四川大学大学物理-2002答案

四川大学2002年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：机械设计科目代号：567#适用专业：机械制造及其自动化、机械电子工程、机械设计及理论（试题共6页）（答案必须写在试卷上，写在试题上不给分）--------------------------------------------------------------------------一、单项选择：将下列各题的正确号码填在横线上。

（每题2分，共20分）1、受拉螺栓联接若螺栓所受预紧力为F'，在受轴向工作载荷F时，其剩余预紧力为F"，则螺栓所受的总拉力F。

为。

（1）F0=F'+F；（2）F0=F'+F"+F；（3）F0=F+F"；（4）F0=F"+F'2、对于受循环变应力作用的零件，影响疲劳强度的主要因素是。

（1）最大应力；（2）平均应力；（3）应力幅；（4）最小应力3、链传动的瞬时传动比若要等于常数，则它的主要条件是。

（1）z2=z1；（2）z2=z1，且中心距α是链节距p的整数倍。

（3）z2=3z1；（4）大链轮齿数z z是小链齿数z1的整数倍。

4、减速蜗杆传动中，用来计算传动比i是错误的。

（1）i=w1/w2；（2）i=d2/d1；（3）i=n1/n2；（4）i=z2/z15、花键静联接的强度主要取决于强度。

（1）齿根剪切；（2）齿侧接触；（3）齿根弯曲；（4）齿侧挤压6、滑动轴承的条件性计算中，限制PV值是为了。

（1）防止加速磨损；（2）防止过度磨损；（3）防止轴承温升过高；（4）防止出现过大的摩擦阻力矩。

7、配对齿轮副1、2的工作接触应力σH1、σH2之间的关系为。

（1）仅节点处σH1=σH2；（2）任意啮合位置处σH1=σH2；（3）σH1≥σH2；（4）σH1≤σH28、齿轮的弯曲强度，当，则齿根弯曲强度增加。

（1）模数不变，齿数增多时；（2）模数不变，中心距增大时；（3）齿数不变，模数加大时；（4）模数不变，齿轮直径加大时。

2002年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 15.B【解析】由质子带一个单位正电荷,中子不带电,设质子中u夸克、d夸克个数分别是x、y(x、y取正整数),则x×23+y×(−13)=1,解得x=2、y=1;设中子中u夸克、d夸克个数分别是m、n(m、n取正整数)，m×(23)+n×(−13)=0,解得m=1、n=2,故B正确.16.C【解析】设碰撞前A球的速度为v0,两个弹性小球发生正碰,当两者速度相同时,弹性势能最大,由动量守恒得mv0=2mv,由机械能守恒得E p=12mv02−12·2mv2,解得v0=2√E pm，故C正确.17.D【解析】电容器在电路中与等效电源并联,两端电压等于AB端感应电动势,所以当导体棒匀速滑动时,电容器两端电压不变，所以I2=0,电阻R中电流不为零,故AB错误;加速滑动时,电容器两端电压随导体棒速度的增大而增加,电容器持续充电，充电电流不为零，通过电阻的电流也不为零，故C错误D正确.18.B【解析】由力的图像分析可知，在时间0∼t1内,质点向正方向做加速度增大的加速运动；在时间t1∼t2内,质点向正方向做加速度减小的加速运动；在时间t2∼t3内,质点向正方向做加速度增大的减速运动；在时间t3∼t4内,质点向正方向做加速度减小的减速运动，t4时刻速度为零，因此t2时刻质点的速度最大,故B正确.19.B【解析】观察