人教版高数必修一第3讲：函数的相关概念与映射(教师版)

第三章函数3.1 函数的概念及其表示知识点一：函数的概念1.函数的有关概念2.函数的三要素一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以两个函数的定义域和对应关系相同时，它们是同一个函数.3.区间的概念:设a,b∈R,a<b.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞).知识点二：函数的表示法1.函数的三种表示法2.分段函数已知函数y=f(x)，x∈A，如果自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，那么我们称这样的函数为分段函数.【思考】1.函数的定义域和值域是否一定是无限集?2.区间是数集的另一种表示方法,是否任何数集都能用区间表示?3.根据函数的定义,任何一个自变量x是否都有唯一的函数值y与之对应?任何一个函数值y 是否都有唯一的自变量x与之对应?4.如何确定分段函数的定义域和值域?【解析】1.不一定.函数的定义域和值域也可能是有限集,如f(x)=1，x∈{1,2,3}.2.不是.如集合{0,1}就不能用区间表示.3.任何一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，但是函数值y不一定有唯一的自变量x 与之对应。

如f(x)=x2中，函数值4有两个自变量2、-2与之对应。

函数中x，y的对应关系是“一对一”或“多对一”,不能“一对多”.4.分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集,值域也是每一段函数值取值范围的并集.3.1.1 函数的概念基础练一函数的概念1.（多选题）下面选项中,变量y是变量x的函数的是()A.x表示某一天中的时刻,y表示对应的某地区的气温B.x表示年份,y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值)C.x表示某地区学生的某次数学考试成绩,y表示该地区学生对应的考试号D.x表示某人的月收入,y表示对应的个税2.下列四组函数中,表示同一个函数的是()3A.y=|x|与y=√x3B.y=√x2与s=(√t)2C.y=2t+1与y=2u+1D.y=1与y=x03.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示以集合M为定义域,集合N为值域的函数关系的有()A.①②③④B.①②③C.②③D.②④二函数的定义域4.函数f(x)=√x−1的定义域为() x−2A.[1,+∞)B.[1,2)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)5.已知某矩形的周长为定值a,若该矩形的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是.6.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=f(2x+1)的定义域为.x+1三函数值及函数的值域7.已知集合P={x|y=√x−1},集合Q={y|y=√x−1},则()A.P=QB.P⫋QC.Q⫋PD.P∩Q=⌀8.函数y=√x2−2x+3的值域为.,则f(x)的值域为.9.已知函数f(x)=1x2−2x10.已知函数f(x)的定义域是[0,1],值域是[1,2],则这样的函数可以是f(x)=.11.已知函数f(x)=x2+x-1.);(1)求f(2), f(1x(2)若f(x)=5,求x的值.3.1.2 函数的表示法基础练一 函数的表示法及其应用 1.函数y =x x+1的图象大致是 ( )A B C D2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先匀速跑一段时间,跑累了再匀速走余下的路,设在途中花费的时间为t ,离开家的距离为d ,则下面图象中,能正确表示d 与t 的关系的是( )A B C D3.已知函数y =f (x )的对应关系如表,函数y =g (x )的图象为如图所示的曲线ABC ,则g (f (3))的值为 .二 函数解析式的求法5.已知函数f (x +2)=x 2+6x +8,则函数f (x )的解析式为( ) A.f (x )=x 2+2x B.f (x )=x 2+6x +8 C.f (x )=x 2+4x D.f (x )=x 2+8x +66.函数f (x )满足f (1-2x )=-1x ,则f (2)=( )A.2B.-2C.12 D.-12 7.已知函数f (2x -1)=3x -5,若f (x 0)=4,则x 0= .8.已知f (x )是一次函数,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )= .9.(1)已知函数g (√x +1)=2x +1,求g (x )的解析式;(2)已知f (x )为二次函数,且f (0)=2, f (2)=f (-1)=0,求f (x )的解析式.三 分段函数问题10.已知函数f (x )={√x,x >0,|x +1|,x ≤0,则f (f (-3))=( )A.√3B.1C.2D.√2 11.已知f (x )={x +2,x ≤−1,x 2,−1<x <2,2x,x ≥2,若f (x )=3,则x 的值是( )A.1B.1或32C.1,32或±√3 D.√312.函数f (x )=x +|x |x 的图象是( )A B C D13.(2022山西大同期中)已知函数f (x )={x 2,x ≤0,4−2x,x >0.(1)画出函数f (x )的图象;(2)当f (x )≥2时,求实数x 的取值范围.。

