当前位置：文档之家 › 6第六讲直线与平面两平面的相对位置11级7解析

6第六讲直线与平面两平面的相对位置11级7解析

  • 格式：ppt
  • 大小：1.70 MB
  • 文档页数：65

下载文档原格式

  / 65

合集下载

直线与平面、两平面的相对位置

直线与平面、两平面的相对位置
如果两个平面内的两条相交直线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。
THANKS
感谢观看
04
直线与平面、两平面相对位置的性质
和定理
直线与平面垂直的性质和定理
直线与平面垂直的性质
如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线上的任意一点到平面的距离都相 等。
VS
直线与平面垂直的定理
如果一条直线与平面内的两条相交直线都 垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
直线与平面平行的性质和定理
直线与平面平行的性质
在构建过程中，需要充分考虑直线与平面的关系，以及两平 面之间的相对位置，以确保所构建的几何形状符合设计要求 。
建筑设计中的应用
在建筑设计中，直线与平面、两平面 的相对位置关系具有重要意义。通过 合理利用这些关系，可以设计出具有 独特美感和实用性的建筑作品。
例如，可以利用直线与平面的垂直关 系设计出高耸入云的摩天大楼，利用 两平面之间的角度关系创造出独特的 建筑造型。
直线与平面相交
总结词
当直线与平面有一个公共点时，直线 与平面相交。
详细描述
直线与平面相交意味着直线和平面在 某一点相遇。这个点是直线和平面的 唯一公共点。
直线与平面垂直
总结词
当直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面垂直。
详细描述
直线与平面垂直意味着直线与平面中的所有线段都垂直。在这种情况下，直线要么完全位于平面上，要么与平面 相交于一点。
应用
在几何学、物理学和工程学中，两平面垂直 的情况也经常出现，例如建筑物的墙与地面 、电路板上的线路与基板等。
03
直线与平面、两平面相对位置的应用
空间几何形状的构建
空间几何形状的构建是直线与平面、两平面相对位置在实际 应用中的重要体现。通过利用这些相对位置关系，可以构建 出各种复杂的空间几何形状，如球体、立方体、圆柱体等。

直线与平面及两平面的相对位置

直线与平面及两平面的相对位置

直线一定是侧平线。侧平线的侧面投影必定垂直于侧
垂面的有积聚性的同面投影。
2）同一投影面的垂直线和平行面相垂直
V p'q'
i' t'r' j'
I
Q
H P
R
J T
铅锤线IJ⊥面PQRT
与铅垂线垂直的平面一定是水平面；与水平面垂直 的直线一定是铅垂线。而且铅垂线的正面投影和侧 面投影一定分别与这条铅垂线相垂直的水平面的有 积聚性的同面投影相垂直； 与正垂线垂直的平面一定是正平面；与正平面垂直 的直线一定是正垂线。而且正垂线的水平投影和侧 面投影一定分别与这条正垂线相垂直的正平面的有 积聚性的同面投影相垂直； 与侧垂线垂直的平面一定是侧平面；与侧平面垂直 的直线一定是侧垂线。而且侧垂线的水平投影和正 面投影一定分别与这条侧垂线相垂直的侧平面的有 积聚性的同面投影相垂直。
由上述两种情况可归纳总结为：
直线与平面垂直： ①与投影面平行线相垂直的平面，一定是这个投影面的垂 直面； ②与投影面垂直面相垂直的直线，一定是这个投影面的平 行线； 两平面垂直： ①与投影面垂直线相垂直的平面，一定是这个投影面的平 行面； ②与投影面平行面相垂直的直线，一定是这个投影面的垂 直线。
由上述两种情况可归纳出以下两点结论： ①与某一投影面的垂直面相垂直的平面，一定包含该 投影面垂直面的垂线，可以是一般位置平面，也可以是这 个投影面的垂直面或平行面。
C B A
F
D
E
H
②与某一投影面的平行面相垂直的平面，一定包含这 个投影面的垂直线，一定是这个投影面的垂直面，也可以 是其它两个投影面的平行面。
直线与平面以及两平面的
相对位置
本节提要： （1）直线与平面平行及两平面平行 （2）直线与平面相交及两平面相交

