《数值分析简明教程》第二版(王能超 编著)课后习题答案 高等教育出版社

0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

数值分析简明教程第⼆版课后习题答案（供参考）0.1算法1、（p.11，题1）⽤⼆分法求⽅程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】由⼆分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取⾃然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即⾄少需2、（p.11，题2）证明⽅程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯⼀个实根；使⽤⼆分法求这⼀实根，要求误差不超过21021-?。

【解】由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(⼜010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯⼀实根.由⼆分法的误差估计式211*1021212||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取⾃然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=?≈≥k ，因此取7=k ，即⾄少需⼆分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有⼏位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-?=<=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字；因为12102105.000828.0||-?=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-?=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

0.1算法1、(p.11，题1)用二分法求方程X’ -X-1 =0在［1,2］内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】由二分法的误差估计式|x=X k匡异二士 _ ； =10」，得到2k1_1000.两端取自然对数得k—3^-仁8.96，因此取k=9，即至少需In 2二分9次.求解过程见下表。

2、( p.11，题2)证明方程f(x)=e X・10x-2在区间［0,1］内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过-10^。

2【解】由于f(x)=e X・10x-2，则f (x)在区间［0,1］上连续，且f(0) =e°10 0 -2 - -1 ：：0，f (1) ^e110 1 -2 =e 8 0，即卩f (0) f(1) ：：0，由连续函数的介值定理知，f(x)在区间［0,1］上至少有一个零点.又f'(x) =e x10 0，即f (x)在区间［0,1］上是单调的，故f (x)在区间［0,1］内有唯一实根.由二分法的误差估计式|x* -x k匸尹二十—；二110’，得到2k—100.两端取自然对数得k 一2210、2 3.3219 = 6.6438，因此取k = 7，即至少需二分In 2r3评 （1）(2) X1|e - X 2 | X 2 | e - X 3 |X 3四=1.85% ； 2.70.05 2.71-1.85% ；:::0.0005 =0.0184%。

2.718经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字;近似数的0.2误差1- （p.〔2 ,题 8）已知 e=2.71828 …；试冋其近似值 x^ = 2 3 4 5-7 , x 2 = 2.71 , x 2=2.71 , X 3 = 2.718各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：1 1因为|e-x 1 | = 0.01828…：：：0.05 10 ，所以x 1 =2.7有两位有效数字；21 』因为|e-x 2 | = 0.00828…：：：0.05 10 ，所以x 2 =2.71亦有两位有效数字；2 1 3因为|e-x 3 |=0.00028…：：：0.0005 10 ，所以x^2.718有四位有效数字； 22 （ p.12，题9）设捲=2.72 ； x 2 =2.71828 ； x3 =0.0718均为经过四舍五入得出的近 似值，试指明它们的绝对误差（限）与相对误差（限）。

0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

“数值计算方法”习题解答配套教材：数值分析简明教程，王能超 编著，高等教育出版社，第二版第二章 数值积分2.1 机械求积和插值求积1、（p.94，习题3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度： ⎰-++-≈hhh f A f A h f A dx x f )()0()()()1(210；⎰++≈10210)43()21()41()()2(f A f A f A dx x f ；⎰+≈1000)()0(41)()3(x f A f dx x f 。

【解】 （1）令2,,1)(x x x f =时等式精确成立，可列出如下方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=++)3(32)2(0)1(22020210h A A A A h A A A解得：h A h A A 34,3120===，即：⎰-++-≈h h h f f h f hdx x f )]()0(4)([3)(，可以验证，对3)(x x f =公式亦成立，而对4)(x x f =不成立，故公式（1）具有3次代数精度。

（2）令2,,1)(x x x f =时等式精确成立，可列出如下方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++)3(1627123)2(232)1(1210210210A A A A A A A A A解得：31,32120-===A A A ，即：])43(2)21()41(2[31)(10⎰+-≈f f f dx x f ，可以验证，对3)(x x f =公式亦成立，而对4)(x x f =不成立，故公式（2）具有3次代数精度。

（3）令x x f ,1)(=时等式精确成立，可解得：⎪⎩⎪⎨⎧==324300x A即：⎰+≈1)32(43)0(41)(f f dx x f ，可以验证，对2)(x x f =公式亦成立，而对3)(x x f =不成立，故公式（3）具有2次代数精度。