第3讲 函数的单调性与奇偶性（教师版）.一．学习目标1.了解函数单调性的概念及几何意义，掌握基本初等函数的单调性，会求(判断或证明)函数的单调区间， 并能运用函数单调性解决有关问题．2.理解函数奇偶性的概念，掌握函数奇偶性的判定方法和图象特征；会利用函数奇偶性分析、探究函数值、性质及图象等问题． 二．重点难点1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式求变量的取值是历年高考考查的热点．2.利用函数的单调性求最值，及利用它们求参数取值范围问题是重点，也是难点．3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．三．知识梳理1．定义域为I 的函数f (x )的增减性：2．如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．3．设x 1，x 2∈[a ，b ]，如果1212()()f x f x x x -->0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递增函数，如果1212()()f x f x x x --<0，则f (x )在[a ，b ]上是单调递减函数． 4. 重点掌握好七类初等函数的图象，用其判断函数单调性。

(1)一次函数y=kx+b(k ≠0)图象为直线，k>0时.在(－∞，＋∞)上为增函数。

K<0时，在(－∞，＋∞)上为减函数。

（2）反比例函数y=k x图象为双曲线，k>0时在（-∞，0），（0，+∞）上为减函数，K<0时， 在（-∞，0），（0，+∞）上为增函数。

（3）二次函数y=a 2x +bx+c(a ≠0)图象为抛物线，一看开口方向（由a 正负号确定），二看对称轴（即x=-2b a）,再由图象确定单调区间。

（4）耐克函数b y ax x =+（a>0,b>0），（又称为对勾函数），由图象可得其四个单调区间。

必修第一册第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示1．函数的概念：一般地，设A、B是非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

记作：y=f(x)，x∈A。

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）函数的定义域的求法：①自然型：解析式自身有意义，如分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数；②实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。

（2）求函数的值域的方法：①配方法（将函数转化为二次函数）；②不等式法（运用不等式的各种性质）；③函数法（运用函数的单调性、函数图象等）。

（3）两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

3．常用的函数表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

4．分段函数：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；5.区间的概念：设a,b是两个实数，且a<b,我们规定：（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示[a,b];（2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示(a,b);（3）满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示[a,b)或(a,b];a,b都叫做区间的端点。

（4）代数与几何表示对照表（数轴上用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点）（5）3.2 函数的基本性质⊆: 1．单调性：（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D I①∀ x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们成它是增函数。

