第三章 集合论与逻辑

高三集合与逻辑教学设计引言：在高三阶段，集合与逻辑是数学教学中的重要内容之一。

集合论和逻辑学作为数学的基础理论，对培养学生的逻辑思维能力、分析问题的能力和解决实际问题的能力都起着重要的作用。

本文将以高三集合与逻辑教学设计为主题，从教学目标、教学内容和教学方法三个方面进行描述，旨在帮助教师更好地开展集合与逻辑的教学工作。

一、教学目标提高学生的逻辑思维能力：通过集合与逻辑的教学，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，使学生能够运用逻辑思维解决实际问题。

加深对集合的理解：帮助学生掌握集合的定义、基本性质和运算法则，并能将其应用于实际问题的求解中。

掌握命题逻辑的基本方法：让学生了解命题的定义、逻辑联结词的定义及其组合的规律，并能运用命题逻辑进行论证和推理。

二、教学内容1. 集合的基本概念和运算法则a. 集合的定义及表示方法b. 集合间的相等和包含关系c. 集合的运算：并、交、差和补集2. 集合的应用a. 集合在实际问题中的表示和求解方法b. 利用集合的并、交、差运算解决实际问题c. 集合运算的运用于几何问题和概率问题3. 命题逻辑的基本概念和运算法则a. 命题的定义及表示方法b. 命题间的联结词：非、与、或、异或、蕴含、等价c. 命题间的组合规律：德·摩根定律、分配律等4. 命题逻辑的应用a. 利用命题逻辑进行推理和论证b. 运用命题逻辑解决实际问题三、教学方法1. 案例分析法：通过实际问题，让学生自己归纳和发现集合与逻辑的规律，培养学生的逻辑思维能力。

