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数学中的集合论研究数学一直以来都是一门具有严密性和抽象性的学科，而其中集合论则是数学中的一个重要分支。
集合论是研究集合的性质、关系和运算的学科，既具有理论的基础性，也具备广泛的应用领域。
本文将介绍集合论的基本概念、运算规则及其在数学中的应用。
一、集合论的基本概念集合是集合论中的基本概念，可以理解为具有某种共同特性的事物组成的整体。
集合通常用大写字母表示，其中的元素用小写字母表示，并用花括号 {} 表示。
例如，集合 A 可以表示为 A = {a, b, c}，表示 A包含了元素 a、b 和 c。
在集合论中，还有一些基本的概念需要介绍：1. 子集：集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素时，称集合 A 是集合 B 的子集，记作 A ⊆ B。
2. 包含关系：如果 A 是 B 的子集，并且 B 也是 A 的子集，则 A 和B 相等，记作 A = B。
3. 并集：两个集合 A 和 B 的并集是包含 A 和 B 中所有元素的集合，表示为 A ∪ B。
4. 交集：两个集合 A 和 B 的交集是同时属于 A 和 B 的元素组成的集合，表示为A ∩ B。
5. 差集：集合 A 中去掉属于集合 B 的元素后，得到的新集合称为A 减去 B，表示为 A - B。
二、集合论的运算规则集合论中的运算规则包括交换律、结合律、分配律等，这些规则体现了集合运算的性质和特点。
1. 交换律：对于任意两个集合 A 和 B，交集和并集满足交换律，即A ∩B = B ∩ A，A ∪ B = B ∪ A。
2. 结合律：对于任意三个集合A、B 和C，交集和并集满足结合律，即(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)，(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)。
3. 分配律：对于任意三个集合A、B 和C，交集和并集满足分配律，即A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)，A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C)。
集合论的发展1. 引言集合论是数学的一个基础分支，研究集合的性质、关系和操作。
它起源于19世纪末的数学基础危机中，由德国数学家乔治·康托尔创立。
本文将详细介绍集合论的发展历程，包括康托尔的贡献、集合论公理化、集合论的扩展以及应用领域。
2. 康托尔的贡献乔治·康托尔是集合论的奠基人，他首次提出了集合的概念，并研究了无穷集合的性质。
他首先定义了集合的基本概念，即由一些确定的对象组成的整体。
康托尔还引入了集合的基数概念，用来比较集合的大小。
他证明了有些无穷集合的基数比自然数集合的基数还大，从而引发了数学界的震动。
3. 集合论公理化为了确立集合论的严密性，数学家们开始努力将集合论公理化。
在20世纪初，数学家弗雷格和罗素分别提出了集合论的公理系统，但后来发现存在悖论，即罗素悖论。
这一悖论揭示了集合论的一些困难，迫使数学家们重新审视集合论的基础。
在此基础上，数学家祖尔菲提出了集合论的公理化方法，他通过限制集合的构造方式，避免了悖论的产生。
他的公理化系统成为了后来集合论的基础。
此后，数学家们不断完善集合论的公理系统，确立了集合论的严密性和可靠性。
4. 集合论的扩展随着集合论的发展，数学家们开始研究更为复杂的集合结构。
例如，康托尔研究了连续统假设，即不存在介于可数集合和实数集合之间的集合。
此外，数学家还研究了集合的运算、拓扑学中的集合论、模型论中的集合论等等。
5. 集合论的应用领域集合论在数学中有广泛的应用，同时也渗透到其他学科领域。
在数学中，集合论被用于数理逻辑、代数、拓扑学、数论等各个分支中。
在计算机科学中，集合论被广泛应用于算法设计、数据库理论、人工智能等领域。