门外情况时，作出光路图如图所示,由几何关系得sinα=√r2+l2,由光的折射规律得n=sinθsinα,所以视场角θ=√r2+l2，故B正确.20.D【解析】当变阻器R5滑动触点向a端移动时,变阻器接入电路的电阻减小,电路中的总电阻减小,总电流增大,电源内电压增大,路端电压减小，故电压表测量路端电压示数U减小,R1、R3两端电压随总电流增大而增大,所以外电路并联部分电压减小,通过电流表所在支路的电流I减小，电流I示数减小，故D正确.26.1.5×103N.【解析】将运动员看做质量为m的质点，从ℎ1高处下落，刚接触网时速度的大小为v1=√2gℎ1(向下)①，弹跳后到达的高度为ℎ2，刚离网时的速度的大小为v2=√2gℎ2(向上)②，速度的改变量为Δv=v1+v2(向上)③以a表示加速度，Δt表示接触时间，则Δv=aΔt④，接触过程中运动员受到向上的弹力F和向下的重力mg，由牛顿第二定律得F−mg=ma⑤，由以上各式解得F=mg+m√2gℎ2+√2gℎ1Δt⑥，代入数值得F=1.5×103N⑦.27.1r√2mUetanθ2.【解析】电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心为C，半径为R，以v表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表示电子的质量和电量，在加速电场中运动时，由动能定理得eU=12mv2①，由洛伦兹力提供向心力得evB=mv2R②，由几何关系得tanθ2=rR③，由以上各式解得B=1r√2mUetanθ2④29.Ⅰ.(1)见解析；(2)见解析.【解析】Ⅰ.(1)②称出活塞和钩码框架的总质量M；⑤将注射器针筒上的小孔用橡皮帽堵住；(2)由题意知，活塞的横截面积为S=V mL①，由力学平衡条件得p1=p0+(M+m1)gS②，p2=p0+(M+m2)gS③，由玻意耳定律得p1V1=p2V2④,联立解得大气压强p0=LgV m(m2V2−m1V1V1−V2−M)⑤.Ⅰ.(1)2NH4Cl+Ca(OH)2△2NH3↑+CaCl2+2H2O；(2)向下排空气；碱石灰；(3)打开止水夹，挤岀胶头滴管中的水；氨气极易溶解于水，致使烧瓶内气体通迅速减小.(4)打开夹子，用手(或热毛巾等)将烧瓶捂热，氨气受热膨胀，赶出玻璃导管内的空气，氨气与水接触，即发生喷泉.30.6.8×10−2J.【解析】图1中虚线表示A、B球原来的平衡位置，实线表示烧断后重新达到平衡的位置，其中α、β分别表示细线OA、AB与竖直方向的夹角.A球受力如图2所示，重力mg，竖直向下；电场力qE，水平向左；细线OA对A的拉力T1，方向如图所示；细线AB 对A的拉力T2，方向如图，由平衡条件得T1sinα+T2sinβ=qE①，T1cosα=mg+T2cosβ②，B球受力如图3所示，重力mg，竖直向下，电场力qE，水平向右，细线AB对B的拉力T2，方向如图所示，由平衡条件得T2sinβ=qE③，T2cosβ=mg④，联立以上各式并代入数据，得α=0⑤，β=45°⑥，由此可知，A、B球重新达到平衡的位置如图4所示，与原来位置相比，A球的重力势能减少了E A=mgl(1−sin60°)⑦，B球的重力势能减少了E B=mgl(1−sin60°+cos45°)⑧，A球的电势能增加了W A=qElcos60°⑨，B球的电势能减少了W B=qEl(sin45°−sin30°)⑩，两种势能总和减少了W=W B−W A+E A+E B⑪，代入数据解得W=6.8×10−2J⑫.。