最新课程标准：在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题.知识点几类常见函数模型名称解析式条件一次函数模型y＝kx＋b k≠0反比例函数模型y＝错误!＋b k≠0二次函数模型一般式：y＝ax２＋bx＋c顶点式：y＝a错误!２＋错误!a≠0幂函数模型y＝ax n＋b a≠0，n≠１错误!建立函数模型解决实际问题的基本思路[教材解难]建立函数模型应把握的三个关口（１）事理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口．（２）文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学关系．（３）数理关：在构建数学模型的过程中，利用已有的数学知识进行检验，从而认定或构建相应的数学问题．[基础自测]１．某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的关系式为y＝５x＋４000，而手套出厂价格为每副１0元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（）Ａ．２00副Ｂ．４00副Ｃ．600副Ｄ．800副解析：利润z＝１0x—y＝１0x—（５x＋４000）≥0．解得x≥800．答案：D２．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）解析：距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选Ｃ．答案：C３．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L１＝５．06x—0．１５x２和L２＝２x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售１５辆车，则能获得的最大利润为（）Ａ．４５．606万元Ｂ．４５．6万元Ｃ．４５．５6万元Ｄ．４５．５１万元解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售（１５—x）辆，总利润S＝L１＋L２，则总利润S＝５．06x—0．１５x２＋２（１５—x）＝—0．１５x２＋３．06x＋３0＝—0．１５（x—１0．２）２＋0．１５×１0．２２＋３0（0≤x≤１５且x∈N），所以当x＝１0时，S max＝４５．6（万元）．答案：B４．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝错误!其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为________．解析：令y＝60，若４x＝60，则x＝１５>１0，不合题意；若２x＋１0＝60，则x＝２５，满足题意；若１．５x＝60，则x＝４0<１00，不合题意．故拟录用人数为２５人．答案：２５题型一一次、二次函数模型[经典例题]例１某商人将进货单价为8元的某种商品按１0元一个销售时，每天可卖出１00个．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨１元，销售量就减少１0个，问他将售价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值．【解析】设每个提价x元（x≥0，x∈N），利润为y元．每天销售总额为（１0＋x）（１00—１0x）元，进货总额＝8（１00—１0x）元，显然１00—１0x>0，即x<１0，则y＝（１0＋x）（１00—１0x）—8（１00—１0x）＝（２＋x）（１00—１0x）＝—１0（x—４）２＋３60（0≤x<１0，x∈N）．当x＝４时，y取得最大值，此时销售单价应为１４元，最大利润为３60元．答：当售价定为１４元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为３60元.可根据实际问题建立二次函数模型解析式．方法归纳１．利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点：（１）待定系数法是求一次函数解析式的常用方法．（２）当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数．２．二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点．解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题．跟踪训练１某列火车从北京西站开往石家庄，全程２77 km.火车出发１0 min开出１３km，之后以１２0 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求离开北京２h时火车行驶的路程．解析：因为火车匀速行驶的总时间为（２77—１３）÷１２0＝错误!（h），所以0≤t≤错误!.因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为１２0t km，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为s＝１３＋１２0t错误!.离开北京２h时火车匀速行驶的时间为２—错误!＝错误!（h），此时火车行驶的路程s＝１３＋１２0×错误!＝２３３（km）．求出火车匀速行驶的总时间，可得定义域，再建立总路程关于时间的函数模型．题型二分段函数[教材P9４例２]例２一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：km/h）与时间t（单位：h）的关系如图所示，（１）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（２）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为２00４km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：km）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象．【解析】（１）阴影部分的面积为５0×１＋80×１＋90×１＋7５×１＋6５×１＝３60．阴影部分的面积表示汽车在这５h内行驶的路程为３60 km.（２）根据题图，有s＝错误!这个函数的图象如下图所示．当时间t在[0,５]内变化时，对于任意的时刻t都有唯一确定的行驶路程与之相对应．根据题图，在时间段[0,１），[１,２），[２,３），[３,４），[４,５]内行驶的平均速率分别为５0 km/h，80 km/h,90 km/h，7５km/h，6５km/h，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述．教材反思（１）分段函数是刻画现实问题的重要模型，由自变量变化所遵循规律的不同决定的，函数的分段表示是建模的关键．（２）若求分段函数值域或最值时，应对分段函数中的每段函数分别求出值域或最值，然后再由各段函数的值域或最值确定本函数的值域或最值．分类讨论思想是本类问题的主要思想方法．跟踪训练２为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有５0辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日１１５元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过１元，租不出的自行车就增加３辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y（元）表示出租自行车的日净收入（日净收入＝一日出租自行车的总收入—管理费用）．