机械制图 直线与平面 平面与平面的相对位置课件

机械制图 直线与平面 平面与平面的相对位置课件

求交线的方法
通过在每个平面上选择一组点， 并确定这些点在另一个平面上的 投影，可以找到交线。
平面与平面平行
平面与平面平行
求平行平面的方法
当两个平面在三维空间中没有重叠部 分时，它们平行。平行的平面永远不 会相交。
通过选择两个平面上对应的点并确保 它们之间的距离相等，可以找到平行 的平面。
平行的性质
交点
直线与平面的的投影。
直线与平面平行
直线的投影与平面的投影 平行，且无重影。
直线与平面内无数条直线 平行。
直线平行于平面，且与平 面无交点。
定义
投影特性 性质
直线与平面垂直
定义
直线垂直于平面，并与平面相交于一点。
性质
直线与平面内任意直线垂直。
机械制图 - 直线与平面、 平面与平面的相对位置
xx年xx月xx日
• 直线与平面的关系 • 平面与平面的相对位置 • 直线和平面、平面和平面相对位
置的应用 • 直线和平面、平面和平面相对位
置的作图技巧 • 直线和平面、平面和平面相对位
置的练习题和解析
目录
01
直线与平面的关系
直线与平面相交
定义
直线与平面在某一点交汇，除该点外，直线不在平面上。
平行线法
通过作平行线来帮助确定平面与平面的相对位置，如过一点作平面 的平行线，再判断该平行线与另一个平面的关系。
05
直线和平面、平面和平面 相对位置的练习题和解析
练习题一：直线与平面的关系
直线与平面关系的基本概念
•·
01
直线与平面平行：直线不在
平面内，且与平面无交点。
02
03
直线与平面相交：直线在平 面内，或有且仅有一个交点

直线与平面、平面与平面的相对位置介绍

直线与平面、平面与平面的相对位置介绍
直线与平面、平面 与平 面的相对位置介绍
教学提示：在空间中，直线与平面之间和 两平面之间的相对位置可分为 平行、相交及垂直3种情况。
学习要求：掌握直线与平面之间和两平面 之间3种相对位置关系的判定条 件以及求其交点、交线的作法。
4.1 直线与平面、平面与平面平 行
一、直线与一般平面平行
直线L与P平面内的直线AB平行，则L平行于平面P。反之，如果直线L平 行于P平面，则在平面P可以找到与直线L平行的直线。
L
b
A
a
c
X
O
B
c
a
b
检查一平面是否平行于一已知直线，只要看能否在该面上作一直线与已知直
线平行。
4.1 直线与平面平行
4.2 过
【例1】 过C点作平面平行于已知直线AB。
【分析】如图所示，过C点作CD//AB，即cd //ab,c′d′// a′b′，再过点C任作一
直线CE，即ce，c′e′，则CD、CE相交决定的平面为所求。
② 过e，e′分别垂作eh⊥cd，e′h′⊥a′b′，EH即为所求垂线。
e q
q e
e q
h
b
d
c
a
h q
e
d
a
b
c
二、直线和投影面垂直面垂直
P
B A
b
a
p
b a
Q
b
p
a
H
直线垂直于投影面垂直面时，它必然是一条投影面平行线，平行于该平 面所垂直的投影面，该面的积聚投影与该垂线的同面投影相互垂直。
【例6】过E点作平面ABCD的垂线。
【分析】作平面垂直于已知平面时，需先作一直线垂直于已知平面，然后包含所

初中数学知识归纳直线与平面的位置关系与计算

初中数学知识归纳直线与平面的位置关系与计算

初中数学知识归纳直线与平面的位置关系与计算初中数学知识归纳：直线与平面的位置关系与计算数学是一门与现实世界紧密相关的学科，它不仅帮助我们建立逻辑思维，还能够解决各种实际问题。

