2016高中数学人教A版 必修1 同步练习 期末复习题(一)zyjy

（本文档资料包括高一必修一数学各章节的课后同步练习与答案解析）第一章1．1 1.1.1集合的含义与表示课后练习[A组课后达标]1．已知集合M＝{3，m＋1}，且4∈M，则实数m等于()A．4B．3C．2 D．12．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形3．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．25．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合中，最多含有的元素个数为()A．2个B．3个C．4个D．5个6．设a，b∈R，集合{0，ba，b}＝{1，a＋b，a}，则b－a＝________。

7．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________。

8．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P ＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为________。

9．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A。

10．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，(1)若－3∈A，试求实数a的值；(2)若a∈A，试求实数a的值。

[B组课后提升]1．有以下说法：①0与{0}是同一个集合；②由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4＜x＜5}是有限集。

其中正确说法是()A．①④B．②C．②③D．以上说法都不对2．已知集合P＝{x|x＝a|a|＋|b|b，a，b为非零常数}，则下列不正确的是()A．－1∈P B．－2∈P C．0∈P D．2∈P3．已知集合M＝{a|a∈N，且65－a∈N}，则M＝________。

人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,3,4,5}，B={2,3,6,7}，则B∩∁U A=( )A．{1,6}B．{1,7}C．{6,7}D．{1,6,7}2.对x∈R都成立的不等式是( )A．√x2+1≥√2x B．x2+1>2x C．1x2+1<1D．x2+4≥4x3.已知圆C:x2+y2=2，直线l:x−y+m=0，则“l与C相交”是“m<2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.下列区间中，函数f(x)=7sin(x−π6)单调递增的区间是( )A．(0,π2)B．(π2,π)C．(π,3π2)D．(3π2,2π)5.已知集合A={1,2,3}，B={1,2}，那么集合A∩B等于( )A．{3}B．{1,2}C．{1,3}D．{1,2,3} 6.下列不等式一定成立的是( )A．lg(x2+14)>lgx(x>0)B．sinx+1sinx≥2(x≠kπ,k∈Z)C．x2+1≥2∣x∣(x∈R)D．1x2+1>1(x∈R)7.函数y=2cos(2x+π4)的图象( )A．关于原点对称B．关于点(−3π8,0)对称C．关于y轴对称D．关于直线x=π4对称8.已知函数f(x)=sin(ωx+π6)+a2cosωx(a>0,ω>0)，对任意x∈R，都有f(x)≤√3，若f (x ) 在 [0,π] 上的值域为 [32,√3]，则 ω 的取值范围是 ( )A ． [16,13]B ． [13,23]C ． [16,+∞)D ． [12,1]9. 已知集合 A ={x∣ x 2−2x −8<0}，B ={x∣ 2x −1>0}，则 A ∩B = ( ) A ． (−∞,−2) B ． (−2,12) C ． (4,+∞)D ． (12,4)10. −300∘ 的弧度数是 ( ) A ． −π6B ． −π3C ． −5π6D ． −5π3二、填空题（共10题）11. 函数 y =sin (2x −π6) 的最小正周期为 ．12. 已知 f (x )=ax 2+bx 是定义在 [a −1,2a ] 上的偶函数，则 a +b 的值是 ．13. 坐标平面内的点 (m 2,m ) 不在平面区域 x −3y +2>0 内，则 m 的范围是 ．14. 设函数 f (x )={32x −2x,x <2log 4(x 2−1),x ≥2,，则 f [f (3)]= ．15. 若函数 f (x )=log 2x +x −k (k ∈Z ) 在区间 (2,3) 内有零点，则 k = ．16. 已知集合 M ={x∣−4<x <2}，N ={x ∣x 2−x −6=0}，则 M ∩N = ．17. 已知函数 f (x )=sin (kx 5+π3)，其中 k ∈N ∗，当 x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x ) 至少有一个最大值与一个最小值，那么 k 的最小值为 ．18. 函数 y =(12)x 2−2的值域是 ．19. 用“>”“<”号填空：如果 a >b >0>c ，那么 ca cb ．20. 集合 {x∣ cos (πcosx )=0,x ∈[0,π]}= ．（用列举法表示）三、解答题（共10题）21. 已知集合 A ={x ∣1<ax <2}，B ={x ∣−1<x <1}，求满足 A ⊆B 的实数 a 的取值范围．22. 已知集合 A 含有两个元素 1 和 a 2，若 a ∈A ，求实数 a 的值．23. 已知集合 A ={x∣ x 2−4<0}，B ={x∣ (x −2a )(x +a )<0}(a >0)．(1) 若 a =1，求 A ∩B ；(2) 若 B ⊆A ，求实数 a 的取值范围．24. 已知函数 f (x )={−x 2+x,x ≤1log 13x,x >1，g (x )=∣x −k∣+∣x −2∣，若对任意的 x 1,x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2) 成立，求实数 k 的取值范围．25. 定义在 (−∞,0)∪(0,+∞) 上的函数 y =f (x ) 满足 f (xy )=f (x )−f (y )，且函数 f (x ) 在(0,+∞) 上是增函数．(1) 求 f (−1)，并证明函数 y =f (x ) 是偶函数． (2) 若 f (4)=2，解不等式 f (x −5)−f (3x )≤1．26. 我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v =5log 2O10，单位是 m/s ，其中 O 表示燕子的耗氧量． (1) 计算当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2) 当一只燕子的耗氧量是 40 个单位时，它的飞行速度是多少？27. 判断下列函数是否为幂函数．（1）y =x 4；（2）y =1x 2；（3）y =x −2；（4）y =x 12；（5）y =2x 2；（6）y =x 3+2；（7）y =1；（8）y =√x ．28. 已知 f (x )=x 2，g (x )=x ，求函数 p (x )=f (x )⋅g (x )，并画出其图象．29. 如何理解区间的概念？30.某商店某种商品（以下提到的商品均指该商品）进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件，商店为使销售该商品的月利润最高，每件商品定价应为多少元？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【知识点】交、并、补集运算2. 【答案】D【解析】对于A项，x≥0，故错误；当x=1时，x2+1=2x，故B项错误；当x=0时，1x2+1=1，故C项错误；对于D项，当x∈R时，x2+4≥4x恒成立，故正确．【知识点】不等式的性质3. 【答案】A【解析】“l与C相交”⇔√2<√2，解得−2<m<2．所以“l与C相交”是“m<2”的充分不必要条件．【知识点】充分条件与必要条件4. 【答案】A【解析】因为函数y=sinx的单调递增区间为(2kπ−π2,2kπ+π2)(k∈Z)，对于函数f(x)=7sin(x−π6)，由2kπ−π2<x−π6<2kπ+π2(k∈Z)，解得2kπ−π3<x<2kπ+2π3(k∈Z)，取k=0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为(−π3,2π3)，则(0,π2)⊆(−π3,2π3)，(π2,π)⊄(−π3,2π3)，A选项满足条件，B不满足条件；取k=1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为(5π3,8π3)，(π,3π2)⊄(−π3,2π3)且(π,3π2)⊄(5π3,8π3)，(3π2,2π)⊄(5π3,8π3)，CD选项均不满足条件．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质5. 【答案】B【知识点】交、并、补集运算6. 【答案】C【解析】 x =12时，A 中的不等式不成立；x =π2时，B 中的不等式不成立；x =1 时，D 中的不等式不成立；选C ．【知识点】均值不等式的应用7. 【答案】B【解析】由 2x +π4=kπ，得到函数图象的对称轴方程为 x =kπ2−π8(k ∈Z )．把 x =0 代入，得 k =14∉Z ；把 x =π4 代入，得 k =34∉Z ．由此可排除C 、D ．由 2x +π4=kπ+π2，得到函数图象的对称中心的横坐标为 x =kπ2+π8(k ∈Z )．把 x =0，得 k =−14∉Z ，故排除A ； 把 x =−3π8代入，得 k =−1∈Z ，故B 正确．故选B ．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】A【解析】 f (x )=sin (ωx +π6)+a2cosωx =√32sinωx +a+12cosωx ，f (x )max=√3=√(√32)2+(1+a 2)2，因为 a >0，所以 a =2，所以 f (x )=√3sin (ωx +π3)． 因为 0≤x ≤π，ω>0，所以 π3≤ωx +π3≤ωπ+π3， 因为 32≤f (x )≤√3，所以π2≤ωπ+π3≤2π3，所以 16≤ω≤13．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质9. 【答案】D【解析】因为 A ={x∣ x 2−2x −8<0}={x∣ −2<x <4}，B ={x∣ 2x −1>0}={x∣ x >12}，所以 A ∩B ={x∣ 12<x <4}．【知识点】二次不等式的解法、交、并、补集运算10. 【答案】D【知识点】弧度制二、填空题（共10题） 11. 【答案】 π【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】 13【解析】依题意 b =0，且 2a =−(a −1)，所以 a =13，则 a +b =13． 【知识点】函数的奇偶性13. 【答案】 [1,2]【知识点】二次不等式的解法14. 【答案】 24【解析】先求 f (3)=log 48=32，再求 f (32)=33−3=24，即 f [f (3)]=24．【知识点】分段函数15. 【答案】 4【解析】因函数 f (x ) 在区间 (2,3) 内递增，则 f (2)f (3)<0，即 (log 22+2−k )⋅(log 23+3−k )<0，整理得 (3−k )⋅(log 23+3−k )<0， 解得 3<k <3+log 23，而 4<3+log 23<5． 因为 k ∈Z ，所以 k =4．【知识点】对数函数及其性质、零点的存在性定理16. 【答案】 {−2}【解析】 M ={x∣−4<x <2}，N ={x ∣x 2−x −6=0}={−2,3}，∴M ∩N ={−2}． 【知识点】交、并、补集运算17. 【答案】 32【解析】因为 T =10πk，且任意两个整数间的距离都大于等于 1，所以 T =10πk≤1，解得 k ≥10π， 取 k =32．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质18. 【答案】 (0,4]【解析】设 t =x 2−2≥−2， 因为 y =(12)t为减函数， 所以 0<(12)t ≤(12)−2=4，故函数 y =(12)x 2−2的值域是 (0,4]．【知识点】函数的值域的概念与求法、指数函数及其性质19. 【答案】 >【知识点】不等式的性质20. 【答案】 {π3,2π3}【知识点】集合的表示方法三、解答题（共10题）21. 【答案】①当 a =0 时，A =∅，满足 A ⊆B ．②当 a >0 时，A ={x ∣∣1a <x <2a }，又因为 B ={x ∣−1<x <1} 且 A ⊆B ， 如图作出满足题意的数轴： 所以 {a >0,1a ≥−1,2a≤1,所以 a ≥2．当 a <0 时，A ={x ∣∣2a<x <1a}，因为 A ⊆B ，如图， 所以 {a <0,2a ≥−1,1a≤1,所以 a ≤−2．综上所述，a 的取值范围是 {a ∣a =0或a ≥2或a ≤−2}．【知识点】包含关系、子集与真子集22. 【答案】由题意可知，a =1 或 a 2=a ．（1）若 a =1，则 a 2=1，这与 a 2≠1 相矛盾，故 a ≠1．（2）若 a 2=a ，则 a =0 或 a =1（舍去），又当 a =0 时，A 中含有元素 1 和 0，满足集合中元素的互异性，符合题意． 综上可知，实数 a 的值为 0．【知识点】元素和集合的关系、集合中元素的三个特性23. 【答案】(1) A =(−2,2)； 当 a =1 时，B =(−1,2)， 所以 A ∩B =(−1,2)．(2) A =(−2,2)，B =(−a,2a )，由 B ⊆A ，得不等式组：{−a ≥−2,2a ≤2, 解得 a ≤1，又因为 a >0， 所以 0<a ≤1．【知识点】交、并、补集运算、包含关系、子集与真子集24. 【答案】对任意的 x 1,x 2∈R ，都有 f (x 1)≤g (x 2) 成立，即 f (x )max ≤g (x )min ．观察 f (x )={−x 2+x,x ≤1log 13x,x >1 的图象可知，当 x =12 时，函数 f (x )max =14．因为 g (x )=∣x −k∣+∣x −2∣≥∣x −k −(x −2)∣=∣k −2∣， 所以 g (x )min =∣k −2∣，所以 ∣k −2∣≥14，解得 k ≤74或 k ≥94．故实数 k 的取值范围是 (−∞,74]∪[94,+∞)．【知识点】函数的最大（小）值、分段函数25. 【答案】(1) 令 x =y ≠0，则 f (1)=f (x )−f (y )=0，再令 x =1，y =−1 可得 f (−1)=f (1)−f (−1)=−f (−1)， 所以 f (−1)=0．令 y =−1 可得 f (−x )=f (x )−f (−1)=f (x )，所以f(x)是偶函数．(2) 因为f(2)=f(4)−f(2)，所以f(2)=12f(4)=1，又f(x−5)−f(3x )=f(x2−5x3)，所以f(x 5−5x3)≤f(2)，因为f(x)是偶函数，在(0,+∞)上单调递增，所以−2≤x 2−5x3≤2，且x2−5x3≠0，解得−1≤x<0或0<x≤2或3≤x<5或5<x≤6．所以不等式的解集为{x∣ −1≤x<0或0<x≤2或3≤x<5或5<x≤6}．【知识点】函数不等式的解法、函数的单调性、函数的奇偶性26. 【答案】(1) 由题意知，当燕子静止时，它的速度v=0，代入题中公式，可得0=5log2O10，解得O= 10个单位．(2) 将耗氧量O=40代入题中公式，得v=5log24010=5log24=10(m/s)．【知识点】函数模型的综合应用27. 【答案】（1）（2）（3）（4）（8）为幂函数，（5）（6）（7）不是幂函数．【知识点】幂函数及其性质28. 【答案】p(x)=x3，定义域为R．其大致图象如下：【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数图象29. 【答案】区间是表示数集的一种形式，因此对于集合的运算仍然成立；区间表示连续的数集，左端点必须小于右端点，开或闭不能混淆；∞是一个符号，而不是一个数，以“−∞”或“+∞”作为区间的一端时，这端必须用小括号．【知识点】函数的相关概念30. 【答案】设应将每件商品定价为x元，其月利润为y元，由题意得：y=(x−40)⋅[500−(x−50)×10]=−10x2+1400x−40000.=70时，y max=9000．当x=−14002×(−10)答：商店为使销售该商品的月利润最高，每件商品应定价70元．【知识点】函数模型的综合应用11。