2、（p.95，习题6）给定求积节点,43,4110==x x 试构造计算积分⎰=10)(dx x f I 的插值型求积公式，并指明该求积公式的代数精度。

比较详细的数值分析课后习题答案0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε；%0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

0.1算法1、 （p.11，题1）用二分法求方程013=--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式311*10212||-++=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10ln 3≈-≥k ，因此取9=k ，即至少需2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过21021-⨯。

【解】 由于210)(-+=x e x f x，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且012010)0(0<-=-⨯+=e f ，082110)1(1>+=-⨯+=e e f ，即0)1()0(<⋅f f ，由连续函数的介值定理知，)(x f 在区间[0,1]上至少有一个零点.又010)('>+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式211*1021212||-++⨯=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322ln 10ln 2=⨯≈≥k ，因此取7=k ，即至少需二分0.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。

【解】有效数字：因为11102105.001828.0||-⨯=<=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为12102105.000828.0||-⨯=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字；因为3310210005.000028.0||-⨯=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字；%85.17.205.0||111=<-=x x e r ε； %85.171.205.0||222=<-=x x e r ε； %0184.0718.20005.0||333=<-=x x e r ε。

第二章函数§1 函数概念1．证明下列不等式：(1) y x y x -≥-；(2) n n xx x x x x +++≤+++ΛΛ2121；(3))(2121n n x x x x x x x x +++-≥++++ΛΛ．证明（1）由y y x y y x x +-≤+-=)(，得到y x y x -≤-，在该式中用x 与y 互换，得到x y x y -≤-，即y x y x --≥-，由此即得，y x y x -≥-．（2）当2,1=n 时，不等式分别为212111,x x x x x x +≤+≤，显然成立．假设当k n =时，不等式成立，即k k xx x x x x +++≤+++ΛΛ2121，则当1+=k n 时，有121121121121121)()(+++++++++=++++≤++++≤++++=++++k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ΛΛΛΛΛ有数学归纳法原理，原不等式成立．（3）nn n x x x x x x x x x x x x +++-≥++++=++++ΛΛΛ212121)()(21n x x x x +++-≥Λ．2．求证bba ab a ba +++≤+++111．证明由不等式b a b a +≤+，两边加上)(b a b a ++后分别提取公因式得，)1()()1(b a b a b a b a +++≤+++，即bb a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++111111．3．求证．求证22),max (b a b a b a -++=；22),min(ba ba b a --+=．证明 若b a ≥，则由于b a b a -=-，故有，故有22),max (b a b a a b a -++==，22),min(b a b a b b a --+==，若b a <，则由于)(b a b a --=-，故亦有，故亦有22),max (b a b a b b a -++==，22),min(b a b a a b a --+==，因此两等式均成立．因此两等式均成立．4．已知三角形的两条边分别为a 和b ，它们之间的夹角为θ，试求此三角形的面积)(θs ，并求其定义域．，并求其定义域．解 θθsin 21)(ab s =，定义域为开区间),0(π．5．在半径为r 的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数的定义域．的定义域．解 设内接圆柱高为x ，则地面半径为422x r r -='，因而体积，因而体积)4(222x r x x r V -='=ππ，定义域为开区间)2,0(r ．6．某公共汽车路线全长为km 20，票价规定如下：乘坐km 5以下（包括km 5）者收费1元；超过km 5但在km 15以下（包括km 15）者收费2元；元；其余收费其余收费2元5角. 