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人教版数学九年级上册 25.2 用列举法求概率列表法和树状图(共26张PPT)

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25.2-用列举法求概率-(共27张)PPT课件

25.2-用列举法求概率-(共27张)PPT课件

(3)至少有一次骰子的点数为3的概率是 11
36
2021
9
总结
当一次试验要涉及两个
因素(如:同时掷两个骰子）或一
个因素做两次试验（如:一个骰
子掷两次）并且可能出现的结果
数目较多时,为不重不漏地列出
所有可能的结果，通常可以采用
列表法，也可以用树形图。
2021
10
想一想:
如果把上题中的“同时掷两个骰子” 改为 “把一个骰子掷两次”,所得的结果有变 化吗?
25.2 用列举法求概率
2021
1
在一次试验中，如果可能出现的结果
只有_有_限__个，且各种结果出现的可能性大 小_相__等_，我们可以通过列举试验结果的方 法，分析出随机事件发生的概率。
2021
2
2021
3
2021
4
方法一：枚举法 正正 正反 反正 反反
方法二：列表法
第一枚 第二枚
正正 正反
没有变化
2021
11
试一试:
小明和小亮做扑克游戏，桌面上放有两堆牌,分 别是红桃和黑桃的1,2,3,4,5,6,小明建议:我从红桃 中抽取一张牌,你从黑桃中取一张,当两张牌数字 之积为奇数时，你得1分，为偶数我得1分,先得 到10分的获胜”。如果你是小亮,你愿意接受这 个游戏的规则吗? 为什么？
这个游戏对小亮和小明公 平吗？
（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？
（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？解：由树形图得,有12种可能的结果, 并且它们发生的可能性都相等。
甲
A
（1）只有一个元音字母（记为事件
B
A）的结果有5种，则 P(A)= 5

人教版九年级数学上册《树状图法求概率》PPT

人教版九年级数学上册《树状图法求概率》PPT

12个，这些结果出现的可能性相等。
AAAAAABBBBBB
CC DDEECCDDEE HI HI HIHIHI HI
(1)只有一个元音字母(记为事件A)的结果有5个，所以
P(A)= 5
12
有两个元音字母(记为事件B)的结果有4个，所以
P(B)=
4 12
1 3
有三个元音字母(记为事件C)的结果有1个，所以
这个游戏对双方公平吗？为什么？
问题再现2：
小明、小凡和小颖都想去看周末电影， 但只有一张电影票。三人决定一起做游戏， 谁获胜谁就去看电影。游戏规则如下：
连续抛掷两枚均匀的硬币，如果两枚 正面朝上，则小明获胜；如果两枚反面朝 上，则小颖获胜；如果一枚正面朝上、一 枚反面朝上，小凡获胜。（列表法）
你认为这个游戏公平吗？如果不公平，谁的 获胜可能性大？
探究新知
例1 将一个均匀的硬币上抛三次，
1
结果为三个正面的概率___8______。
总共有8种结果，每种结果出现的可能 性相同，而三次正面朝上的结果有1种， 因此三次正面朝上的概率为1/8。
探究新知
例2 甲口袋中装有2个相同的小球， 它们分别写有字母A和B；乙口袋中装 有3个相同的小球，它们分别写有字 母C、D和E；丙口袋中装有2个相同 的小球，它们分别写有字母H和I，从 3个口袋中各随机地取出1个小球。
P(C)=
1 12
(2)全是辅音字母(记为事件D)的结果有2个，所以
P(D)=
2 12
1 6
小结:
当一次试验要涉及3个或更多的因 素时，列表就不方便了，为不重不 漏地列出所有可能的结果，通常采 用树状图。
用树状图可以清晰地表示出某个事 件所有可能出现的结果，从而使我 们较容易求简单事件的概率。