在初中数学课程中，直线与平面的位置关系与计算是一个重要的知识点。

本文将归纳总结初中数学中直线与平面的位置关系和计算方法，帮助读者更好地理解和运用这一知识。

一、直线与平面的位置关系1. 直线与平面的交点问题直线与平面的交点问题是直线与平面的最基本的位置关系。

当一条直线与一个平面相交时，有以下三种情况：（1）直线与平面相交于一点。

这种情况下，直线与平面的交点是唯一的。

（2）直线与平面平行。

这种情况下，直线与平面没有交点。

（3）直线在平面上。

这种情况下，直线与平面的交点可以是一条直线或线段。

2. 直线与平面的倾斜角问题直线与平面的倾斜角是指直线与平面的夹角。

夹角的大小直接决定了直线与平面的倾斜程度。

当夹角为零时，直线与平面垂直；当夹角为钝角时，直线与平面倾斜程度较大；当夹角为锐角时，直线与平面倾斜程度较小。

3. 直线与平面的相对位置问题直线与平面可以有三种相对位置关系：（1）直线在平面上。

这种情况下，直线的每一点都在平面内。

（2）直线与平面平行。

这种情况下，直线与平面没有交点。

（3）直线与平面垂直。

这种情况下，直线与平面的倾斜角为零。

二、直线与平面的计算方法1. 直线的方程在解决直线与平面的位置关系问题时，需要通过方程来表示直线。

直线的一般方程为Ax+By+C=0，其中A、B、C为实数，且A和B不同时为零。

通过将已知条件代入直线方程，可以求解直线的方程。

2. 平面的方程平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C、D为实数，且A、B、C不同时为零。

通过将已知条件代入平面方程，可以求解平面的方程。

3. 直线与平面的距离计算直线与平面的距离计算是解决直线与平面位置关系问题的基本方法之一。

通过求解点到平面的距离，可以得到直线与平面的最近距离。

工程制图直线与平面及两平面的相对位置ppt课件

工程制图直线与平面及两平面的相对位置ppt课件

⒉ 两平面平行
几何条件： 若一个平面内的相交二直线与另一个 平面内的相交二直线对应平行，则此两平 面平行。这是两平面平行的作图依据。 两平面平行的作图问题有： 判别两已知平面是否相互平行； 过一点作一平面与已知平面平行； 已知两平面平行，完成其中一平面的 所缺投影。
两平面平行
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
AB∥ⅠⅡ；AC∥ⅠⅢ； 则：P∥Q
4) (
利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
1
5.2.5 综合性问题解法
例5 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与
直线EF相交 。
综合性问题解法
分析
过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H； 连接KH，KH即为所求。 K F H E
作图
PV m 1 2 n
① 若一平面上的两相交直线分别平行于另一 平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。
两特殊位置平面平行
C B A a c b F e(f) h(g) G E H a' X a c b h(g) c' b' f' e(f) g' O e' h'
② 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有 积聚性的那组投影必相互平行。
定理2：若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平 投影；直线 的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、 则直线必垂直于该平面。
例6 平面由 BDF给定，试过定点M作平面的垂线。 n f
c a
d f a d m b m
c
b n
例7 试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
PV k SV k h h
1. 直线与特殊位置平面相交
b a n

直线与平面及两平面的相对位置PPT教学课件

直线与平面及两平面的相对位置PPT教学课件
直线必垂直于该平面。
例6 平面由 BDF给定，试过定点M作平面的垂线。
n
f
c
a
m b
d
a d
f
m
c
b n
例7 试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
PV
SV
h
k
h
k
k
k
h
k
h QH
hk
例8 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN 是否垂直于定平面。
a
c
m
e
f
b
d
X
n
O
b
a
m
e
d
c
n
f
例9 试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60 °， 与H面的夹角为45 °。
A
Ⅰ Ⅱ
B
两平面垂直
A
Ⅰ
B
Ⅱ
两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一 点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
例10 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面
h
f
c
g
k
a
b
d
X
a d
f c
O k
g
b h
例11 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面
是否垂直。
几何条件： 若一个平面内的相交二直线与另一个
平面内的相交二直线对应平行，则此两平 面平行。这是两平面平行的作图依据。
两平面平行的作图问题有：
判别两已知平面是否相互平行； 过一点作一平面与已知平面平行； 已知两平面平行，完成其中一平面的 所缺投影。
两平面平行
Ⅰ
Ⅲ Ⅱ