试将票价表为路程的函数，并作出函数的图形．为路程的函数，并作出函数的图形．解 设路程为x ，票价为y ，则，则⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<≤<=．2015,5.2,155,2,50,1x x x y函数图形见右图．函数图形见右图．7．一脉冲发生器产生一个三角波．若记它随时间t 的变化规律为)(t f ，且三个角分别有对应关系0)0(=f ，20)10(=f ，0)20(=f ，求)200()(≤≤t t f ，并作出函数的图形．形．解 ⎩⎨⎧≤<-≤≤=．2010,240,100,2)(t t t t t f函数图形如右图所示．函数图形如右图所示．8．判别下列函数的奇偶性：．判别下列函数的奇偶性： （1）12)(24-+=x x x f ；（2）x x x f sin )(+=； （3）22)(xex x f -=；（4）)1lg()(2x x x f ++=．解（1）定义域为),(∞+-∞，由于),(∞+-∞∈∀x ，有),(∞+-∞∈-x ，且有，且有)(121)(2)()(2424x f x x x x x f =-+=--+-=-，即得12)(24-+=x xx f 是偶函数．是偶函数．（2）定义域为),(∞+-∞，由于),(∞+-∞∈∀x ，有),(∞+-∞∈-x ，且有，且有)()sin (sin )sin()()(x f x x x x x x x f -=+-=--=-+-=-，因此，x x x f sin )(+=是奇函数．是奇函数．（3）定义域为),(∞+-∞，由于),(∞+-∞∈∀x ，有),(∞+-∞∈-x ，且有，且有)()()(222)(2x f ex ex x f x x ==-=----，即22)(xex x f -=是偶函数．是偶函数．（4）定义域为),(∞+-∞，由于),(∞+-∞∈∀x ，有),(∞+-∞∈-x ，且有，且有，)()1lg(11lg)1lg())(1lg()(2222x f x x x x x x x x x f -=++-=++=++-=-++-=-因此，)1lg()(2x x x f ++=是奇函数．是奇函数．9．判别下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期：．判别下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期： （1）2cos )(x x f =； （2）3sin22cos)(x x x f +=；（3）x x f 4cos )(π=；（4）x x f tan )(=．解（1）不是．若为周期函数，设周期为T ，则R x ∈∀，有)()(x f T x f =+，即22cos )cos(x T x =+，移项并使用三角公式化简得，0)2sin()2sin(222=+++T Tx T Tx x ，由R x ∈的任意性知道这是不可能的，故2cos )(x x f =不是周期函数．不是周期函数．（2）是．周期为ππ4212=和ππ6312=的最小公倍数π12．（3）是．周期是842=ππ．（4）定义域是使0tan ≥x 的一切x 的取值，即},2{)(Z k k x k x f D ∈+<≤=πππ，由于)(f D x ∈∀，必有)(f D x ∈+π，且)(tan )tan()(x f x x x f ==+=+ππ，因此x x f tan )(=是周期函数，周期为π．10．证明21)(x xx f +=在),(∞+-∞有界．有界． 证明 实际上，),(∞+-∞∈∀x ，都有，都有21112111)(2222=++⋅≤+=+=x x x xx xx f ， 由定义，21)(x xx f +=在),(∞+-∞有界．有界． 11．用肯定语气叙述函数无界，并证明21)(xx f =在)1,0(无界．无界．解 叙述：若X x M M ∈∃>∀,0，使得M x f M >)(，则称函数)(x f 在X 无界．无界．0>∀M ，要使M xx f >=21)(，只须Mx 1<，取)1,0(11∈+=M x M ，则有M M xx f MM >+==11)(2，所以21)(xx f =在)1,0(无界．无界．12．试证两个偶函数的乘积是偶函数，试证两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，一个奇函数和一个一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数．偶函数的乘积是奇函数．证明 设)(,)(x g x f 是定义于X 偶函数，)(,)(x x h ϕ是定义于X 奇函数．则由于以下事实下事实)()()()(x g x f x g x f =--，)()()]()][([)()(x x h x x h x x h ϕϕϕ=--=--， )()()]()[()()(x h x f x h x f x h x f -=-=--，知两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数．积是奇函数．13．设)(x f 为定义在),(∞+-∞内的任何函数，证明)(x f 可分解成奇函数和偶函数之和．之和．证明 由于)(x f 的定义域为),(∞+-∞，故)(,),(x f x -∞+-∞∈∀有意义．有意义． 令2)()()(x f x f x g -+=，2)()()(x f x f x h --=，则)(x g 是偶函数，)(x h 是奇函数，且有)()()(x h x g x f +=．14．