人教版九年级数学上册第二课时 用列表法和树状图法求概率课件

人教版九年级数学上册第二课时 用列表法和树状图法求概率课件

• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月下午3时53分21.11.715:53November 7, 2021
• 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观 察是思考和识记之母。”2021年11月7日星期日3时53分59秒15:53:597 November 2021
• 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。下午3时53 分59秒下午3时53分15:53:5921.11.7
第二十五 概率初步
25.2 用列举法求概率
第二课时 用Leabharlann 表法和树状图法求概率理解列举法和树状图法求概率的理论依据，会用列表列 举法和树状图法求概率.
用列表列举法和树状图法求较复杂问题的概率.
教学过程
一、创设情境，导入新课
1.如下图，小明周末到外婆家，走到十字路口处，记不清
前面哪条路通往外婆家，那么他能一次选对路的概率是
.
2.怎样用列举2 法求出随机事件的概率?教师提出问题，引 起学生思考，复习导人新课.思考回答，回顾列举法求概率的方 法，激励自己探求新知识.
二、合作探究，感受新知
(一)列表法求概率 提出问题： 例1(补充)：为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘 游戏：A、B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形， 转盘A上的数字分别是1，6，8，转盘B上的数字分别是4，5，7(两 个转盘除表面数字不同外，其他完全相同).每次选择2名同学分别 拨动A、B两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数 字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目(若箭头恰好停留在 分界线上，则重转一次).作为游戏者，你会选择哪个装置呢?并请 说明理由.

人教版九年级上册 25.2 第2课时 用画树状图法求概率【精简课堂课件】(共19张PPT)

人教版九年级上册 25.2 第2课时 用画树状图法求概率【精简课堂课件】(共19张PPT)

1.某市初中学业水平实验操作考试，要求每名学生从物
理、化学、生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小
华和小强都抽到物理学科的概率是( D )
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
3
4
6
9
2.在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜
色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄
球和一个红球的概率为( A )
取球试验
甲
A
B
乙
CD ECD E
丙 H I H I H I H IH I H I
(1)只有1个元音字母的结果有5种，所以 P(1个元音) = 5 .
同理，P(2个元音) = 4 1 .P(3个元音) = 1 . 12
12 3
12
(2)全是辅音字母的结果有2种，所以P(3个辅音) =
1 6
.
随堂演练
8
4. 在一个透明的袋子里,有2个黑球和1个白球,小球除了颜色外
其余均相同,从中任意摸两个小球.
(1)请你完成下面表示所有可能出现的结果的树形图(如图);
(2)由上面的树形图可知,共有 6 种等可能的结果,其中恰有1黑1
白的有 4 种,所以摸到1黑1白的概率是
2 3
.
白 黑1 白 黑1 黑2
课堂小结
(1)取出的3个小球上,恰好
有1个､2个和3个元音字母
B
DE
I
的概率分别是多少?
A
C
H
(2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少?
解: 根据题意，可以画出如下的树状图： 取球试验
甲
A
B
乙
CD ECD E

人教版九年级数学上册 25.2用树状图和列表法求概率(28张PPT)

人教版九年级数学上册 25.2用树状图和列表法求概率(28张PPT)

牌面数字 第二张牌
牌的面牌面2数数字字 和3 的可4 能3值
1
4
25
432
5
11
（1,1） 2 （1,2）
6
3 5
6
（4 13,3） 小亮：
相应2的概率 （2,1） （1 2,2）1 1（2,3）1 1
1 2 3 1 2 5 351 5 2 5 35
小颖： 3
（3,1） （3,2） （3,3）
你认为谁做得对？并说出你的理由。
解：所有可能出现的结果为
开始
红桃A
红桃3
红桃5 黑A
黑2
黑3
黑4 黑5 黑A
红桃2 黑A黑2
黑5 黑2 黑3黑4
黑3 黑4黑5 黑A
黑2 红桃4
黑2 黑3黑4
黑3 黑5
黑4
黑5
两张牌面数字和的所有结果为2，3，4，5，6，3，4，5，6， 7，…….
猜一猜 用表格表示概率
牌面数字和 黑桃
所有可能结果
1
2
3
4
5
红桃
1
2
3
4
5
猜一猜 用表格表示概率
牌面数字和 黑桃
所有可能结果
1
2
3
4
5
红桃
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
因为牌面数字和为6的概率最大，所以弟弟 赢的可能性大。
1.在一个不透明的袋中装有除颜色外其余都相同