2. 课堂讨论法：教师提出一个问题，让学生自主思考和讨论，通过集思广益来寻找问题的答案，并引导学生进行逻辑严谨的论证。

3. 小组合作学习法：将学生分为小组，每个小组负责解决一个实际问题，要求他们在集合与逻辑的知识基础上进行分析和解决，通过合作学习提高学生的学习效果。

4. 创新性实践教学法：引导学生探究性学习，鼓励学生在实际问题中灵活运用集合与逻辑的知识，培养学生的创新思维和解决问题的能力。

在数学之中，集合论与逻辑推理无疑是两个重要且紧密相关的概念。

集合论是数学的基石，是研究对象的集合以及集合之间的关系的学科。

而逻辑推理则是一种处理和论证思维的方法，用于确保数学结论的正确性。

集合论与逻辑推理的结合使得数学家能够进行严谨而精确的推理，从而建立起整个数学体系。

集合论的核心思想是研究集合及其元素构成，并且研究它们之间的关系。

集合是由一些元素组成的整体，这些元素可以是数字、事物或者概念。

在数学中，我们用大写字母表示集合，通过列举或者描述的方式来确定集合的元素。

例如，可以用A={1,2,3,4,5}来表示一个包含数字1到5的集合。

集合论主要研究集合的运算，包括并集、交集和差集等，这些运算可以帮助我们更好地描述和分析集合之间的关系。

然而，光有集合论还不足以确保数学推理的准确性。

这时逻辑推理的作用就凸显了出来。

逻辑推理是数学家和哲学家们为了阐明思维和论证方法，建立起的一套严格而准确的规则体系。

逻辑推理可以帮助我们分析和证明命题的真实性，使我们能够在推理过程中准确地引出正确的结论。

数学中的逻辑推理主要基于两大基本原理：命题逻辑和谓词逻辑。

命题逻辑是研究命题与命题之间的关系，其中命题是可以判断为真或假的陈述句。

命题逻辑通过一系列推理规则和真值表来推导出结论的真实性。

谓词逻辑是命题逻辑的扩展，主要用于描述对象之间的关系。

谓词逻辑通过量词、谓词和变元等元素来构建命题，进一步帮助我们从一个命题推导出另一个命题的真实性。

集合论和逻辑推理的结合使得数学家能够进行复杂而严谨的推理过程。

数学家使用集合论的工具来构建数学模型，再运用逻辑推理来分析和证明模型中的命题。

这种结合使得数学推理具有极高的准确性和可靠性。

除了在数学中，集合论和逻辑推理在计算机科学、哲学中也扮演着重要的角色。

在计算机科学中，集合和逻辑是构建算法和解决复杂问题的基础。

而在哲学中，集合论和逻辑推理是认知和推理能力的重要体现。

总结来说，集合论和逻辑推理是数学中不可或缺的两个概念。

离散数学基础离散数学是一门研究离散结构和离散对象的数学学科，它涉及许多重要的基础概念和方法。

离散数学广泛应用于计算机科学、信息科学、通信工程等领域，在现代科技的发展中起到了至关重要的作用。

本文将介绍离散数学的基础概念和应用，并结合具体例子进行说明。

一、集合论和逻辑离散数学的基础之一是集合论和逻辑。

集合论是研究集合及其运算规律的数学分支，它提供了描述元素之间关系的工具。

在离散数学中，集合论被广泛应用于描述问题的解空间以及元素之间的关系。

逻辑是研究正确推理和论证方法的学科，在离散数学中，逻辑常被用于构建数学证明和推理。

例如，在图论中，我们可以用集合论的概念来描述顶点和边的集合，并利用逻辑推理来证明一些图的性质。

另外，在算法设计和分析中，集合论和逻辑也发挥着重要作用，帮助我们描述问题和设计解决方案。

二、关系和函数关系和函数是离散数学中的另外两个重要概念。

关系是元素之间的某种关联，常用集合对来表示。

函数是一种特殊的关系，它将每个输入元素映射到唯一的输出元素。

在计算机科学中，关系和函数常用于描述数据库中的数据关联、网络中的节点连接等。

在离散数学中，我们需要学习关系和函数的性质，如反射性、对称性和传递性等。

这些性质可以帮助我们分析和证明一些问题。

例如，在图论中，我们可以借助关系和函数的概念来描述图的连通性和路径问题。

三、图论图论是离散数学中的一个重要分支，研究图及其性质的数学学科。

图由一组顶点和连接顶点的边组成，被广泛应用于计算机科学和网络科学中。

图论可以用来解决诸如网络优化、路径规划和社交网络分析等实际问题。

在图论中，我们需要学习图的基本概念，如顶点、边、路径和环等。

另外，图的表示方法也有多种，例如邻接矩阵和邻接表。

掌握这些概念和方法可以帮助我们对图进行建模和分析。

四、组合数学组合数学是研究离散结构和离散对象组合性质的数学学科。

在组合数学中，我们关注的是如何对有限的元素进行排列、选择和组合。

组合数学在密码学、编码理论等领域具有重要应用。