用肯定语气叙述：在),(∞+-∞上 (1) )(x f 不是奇函数；不是奇函数； (2) )(x f 不是单调上升函数；不是单调上升函数； (3) )(x f 无零点；无零点； (4) )(x f 无上界．无上界．解 （1）),(0∞+-∞∈∃x ，使得)()(00x f x f -≠-，则)(x f 在),(∞+-∞不是奇函数；函数；（2）),(,21∞+-∞∈∃x x ，虽然21x x <，但)()(21x f x f >，则)(x f 在),(∞+-∞不是单调上升函数；不是单调上升函数；（3）),(∞+-∞∈∀x ，均有0)(≠x f ，则)(x f 在),(∞+-∞无零点；无零点； （4）),(,),(∞+-∞∈∃∞+-∞∈∀b x b ，使得b x f b >)(，则)(x f 在),(∞+-∞无上界．上界．§2 复合函数与反函数1．设xx x f +-=11)(，求证x x f f =))((．证明 ()x f 定义域为1-≠x 的一切实数，因此1-≠∀x ，有，有()()()()x x x x x xx xx x x xf x f x f f =+-++++-+=+-++--=+-=11111111111111．2．求下列函数的反函数及其定义域：．求下列函数的反函数及其定义域：(1) +∞<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x y 1,121；(2) ()+∞<<∞--=-x ee y xx,21；(3) ⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<∞-=．x x x x x y x4,2,41,,1,2解（1）变形为0122=+-yx x ，解得12-+=y y x ，由于()+∞∈∀=⋅⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,1,11221121x x x x x y成立，因此函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y 121，+∞<<x 1的反函数为()∞+∈-+=,1,12x x x y ．（2）变形得，0122=--xxye e，解出1244222++=++=y y y y e x，即()1ln 2++=y yx ，因此原来函数的反函数为()∞+∞-∈++=,,)1ln(2x x x y．（3）当1<<∞-x 时，1,<<∞-=y y x ，当41≤≤x 时，161,≤≤=y y x ，而当+∞<<x 4时，16,log 2>=y y x ．所以反函数为．所以反函数为⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<∞-=．x x x x x x y 16,log ,161,,1,2定义域为()+∞∞-,．3．设()x f ，()x g 为实轴上的单调函数，求证))((x g f 也是实轴上的单调函数．也是实轴上的单调函数．证明 设()x f ，()x g 为实轴上的单调增函数，即()2,1,,=+∞∞-∈∀i x i ，且,21x x <有()()()()2121,x g x g x f x f ≤≤，因此))(())((21x g f x g f ≤，即))((x g f 也是单调增函数．数．同理可证：当()x f ，()x g 为实轴上的单调减函数时，))((x g f 也是单调增函数；当()xf 为增函数，而()xg 为减函数或()x f 为减函数，而()x g 为增函数时，))((x g f 均为减函数．因此，()x f ，()x g 为实轴上的单调函数时，))((x g f 也是实轴上的单调函数．也是实轴上的单调函数．4．设．设()⎩⎨⎧>≤--=．0,,0,1x x x x x f ()⎩⎨⎧>-≤=．0,,0,2x x x x x g ，求复合函数))((x g f ，))((x f g ．解 有复合函数的定义，立即可得有复合函数的定义，立即可得⎩⎨⎧>-≤--=,0,1,0,1))((2x x x x x g f()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤----<<∞-+-=．0,,01,1,1,1))((22x x x x x x x f g5．设21)(xx x f +=，求))((x f f f n 4434421οΛοο次．解 2222221111)(1)())((xxxx xxx f x f x f f +=+++=+=ο，归纳法假设，归纳法假设21))((kxxx f f f k +=4434421οΛοο次， 则有则有222)1(111)1()))((())((kx x kx xkx xf x f f f f x f f f k k +++=+==+4434421οΛοο4434421οΛοο次次2)1(1xk x ++=，依归纳法原理，知21))((nxx x f f f n +=4434421οΛοο次．6．设x x x f --+=11)(，试求))((x f f f n 4434421οΛοο次．解 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<-=1,2,11,2,1,2)(x x x x x f ， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-=21,2,2121,4,21,2))((x x x x x f f ο ，归纳法假设归纳法假设 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤-<-=----111121,2,2121,2,21,2))((k k k k kk x x x x x f f f 4434421οΛοο次 ，则当1+=k n 时，有时，有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤-<-==++,21,2,2121,2,21,2)))((())((1)1(k k k k k k k x x x x x f f f f x f f f 4434421οΛοο4434421οΛοο次次所以，所以，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤-<-=----．