高一数学上学期必修第一册期末考试复习训练卷（人教版）一、单选题1．已知集合305x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，集合{}46B x x =<<，则A B =（ ）A ．()3,6B ．[)3,6C ．(]4,5D ．()4,52．已知角α的终边与单位圆的交于点1,2P y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=( )A ．-B ．±C ．32-D ．32±3．下列命题中的真命题是（ ） A ．x N ∀∈，21x ≥B ．命题“,,2b aa b R a b∃∈+>”的否定 C ．“直线1l 与直线2l 垂直”的充要条件是“它们的斜率之积一定等于-1”D ．“1m >-”是“方程22121x y m m -=++表示双曲线”的充分不必要条件4．若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是（ ） A ．21log ()2a ba ab b +<<+ B ．21log ()2a b a a b b<+<+ C ．()21log 2a b a b a b<+<+ D ．()21log 2aba b a b +<+< 5．已知定义在[]1,2a a -上的偶函数()f x ，且当[]0,2x a ∈时，()f x 单调递减，则关于x 的不等式()()123f x f x a ->-的解集是（ ）A ．2(0,)3B ．15,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12(,]33D ．25(,36]6．若函数()1,121,14xxx f x a x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+≥⎪⎪⎝⎭⎩的值域为(),a +∞，则a 的取值范围为（ ） A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,14⎛⎤⎥⎝⎦7．已知函数()22sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（ ）A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 在区间()0,π上只有1个零点C ．()f x 的最小正周期为2πD ．3x π=为()f x 图象的一条对称轴二、多选题8．已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．4ab ≤B ．111a b+≥ C ．2216a b +≥ D ．228a b +≥9．已知函数1()cos cos 632f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以下说法中正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．51,62π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D ．当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x10．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，当[)0,2x ∈时，()21=-xf x ，给出下列结论，其中正确的是（ ）A ．(2)0f =B ．点(4,0)是函数()y f x =的图象的一个对称中心C ．函数()y f x =在[6,2]--上单调递增D ．函数()y f x =在[6,6]-上有3个零点11．已知函数()(sin cos )sin cos f x x x x x =+-，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 是周期函数B ．若()()122f x f x +=，则12k 2x x π+=()k ∈Z C ．()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．函数()()1g x f x =+在区间[0,2]π上有且仅有1个零点12．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，在(,0)-∞上单调递减，且(3)(6)0f f -⋅<，那么下列结论中正确的是( )A ．()f x 可能有三个零点B ．(3)(4)0f f ⋅-C ．(4)(6)f f -<D ．(0)(6)f f <-三、填空题13．151lg 2lg 222-⎛⎫+- ⎪⎝⎭=______．14．已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____.15．已知函数12xy a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过原点，且无限接近直线1y =但又不与该直线相交，则a b -=______． 16．关于函数()12log 1f x x =-，有以下四个命题：①函数()f x 在区间(),1-∞上是单调增函数；②函数()f x 的图象关于直线1x =对称；③函数()f x 的定义域为()1,+∞；④函数()f x 的值域为R .其中所有正确命题的序号是________.17．设函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象关于直线23x π=对称，它的周期为π，则下列说法正确是________（填写序号）①()f x 的图象过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；②()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； ③()f x 的一个对称中心是5,012π⎛⎫⎪⎝⎭； ④将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度得到函数2sin 2y x =的图象.四、解答题18．设集合{}22210A x x mx m =-+-≤，{}2450B x x x =--≤. （1）若5m =，求AB ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 19．已知函数()222y ax a x =-++，a R ∈（1）32y x <-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当0a >时，求不等式0y ≥的解集；（3）若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有四个不同的实根，求实数a 的取值. 20．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()232f x x ax a =++-. （1）求()f x 的解析式；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.21．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<. （1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.22．已知函数2())2sin 1(0,0)2x f x x πωϕωϕωϕ+⎛⎫++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2. （1）当[,]24ππx ∈-时，求()f x 的单调递减区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12 （纵坐标变），得到函数()y g x =的图象，当[,]126ππx ∈-时，求函数()g x 的值域. （3）（*）对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4[,]63ππx ∈上的根从小到依次为1x ，2x ，n x ，试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++的值.参考答案1．D因为305x x -≤-，所以()()35050x x x ⎧--≤⎨-≠⎩， 所以35x ≤<，所以[)3,5A =又因为()4,6B =，所以()4,5A B ⋂=， 2．C解：∵点1,2P y ⎛⎫-⎪⎝⎭在单位圆上，y ∴=，则由三角函数的定义可得得1cos ,sin 2αα=-=则23sin 34sin ?tan .1cos 22αααα===--3．D对于选项A ，当0x =时，21x ≥不成立，故A 错误；对于选项B ，命题“,a b R ∃∈，2b a a b+>”的否定是“,,2b aa b R a b ∀∈+≤”，当3,1a b ==不成立，故B 错误；对于选项C ，当一直线斜率为0，另一直线斜率不存在时， “它们的斜率之积一定等于-1”不成立，故C 错误；对于选项D ，由方程22121x y m m -=++表示双曲线等价于(2)(1)0m m ++>，即2m <-或1m >-，所以“1m >-”是“方程22121x y m m -=++表示双曲线”的充分不必要条件，故D正确． 4．C由0a b >>，且1ab =知：0121ab a <<，，∴2a b +>=，122a a b+=>，12a b<，∴2log ()1a b +>，而12222a aba ab +=>>+，即21log ()a a b b+>+， 综上，有21log ()2a b a a b b +>+>. 5．D由题意，定义在[]1,2a a -上的偶函数()f x ，可得120a a -+=，解得13a =， 即函数()f x 的定义域为22[,]33-， 又由函数当[]0,2x a ∈时，()f x 单调递减， 则不等式()()123f x f x a ->-可化为()()123fx f x a ->-，可得不等式组12322133222133x x a x x ⎧⎪-<-⎪⎪-≤-≤⎨⎪⎪-≤-≤⎪⎩，解得2536x <≤，即不等式的解集为25(,36].故选：D. 6．B当1x <时，()1,212xf x ⎛⎫∈+∞⎛ ⎪⎝⎫= ⎪⎭⎭⎝ 当1≥x 时，()114,4xf x a a a ⎛⎤∈+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ⎥⎝⎦函数()f x 的值域为(),a +∞114212a a ⎧+≥⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩，即11,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 7．D函数()22sin cos cos 2cos2f x x x x x x x =+-=-12cos 2)2sin(2)26x x x π=-=-， 可得()f x 的最大值为2，最小正周期为22T ππ==，故A 、C 错误； 由()0f x =可得2,6x k k π-=π∈Z ，即,212k x k Z ππ=+∈， 可知()f x 在区间()0,π上的零点为7,1212ππ，故B 错误；由2()2sin()2336f πππ=-=，可知3x π=为()f x 图象的一条对称轴，故D 正确.8．ABDA ．因为4a b +=，所以4≤，所以4ab ≤，取等号时2a b ==，故正确；B ．因为1141a b a b ab ab++==≥，取等号时2a b ==，故正确； C．因为228a b +≥==，取等号时2a b ==，故错误；D 2a b+，所以228a b +≥，取等号时2a b ==，故正确. 9．ABC依题意()11cos sin sin cos 6232662f x x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111sin 2sin 2232232x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期为22ππ=，A 选项正确. 由32232x πππ≤+≤，解得71212x ππ≤≤，所以()f x 在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项正确.51511sin 623322f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以51,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 选项正确.由于11sin 1122632f πππ⎛⎫⎛⎫=++=>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 选项错误. 10．AB在(4)()(2)f x f x f +=+中，令2x =-，得(2)0f -=，又函数()y f x =是R 上的奇函数，所以(2)(2)0f f =-=，(4)()f x f x +=，故()y f x =是一个周期为4的奇函数，因(0,0)是()f x 的对称中心，所以(4,0)也是函数()y f x =的图象的一个对称中心，故A 、B 正确；作出函数()f x 的部分图象如图所示，易知函数()y f x =在[6,2]--上不具单调性，故C 不正确；函数()y f x =在[6,6]-上有7个零点，故D 不正确.11．AB由题意，函数()cos 2,sin cos (sin cos )sin cos cos 2,sin cos x x xf x x x x x x x x -≥⎧=+-=⎨<⎩，对于A 中，函数(2)[sin(2)cos(|2|)]sin(2)cos(2)()f x x x x x f x πππππ+=++++-+=， 可得()f x 是周期为2π的函数，故A 正确；对于B 中，因为()()122f x f x +=，可得()()121f x f x ==，则有()()121f x f x ==，此时可得112x k π=，222x k π=()12,k k Z ∈，可得()12122k k x x π++=，故B 正确；对于C 中，由(0)12f f π⎛⎫==⎪⎝⎭，可得()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦一定不是单调函数，所以C 错误； 对于D 中，可知3()12f f ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，可得x π=和32x π=是函数()f x 的零点， 12．AC因为()f x 是偶函数，又(3)(6)0f f -⋅<，所以(3)(6)0f f ⋅<.又()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()f x 在(0,)+∞上有一个零点，且(3)0,(6)0f f <>.所以函数()f x 在(,0)(0,)-∞+∞上有两个零点.但是(0)f 的值没有确定，所以函数(0)f 可能有三个零点，所以A 项正确；又(4)(4),4(3,6)f f -=∈，所以(4)f -的符号不确定，所以B 项不正确；C 项显然正确；由于(0)f 的值没有确定，所以(0)f 与(6)f -的大小关系不确定，所以D 项不正确.故选：AC.13．1- 试题分析：15155lg 2lg 2()lg lg 42lg(4)2lg1021212222-+-=+-=⨯-=-=-=-． 14．13221sin ())(1sin 2)42παααα+==+ 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 15．2-由于函数12x y a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象无限接近直线1y =但又不与该直线相交，则1b =， 又函数12x y a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过原点，则01102a ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得1a =-， 因此，2a b -=-.16．①②④函数()12log 1f x x =-在区间(1,)+∞上单调递减，在区间(,1)-∞上单调递增，所以①正确；函数()12log 1f x x =-，函数的图象关于直线1x =对称，所以②正确；函数()12log 1f x x =-的定义域是{}|1x x ≠，所以③不正确；函数()12log 1f x x =-，函数的值域是实数集，所以④正确.故答案为：①②④.17．③函数()()2sin 0,0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是π，所以22πωπ==，则()()2sin 2f x x ϕ=+，又()()2sin 2f x x ϕ=+图象关于直线23x π=对称， 所以对称轴为2,2x k k Z πϕπ+=+∈，代入可得22,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得5,6k k Z πϕπ=-+∈， 因为0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当1k =时， 6π=ϕ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 对于①，当0x =时，()02sin 16f π==，()f x 的图象不过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以①不正确； 对于②，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 当0k =时，263x ππ≤≤，又因为126ππ<，则()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是减函数，所以②错误； 对于③，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心为2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，当1k =时，512x π=，所以5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，所以③正确； 对于④，将()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移6π个单位长度，可得2sin 22sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以不能得到2sin 2y x =的图象，所以④错误. 综上可知，正确的为③.18．（1）{|45}A B x x ⋂=≤≤；（2）04m ≤≤；{}2450{|15}B x x x x x =--≤=-≤≤，（1）5m =时，{}210240{|46}A x x x x x =-+≤=≤≤， ∴{|45}A B x x ⋂=≤≤；（2）“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，即A ⫋B ， 又{}22210{|11}A x x mx m x m x m =-+-≤=-≤≤+且11m m -<+， ∴1115m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得04m ≤≤；19．（1）(4,0]-；（2）当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a ≤或1}x ≥；（3）(,4-∞-- （1）由题有()22232ax a x x -++<-恒成立，即210ax ax -+-<恒成立，当0a =时，10-<恒成立，符合题意；当0a ≠时，则2040a a a <⎧⎨∆=+<⎩，得040a a <⎧⎨-<<⎩，得40a ， 综合可得40a . （2）由题2(2)20,ax a x -++≥ 即 (2)(1)0ax x --≥,由0,a >则2()(1)0x x a --=，且221a a a--= ①当02a <<时，21>a ，不等式的解集为 {1x x ≤∣或2}x a ≥; ②当2a =时，不等式的解集为R③当2a >时，21a<，不等式的解集为 {2x x a ≤∣或1}x ≥; 综上可得：当02a <<时，不等式的解集为 {|1x x ≤或2}x a ≥；当2a =时，不等式的解集为R ；当2a >时，不等式的解集为 2{|x x a≤或1}x ≥； （3）当 0m > 时，令1113t m m =++≥=, 当且仅当1m =时取等号，则关于x 的方程(||)f x t = 可化为2||(2)||20a x a x t -++-=,关于x 的方程 2||(2)||20a x a x t -++-= 有四个不等实根， 即2(2)20ax a x t -++-=有两个不同正根， 则 2(2)4(2)0(1)20(2)20(3)a a t a a t a ⎧⎪∆=+-->⎪+⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩由（3）得0a <，再结合（2）得2a <-，由 (1) 知,存在 [3,)t ∈+∞ 使不等式24(2)80at a a ++->成立， 故243(2)80a a a ⨯++->,即 2840,a a ++>解得4a <--或4a >-+综合可得4a <--20．（1）()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 解：（1）因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，当0x <时，0x ->，则()()()232f x x a x a -=-+-+-()232x ax a f x =-+-=-， 所以()()2320x ax a f x x =-+-+<， 所以()2232,00,032,0x ax a x f x x x ax a x ⎧++->⎪==⎨⎪-+-+<⎩.（2）若()f x 是R 上的单调函数，且()00f =，则实数a 满足02320a a ⎧-≤⎪⎨⎪-≥⎩， 解得302a ≤≤， 21．（1）（－3，1）；（2）1-±（3）2. （1）由已知得1030x x ->⎧⎨+>⎩，解得31x -<<所以函数()f x 的定义域为（－3，1）.（2）()2()log (1)log (3)log (1)(3)log 23a a a a f x x x x x x x =-++=-+=--+，令()0f x =，得2231x x --+=，即2220x x +-=，解得1x =-∵1(3,1)-±-，∴函数()f x 的零点是1-±（3）由（2）知，()22()log 23log (1)4a a f x x x x ⎡⎤=--+=-++⎣⎦， ∵31x -<<，∴20(1)44x <-++≤. ∵01a <<，∴2log (1)4log 4a a x ⎡⎤-++≥⎣⎦，∴min ()log 44a f x ==-，∴1442a -==.22．（1）[,]24ππ--； （2）[-； （3）5n =，203π.（1）由题意，函数2())2sin 12x f x x ωϕωϕ+⎛⎫++- ⎪⎝⎭)cos()2sin()6x x x πωϕωϕωϕ=+-+=+- 因为函数()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2，所以T π=，可得2w =， 又由函数()f x 为奇函数，可得()02sin()06f πϕ=-=， 所以,6k k Z πϕπ-=∈，因为0πϕ<<，所以6π=ϕ，所以函数()2sin 2f x x =， 令3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈，解得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 可函数()f x 的递减区间为3[,],44k k k Z ππππ++∈，再结合[,]24ππx ∈-，可得函数()f x 的减区间为[,]24ππ--. （2）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，可得2sin(2)3y x π=-的图象， 再把横坐标缩小为原来的12，得到函数()2sin(4)3y g x x π==-的图象， 当[,]126ππx ∈-时，24[,]333x πππ-∈-， 当432x ππ-=-时，函数()g x 取得最小值，最小值为2-，当433x ππ-=时，函数()g x故函数()g x 的值域[-.（3）由方程4()3g x =，即42sin(4)33x π-=，即2sin(4)33x π-=， 因为4[,]63ππx ∈，可得4[,5]33πx ππ-∈， 设43x πθ=-，其中[,5]3πθπ∈，即2sin 3θ=， 结合正弦函数sin y θ=的图象，可得方程2sin 3θ=在区间[,5]3ππ有5个解，即5n =， 其中122334453,5,7,9θθπθθπθθπθθπ+=+=+=+=， 即12233445443,445,447,44933333333x x x x x x x x ππππππππππππ-+-=-+-=-+-=-+-= 解得1223344511172329,,,12121212x x x x x x x x ππππ+=+=+=+= 所以122331443552420()()()()2223x x x x x x x x x x x x x π=+++++++=+++++.。