第三章集合论的公理化§1 几点通俗的说明将集合论公理化的直接目的是排除悖论，即希望按公理化建立的集合论是协调的，不产生逻辑矛盾．但在建立公理时，还要考虑将集合论中所有对数学有意义的内容得以保留．集合论公理系统由两部分组成，一部分是它的逻辑基础，包括展开理论的语言规范，逻辑公理和推理规则；另一部分是该理论自身的公理．公理化集合论有两种表现形式，一种为形式化公理系统，除了对语言规定的说明，它完全由符号和公式组成；一种是朴素的公理化集合论，它以我们的日常语言表述，它所要探讨的是那些在我们心目中认为对纯粹理论数学有意义的集合及其关系．在现代，人们也将这种朴素的公理化集合论称为朴素集合论，它是对康托集合论的限制和改进．对于不从事集合论研究的人来说，集合在他们眼中是一种“实在”的具体的对象．在这种情况下，人们感兴趣的是实质集合论．康托建立的集合论，最初给人的印象就是一种“实质集合论”．因为在人们眼中，所论的集合大多“客观”存在，尽管其存在不都是物理意义上的．但对于纯数学而言，其研究的内容是各种“形式关系”．比如，从数学角度研究3与9之间有何关系时，并不关心这个3与9是由“牛”还是“马”的集合抽象出来的；又由于康托集合论出现了悖论，所以有人想到：对纯数学而言，只需考虑一部分“实质”的集合，利用这些集合之间的关系可以将数学所要研究的形式关系充分表现出来就可以了．为了达到这一目的，就要改变过去那种几乎无限制地运用“集合”概念的状况．朴素的公理集合论所列的各条公理，在本质上是限定集合论（与主要数学分支）的论域，换句话说，也就是限定对“集合”作为纯数学概念的理解和使用．这种限制具有强烈的“人为”色彩，它不仅排除了已有的集合论悖论，也排除了大量在现实世界中被认为是“集合”的实在对象．但它保留了充分多的对纯数学研究有意义的集合．在此意义上，朴素的公理集合论可看成是一种狭义的“实质集合论”．其中的集合概念，已自然不同于日常生活中那个广义的“集合”概念了．注：也有人认为这种朴素的公理集合论不算是实质集论，因为其对象不先于公理“存在”，由于“存在”概念是哲学上最基本的不定义概念，人们对“存在”有着大相径庭的理解，所以对事物有不同看法也是正常的．对一个朴素的公理化理论（可认为是有实质意义的），用特定而严格的方式将这个公理系统符号化和公式化，就得到一个纯符号化的系统．在组成该系统时，明确规定这个系统中的各种符号如何合理组成公式，以及一些公式怎样合理变形成其它公式，并要求可以经过类似于机械化的手段，在有限步骤内确定其是否符合规则．这样的符号系统就称为形式系统．虽然一个形式系统通常是由有意义的理论转化而成的，但它形成之后，人们可以忘记它代表的意义．不考虑形式符号含义时，形式系统中的公式就成了毫无实际意义的符号串了．一个形式系统是一个没有指定任何内在含义的符号系统．看上去，集论的形式化系统是朴素的公理化集合论的符号表示，而朴素的公理化集合论是集论形式化系统的具体解释．在我们学习集合论时，通常也是这么理解的．但是假如我们将一段有意义的语言编成由一些数学符号和其它符号表示的密码时（就象将朴素公理集合论编制成一个形式系统），那些不了解我们意图的人若想知道这些符号的意义，就要破译密码．在密码破译时有三种可能：1、得到与我们原来意思相同的语言内容；2、得到一种与我们原意不相符的另一些语言内容，但也能“自圆其说”（对照密码组成中的联系方式）；3、破译不出任何有意义的语言内容．暂不说第三种情况．由于可能出现第二种情况，一个形式系统也许会有不只一种“合理”的解释，了解这一点很重要．建立形式系统的兴趣不在于它原来所要表示的内容，而只在于它内部的“形式关系”．如果人们不关心这种内部的形式关系，是根本用不着把实质化的理论搞成形式系统的．读者也许奇怪，好端端的有内容、有意义的理论为什么要搞成没意义的符号系统呢？为什么要关心内容的形式关系呢？对于其思想背景，我们将不作详细的说明，这里举些例子来说明形式系统对集合论研究的意义．我们知道，一个数学证明是从一些已知条件推导出某些结果，这些已知条件和结果都是以命题或公式给出的．而命题可以用适当规定的符号表示，比如说：“R 是不可数的”，可粗略表示为“]))[((ωωf r R r r R f f ∉∧∈∃→∈∀”．这样，命题就成了符号公式．而所谓推导，则是按一定的逻辑规则将公式逐步变形．正确的逻辑推导，只是在“形式”上符合规则要求，并不考查命题与概念的内容．所以推导中关心的只是概念、命题之间的“形式联系”．现在考虑一种情况．给定一个数学理论的公理系统T 和该理论中的一个命题A ．假设存在这样一个客观事实：A 不能由T 中的公理给以证明，也不能被否定，即A 与T 是互相独立的．那么我们怎么能确切地知道这一事实呢？显然，只在T 内考虑是没有出路的．即使一万年没有找到一个明确的证明，人们也不能说A 是不可以证明的．所以，如果A 与T 中的公理互相独立是客观的事实，人们就只能在T 之外认识这一事实．当从外面看待T 与A 的关系时，T 与A 一样都是被直接研究的对象．