在物理学、经济学和社会科学中，集合论被用于建立数学模型和分析问题。
6. 结论集合论作为数学的基础分支，经历了从康托尔的奠基到公理化的发展过程。
通过严密的公理化系统，集合论的基础得以确立。
随着集合论的发展，它在数学和其他学科中都发挥着重要的作用。
大学集合知识点总结引言集合论是数学中的一个基本概念，它涉及各种数学分支和许多其他领域。
集合论的基本思想是研究对象的整体，而不是对象的具体性质。
在数学中，集合论涉及一致性、重合性、交集、并集等基本概念，然后发展到更加抽象的概念，如基数、序数、拓扑空间等。
在本文中，我们将从集合论的基本理论开始，逐步深入到相关的高级应用领域，以帮助读者更好地理解和运用集合论知识。
一、基本概念1. 集合的定义在数学中，集合是由一些确定的对象组成的整体。
通常用大写字母A、B、C等来表示集合，用小写字母a、b、c等来表示集合中的元素。
例如，集合A={1,2,3,4,5}表示由1、2、3、4、5这5个元素组成的集合。
2. 集合的特性集合具有以下几个基本特性：（1）互异性：集合中的元素是互不相同的，即一个集合中不包含相同的元素。
（2）无序性：集合中的元素没有顺序之分，即集合{1,2,3}和{3,2,1}是等价的。
（3）确定性：一个元素要么属于一个集合，要么不属于该集合，即集合中的元素是确定的。
3. 集合的表示方法集合可以通过列举法、描述法和运算法来表示。
（1）列举法：直接将集合中的元素一一列举出来，如A={1,2,3}。
（2）描述法：通过一定的条件来描述集合中的元素，如B={x|x是正整数，且x<10}表示由小于10的正整数组成的集合。
（3）运算法：通过集合的运算，如交集、并集、差集等，来表示新的集合。
4. 基本运算（1）交集：集合A与集合B的交集，记作A∩B，表示A和B中共同存在的元素组成的集合。
（2）并集：集合A与集合B的并集，记作A∪B，表示A和B中所有的元素组成的集合。
（3）差集：集合A减去集合B，记作A-B，表示A中去掉属于B的元素后的集合。
（4）补集：集合A对于全集U的补集，记作A'或者A^c，表示全集U中不属于A的元素组成的集合。
5. 集合的基数集合中的元素个数称为集合的基数，通常用符号|A|来表示。
集合论是数学的一个基础领域，研究的是集合以及集合之间的关系和操作。
集合是数学中最基本而重要的概念之一，在数学推理中扮演着核心角色。
在集合论中，有一套公理体系被广泛接受和采用，这些公理形成了集合论的基础，并确保了逻辑的一致性和推理的有效性。
首先，我们来介绍集合论的基础公理，即ZF公理系统。
该公理系统由四个部分组成：外延公理、空集公理、配对公理和并集公理。
外延公理规定了集合的相等性，即两个集合具有相同的元素。
它表述为：“如果两个集合拥有相同的元素，则这两个集合是相等的。
”这个公理确保了集合的唯一性，没有重复元素存在。
空集公理规定了一个唯一的集合，即空集。
它表述为：“存在一个集合不包含任何元素。
”空集作为集合论的基础，是其他集合的起点。
配对公理规定了如何构造一个包含两个元素的集合。
它表述为：“对于任意两个元素a和b，存在一个集合包含a和b。
”这个公理提供了构造集合的一种方式。
并集公理规定了如何合并多个集合形成一个新的集合。
它表述为：“对于任意一个集合A，存在一个集合B，B中的元素是A中所有元素的集合。
”这个公理确保了集合的可重复形成性质。
除了这些基础公理外，还有一些推导公理，如交集公理和差集公理，以及公理化选择公理等。
这些公理在ZF公理系统中，共同构成了集合论的基本框架。
集合论公理体系的存在是为了防止数学中的悖论，例如罗素悖论。
罗素悖论可以简单地描述为：假设存在一个集合X，其中的元素是所有不包含自己的集合。
那么，问X是否包含自己？如果X包含自己，那么根据定义，X不能包含自己；如果X不包含自己，那么又与定义相矛盾。
这个悖论揭示了集合论的自指问题，即集合是否能包含自己这个问题的复杂性。
为了解决这个问题，集合论中的公理体系进行了严密的构造和推导，以确保数学推理的有效性和一致性。