习题1.11.解下列不等式（用区间表示）.⑴172<-x ，⑵12≥-x ，⑶()()021<--x x ，⑷2212<+<-x ，⑸412<<x ，⑹232322+->+-x x x x .解：⑴1721<-<-x 826<<x 43<<x )(.4,3∈x ⑵1212-≤-≥-x x 或13≤≥x x 或(][).,31,+∞∞-∈ x ⑶2,121-==x x 12<<-x ().1,2-∈x ⑷⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+<+221221x x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++>++02520232x x x x ⇓()()()()⎩⎨⎧>++>++02520232x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈⇒->-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->-<->-<⇒,2325,2325225232 x x x x x x x 或或或解得.⑸2141<<x 当0>x 时，2141<<x .当0<x 时，41212141-<<-⇒<-<x x .综合上述：⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈21,4141,21 x .⑹不成立时，2323230232222+->+-=+-≥+-x x x x x x x x .考虑0232<+-x x 的情形，232322-+-=+-x x x x −−−−→−原不等式变为().2,1210232323222∈⇒<<⇒<+-⇒+->-+-x x x x x x x x 2.求函数值.⑴()12--=x x x f ，求()()(),0,2,2f f f -⑵()x x x x x f 6116234-+-=，求()()(),4,1,0f f f ⑶()⎪⎩⎪⎨⎧+=,2,12x x x f ,0,0+∞<<≤<∞-x x 求()()(),2,0,2f f f -⑷()x x x f +-=11，求()x f -，()1+x f ，⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，⑸设)(a ())(,b b ax x f +=())(,2c x x f =()xa x f =，求()()().hx f h x f x -+=ϕ解：⑴()()(),20,342,02-=-=-=f f f ⑵()()(),244,01,00===f f f ⑶()()(),42,10,52===-f f f ⑷()(),111,21,11+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-+=-x x x f x x x f x x x f ⑸)(a ()(),a hbax b h x a x =--++=ϕ)(b ()(),222h x hx h x x +=-+=ϕ)(c ()(),1ha a h a a x h x x h x -=-=+ϕ3.求函数的定义域.⑴,12xx y +=⑵,112-=x y ⑶,112xy -=⑷,11922-+-=x x y ⑸(),721lg x y -=⑹,sin 1xy π=⑺,12arccosxxy +=⑻(),ln ln x y =⑼,22x x y -+=⑽()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤<-=.21,,10,1,0,12x e x x x x x f x解：⑴01≠+x .1-≠⇒x ⑵.1012±≠−−→−≠-x x 解得⑶.11012<<-−−→−>-x x 解得⑷092≥-x ①012>-x ②联立①②解得：.3113≤<-<≤-x x 或⑸.30721<⇒>-x x ⑹).,2,1,0(,),2,1,0(,0sin ⋅⋅⋅±±=≠⇒⋅⋅⋅±±=≠⇒≠k k x k k x x πππ⑺.1311121≤≤-−−→−≤+≤-x x x 解得⑻.10ln >⇒>x x ⑼.21022≤≤-−−→−≥-+x x x 解得⑽①0<x 时R x ∈，结合前提：,0<x ②10<≤x 时0≠x ，结合前提：,10<<x ③21≤≤x 时R x ∈，结合前提：.21≤≤x 综合上诉：定义域为.200≤<<x x 或4.求下列函数的定义域和值域.⑴x y sin =，⑵()x y 1-=，⑶().cos 21lg x y -=解：⑴()),,2,1,0(,1220sin ⋅⋅⋅±±=+≤≤⇒≥k k x k x ππ.10≤≤y⑵.1),(12±=+=y n m m nx 为整数⑶),,2,1,0(,2352321cos 0cos 21⋅⋅⋅±±=+<<+⇒<⇒>-k k x k x x ππππ.3lg 3cos 210,3cos 211,1cos 1≤⇒≤-<≤-≤-≤≤-y x x x 5.下列函数是否表同一函数？为什么？⑴()()x x x x f lg 2lg 2==ϕ与，⑵()()2x x x x f ==ϕ与，⑶()()1==x xxx f ϕ与.解：⑴()x f 定义域0,02≠>x x ，()x ϕ定义域0>x ，定义域不同，∴否⑵()()0,≥∈x R x f ϕ，值域不同，∴否⑶()x f 定义域0≠x ，()x ϕ定义域R x ∈，定义域不同，∴否6.判断下列函数在所示区间内的增减性.⑴x y cos =()π≤≤x 0，⑵x y ln =()+∞<<x 0，⑶2xy =().0≤<∞-x 解：⑴根据图像判断，单调减⑵根据图像判断，单调增⑶根据图像判断，单调减7.指出下列函数的奇偶性.