又由于我们的目的只是探讨T 中是否存在着证明A 的形式推导“程序”，所以就不必考虑T 中命题及A 的实际意义，而只考察各种公式之间的形式关系．此时，若不能将T 转化成形式系统，大量含混不清的语言含义便会使人在研究时感到无章可循．所以，将通常的实质理论转化成严格的形式系统，并研究它可能给出的形式证明，就是有重要意义的工作了．此外，在证明一个公理系统是否协调或相对协调时，也要以形式系统为研究对象．§2 集合论的ZFC 系统有几种不同的集合论公理系统，它们在实质上没有重大差别．主要的几个公理系统在展开集合论内容时，得到的结果基本上是一样的．而ZFC 系统最流行，也是在研究中被讨论得最多的公理系统．所以本书只介绍ZFC 系统．这个公理系统最初是由策莫罗（Zermelo,E ）提出，后经弗兰凯尔（Fraenkel.A.A ）等人改进而形成今天这种形式．之所以称为ZFC 系统，除了Z 与F 分别表示上述两人的名字之外，C 表示选择公理（Chioce ）．如果只写 ZF ，则表示去掉“选择公理”后的公理系统．下面以对照的方式介绍这个公理系统，在介绍其形式化的构成与表达方式的每一部分后面，是我们对这种形式系统给出的“通常”解释．经这种解释的公理，就是我们心目中的那个狭义的实质集合论的公理．我们之所以说“通常”解释，如§1所述，形式系统的解释一般可能不是唯一的，尤其用日常语言解释便更有多种选择．还应特别指出，虽然我们介绍了形式化ZFC 系统，但我们真正要讨论的却是那个经过解释的朴素的公理集合论．之所以介绍形式化 ZFC 系统，一是让读者对“形式化”有个初步印象，二是对朴素公理化集论与形式化集论之间的关系有一定的认识．严格说来，人们提到 ZF 系统时，指的应是ZF 形式系统．然而，现代集论在数学其它分支中的应用，都是以 ZFC 的解释（即朴素的公理集论）为其基础，所以许多人也将ZFC 系统的朴素解释称为ZFC 公理集论．为了避免混乱，本书将以ZF 形式系统和 ZF 公理集论来区别形式化的公理系统和朴素的公理系统．ZFC 公理系统一、 语言与逻辑1、语言的构成（规则）ⅰ)符号表变元符号：,...,,...,,,,,1010y y x x z y x ,...,10z z谓词符号：∈,=逻辑符号：∀∃↔→∨∧⌝,,,,,,技术性括号：（，），[ ，]．[解释] 这些变元符号表示我们心目中的集合．所有的集合构成集合论的论域．变元的变域就是这个论域．在讨论时，为了简明，我们在本书中也会引入一些别的字母符号表示指定的集合（但无论如何我们能使用的符号至多有可列个）．“∈”表示属于关系，“=”表示相等关系． 在第一章里我们已介绍了上述的逻辑符号．括号是为了分清语言的层次和顺序．ⅱ)公式的形成规则①基本公式：y x y x =∈,②若A 与B 是公式，则 ))((),(),(,B A B A B A B A A ↔→∨∧⌝是公式． ③若A(x)是公式，且x 在A(x)中自由出现，则 )(),(x xA x xA ∃∀ 都是公式．在)(x xA ∀与)(x xA ∃中的x 称为约束变元，即不是自由出现的变元．[解释] 基本公式是集论中最基本的“句子”，由“∈”、“=”的解释可知其含义． 较复杂的公式是由基本公式加括号或合理运用逻辑连接词递归地构造的．其它一些逻辑常识，请读者参阅第一章第一节．注：在组成公式时，只要规定好逻辑联结词的结合“顺序”．有些括号是可以省略的．2．逻辑公理与推演规则ⅰ)逻辑公理①)(ϕψϕ→→②))((ηψϕ→→))()((ηϕψϕ→→→→③)()(ϕψψϕ→→⌝→⌝④))()((x x ψϕ→∀))()((x x ψϕ∀→→，其中在ϕ中的自由变元没有x ． ⑤)()(t x x ϕϕ→∀，其中)(t ϕ中的t 自由代换)(x ϕ中的x ．[解释] ①–⑤是逻辑的公理模式，它们被看成是永真的．比如公式①逻辑等价于)()(ψϕ⌝∨⌝ϕ∨．①、②、③涉及命题运算，④与⑤涉及谓词演算．其中的⑤还涉及“项”的定义，比较抽象和啰嗦．在直观上可以这样粗略地理解⑤的含义：如果对每个x ，()x ϕ成立，那么对于具体的t 而言，()t ϕ是成立的．上述公理属于一阶谓词演算的公理．ZFC 的逻辑基础就是一阶谓词演算．这里只是十分简要的介绍了集论展开过程中，被直接用到一阶谓词逻辑中的部分内容．关于一阶谓词演算的详细介绍，可参见某些数理逻辑的教材．ⅱ)推演（或证明）规则：设Γ是由一些公式组成的集，ϕ是某一公式，以ϕ⇒Γ表示ϕ可由Γ形式证明，即存在由有限个公式组成的序列n ϕϕϕ,...,,21，使得n ϕ就是ϕ．而且这个公式序列是按如下规则得到的：①若序列中已有i ϕ,则可以写出公式i x ϕ∀；②若序列中已有i ϕ及)(j i ϕϕ→，则后面可以写出j ϕ；③Γ中任一公式可以在序列中任何位置写出；④前述逻辑公理中的5条公式中的任一条可以写在序列中的任何位置上； ⑤如下与等词“=”有关的公式可以写在序列的任何位置上．