• 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在 中， ， AC=70 ，AB=30 . 求：BC的长.
• 举一反三【变式1】如图，已 知： ， ， 于P. 求 证： .
•
【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°， ∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形 ABCD的面积。
• ☆类型二：勾股定理的应用 2、如图，公路MN和公路PQ在点P处 交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学， AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机 在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会 受到噪声影响？请说明理由，如果受影响， 已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受 影响的时间为多少秒？
• 类型四：利用勾股定理作长为 的线段 5、作长为 、 、 的线段。 • 举一反三 【变式】在数轴上表示 的点。
• 类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是 否正确 1．原命题：猫有四只脚． 2．原命题：对顶角相等（正确） 3．原命题：线段垂直平分线上的点， 到这条线段两端距离相等．（正确） 4．原命题：角平分线上的点，到这个 角的两边距离相等．（正确）
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第四部分 中考题萃
一、填空题 1.（甘肃省白银市）已知等腰三角形的 一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的 高为____________． 3.（永州）一棵树因雪灾于A处折 断，，测得树梢触地点B到树根C处的距离 为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地 面，那么此树在未折断之前的高度约为 ____________米（答案可保留根号）．
l a2 b c
2
第三部分 经典例题精析
• • • ☆类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形 的面积。
举一反三
【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
•
总结升华：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为
• 知识点二：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有 关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三 角形。
要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角 形是否是直角三角形应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝ a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 （若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三 角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。
• 举一反三【变式1】四边形ABCD中， ∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12， AD=13，求四边形ABCD的面积。
• 【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－ n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判 断△ABC是否为直角三角形.
• 【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点， F为AB上一点，且BF= AB。 请问FE与 DE是否垂直?请说明。
• （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中， 小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走 了 到达B点，然后再沿北偏西30°方向 走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。
【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工 厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
第二部分 学习笔记
• 1.直角三角形的边、角之间分别存在什么关 系？ • 角与角之间的关系：在△ABC中， ∠C=90°，有∠A+∠B=90°； • 边与边之间的关系：在△ABC中， ∠C=90°，有 c2 a2 b2
• 2.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别 为a,b,斜边为c，那么 c 2 a 2 b2即直角三 角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。 • 教材通过计算分别以直角三角形三边为边 长的正方形的面积来探索勾股定理即.
一、重、难点 重点：勾股定理及其逆定理的应用。 难点：勾股定理及其逆定理的应用。
• 知识点一：勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等 于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释：勾股定理反映了直角三角 形三边之间的关系，是直角三角形的重要 性质之一，其主要应用：（1）已知直角三 角形的两边求第三边（2）已知直角三角形 的一边与另两边的关系，求直角三角形的 另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平 方关系的问题
2 2 2 2 2
2n 1 2n 2n 2n 2n 1 2 2 2 2 m n , 2 mn , m n ; • ⑦丟番图：
2 2 2 2
2
;
m
2
n
2 2
2mn m2 Nhomakorabea2
n
2 2
;
• 5.与勾股定理有关的几个常用的结论： • （1）在Rt△ABC中，∠A=30°∠C=90°，则a： b：c=1：3 ：2
• 举一反三 【变式】如图，一圆柱体的底面周长 为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的 直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧 面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
解：
• 举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园， 有极少数人为了避开拐角而走“捷径”， 在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少 走了__________步路（假设2步为1m）， 却踩伤了花草。
【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13， 求四边形ABCD的面积。
• 勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知 a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15， 求a. • 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
• ☆类型三：数学思想方法 （一）转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证 时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化 为直角三角形问题来解决． 3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形， AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、 AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求 线段EF的长。
• （二）用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电 电费过高的现状，目前正在全国各地农村 进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、 D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现 计划在四个村庄联合架设一条线路，他们 设计了四种架设方案，如图实线部分．请 你帮助计算一下，哪种架设方案最省电 线．
A．24米 • C．48米 B．36米 D．72米
• 2.如图，分别以直角 的三边 • 为直径向外作半圆．设直线AB左边阴影部 分的面积为 ，右边阴影部分的面积和 为 ，则（ ）
A． C．
D．无法确定 B．
• 15．已知，如图所示，折叠长方形的一边 AD，使点D落在BC边的点F• 处，• 如果 AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
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【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。
•
【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。
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总结升华： 【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 C、5，8，10 B、4，5，6 D、8，39，40
• 【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形 网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角 形，这样的三角形称为单位正三角形。 （1）直接写出单位正三角形的高与面积。 （2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单 位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？ （3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。
• 知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的 区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质 定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾 股定理与其逆定理的题设和结论正好相反， 都与直角三角形有关。 知识点四：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另 一个命题的结论和题设，这样的两个命题 叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命 题，那么另一个叫做它的逆命题。
• 16．某校把一块形状为直角三角形的废地 开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°， AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小 渠，且D点在边AB上，• 已知水渠的造价为 10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的 造价最低？最低造价是多少？
• 三、解答题 一架长5米的梯子，斜立在一竖直的墙 上，这时梯子底端距墙底3米．如果梯子的 顶端沿墙下滑1米，梯子的底端在水平方向 沿一条直线也将滑动1米吗？用所学知识， 论证你的结论．
• （2）在Rt△ABC中，∠A=∠B=45°，则a：b： c=1：1： 2 • （3）直角三角形两直角边的乘积等于斜边与斜边 上的高的积。设斜边上的高为h,则 ab ch • （4）在蚂蚁怎样走最近中，如果长方体中长、宽、 高分别为a,b,c,且a＞b＞c，则自长方体外侧绕行 对角的最短距离为
S A SB SC
• 3.如何判断一个三角形是直角三角形？ • ①如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角 三角形 2 2 2 c a b • ②如果 ，那么△ABC是直角三 角形
• 4.勾股数组：满足直角三角形三边的三个正整数， 叫做勾股数。常见的勾股数组： • ①3，4，5； 6，8，10； 3k, 4k, 5k. • ②5, 12, 13; 10, 24, 26; 5k, 12k, 13k.. • ③7,24,25; 14,48,50; 7k, 24k, 25k. • ④8,15,17; 16,30,34; 8k, 15k, 17k .. • ⑤柏拉图： n2 1, 2n, n2 1; n 1 2n n 1 ; 2 2 2 n 1, 2 n 2 n , 2 n 2n 1; • ⑥毕达哥拉斯：