ZF公理体系作为最常见的公理体系，被广泛接受和采用，并为集合论提供了坚实的基础。
在ZF公理体系的基础上，数学家们可以进一步发展和研究各种不同的集合论分支，如可拓扑性、可测性、选择公理等等。
集合论的发展一、引言集合论是数学中的一个重要分支，它研究的是集合的性质、关系和运算等基本概念。
本文将从集合论的起源、发展历程、基本概念和应用等方面进行详细介绍。
二、起源与发展历程1. 集合论的起源集合论的起源可以追溯到19世纪，由法国数学家乔治·康托尔首先提出。
他在研究无理数时，发现了一种全新的数学对象——集合。
康托尔将集合视为数学研究的基本对象，并开始系统地研究集合的性质和运算规律。
2. 集合论的发展历程（1）康托尔的集合论康托尔在集合论的发展中做出了许多重要贡献。
他首次提出了集合的基本概念，如无穷集合、等势集合等，并证明了不同基数的集合存在数量上的差异。
康托尔的集合论奠定了集合论的基础，为后续的研究打下了坚实的基础。
（2）罗素悖论的出现在集合论的发展过程中，出现了一些困扰人们的问题，其中最著名的是罗素悖论。
罗素悖论指的是“自指的集合”，即一个集合中包含了自身作为元素的集合。
这个悖论引起了人们对集合论的基础和公理体系的重新思考。
（3）公理化集合论的建立为了解决罗素悖论等问题，20世纪初，数学家们开始尝试建立公理化的集合论体系。
在公理化集合论中，通过引入一系列公理来定义集合的性质和运算规律，从而避免了悖论的出现。
著名的公理化集合论体系有ZF公理系统和NBG公理系统等。
（4）集合论的拓展和应用随着时间的推移，集合论在数学中的应用范围不断拓展。
它不仅在数学的各个分支中发挥着重要作用，如数理逻辑、代数学、数论等，还在其他学科中得到了广泛应用，如计算机科学、经济学、物理学等。
三、基本概念与性质1. 集合的基本概念（1）集合的定义：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合可以用大括号{}表示，元素之间用逗号分隔。
（2）空集与全集：不包含任何元素的集合称为空集，用符号∅表示；包含所有可能元素的集合称为全集。
2. 集合的关系与运算（1）包含关系：如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么前者称为后者的子集，用符号⊆表示。
集合数学基础知识点高一高中数学是每个学生都要学习的一门学科，而在高中数学中，集合论是一个非常重要且基础的知识点。
集合论的概念和理论对于理解和解决许多数学问题起着至关重要的作用。
本文将介绍一些高一阶段学习集合论时常见的基础知识点。
一、集合的定义和表示方法在集合论中，集合是指具有某种特定性质的事物的总体。
集合通常用大写字母表示，集合中的元素用花括号括起来表示。
例如，集合A可以表示为A={a,b,c}，其中a，b，c为集合A中的元素。
集合中的元素可以是数字、字母、符号或其他事物。
二、集合的关系在集合论中，通常会讨论集合间的关系。
集合的关系一般有包含关系、相等关系、并集、交集和补集等。
包含关系是指一个集合包含另一个集合中的所有元素。
例如，若集合A={a,b,c}，集合B={a,b,c,d}，则集合B包含集合A。
包含关系常用符号表示为A⊆B。
相等关系是指两个集合含有完全相同的元素。
例如，若集合A={a,b,c}，集合B={b,c,a}，则集合A等于集合B。
相等关系常用符号表示为A=B。
并集是指两个集合中的所有元素的集合。
例如，若集合A={a,b}，集合B={b,c}，则集合A和集合B的并集为A∪B={a,b,c}。
交集是指两个集合中共有的元素的集合。
例如，若集合A={a,b}，集合B={b,c}，则集合A和集合B的交集为A∩B={b}。
补集是指一个集合相对于另一个集合的差距。
例如，若集合A={a,b}，全集为U={a,b,c}，则集合A相对于全集U的补集为A 的补集为$\overline{A}$={c}。
三、集合间的运算和性质在集合论中，集合间有许多运算和性质。
并集运算满足交换律和结合律。
