逻辑代数初步

第2章逻辑代数基础2.1 概述一、算术运算和逻辑运算在数字电路中,二进制数码不仅可以表示数值的大小，而且可以表示事物的状态,当两个二进制数码表示两个数值大小时，它们之间可进行数值运算，即算术运算。

当两个二进制数码表示不同逻辑状态时，它们之间的因果关系可进行逻辑运算。

算术运算与逻辑运算有本质的差别,下面重点介绍逻辑运算的各种规则。

二、几个基本概念1、逻辑状态表示法一种状态高电位有真是美生 1 0另一种状态低电位无假非丑死 0 12、两种逻辑体制1 高电位低电位0 低电位高电位正逻辑负逻辑3、高低电平的规定正逻辑负逻辑2.2 逻辑代数中的三种基本运算1、与逻辑（与运算）(逻辑乘)与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足时，事件（Y）才能发生。

表达式为：Ｙ＝ＡＢＣ2、或逻辑（或运算）或逻辑的定义：当决定事件（Y ）发生的各种条件（A ，B ，C ，…)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y ）就发生。

表达式为：Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…开关A ，B 并联控制灯泡YA 、B 都断开，灯不亮。

A 断开、B 接通，灯亮。

A 接通、B 断开，灯亮。

A 、B 都接通，灯亮。

两个开关只要有一个接通，灯就会亮。

逻辑表达式为：Ｙ＝Ａ+Ｂ真 值 表实现或逻辑的电路称为或门。

或门的逻辑符号：3、非逻辑（非运算）非逻辑指的是逻辑的否定。

当决定事件（Y ）发生的条件（A ）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。

表达式为：Y =A +BＹ＝Ａ开关A功 能 表4、复合逻辑运算（1）与非运算：逻辑表达式为：（（3（5）同或运算：逻辑表达式为：2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1定理和恒等式一. 定理二 .常用恒等式2.4 逻辑运算的基本定理1、代入定理：任何一个含有变量A 的等式，如果将所有出现A 的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。

这个规则称为代入定理。

，用函数Y =AC 代替等式中的A0-1律：⎩⎨⎧=⋅=+A A A A 10 ⎩⎨⎧=⋅=+0011A A 等幂律：A A A A A A =⋅=+交换律：⎩⎨⎧+=+⋅=⋅A B B A A B B A 结合律：⎩⎨⎧++=++⋅⋅=⋅⋅)()()()(C B A C B A C B A C B A 分配律：⎩⎨⎧+⋅+=⋅+⋅+⋅=+⋅)()()(C A B A C B A C A B A C B A（2）反演定理：对于任何一个逻辑表达式Y ，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y 的反函数Y （或称补函数）。

A A 0
非
FA
A 1 F 01
A A
10
A＋A 1
2.2.2复合逻辑运算 由上面三种基本逻辑关系组合而成的复合逻辑关系有：
与非、或非、与或非、异或、同或等，如表1所示。
1、 与非逻辑
与非逻辑是与逻辑运算和非逻辑运算的组合。它是将 输入变量先进行与运算，然后再进行非运算。
能够实现与非逻辑运算的电路称为与非门。
A接通、B断开，灯不亮。
A、B都接通，灯亮。
Ｙ＝ＡＢ 两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表
达式为：
假设：
开关闭合为 1 开关断开为 0
灯亮为 1 灯不亮为 0
AB
~ 220V 有0为F 0 全1为1
用四个式子表示：
0 ·0 = 0 0 ·1 = 0 1 ·0 = 0 1 ·1 = 1
与逻辑的表示方法：（四种）
逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分 析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只有０和１ 两种逻辑值，有与、或、非三种基本逻辑运算，还有与或、 与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。
逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系， 这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数 来描述。
A
1
F
F
逻辑符号： 把实现非逻辑运算的单元电路叫做非门。
逻辑运算 逻辑表达式 逻辑符号 真值表 基本运算规则
AB F
A A A
与
F AB
A B
&
F
000 010
A1 A
100
A0 0
111
A B F A＋A A
或
F AB
A B
≥1
F

图形符号
A
L
B
23
2. 或逻辑
逻辑表达式 L= A + B
只有决定某一事件的原因有一个或 一个以上具备，这一事件才能发生
AB L 00 0 01 1 10 1 11 1 或逻辑真值表
图形符号
A 1
L
B
24
3. 非逻辑
当决定某一事件的条件满足时，事 件不发生；反之事件发生
非逻辑真值表
AL
图形符号
0
1
1
0
逻辑表达式 F= A
A
1
L
25
1.3.2 常用复合逻辑运算
与非逻辑运算
或非逻辑运算
L=AB
L=A+B
L
L
与或非逻辑运算 L=AB+CD
L
26
异或运算
AB 00 01 10 11
L 0 1
1 0
逻辑表达式
L=AB=AB+ AB
图A 形符号=1
B
L
同或运算
AB 00 01 10
L 1 0
0
逻辑表达式 L=A B= AB
利用真值表
用真值表证明反演律
A B AB A+ B A• B A+B
00 1
1
1
1
01 1
1
0
0
10 1
1
0
0
11 0
0
0
0
A• B= A+B A+ B=AB
31
1.4.2 逻辑代数中的基本规则
1. 代入规则
任何一个含有某变量的等式，如果等式中 所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数 式，则此等式依然成立。

出现此变量旳位置均代之以一种逻辑函数式，则此
等式依然成立。
B+C替代B
(A+B)'= A'·B利' 用反演律
得 (A (B C)) ' A'(B C) ' A' B 'C '
由此反演律能推广到n个变量：
( A1A2 A3 An )' A1' A2 ' A3 ' An ' ( A1 A2 A3 An )' A1' A2 ' A3 ' An '
=A +A(B+C)+BC ; 分配律,重叠律
=A(1+B+C)+BC ; 分配律
=A • 1+BC ; 0-1律
=A+BC =左边
; 0-1律
17 2024/9/22
例：证明冗余律 AB AC BC AB AC 成立
证明:左边= AB+AC
=+ABBC+AC+(A+A =)BACB+AC+ABC =+AABB(C1+C)+AC(1 +=BA)B+AC
2024/9/22
解：由真值表能够看出
输入变量为下列三种取值旳时候，Y 等于1： A = 1、B = 0、C = 1
A = 1、B = 1、C = 0
A = 1、B = 1、C = 1
AB 'C 所以，Y旳逻辑函数式为：
ABC ' ABC
Y = AB'C+ABC'+ABC
30
由上例能够总结出由真值表写出逻辑函数式旳措施： （1）首先从真值表中找出全部使函数值等于1旳那些输入