直线与平面.两平面的相对位置12级

直线与平面.两平面的相对位置12级
个平面相交。
感谢您的观看
THANKS
两平面相交
总结词
当两个平面在有限个点上相交时，它 们被称为相交平面。
详细描述
两平面相交意味着它们在有限个点上 有交集。这些交点被称为两平面的交 点，而这两个平面被称为相交平面。
03
直线与平面.两平面的相对 位置的应用
建筑学中的应用
建筑设计
直线与平面的关系在建筑设计中非常重要，它们决定了建筑物的外观和结构。例如，建筑物的立面、屋顶和地面 都需要与水平面保持一定的角度和位置关系。
空间规划
在建筑设计中，直线与平面的关系也用于空间规划。例如，在室内设计中，直线和平面可以用来确定家具、设备 和装饰物的位置和方向，以实现最佳的视觉效果和使用效果。
机械工程中的应用
零件设计
在机械工程中，直线与平面的关系在零件设计中非常重要。例如，在制造汽车发动机零 件时，需要确保零件的表面与水平面保持一定的角度和位置关系，以确保零件的精度和
详细描述
两平面平行意味着它们在同一平 面上，且没有公共点。在这种情 况下，两平面不会相交，除非它 们在无穷远处相交。
两平面垂直
总结词
当一个平面内任意一条直线都与另一个平面垂直时，这两个 平面互相垂直。
详细描述
两平面垂直意味着一个平面内的所有直线都与另一个平面垂 直。在这种情况下，两平面在任何点上都没有公共点，除了 它们的交线。
直线与平面平行时，直线上的任意一 点都不在平面上，即直线与平面没有 交点。这种关系在几何学中非常重要 ，是解决许多问题的关键。
直线与平面垂直
总结词
当直线与平面内的任意两条相交直线都垂直时，直线与平面垂直。
详细描述
直线与平面垂直时，直线与平面内的所有线段都成90度角。这种关系在建筑学、 工程学等领域有广泛应用，例如确定建筑物的垂直度或计算物体的重心等。

直线与平面两平面的相对位置

直线与平面两平面的相对位置

c’ B
C
F K
f
c
A
NE S
a
e b
k
例题2：求交叉两直线AB和CD的公垂线MN。
a’
c’
a c
b’ d’
b
d
a’
c’
a c
b’ d’
分析 A
b
d
BN
A
DM
N
C
K
E C
B n
M bD
a
m c( d )
a’ X
a
b’ n’
d’
c’ m’
n
b
d
d1’ m
c
m1’
c1’
b1’
a1’
n1’
m2 c2 (d2 ) a2
n2 b2
例题3：求三角形ABC及BCD两平面之间的夹角。
C
b’
X a’ a
c’ B
A
θD
d’
c
b
d
b’
X a’ a
a1’
b
θ
c1’( b1’)
d1’
c’
d’ c
d
例题4 以DC为直角边作等腰直角△CDE(∠CDE=90)且与ABCD平
面垂直。
a’
b’
X b1’(a1’)
d’
c’
b
a c
c1’ d (d1’)
一、利用积聚性求交点和交线
1. 一般位置直线与特殊位置平面相交 2. 特殊位置直线与一般位置平面相交 3. 特殊位置平面与一般位置平面相交
二、利用辅助平面求交点和交线
一般位置直线与一般位置平面相交
三、利用辅助投影求交点和交线
一般位置平面与一般位置平面相交

直线与平面、平面与平面的相对位置介绍

直线与平面、平面与平面的相对位置介绍

【例13】 已知直线DE和△ABC的两投影，试求DE和△ABC的交点。
作图步骤：
① 过DE 作铅垂面P。可在投影图上延长de，加上标记PH。 ② 求P 和△ABC 的交线FG,fg和f′g′ 即为交线的两面投影。 ③ f′g′与d′e′ 相交于点k′，从k′ 引铅直连线与de 相交于k，则 k、k′即为所求交点的两面投影。
e
X e
a c
d b
O c ab d
(a)
e
X e
a
c
AC
1
kK
E
B2(3) dD
b
O
e1
cc
3 aakkb
H
2
d
d
(b)
e
X e
a c
1 k
d
2(3)
b
O
1
c
3k
2
d
作图步骤：
（1）求交点
因直线AB在H面积聚成一点， 则交点k必在其上，且交点K又在 △CDE上，可根据平面上取点的方 法作辅助线DI,然后求出k′。
线MN在a △ABC上，由mn求 mm点′112n′′（。2′利）用cV来判面别的可重见影
b 性。 n p
(a)
(b)
a 1(2)
mp
nc
b
X
a
m2
1
b
n
O
c p
五、一般位置直线与一般位置平面相交
R N D
A K
M
C B
直线与一般位置平面相交。由于一般位置 直线、平面的投影没有积聚性，因此，在投 影图中不能直接求出它们的交点。
O
（2）判断可见性
在V面投影中，取交叉两直线 的任一重影点I、II，判断可见性1′ （2′），从H面可知，1在前，2在后， 因1在ABC上,而2在平面P上，故 a′n′可见为实线。这时交线mn为可 见与不可见的分界线。

