断方法是：1.利用函数零点存在性定理判断，判断区间端点值所对应函数值的正负；2.画出函数的图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或是转化为两个函数的图象交点判断. 2、函数y =√2x +4x−1的定义域为（ ）A ．[0,1)B ．(1,+∞)C ．(0,1)∪(1,+∞)D ．[0,1)∪(1,+∞) 答案：D分析：由题意列不等式组求解由题意得{2x ≥0x −1≠0，解得x ≥0且x ≠1，故选：D3、现有下列函数：①y =x 3；②y =(12)x；③y =4x 2；④y =x 5+1；⑤y =(x −1)2；⑥y =x ；⑦y =a x (a >1)，其中幂函数的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B分析：根据幂函数的定义逐个辨析即可幂函数满足y=x a形式，故y=x3，y=x满足条件，共2个故选：B,则f(x)（）4、设函数f(x)=x3−1x3A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减答案：A分析：根据函数的解析式可知函数的定义域为{x|x≠0}，利用定义可得出函数f(x)为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．定义域为{x|x≠0}，其关于原点对称，而f(−x)=−f(x)，因为函数f(x)=x3−1x3所以函数f(x)为奇函数．又因为函数y=x3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增，=x−3在(0,+∞)上单调递减，在(−∞,0)上单调递减，而y=1x3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增．所以函数f(x)=x3−1x3故选：A．小提示：本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．5、下列函数为奇函数的是（）A．y=x2B．y=x3C．y=|x|D．y=√x答案：B分析：根据奇偶函数的定义判断即可；解：对于A：y=f(x)=x2定义域为R，且f(−x)=(−x)2=x2=f(x)，所以y=x2为偶函数，故A错误；对于B：y=g(x)=x3定义域为R，且g(−x)=(−x)3=−x3=−g(x)，所以y=x3为奇函数，故B正确；对于C：y=ℎ(x)=|x|定义域为R，且ℎ(−x)=|−x|=|x|=ℎ(x)，所以y=|x|为偶函数，故C错误；对于D：y=√x定义域为[0,+∞)，定义域不关于原点对称，故y=√x为非奇非偶函数，故D错误；故选：B6、已知幂函数y=f(x)的图象过点P(2,4)，则f(3)=（）A．2B．3C．8D．9答案：D分析：先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求f(3)的值解：设f(x)=xα，则2α=4，得α=2，所以f(x)=x2，所以f(3)=32=9，故选：D7、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位(x+600x−30)元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为y，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出y，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为y，因为试剂总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元，职工的工资总额为7500+20x元，后续保养总费用为x(x+600x−30)元，则y=50x+7500+20x+x2−30x+600x =x+8100x+40≥2√x⋅8100x+40=220，当且仅当x=8100x，即x=90时取等号，满足50≤x≤200，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．8、已知f(x)是一次函数，且f(x−1)=3x−5，则f(x)=（）A．3x−2B．2x+3C．3x+2D．2x−3答案：A分析：设一次函数y=ax+b(a≠0)，代入已知式，由恒等式知识求解．设一次函数y=ax+b(a≠0)，则f(x−1)=a(x−1)+b=ax−a+b，由f(x−1)=3x−5得ax−a+b=3x−5，即{a=3b−a=−5，解得{a=3b=−2，∴f(x)=3x−2.故选：A．多选题9、甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（分）之间的函数关系，A点横坐标为12，B点坐标为(20,0),C点横坐标为128．则下面说法中正确的是（）A．甲每分钟加工的零件数量是5个B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件C．D点的横坐标是200D．y的最大值是216答案：ACD分析：甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误；设D 的坐标为(t,0)，由题得△AOB ∽△CBD ，则有1220=128−20t−20，解可得t =200，所以选项C 正确；当x =128时，y =216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 根据题意，甲一共加工的时间为(12−0)+(128−20)=120分钟， 一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A 正确，设D 的坐标为(t,0)，在区间(128,t)和(12，20 )上，都是乙在加工，则直线AB 和CD 的斜率相等， 则有∠ABO =∠CDB ，在区间(20,128)和(0,12)上，甲乙同时加工，同理可得∠AOB =∠CBD ， 则△AOB ∽△CBD ， 则有1220=128−20t−20，解可得t =200；即点D 的坐标是(200,0)，所以选项C 正确； 由题得乙每分钟加工的零件数为600200=3个，所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误； 当x =128时，y =(128−20)×2=216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 故选：ACD10、已知函数f(x)={−x,x <0x 2,x >0，则有（ ）A ．存在x 0>0，使得f (x 0)=−x 0B ．存在x 0<0，使得f (x 0)=x 02C ．函数f (−x )与f(x)的单调区间和单调性相同D ．若f (x 1)=f (x 2)且x 1≠x 2，则x 1+x 2≤0 答案：BC分析：根据函数解析式，分别解AB 选项对应的方程，即可判定A 错，B 正确；求出f (−x )的解析式，判定f (−x )与f(x)的单调区间与单调性，即可得出C 正确；利用特殊值法，即可判断D 错.