例如，若集合A={a,b}，集合B={b,c}，则(A∪B)∪C = A∪(B∪C)。
交集运算满足交换律和结合律。
例如，若集合A={a,b}，集合B={b,c}，则(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
并集运算满足分配律。
集合论基本概念介绍在数学中，集合论是一个重要的分支，它研究集合的性质、操作和关系。
本文将介绍集合论的基本概念，包括集合的定义、元素和子集的关系、集合的运算等内容。
一、集合的定义集合是由元素组成的整体。
通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素。
集合可以是有限的，也可以是无限的。
例如，集合A可以表示为A={1, 2, 3}，其中1、2、3是A的元素。
二、元素和子集的关系一个元素属于集合时，我们使用符号∈表示。
例如，如果元素x属于集合A，则可以写作x∈A。
如果元素y不属于集合A，则可以写作y∉A。
一个集合的所有元素都是另一个集合的元素时，我们称其为子集。
如果集合B的所有元素都属于集合A，则可以写作B⊆A。
如果集合C 是集合A的真子集，即C包含A的一部分元素但不包含全部元素，则可以写作C⊂A。
例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3}，集合C={1, 2}，则B⊆A，B⊂A，C⊂A。
三、集合的运算集合之间可以进行各种运算，包括交集、并集、差集和补集。
1. 交集：两个集合的交集是指同时属于这两个集合的元素组成的集合。
用符号∩表示。
例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。
2. 并集：两个集合的并集是指属于这两个集合中至少一个的元素组成的集合。
用符号∪表示。
例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。
3. 差集：两个集合的差集是指属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的集合。
用符号\表示。
例如，如果集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A\B={1}。
4. 补集：补集是指在一个全集中，与某个给定集合不相交的元素所组成的集合。
全集通常是指定的普遍集合U。
用符号'表示。
例如，如果全集U={1, 2, 3, 4, 5}，集合A={2, 3}，则A'={1, 4, 5}。
第一章 关于集合与集合论在许多数学教材上都会见到这样一种说法：集合论是现代数学的基础，集合概念是数学的基本概念。
那么为什么会有这种说法呢？这种说法的依据是什么呢？在这一章，我们将对此给出一种解释。
在本章的第1节，将简要重温一些与集合论相关的基本概念与符号，其中大多数的概念与符号用法是每一个高中生都应当熟悉的。
在第2节，本书作者对集合论的意义及其产生的思想渊源进行了介绍和分析，其中有些是作者个人的观点，仅供读者参考。
最后两节则是在讲一些基本逻辑常识的基础上，介绍了较为规范的集合表示方法以及用集论语言定义的某些重要数学概念。
§1. 集合论中的常见概念与符号1.1. 集合概念与属于关系在集合论中，“集合”这个概念是作为不定义的基本概念，以符号“∈”表示的“属于”关系，也是不定义关系。
在朴素集合论中，人们用日常语言给集合概念和属于关系以直观说明。
其中最常见的是集合论创始人康托的说法：“将一些明确的（确定的）、彼此有区别的、具体的或理念中抽象的对象看作一个整体，便叫作一个集合。
”在本书的前三章，便以康托的这个描述作为“集合”概念含义的说明。
理解这个说明，主要注意如下几点.（1）当我们提到一个集合时，这个集合自身是作为一个整体被看待的；（2）集合是由可以确定的一些对象个体汇集而成的，也就是说，必须可以清晰判定任何一个对象个体是否在这些对象个体之中，并且可以明确区分开这些对象个体中任何两个不同的对象个体。