九年级数学上册第二十五章概率初步25.2用列举法求概率

九年级数学上册第二十五章概率初步25.2用列举法求概率
“同时掷两个骰子”与“把一个骰子掷两次” 可以取同样的试验的所有可能结果，因此， 作改动对所得结果没有影响.
例2 甲口袋中装有2和相同的小球，它们分别写有字 母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写 有字母C，D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它 们分别写有字母H和I.从三个口袋中各随机取出1个小 球.
2.列表法和画树形图法分别适用于什么样的问题？ 如何灵活选择方法求事件的概率？
由上表可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现的结 果有36种，并且它们出现的可能性相等.
当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果 数目较多时，通常采用列表法。
运用列表法求概率的步骤如下：
（1）列表；
（2）通过表格确定公式中m，n的值； m
（3）利用P（A）= n 计算事件的概率.
把“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两 次”，还可以使用列表法来做吗？
（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字 母的概率分别是多少？
（2）取出的3个小球上全部是辅音字母的概率是多少？
树形图的基本步骤
（1）明确试验的几个步骤及顺序； （2）画树形图列举试验的所有等可能的结果； （3）计算得出m，n的值； （4）计算随机事件的概率.
求概率，什么时候用“列表法”方便？什么时候 用“树形图”方便？
25.2 用列举法求概率 第2课时 用列表和树状图法求概率
一、情境导入
（1）你知道孙膑给的建议是什么吗？ （2）在不知道齐王出马顺序的情况下，田忌
能赢的概率是多少？
二、掌握新知
例 同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件
的概率： （1）两枚骰子的点数相同； （2）两枚骰子点数的和是9； （3）至少有一枚骰子的点 数为2.

人教版九年级数学上册25.2用列举法求概率(第2课时)(24张ppt)

人教版九年级数学上册25.2用列举法求概率(第2课时)(24张ppt)

第二个盒
• (2)取出的2个球中1个白球，1个黄球
(记为事件B).
P(B)

3 6

1 2
.Leabharlann 四 拓展1.课堂小结
（1）画树状图法求概率的一般步骤是什么？ （2）相对列表法，画树状图法在列举试验所有等 可能结果方面有什么优势？
2 知识延伸
两张图片形状完全相同,把两张图片全部从中 间剪断,再把四张形状相同的小图片混合在 一起.从四张图片中随机地摸取一张，接着
教科书习题 25.2 第 4～7 题．
AB 甲
E CD
乙
HI 丙
分析：
如何能不重不漏地列出所有 可能出现的结果呢？
• ①本次试验涉及到 3 个因素，用列
表法 不能 (能或不能)列举所有可能出现的结 果.
• ②摸甲口袋的球会出现 2 种结果，
摸乙口袋的球会出现 3 种结果，摸丙口袋
的球会出现 2 种结果.
E
AB
CD
HI
甲
乙
丙
画树状图法:
思考
求概率，什么时候用“列表法”方便？什么时 候用 “树形图”方便？
一般地，当一次试验要涉及两个因素(或两个步 骤),且可能出现的结果数目较多时,可用“列表法”, 当一次试验要涉及三个或更多的因素(或步骤)时,可 采用“树形图法”.
练习
经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能 向左转或向右转．如果这三种可能性大小相等，求三辆 汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：
牌，已知小武以每次取一张且取后不放回 的方式,先后取出2张牌,组成一个二位数,取 出第1张牌的号码为十位数,第2张牌的号码 为个位数,若先后取出2张牌组成二位数的每 一种结果发生的机会都相同,则组成的二位 数为6的倍数的概率为( A )