();x x =x y y x =→=；z x z y y x =→=∧=)(；))()((y x y x ϕϕ→→=；其中)(y ϕ是将)(x ϕ中的x 替换成y 之后得到的公式，而且y x ,在ϕ中都是自由出现的．[解释] 我们通常说的证明都是在一定的前提之下，用有限个句子完成的．在证明过程中的每个句子都要有根据，这些句子或是已给定的条件命题，或是由已知命题按形式逻辑的推理规则得到的新的命题．上边的推演规则就是将我们平时证明中的各种合理推证步骤抽象出来而形成的．比如其中第②条可解释为：若句子i ϕ成立且“如果i ϕ则j ϕ”成立，那么j ϕ成立．第⑤条是对等号（等词）的规定，它十分严格地限制了对等词的解释，也称为等词公理．其余各条规则都很容易给出通常意义的解释．注：在我们展开集合论内容的讨论时，还会引入大量新的关系符号（谓词符号）以及定义一些常元符号．比如表示包含关系的符号“⊂”，以及特定集合符号“ω”等．引入新符号的目的是为了使表述更为简洁．所以引入这些新符号就必须符合一定的要求，必要时，可以将这些新的符号还原成原系统的公式，即要求引入新符号的系统与原系统在逻辑上是等价的．在下面介绍集论公理时，解释的语言将沿用前几章曾定义过的各种表示方法及其意义．为了解释上的方便，我们将{)(:x x ϕ}看成为一个类，其中)(x ϕ是仅以x 为自由变元的公式．按这种约定，类中“元”必是集合．但一个类本身是否为一个集合，则视集论公理的规定．在后面我们还会谈到这一问题．二、 集论公理0. )(x x x =∃1．外延公理 ))((y x y z x z z y x =→∈↔∈∀∀∀2．基础公理 →∈∃∀)([x y y x )]((y z x z z x y y ∈∧∈⌝∃∧∈∃3．概括公理模式 ϕ是任意一个公式，且除去x 之外没有别的自由变元． )(ϕ∧∈↔∈∀∃∀z x y x x y z4．无序偶公理 )(z y z x z y x ∈∧∈∃∀∀5．并公理 ))((000x z x x x y z z y x ∈∧∈∃↔∈∀∃∀注意，若定义并“∪”：↔∈z x )(y x z y y ∈∧∈∃ ，则公理5可以表示为：)(x y y x =∃∀6. 置换公理 ϕ是一个公式，除y x ,之外，没有别的自由变元． 00(!())z x z y y x z y y ϕϕ∀∀∈∃→∃∀∈∃∈注1，!y ϕ∃ 表示： (()(()))y y z z z y ϕϕ∃∧∀→=注2：由前述公理出发可定义一些特定的符号．下面就给出几个新定义的符号．（1）空集0：)(0x x x =⌝↔∈（2）包含关系 ⊂：)(y z x z z y x ∈→∈∀↔⊂（3）集合的后继：{}{}{}x x x x x S ==,)(（4）集合的差：y x \：)(\y z x z y x z ∈⌝∧∈↔∈7．无穷公理 )))((0(x y S x y y x x ∈→∈∀∧∈∃8．幂集公理 )(y z x z z y x ∈↔⊂∀∃∀注：利用前面的公理可以象第一章中用集合论的语言定义序偶、映射、及x 到y 的所有映射构成的集合y x ，并且定义“1”：)01(=↔∈∀x x x ．9．选择公理 )((1\x z z x x ∈∃∀))),((00x y z y x ∈→∈∧．[解释] 公理0‘.这是说存在一个集合．特别注意，“集合”没有定义，但变元符号表示的都是集合，集合论中讨论的都是集合，所以集合的元素也是集合．但变元符号本身却不表示特定的具体集合．公理 1‘.公理1规定，对任意集合x 与y ，只要x 与y 元素相同，x 与y 就是相等的．注：定义∉：)(y x y x ∈⌝↔∉； ≠：)(y x y x =⌝↔≠公理2‘ 这条公理的直接解释是：任意一个非空集合x ，都存在x 的一个元素y y ,中没有任何元素是x 的元素了． 公理3‘ 也称为子集公理．它不是单个公理，而是无穷条公理，即给定一个公式ϕ，就有一条公理．所以称为公理模式．它的含义是，若z 是集，ϕ是公式，则:{z x ∈)}(x ϕ也是一个集合．注：这里的)(x ϕ中没有别的自由变元．公理4‘ 给定两个集合，存在一个以这两个集合为元素的集合．公理5‘ 注意到集合x 中的元素也是集合，所以x 可以看成是一个集合族．这个公理说的是：将x 中元素作为集合，取其并，得到的类也是一个集合． 公理6‘ 这个公理也是公理模式，其解释为：若ϕ确定了一种二元“关系”，当z 是集，对z 中每个元x ，由ϕ可唯一确定一个y （与x 对应），则由这些y 可组成一个集合．换句话说，若将ϕ看成z 上的一个“映射”，它的像也是一个集．∃！解释为“存在唯一的”．0表示空集；⊂表示被包含关系；y x ⊂即表示x 是y 的子集；S(x)表示集合x 的后继}{x x ．