（3）在朴素集合论中，集合中的元素既可以是物理世界中的对象，也可以是我们头脑中形成的观念对象。
比如：将“北京大学2002年所有在籍学生的全体”作为一个集合，其元素都是具体现实的人（在籍学生）；将“所有实数的全体” 的对象，作为一个集合，其元素（实数）便是由理念抽象的对象组成的集合。
作为数学理论，集合论所讨论的集合，基本上都是由人类理念在其抽象过程中产生的对象汇集而成的。
只有在将数学应用于现实时，才会涉及到由现实物理世界中的对象作为元素组成的集合。
集合论是数学中的一个重要分支，它研究的是集合的性质和关系。
在现代数学中，集合论已经成为数学的基础，几乎所有的数学理论都可以用集合论进行描述和表达。
本文将从集合的定义、元素、关系和运算等方面介绍集合论的基本概念。
首先，集合的定义是集合论的基础，也是最重要的概念之一。
集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
例如，可以有包含整数的集合，包含人名的集合等等。
集合用大括号{}表示，元素之间用逗号隔开。
例如，{1, 2, 3}就表示一个由整数1，2，3组成的集合。
集合的元素是集合论的另一个基本概念。
元素是构成集合的个体，一个集合可以有零个、一个或多个元素。
例如，集合{1, 2, 3}中的1就是集合的一个元素。
元素可以是数字、符号、字母、词语等等。
集合的关系是指集合之间的联系。
例如，包含关系是集合关系中的一种，表示一个集合包含另一个集合的所有元素。
例如，集合{1, 2, 3}包含了元素1，2，3。
另一个常见的集合关系是相等关系，表示两个集合的所有元素完全相同。
例如，集合{1, 2, 3}和集合{3, 2, 1}是相等的。
集合的运算是指对集合进行操作的一种方式。
常见的集合运算有并集、交集和补集等。
并集是指将两个集合中的所有元素放在一起构成的新集合。
交集是指两个集合中共有的元素组成的新集合。
补集是指一个集合中没有的元素组成的新集合。
例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={3, 4, 5}，则集合A和集合B的并集是{1, 2, 3, 4, 5}，交集是{3}，A的补集是{4, 5}。
集合论的基本概念还包括无穷集合和空集。
无穷集合是指元素无限多的集合，例如自然数集、整数集等。
空集是指没有任何元素的集合，用符号∅表示。
空集是集合论中非常重要的一个概念，可以用来构造其他复杂的集合。
总之，集合论是数学中的一个基础分支，研究集合的性质、关系和运算。
集合论的基本概念包括集合的定义、元素、关系和运算等。
通过研究集合论，我们能够更好地理解和描述数学中的各种理论和概念。
集合论介绍一．集合论的历史1.基本概念关于集合的理论是19世纪末开始形成的。
当时德国数学家康托尔试图回答一些涉及无穷量的数学难题，例如“整数究竟有多少？”“一个圆周上有多少点？”0—1之间的数比1寸长线段上的点还多吗？”等等。
而“整数”、“圆周上的点”、“0—1之间的数”等都是集合，因此对这些问题的研究就产生了集合论。
康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德）康托尔1845年出生于俄国的圣彼得堡，后来离开俄国迁入德国，其家庭是犹太人后裔。
集合是什么呢？用康托尔的话说，集合就是把具体的或思想上的一些确定的、彼此不同的对象聚集成的整体。
简单说来，集合就是一组事物。
有一些集合，它们的元素是有穷的，如｛1，4，9，……100｝，｛里根，布什，克林顿｝，这种集合称为有穷集合。
而有些集合则有无穷多个元素，如整数的集合等，这种集合称为无穷集合。
无穷集合的基数大于任何有穷集合的基数。
由上节的分析可以看出，无穷集合可以通过一一对应的方法进行比较，但却出现了令人惊讶的结果，如偶数集合与自然数集合的元素一样多，一条线上点的集合与平面上点的集合其元素也是相等的。
康托尔把无穷集合的概念作为集合理论的基础，并证明无穷集合的一个显著特点就是无穷集合自身可与其部分具有一一对应关系。