人教版九年级上册数学ppt课件25.2列表树形求概率课件

人教版九年级上册数学ppt课件25.2列表树形求概率课件
游戏开始
甲
石
剪
布
乙石 剪 布 石 剪 布 石 剪 布
丙 石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布
解: 由规则可知,一次能淘汰一人的结果应是:“石石剪”
“剪剪布” “布布石”三类.
∴ P(一次比赛能淘汰一人)= 9
27
=
1 3
同步练习
经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能 向左转或向右转,如果这三种可能性大小相同,三 辆汽车经过这个十字路口,求下列事件的概率:
这个游戏对小亮和小明公 平吗？
解：我不愿意接受这个游戏的规则，理由如下：
列表：
红桃 1
2
3
4
5
6
黑桃
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(1) 写出所有选购方案(利用树状图或列表方法 表示）；
(2) 如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相
同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？
(3) 现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36 台(价格如图所示)，恰好用了10万元人民币，其
中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑
有几台．
解：(1) 树状图如下
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
由表中可以看出,在两堆牌中分别取一张,它可 能出现的结果有36个,它们出现的可能性相等。

人教初中数学九年级上册 25.2 用列举法求概率课件

人教初中数学九年级上册 25.2 用列举法求概率课件

合作探究
合作探究
二、跟踪练习
1．中国象棋红方棋子按兵种不同分布如下：1个帅，5个兵， “士、象、马、车、炮”各2个，将所有棋子反面朝上放在棋盘 中，任取一个不是兵和帅的概率是( D )
1
5
3
5
A.16
B.16
C.8
D.8
2．冰柜中装有4瓶饮料、5瓶特种可乐、12瓶普通可乐、9瓶桔子 水、6瓶啤酒，其中可乐是含有咖啡因的饮料，那么从冰柜中随 机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是( D)
合作探究
一、小组合作
1．同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： (1)两个骰子的点数相同； (2)两个骰子点数的和是9； (3)至少有一个骰子的点数为2. 讨论：(1)上述问题中一次试验涉及到几个因素？你是用什么方法 不重不漏地列出了所有可能的结果，从而解决了上述问题？ (2)能找到一种将所有可能的结果不重不漏地列举出来的方法吗？( 介绍列表法求概率，让学生重新利用此法做上题)． (3)如果把上例中的“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次 ”，所得到的结果有变化吗？ 点拨精讲：当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较 多时，为不重不漏的列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法 是将两个步骤分别列在表头中，所有可能性写在表格中，再把组合情 况填在表内各空格中．
解：(1)16；(2)12；(3)13.
课堂小结
当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时， 为不重不漏的列出所有可能的结果，通常采用列举法．
当堂训练
本课时对应训练部分
5
3
15
17
A.36
B.8
C.36
D.36
3类．二从次根式，8的概1率，2为_1_，8__3． 32中随机抽取一个，与 是2 同

人教版数学九年级上册25.2用列举法求概率(共48张PPT)

人教版数学九年级上册25.2用列举法求概率(共48张PPT)

在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个， 且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过 列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种 求概率的方法叫列举法．
1 、创设情景，发现新知
每次选择2名同学分别拨动A、B两个转盘上的 指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较 大的一方为获胜者，（若箭头恰好停留在分界 线上，则重转一次）。 作为游戏者，你会选择哪个装置呢？
5
6
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
解:由表中可以看出,在两堆牌中分别取一张,它可 能出现的结果有36个,它们出现的可能性相等 但满足两张牌的数字之积为奇数(记为事件,1)(5,3)(5,5) 这9种情况,所以
学习重难点
1、一般地，如果在一次试验中，有几种可能的 结果，并且它们发生的可能性都 相等，事件A包含其中的。种结果，那么事件A发 生的概率为P(A)= ，以及运用它 解决实际间题． 2、通过实验理解P(A)= 并应用它解决一些具体题 目
回答下列问题，并说明理由． （1）掷一枚硬币，正面向上的概率是_______； （2）袋子中装有 5 个红球，3 个绿球，这些球除了 颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，它是红色的 概率为________； （3）掷一个骰子，观察向上一面的点数，点数大 于 4 的概率为______．
你能求出小亮得分的概率吗?
用表格表示
红桃 黑桃
1
2
3
4
5
6
1
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2
3 4
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