人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1.函数y=√3sin2x+cos2x的最小正周期为( )A．π2B．2π3C．πD．2π2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A．2kπ+45∘(k∈Z)B．k⋅360∘+9π4(k∈Z)C．k⋅360∘−315∘(k∈Z)D．kπ+5π4(k∈Z)3.在下列不等式中，解集为∅的是( )A．2x2−3x+2>0B．x2+4x+4>0C．4−4x−x2<0D．−2+3x−2x2>04.tan5π6的值为( )A．−12B．−√33C．−√32D．−√35.已知集合M={2,m}，N={1,2,3}，则“m=3”是“M⊆N”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6.已知集合A={−1,0,1}，B={−2,1}，则A∩B=( )A．∅B．1C．{1}D．{−2,−1,0,1}7.如果函数f(x)=a x(a>1)的图象经过点A(3,8)，那么实数a的值为A．2B．3C．4D．248.若θ是△ABC的一个内角，且sinθcosθ=−18，则sinθ−cosθ的值为( )A．−√32B．√32C．−√52D．√529.命题“∀x>0，x2+x>0”的否定是( )A．∃x>0，x2+x>0B．∃x>0，x2+x≤0C．∀x>0，x2+x≤0D．∀x≤0，x2+x>010.已知集合A={x∣ −6<x<7}，A∩B={x∣ −4<x<7}，则集合B可能为( )A．{x∣ −6<x<7}B．{x∣ −4<x<8}C．{x∣ −4<x<5}D．{x∣ −6<x<8}二、填空题（共10题）)=．11.求值：tan(−π412.函数y=log2(x2−1)的单调递减区间是．13.函数y=√7+6x−x2的定义域是．14.集合的分类（1）有限集：含有个元素的集合叫做有限集．（2）无限集：含有个元素的集合叫做无限集．规定：元素的集合叫做空集，记作∅．15.设集合A={1,2,3}，集合B={3,4}，则A∩B=．16.设全集U=R，集合A={−1,0,1,2,3}，B={x∣ x≥2}，则A∩∁U B=．17.已知U={1,2,3,4,5}，A={1,3,5}，则∁U A=．18.方程(√2+1)x+1=0的解集为．19.函数y=1的单调递减区间是．x20.函数y=f(x)的图象如图所示在，则函数y=f(x)的单调增区间是．三、解答题（共10题）21.把下列各式中的对数式化为指数式，指数式化为对数式．(1) 5−2=125；(2) 8x=30；(3) 3x=1；(4) log139=−2；(5) x=log610；(6) x=ln13；(7) 3=lgx．22.常见分式不等式的转化思路．f(x)g(x)>0⇔f(x)⋅g(x)>0；f(x)g(x)<0⇔f(x)⋅g(x)<0；f(x) g(x)≥0⇔{f(x)⋅g(x)≥0,g(x)≠0;f(x) g(x)≤0⇔{f(x)⋅g(x)≤0,g(x)≠0.问题：分式不等式解题的方法是什么？23.已知A={x∣ x2+x−6≤0}，B={x∣ 3−m≤x≤m+5}．(1) 若A∩B=A，求m的取值范围；(2) 若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求m的取值范围．24.已知f(α)=sin(α−3π)cos(2π−α)sin(−α+3π2) cos(−π−α)sin(−π−α)．(1) 化简f(α)；(2) 若α是第三象限角，且cos(α−3π2)=15，求f(α)的值；(3) 若α=−31π3，求f(α)的值．25.已知函数f(x)=∣x−1∣，x∈R，A={x∣ f(x)−1>0}，B={x∣∣x−3x+2<0}．(1) 求集合A∩B；(2) 若 a ≠0，比较 ∣f (2a +1)∣2 与 ∣f (1−a )∣2 的大小．26. 求 22+log 23+32−log 39 的值．27. 已知集合 A ={x∣2−a ≤x ≤2+a }，B ={x ∣∣x ≤1或x ≥4}．(1) 当 a =3 时，求 A ∩B ；(2) 若 A ∩B =∅，求实数 a 的取值范围．28. 已知函数 f (x )=a x (x ≥0) 的图象经过点 (2,14)，其中 a >0 且 a ≠1．(1) 求 a 的值；(2) 求函数 y =f (x )+1(x ≥0) 的值域．29. 判断下列函数是否为幂函数．（1）y =x 4；（2）y =1x 2；（3）y =x −2；（4）y =x 12；（5）y =2x 2；（6）y =x 3+2；（7）y =1；（8）y =√x ．30. 已知 sinα−sinβ=1−√32，cosα−cosβ=12，求 cos (α−β) 的值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】y=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，从而最小正周期T=2π2=π．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质2. 【答案】C【知识点】弧度制3. 【答案】D【知识点】二次不等式的解法4. 【答案】B【解析】诱导公式tan5π6=tan(π−π6)=−tanπ6=−√33．【知识点】诱导公式5. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件6. 【答案】C【解析】因为A={−1,0,1}，B={−2,1}，所以A∩B={1}．故选C．【知识点】交、并、补集运算7. 【答案】A【知识点】幂的概念与运算8. 【答案】D【知识点】同角三角函数的基本关系9. 【答案】B【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以排除C，D；x2+x>0的否定为x2+x≤0，所以排除A，故选B．【知识点】全（特）称命题的否定10. 【答案】B【知识点】交、并、补集运算二、填空题（共10题）11. 【答案】−1【知识点】诱导公式12. 【答案】(−∞,−1)【知识点】函数的单调性13. 【答案】[−1,7]【解析】要使函数有意义，则7+6x−x2≥0，解得−1≤x≤7，则函数的定义域是[−1,7]．【知识点】函数的定义域的概念与求法14. 【答案】有限；无限；不含任何【知识点】集合的概念15. 【答案】{3}【知识点】交、并、补集运算16. 【答案】{−1,0,1}【知识点】交、并、补集运算17. 【答案】{2,4}【解析】由补集定义，∴∁U A={2,4}．【知识点】交、并、补集运算18. 【答案】{1−√2}【知识点】集合的表示方法19. 【答案】(−∞,0)和(0,+∞)【知识点】函数的单调性20. 【答案】(−∞,1]和(1,+∞)【解析】结合函数单调性定义，知y=f(x)在(−∞,1]上单调递增，在(1,+∞)上单调递增．【知识点】函数的单调性三、解答题（共10题） 21. 【答案】(1) −2=log 5125；(2) x =log 830； (3) x =log 31； (4) (13)−2=9；(5) 6x =10； (6) e x =13； (7) 103=x ．【知识点】对数的概念与运算22. 【答案】分式不等式解题的方法是化为整式不等式，利用的原理是符号法则，但不要忽略分式不等式的分母不为 0 的条件．【知识点】不等式的性质23. 【答案】(1) A ={x∣ x 2+x −6≤0}={x∣ −3≤x ≤2}，B ={x∣ 3−m ≤x ≤m +5}，因为 A ∩B =A ，所以 {3−m ≤−3,m +5≥2.解得 m ≥6，则 m 的取值范围为 [6,+∞)．(2) 因为 x ∈B 是 x ∈A 的充分不必要条件，所以 B ⫋A . 当 B =∅ 时，则 3−m >m +5，解得 m <−1； 当 B ≠∅ 时，{m ≥−1,3−m ≥−3,m +5≤2, 此时无解，综上，实数 m 的取值范围是 (−∞,−1)．【知识点】交、并、补集运算、充分条件与必要条件24. 【答案】(1)f (α)=sin (α−3π)cos (2π−α)sin(−α+3π2)cos (−π−α)sin (−π−α)=(−sinα)cosα(−cosα)(−cosα)sinα=−cosα.(2) 因为 cos (α−3π2)=−sinα，所以 sinα=−15， 又 α 是第三象限角， 所以 cosα=−√1−(15)2=−2√65， 所以 f (α)=2√65．(3) 因为 −31π3=−6×2π+5π3，所以f (−31π3)=−cos (−31π3)=−cos (−6×2π+5π3)=−cos 5π3=−cos π3=−12,所以 f (α)=−12．【知识点】诱导公式、同角三角函数的基本关系25. 【答案】(1) 由 f (x )>1，得 ∣x −1∣>1，所以 x >2 或 x <0， 故 A =(−∞,0)∪(2,+∞)， 又 B =(−2,3)，所以 A ∩B =(−2,0)∪(2,3)． (2) 由 f (x )=∣x −1∣，得： [f (2a +1)]2−[f (1−a )]2=(2a +1−1)2−(1−a −1)2=3a 2, 又 a ≠0， 所以 3a 2>0，即 [f (2a +1)]2>[f (1−a )]2．【知识点】不等式的性质、交、并、补集运算26. 【答案】 22+log 23+32−log 39=22×2log 23+323log 39=4×3+99=12+1=13． 【知识点】对数的概念与运算27. 【答案】(1) 当 a =3 时，A ={x∣−1≤x ≤5}，B ={x ∣∣x ≤1或x ≥4}，所以 A ∩B ={x ∣∣−1≤x ≤1或4≤x ≤5}．(2) ①若 A =∅，则 2−a >2+a ，解得 a <0，满足 A ∩B =∅； ②若 A ≠∅，则 2−a ≤x ≤2+a ， 所以 a ≥0． 因为 A ∩B =∅， 所以 {2−a >1,2+a <4,解得 0≤a <1．综上，实数 a 的取值范围是 (−∞,1)． 【知识点】交、并、补集运算28. 【答案】(1) 因为函数 f (x )=a x (x ≥0) 的图象经过点 (2,14)， 所以 a 2=14，a =12．(2) 由（1）得 f (x )=(12)x(x ≥0)，函数为减函数， 当 x =0 时，函数取最大值 1，故 f (x )∈(0,1]， 所以函数 y =f (x )+1=(12)x +1(x ≥0)∈(1,2]， 故函数 y =f (x )+1(x ≥0) 的值域为 (1,2]． 【知识点】指数函数及其性质29. 【答案】（1）（2）（3）（4）（8）为幂函数，（5）（6）（7）不是幂函数．【知识点】幂函数及其性质30. 【答案】 由 sinα−sinβ=1−√32，①cosα−cosβ=12，②①2+ ②2得 2−2cos (α−β)=2−√3．所以 cos (α−β)=√32． 【知识点】两角和与差的余弦。