为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念。
两个集合只有它们的元素间可以建立一一对应才称为是等价的。
这样就第一次对各种无穷集合按它们元素的“多少”进行了分类。
他还引进了“可列”这个概念，把凡是能和正整数构成一一对应的任何一个集合都称为可列集合。
有1个元素的集合其子集有2个，有2个元素的集合其子集共有4个，一般地，有n个元素的集合其子集有2n个,n个元素的集合其基数为n，而其所有子集组成的集合的基数为2^n ，显然2^n＞n。
因此有“康托尔定理”：任意集合（包括无穷集）的幂集的基数大于该任意集合的基数。
2.康托尔悖论据康托尔集合理论，任何性质都可以决定一个集合，这样所有的集合又可以组成一个集合，即“所有集合的集合”（大全集）。
显然，此集合应该是最大的集合了，因此其基数也应是最大的，然而其子集的集合的基数按“康托尔定理”又必然是更大的，那么，“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”，这就是“康托尔悖论”。
对这一悖论，康托尔并没有感到害怕，因为通过反证法恰恰证明没有“所有集合的集合”或者说“最大的集合”，当然也没有“最大的基数”。
3.罗素悖论悖论的出现这时并没有引起多大的震动，人们觉得这似乎仅仅牵涉到集合理论的一些技术问题，只要作适当的修正，集合论仍然会成为数学大厦的基础，康托尔只是利用悖论进行反证，而并没有细究悖论的来源及意义，他没有意识到这种反证之所以可能，是因为他的理论中所使用的基本概念“集合”、“属于”、“元素”是包含着矛盾的。
1901年罗素发表的“罗素悖论”则“剥掉了数学技术性的细节”，使其中的矛盾赤裸裸地暴露出来了！把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有：P={A∣A∈A}，Q={A∣A∉A} 问，Q∈P还是Q ∈Q？若Q∈P，那么根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，但是Q中任何集合都有A∉A的性质，因为Q∈Q，所以Q｟Q，引出矛盾。
若Q∈Q，根据第一类集合的定义，必有Q∈P，而显然P∩Q=Φ，所以Q∉Q，还是矛盾。
这就是著名的“罗素悖论”。
罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖论等。
4.理发师悖论由著名数学家伯特兰•罗素（Bertrand A.W. Russell，1872—1970）提出的悖论与之相似：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。
我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。
我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。
可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
5.数学的三次危机第一次无理数, 无限不循环小数. 第二次,无穷小无穷小是零还是非零第三次,无穷大,A是非A,导致无限循环.第三次数学危机是由“罗素悖论”引起的。
背景：大概是这样的。
在第二次数学危机结束后，数学的进一步发展表明，一切问题都可以化归到集合论。
比如，几何由于解析几何化归到了代数，代数又可化归到解方程，解方程可化归到实数理论，进而到自然数论，最后到集合论。
对于当时的一些不能解决的问题，存在几个派别，其中有一派是以希尔伯特为代表的形式公理派。
他认为，从化归角度看，所有问题都能用集合论的符号表示出来，进行逻辑运算，这样，从理论上讲，就没有不能解决的问题。
从此数学形势一片大好，直到罗素提出了那个颠覆他们基础的悖论。
罗素悖论：就是著名的理发师悖论。
一个村子里只有一个理发师，他给本村的所有不自己理发的人，而且他也只给这些人理发。