⑴()33x x x f -=，⑵()x x f 2cos 4=，⑶()x x x f sin =，⑷()12+=x x f ，⑸()xe xf =，⑹()()()323211x x x f ++-=，⑺()x xx f +-=11ln ，⑻()1212+-=x x x f ，⑼().cos sin x x x f -=解：⑴定义域R x ∈，R x ∈-∀，()33x x x f +-=-()x f -=，∴奇函数⑵定义域R x ∈，R x ∈-∀，()()()x f x x x f ==-=-2cos 42cos 4，∴偶函数⑶定义域R x ∈，R x ∈-∀，()()()x f x x x x x f ==--=-sin sin ，∴偶函数⑷定义域R x ∈，R x ∈-∀，()()()x f x x x f =+=+-=-1122，∴偶函数⑸定义域R x ∈，R x ∈-∀，()()x f ee xf x x≠==--1，同理()()x f x f -≠-，∴非奇非偶⑹定义域R x ∈，R x ∈-∀，()()()()x f x x x f =-++=-323211，∴偶函数⑺定义域()()11011011-<>⇒>+-⇒>+-x x x x x x或，()()+∞-∞-∈-∀,11, x ，()()()()()[]()x f xxx x x x x x x f -=+--=+---=--+=-+=-11ln 1ln 1ln 1ln 1ln 11ln ，∴奇函数⑻定义域R x ∈，R x ∈-∀，()()x f x f xx x x xx x xx x -=+--=+-=+-=+-=---121221212212211212，∴奇函数⑼定义域R x ∈，R x ∈-∀，()()()xx x x x f cos sin cos sin --=---=-()()()()x f x f x f x f -≠-≠-,，∴非奇非偶8.证明()21ln xx y ++=为奇函数.证：先求定义域：xx x x x x x +>++∴=>+2221,1 01,0,0;01,02,022>++=+≤>++>=+>x x x x x x x x x x x 即时即时综合上述：012>++x x 恒成立，又012>+x ，∴定义域为R x ∈.R x ∈-∀，()()221ln 1ln x x x x yyxx xx +++++-=+=-=()()[]x x x x -+++=2211ln ()01ln 1ln 22==-+=x x ，xx xx yy=-=-=∴，∴()21ln xx y ++=为奇函数，得证9.设()x f 为定义在()+∞∞-,内的任意函数，证明()()()x f x f x F -+=1为偶函数，()()()x f x f x F --=2为奇函数.证：①()()()()()()011=---+-=--x f x f x f x f x F x F ，即()()x F x F 11=-，∴偶函数②()()()()()()022=--+--=+-x f x f x f x f x F x F ，即()()x F x F 22-=-，∴奇函数10.求下列周期函数的最小正周期.⑴2sinx y =，⑵x y 2cos =，⑶x n B x n A y λλcos sin +=，⑷x x x y 3sin 312sin 21sin ++=，⑸x y 2sin =.解：⑴）⋅⋅⋅±±=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=,2,1,0(,24sin 22sin 2sink k x k x x ππ，1=k 取得最小正周期π4.⑵()()),2,1,0(,2cos 22cos 2cos ⋅⋅⋅±±=+=+=k k x k x x ππ，1=k 取最小正周期π.⑶()()πϕλϕλλλk x n B A x n B A x n B x n A 2sin sin cos sin 2222+++=++=+),2,1,0((tan ,2sin 22⋅⋅⋅±±==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=k a bn k x n B A ϕϕλπλ，1=k 时取得最小正周期λπn 2.⑷x sin 的最小正周期π2，x 2sin 21最小正周期π，x 3sin 31最小正周期π32.π2是32,,2πππ的倍数，∴y 是周期函数，最小正周期是π2.⑸),2,1,0(,21)(2cos 212cos 212122cos 1sin 2⋅⋅⋅±±=++-=-=-=k k x x x x π，1=k 时取最小正周期π.11.证明[]x x y -=为周期函数，并求它的最小正周期.证：①Z x ∈时，[]0=-=-=x x x x y ，为周期函数，周期为R x ∈∀，②Z x ∉时，令)(,为小数部分为整数部分，b a b a x +=，[]ba b a x x y =-+=-=Z T ∈∀，()T x f +的小数部分也为b .即()()x f T x f =+，∴y 为周期函数，周期为Z T T ∈,，综合上述：R x ∈，[]x x y -=为周期函数，周期为Z T T ∈,，最小正周期为1.12.写出由下列函数组构成的复合函数，并求复合函数的定义域.⑴(),1,arcsin 2x v v y -==⑵,1,ln 2x u u y -==⑶,2,log ,2122x x v v u u y a +===⑷.tan ,log ,12x v v u u y a ==+=解：⑴(),1arcsin 2x y -=().20111,112≤≤−−→−≤-≤-≤≤-x x v 解得⑵().1101,1ln 22<<-−−→−>--=x x x y 解得⑶,2log 2122x x y a +=.20022-<>⇒>+x x x x 或⑷,tan log 12x y a +=).,2,1,0(,20tan ⋅⋅⋅±±=+<<⇒>k k x k x πππ13.⑴设()(),2,2xx x x f ==ϕ求()[]x f ϕ和()[]x f ϕ，⑵设(),11xx f -=求()[]x f f ，⑶设(),2312+-=+x x x f 求().x f 解：⑴()[]()()[],2,4222x xx x f x f ===ϕϕ⑵()[],11111xx xx f f -=--=⑶()()(),615112++-+=+x x x f 令()().65,65,122+-=+-=+=x x x f t t t f x t14.求下列函数的反函数及反函数的定义域.⑴()+∞<≤=x x y 02，⑵)0112≤≤--=x x y ，⑶11-=x y ，⑷110+=x y ，⑸xxy +-=11，()⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<∞-=.4 ,2,41 ,,1 , 62x x x x x y x 解：⑴,,x y y x ==,0≥x ⑵,1,122x y y x --=--=,10≤≤x ⑶,0,1,1≠+=+=x xx y y y x ⑷,0,1lg ,1lg >-=-=x x y y x ⑸,1,11,11-≠+-=+-=x xx y y y x ⑹⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<≤≤<<-∞=,16,log ,161,,1,2x x x x x x y 注：先逆推y ，再值域对应定义域。