人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1. 设方程 x 3=22−x 的解为 x 0，则 x 0 所在的大致区间是 ( ) A ． (0,1) B ． (1,2) C ． (2,3) D ． (3,4)2. 函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，且满足 f (x +2)=f (x )，当 x ∈[0,1] 时，f (x )=2x ，若在区间 [−2,3] 上，方程 ax +2a −f (x )=0 恰有四个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． (0,25)B ． (25,23)C ． [25,23]D ． (23,1)3. 已知 f (x )，g (x ) 都是偶函数，且在 [0,+∞) 上单调递增，设函数 F (x )=f (x )+g (1−x )−∣f (x )−g (1−x )∣，若 a >0，则 ( ) A ．F (−a )≥F (a ) 且 F (1+a )≥F (1−a ) B ．F (−a )≥F (a ) 且 F (1+a )≤F (1−a ) C ．F (−a )≤F (a ) 且 F (1+a )≥F (1−a ) D ．F (−a )≤F (a ) 且 F (1+a )≤F (1−a )4. 下列函数在 R 上是增函数的为 ( ) A ． y =2x B ． y =x −1 C ． y =x 2D ． y =lnx5. 设 x ∈R ，则“∣x +2∣+∣x −1∣≤5”是“−2≤x ≤3”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知 f (x ) 为奇函数，且当 x <0 时，f (x )=x 2+4x +1，若当 x ∈[1,4] 时，a ≤f (x )≤b 恒成立，则 b −a 的最小值为 ( ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 67. 设 a ，b ，c 均为不等于 1 的正实数，则下列等式中恒成立的是 ( ) A ． log a b ⋅log c b =log c a B ． log a b ⋅log c a =log c b C ． log a (bc )=log a b ⋅log a cD ． log a (b −c )=log a b −log a c8. 函数 f (x )=2sinx −sin2x 在 [0,2π] 的零点个数为 ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 59. 已知 f (x )={x2+1,x ≤0∣log 2019x ∣,x >0，若存在三个不同实数 a ，b ，c 使得 f (a )=f (b )=f (c )，则abc 的取值范围是 ( ) A ． (0,1] B ． [−2,0) C ． (−2,0] D ． (0,1)10. 命题“对任意的 x ∈R ，x 3−x 2+1≤0”的否定是 ( ) A ．不存在 x ∈R ，x 3−x 2+1≤0 B ．存在 x ∈R ，x 3−x 2+1≤0 C ．对任意的 x ∈R ，x 3−x 2+1>0D ．存在 x ∈R ，x 3−x 2+1>0二、填空题（共10题）11. 若函数 f (x ) 的图象与函数 g (x )=(12)x的图象关于直线 y =x 对称，则 f (2x −x 2) 的单调递减区间为 ．12. 已知集合 A ={0,1,2,3,4}，记 M ⊆A ，则 M 中各元素之和为 N M = ．13. 函数 f (x )=∣4x −x 2∣−a 有四个零点，则 a 的取值范围是 ．14. 已知函数 f (x )={√4−x 2,x ∈(−2,2]1−∣x −3∣,x ∈(2,4]，满足 f (x −3)=f (x +3)，若在区间 [−4,4] 内关于x 的方程 3f (x )=k (x −5) 恰有 4 个不同的实数解，则实数 k 的取值范围是 ．15. 函数 y =3cosx+1cosx+2的值域为 ．16. −823+log 3√27+2lg5+lg4+7log 72= ．17. 函数 y =x 2+2ax −2 在 x ∈[1,+∞) 上单调增，则 a 的范围是 ．18. 已知函数 f (x )={log 3x,x >09x ,x <0，则 f [f (13)]= ．19. 已知函数 f (x )={∣5x −1∣,x <18x+1,x ≥1，若方程 f(f (x ))=a 恰有 5 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为 ．20. 设每门高射炮命中飞机的概率为 0.06，且每一门高射炮是否命中飞机是独立的，若有一敌机来犯，则需要 门高射炮射击，才能以至少 99% 的概率命中它．三、解答题（共10题）21. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (xy )=f (x )+f (y )．(1) 求证：f (1)=f (−1)=0； (2) 求证：f (x ) 为偶函数22. 已知函数 f (x )=lg (3+x )+lg (3−x )．(1) 求函数 f (x ) 的定义域；(2) 判断函数 f (x ) 的奇偶性，并说明理由．23. 已知函数 f (x )=(12)ax，a 为常数，且函数的图象过点 (−1,2)．(1) 求 a 的值；(2) 若 g (x )=4−x −2，且 g (x )=f (x )，求满足条件的 x 的值．24. 对于一个非空集合 A ，如果集合 D 满足如下四个条件：① D ⊆{(a,b )∣a ∈A,b ∈A }； ② ∀a ∈A ，(a,a )∈D ；③ ∀a,b ∈A ，若 (a,b )∈D 且 (b,a )∈D ，则 a =b ； ④ ∀a,b,c ∈A ，若 (a,b )∈D 且 (b,c )∈D ，则 (a,c )∈D ， 则称集合 D 为 A 的一个偏序关系．(1) 设 A ={1,2,3}，判断集合 D ={(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)} 是不是集合 A 的偏序关系，请你写出一个含有 4 个元素且是集合 A 的偏序关系的集合 D ． (2) 证明 R ≤={(a,b )∣ a ∈R,b ∈R,a ≤b } 是实数集 R 的一个偏序关系．(3) 设 E 为集合 A 的一个偏序关系，a,b ∈A ，若存在 c ∈A ，使得 (c,a )∈E ，(c,b )∈E ，且∀d ∈A ，若 (d,a )∈E ，(d,b )∈E ，一定有 (d,c )∈E ，则称 c 是 a 和 b 的交，记为 c =a ∧b ．证明：对 A 中的两个给定元素 a ，b ，若 a ∧b 存在，则一定唯一．25. 设集合 A ={x∣ −1≤x ≤2}，B ={x∣ m −1<x <2m +1}．(1) 若 B ⊆A ，求实数 m 的取值范围；(2) 设实数集为 R ，若 B ∩(∁R A ) 中只有一个整数 −2，求实数 m 的取值范围．26. 已知 a <0，解关于 x 的不等式 ax 2−(a −2)x −2<0．27. 对定义域是 D f ，D g 的函数 y =f (x )，y =g (x )，规定：函数 ℎ(x )={f (x )g (x ),当x ∈D f 且x ∈D g f (x ),当x ∈D f 且x ∉D g g (x ),当x ∉D f 且x ∈D g．(1) 若函数 f (x )=1x−1，g (x )=x 2，写出函数 ℎ(x ) 的解析式； (2) 求问题（1）中函数 ℎ(x ) 的值域；(3) 若 g (x )=f (x +m )，其中 m 是大于 0 的常数，请设计一个定义域为 R 的函数 y =f (x )，及一个 m 的值，使得 ℎ(x )=4x ．28. 用适当的方法表示下列集合：(1) 方程 (x +1)(x −23)2(x 2−2)(x 2+1)=0 的有理根组成的集合 A ； (2) 被 3 除余 1 的自然数组成的集合； (3) 坐标平面内，不在第一、三象限的点的集合； (4) 自然数的平方组成的集合．29. 已知函数 f (x )={x +1x ,x ∈[−2,−1)−2,x ∈[−1,12)x −1x ,x ∈[12,2]． (1) 判断当 x ∈[−2,1) 时，函数 f (x ) 的单调性，并用定义证明之； (2) 求 f (x ) 的值域；(3) 设函数 g (x )=ax −2，x ∈[−2,2]，若对于任意 x 1∈[−2,2]，总存在 x 0∈[−2,2]，使g (x 0)=f (x 1) 成立，求实数 a 的取值范围．30. 已知集合 X ={x 1,x 2,⋯,x 8} 是集合 S ={2001,2002,2003,⋯,2016,2017} 的一个含有 8 个元素的子集．(1) 当 X ={2001,2002,2005,2007,2011,2013,2016,2017} 时，设 x i ,x j ∈X (1≤i,j ≤8)，（i ）写出方程 x i −x j =2 的解 (x i ,x j )；（ii ）若方程 x i −x j =k (k >0) 至少有三组不同的解，写出 k 的所有可能取值；(2) 证明：对任意一个 X ，存在正整数 k ，使得方程 x i −x j =k (1≤i,j ≤8) 至少有三组不同的解．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【解析】令 f (x )=x 3−22−x ，则 f (1)=1−2=−1<0，f (2)=23−22−2=8−1=7>0， 所以 f (1)f (2)<0，所以函数 f (x ) 在区间 (1,2) 内有零点， 所以方程 x 3=22−x 的解为 x 0，则 x 0 所在的大致区间是 (1,2)． 【知识点】零点的存在性定理2. 【答案】B【解析】将方程转化为 a (x +2)=f (x )，于是问题转化为函数 y =f (x ) 与 y =a (x +2) 的图象的交点问题．在同一坐标系中作出函数 y =f (x ) 与 y =a (x +2) 的图象，如图所示，y =a (x +2) 为过 (−2,0) 的直线，此直线在 [−2,3] 上与函数 y =f (x ) 有 4 个不同的交点，只需满足 {3a <f (1)=2,5a >f (3)=2,解得 25<a <23，故选B ．【知识点】函数的零点分布3. 【答案】A【解析】F (x )={2g (1−x ),f (x )≥g (1−x )2f (x ),f (x )<g (1−x )，所以 F (a )={2g (1−a ),f (a )≥g (1−a )2f (−a ),f (a )<g (1−a )，F (−a )={2g (1+a ),f (a )=f (−a )≥g (1+a )2f (−a ),f (a )=f (−a )<g (1+a )，因为 a >0，(a +1)2−(a −1)2=4a >0， 所以 ∣1+a∣>∣1−a∣，g (1+a )>g (1−a )，所以若 f (a )>g (1+a )，则 F (−a )=2g (1+a )，F (a )=2g (1−a )，所以 F (−a )>F (a )；若 g (1−a )≤f (a )≤g (1+a )，则 F (−a )=2f (−a )=2f (a )，F (a )=2g (1−a )， 所以 F (−a )≥F (a )；若 f (a )≤g (1−a )，则 F (−a )=2f (−a )=2f (a )，F (a )=2f (a )， 所以 F (−a )=F (a )．综上 F (−a )≥F (a )，同理可得 F (1+a )≥F (1−a )．【知识点】函数的奇偶性、抽象函数、函数的单调性4. 【答案】A【解析】A．y=2x在R上为增函数；B．y=x−1为减函数且定义域为{x∣ x≠0}；C．y=x2在R上不单调；D．y=lnx的定义域为{x∣ x>0}．【知识点】函数的单调性5. 【答案】D【解析】∣x+2∣+∣x−1∣≤5，当x>1时，化为2x+1≤5，解得1<x≤2；当−2≤x≤1时，化为x+2+1−x≤5，即3≤5，解得−2≤x≤1；当x<−2时，化为−(x+2)−(x−1)≤5，解得−3≤x<−2，综上可得：x的取值范围是[−3,2]，所以“∣x+2∣+∣x−1∣≤5”是“−2≤x≤3”的既不充分也不必要条件．【知识点】充分条件与必要条件6. 【答案】B【解析】y=f(x)是奇函数，可得f(−x)=−f(x)，令x>0，则−x<0，由x<0时，f(x)=x2+4x+1，可得f(−x)=x2−4x+1=−f(x)，即有f(x)=−x2+4x−1，x>0，当x∈[1,4]时，f(x)=−(x−2)2+3，当x=2时，f(x)取得最大值3；当x=4时，f(x)取得最小值−1．当x∈[1,4]时，a≤f(x)≤b恒成立，可得a≤−1，b≥3，则b−a≥3+1=4，可得b−a的最小值为4．【知识点】函数的奇偶性、函数的最大（小）值7. 【答案】B【知识点】对数的概念与运算8. 【答案】B【解析】函数f(x)=2sinx−sin2x在[0,2π]的零点个数，即2sinx−sin2x=0在区间[0,2π]的根个数，即2sinx=sin2x，令左右为新函数ℎ(x)和g(x)，ℎ(x)=2sinx和g(x)=sin2x，作图求两函数在区间[0,2π]的图象可知：ℎ(x)=2sinx和g(x)=sin2x，在区间[0,2π]的图象的交点个数为3个．【知识点】函数的零点分布9. 【答案】C【解析】由题意，画出函数 f (x ) 的图象大致如图所示：因为存在三个不同实数 a ，b ，c ，使得 f (a )=f (b )=f (c )，可假设 a <b <c ， 所以根据函数图象，可知：−2<a ≤0，0<b <1，c >1． 又因为 f (b )=f (c )，所以 ∣log 2019b ∣=∣log 2019c ∣，即：−log 2019b =log 2019c ． 所以 log 2019b +log 2019c =0， 所以 log 2019bc =0，即 bc =1， 所以 abc =a ， 因为 −2<a ≤0， 所以 −2<abc ≤0．【知识点】函数的零点分布10. 【答案】D【知识点】全（特）称命题的否定二、填空题（共10题） 11. 【答案】 (0,1]【解析】因为函数 f (x ) 的图象与函数 g (x )=(12)x的图象关于直线 y =x 对称，所以函数 f (x ) 是 g (x )=(12)x的反函数，即 f (x )=log 12x ，则 f (2x −x 2)=log 12(2x −x 2)．由2x−x2>0，解得0<x<2．t是减函数，t=2x−x2=−(x−1)2+1在(0,1]上是增函数，令t=2x−x2，因为y=log12在[1,2)上是减函数，所以f(2x−x2)的单调递减区间为(0,1]．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质、函数的单调性12. 【答案】160【解析】从元素的角度去考虑，如含有0的子集有24个，含有1、含有2、含有3、含有4的子集也分别有24个，即0，1，2，3，4出现的次数均为24次，所以N M=24⋅(1+2+3+4)=160．【知识点】包含关系、子集与真子集13. 【答案】(0,4)【解析】由题∣4x−x2∣−a=0即∣4x−x2∣=a有四个根，画出y=∣4x−x2∣的图象有当x=2时y=∣4×2−22∣=4，故a的取值范围是(0,4)．【知识点】函数的零点分布14. 【答案】 (−2√217,−38)∪{0}【知识点】函数的零点分布15. 【答案】 [−2,43]【解析】函数 y =3cosx+1cosx+2=3(cosx+2)−5cosx+2=3−5cosx+2．因为 −1≤cosx ≤1，所以 1≤cosx +2≤3，即 13≤1cosx+2≤1，所以 −2≤y ≤43，即函数的值域为 [−2,43]．【知识点】余弦函数的性质、函数的值域的概念与求法16. 【答案】 32【知识点】对数的概念与运算17. 【答案】 (−1,+∞)【解析】因为函数 y =x 2+2ax −2 在 x ∈[1,+∞) 上单调递增，所以 yʹ=2x +2a >0 在 x ∈[1,+∞) 上恒成立， 即 a >−x 在 x ∈[1,+∞) 上恒成立， 因为 −x ∈(−∞,−1]， 所以 a >−1，故 a 的范围为：(−1,+∞)． 【知识点】函数的单调性18. 【答案】 19【解析】因为函数 f (x )={log 3x,x >09x ,x <0，所以 f (13)=log 313=−1，所以 f [f (13)]=f (−1)=9−1=19．【知识点】幂的概念与运算、对数的概念与运算19. 【答案】 (85,4)【知识点】函数的零点分布、分段函数20. 【答案】 75【解析】设需要 n 门高射炮，则命不中的概率为 (1−0.06)n ，由题意得出 1−0.94n ≥0.99，得0.94n ≤0.01，解得 n ≥log 0.940.01=−2lg0.94，而−2lg0.94≈74.43，因此，至少需要 75 门高射炮．故答案为：75．【知识点】对数的概念与运算三、解答题（共10题） 21. 【答案】(1) 令 x =y =1 得 f (1)=0，再令 x =y =−1 得 f (−1)=0．(2) 令 y =−1 得 f (−x )=f (x )．【知识点】函数的奇偶性、抽象函数22. 【答案】(1) 由 {3+x >0,3−x >0, 得 −3<x <3，所以函数 f (x ) 的定义域为 (−3,3)．(2) 函数 f (x ) 是偶函数，理由如下：由（1）知，函数 f (x ) 的定义域关于原点对称，且 f (−x )=lg (3−x )+lg (3+x )=f (x )， 所以函数 f (x ) 为偶函数．【知识点】函数的奇偶性、函数的定义域的概念与求法、对数函数及其性质23. 【答案】(1) 由已知，得 (12)−a=2，解得 a =1．(2) 由（1）知，f (x )=(12)x， 又 g (x )=f (x )，则 4−x−2=(12)x，即 (14)x−(12)x−2=0，即 [(12)x]2−(12)x−2=0， 令 (12)x =t ，则 t 2−t −2=0，即 (t −2)(t +1)=0， 又 t >0，则 t =2，即 (12)x=2，解得 x =−1， 故满足条件的 x 的值为 −1． 【知识点】指数函数及其性质24. 【答案】(1) 集合D满足①②③，但不满足④，因为(1,2)∈D，(2,3)∈D，由题意(1,3)∈D，而(1,3)∉D，所以不满足④，集合D不是集合A的偏序关系．D={(1,1),(1,2),(2,2),(3,3)}（开放性）(2) R≤={(a,b)∣ a∈R,b∈R,a≤b}显然满足①②，∀(a,b)∈D⇒a≤b，且(b,a)∈D⇒b≤a，则a=b，满足条件③．∀a,b,c∈R，若(a,b)∈R≤且(b,c)∈R≤，则a≤b，b≤c，所以a≤c，所以(a,c)∈R≤，满足条件④．综上所述，R≤={(a,b)∣ a∈R,b∈R,a≤b}是实数集R的一个偏序关系．(3) 反证法．假设对A中的两个给定元素a，b，且a∧b存在，但不唯一．设c1=a∧b，c2=a∧b，且c1≠c2，则(c1,a)∈E，(c1,b)∈E，(c2,a)∈E，(c2,b)∈E，其中E为集合A的一个偏序关系．且∀d∈A，若(d,a)∈E，(d,b)∈E，一定有(d,c1)∈E，所以(c2,c1)∈E，同理(c1,c2)∈E，则c2=c1，与c1≠c2矛盾．所以，对A中的两个给定元素a，b，若a∧b存在，则一定唯一．【知识点】包含关系、子集与真子集、元素和集合的关系25. 【答案】(1) 集合A={x∣ −1≤x≤2}，B={x∣ m−1<x<2m+1}．由B⊆A知，当B=∅时，有m−1≥2m+1，解得m≤−2；当B≠∅时，有{m−1<2m+1,m−1≥−1, 2m+1≤2,解得0≤m≤12．所以实数m的取值范围是(−∞,−2]∪[0,12]．(2) 由集合A={x∣ −1≤x≤2}，得∁R A={x∣ x<−1或x>2}．若B∩(∁R A)中只有一个整数−2，则必有B≠∅，即{m−1<2m+1,−3≤m−1<−2,−2<2m+1≤3,解得−32<m<−1．所以实数m的取值范围是(−32,−1)．【知识点】交、并、补集运算、包含关系、子集与真子集26. 【答案】原式可化为(ax+2)(x−1)<0，所以方程(ax+2)(x−1)=0的两根为x1=−2a，x2=1，所以当a<−2时，x1<x2，(ax+2)(x−1)<0得x<−2a或x>1，当a=−2时，(x−1)2>0，得x≠1，当−2<a<0时，x1>x2，(ax+2)(x−1)<0得x<1或x>−2a，综上所述，当a<−2时，{x∣ x<−2a或x>1}，当a=−2时，{x∣ x≠1}，当−2<a<0时，{x∣ x<1或x>−2a}．【知识点】二次不等式的解法27. 【答案】(1) ℎ(x)={x2x−1,x∈(−∞,1)∪(1,+∞) 1,x=1．(2) 当x≠1时，ℎ(x)=x2x−1=x−1+1x−1+2；若x>1时，则ℎ(x)≥4，其中等号当x=2时成立；若x<1时，则ℎ(x)≤0，其中等号当x=0时成立．所以函数ℎ(x)的值域是(−∞,0]∪{1}∪[4,+∞)．(3) 由ℎ(x)=4x=2x⋅2x=2x−1⋅2x+1，可以令f(x)=2x−1，m=2等．【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的值域的概念与求法28. 【答案】(1) 由(x+1)(x−23)2(x2−2)(x2+1)=0，可得x=−1∈Q，x=23∈Q，x=±√2∉Q，所以集合A可用列举法表示为A={−1,23}．(2) 被3除余1的自然数组成的集合可用描述法表示为{x∣ x=3k+1,k∈N}．(3) 坐标平面内在第一、三象服的点的特点是横、纵坐标同号，所以不在第一、三象限的点的集合可用描述法表示为{(x,y)∣ xy≤0,x∈R,y∈R}．(4) 自然数的平方组成的集合用列举法表示为{0,12,22,32,⋯}；也可用描述法表示为{x∣ x=n2,n∈N}．【知识点】集合的表示方法29. 【答案】(1) 函数f(x)在[−2,−1)上是增函数．因为当x∈[−2,1)时，f(x)=x+1x，所以任取x1,x2∈[−2,1)，且x1<x2．所以x1−x2<0，1<x1x2．所以1−1x1x2>0．所以f(x1)−f(x2)=x1+1x1−(x2+1x2)=(x1−x2)(1−1x1x2)<0．所以f(x1)<f(x2)．所以f(x)在[−2,−1)上是增函数．(2) 由（1）可知，f(x)=x+1x在[−2,−1)上是增函数，所以当x∈[−2,−1)时，f(−2)≤f(x)<f(−1)．所以f(x)∈[−52,−2)．当x∈[12,2]时，f(x)=x−1x，因为y=x在[12,2]上为单调递增函数，y=1x在[12,2]上为单调递减函数，所以f(x)在[12,2]上为单调递增函数．所以x∈[12,2]时，f(12)≤f(x)≤f(2)．所以f(x)∈[−32,32 ]．当x∈[−1,12)时，f(x)=−2，综上所述，f(x)的值域为A=[−52,−2]∪[−32,32]．(3) 因为函数g(x)=ax−2，x∈[−2,2]，①当a=0时，g(x)=−2，对于任意x1∈[−2,2]，f(x1)∈[−52,−2]∪[−32,32]，所以不存在x0∈[−2,2]，使得g(x0)=f(x1)成立．所以a=0不符合题意；②当a≠0时，设g(x)的值域为B，所以B=[−2∣a∣−2,2∣a∣−2]．因为对于任意x1∈[−2,2]，总存在x0∈[−2,2]，使g(x0)=f(x1)成立，所以A⊆B．所以{−2∣a∣−2≤−52,2∣a∣−2≥32,即 {∣a ∣≥14,∣a ∣≥74. 所以 ∣a ∣≥74．所以 a ≤−74 或 a ≥74．所以实数 a 的取值范围是 (−∞,−74]∪[74,+∞)．【知识点】函数的单调性、函数的值域的概念与求法、分段函数30. 【答案】(1) （ⅰ）方程 x i −x j =2 的解有：(x i ,x j )=(2007,2005),(2013,2011)．（ii ）以下规定两数的差均为正，则：列出集合 X 的从小到大 8 个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1；中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4，5，6，6，5，4；中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6；中间相隔三数的两数差：10，11，11，10；中间相隔四数的两数差：12，14，12；中间相隔五数的两数差：15，15；中间相隔六数的两数差：16．这 28 个差数中，只有 4 出现 3 次、 6 出现 4 次，其余都不超过 2 次，所以 k 的可能取值有 4，6．(2) 不妨设 2001≤x 1<x 2<⋯<x 8≤2017，记 a i =x i+1−x i (i =1,2,⋯,7)，b i =x i+2−x i (i =1,2,⋯,6)，共 13 个差数．假设不存在满足条件的 k ，则这 13 个数中至多两个 1 、两个 2 、两个 3 、两个 4 、两个 5 、两个 6，从而 (a 1+a 2+⋯+a 7)+(b 1+b 2+⋯+b 6)≥2(1+2+⋯+6)+7. ⋯⋯①又(a 1+a 2+⋯+a 7)+(b 1+b 2+⋯+b 6)=(x 8−x 1)+(x 8+x 7−x 2−x 1)=2(x 8−x 1)+(x 7−x 2)≤2×16+14=46,这与 ① 矛盾！所以结论成立．【知识点】包含关系、子集与真子集。