公理7‘ 存在至少一个x , x 有可数无穷多个元．公理8‘ 任何一个集合x 的所有子集合组成的类也是一个集合．这个由x 的子集所组成的集合称为x 的幂集合，记为)(x P ．公理9‘ 对每个集合x ，存在由}0{\x 到x 的一个映射f ，使得z z f ∈)(． 关于这个公理系统，再给出几点说明．1．上述集论公理并不是互相独立的，比如，有了无穷公理，就不必要集存在公理；再比如置换公理比概括公理要强些．但是，只要它们不产生逻辑矛盾，多列几条公理，对理论的展开会方便些．所以，读者可能会看到一些其它书中叙述的ZFC 公理与本书所列的内容不完全一样，但在逻辑上，它们是等价的，所能展开的内容也是完全相同的．2．对于形式系统中的变元到底代表什么，纯形式化系统没有必要给出任何解释，我们给它的解释是集合．在ZFC 公理集论中，“集合”是不定义概念．除了集合这个概念，“∈”与“=”也没有定义，但逻辑中的等词公理在本质上是对等词的一种“限定”．所以对集合论而言，没有定义的只有“集”与“∈”．集论中其它的概念与关系便完全由“集”与“∈”（和等词）来定义．这样便不难理解在公理集论中，所有讨论对象都被定义为某种类型的集合．3．在形式系统中并没有关于具体集合的表示方法．当给定一个集合z 和一个具体公式)(x Φ时，我们可以定义集合)(:x z x a x a Φ∧∈↔∈，这时a 就是一个“常元”．为了明确起见，我们可以将a 表示为{)(:x z x Φ∈}．这样便得到我们通常的描述方法，并且也可以引入一些具体的常元符号．4．我们用)}(:{x x Φ表示类，而集合论并不以一般的类为直接的讨论对象．但我们所说的类在本质上不过是对应于一个含一个自由变元的公式)(x Φ，所以在展开集论内容时，我们也时常用类的符号．比如，用一公式表达x 是一序数，往往是很繁琐的．假设表达“x 是一序数”的公式是)(x ψ，我们引入类符号On ，并定义)(x On x ψ↔∈．这样On x ∈就是)(x ψ的一个简化表达．显然Cn 的引入也有同样意义．在任何情况下，ZFC 集论中讨论类与类之间的关系时，本质上是在讨论公式与公式（即命题函项与命题函项）之间的关系．5、读者可能已看到我们表示类的方式与表示集合的方式很相似．显然，一个集合肯定是一个类，但一个类却不一定是集合．不是集合的类称为“真类”．那么什么是真类呢？现在考察产生罗素悖论的类：)}x⌝．一方面，如果认为它是集合，x∈{x:(就能引出逻辑矛盾；另一方面，考察集论公理，会发现没有任何一条公理能够判定它是一个集合．这样，它就是一个真类．用类似的方法我们可以知道On与Cn 都是真类．另外，严格的语言规定，使得象“不能用少于100个字符定义的自然数”这样的句子无法用形式语言表达．于是，那些产生悖论的“集合”，在公理化集论中成为“非法”．它们或是被甩到真类中去，或是不能在集论中表达出来，从而使集合论摆脱了悖论的困扰．事实上，集合论的公理在本质上是对集合这一概念以及“∈”关系的一种“定义”（尽管可能是一种不完全的定义）．§3对若干公理的简单分析本节以后的正文内容，我们虽然基本上使用日常语言描述，但主要理论内容的表达可以转译成形式语言．前一节列出的第0条公理，即集存在公理，不是必要的，它完全可以由形式系统中的逻辑部分直接推出来．余下的9条公理可以分为四组．第一组：公理1（外延公理）第二组：公理3，4，5，6，8（即：概括、无序偶、并、置换、幂公理）第三组：公理7、9（无穷公理与选择公理）第四组：公理2（基础公理）将公理这样分类，依据的是它们的作用．其中第三组公理是预设某类集合的存在性；第四组公理是对论域的限制，即对集合的限制．我们将在下一章中较详细的讨论这两组公理，这里先分析一下前两组公理的意义．第一组中的外延公理是对不定义关系词“∈”的一种限定．我们知道，属于关系“∈”并没有被定义，人们自然可能对它给出各种不同的解释．我们借用保罗.哈尔莫斯（Holmos）举过的一个生动的例子说明这个公理的作用．假设有人将yx∈理解成x是y的晚辈，由于“∈”没有定义，这样理解似乎不是不可以的．但是我们知道，两兄弟有相同的晚辈，但两兄弟不是同一个人，即他们不相等．所以由外延公理，可知如上的理解是站不住脚的．虽然集论的论域不涉及人，但这个例子表明了外延公理对“∈”的限定．外延公理说明了在集论中．属于关系“∈”与相等关系“=”之间的密切联系，也显示了“∈”在集合论中的基本重要性：属于关系“∈”决定了集合的所有性质．另一方面，这也表明在集合论中，人们不会讨论现实世界中各种丰富多彩的自然性质．仔细考察第二组公理，我们发现它们有一共同特点，即都是给出一种或一类利用已知集合构造新集合的方法．所以，它们也可以称为“构造性”公理．我们知道，悖论是在无限制的利用各种性质定义集合时产生的．