（１）求函数y＝f（x）的解析式及其定义域．（２）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多？解析：（１）当x≤6时，y＝５0x—１１５，令５0x—１１５>0，解得x>２．３．因为x∈N*，所以x≥３，所以３≤x≤6，x∈N*.当x>6时，y＝[５0—３（x—6）]x—１１５．令[５0—３（x—6）]x—１１５>0，得３x２—68x＋１１５<0．解得２≤x≤２0，又x∈N*，所以6<x≤２0，x∈N*，故y＝错误!定义域为{x|３≤x≤２0，x∈N*}．（２）对于y＝５0x—１１５（３≤x≤6，x∈N*），显然当x＝6时，y max＝１8５，对于y＝—３x２＋68x—１１５＝—３错误!２＋错误!（6<x≤２0，x∈N*）．当x＝１１时，y max＝２70，因为２70>１8５，所以当每辆自行车的日租金定为１１元时，才能使日净收入最多．（１）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出分段函数，注意实际问题中自变量的取值范围．（２）利用一次函数的单调性及二次函数的性质分别求分段函数各段上的最大值，取其最大的即可．一、选择题１．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f（t）的图象如图所示，则杯子的形状是（）解析：从题图中看出，在时间段[0，t１]，[t１，t２]内水面高度是匀速上升的，在[0，t]上升慢，在[t１，t２]上升快，故选Ａ．１答案：A２．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为２000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0．8元，普通车存车费是每辆一次0．５元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是（）Ａ．y＝0．３x＋800（0≤x≤２000，x∈N*）Ｂ．y＝0．３x＋１600（0≤x≤２000，x∈N*）Ｃ．y＝—0．３x＋800（0≤x≤２000，x∈N*）Ｄ．y＝—0．３x＋１600（0≤x≤２000，x∈N*）解析：由题意知，变速车存车数为（２000—x）辆次，则总收入y＝0．５x＋（２000—x）×0．8＝0．５x＋１600—0．8 x＝—0．３x＋１600（0≤x≤２000，x∈N*）．答案：D３．某类产品按工艺共分１0个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加２元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产３件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是（）Ａ．7 Ｂ．8Ｃ．9 Ｄ．１0解析：由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为：y＝[8＋２（k—１）][60—３（k—１）]＝—6k２＋１08k＋３78（１≤k≤１0），配方可得y＝—6（k—9）２＋86４，∴当k＝9时，获得利润最大．答案：C４．已知A，B两地相距１５0千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B 地，在B地停留１小时后再以５0千米/时的速度返回A地，则汽车离开A地的距离x关于时间t（时）的函数解析式是（）Ａ．x＝60tＢ．x＝60t＋５0tＣ．x＝错误!Ｄ．x＝错误!解析：显然出发、停留、返回三个过程中行走速度是不同的，故应分三段表示函数，选Ｄ．答案：D二、填空题５．某电脑公司的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为４00万元，占全年经营总收入的４0%.该公司预计经营总收入要达到１690万元，且计划从到，每年经营总收入的年增长率相同，预计经营总收入为________万元．解析：设年增长率为x，则有错误!×（１＋x）２＝１690，１＋x＝错误!，因此预计经营总收入为错误!×错误!＝１３00（万元）．答案：１３006．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝错误!x２＋２x＋２0（万元）．一万件售价为２0万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．解析：利润L（x）＝２0x—C（x）＝—错误!（x—１8）２＋１４２，当x＝１8时，L（x）有最大值．答案：１87．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为f（x）＝错误!（A，c为常数）．已知工人组装第４件产品用时３0分钟，组装第A件产品用时１５分钟，那么c和A的值分别是____________．解析：由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为错误!＝１５，故组装第４件产品所需时间为错误!＝３0，解得c＝60，将c＝60代入错误!＝１５得A＝１6．答案：60 １6三、解答题8．某游乐场每天的盈利额y元与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：（１）求y与x的函数解析式；（２）要使该游乐场每天的盈利额超过１000元，每天至少卖出多少张门票？解析：（１）由图象知，可设y＝kx＋b，x∈[0,２00]时，过点（0，—１000）和（２00,１000），解得k＝１0，b＝—１000，从而y＝１0x—１000；x∈（２00,３00]时，过点（２00,５00）和（３00,２000），解得k＝１５，b＝—２５00，从而y＝１５x—２５00，所以y＝错误!（２）每天的盈利额超过１000元，则x∈（２00,３00]，由１５x—２５00>１000得，x>错误!，故每天至少需要卖出２３４张门票．9．某公司生产一种电子仪器的固定成本为２0 000元，每生产一台仪器需增加投入１00元，已知总收益满足函数：R（x）＝错误!其中x是仪器的月产量．（１）将利润表示为月产量的函数f（x）；（２）当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为多少元？（总收益＝总成本＋利润）解析：（１）设月产量为x台，则总成本为２0 000＋１00x，从而f（x）＝错误!（２）当0≤x≤４00时，f（x）＝—错误!（x—３00）２＋２５000．∴当x＝３00时，f（x）的最大值为２５000；当x>４00时，f（x）＝60 000—１00x是减函数，f（x）<60 000—１00×４00＝２0 000<２５000．∴当x＝３00时，f（x）的最大值为２５000，即每月生产３00台仪器时，利润最大，最大利润为２５000元．[尖子生题库]１0．某租赁公司拥有汽车１00辆，当每辆车的月租金为３000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加５0元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费１５0元，未租出的车辆每月需要维护费５0元．（１）当每辆车的月租金定为３600元时，能租出多少辆车？（２）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解析：（１）租金增加了600元，所以未租出的车有１２辆，一共租出了88辆．（２）设每辆车的月租金为x元（x≥３000），租赁公司的月收益为y元，则y＝x错误!—错误!×５0—错误!×１５0＝—错误!＋１6２x—２１000＝—错误!（x—４0５0）２＋３07 0５0，当x＝４0５0时，y max＝３07 0５0．所以每辆车的月租金定为４0５0元时，租赁公司的月收益最大为３07 0５0元．。