人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1.设函数f(x)=ax+bx2+c的图象如图所示，则a，b，c满足( )A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a2.将函数f(x)=2sin(2x+π3)图象上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位得到数学函数g(x)的图象，在g(x)图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为( )A．x=−π24B．x=π4C．x=5π24D．x=π123.函数f(x)=−2sin2x+sin2x+1，给出下列四个命题：①在区间[π8,5π8]上是减函数；②直线x=π8是函数图象的一条对称轴；③函数f(x)的图象可由函数y=√2sin2x的图象向左平移π4个单位得到；④若x∈[0,π2]，则f(x)的值域是[0,√2]．其中，正确的命题的序号是( )A．①②B．②③C．①④D．③④4.设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B等于( )A ． {1,2,3,4}B ． {1,2,3}C ． {2,3,4}D ． {1,3,4}5. 函数 f (x ) 在 (−∞,+∞) 单调递增，且为奇函数，若 f (1)=1，则满足 −1≤f (x −2)≤1 的 x 的取值范围是 ( ) A ． [−2,2] B ． [−1,1] C ． [0,4] D ． [1,3]6. 已知 U =R ，集合 M ={x∣ log x 23>1}，N ={x∣ lg∣ 3x −1∣ >0}，则 ( ) A ． M ∪N =R B ． M ∩N =[23,+∞) C ． N ⫋∁U MD ． ∁U M ∪N =R7. 关于 x 的方程 (13)∣x∣−a −1=0 有解，则 a 的取值范围是 ( ) A ． 0<a ≤1B ． −1<a ≤0C ． a ≥1D ． a >08. 若 x ，a ，b 均为任意实数，且 (a +2)2+(b −3)2=1，则 (x −a )2+(lnx −b )2 的最小值为 ( ) A ． 3√2B ． 18C ． 3√2−1D ． 19−6√29. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x )={2x +2,0≤x <14−2−x ,−1≤x <0 且 f (x −1)=f (x +1)，则函数g (x )=f (x )−3x−5x−2在区间 [−1,5] 上的所有零点之和为 ( )A ． 4B ． 5C ． 7D ． 810. 关于 x 的不等式 x 2−x −5>3x 的解集是 ( ) A ． {x∣ x ≥5或x ≤−1} B ． {x∣ x >5或x <−1} C ． {x∣ −1<x <5} D ． {x∣ −1≤x ≤5}二、填空题（共10题）11. 已知 cos (π4−α)=13，则 cos 2(3π4+α)−sin (α+π4) 的值为 ．12. 函数 f (x )=√1−x3+x 的定义域为 ．13. 函数 f (x )=√x −2 的定义域为 ．14. 已知 a >0，b >0，c >0，若点 P (a,b ) 在直线 x +y +c =2 上，则4a+b+a+b c的最小值为 ．15. 函数 f (x )=sin 2x +sinxcosx +1 的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．16. 设函数 y =f (x ) 的定义域为 D ，若对任意 x 1∈D ，存在 x 2∈D ，使得 f (x 1)⋅f (x 2)=1，则称函数 f (x ) 具有性质 M ，给出下列四个结论： ①函数 y =x 3−x 不具有性质 M ； ②函数 y =e x +e −x2具有性质 M ；③若函数 y =log 8(x +2)，x ∈[0,t ] 具有性质 M ，则 t =510； ④若函数 y =3sinx+a4具有性质 M ，则 a =5．其中，正确结论的序号是 ．17. 若函数 y =f (2x −1) 的定义域是 [0,2]，则函数 y =f (x +1) 的定义域是 ．18. 已知全集 U ={x∣ 1≤x ≤5}，A ={x∣ 1≤x <a }，若 ∁U A ={x∣ 2≤x ≤5}，则 a = ．19. 定义域为 R 的函数 f (x ) 同时满足以下两条性质：①存在 x 0∈R ，使得 f (x 0)≠0； ②对于任意 x ∈R ，有 f (x +1)=2f (x )． 根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数． （ⅰ）若 f (x ) 是增函数，则 f (x )= ； （ⅰ）若 f (x ) 不是单调函数，则 f (x )= ．20. 已知函数 f (n )=log (n+1)(n +2)(n ∈N ∗)，定义使 f (1)⋅f (2)⋅f (3)⋅⋯⋅f (k ) 为整数的数k (k ∈N ∗) 叫做企盼数，则在区间 [1,2017] 内的企盼数共有 个．三、解答题（共10题）21. 已知 cosα=35，α∈(−π2,0)．(1) 求 sinα 和 tanα 定义域； (2) 求 sin (α+π3) 的值．22. 判断下列函数的奇偶性：(1) y=x(tanx+cotx)；(2) y=tanx⋅cotx．23.经过函数性质的学习，我们知道“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x)为偶函数”．(1) 若f(x)为偶函数，且当x≤0时，f(x)=2x−1，求f(x)的解析式，并求不等式f(x)>f(2x−1)的解集；(2) 某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形”的充要条件是“y=f(x+a)为偶函数”．若函数g(x)的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，g(x)=x2−1x．①求g(x)的解析式；②求不等式g(x)>g(3x−1)的解集．24.下列每组对象能否构成一个集合？（1）我们班的所有高个子同学；（2）不超过20的非负数；（3）直角坐标平面内第一象限的一些点；（4）√3的近似值的全体．25.共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数ℎ(x)={400x−12x2,0<x≤40080000,x>400，其中x是新样式单车的月产量（单位：辆），利润=总收益−总成本．(1) 试将自行车厂的利润y（单位：元）表示为关于月产量x的函数；(2) 当月产量为多少辆时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？26.设幂函数y=x m2−2m−3(m∈Z)在区间(0,+∞)上是严格减函数．(1) 求该函数的表达式；(2) 设f(x)=x m2−2m−3（m为奇数），g(x)=a√f(x)−bxf(x)，且函数y=g(x)的图象关于原点对称，写出实数a，b满足的条件．27.求函数y=log2x+log x(2x)的定义域和值域．28.函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f(x)=√1−sinx+√1+sinx的性质，并在此基础上填写下表，作出f(x)在区间[−π,2π]上的图象．29.已知集合A={x∣ x≥3}，B={x∣ 1≤x≤7}，C={x∣ x≥a−1}．(1) 求A∩B，A∪B；(2) 若C∪A=A，求实数a的取值范围．30.已知函数f(x)=sin2x−sin2(x−π6)，x∈R．(1) 求f(x)的最小正周期；(2) 求f(x)在区间[−π3,π4]上的最大值和最小值．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】因为函数 f (x ) 的图象关于 y 轴对称，所以函数 f (x ) 是偶函数， 所以 f (−x )=f (x )，即−ax+b x 2+c=ax+b x 2+c恒成立，所以 a =0．又由图知，当 x =0 时，函数取得最大值，且最大值时一个大于 1 的实数， 所以 f (0)=bc >1．又因为函数 f (x ) 的定义域为 R ，所以 x 2+c =0 无解， 所以 c >0，所以 b >c >0，所以 b >c >a ． 【知识点】函数的奇偶性、函数图象2. 【答案】A【解析】将函数 f (x )=2sin (2x +π3) 的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到 y =2sin (4x +π3)，再将所得图象向左平移 π12 个单位得到函数 g (x ) 的图象， 即 g (x )=2sin [4(x +π12)+π3]=2sin (4x +2π3)，由 4x +2π3=π2+kπ，k ∈Z ，得 x =14kπ−π24，k ∈Z ，当 k =0 时，离原点最近的对称轴方程为 x =−π24．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质3. 【答案】A【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质4. 【答案】A【解析】因为 A ={1,2,3}，B ={2,3,4}， 所以 A ∪B ={1,2,3,4}． 【知识点】交、并、补集运算5. 【答案】D【解析】 f (x ) 是奇函数，故 f (−1)=−f (1)=−1；又 f (x ) 是增函数，−1≤f (x −2)≤1，即 f (−1)≤f (x −2)≤f (1)， 则有 −1≤x −2≤1，解得 1≤x ≤3． 【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性6. 【答案】D【知识点】对数函数及其性质7. 【答案】B【解析】方程 (13)∣x∣−a −1=0 有解等价于存在 x ∈R 使得 (13)∣x∣−1=a 成立，设 f (x )=(13)∣x∣−1={(13)∣x∣−1,x ≥03x −1,x <0，易得函数 f (x ) 的值域为 (−1,0]，所以 a 的取值范围为 −1<a ≤0，故选B ．【知识点】零点的存在性定理、指数函数及其性质8. 【答案】D【知识点】对数函数及其性质、圆的切线9. 【答案】B【知识点】函数的周期性、函数的零点分布10. 【答案】B【解析】因为 x 2−x −5>3x ， 所以 x 2−4x −5>0，则 (x −5).(x +1)>0，解得 x >5 或 x <−1． 【知识点】二次不等式的解法二、填空题（共10题） 11. 【答案】 −29【解析】因为 cos (3π4+α)=cos [π−(π4−α)]=−cos (π4−α)=−13，所以 cos 2(3π4+α)=19．又因为 sin (α+π4)=sin [π2−(π4−α)]=cos (π4−α)=13， 所以 cos 2(3π4+α)−sin (α+π4)=19−13=−29．【知识点】诱导公式12. 【答案】(−3,1]【知识点】函数的定义域的概念与求法13. 【答案】[2,+∞)【解析】由x−2≥0，得x≥2．所以函数f(x)=√x−2的定义域为[2,+∞)．【知识点】函数的定义域的概念与求法14. 【答案】2+2√2【知识点】均值不等式的应用15. 【答案】π；[3π8+kπ,7π8+kπ]，k∈Z【解析】原式=1−cos2x2+sin2x2+1=√22sin(2x−π4)+32,故f(x)的最小正周期为π，令2kπ+π2≤2x−π4≤2kπ+3π2(k∈Z)，得kπ+3π8≤x≤kπ+78π(k∈Z)，所以f(x)的单调递减区间为[3π8+kπ,7π8+kπ]，k∈Z．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质16. 【答案】①③【解析】①当x1=1时，f(1)=0，显然不存在x2，使得f(x1)⋅f(x2)=0，故函数y=x3−x不具有性质M．故①正确；②因为e x>0，则y=e x+e−x2=12(e x+1e x)≥12⋅2√e x⋅1e x=1，当且仅当e x=1e x即x=0时等号成立，所以y≥1恒成立，所以当x1≠0时，f(x1)⋅f(x2)>1恒成立，故函数y=e x+e−x2不具有性质M．故②错误；③函数y=log8(x+2)在[0,t]上是单调增函数，其值域为[log82,log8(t+2)]，要使得其具有M性质，则{1log8(t+2)≤log82,log8(t+2)≤1log82,即log82×log8(t+2)=1，解得(t+2)=83，故t=510．故③正确；④若函数y=3sinx+a具有性质M，一方面函数值不可能为零，也即3sinx+a≠0对任意的x恒成立，解得a>3或a<−3，在此条件下，另一方面，y=13sinx+a的值域是y=3sinx+a值域的子集．y=3sinx+a的值域为[a−3,a+3]，y=13sinx+a 的值域为[1a+3,1a−3]，要满足题意，只需1a+3≥a−3，1a−3≤a+3，解得a2−9=1，故a=±√10．故④错误．综上所述，正确的是①③．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质17. 【答案】[−2,2]【解析】函数y=f(2x−1)的定义域是[0,2]，则x∈[0,2]，所以2x−1∈[−1,3]，所以x+1∈[−1,3]，解得x∈[−2,2]．所以函数y=f(x+1)的定义域是[−2,2]．【知识点】函数的定义域的概念与求法18. 【答案】2【知识点】交、并、补集运算19. 【答案】2x；2x sin2πx（答案不唯一）【知识点】指数函数及其性质、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、函数的单调性20. 【答案】9【解析】令g(k)=f(1)⋅f(2)⋅f(3)⋅⋯⋅f(k)，因为f(k)=log(k+1)(k+2)=lg(k+2)lg(k+1)，所以g(k)=lg3lg2×lg4lg3×⋯×lg(k+2)lg(k+1)=lg(k+2)lg2=log2(k+2)．若g(k)为企盼数，则k+2=2n，n∈N∗．因为k∈[1,2017]，所以k+2∈[3,2019]，即2n∈[3,2019]．因为22=4，⋯，210=1024，211=2048，所以可取n=2,3,⋯,10．因此在区间[1,2017]内的企盼数共有9个．【知识点】对数函数及其性质三、解答题（共10题） 21. 【答案】(1) 由 cosα=35，α∈(−π2,0)， 所以 sinα=−√1−cos 2α=−45．所以 tanα=sinαcosα=−43．(2)sin (α+π3)=sinαcos π3+cosαsin π3=−45×12+35×√32=−4+3√310.【知识点】两角和与差的正弦22. 【答案】(1) 偶函数． (2) 偶函数．【知识点】正切函数的性质、函数的奇偶性23. 【答案】(1) 设 x >0，则 −x <0，则 f (−x )=2⋅(−x )−1=−2x −1， 又因为 f (x ) 为偶函数，所以 f (x )=f (−x )=−2x −1， 所以 f (x )={2x −1,x ≤0−2x −1,x >0．因为 f (x ) 为偶函数，且 f (x ) 在 [0,+∞) 上是减函数， 所以 f (x )>f (2x −1) 等价于 ∣x ∣<∣2x −1∣， 即 x 2<(2x −1)2，解得 x <13 或 x >1．所以不等式的解集是 {x∣ x <13或x >1}．(2) ①因为 g (x ) 的图象关于直线 x =1 对称， 所以 y =g (x +1) 为偶函数，所以 g (1+x )=g (1−x )，即 g (x )=g (2−x ) 对任意 x ∈R 恒成立． 又因为当 x <1 时，2−x >1，所以 g (x )=g (2−x )=(2−x )2−12−x =x 2−4x +4+1x−2，所以 g (x )={x 2−1x ,x ≥1x 2−4x +4+1x−2,x <1． ②任取 x 1,x 1∈[1,+∞)，且 x 1<x 2，则 g (x 1)−g (x 2)=x 12−1x 1−(x 22−1x 2)=(x 1−x 2)(x 1+x 2+1x 1x 2)，因为 x 1<x 2，所以 x 1−x 2<0，又因为 x 1+x 2>0，1x 1x 2>0，所以 (x 1−x 2)⋅(x 1+x 2+1x 1x 2)<0，即 g (x 1)<g (x 2)， 所以函数 y =g (x ) 在 [1,+∞) 上是增函数，又因为函数 g (x ) 的图象关于直线 x =1 对称，所以 g (x )>g (3x −1) 等价于 ∣x −1∣>∣3x −2∣，即 (x −1)2>(3x −2)2，解得 12<x <34． 所以不等式的解集为 {x∣ 12<x <34}． 【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性24. 【答案】（1）“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合；（2）任给一个实数 x ，可以明确地判断是不是“不超过 20 的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x >20 或 x <0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过 20 的非负数”能构成集合；（3）“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；（4）“√3 的近似值”不明确精确到什么程度，因此无法判断一个数（如“2”）是不是它的近似值，所以（4）不能构成集合．【知识点】集合的概念25. 【答案】(1) 依题设知，总成本为 (20000+100x ) 元，则 y ={−12x 2+300x −20000,0<x ≤400,且x ∈N 60000−100x.x >400,且x ∈N． (2) 当 0<x ≤400 时，y =−12(x −300)2+25000，故当 x =300 时，y max =25000；当 x >400 时，y =60000−100x 是减函数，故 y <60000−100×400=20000．所以当月产量为 300 辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为 25000 元．【知识点】建立函数表达式模型、函数模型的综合应用26. 【答案】(1) 由题意，可知 m 2−2m −3<0，解得 −1<m <3，又 m ∈Z ，所以 m =0,1,2，当 m =0 或 m =2 时，y =x −3；当 m =1 时，y =x −4，所以 y =x −3 或 y =x −4．(2) 由 m 为奇数，可知 f (x )=x −4，得 g (x )=ax −2−bx 3，由题意知 g (−x )=−g (x )，可得 a =0，b ≠0．【知识点】幂函数及其性质、函数的单调性、函数的对称性27. 【答案】由 {x >0,x ≠1,2x >0得 x >0 且 x ≠1，所以此函数的定义域为 (0,1)∪(1,+∞)．由 y =log 2x +log x (2x )=log 2x +log x 2+1，则：当 x >1 时，log 2x >0，log 2x +log x 2≥2（当且仅当 x =2 时，等号成立），得 y ≥3； 当 0<x <1 时，log 2x <0，log 2x +log x 2≤−2（当且仅当 x =12 时，等号成立），得 y ≤−1． 综上所述，此函数的值域为 (−∞,−1]∪[3,+∞)．【知识点】对数函数及其性质、函数的定义域的概念与求法、函数的值域的概念与求法28. 【答案】因为 1−sinx ≥0 且 1+sinx ≥0 在 R 上恒成立，所以函数的定义域为 R ；因为 f 2(x )=(√1−sinx +√1+sinx)2=2+2∣cosx∣，所以由 ∣cosx∣∈[0,1]，f 2(x )∈[2,4] 可得函数的值域为 [√2,2]；因为 f (x +π)=√1+sinx +√1−sinx =f (x )，所以函数的最小正周期为 π．因为当 x ∈[0,π2] 时，f (x )=√1−sinx +√1+sinx =2cos x 2，在 [0,π2] 上为减函数； 当 x ∈[π2,π] 时，f (x )=√1−sinx +√1+sinx =2sin x 2，在 [π2,π] 上为增函数． 所以 f (x ) 在 [kπ−π2,kπ] 上递增，在 [kπ,kπ+π2] 上递减 (k ∈Z )．因为 f (−x )=f (x ) 且 f (π2−x)=f (π2+x)，所以f(x)在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线x=kπ2对称．因此，可得如下表格：【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质29. 【答案】(1) A∩B={x∣ x≥3}∩{x∣ 1≤x≤7}={x∣ 3≤x≤7}，A∪B={x∣ x≥3}∪{x∣ 1≤x≤7}={x∣ x≥1}．(2) 因为C∪A=A，所以C⊆A，所以a−1≥3，即a≥4．故实数a的取值范围为{a∣ a≥4}．【知识点】交、并、补集运算30. 【答案】(1) 由已知，有f(x)=1−cos2x2−1−cos(2x−π3)2=12(12cos2x+√34sin2x)−12cos2x=√34sin2x−14cos2x=12sin(2x−π6),所以的最小正周期T=2π2=π；(2) 当−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z时，函数f(x)单调递增，所以−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z时，f(x)单调递增，所以f(x)在区间(−π3,−π6)上是减函数，在区间[−π6,π4]上是增函数，f(−π3)=−14，f(−π6)=−12，f(π4)=√34，所以f(x)在区间[−π3,π4]上的最大值为√34，最小值为−12．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质。

