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第二章 状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。
（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A （5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：（1） （2） （3） （4）特征值为：2,1321===λλλ。
由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：（5）为结构四重根的约旦标准型。
（6）虽然特征值相同，但对应着两个约当块。
或}0100010000{])[()(1111----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件 （1）用laplace 法求状态转移矩阵； （2）用化标准型法求状态转移矩阵； （3）用化有限项法求状态转移矩阵； （4）求齐次状态方程的解。
【解】：（1） （2）特征方程为： 特征值为：2,1321===λλλ。
由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。
求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得：0110000000312111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得：对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得： 所以变换阵为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==110010001321P P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1100100011P 线性变换后的系统矩阵为：（3）特征值为：2,1321===λλλ。
第2章 状态空间表达式的解第1节 线性定常齐次状态方程的解线性定常齐次状态方程0(0)x Ax x x ==& 的解为0()Atx t e x = (0)t >式中，22()2!!kAt k t At e I At A k ∞∆==+++=∑L 证明：用拉普拉斯变换法。
对 x A x =& 作拉氏变换，得0()()sX s x AX s -=10()()X s sI A x -=-110()[()]x t L sI A x --=-因为 223111()()sI A I A A I s s s -+++=L故 1223111()sI A I A A s s s --=+++L12023111()[]x t L I A A x s s s -=+++L 2201()2!I At A t x =+++L 0Ate x =顺便可知])[(11---=A sI L eAt第2节 矩阵指数函数Ate1、Ate 的定义和性质（1）定义22()2!!kAtk t At e I At A k ∞==+++=∑L 式中 A —线性定常系统系统矩阵，n n ⨯阶；Ate —矩阵指数函数，n n ⨯阶时变矩阵。
若A 中各元素均小于某定值，Ate 必收敛；若A 为实矩阵，Ate 绝对收敛。
（2）基本性质：◆组合性质：)(2121t t A At At ee e += 其中21,t t 为相衔接的两时间段。
推论1：I eeee A t t A t A At ===--0)()(推论2：)(1][t A At ee --=◆微分性质：A e Ae e tAt At At ==d d ◆当A 、B 两阵可交换，即 BA AB =，则tB A BtAt ee e )(+=◆若1-P 存在，则P e P eAAPP 11-=-2、Ate 的计算 （1）级数计算法()!kAtk At e k ∞==∑ （2）拉氏变换法])[(11---=A sI L eAt当A 阵维数较高时，预解矩阵可采用递推法计算。
第二章 控制系统状态空间表达式的解建立了控制系统状态空间表达式之后，就是讨论求解的问题，本章重点讨论状态转移矩阵的定义，性质和计算方法，从而导出状态方程的求解公式并讨论连续时间系统状态方程的离散化的问题。
§2-1线性定常齐次状态方程的解（自由解）所谓自由解是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。
状态方程为齐次矩阵微分方程：AX X= （2－1）若初始时刻0t 时的状态给定为00)(x t x =，则式（2-1）有唯一确定解。
0)(0)(x e t x t t A -=，0t t ≥（2－2）若初始时刻从0=t 开始，即0)0(x x =，则其解为：0)(x e t x At =， 0t t ≥（2－3）证：先假设式（2-1）的解)(t x 为t 的矢量幂级数形式，即：+++++=k k t b t b t b b t x 2210)(（2－4）对上式求导： ++++=-1232132)(k k t kb t b t b b t x代人式（2-1）得：A x= ( +++++kk t b t b t b b 2210) （2－5）既然式（2-4）是（2-1）的解，则式（2-5）对任意时刻t 都成立，故t 的同次幂项的系数应相等，有：01Ab b =，0212!2121b A Ab b ==，0323!3131b A Ab b ==，… 01!11b A k Ab kb k k k ==-，… 在式（2-4）中，令0=t ，可得：00)0(x x b == 将以上结果代人式（2-4），故得：022)!1!211()(x t A k t A At t x k k +++++= （2－6）括号内的展开式是n n ⨯矩阵，它是一个矩阵指数函数，记为At e221112!!At k ke At A t A t K =+++++ （2－7）式（2-6）可表示为：0()At x t e x =再用)(0t t -代替)0(-t ，即在代替t 的情况下，同样证明0)(0)(x e t x t t A -=的正确性。