九年级数学上册 25.2.2 用列举法求概率课件 (新版)新人教版.ppt

九年级数学上册 25.2.2 用列举法求概率课件 (新版)新人教版.ppt
P(B) 1 . 2
4
情境导入
思考 上述问题如果老师想让甲、乙、丙三位同学猜拳（剪
刀、锤子、布） ，由最先一次猜拳就获胜的同学来回答，那 么你能用列表法算出甲同学获胜的概率吗？
若再用列表法表示所有 结果已经不方便！
5
本节目标
1.进一步理解等可能事件概率的意义. 2.学习运用树状图计算事件的概率. 3.进一步学习分类思想方法，掌握有关数学技能.
人教版九年级上册数学
25.2.2用列举法求概率
1
情境导入
1.通过上节课的学习，你掌握了用什么方法求概率？ 直接列举法、列表法.
2.刚才老师提的这个问题有很多同学举手想来回答. ①如果老师就从甲、乙、丙三位同学中随机地选择 一位来回答，那么选中丙同学的概率是多少？
P(A) 1 3
2
情境导入
②如果老师想从甲和乙两位同学中选择一位同学回答，且由甲和乙两位同学 以猜拳一次（剪刀、锤子、布）的形式谁获胜就谁来回答，那么你能用列表 法求得甲同学获胜的概率吗？
A AA AA A B B B B B B C CD DE E C C D D E E H I H I H I HI H I HI
满足只有两个元音字母的结果有4个，则 P
满足三个全部为元音字母的结果 有1个，则 P（三个元音）= 1 .
12
（两个元音）= 4 = 1 . 12 3
12
典例精析
（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
A. 1
4
1
1
3
B. 3
C. 2
D. 4
3.在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色外，其余
均相同，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为 4 ，则

人教版九年级数学上册25.2 用列举法求概率新课课件(共30张PPT)

人教版九年级数学上册25.2 用列举法求概率新课课件(共30张PPT)

•
15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021年8月下 午7时7分21.8.1019:07August 10, 2021
•
16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021年8月10日星期 二7时7分30秒 19:07:3010 August 2021
•
17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。下 午7时7分30秒 下午7时 7分19:07:3021.8.10
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四
（1）所有的结果中，满足两枚硬币全部正面朝上（记为事件A）的 结果只有一个，即“正正”，所以
P（A）＝
一样
正正
正反
反 正 反反
（2）满足两枚硬币全部反面朝上（记为事件B）的结果也只有1个， 即“反反”，所以
P（B）＝
（3）满足一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上（记为事件C）的结
果共有2个，即“反正”“正反”，所以
2 5 43
小明的棋子现在第1格，距离“汽车”所在的位置还有7格，而骰子最大的数字 为6，抛掷一次骰子不可能得到数字7，因此小明不可能一次就得到“汽车”； 只要小明和小红两人抛掷的骰子点数和为7，小红即可得到“汽车”，因此小红 下一次抛掷可能得到“汽车”；其中共有36种等可能的情形，而点数和为7 的有 6种，因此小红下一次得到“汽车”的概率等于

2018秋人教版九年级上册课件：第25章概率初步25.2.2用树状图求概率(共30张PPT)