人教A 版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知全集 U ={1,2,3,4}，集合 A ={2,3}，集合 B ={1,3}，则 A ∩(∁U B )= ( ) A ． {3} B ． {2} C ． {2,3} D ． {2,3,4}2. 已知函数 f (x )={x 2+4x,−3≤x ≤02x −3,x >0，若方程 f (x )+∣x −2∣−kx =0 有且只有三个不相等的实数集，则实数 k 的取值范围是 A ． [−23,3−2√2) B ． [−23,3+2√2) C ． (−∞,−23]D ． [−23,16]3. 已知函数 f (x )=√x +1+k ，若存在区间 [a,b ]，使得函数 f (x ) 在区间 [a,b ] 上的值域为 [a +1,b +1]，则实数 k 的取值范围为 ( ) A ． (−1,+∞) B ． (−1,0] C ． (−14,+∞)D ． (−14,0]4. 若 x >0，y >0，且 1x+4y =1，则 x +y 的最小值是 ( )A ． 3B ． 6C ． 9D ． 125. 若函数 f (x )=(1+√3tanx)cosx ，则 f (π12)= ( ) A ．√6−√22B ． −√3C ． 1D ． √26. 设正实数 x ，y 满足 x >12，y >1，不等式4x 2y−1+y 22x−1≥m 恒成立，则 m 的最大值为 ( )A ． 2√2B ． 4√2C ． 8D ． 167. 函数 y =12+sinx+cosx的最大值是 ( )A ．√22−1 B ． −√22−1 C ． 1−√22D ． 1+√228. 已知函数 f (x )={∣log 5(1−x )∣,x <1−(x −2)2+2,x ≥1，则方程 f (x +1x −2)=a (a ∈R ) 的实数根个数不可能为 ( ) A ． 5 个 B ． 6 个 C ． 7 个 D ． 8 个9. 将函数 y =sin (2x +π5) 的图象向右平移 π10 个单位长度，所得图象对应的函数 ( ) A ．在区间 [3π4,5π4] 上单调递增 B ．在区间 [3π4,π] 上单调递减C ．在区间 [5π4,3π2] 上单调递增 D ．在区间 [3π2,2π] 上单调递减10. 已知函数 f (x )={1−12∣1−x ∣,x ≤212f (x −2),2<x ≤6，则方程 xf (x )−1=0 的解得个数是 ( )A ． 5B ． 6C ． 7D ． 8二、填空题（共6题）11. 若函数 f (x )=sin (ωx +π6)(ω>0) 满足 f (0)=f (π3)，且函数在 [0,π2] 上有且只有一个零点，则 f (x ) 的最小正周期为 ．12. 已知函数 f (x )=√x −a ，若存在实数 x 0 满足 f [f (x 0)]=x 0，则实数 a 的取值范围是 ．13. 已知 x,y ∈(0,+∞)，x +2y =1，可以利用不等式 ax +1x ≥2√a 和 2ay +4y ≥4√2a (a >0) 求得 1x+4y 的最小值，则其中正数 a 的值是 ．14. 设集合 A ={x∣ x >2}，B ={x∣ x ≤a }，若 A ∪B =R ，则 a 的取值范围是 ．15. 已知 sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则 sin (α+β)= ．16. 已知函数 f (x )=2[sinx ]+3[cosx ]，x ∈[0,2π]，其中 [x ] 表示不超过 x 的最大整数．例如：[1]=1，[0.5]=0，[−0.5]=−1． （1）f (2π3)= ．（2）若 f (x )>x +a 对任意 x ∈[0,2π] 都成立，则实数 a 的取值范围是 ．三、解答题（共6题）17. 设函数 f (x )=x 2+b ∣x −2∣+1(b ∈R )．(1) 当数列{f(n)}为单调递增数列时，求b的范围；(2) 当函数f(x)在区间[0,2]上有零点时，求b的范围；(3) 设f(x)在区间[0,2]上的最小值为g(b)，求函数g(b)的表达式．,π]．18.已知函数f(x)=√3sin2x+sinxcosx，x∈[π2(1) 求函数f(x)的零点；(2) 求函数f(x)的单调递减区间．19.(1) 若a∈R，解关于x的不等式：(x+a−2)(x+2a2−4a)≥0．(2) 若−1≤a≤2时，不等式(x+a−2)(x+2a2−4a)≥0恒成立，求x的取值范围．20.已知函数f(x)=m−2是R上的奇函数．2x+1(1) 求m的值；(2) 先判断f(x)的单调性，再证明．21.如图，一边靠学校院墙，其他三边用40m长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB=x m，面积为S m2．求S与x之间的函数关系式，并求当S=200m2时x的值．22.已知函数f(x)=x∣x−m∣，x∈R，且f(3)=0．(1) 求实数m的值；(2) 作出函数f(x)的图象并直接写出f(x)单调递减区间．(3) 若不等式f(x)≥ax在[4,6]上都成立，求a的取值范围．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】B【知识点】交、并、补集运算2. 【答案】A【知识点】函数零点的概念与意义3. 【答案】D【知识点】函数的值域的概念与求法4. 【答案】C【解析】因为 x >0，y >0， 1x+4y =1，x +y =(x +y )(1x +1y )=1+4+y x +4x y=5+y x+4x y．由 x >0，y >0， yx +4x y≥2√y x ⋅4x y=4．当 y =2x =6 时等号成． 所以 x +y ≥5+4=9． 所以 x +y 的最小值为 9． 故选C ．【知识点】均值不等式的应用5. 【答案】D【解析】因为f (x )=(1+√3⋅sinxcosx )cosx =cosx +√3sinx =2(12cosx +√32sinx)=2sin (x +π6),所以 f (π12)=2sin (π12+π6)=2sin π4=√2．【知识点】辅助角公式6. 【答案】C【解析】设y−1=b，则y=b+1，令2x−1=a，则x=12(a+1)，因为x>12，y>1，所以a>0，b>0．所以4x2 y−1+y22x−1=(a+1)2b +(b+1)2a≥√ab =√ab=2(√ab +√ab√ab≥2(2√√ab√ab √ab √ab)=2×(2+2)=8.（当且仅当a=b=1即x=1，y=2时取等号）．所以4x 2y−1+y22x−1的最小值为8，即m的最大值为8．【知识点】恒成立问题、均值不等式的应用7. 【答案】D【解析】y=12+sinx+cosx=2+√2sin(x+π4)≤2−√2=2+√22.【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质8. 【答案】A【解析】作出f(x)的图象，如图所示．1∘当a>2时，x+1x −2≤−24或2425<x+1x−2<2，此时对应x的个数为4；2∘当a=2时，x+1x −2=−24或x+1x−2=2425或x+1x−2=2，此时对应x的个数为6；3∘当1<a<2时，−24<x+1x −2<−4或45<x+1x−2<2425或1<x+1x−2<2或2<x+1x−2<3，此时对应x的个数为8；4∘当a=1时，x+1x −2=−4或x+1x−2=45或x+1x−2=1或x+1x−2=3，此时对应x的个数为7；5∘当0<a<1时，−4<x+1x −2<0或0<x+1x−2<45或3<x+1x−2<2+√2，此时对应x的个数为4；6∘当a=0时，x+1x −2=0或x+1x−2=2+√2，此时对应x的个数为3；7∘当a<0时，x+1x−2>2+√2，此时对应x的个数为2．综上可知，实数根个数不可能为5个．故选A．【知识点】函数的零点分布9. 【答案】A【解析】将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度后，得到函数y=sin2x的图象，函数y=sin2x的单调递增区间为[kπ−π4,kπ+π4]，k∈Z，单调递减区间为[kπ+π4,kπ+3π4]，k∈Z，故其在区间[3π4,5π4]上单调递增．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换10. 【答案】C【解析】方程xf(x)−1=0的解得个数，等价于函数y=f(x)与y=1x的图象交点的个数在同一坐标系作出y=f(x)与y=1x的图象，由图象可知，函数得零点个数为7．【知识点】函数的零点分布二、填空题（共6题）11. 【答案】π【解析】因为f(0)=f(π3)，所以x=π6是f(x)图象的一条对称轴，所以f(π6)=±1，所以π6×ω+π6=π2+kπ，k∈Z，所以ω=6k+2，k∈Z，所以T=π3k+1(k∈Z)．又f(x)在[0,π2]上有且只有一个零点，所以π6<T4≤π2−π6，所以2π3<T≤4π3，所以2π3<π3k+1≤4π3(T>0)，所以−112≤k<16，又因为k∈Z，所以k=0，所以T=π．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质12. 【答案】a≤14【知识点】函数的零点分布13. 【答案】9+4√2【解析】ax+1x +2ay+4y=a(x+2y)+1x+4y=a+1x+4y．由基本不等式得ax+1x≥2√a，当且仅当ax=1x (x>0,a>0)，即x=√a时，等号成立．由基本不等式得2ay+4y≥4√2a，当且仅当2ay=4y (y>0,a>0)，即y=√2√a时，等号成立．由题意得，两个等号同时成立． 此时，x +2y =√a√2√a=√2√a=1，则 √a =1+2√2，所以 a =(1+2√2)2=9+4√2． 【知识点】均值不等式的应用14. 【答案】 a ≥2【知识点】交、并、补集运算15. 【答案】 −12【解析】由 {sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0⇒{sinα=1−cosβ,cosα=−sinβ⇒(1−cosβ)2+(−sinβ)2=1⇒1−2cosβ+cos 2β+sin 2β=1⇒cosβ=12． 从而 sin (α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=(1−cosβ)⋅cosβ+(−sinβ)sinβ=cosβ−cos 2β−sin 2β=cosβ−1=12−1=−12.【知识点】两角和与差的正弦16. 【答案】 43； (−∞,32−2π]【解析】（1）f (2π3)=2[sin 23π]+3[cos2π3]，因为 sin2π3=√32， 所以 [sin 2π3]=[√32]=0， 因为 cos2π3=−12，所以 [cos2π3]=[−12]=−1，所以 f (2π3)=20+3−1=1+13=43．（2）① x =0 或 x =2π 时，sinx =0，cosx =1， 即 [sinx ]=0，[cosx ]=1，所以f(x)=20+31=4，若x=0，则a<4；若x=2π，则4>2π+a，即a<4−2π；② 0<x<π2时，sinx∈(0,1)，cosx∈(0,1)，即[sinx]=[cosx]=0，所以f(x)=20+30=2，因为f(x)>x+a恒成立，所以a<2−x，即a≤2−π2；③ x=π2时，sinx=1，cosx=0，即[sinx]=1，[cosx]=0，所以f(x)=21+30=3，因为f(x)>x+a恒成立，所以a<3−x即a<3−π2；④ π2<x≤π时，sinx∈[0,1)，cosx∈[−1,0)，即[sinx]=0，[cosx]=−1，所以f(x)=20+3−1=43，因为f(x)>x+a恒成立，所以a<43−x，即a<43−π；⑤ π<x<3π2时，sinx∈(−1,0)，cosx∈(−1,0)，即[sinx]=[cosx]=−1，所以f(x)=2−1+3−1=12+13=56，因为f(x)>x+a恒成立，所以a<56−x，即a≤56−3π2；⑥ 3π2≤x<2π时，sinx∈[−1,0)，cosx∈[0,1)，即[sinx]=−1，[cosx]=0，所以f(x)=2−1+30=12+1=32，因为f(x)>x+a恒成立，所以a<32−x，即a≤32−2π，因为 3−π2>2−π2，4−π>4−2π>32−2π，且 2−π2>3π2−2π， 所以 a ≤32−2π，即 a 的取值范围是 (−∞,32−2π]．【知识点】指数函数及其性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) f (x )=x 2+b ∣x −2∣+1={x 2+bx −2b +1,x ≥2x 2−bx +2b +1,x <2， 当数列 {f (n )} 为单调递增时，{b 2≤52,f (2)>f (1), 即 {b ≤5,5>2+b, 解得 b <3，故 b 的取值范围是 (−∞,3)．(2) 当 x ∈[0,2] 时，f (x )=x 2−bx +2b +1，若函数 f (x ) 在区间 [0,2] 上有零点，则 f (0)⋅f (2)<0 或 { 0<b 2<2,Δ=b 2−4(2b +1)>0,f (0)>0,f (2)>0,所以 2b +1<0 或 {0<b <4,b 2−8b −4>0,2b +1>0,当 2b +1<0 时，b <−12； 当 {0<b <4,b 2−8b −4>0,2b +1>0时，不等式组无解，综上，b 的范围为 (−∞,−12)．(3) 当 b ≤−4 时，−b 2≥2，b 2≤−2，则函数 f (x ) 在 (−∞,b 2) 递减，在 (b 2,2) 递增，在 (2,−b 2) 递减，在 (−b 2,+∞) 递增，因为 f (b 2)=−b 24+2b +1，f (−b 2)=−b 24−2b +1，f (b 2)<f (−b 2)， 所以 f (x ) 的最小值为 −b 24+2b +1；当 −4<b <4 时，−2<−b 2<2，−2<b 2<2，则函数 f (x ) 在 (−∞,b 2) 递减，在 (b 2,2) 递增，在 (2,+∞) 递增，所以 f (x ) 的最小值为 f (b 2)=−b 24+2b +1； 当 b ≥4 时，−b 2≤−2，b 2≥2，则函数 f (x ) 在 (−∞,2) 递减，在 (2,+∞) 递增，所以 f (x ) 的最小值为 f (2)=5，综上所述，当 b <4 时，f (x ) 的最小值为 −b 24+2b +1； 当 b ≥4 时，f (x ) 的最小值为 5，故 g (b )={−b 24+2b +1,b <45,b ≥4．【知识点】函数的零点分布、函数的最大（小）值、绝对值不等式的求解18. 【答案】(1) f (x )=√3sin 2x +sinxcosx=√3⋅1−cos2x 2+12sin2x =12sin2x −√32cos2x +√32=sin (2x −π3)+√32. 由 f (x )=0，得 sin (2x −π3)+√32=0，得 sin (2x −π3)=−√32， 因为 x ∈[π2,π]，所以 2x −π3∈[2π3,5π3]，所以 2x −π3=4π3 或 2x −π3=5π3， 则 x =5π6或 x =π． (2) 由 π2+2kπ≤2x −π3≤3π2+2kπ，得 5π12+kπ≤x ≤11π12+kπ，k ∈Z ．因为x∈[π2,π]，所以函数f(x)的单调递减区间为[π2,11π12]．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质19. 【答案】(1) 原不等式即：[x−(2−a)]×[x−(4a−2a2)]≥0，方程[x−(2−a)]×[x−(4a−2a2)]=0的二根为2−a，4a−2a2，令2−a<4a−2a2即2a2−5a+2<0，解得12<a<2，所以当12<a<2时，原不等式解集为{x∣ x≥4a−2a2或x≤2−a}．令2−a=4a−2a2即2a2−5a+2=0，解得a=12或a=2，所以当a=12或a=2时，原不等式解集为R．令2−a>4a−2a2即2a2−5a+2>0，解得a<12或a>2，所以当a<12或a>2时，原不等式解集为{x∣ x≥2−a或x≤4a−2a2}．(2) 因为−1≤a≤2，所以0≤2−a≤3，因为4a−2a2=−2(a−1)2+2，所以−6≤4a−2a2≤2，所以当−1≤a≤2时，2−a，4a−2a2二式的最小值为−6，最大值为3．所以欲使−1≤a≤2时，不等式[x−(2−a)]×[x−(4a−2a2)]≥0恒成立，应有x≤−6或x≥3．【知识点】恒成立问题、二次不等式的解法20. 【答案】(1) 据题意，得f(0)=0，则m=1．(2) f(x)在R上单调递增．证明如下：任取x1,x2∈R且x1<x2，f(x2)−f(x1)=−22x2+1+22x1+1=2(2x2−2x1)(2x2+1)(2x1+1).因为x2>x1，所以2x2>2x1，又(2x2+1)(2x1+1)>0，所以f(x2)−f(x1)>0⇒f(x2)>f(x1)．故 f (x ) 在 R 上单调递增．【知识点】指数函数及其性质、函数的单调性、函数的奇偶性21. 【答案】 S =x (40−2x )，0<x <20，S =200 时，x =10．【知识点】函数模型的综合应用22. 【答案】(1) 因为 f (x )=x ∣x −m ∣，由 f (3)=0 得 4×∣3−m ∣=0，即 ∣3−m ∣=0，解得：m =3；故实数 m 的值为 3．(2) 由（1）得 f (x )=x ∣x −3∣，即 f (x )={x 2−3x,x ≥33x −x 2,x <3， 则函数的图象如图所示：单调递减区间为：(32,3)． (3) 由题意得 x 2−3x ≥ax 在 [4,6] 上都成立，即 x −3≥a 在 [4,6] 上都成立，即 a ≤x −3 在 [4,6] 上都成立，当 4≤x ≤6 时，(x −3)min =1，所以 a ≤1．故实数 a 的取值范围为 (−∞,1]．【知识点】函数的最大（小）值、分段函数、函数的单调性。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作高2016级高一（上）期末数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知M,N 为集合I 的非空真子集，且M,N 不相等，若φ=⋂M C N I ,则=⋃N M ( ) A.M B.N C.I D.φ2.若2log 030xx x f x x >⎧=⎨≤⎩（）（）（） ，则1[]4f f =（）（ ） A 9 B 19 C 9- D 19-3.若集合23={}M x y x x =-，1={2()}2x N x y =-，则M N ⋂=（ ）A [1,1]-B [0,1]C (,0]([1,)-∞⋃+∞D (,1][1,)-∞-⋃+∞4.在(0,2)π上，若tan sin θθ>，则θ的范围是（ ）Ａ(0,)(,)22πππ⋃ Ｂ3(,)(,)22ππππ⋃ Ｃ3(0,)(,)22πππ⋃ Ｄ3(,)(,222ππππ⋃）5. 若2()(2tan )1f x x x θ=+-在[ 1,3-]上为减函数，则θ的取值范围是（ ）A (,]23k k ππππ-+-+ ( k ∈Z ) B [,)32k k ππππ++ ( k ∈Z ) C (,]24k k ππππ-+-+( k ∈Z ) D [,)42k k ππππ++ ( k ∈Z )6.下面是关于()sin()2f x x x π=-的四个命题：1p ：图像关于原点对称， 2p ：图像关于y 轴对称， 3p ：在[3,3]ππ-上有6个零点， 4p ：在[3,3]ππ-上有7个零点，其中的正确的为（ ）A 1p ，3pB 2p ，3pC 1p ，4pD 2p ，4p7. 为了得到函数2cos 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，只需把函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像A ．向左平移3π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位 C ．向左平移2π个长度单位 D ．向右平移2π个长度单位8. 若()y f x =（x ∈R ）是周期为2的偶函数，且当01x ≤≤时，2()2f x x x =-，则方程3()0f x x -=的实根个数是（ ）A.1B.2C.3D.49. 已知函数f(x)=2sin ωx (ω>0)在区间[4,3-ππ ]上的最小值是-2，则ω的最小值等于（ ）A.32 B.23C.2D.310. 设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图像与()y g x =图像有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是A.当0a <时，12120,0x x y y +<+>B. 当0a <时，12120,0x x y y +>+<C. 当0a >时，12120,0x x y y +<+<D. 当0a >时，12120,0x x y y +>+>第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

