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(3)至少有一次骰子的点数为3的概率是 11
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总结
当一次试验要涉及两个
因素(如:同时掷两个骰子）或一
个因素做两次试验（如:一个骰
子掷两次）并且可能出现的结果
数目较多时,为不重不漏地列出
所有可能的结果，通常可以采用
列表法，也可以用树形图。
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想一想:
如果把上题中的“同时掷两个骰子” 改为 “把一个骰子掷两次”,所得的结果有变 化吗?
25.2 用列举法求概率
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在一次试验中，如果可能出现的结果
只有_有_限__个，且各种结果出现的可能性大 小_相__等_，我们可以通过列举试验结果的方 法，分析出随机事件发生的概率。
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方法一：枚举法 正正 正反 反正 反反
方法二：列表法
第一枚 第二枚
正正 正反
没有变化
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试一试:
小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两堆牌,分 别是红桃和黑桃的1,2,3,4,5,6,小明建议:我从红桃 中抽取一张牌,你从黑桃中取一张,当两张牌数字 之积为奇数时，你得1分，为偶数我得1分,先得 到10分的获胜”。如果你是小亮,你愿意接受这 个游戏的规则吗? 为什么？
这个游戏对小亮和小明公 平吗？
（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？
（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？解：由树形图得,有12种可能的结果, 并且它们发生的可能性都相等。
甲
A
（1）只有一个元音字母（记为事件
B
A）的结果有5种，则 P(A)= 5
12
乙C D E 丙H IH IH I
变式3：在变式1的基础上随机摸出两个小球呢？
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同时投掷两个质地均匀的骰 子,观察向上一面的点数,求下列 事件的概率.
(1)两个骰子的点数相同; (2)两个骰子点数的和是9; ⑶至少有一个骰子的点数为2；
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解：由题意列表得：
1 第第一1次个
1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
解：根据题意，画出如下树形图：
红桃 1
2
3
4
5
6
黑桃123456 123456 123456 123456123456123456 由树形图可以看出,在两堆牌中分别取一张,有
36种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等。
满足两张牌的数字之积为奇数(记为事件A)
的结满果足有两9张种牌,所的以数P字(之A)积=为396偶数14(记为事件B)
（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个 元音字母的概率分别是多少？
（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是 多少？
本题中元音字母: A E I 辅音字母: B C D H
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甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B； 乙口袋中装有3个相同的小球，它们 分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。 从3个口袋中 各随机地取出1个小球。
（1）P(两次骰子的点数相同)= 6 1
36
（2）P(两次骰子的点数和为9)=
4
6
（3）P(至少有一次骰子的点数为336)=
1 9
11 36
1
1
答:(1)两次骰子的点数相同的概率是6 (2)两次骰子的点数和为9的概率是 9
(3)至少有一次骰子的点数为3的概2率021是
11 36
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解：根据题意，画出如下树形图：
第一个 1
2
3
4
5
6
第二个123456 123456 123456 123456123456123456
（1）P(两次骰子的点数相同)= 6 1
（2）P(两次骰子的点数和为9)=36 4
6
（3）P(至少有一次骰子的点数为336)=
1 9
11 36
1
1
答:(1)两次骰子的点数相同的概率是6 (2)两次骰子的点数和为9的概率是 9
的结果有27种,所以 P(B)= 27 36
3 4
因为P(A) < P(B),所以如果我是小亮,
我不愿意接受这个游戏20的21 规则。
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用列举法求概率
例1、甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别 写有字母A和B； 乙口袋中装有3个相同的小 球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装 有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I。 从3个口袋中各随机地取出1个小球。
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解：我不愿意接受这个游戏的规则，理由如下： 列表：
红桃 1
2
3
4
5
6
黑桃
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
方法三：树形图法
第一枚
正
反
反正 反反 第二枚 正 反 正 反
抛两枚硬币，有4种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等。 两枚硬币全部正面朝上（记为事件A）的结果有1种，∴P（A）= 两枚硬币全部反面朝上（记为事件B）的结果有1种，∴P（B）=
一枚正面朝上，一枚反面朝上（记为事件C）的结果有2种，
∴P（A）=
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
由表中可以看出,在两堆牌中分别取一张,它可 能出现的结果有36个,它2们021出现的可能性相等。13
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除颜色外无其他差别，随机摸出1 个小球后放回，再随机摸出一个. 求下列事件的概率： (1)第一次摸到红球，第二次摸到 绿球; (2)两次都摸到相同颜色的小球； 变变回(一，式式3个)再12： ：两随红若在次机变再球摸摸式放出.入1到一的两个的基个呢础球红？上球中随,一机有个摸一绿出球个1个,一绿小个球球黄后和球不呢放？