一、 单项选择题：1. 北京正负电子对撞机中电子在周长为L 的储存环中作轨道运动。

已知电子的动量是P ，则偏转磁场的磁感应强度为： （ C ）(A) eL P π； (B) eL P π4； (C) eLP π2； (D) 0。

2. 在磁感应强度为B ρ的均匀磁场中，取一边长为a 的立方形闭合面，则通过该闭合面的磁通量的大小为： （ D ）(A) B a 2； (B) B a 22； (C) B a 26； (D) 0。

3．半径为R 的长直圆柱体载流为I ， 电流I 均匀分布在横截面上，则圆柱体内（R r 〈）的一点P 的磁感应强度的大小为 ( B )(A) r I B πμ20=； (B) 202R Ir B πμ=； (C) 202r I B πμ=； (D) 202RI B πμ=。

4．单色光从空气射入水中，下面哪种说法是正确的 ( A )(A) 频率不变，光速变小； (B) 波长不变，频率变大；(C) 波长变短，光速不变； (D) 波长不变，频率不变.5.如图,在C 点放置点电荷q 1,在A 点放置点电荷q 2,S 是包围点电荷q 1的封闭曲面,P 点是S 曲面上的任意一点.现在把q 2从A 点移到B 点，则 (D )(A) 通过S 面的电通量改变,但P 点的电场强度不变；(B) 通过S 面的电通量和P 点的电场强度都改变；(C) 通过S 面的电通量和P 点的电场强度都不变；(D) 通过S 面的电通量不变,但P 点的电场强度改变。

6．如图所示，两平面玻璃板OA 和OB 构成一空气劈尖，一平面单色光垂A C直入射到劈尖上，当A 板与B 板的夹角θ增大时，干涉图样将 ( C )(A) 干涉条纹间距增大，并向O 方向移动；(B) 干涉条纹间距减小，并向B 方向移动；(C) 干涉条纹间距减小，并向O 方向移动；(D) 干涉条纹间距增大，并向O 方向移动.7．在均匀磁场中有一电子枪，它可发射出速率分别为v 和2v 的两个电子，这两个电子的速度方向相同，且均与磁感应强度B 垂直，则这两个电子绕行一周所需的时间之比为 ( A )(A) 1:1； (B) 1:2； (C) 2:1； (D) 4:1.8．如图所示，均匀磁场的磁感强度为B ，方向沿y 轴正向，欲要使电量为Q的正离子沿x 轴正向作匀速直线运动，则必须加一个均匀电场E u r ，其大小和方向为 ( D )(A) E = B ，E u r 沿z 轴正向； (B) E =v B ，E u r 沿y 轴正向； (C) E =B ν，E u r 沿z 轴正向； (D) E =B ν，E u r 沿z 轴负向。