人教A版高一数学必修第一册全册复习训练题卷（共30题）一、选择题（共10题）1.已知命题p:∀x∈R，sinx≤1，则( )A．¬p:∀x∈R，sinx≥1B．¬p:∀x∈R，sinx>1C．¬p:∃x0∈R，sinx0≥1D．¬p:∃x0∈R，sinx0>12.设集合A={−2,0,2}，B={x∣ x2−x−2=0}，则A∩B=( )A．∅B．{2}C．{0}D．{−2}3.已知学校宿舍与办公室相距a m，某同学有重要材料要送给老师，从宿舍出发，先匀速跑步3分钟来到办公室，停留2分钟，然后匀速步行10分钟返回宿舍，在这个过程中，这位同学行走的路程s是时间t的函数，则这个函数的图象是( )A．B．C．D．4.对于a>0，b>0，下列不等式中不正确的是( )A．√ab2<1a+1bB．ab≤a2+b22C．ab≤(a+b2)2D．(a+b2)2≤a2+b225.设函数f(x)=−cos(x+π3)，则下列结论错误的是( ) A．f(x)的一个周期为−2πB．f(x)的图象关于直线x=8π3对称C．f(x+π)一个零点为x=π6D．f(x)在(−π3,2π3)单调递减6.如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是A．1a <1bB．√−a<√b C．a2<b2D．∣a∣>∣b∣7.设全集为R，集合A={x∈Z∣ −1<x≤3}，集合B={1,2}，则集合A∩(∁R B)=( )A．{−1,0}B．(−1,1)∪(2,3]C．(0,1)∪(1,2)∪(2,3]D．{0,3}8.设全集U={0,1,2,3,4}，A={0,3,4}，B={1,3}，则A∩(∁U B)=( )A．{0,4}B．{0,2,3,4}C．{4}D．{0,1,3,4}9.下列四个命题中可能成立的是( )A．sinα=12且cosα=12B．sinα=13且cscα=2C．sinα=0且cosα=−1D．cosα=12且secα=−210.已知集合A={1,2}，B={2,2k}，若B⊆A，则实数k的值为( )A．1或2B．12C．1D．2二、填空题（共10题）11.设A表示由a2+2a−3，2，3构成的集合，B表示由2，∣a+3∣构成的集合，已知5∈A，且5∉B，则实数a的值为．12.在用二分法求方程f(x)=0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为（精确度为0.1）．13.已知p：∣∣1−x−13∣∣≤2，q：1−m≤x≤1+m(m>0)，且¬p是¬q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围为．14.若sinα=13，且角α是第一象限角，则cosα=．15.设集合A={1,2,3}，集合B={3,4}，则A∩B=．16.若α是第三象限角，sinα=−13，则cosα=，tanα=．17. 函数 f (x )=2cosx +sinx 的最大值为 ．18. 下列能构成集合的是 ．①中央电视台著名节目主持人； ②我市跑得快的汽车； ③上海市所有的中学生； ④香港的高楼．19. 函数 y =∣x ∣ 的图象关于 对称，函数的奇偶性是 ．20. 已知 0<α<π2，cos (α+π6)=35，则 cosα= ．三、解答题（共10题）21. 你能利用所给图形，证明下列两个等式吗？12(sinα+sinβ)=sinα+β2cosα−β2； 12(cosα+cosβ)=cosα+β2cosα−β2．22. 定义函数 F (x )={f (x ),f (x )≤g (x )g (x ),f (x )>g (x )．已知 f (x )=x 2+5，g (x )=5−x ，求：(1) 函数 y =F (x ) 的解析式； (2) 画出函数 y =F (x ) 的图象．23. 已知命题 α:2≤x ≤4，命题 β:3m −1≤x ≤−m ，且 α 是 β 的充分条件，求实数 m 的取值范围．24. 已知集合 A ={x∣2−a ≤x ≤2+a }，B ={x ∣∣x ≤1或x ≥4}．(1) 当 a =3 时，求 A ∩B ；(2) 若 A ∩B =∅，求实数 a 的取值范围．25. 讨论函数 y =axx 2−1(−1<x <1) 的单调性．26. 已知角 α 的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在 x 轴的正半轴上，终边经过点 P (−1,2)，求sin (2α+9π4)+tan (2α−π) 的值．27. 试分别确定满足下列条件的角 α 所在的象限．(1) sinαtanα<0； (2) sinαcosα<0．28. 如图（1）（2）所示的分别是函数 y 1=f (x ) 和 y 2=g (x ) 的图象，试分别写出函数 y 1=f (x )和 y 2=g (x ) 的单调递增区间．29. 设集合 A ={x∣ 4x +p <0}，B ={x∣ x <−1或x >2}，若 A ⊆B ，求实数 p 的取值范围．30. 解下列方程：(1) 2x2+1=(14)x；(2) 2x+2+3×2x −1=0．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【解析】¬p为命题p的否定，即∃x0∈R，sinx0>1．【知识点】全（特）称命题的否定2. 【答案】B【解析】由已知得，B={2,−1}，故A∩B={2}，选B．【知识点】交、并、补集运算3. 【答案】A【解析】由题意可得先匀速跑步3分钟来到办公室，路程是递增的，停留2分钟，路程不发生变化，再匀速步行10分钟返回宿舍，总路程也是增加的，只有A 符合．【知识点】函数的表示方法4. 【答案】A【解析】当a>0，b>0时，因为21a +1b≤√ab，所以√ab ≤1a+1b，当且仅当a=b时，等号成立，故A不正确．B，C，D均正确．【知识点】均值不等式的应用5. 【答案】D【解析】由题意，函数f(x)=−cos(x+π3)，可知最小正周期为T=2π，则−2π也是函数f(x)的一个周期，所以A是正确的；令x=8π3可得f(8π3)=−cos(8π3+π3)=−cos3π=1（最大值），所以x=8π3是函数f(x)的其中一条对称轴，所以B是正确的；令x=π6，则函数f(x+π)=f(π6+π)=−cos(7π6+π3)=−cos3π2=0，所以x=π6是函数f(x+π)一个零点，所以C是正确的；当x∈(−π3,2π3)则x+π3∈(0,π)，函数函数在x∈(−π3,2π3)单调递增，所以D不正确．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质6. 【答案】A【知识点】不等式的性质7. 【答案】D【知识点】交、并、补集运算8. 【答案】A【解析】因为全集U={0,1,2,3,4}，B={1,3}，所以∁U B={0,2,4}．又A={0,3,4}，所以A∩(∁U B)={0,4}．【知识点】交、并、补集运算9. 【答案】C【知识点】同角三角函数的基本关系10. 【答案】D}，B⊆A，【解析】因为集合A={1,2}，B={2,2k=1，解得实数k=2．所以由集合元素的互异性及子集的概念可知2k【知识点】包含关系、子集与真子集二、填空题（共10题）11. 【答案】−4【解析】因为5∈A，且A={a2+2a−3,2,3}，所以a2+2a−3=5，解得a=2或a=−4．又因为B={2,∣ a+3∣ }，且5∉B．当a=2时，B={2,5}，不符合题意，舍去；当a=−4时，B={2,1}，符合题意．综上所述，a=−4．【知识点】元素和集合的关系12. 【答案】0.75（答案不唯一）【解析】因为∣0.75−0.625∣=0.125>0.1，∣0.75−0.6875∣=0.0625<0.1，所以区间[0.6875,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解，故方程的一个近似解为0.75．【知识点】二分法求近似零点13. 【答案】[9,+∞)【解析】法一：由∣∣1−x−1∣∣≤2，得−2≤x≤10，3所以¬p对应的集合为{x∣ x>10或x<−2}，设A={x∣ x>10或x<−2}，1−m≤x≤1+m(m>0)，所以¬q对应的集合为{x∣ x>m+1或x<1−m,m>0}，设B={x∣ x>m+1或x<1−m,m>0}．因为¬p是¬q的必要而不充分条件，所以B⫋A，所以{m>0,1−m≤−2,1+m≥10,且不能同时取得等号．解得m≥9，所以实数m的取值范围为[9,+∞)．法二：因为¬p是¬q的必要而不充分条件，所以q是p的必要而不充分条件，即p是q的充分而不必要条件，因为q对应的集合为{x∣ 1−m≤x≤1+m,m>0}，设M={x∣ 1−m≤x≤1+m,m>0}，又由∣∣1−x−13≤2∣∣，得−2≤x≤10，所以p对应的集合为{x∣ −2≤x≤10}，设N={x∣ −2≤x≤10}，由p是q的充分而不必要条件知N⫋M，所以{m>0,1−m≤−2,1+m≥10,且不能同时取等号，解得m≥9．所以实数m的取值范围为[9,+∞)．【知识点】充分条件与必要条件14. 【答案】2√23【知识点】同角三角函数的基本关系15. 【答案】{3}【知识点】交、并、补集运算16. 【答案】−23√2；√24【知识点】同角三角函数的基本关系17. 【答案】√5【解析】f(x)=√22+1sin(x+φ)≤√5．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质18. 【答案】③【解析】①②④中的研究对象不确定，因此不能构成集合．【知识点】集合的概念19. 【答案】y轴；偶函数【知识点】函数的奇偶性、函数的对称性20. 【答案】3√3+410【知识点】两角和与差的余弦三、解答题（共10题）21. 【答案】线段AB的中点M的坐标为(12(cosα+cosβ),12(sinα+sinβ))．过M作MM1垂直于x轴，交x轴于M1．∠MOM1=12(β−α)+α=12(α+β)．在Rt△OMA中，OM=OAcosβ−α2=cosα−β2．在Rt△OM1M中，OM1=OMcos∠MOM1=cosα+β2cosα−β2，M1M=OMsin∠MOM1=sinα+β2cosα−β2，于是有12(cosα+cosβ)=cosα+β2cosα−β2，12(sinα+sinβ)=sinα+β2cosα−β2．【知识点】积化和差与和差化积公式22. 【答案】(1) F(x)={x2+5,−1≤x≤05−x,x<−1或x>0．(2) 略【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数图象23. 【答案】因为α是β的充分条件，所以有{x∣ 2≤x≤4}⊆{x∣ 3m−1≤x≤−m}，所以{3m−1≤2,−m≥4,解得m≤−4．所以实数m的取值范围为(−∞,−4]．【知识点】充分条件与必要条件24. 【答案】(1) 当a=3时，A={x∣−1≤x≤5}，B={x∣∣x≤1或x≥4}，所以A∩B={x∣∣−1≤x≤1或4≤x≤5}．(2) ①若A=∅，则2−a>2+a，解得a<0，满足A∩B=∅；②若A≠∅，则2−a≤x≤2+a，所以a≥0．因为A∩B=∅，所以{2−a>1,2+a<4,解得0≤a<1．综上，实数a的取值范围是(−∞,1)．【知识点】交、并、补集运算25. 【答案】设x1,x2∈(−1,1)，且x1<x2，则f(x2)−f(x1)=ax2x22−1−ax1x12−1=−a(x1x2+1)(x2−x1)(x12−1)(x22−1)，因为x1<x2，所以x1x2+1>0，x2−x1>0，(x12−1)(x22−1)>0．当a>0时，f(x2)−f(x1)<0，y=f(x)在区间(−1,1)上是严格减函数；当a<0时，f(x2)−f(x1)>0，y=f(x)在区间(−1,1)上是严格增函数；当a=0时，f(x)=0，y=f(x)在区间(−1,1)上是常值函数．【知识点】函数的单调性26. 【答案】43−7√210．【知识点】诱导公式、任意角的三角函数定义27. 【答案】(1) 当sinαtanα<0时，sinα与tanα异号，所以α是第二或第三象限角；(2) 当sinαcosα<0时，sinα与cosα异号，所以α是第二或第四象限角．【知识点】任意角的三角函数定义28. 【答案】由题图（1）可知，在(1,4]和(4,6]内，y1=f(x)是单调递增的，所以y1=f(x)的单调递增区间是(1,4]和(4,6]．由题图（2）可知，在(−1,0)和(1,2)内，y2=g(x)是单调递增的，所以y2=g(x)的单调递增区间是(−1,0)和(1,2)．【知识点】函数的单调性29. 【答案】A={x∣∣x<−p4}，B={x∣ x<−1或x>2}，因为A⊆B，≤−1，所以−p4即p≥4.所以实数p的取值范围为{p∣ p≥4}．【知识点】包含关系、子集与真子集30. 【答案】(1) 方程可化为2x2+1=2−2x，所以x2+1=−2x，即(x+1)2=0，解得x=−1．(2) 因为22x+2+3×2x−1=0，所以4×(2x)2+3×2x−1=0，令t=2x(t>0)，则方程可化为4t2+3t−1=0，或t=−1（舍去），解得t=14即2x=1，4解得x=−2．【知识点】指数函数及其性质。