2018秋人教版九年级上册课件：第25章概率初步25.2.2用树状图求概率(共30张PPT)
个人都出布的概率是( )
D
1 A. 3
1 B. 9
1 C. 18
1 D. 27
返回
10．如图，一个小球从入口 A 往下落，在每个交叉口
都有向左或向右两种可能，且两种
可能性相等，则小球最终从出口E落出的概率
为( )
C
1 A . 8
1 B . 6
1 C . 4
1 D . 2
返回
11．(中考•永州)已知从n个人中，选出m个人按照一定
1 A. 3 5 C. 9
4 B. 9 2 D. 3
返回
知识点 2 两步以上试验树状图 7 ． ( 中考 • 荆门 ) 在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传 球，由甲开始发球 ( 记为第一次传球 ) ，则经过三次传 球后，球仍回到甲手中的概率是( )
B
1 A. 2
1 B. 4
3 C. 8
5 D. 8
12．(中考•岳阳)已知不等式组
① 3 x 4 x 4 2 (1)求不等式组的解集，并写出它的所有整数解； x x ② 3 3 (2)在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘
，请用画树状图或列表的方法求积为正数的 概率．
解：(1)由①得x>－2，由②得x≤2， ∴不等式组的解集为－2<x≤2. ∴它的所有整数解为－1，0，1，2. (2)画树状图如图：
返回
8 ． ( 中考 • 包头 ) 同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少 有两枚硬币正面向上的概率是( )
D
3 A. 8 2 C. 3
5 B. 8 1 D. 2
返回
9 ． ( 中考 • 达州三模 ) 小红、小明、小芳在一起做游戏 时，需要确定游戏的先后顺序．他们约定用“剪
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数m,最后代入公式计算.
问题二：树状图
“摸球”试验
在一个箱子里放有1个白球和1个红球，它们除颜色 外都相同.从箱子里摸出一球，放回，摇匀后再摸出一 球，这样先后摸得的两个球都是红球的概率是多少？
思考： （1）一次试验包含了几个过程？ （2）除了列表法以外，还有其他的分析方法吗？
第一次
白球
第二次 白球 红球
4
（4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5
（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6
（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
可以看出，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有 36 种，并且它们出现的可能性相等．
运用新知
两枚硬币分别记为第 1 枚和第 2 枚，可以用下表列 举出所有可能出现的结果．
列表法
第1枚
正
反
第2枚
正 （正，正） （反，正）
反 （正，反） （反，反）
由此表可以看出，同时抛掷两枚硬币，可能出现的 结果有 4 个，并且它们出现的可能性相等．
运用新知
同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两枚骰子的点数相同； （2）两枚骰子点数的和是 9； （3）至少有一枚骰子的点数为 2．
在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个， 且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过 列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率，这种 求概率的方法叫列举法．
问题一：列表法
例1 同时向空中抛掷两枚质地均匀的硬币，求下 列事件的概率：
（1）两枚硬币全部正面向上； （2）两枚硬币全部反面向上； （3）一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上．
•√ •√ •√
•√
•√ •√
•共 12 种可能的结果 6 1
12 2
•求指针所指数字之和为偶数的概率。
•与“列表”法对比，结果怎么样？
练习：1.一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编 有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球.摸出两个 黑球的概率是多少？
•解：设三个黑球分别为：黑1、黑2、黑3，则：
当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现 的结果数目较多时,为了不重不漏的列出所有可 能的结果,通常采用列表法.
列表法中表格构造特点: 一个因素所包含的可能情况
另一 个因素 所包含 的可能 情况
两个因素所组合的 所有可能情况,即n
当一次试 验中涉及3个 因素或更多 的因素时,怎 么办?
在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的个
解：第一枚
正
反
第二枚 正 反 正 反
结果 正正 正反 反正 反反
1
P（两枚硬币全部正面朝上）= 4
1
P（两枚硬币全部反面朝上）= 4
1
P（一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上）= 2
•甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B； 乙口袋中装有3个 相同的小球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中装有2个相同的小球，它 们分别写有字母H和I。 从3个口袋中各随机地取出1个小球。
（1）两枚骰子点数相同（记为事件 A）的结果有 6
Hale Waihona Puke 种，即（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），
（5，5），（6，6），所以，P（A）=
6 36
１ = 6．
第1枚
1
2
3
4
5
6
第2枚
1
（1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