2002川大高等代数及答案四川大学2002年攻读硕士学位研究生入学考试题一、(本题满分24分，每小题8分) 解答下列各题.51. 证明多项式f (x ) =x -5x +1在有理数域Q 上不可约.证明：由s a n =1、r a 0=1，又(s , r ) =1r有的可能值为±1，带入验证有f (1) =-3、f (-1) =5s故f (x ) 不含有理根，则f (x ) 只能分解为二次多项式和三次多项式的乘积232232有f (x ) =(x +a 1x +1)(x +b 1x +c 1x +1) 或f (x ) =(x +a 2x -1)(x +b 2x +c 2x -1)⎧a 1+b 1=0⎧a 2+b 2=0⎪a b +c +1=0⎪a b +c -1=0⎪111⎪222 得方程⎨a 1c 1+b 1+1=0和⎨a 2c 2-b 2-1=0，两方程无解⎪⎪⎪⎩a 1+c 1+5=0⎪⎩a 2+c 2-5=05故f (x ) =x -5x +1在有理数域Q 上不可约22. 设A 为n 阶方阵且A +A =2E . 其中E 为n 阶单位矩阵. 证明：r (A -E ) +r (A +2E ) =n ，其中r (A ) 表示矩阵A 的秩.证明：r (A -E ) +r (A +2E ) =r (E -A ) +r (A +2E ) ≥r [(E -A ) +(A +2E )]=r (3E ) =n 即r (A -E ) +r (A +2E ) ≥n ①2由A +A =2E ，得(A -E )(A +2E ) =O有A +2E 的列向量全部是方程(A -E ) X =θ的解，有r (A +2E ) ≤n -r (A -E ) 即r (A -E ) +r (A +2E ) ≤n ②由①、②，得r (A -E ) +r (A +2E ) =n23. 设n 维线性空间V 上的线性变换T满足：T=T. 证明：T+E可逆，其中E为恒等变换.证明：取V 的一组基ε1, ε2, , εn令T在这组基下的矩阵为T ，有T+E在这组基下的矩阵为T +E2由T =T ，得T 的特征值为1、0，有T +E 的特征值为2、1，则T +E ≠0故T +E 可逆，则T+E可逆⎡-13-10⎤2002A 二（本题满分12分）设A =⎢，求. ⎥2116⎣⎦λ+1310=(λ-1)(λ-2) =0 ，有A 的特征值为1、2 解：λE -A =-21λ-1410=当λ=1时，有E -A =-21-00基础解系有n -r (E -A ) =1个向量构成，α1=(5, -7)’151010=当λ=2时，有2E -A =-21-00基础解系有n -r (2E -A ) =1个向量构成，α2=(2, -3)’-12002-1=P -1A 2002P =Λ2002 令可逆矩阵P =(α1, α2) ，有P AP =Λ，有(P AP )2002A 有200352132⎡15-7⋅2⎡⎤⎡⎤⎡⎤=P Λ2002P -1=⎢=⎢⎥⎢⎥2002⎥⎢2002-7-32-7-5-21+21⋅2⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣10-5⋅22003⎤⎥-14+15⋅22002⎦三、（本题满分12分）设V 是数域F 上的三维线性空间. 证明：不存在V 的线性变换T使⎡01-2⎤⎡110⎤⎢-12-2⎥B =⎢011⎥A =得T在V 的两组基下的矩阵分别为：⎢⎥和⎢⎥⎢⎢⎣001⎥⎦⎣001⎥⎦证明：反证法，设存在这样的矩阵A 、B .由A 、B 为同一线性变换T在V 的两组基下的矩阵，则有A ≅Bλ-1022=(λ-1) 3，有A 的特征值为1、1、1 λ-11-121-12000 0λE -A =1λ-2当λ=1时，有E -A =1-12=00000故特征值1对应n -r (E -A ) =2个线性无关的特征值向量①λ-1λE -B =0-10-1=(λ-1) 3，有B 的特征值为1、1、1 λ-0-10-1 0λ-1当λ=1时，有E -B =0000故特征值1对应n -r (E -B ) =1个特征向量②由①、②与A ≅B 矛盾，则假设矛盾故不存在V 的线性变换T使得T在V 的两组基下的矩阵分别A 、B4443四(本题满分12分) 设α, β, γ是三次方程x +3x -1=0的根，求α+β+γ的值.4444解：令x 1=α、x 2=β、x 3=γ，x 1+x 2+x 3的首项为x 1，有x 14322x 20121x 300010-00-00-0→σ14-0σ2σ3σ4=σ141-00-00-0→σ13-1σ2σ3σ4=σ12σ2σσσσ=σ→σσσσ=σ1σ3→2-22-00-00-012342-11-11-00-0123422444422有x 1+x 2+x 3=σ1+a σ1σ2+b σ2+c σ1σ3取x 1=1、x 2=1、x 3=0，有σ1=2，σ2=1，σ3=0 有4a +b =-14 ①取x 1=1、x 2=2、x 3=0，有σ1=3，σ2=2，σ3=0 有18a +4b =-64 ②取x x ，有σ121=2=x 3=11=C 3=3，σ2=C 3=3，有9a +3b +c =-26 ③由①、②、③，得a =-4、b =2、c =4有x 4444221+x 2+x 3=σ1-4σ1σ2+2σ2+4σ1σ3由方程x 3+3x -1=0根与系数的关系得，σ1=0、得α4+β4+γ4 =18五、（本题满分16分）利用正交变换将实二次型f (x 1, x 2, x 3) =x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3化为标准形. 