第六章直线与平面平面与平面的相对位置

第六章直线与平面平面与平面的相对位置
依据该定理可解决两类问题：
1.判断直线与平面是否垂直？ 2.解决点、直线、平面之间的 定位和度量问题。
例1.判断直线MK与平面AB×CD是否垂直？
m'
答案：垂直
m
例2： 已知由平行两直线AB 和CD 给定的平面， 试判断直线MN 是否垂直于该平面。
垂直
不垂直
答案：不垂直
例3：给定平面△ABC，试过定点S 作平面的垂线。 SF 即为所求
与对方平面的交点。
M
要解决的问题：
N
①求交线
②判别可见性： 即判别两平面作投影时的相互遮挡情况。
例：求两平面的交线MN，并判别可见性。
⑴ a
b m(n) ● e
两平面均有积聚性投影
f
① 求交线
c
② 判别可见性
d X
a
d
e
O
对两平面重影范围边框线 的虚实做出判断
n
●
c
方法：
直观法
●m
b
f
判断结果须符合的规律：
第六章直线与平面平面与平面的 相对位置
二、相交问题
包 括
直线与平面相交
⒈ 直线与平面相交 平面与平面相交 直线与平面相交存在一个交点，该交点是 直线与平面之间的共有点。
要解决的问题：
●
●
① 求交点
② 判别可见性
即判别投影时直线被平面遮挡的情况。
例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。 ⑴
例4：试判断两已知5：判别两平面是否平行。 答案：平行
例6：已知由平行两直线AB 和CD 给定的平面。试 过定点K 作一平面平行于已知平面。
GH X EF 即为所求
三、垂直问题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

