高一数学-求函数的定义域和值域-邓海琴-20151212-陈丽

函数的定义域与值域的常用方法(一)求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y = f (x),不能把它写成f (x, y) = 0;2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：( 1)直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

( 2)待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；(3)换元法：若给出了复合函数 f [g (x)的表达式，求f (x)的表达式时可以令t = g (x),以换元法解之；(4)构造方程组法：若给出f (x)和f (—x)，或f (x)和f (1/x)的一个方程，则可以x代换一x (或1/x),构造出另一个方程，解此方程组，消去 f (—x)(或f (1/x))即可求出f (x)的表达式；(5)根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

(二)求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负4、对复合函数y = f [ g (x)]的定义域的求解，应先由y = f (u)求出u的范围，即g ( x)的范围，再从中解出x的范围1仁再由g (x)求出y= g (x)的定义域a, l i和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域；(三)求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法则确定,常用集合或区间来表示；2、在函数f: A^B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C,则C是B的子集；若C =B,那么该函数作为映射我们称为"满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结;(四) 求函数的最值1设函数y = f (x )定义域为 A ，则当x € A 时总有f ( x ) Wf( x o )=M ,则称当x = x 。

课 题 函数的概念和图像授课日期及时段教学目的1.理解函数及其定义域、值域的概念，并能求函数的定义域、值域2.能用描点法画函数的图像3.了解函数的表示方法，重点掌握函数的解析法4.了解分段函数的概念，掌握分段函数的解析式表达形式和图像的画法5.理解函数的单调性，掌握判断函数单调性和求函数最值的方法6.能画单调函数的图像并根据图像判断函数的增减性，求函数的最值7.理解掌握判断函数的奇偶性的方法了解映射的定义，明确函数与映射的异同之处教学内容1.函数概念是如何定义的，什么是映射？举例说明函数、映射以及它们之间的区别2.思考：对于不同的函数如：①x x y 22-=②1-=x y ③11+=x y ④()52lg +=x y ⑤x y -=11 的定义域如何确定3.通常表示函数的方法有：4.()x f y =的定义域为A x x A ∈21,,。

函数是增函数， 函数是减函数， 函数是奇函数， 函数是偶函数。

讲授新课： 一、函数的判断例1.<1>下列对应是函数的是注：检验函数的方法（对于定义域内每一值值域内是否存在唯一的值与它对应）①x y y x =→: ②12++→x x x <2>下列函数中，表示同一个函数的是：（ ） 注：定义域和对应法则必须都相同时，函数是同一函数 A.()()()2,x x g x x f == B.()()2,x x g x x f ==C.()()24,22--=+=x x x g x x f D.()()33,x x g x x f ==练习：1.设有函数组：①2,x y x y ==②33,x y x y ==③x xy x y ==,④()()x x y x x y =<>⎩⎨⎧-=,0011⑤x y x y lg 2,lg 2== ⑥10lg,1lg x y x y =-= 其中表示同一函数的是 。

二：函数的定义域注：确定函数定义域的主要方法 (1)若()x f 为整式，则定义域为R.(2)若()x f 是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题 例：1.求下列函数的定义域：（1）2322---=x x xy （2）x x y -⋅-=11（3）xy --=113 （4）2253x x y -+-=（5）()⎪⎩⎪⎨⎧--=xx x x f 2341 （6）t 是时间，距离()t t f 360-=2.已知函数()x f 的定义域是[-3,0],求函数()1+x f 的定义域。

高中数学基础之函数定义域的求法函数的定义域、值域：一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A ，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域。

求已知函数定义域和抽象函数的定义域：例1 函数f (x )＝25－4x 2＋ln (e x －1)的定义域为________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52 解析 由f (x )＝25－4x 2＋ln (e x －1)，得⎩⎨⎧25－4x 2≥0，e x －1>0，解得0＜x ≤52，所以f (x )的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52. 例2 设函数f (x )＝3x －1＋ln (4－x )的定义域为A ，函数g (x )＝x 2－x ＋1的值域为B ，则A ∩B ＝________(结果用区间表示).答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，4 解析 由f (x )＝3x －1＋ln (4－x )得⎩⎨⎧3x －1≥0，4－x >0，解得13≤x <4，则A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，4，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，当且仅当x ＝12时取“＝”，则B ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，所以A ∩B ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，4. 例3 已知函数f (x )＝log 2x 的值域是[1，2]，则函数φ(x )＝f (2x )＋f (x 2)的定义域为( )A ．[2，2]B ．[2，4]C ．[4，8]D ．[1，2]答案 A解析 因为f (x )的值域为[1，2]，即1≤log 2x ≤2，所以2≤x ≤4，所以f (x )的定义域为[2，4]，所以φ(x )＝f (2x )＋f (x 2)应满足⎩⎨⎧2≤2x ≤4，2≤x 2≤4，解得2≤x ≤2，所以φ(x )的定义域为[2，2].故选A.例4 (1)已知函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[1，4]，求函数y ＝f (x )的定义域．解 ∵y ＝f (x ＋2)中，1≤x ≤4，∴3≤x＋2≤6，故函数y＝f(x)的定义域为[3，6].(2)已知函数y＝f(2x)的定义域为[0，1]，求函数y＝f(x＋1)的定义域．解∵y＝f(2x)中，0≤x≤1，∴0≤2x≤2，∴函数y＝f(x＋1)中，0≤x＋1≤2，∴－1≤x≤1，∴函数y＝f(x＋1)的定义域为[－1，1].求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义或从实际出发，求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助数轴，注意端点值的取舍．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域，如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.(3)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域．。

函数定义域值域求法总结函数的定义域（Domain）和值域（Range）是函数的基本性质之一，它们是通过对函数的规则、图像以及问题的具体要求进行分析和计算得出的。

在数学中，定义域和值域的求法可能会因函数类型的不同而有所不同。

本文将总结一些常见的函数定义域和值域求法方法，并提供一些示例。

一、函数定义域的求法方法1. 使用函数规则：根据函数的定义和规则，确定函数所能接受的变量范围。

例如，对于一个有理函数（Rational Function） f(x) = 1/(x-2)，由于分母不能为零，所以定义域为除去 x=2 的所有实数。

2. 图像法：绘制函数的图像，观察函数在整个定义域上是否有意义。

一般来说，如果函数在一些点处没有定义或出现断点，则这个点不属于定义域。

例如，对于一个分段函数（Piecewise Function）f(x) = ，x，其图像是一条 V 型曲线，因此定义域为所有实数。

3.非负实数法：有些函数定义域存在特定的限制，负数、零或者正数。

例如，对于一个以平方根为主的函数f(x)=√(x-3)，它的定义域要求x-3≥0，即x≥34. 根式定义域法：对于一些函数，如开方函数、对数函数，可以通过求解不等式来确定函数的定义域。

例如，对于对数函数 f(x) = log(x)，由于 log 函数的定义域要求 x > 0，所以它的定义域为所有正实数。

5.分式的定义域法：对于一个分式函数，要求分母不为零。

因此，可以根据分式的分母求解不等式来确定函数的定义域。

例如，对于一个分式函数f(x)=2/(x+1)，由于分母要求不等于零，所以定义域为除去x=-1的所有实数。

二、函数值域的求法方法1. 观察法：通过观察函数的定义和规则，或者通过观察函数的图像，推测函数的值域。

例如，对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，如果 a > 0，那么函数的值域是 (−∞, f(v)]，其中 f(v) 是顶点的纵坐标。