第二组公理则十分谨慎地选择了一些看上去十分安全的构造方法作为产生集合的手段．由前一部分的介绍我们知道，那些产生悖论的集合已经从集合论中被消除掉了．当然人们会问，在集合论中消除悖论的同时，会不会也失去许多东西呢？这就要探讨公理集合论能够为数学提供一些什么？为此，我们来分析第二组公理的作用．一、空集的产生方法虽然公理0说存在一个集，但这个集是什么样的，谁也不知道．不过利用集存在与概括公理，我们对那个存在的集x，定义“0”：∧⌝z≠∈↔∈．zz()x0z这个0，其实就是我们通常所说的空集，它也时常用φ来表示．这是我们由公理可以构造的，并且可明确辩识的第一个具体集合，也是一个个体常元．二、有限集的产生方法利用无序偶公理及概括原理，我们可以定义1={0}．由无序偶公理保证有一集合以0为其元素，记此集为z，定义1=}0:zx．{=∈x再由无序偶公理，我们可以得到集合2={0，1}，{2}以及{2，{2}}．接着利用并公理，得∪{2，{2}}={0，1，2}．定义：3={0，1，2}，我们得到了三元集3．利用上述方法，归纳定义，我们得到了其元素个数是有限的集合．这时，第二章中关于有限集的讨论就能够进行了．读者不难看出，利用上述公理，也可以给出序数的定义并构造出每一个自然数（参见第二章第二节）．三、关于映射的定义在第一章中，我们曾介绍了利用集合定义映射的方法．按其定义映射的方式，需要序偶及两个集合的笛卡尔乘积的概念．由序偶的定义方式：}},{},{{),(y x x y x =，可以看出，这里只用到了无序偶公理．要定义x 与y 的笛卡尔乘积，可以利用幂集公理、并公理和概括公理．如果y y x x ∈∈00,容易验证)(},{},{000y x P y x x ⋃∈，))((}},{},{{),(00000y x P P y x x y x ∈=由此，并利用概括公理知：}:))((),{(0000y y x x y x P P y x y x ∈∧∈∈=⨯是一个集合．再利用概括公理，便可与第一章中一模一样的定义“关系”、“定义域”、“值域”、“映射”等等．四、其它一些概念的定义有了映射和关系这样的概念，我们就可以定义：偏序、全序、良序、基数、序数，序数的后继，自然数，等势，序数的加法和乘法，集合的选择函数，集合x 到y 的所有映射的集合y x ，等等．这里我们仅以y x 为例来说明其定义过程，其余留作练习．由于每个从x 到y 的映射f 是y x ⨯的子集，由幂集公理，)(y x P ⨯是集合，所以)(y x P f ⨯∈．现在记),,(y x f Fn 表示：))(),(),)((,(),(101011001100y y x x f y x f y x y x y x y x f =→=∧∈∧∈∀∀∧⨯⊂)Domf x ∧=即)fxFn表示语句“f是x到y的映射”的公式．由概括公理，定义集合,,(yFnxyffy x⨯P:),)}x,({y(=．∈事实上，绝大部分的数学概念都是利用关系与映射定义的．所以有了这两个概念，其它大多数概念就都可以利用公式及相应的集论公理来定义了．读者仔细回顾前三章各种基本概念定义，可以看出这些定义基本上都是利用集合给出的，只是没有提到集论公理而已．因此，在下面两章的讨论中，我们便可沿用第二章和第三章中用集合定义的各种数学概念．事实上，重新定义只是强调一下用了哪些公理，其定义方式与前边也是一样的．作为练习，读者只须检查一下这些概念的定义中用了哪些公理．读者可能已看到，尽管大多数数学概念的定义只需要第一组与第二组中的公理，但我们还是无法只用这些公理给出任何一个无穷集合．§4关于用集论语言定义数学概念的一点说明在学习高等数学的许多课程时，我们常见到用集论语言给出的映射定义，其定义方式与本书第一章中的说法一样．但在初中与高中教材中，映射（函数）却不是这样定义的．比如有用因变量与自变量定义的函数，用集合之间的对应法则定义的映射．学习了本章内容之后，读者不难看出用纯集论语言定义映射的思想来源．初、高中教材中是利用现实直观给出映射概念的描述性定义．这种定义方式有很大优点，就是让人比较容易理解和接受，并具有一定的启发性．它使人们对数学概念产生一种“实在”的现实感．但由它的定义方式而派生出两个问题：一，由于运用日常语言，它在逻辑上不够严格．比如，什么是变量，什么是变，什么是对应法则，等等，追究起来没完没了．当然，如果我们不过于苛求逻辑上的严格化，只要求意会，这个问题也就不成为什么问题了．二，由于将映射赋予了现实意义，在对其进行某些运算操作时就很不方便．比如，我们很难十分严格说清将两个对应法则或两对变量之间的“随之变化”怎样合并成一个对应法则或一个“随之变化”．平时我们这样做时，还是免不了借助集合语言．如果以公理集论的公理出发，用十分严格的语言一步步将映射定义为一种特定的集合时，我们就消除了上述问题．这不仅在逻辑上很严格，映射的运。