结果导致他自己的头发不知道该由谁理。
这个悖论只用了集合论中最基本的概念：类，元。
也因此颠覆了数学的基础。
直到20世纪30年代，由哥德尔证明了“哥德尔不完备性定理”，悖论这个幽灵的面目才最终显露出来。
“哥德尔不完备性定理”是说：在一个公理体系内，总有一个命题我们在有限步骤内不能证明其真伪。
这直接判了希尔伯特想法的死刑。
从此，悖论被牢固的楔入了数学的基础。
承认它，好像整个数学大厦是空中楼阁，但否认它，整座大厦就会轰然倒塌。
二．无穷集合的元素个数——集合的势1.有理数集是可列集定理有限个（或可列个）有限集（或可列集）的并集，还是有限集（或可列集）。
这个定理表述虽有些拗口，但是它的结论却恐怕让你大吃一惊！证：有限集的情况很简单，现在只讨论无限集的情况。
设有一系列的集合A1, A2, ... An, ...，其中每一个都是可列集A1={a[11], a[12], ..., a[1k], ...}A2={a[21], a[22], ..., a[2k], ...}...An={a[n1], a[n2], ..., a[nk], ...}...记其并集为A=A1∪A2∪A3∪...∪An∪...我们称p+q=h为元素a[pq]的高度，将A中的元素按高度大小编号，在同一高度中按q值由小到大编号，重复的元素直接去掉。
这样就一定能把并集A中的所有元素编成一列，因为要么高度h不同，要么下标q不同，不可能两者都相同的，否则等于两个元素具有相同的双下标p、q，那实际上这是同一个元素，矛盾。
所以定理4成立。
从这个定理可以看出来，即使无限个无限集的并集，仍然可能与其中的某一个无限集有着相同大小的势。
当然这里的无限个只能是可列个，无限集也仅限于可列集。
言归正传，现在我们可以开始计算有理数集的势了。
首先我们知道，平面上的格点，即直角坐标下两坐标x、y均为整数的点(x,y)的全体是成一可列集的。
这是因为我们可以将这些格点看成在y方向可列个的x方向可列集的并集。
即我们构造可列集An={(n,m)|其中m是整数}，这是m固定，n在变的一些点的集合，它自然是可列集。
那么根据定理，所有n从-∞到+∞的An的并集，也是可列集。
另一方面，我们还知道有理数一定可以写成一个分数p/q，而每对这样的分数正好和平面上的格点(p,q)一一对应。
既然平面上所有格点的全体是可列集，那与之对等的分数的全体即有理数的全体，也是可列集了。
所以我们得到第一个结论：有理数集是可列集，它的势为§0(阿列夫零)。
它跟自然数一样多。
2.实数集是不可列集现在来证明实数区间[0, 1]中所有的实数组成的集合是不可列集。
其实只要证明(0, 1]区间的实数集是不可列的。
如果它是可列的，说明其中所有的实数均可排列成一数列t1,t2,...,tn,...，只有这样，它才能对等于自然数集。
好，这时我们将将(0,1]中的实数用十进制的无限小数表示：t1 = 0. t11 t12 t13 ... t1n ...t2 = 0. t21 t22 t23 ... t2n ......tm = 0. tm1 tm2 tm3 ... tmn ......其中所有的tij都是0～9这十个数字中的某一个。
但是现在我们可以构造一个小数a=0. a1 a2 a3 ... ak ...，任意的ai也都是0～9这十个数字中的某一个，但我们让每个ai都不等于上述实数列中的tii，也就是让第i位的数字跟数列中第i行第i个数字不同。
这是可行的，因为我们用的是十进制小数，还剩下9个不同数字可供选择呢。
当我们构造好了这样的一个小数之后，我们发现它实际上跟上述小数列中的任何一个都不相等。
这就造成了逻辑上的矛盾，你说已经把所有小数都列出来了，但是我却发现至少我构造的这个小数，你还没有罗列出来。
就算你亡羊补牢，把我这个也补充进去，但是我还是可以根据同样规则又构造出另一个。
所以，只能说明实数是无法跟可列集形成一一对应的，也就是前面的假设是错误的。
因此[0, 1]区间的实数不是可列集。
同样，取掉0，1两个数之后的(0,1)区间的实数也不是可列集。