并写出相应的正交变换和标准形. ⎡⎢011⎤⎢22⎥解：二次型矩阵为A =⎢1⎢201⎥2⎥⎢11⎥⎢⎣220⎥⎥⎦σC 33=3=1σ2=3、σ3=1λλE -A =-121-2-1212λ-1λ-12111-=-λ-222-λ001211-=(λ+) 2(λ-1)221λ+2-11A 的特征值为-、-、122111--22211-E -A =000当λ=-时，有22000-1n -r (-E -A ) =2个线性无关的向量构成，α1=(1, -1, 0)’ 、α2=(1, 0, -1)’ 基础解系由21当λ=1时，有-E -A =-121-212121-111-2213-=024001-123-4 0-基础解系由n -r (E -A ) =1个向量构成，α3=(1, 1, 1)’ 把α1、α2、α3正交化β1=α1=(1, -1, 0)’ β2=α2-(α2, β1) 111β1=α2-β1=(, , -1)’(β1, β1) 222(α3, β1) (α3, β2)β3=α3-β1-β2=α3=(1, 1, 1)’(β1, β1) (β2, β2)γ1=β12β3β6113=(1, -1, 0)’ 、γ2=2=(, , -1)’ 、γ3==(1, 1, 1)’ β12β2222β3312122f (x , x , x ) =-y -y +y C =(γ, γ, γ) 令正交矩阵123123 123，有X =CY ，即有22-1六、（本题满分12分，每小题6分）设A 、B 是n 阶实正交矩阵，t 为矩阵A B 的特征根-1的重数. 证明：（1）det(AB ) =1的充要条件是t 为偶数. （2）A +B 的秩r (A +B ) =n -t .证明：（1）由A 、B 是n 阶实正交矩阵，有AB (AB )’ =ABB ‘ A ‘ =E ，则AB 为实正交矩阵-1-1由AA ‘ =E ，得A =A ‘ ，即A B =A ‘ B由A 与A ‘ 对应相同的特征值，则AB 与A ‘ B 对应相同的特征值-1有det(AB ) =det(A ‘ B ) =det(A B )实正交矩阵的特征值只能是1和-1 故det(AB ) =1n -t⋅(-1) t =(-1) t ，则有det(AB ) =1的充要条件是t 为偶数-1-1（2）由A 可逆，有r (A +B ) =r [A (A +B )]=r (E +A B ) =n -t七、（本题满分12分）设α1, α2, , αm 为欧氏空间V 的一组线性无关向量，而β1, β2, , βm 和γ1, γ2, , γm 为V 的两组正交向量组. 假设对每个1≤i ≤m ，βi 和γi 均可以由α1, α2, , αi 线性表出. 证明：存在m 个实数a 1, a 2, , a m 使得βi =a i γi 1≤i ≤m .证明：令W =L (α1, α2, , αm ) ⊆V取W 两组标准正交基ε1, ε2, , εm 、e 1, e 2, , e m有(ε1, ε2, , εm ) =(β1, β2, , βm ) Λ1、(e 1, e 2, , e m ) =(γ1, γ2, , γm ) Λ2 则Λ1、Λ2为对角矩阵，有Λ1、Λ2为对角矩阵-1-11(ε1, ε2, , εm ) =(e 1, e 2, , e m ) A ，有(β1, β2, , βm ) =(γ1, γ2, , γm ) Λ2A Λ-1 ①则A 为正交矩阵由βi 和γi 均可以由α1, α2, , αi 线性表出，有(β1, β2, , βm ) =(α1, α2, , αm ) B 、(γ1, γ2, , γm ) =(α1, α2, , αm ) C-1则B 、C 为上三角矩阵，有C B 为上三角矩阵有(β1, β2, , βm ) =(γ1, γ2, , γm ) C B ②-1-1-1-1由①、②，得Λ2A Λ1=C B ，则A =Λ2C B Λ1有A 为上三角矩阵，则A 为上三角矩阵③-1-1-1-1-1-1由A ‘ =A =(Λ2C B Λ1)’ =Λ1’ B ‘ (C )’ (Λ2)’ ，有A 为下三角矩阵④-1由③、④，得A 为对角矩阵，则A 为对角矩阵-1有(β1, β2, , βm ) =(γ1, γ2, , γm ) Λ2A Λ1=(γ1, γ2, , γm ) Λ-1令Λ=diag (a 1, a 2, , a m ) ，即证βi =a i γi 1≤i ≤m。