集合论和逻辑运算是数学中的两个基本概念，它们为解决实际问题和推理提供了有力的工具和方法。

集合论研究的是各种对象的集合及其运算，而逻辑运算则是研究思维过程中的关系和推理方式。

在数学中，这两个概念的基本原理为我们提供了严密的推理和分析思考的思维框架。

集合论的基本原理是由德国数学家Cantor于1884年提出的。

集合是由一个或多个对象组成的整体，这些对象可以是数字、字母、符号等等。

集合论的基本运算有并集、交集、差集和补集等。

例如，对于集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}，它们的并集A∪B={1,2,3,4,5}表示两个集合中的所有元素的集合。

类似地，交集A∩B={3}表示两个集合中共有的元素的集合，差集A-B={1,2}表示A中有而B中没有的元素的集合。

集合的补集是指对于给定的全集U，所讨论的集合中所有不在该集合中的元素的集合。

集合论的研究对于问题的分类、关系的描述和解决问题的步骤起到了重要的作用。

逻辑运算的基本原理是由西班牙哲学家布尔于19世纪中期提出的。

逻辑运算是指根据给定条件之间的关系，通过逻辑连接词来推导出结论的过程，其中逻辑连接词包括“与”、“或”、“非”等。

逻辑运算的基本形式有命题、联结词和三段论等。

命题是能够判断真假的陈述句，通过真值表的方式进行计算。

联结词是对命题进行逻辑连接的符号，例如“与”表示并且的关系，“或”表示或者的关系，“非”表示否定的关系。

而三段论则是通过前提、中间项和结论之间的关系进行推理。

逻辑运算的基本原理对于问题的分析、判断和推理提供了有力的工具和方法。

集合论和逻辑运算在数学中起到了重要的作用，通过它们能够对问题进行分类、关系进行描述和解决问题的步骤进行推理。

它们在实际问题和实际推理中具有广泛的应用。

例如，在概率论中，集合论用于描述事件的全集和事件之间的关系，逻辑运算用于判断命题的真假和进行推理。

在计算机科学中，集合论和逻辑运算用于描述数据的类型和数据之间的逻辑关系，例如集合和逻辑运算可以用于描述数据库的查询和逻辑运算。

第二部分集合、矩阵、关系和函数集合论是处理集合，函数和关系的数学理论。

集合包括最基本的数学概念，例如集合，元素和成员关系。

在大多数现代数学公式中，集合论提供了一种描述数学对象的语言。

集合可用来表示数及其运算，还可表示和处理非数值计算，如数据间关系的描述等。

集合论，逻辑和一阶逻辑构成了数学公理化的基础。

同时，函数和关系是基于集合的映射，它们是满足某些属性的特殊集合。

接下来，我们将在两个单独的章节中介绍它们。

集和矩阵将在第3章中介绍，而关系和函数将在第4章中介绍。

第三章集合和矩阵3.1 集合3.1.1 集合概念集合没有确定的概念。

一般地，我们把研究的对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合，也简称集。

通常用大写英文字母表示集合。

例如，N代表是自然数集合，Z代表是整数集合，R代表是实数集合。

用小写英文字母表示集合内元素。

若元素a是集合A的一个元素，则表示为a A∈，读作元素a属于集合A；若元素a不是集合A的一个元素，则表示为a A∉，读作a不属于集合A。

集合分为有限集合和无限集合两种，下面给出定义。

表示集合方法有列举法和描述法两种方式，下面分别介绍。

1. 列举法当集合是有限集合时，可以列出集合的所有元素，用逗号隔开各元素，并用花括号把所有元素括起来。

这种表述方式为列举法。

例如：S1={a, b, c, d, e, f}，S2={a, b, b, c, d, e, f}，S3={ d, e, a, b, c, f}上述三个集合S1、S2和S3是相同集合，尽管有重复元素。

且集合元素之间没有次序关系。

一个集合可以作为另个集合的元素。

例如，S1={a, b,{ c, d, e, f }}集合S1包含元素a, b和{ c, d, e, f }。

因为{ c, d, e, f }是集合S1中的元素，故可记为：{}∈。

,,,c d e f A以上给出的集合实例都是有限集合。

当集合是无限集合时，无法列出集合的所有元素，可先列出一部分元素，若剩余元素与已给出元素存在一定规律，那剩余元素的一般形式很明显可用省略号表示。

数学逻辑学中的集合论与数理逻辑研究在数学逻辑学中，集合论和数理逻辑是两个重要的研究领域。

集合论主要研究集合的性质和关系，而数理逻辑则关注数学推理的形式化和计算问题。

集合论是一种基础的数学理论，它研究的是集合的概念、性质和运算。

集合可以看作是具有其中一种共同特征的对象的总体，这些对象可以是数字、字母、几何图形等等。

集合论的一个主要目标是确定集合之间的关系和操作，以及描述它们的性质。

集合论的基本概念包括包含关系、交并补运算、子集关系等等。

集合论的研究内容包括无穷集合、集合的基数、选择公理等等，这对于数学的发展和基础研究都具有重要意义。

数理逻辑是逻辑学的一个分支，它研究的是数学推理的形式化和计算问题。

数理逻辑主要有三个分支，分别是命题逻辑、一阶逻辑和模型论。

命题逻辑研究的是命题的真假和推理规则，一阶逻辑扩展了命题逻辑，引入了个体变量和谓词，从而能够处理更复杂的推理问题。

模型论是通过一种数学模型来研究逻辑系统的性质。

数理逻辑在数学证明、计算机科学和哲学等领域都有广泛的应用。

集合论和数理逻辑的研究对于数学的发展和应用具有重要意义。

集合论为数学提供了一种严谨的基础，通过集合论的概念和原理，我们能够更好地理解和定义其他数学概念，并且能够对它们之间的关系进行研究。

数理逻辑通过形式化和计算问题的研究，为数学证明和计算机科学提供了基础。

集合论和数理逻辑的研究可以推动数学的发展和创新，并且为其他学科的研究和应用提供理论基础。

因此，对于数学逻辑的研究，我们应该从集合论和数理逻辑两个方面进行深入思考和探索。