PV 正垂面P
RV 水平面R
TV 侧平面T UV
侧垂面U
QH 正平面Q SH 铅垂面S
UH TH
特殊平面的迹线表示
正垂面P
PV
SV
XX X PH
铅垂面PSH
V
V P PVV
S
WW P
SW W
SV
PV
Sw
O
PH
PH
O
HH H
SH
V
PV
a
A
a
V
V
c
b c
B
PbbVPaW
B W
aCA c
b
b c
a
a
PcH b C
ke段直线在ac边之前，故V投
f
c
影图k′e′段直线可见，画 实线。过k′后重叠部分不可
见，画虚线。
a k
△ABC是下行平面，V、H
投影图的可见性相反，直接
判别H投影图的可见性，ke重
叠部分不可见，画虚线。过
交点k后直线可见，画实线。
b
e
四、两一般位置平面相交
求两一般位置平面交线的问题可以看作是求两 个共有点的问题, 因而可利用求一般位置线面交 点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两 平面的交线。
（d）
(c)
对H 面的最大斜度线
上讲要点回顾
• 熟练掌握平面的空间七种位置及其投影特征。
水平面、正平面、侧平面，铅垂面、正垂面、侧垂面、一般面
• 充分理解平面的迹线概念，了解平面的迹线作法。
PV、PH分别是平面上的两条特殊线，求迹线的方法同求迹点
• 熟练掌握平面上的各种直线的概念、求法。有关最大斜度线 的问题为上讲的难点。
H Hc
b
a
B W
C
PV
b
W
A a
PW
c
c
c H
PHb
PHa
不补画W投影，只利用V、H投影区分一般位 置平面与侧垂面。 平面中存在一条侧垂线
b c
b a
a
c a
a
b
b
一般位置平面
侧垂面
bb
aa
d′
c c
a a
侧垂面
一般位置平面
cc
bb
d′
c c
习题讲评:4-3 包含已知直线AB作平面P(用迹线表示)。
二．平面与平面平行
几何条件：若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交 二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依 据。
三. 两面平行的作图问题有: ①判别两已知平面是否相互平 行；②过一点或直线作一平面与已知平面平行；③已知两平面 平行，完成其中一平面的投影。
一、直线与平面平行
P
C
A
D
B
若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行
例题1 试判断直线AB是否平行于定平面
n′
c
b
m′
g
d
p′
f
a
e
n
d
m p
直线MN 平行于定平面P
e f
a
g
b
c
结论：直线AB 不平行于定平面
例题2 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面。
c
f
e b k a
d
d f c
e
a
k
b
二、两平面平行
1
PH f
1
b
k
a e
2、求P平面与 ΔABC的交线ⅠⅡ。
a 3、求交线ⅠⅡ 与EF的交点K。
2
e c
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图
V
A
M
K
C
PV B N
过MN作平面Q垂直于V投影面
以正垂面为辅助平面求线面交点
QV f
c
1
步骤： 1、 过EF作正
垂平面Q。
k b
2、求Q平面与
2
ΔABC的交线 ⅠⅡ。
③ 掌握利用重影点判别投影可见性的方
§5-1 直线与平面平行、平 面与平面平行
一．直线与平面平行
几何条件：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则 该直线与该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依 据。
有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行； 作直线与已知平面平行；作平面与已知直线平行。
利
a
k
l
用
重
4
e
影
点
m
c
判
b2
别
m
可
见
e
3 ( 4)
c
性
一、直线与平面相交的特殊情况
1、一般位置直线与垂直面相交
2、垂直线与一般位Байду номын сангаас平面相交
二、一般位置平面与特殊位置平面(垂直面)相交
三、直线与一般位置平面相交
四、两一般位置平面相交
直线与平面相交
P A
K
B
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共 有点。交点的特性：交点总是可见，而且是可见与不可见 的分界点。
(a) P∥H
(b) P⊥H , ＝30°
a′
b′ PV
a′
a
b (a)
b′
30° 30°
PH a (b) PH
(b)
14页
习题讲评 4-5 △ABC属于平面P，试求作其H面投影。
b′ b′
a′
a′
a
b
p′
p′
c′ c′
cp
p
4-6
15页
习题讲评:求作属于△ABC与投影面H、V等距离点的轨迹。
与投影面H、V等距离点的
求平面ABC与直线EF的交点 。
f
c
一般位置线面没有积
聚性,怎样求交点？
b
a e
f
a
b
e c
F P
C
Ⅱ
K B
Ⅰ
f
b
1
k2
PH
c
通过作辅助平面的方 法求交点的空间分析。 辅助平面为投影面垂 直面（创造积聚性）
A E
a
e
H
以铅垂面为辅助平面求线面交点 。
f
c
2
k
b
投影作图步骤： 1、 过EF作铅垂 平面P。
注意平面可见性的判别
一般位置平面与特殊位置平面相交
V M
P B
m
c
f
b k
l
m C
c PH
K
F Nk
fb n
AL
a l
a
n
m
kb a
f
l
c
H
n
两平面图形投影重叠部分需判别可见性。交线总可见。基本方法依然是交 叉二直线重影点可见性的判别。较简单的方法是利用特殊位置平面的积聚性，
如右图由H投影图得知fkm在特殊位置平面之后，故V投影图上m′k′f′与 a′b′c′重叠部分不可见，画虚线，f′ k′l′n′与 a′b′c′重叠部分可
2 投影面垂直线与一般位置平面相交 交点的一个投影与直线 的积聚性投影重合，其余投影可利用平面上取点的方法在平面 的相应投影上得到。利用直线的积聚性在平面上取点。
注意直线可见性的判别
1 直线与特殊位置平面相交
b n
V
N
a
k
B
P
m
A
K
c
PH a
k b
C
n a
kb
M
c
Hm
c
利用特殊位置平面投影的积
聚性，在直线上定点，直接求出交点。
平面与平面相B交
M
K A
L
F
N
C 两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有。 交线的特性：交线总是可见的，是可见与不可见的分界线。
一、直线与平面相交的特殊情况
线面相交的特殊情况，指其交点的投影可利用直线或平面 的积聚性投影直接求出。 1 特殊位置平面与一般位置直线相交 交点的一个投影为平 面积聚性投影与直线同面投影的交点，其余投影可在直线的相 应投影上获得。利用平面的积聚性在直线上定点。
① 熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； ② 熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及 作图方法。
2.相交问题
① 熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面 的投影具有积 聚性）交点的求法和作两个面的交线 （其中一平面的投影具有积聚性）。
② 熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌 握一般位置面、面相交求交线的作图方法。
法求出两平面
m
c b2
的两个共有点
K、E。（尽量
不选投影不重
m
叠的边，尽可
e
能选各投影均
k
c l
重叠较多的边）
2、连接两个
1
a
一般不选AB、BC、NL
n
共有点，画
出交线KE。
QV b
a
k
e′
m
b m
e k
a
若选AC、BC
n
若选了交点在 图形之外的边
l
c
PH
c l
n
两平面相交，判别可见性
b n
3
1 ( 2)
判别直线的可见性
b n
V
N
a
k
B
m
P
K A
c
n
PH a
a
bk
C
kb
M
c
Hm
c
二者投影相互重叠处才需判别可见性。可见性判别的方法一般有两种：基本方法依然 是交叉二直线重影点的可见性判别。较简单的方法是利用平面的积聚性投影直接判别。 如右图判别V投影的可见性，在H投影图中去比较交点K左侧直线和平面的前后，直线在平 面之前，故V投影图中m′k′段可见， k′n′段与平面重叠部分则不可见。