大学物理（二）习题参考答案14-2、 若理想气体的体积为V ,压强为p ，温度为T ，一个分子的质量为m ,k 为玻耳兹曼常量，R 为普适气体常量，则该理想气体的分子数为多少？ 解：由理想气体状态方程 N p nkT kT V== 得理想气体的分子数 pV N kT=14-8、温度为0ºC 和100ºC 时理想气体分子的平均平动动能各为多少？欲使分子的平均平动动能等于1e V ，气体的温度需是多少？解：（1）232111331.3810273 5.651022w kT J J --==⨯⨯⨯=⨯ （2）23212233 1.3810(273100)7.721022w kT J J --==⨯⨯⨯+=⨯（3）193323322 1.60107.73107.4610233 1.3810w w kT T K K k --⨯⨯=⇒===⨯≈⨯⨯⨯℃ 14-9、某些恒星的温度可达到约1.0×108K ，这是发生聚变反应（也称热核反应）所需的温度。

通常在此温度下恒星可视为由质子组成。

求： （1）质子的平均动能是多大？ （2）质子的方均根速率是多大？ 解：（1）质子的平均动能为 23815331.3810 1.0102.071022w kT J J --==⨯⨯⨯⨯=⨯ (2) 质子的方均根速率是2161121.5710rps w mv v s m s --===⋅=⨯⋅或1611.5710rpsv s m s --==⋅=⨯⋅ 14-12、解： (1)KK E E N w w N=⇒=A molMN N M =⋅ 5321234.141032108.27102.66 6.0210k mol A E M w J J MN --⨯⨯⨯∴===⨯⨯⨯(2) 21233228.2710400233 1.3810w w kT T K K k --⨯⨯=⇒==≈⨯⨯ 14-17、解：（1）253122522 6.7510 1.35105 2.010mol mol mol M M PV RT P RT M V M E E P M i iV V E RT M P Pa Pa -⎫=⇒=⎪⎪⇒==⎬⎪=⎪⎭⨯⨯==⨯⨯⨯（2）221223333 6.751027.51055 5.4102w kT E E w J J E i i N N kT N ε-⎫=⎪⨯⨯⎪⇒=⋅===⨯⎬⨯⨯⎪==⎪⎭21223227.510 3.621033 1.3810w T K K k --⨯⨯===⨯⨯⨯ 14-18、解：已知，V ，P ，i22mol mol M i E RT M i E PV M PV RT M ⎫=⎪⎪⇒=⎬⎪=⎪⎭15-2解：已知Q,E ∆由，5552.6610 4.1810 1.5210Q E W W Q E J J J =∆+⇒=-∆=⨯-⨯=-⨯，外界对系统做功。

No 4 能量、能量守恒定律一、选择题：1．B解：由功的定义，F力的功为)J (91422524)654()756(=++=+-⋅+-=∆⋅=k j i k j i r F A2．A解：由功的定义，F力的功为⎰⎰⎰+=⋅=y F x F r F A y x d d d200000d d R F y y F x x F RR=+=⎰⎰3．C解：根据机械能守恒定律的表述：常数非保守内外==+E A A , 0，可知，当质点系所受外力和非保守内力作功代数和为零时，系统机械能守恒，故选C 。

对功的概念有以下几种说法：4．C解：根据质点的动能定理：k E W ∆=v t t 间，~21不变, 0,01==∆W E k 所以 减小v t t 间，~320 ,02<<∆W E k增大v t t 间，~430 ,03>>∆W E k5．D解：外力刚向下拉时，弹簧伸长，物体M 未被拉起，直到弹簧伸长0x 时，M 拉起并向上匀速运动。

)m (1.02001020=⨯==k Mg x 于是，物体在整个过程中受力函数为⎩⎨⎧≤≤=≤≤=3.01.0201.00x Mg x kx f 因物体缓慢上升，外力F 的功等于物体受力f 的功，为)J (541d d d 3.01.01.003.00=+=+==⎰⎰⎰x Mg x x k x f A二、填空题：1． k g m 222。

解：设小球刚离开地面时伸长量为0x ，由mg kx =0知kmgx =0在此过程中外力的功为⎰===02202)(21d x k mg x k x x k A2． 450 J 。

解：由图可知，物体受力为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=631030320)(t t t t F0~3 秒内应用动量定理0d 32033-=⎰mv t t 得 )s m (5.7432320123-⋅=⨯⨯⨯=v3~6 秒内再应用动量定理3663d 10mv mv t -=⎰得)s m (155.75.74)36(1013-⋅=+=+-=v V根据质点的动能定理，6秒内变力的功为)J (45015421021226=⨯⨯=-=mv A3． 25/8mgl 。

2002年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至5页，第Ⅱ卷6至15页，满分300分。

考试用时150分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共20题，每题6分，共120分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。

在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

以下数据可供解题时参考：原子量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 P 31 Cl 35.5 Ca 40 Fe 56 Cu 6415．目前普通认为，质子和中子都是由被称为u 夸克和d 夸克的两类夸克组成。

u 夸克带电量为23 e ，d 夸克带电量为－13e ，e 为基元电荷。

下列论断可能正确的是（ ） （A ）质子由1个u 夸克和1个d 夸克组成，中子由1个u 夸克和2个d 夸克组成（B ）质子由2个u 夸克和1个d 夸克组成，中子由1个u 夸克和2个d 夸克组成（C ）质子由1个u 夸克和2个d 夸克组成，中子由2个u 夸克和1个d 夸克组成（D ）质子由2个u 夸克和1个d 夸克组成，中子由1个u 夸克和1个d 夸克组成16．在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球A 、B ，质量都为m 。

现B 球静止，A 球向B 球运动，发生正碰。

已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为E p ，则碰前A 球的速度等于（ ）（A ）E p m （B ）2E p m （C ）2E p m （D ）22E p m17．图中EF 、GH 为平行的金属导轨，其电阻可不计，R 为电阻器，G 为电容器，AB 为可在EF 和GH 上滑动的导体横杆。

有均匀磁场垂直与导轨平面。

若用I 1和I 2分别表示图中该处导线中的电流，则当横杆AB （ ）（A ）匀速滑动时，I 1＝0，I 2＝0（B ）匀速滑动时，I 1≠0，I 2≠0（C ）加速滑动时，I 1＝0，I 2＝0（D ）加速滑动时，I 1≠0，I 2≠017．（天津）一束光线从折射率为1.5的玻璃内射向空气，在界面上的入射角为45°。