因为f(x)={−x,x <0x 2,x >0，当x 0>0时，f(x 0)=x 02，由f (x 0)=−x 0可得x 02=−x 0，解得x 0=0或−1，显然都不满足x 0>0，故A错；当x 0<0时，f(x 0)=−x 0，由f (x 0)=x 02可得−x 0=x 02，解得x 0=0或−1，显然x 0=−1满足x 0<0，故B 正确；当x <0时，f(x)=−x 显然单调递减，即f(x)的减区间为(−∞,0)；当x >0时，f(x)=x 2显然单调递增，即f(x)的增区间为(0,+∞)；又f(−x)={x,−x <0x 2,−x >0 ={x,x >0x 2,x <0 ，因此f (−x )在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；即函数f (−x )与f(x)的单调区间和单调性相同，故C 正确；D 选项，若不妨令x 1<x 2，f (x 1)=f (x 2)=14，则x 1=−14，x 2=12，此时x 1+x 2=14>0，故D 错； 故选：BC.小提示：关键点点睛：求解本题的关键在于根据解析式判定分段函数的性质，利用分段函数的性质，结合选项即可得解.11、已知函数f (x )的定义域是(0,+∞)，且f (xy )=f (x )+f (y )，当x >1时，f (x )<0，f (2)=−1，则下列说法正确的是（ ） A ．f (1)=0B ．函数f (x )在(0,+∞)上是减函数C ．f (12022)+f (12021)+⋅⋅⋅+f (13)+f (12)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (2021)+f (2022)=2022 D ．不等式f (1x )−f (x −3)≥2的解集为[4,+∞) 答案：ABD分析：利用赋值法求得f (1)=0，判断A ；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B;利用f (xy )=f (x )+f (y )，可求得C 中式子的值，判断C ；求出f (14)=f (12)+f (12)=2，将f (1x )−f (x −3)≥2转化为f (1x )+f (1x−3)≥f (14)，即可解不等式组求出其解集，判断D. 对于A ，令x =y =1 ，得f (1)=f (1)+f (1)=2f (1)，所以f (1)=0，故A 正确；对于B ，令y =1x >0，得f (1)=f (x )+f (1x )=0，所以f (1x )=−f (x )， 任取x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)−f (x 1)=f (x 2)+f (1x 1)=f (x2x 1)，因为x 2x 1>1，所以f (x2x1)<0，所以f (x 2)<f (x 1)，所以f (x )在(0,+∞)上是减函数，故B 正确；对于C ，f (12022)+f (12021)+⋅⋅⋅+f (13)+f (12)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (2021)+f (2022) =f (12022×2022)+f (12021×2021)+⋅⋅⋅+f (13×3)+f (12×2)=f (1)+f (1)+⋅⋅⋅+f (1)+f (1)=0，故C 错误；对于D ，因为f (2)=−1，且f (1x )=−f (x )，所以f (12)=−f (2)=1，所以f (14)=f (12)+f (12)=2，所以f (1x )−f (x −3)≥2等价于f (1x )+f (1x−3)≥f (14)， 又f (x )在(0,+∞)上是减函数，且f (xy )=f (x )+f (y )，所以{ 1x (x−3)≤141x>01x−3>0 ， 解得x ≥4，故D 正确, 故选:ABD ． 填空题12、为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为W =f(t)，用−f(b)−f(a)b−a的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．答案：①②③分析：根据定义逐一判断，即可得到结果−f(b)−f(a)b−a表示区间端点连线斜率的负数，在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，甲企业在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1,t2]的污水治理能力最强．④错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；所以答案是：①②③小提示：本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.13、已知函数f(x)=mx2+nx+2(m,n∈R)是定义在[2m,m+3]上的偶函数，则函数g(x)=f(x)+2x在[−2,2]上的最小值为______．答案：－6分析：先利用题意能得到f(−x)=f(x)和2m+m+3=0，解得n=0和m=−1，代入f(x)中，再代入g(x)，再结合二次函数的性质求最小值因为函数f(x)=mx2+nx+2(m,n∈R)是定义在[2m,m+3]上的偶函数，故{f(−x)=f(x)2m+m+3=0，即{mx2−nx+2=mx2+nx+2m=−1，则{2nx=0m=−1解得{n=0m=−1，所以g(x)=f(x)+2x=−x2+2x+2=3−(x−1)2，x∈[−2,2]，所以g(−2)=−(−2)2+2×(−2)+2=−6，g(2)=−22+2×2+2=2，则g(x)min=−6，所以答案是：-614、已知y=f(x)是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f(m-1)>f(1-2m)，则m的取值范围是_______.答案：(−12，23)分析：结合函数定义域和函数的单调性列不等式求解即可.由题意得：{-2<m-1<2，-2<1-2m<2，m-1<1-2m，解得−12<m<23.所以答案是：(−12，23)解答题15、已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=−x2+2x．（1）求x<0时，函数f(x)的解析式；（2）若函数f(x)在区间[−1,a−2]上单调递增，求实数a的取值范围．（3）解不等式f(x)≥x+2．答案：（1）f(x)=x2+2x；（2）(1,3]；（3）(−∞,−2]分析：（1）设x<0，计算f(−x)，再根据奇函数的性质f(x)=−f(−x)，即可得对应解析式；（2）作出函数f(x)的图像，利用数形结合思想，列出关于a的不等式组求解；（3）由（1）知分段函数f(x)的解析式，分类讨论解不等式再取并集即可.（1）设x<0，则−x>0，所以f(−x)=−(−x)2+2(−x)=−x2−2x又f(x)为奇函数，所以f(x)=−f(−x)，所以当x<0时，f(x)=x2+2x，（2）作出函数f(x)的图像，如图所示：要使f(x)在[−1,a −2]上单调递增，结合f(x)的图象知{a −2>−1a −2≤1，所以1<a ≤3，所以a 的取值范围是(1,3].（3）由（1）知f(x)={−x 2+2x,x ≥0x 2+2x,x <0，解不等式f(x)≥x +2，等价于{x ≥0−x 2+2x ≥x +2 或{x <0x 2+2x ≥x +2 ，解得：∅或x ≤−2 综上可知，不等式的解集为(−∞,−2]小提示：易错点睛：本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限，属于基础题.。