次111121,2,2121,2,21,2))((n n n nn n x x x x x f f f 4434421οΛοο 7．设xx f -=11)(，求))((x f f ，)))(((x f f f ，))(1(x f f ．解 xx f -=11)(定义域1≠x 的一切实数，)(11))((x f x f f -=要求1)(≠x f 且1≠x ，因此，因此xxxx f x f f -=--=-=11111)(11))((，0≠x 且1≠x ； ))((11)))(((x f f x f f f -=要求1))((≠x f f 且0≠x ，1≠x ，因此，因此x xx x f f xf f f =--=-=111))((11)))(((，21≠x ，0≠x 且1≠x ； )(111))(1(x f x f f -=要求1≠x 且1)(1≠x f ，因此，因此x x x f x f f 1)1(11)(111))(1(=--=-=，0≠x 且1≠x ．§3 初等函数1．对下列函数分别讨论函数的定义域和值域，奇偶性，周期性，有界性，并作出函数的图形：的图形：(1) x y =；(2) ][x x y -=；(3) x y tan =； (4) )2(x x y -=；(5) x y 2sin =；(6) x x y cos sin +=．解（1）定义域),(∞+-∞=D ，值域),0[)(∞+=X f ，是偶函数，无界非周期函数； （2）定义域),(∞+-∞=D ，值域)1,0[)(=X f ，既非奇函数也非偶函数，是周期为1的有界周期函数；的有界周期函数；（1）题图）题图 （2）题图）题图（3）定义域),(∞+-∞=D ，值域),()(∞+-∞=X f ，是偶函数，无界非周期函数； （4）定义域]2,0[=D ，值域]1,0[)(=X f ，既非奇函数也非偶函数，是有界非周期函数；函数；（3）题图）题图 （4）题图）题图（5）定义域),(∞+-∞=D ，值域]1,0[)(=X f ，是偶函数，是周期为π的有界周期函数；函数；（6）定义域),(∞+-∞=D ，是偶函数．，是偶函数．由于x x x x x y 2sin 1cos sin 2cos sin 222+=++=，所以212≤≤y ，并注意到0≥y ，得到函数的值域]2,1[)(=X f ，因而是有界函数．因为，因而是有界函数．因为)(cos sin sin cos )2cos()2sin()2(x y x x x x x x x y =+=-+=+++=+πππ，所以函数x x y cos sin +=是周期为2π的周期函数．的周期函数．2．若已知函数)(x f y =的图形，作函数的图形，作函数)(1x f y =，)(2x f y -=，)(3x f y --=的图形，并说明321,,y y y 的图形与y 的图形的关系．的图形的关系．解 由于⎩⎨⎧<-≥==0)(,)(,0)(,)()(1x f x f x f x f x f y ，故其图形是将函数)(x f y =的图形在x轴上方部分的不动，在x 轴下方的部分绕x 轴旋转ο180后即得；后即得；)(2x f y -=的图形是将函数)(x f y =的图形绕y 轴旋转ο180后得到的；后得到的； )(3x f y --=的图形是将函数)(x f y =的图形在坐标平面内绕坐标原点旋转ο180后得到的．得到的．3．若已知函数)(x f ，)(x g 的图形，试作函数的图形，试作函数 ])()()()([21x g x f x g x f y -±+= 的图形，并说明y 的图形与)(x f 、)(x g 图形的关系．图形的关系．解 由于由于 )}(),(max{)()(,)(,)()(,)(])()()()([21x g x f x g x f x g x g x f x f x g x f x g x f =⎩⎨⎧<≥=-++， )}(),(min{)()(,)(,)()(,)(])()()()([21x g x f x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f =⎩⎨⎧<≥=--+， 因而极易由函数)(x f ，)(x g 的图形作出两函数])()()()([21x g x f x g x f y -±+=的图形，也知其关系．形，也知其关系．4． 作出下列函数的图形：作出下列函数的图形：(1) x x y sin =；(2) x y 1sin =． 解 图形如下．图形如下．（1）题图）题图 （2）题图）题图5．符号函数．符号函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==,0,1,0,0,0,1sgn x x x x y 试分别作出x sgn ，)2sgn(x ，)2sgn(-x 的图形．的图形．解x sgn)2sgn(x)2sgn(-x6．作出下列函数的图形：．作出下列函数的图形：(1) x y cos sgn =；(2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=22][x x y ． 解（1）（2）。