2
（1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
•（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？ （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
•甲
A
•解：由树形图得，所有可能出现的结
B
果有12个，它们出现的可能性相等。
•乙 C
DE
C
D
E •（1）有满5个足，只则有P一（个一元个音元字音母）的=结5果
•满足只有两个元音字母的结果有41个2，
•丙 H I H •IH I H •IH •IH I 则 P（两个元音）= 4= 1
12 3
•A •A•A •A•A •A •B•B•B •B•B•B•满足三个全部为元音字母的结果有1 •C •C•D •D•E •E •C•C•D •D•E•E 个，则 P（三个元音）= 1
•H •I•H •I•H •I •H •I •H •I •H •I
有 4 种，即（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），
所以，
P（B）=
4 36
=
1 9
．
第1枚
1
2
3
4
5
6
第2枚
1
（1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1）
2
（1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2）
3
（1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
九年级 上册
25.2 用列举法求概率
复习回顾： 一般地，如果在一次试验中，
有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，
事件A包含在其中的m种结果，
m
那么事件A发生的概率为：P(A)= n
求概率的步骤：
(1)列举出一次试验中的所有结果(n个)；
(2)找出其中事件A发生的结果(m个)；
(3)运用公式求事件A的概率：
红球 白球 红球
结果（白，白）（白，红）（红，白）（红，红） 1
P（两个球都是红球）= 4
当一次试验中涉及3个因素或更多的因素时,用列 表法就不方便了.为了不重不漏地列出所有可能的结果, 通常采用“树形图”.
树形图的画法: 如一个试验
一个试验
中涉及3个因素,第
一个因素中有2种 第一个因素 A
B
可能情况;第二个
•第一个球： •白
•黑1
•黑2
•黑3
6
•第二个球：•黑1•黑12 •2黑3•白•黑2•黑3 •白 •黑1•黑3 •白•黑1•黑2
•P（摸出两个黑球）= 1 2
同时掷两个质地均匀的骰子,计算下列事件的概 率:
(1)两个骰子的点数相同； (2)两个骰子点数的和是9； (3)至少有一个骰子的点数为2.
方法一：将两枚硬币分别记做 A、B，于是可以直
接列举得到：（A正，B正），（A正，B反），
（A反，B正）， （A反，B反）四种等可能的结果．故：
P（两枚正面向上）=
1 4
．
P（两枚反面向上）=
1 4
．
P（一枚正面向上，一枚反面向上）= 1 ． 2
方法二：将同时掷两枚硬币，想象为先掷一枚，再 掷一枚，分步思考：在第一枚为正面的情况下第二枚硬 币有正、反两种情况，同理第一枚为反面的情况下第二 枚硬币有正、反两种情况．
解：
第1个 1
23456
第2个 123456 123456 123456 123456 123456 123456
同时投掷两枚骰子，可能出现的结果有36个，它们出现
的可能性相等.
1
9
1
P（两个骰子点数相同）= 6
P（两个骰子点数和为9）=
P（至少有一个骰子的点数为2）=
11 36
有甲、乙两把不同的锁，各配有2把钥匙。求从这4把
11 36
．
第1枚 1
第2枚
1
（1，1）
2
（1，2）
3
（1，3）
4
（1，4）
5
（1，5）
6
（1，6）
2
（2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3
（3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4
（4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
82
•P(能打开甲、乙两锁)=
=
12 3
想一想，什么时候使用“列表法”方便，什 么时候使用“树状图法”方便？
当事件涉及 两个元素 ，并且出现的 结果数目较多时，为了不重不漏列出 所有可能的结果，用 列表法 。
当事件要经过多个步骤完成时:三步或 三步以上,用画“树状图”的方法求事
件的概率很有效.
5
（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6
（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
巩固新知
练习 一个不透明的布袋子里装有 4 个大小、质地 均相同的乒乓球，球面上分别标有 1，2，3，4．小林和 小华按照以下方式抽取乒乓球：先从布袋中随机抽取一 个乒乓球，记下标号后放回袋内搅匀，再从布袋内随机 抽取第二个乒乓球，记下标号，求出两次取的小球的标 号之和．若标号之和为 4，小林赢；若标号之和为 5， 小华赢．请判断这个游戏是否公平，并说明理由．
3
（1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3）
4
（1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
5
（1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
6
（1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）
运用新知
（2）两枚骰子点数之和是 9（记为事件 B）的结果
4
（1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4）
5
（1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5）
6
（1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6）