第一章集合与函数概念§1.1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．1．元素与集合的概念(1)把________统称为元素，通常用__________________表示．(2)把________________________叫做集合(简称为集)，通常用____________________表示．2．集合中元素的特性：________、________、________.3．集合相等：只有构成两个集合的元素是______的，才说这两个集合是相等的．4．元素与集合的关系关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果________的元素，就说a属于集合Aa∈A a属于集合A 不属于如果________中的元素，就说a不属于集合Aa∉A a不属于集合A名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号________________________一、选择题1．下列语句能确定是一个集合的是()A．著名的科学家B．留长发的女生C．2010年广州亚运会比赛项目D．视力差的男生2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是()A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是()A．1B．－2C．6D．25．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为()A．2B．3C．0或3D．0,2,3均可6．由实数x、－x、|x|、x2及－3x3所组成的集合，最多含有()A．2个元素B．3个元素C．4个元素D．5个元素二、填空题7．由下列对象组成的集体属于集合的是______．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．9．用符号“∈”或“∉”填空－2_______R，－3_______Q，－1_______N，π_______Z.三、解答题10．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.能力提升12．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q 中元素的个数是多少？13．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A (a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．第一章集合与函数概念§1.1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义知识梳理1．(1)研究对象小写拉丁字母a，b，c，…(2)一些元素组成的总体大写拉丁字母A，B，C，… 2.确定性互异性无序性3．一样 4.a是集合A a不是集合A 5.N N*或N＋Z Q R作业设计1．C[选项A、B、D都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．] 2．C[由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”，故选C.]3．D[集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.]4．C[因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将选项中的数值代入验证知答案选C.]5．B[由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．]6．A[方法一因为|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．方法二令x＝2，则以上实数分别为：2，－2,2,2，－2，由元素互异性知集合最多含2个元素．] 7．①④解析①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④. 8．－1解析当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.9．∈∈∉∉10．解(1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确．因为个子高没有明确的标准．11．解由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－3 2.则当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a＝－1应舍去．当a＝－32时，a－2＝－72，2a2＋5a＝－3，∴a＝－3 2.12．解∵当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．13．证明(1)若a∈A，则11－a∈A.又∵2∈A，∴11－2＝－1∈A.∵－1∈A，∴11－(－1)＝12∈A.∵12∈A，∴11－12＝2∈A.∴A中另外两个元素为－1，1 2.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠11－a，∴A不可能为单元素集．第2课时集合的表示课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．1．列举法把集合的元素____________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为__________．不等式x－7<3的解集为__________．所有偶数的集合可表示为________________．一、选择题1．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5}D．{1,2,3,4,5}2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．点(x，y)C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合3表示成列举法，正确的是()A．{2,3}B．{(2,3)}C．{x＝2，y＝3}D．(2,3)4．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为()A．{1,1}B．{1}C．{x＝1}D．{x2－2x＋1＝0}5．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则有() A．－1∈A B．0∈AC.3∈A D．2∈A6()A．BC．{1,2}D．{(1,2)}二、填空题7．用列举法表示集合A＝{x|x∈Z，86－x∈N}＝______________.8．下列各组集合中，满足P＝Q的有________．(填序号)①P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}；②P＝{1,2,3}，Q＝{3,1,2}；③P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，Q＝{y|y＝x－1，x∈R}．9．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是________．(填序号)①M＝{π}，N＝{3.14159}；②M＝{2,3}，N＝{(2,3)}；③M＝{x|－1<x≤1，x∈N}，N＝{1}；④M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}．三、解答题10．用适当的方法表示下列集合①方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；③不等式x－2>6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．11．已知集合A＝{x|y＝x2＋3}，B＝{y|y＝x2＋3}，C＝{(x，y)|y＝x2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．能力提升12．下列集合中，不同于另外三个集合的是()A．{x|x＝1}B．{y|(y－1)2＝0}C．{x＝1}D．{1}13．已知集合M＝{x|x＝k2＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k4＋12，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是()A．x0∈NB．x0∉NC．x0∈N或x0∉ND．不能确定1．在用列举法表示集合时应注意：①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第2课时 集合的表示知识梳理1．一一列举 2.描述法 {x |x <10} {x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z } 作业设计1．B [{x ∈N ＋|x －3<2}＝{x ∈N ＋|x <5}＝{1,2,3,4}．]2．D [集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.]3．B [解方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝5，2x －y ＝1.得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3.所以答案为{(2,3)}．]4．B [方程x 2－2x ＋1＝0可化简为(x －1)2＝0， ∴x 1＝x 2＝1，故方程x 2－2x ＋1＝0的解集为{1}．] 5．B6．C [方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故C 不符合．]7．{5,4,2，－2} 解析 ∵x ∈Z ，86－x∈N ， ∴6－x ＝1,2,4,8.此时x ＝5,4,2，－2，即A ＝{5,4,2，－2}． 8．②解析 ①中P 、Q 表示的是不同的两点坐标； ②中P ＝Q ；③中P 表示的是点集，Q 表示的是数集． 9．④解析 只有④中M 和N 的元素相等，故答案为④. 10．解 ①∵方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1， ∴解集为{0，－1}；②{x |x ＝2n ＋1，且x <1000，n ∈N }；③{x|x>8}；④{1,2,3,4,5,6}．11．解因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A中代表的元素是x，满足条件y＝x2＋3中的x∈R，所以A＝R；集合B中代表的元素是y，满足条件y＝x2＋3中y的取值范围是y≥3，所以B＝{y|y≥3}．集合C中代表的元素是(x，y)，这是个点集，这些点在抛物线y＝x2＋3上，所以C＝{P|P是抛物线y＝x2＋3上的点}．12．C[由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}＝{1}，而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合，故选C.]13．A[M＝{x|x＝2k＋14，k∈Z}，N＝{x|x＝k＋24，k∈Z}，∵2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，∴x0∈M时，一定有x0∈N，故选A.]1.1.2集合间的基本关系课时目标 1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集、真子集，并能判断给定集合间的关系.3.在具体情境中，了解空集的含义．1．子集的概念一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作______(或______)，读作“__________”(或“__________”)．2．Venn图：用平面上______曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．集合相等与真子集的概念定义符号表示图形表示集合相等如果__________，就说集合A与B相等A＝B真子集如果集合A⊆B，但存在元素__________，称集合A是B的真子集A B(或B A)(1)定义：______________的集合叫做空集．(2)用符号表示为：____.(3)规定：空集是任何集合的______．5．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即________．(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么___________________________．一、选择题1．集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是()A．P＝Q B．C．Q D．P∩Q＝∅2．满足条件M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是()A．3B．6C．7D．83．对于集合A、B，“A⊆B不成立”的含义是()A．B是A的子集B．A中的元素都不是B中的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A4．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A，则A≠∅.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．35．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是()A．S P M B．S＝MC．S P＝M D．P＝S题号二、填空题7．已知M＝{x|x≥22，x∈R}，给定下列关系：①π∈M；②{π}M；③πM；④{π}∈M.其中正确的有________．(填序号)8．已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若B，则实数a的取值范围是________．9．已知集合{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．三、解答题10．若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B⊆A，求实数a 的取值范围．11．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若B⊆A，求实数m的取值范围．能力提升12．已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．13．已知集合{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个.1．子集概念的多角度理解(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B.拓展当A不是B的子集时，我们记作“A B”(或A)．2．对元素与集合、集合与集合关系的分析与拓展(1)元素与集合之间的关系是从属关系，这种关系用符号“∈”或“∉”表示．(2)集合与集合之间的关系有包含关系，相等关系，其中包含关系有：含于(⊆)、包含(⊇)、真包含于()、真包含)等，用这些符号时要注意方向，如A⊆B与B⊇A是相同的．1．1.2 集合间的基本关系知识梳理1．任意一个 A ⊆B B ⊇A A 含于B B 包含A 2.封闭 3．A ⊆B 且B ⊆A x ∈B ，且x ∉A 4.(1)不含任何元素 (2)∅ (3)子集 5.(1)A ⊆A (2)A ⊆C 作业设计1．B [∵P ＝{x |y ＝x ＋1}＝{x |x ≥－1}，Q ＝{y |y ≥0} ∴Q ，∴选B.]2．C [M 中含三个元素的个数为3，M 中含四个元素的个数也是3，M 中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．] 3．C4．B [只有④正确．] 5．B [由N ＝{－1,0}，知M ，故选B.]6．C [运用整数的性质方便求解．集合M 、P 表示成被3整除余1的整数集，集合S 表示成被6整除余1的整数集．] 7．①②解析 ①、②显然正确；③中π与M 的关系为元素与集合的关系，不应该用”符号；④中{π}与M 的关系是集合与集合的关系，不应该用“∈”符号． 8．a ≥2解析 在数轴上表示出两个集合，可得a ≥2. 9．6解析 (1)若A 中有且只有1个奇数， 则A ＝{2,3}或{2,7}或{3}或{7}； (2)若A 中没有奇数，则A ＝{2}或∅. 10．解 A ＝{－3,2}．对于x 2＋x ＋a ＝0， (1)当Δ＝1－4a <0，即a >14时，B ＝∅，B ⊆A 成立； (2)当Δ＝1－4a ＝0，即a ＝14时，B ＝{－12}，B ⊆A 不成立；(3)当Δ＝1－4a >0，即a <14时，若B ⊆A 成立， 则B ＝{－3,2}， ∴a ＝－3×2＝－6.综上：a 的取值范围为a >14或a ＝－6. 11．解 ∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅， 则m ＋1>2m －1，∴m <2.②若B ≠∅，将两集合在数轴上表示，如图所示．要使B ⊆A ，则⎩⎨⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得⎩⎨⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.由①、②，可知m ≤3. ∴实数m 的取值范围是m ≤3.12．解 (1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B . (2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a }． 又∵B ＝{x |－1<x <1}，A ⊆B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥－1，2a ≤1，∴a ≥2.(3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a }．∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a ＝0或a ≥2或a ≤－2.13．5解析若A中有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}，若A中有2个奇数，则A＝{1,3}．1.1.3集合的基本运算第1课时并集与交集课时目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．(1)定义：一般地，________________________的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作________．(2)并集的符号语言表示为A∪B＝_________________________________________________________________ _______.(3)并集的图形语言(即Venn图)表示为下图中的阴影部分：(4)性质：A∪B＝________，A____，A∪B＝A⇔________，A____A∪B.2．交集(1)定义：一般地，由________________________元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作________．(2)交集的符号语言表示为A∩B＝_________________________________________________________________ _______.(3)(4)性质：A∩B＝______，A∩____，A∩B＝A⇔________，1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{1,2}D．{0}2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B等于()A．{x|x<1}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|－1≤x≤1}D．{x|－1≤x<1}3．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是()A．A⊆B B．B⊆CC．A∩B＝C D．B∪C＝A4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N 为()A．x＝3，y＝－1B．(3，－1)C．{3，－1}D．{(3，－1)}5．设集合A＝{5,2a}，集合B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则a＋b等于() A．1B．2C．3D．46．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则()A．N∈M B．M∪N＝MC．M∩N＝M D．M>N二、填空题7．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.8．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.9．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}且集合A∩(B ∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝______，b＝______.三、解答题10．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝∅.求p，q的值．11．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．能力提升12．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为()A．0B．2C．3D．613．设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．1．1.3 集合的基本运算 第1课时 并集与交集知识梳理一、1.由所有属于集合A 或属于集合B A ∪B 2.{x |x ∈A ，或x ∈B } 4.B ∪A A A B ⊆A ⊆ 二、1.属于集合A 且属于集合B 的所有 A ∩B 2.{x |x ∈A ，且x ∈B } 4.B ∩A A ∅ A ⊆B ⊆ 作业设计 1．A2．D [由交集定义得{x |－1≤x ≤2}∩{x |x <1}＝{x |－1≤x <1}．]3．D [参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛的所有运动员，因此A ＝B ∪C .] 4．D [M 、N 中的元素是平面上的点，M ∩N 是集合，并且其中元素也是点，解⎩⎨⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1.] 5．C [依题意，由A ∩B ＝{2}知2a ＝2， 所以，a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3，故选C.] 6．B [∵M ，∴M ∪N ＝M .] 7．0或1解析 由A ∪B ＝A 知B ⊆A ， ∴t 2－t ＋1＝－3① 或t 2－t ＋1＝0② 或t 2－t ＋1＝1③①无解；②无解；③t ＝0或t ＝1. 8．1解析 ∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1. 9．－1 2解析 ∵B ∪C ＝{x |－3<x ≤4}，∴ (B ∪C ) ∴A ∩(B ∪C )＝A ，由题意{x |a ≤x ≤b }＝{x |－1≤x ≤2}， ∴a ＝－1，b ＝2.10．解 由A ∩C ＝A ，A ∩B ＝∅，可得：A ＝{1,3}， 即方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实根为1,3. ∴⎩⎨⎧ 1＋3＝－p 1×3＝q ，∴⎩⎨⎧p ＝－4q ＝3. 11．解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A . ∵A ＝{－2}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝{－1a }，∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12.综上，得a＝0或a＝1 2.12．D[x的取值为1,2，y的取值为0,2，∵z＝xy，∴z的取值为0,2,4，所以2＋4＝6，故选D.] 13．解符合条件的理想配集有①M＝{1,3}，N＝{1,3}．②M＝{1,3}，N＝{1,2,3}．③M＝{1,2,3}，N＝{1,3}．共3个．第2课时补集及综合应用课时目标 1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.2.熟练掌握集合的基本运算．1．全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为________，通常记作________．2．补集自然语言对于一个集合A，由全集U中________________的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作________符号语言∁U A＝____________图形语言3.补集与全集的性质(1)∁U U＝____；(2)∁U∅＝____；(3)∁U(∁U A)＝____；(4)A∪(∁U A)＝____；(5)A∩(∁UA)＝____.一、选择题1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A等于()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁U M等于()A．{x|－2<x<2}B．{x|－2≤x≤2}C．{x|x<－2或x>2}D．{x|x≤－2或x≥2}3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,5}，则A∩(∁U B)等于() A．{2}B．{2,3}C．{3}D．{1,3}4．设全集U和集合A、B、P满足A＝∁U B，B＝∁U P，则A与P的关系是() A．A＝∁U P B．A＝PC．A P D．P5．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩∁I S D．(M∩P)∪∁I S6．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是()A．A∪B B．A∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)二、填空题7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁U A＝____________________，∁U B＝________________，∁B A＝____________.9．已知全集U，B，则∁U A与∁U B的关系是____________________．三、解答题10．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁U A＝{5}，求实数a，b的值．11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设全集为U，若B∪(∁U B)＝A，求∁U B.能力提升12．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{9}，则A等于()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}13．学校开运动会，某班有30名学生，其中20人报名参加赛跑项目，11人报名参加跳跃项目，两项都没有报名的有4人，问两项都参加的有几人？1．全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象、含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集．因此，全集因研究问题而异．(2)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(3)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x ∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．2．补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.第2课时补集及综合应用知识梳理1．全集U 2.不属于集合A∁U A{x|x∈U，且x∉A}3．(1)∅(2)U(3)A(4)U(5)∅作业设计1．D[在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成∁U A.]2．C[∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁U M＝{x|x<－2或x>2}．]3．D[由B＝{2,5}，知∁U B＝{1,3,4}．A∩(∁U B)＝{1,3,5}∩{1,3,4}＝{1,3}．]4．B[由A＝∁U B，得∁U A＝B.又∵B＝∁U P，∴∁U P＝∁U A.即P＝A，故选B.]5．C[依题意，由图知，阴影部分对应的元素a具有性质a∈M，a∈P，a ∈∁I S，所以阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁I S，故选C.]6．D[由A∪B＝{1,3,4,5,6}，得∁U(A∪B)＝{2,7}，故选D.]7．－3解析∵∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.8．{0,1,3,5,7,8}{7,8}{0,1,3,5}解析由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得∁A＝{0,1,3,5,7,8}，∁U B＝{7,8}，∁B A＝{0,1,3,5}．U9．∁U∁U A解析画Venn图，观察可知∁U∁U A.10．解∵∁U A＝{5}，∴5∈U且5∉A.又b ∈A ，∴b ∈U ，由此得⎩⎨⎧a 2＋2a －3＝5，b ＝3.解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝3经检验都符合题意．11．解 因为B ∪(∁U B )＝A ，所以B ⊆A ，U ＝A ，因而x 2＝3或x 2＝x . ①若x 2＝3，则x ＝±3.当x ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，3}，此时∁U B ＝{3}； 当x ＝－3时，A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，－3}，此时∁U B ＝{－3}．②若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，A 中元素x 与1相同，B 中元素x 2与1也相同，不符合元素的互异性，故x ≠1；当x ＝0时，A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}， U ＝A ＝{1,3,0}，从而∁U B ＝{3}． 综上所述，∁U B ＝{3}或{－3}或{3}．12．D [借助于Venn 图解，因为A ∩B ＝{3}，所以3∈A ，又因为(∁U B )∩A ＝{9}，所以9∈A ，所以选D.]13.解 如图所示，设只参加赛跑、只参加跳跃、两项都参加的人数分别为a ，b ，x .根据题意有⎩⎨⎧a ＋x ＝20，b ＋x ＝11，a ＋b ＋x ＝30－4.解得x ＝5，即两项都参加的有5人．§1.1习题课课时目标 1.巩固和深化对基础知识的理解与掌握.2.重点掌握好集合间的关系与集合的基本运算．1．若A＝{x|x＋1>0}，B＝{x|x－3<0}，则A∩B等于()A．{x|x>－1}B．{x|x<3}C．{x|－1<x<3}D．{x|1<x<3}2．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于() A．{x|x<－5或x>－3}B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5}D．{x|x<－3或x>5}3．设集合A＝{x|x≤13}，a＝11，那么()A．A B．a∉AC．{a}∉A D．{a A4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(∁I M)∩(∁I N)等于()A．∅B．{d}C．{b，e}D．{a，c}5．设A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k－3，k∈Z}，则集合A与B的关系为____________．6．设A＝{x∈Z|－6≤x≤6}，B＝{1,2,3}，C＝{3,4,5,6}，求：(1)A∪(B∩C)；(2)A∩(∁A(B∪C))．一、选择题1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P2．符合条件{a P⊆{a，b，c}的集合P的个数是()A．2B．3C．4D．53．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是()A．M＝P B．PC．M D．M与P没有公共元素4．如图所示，M，P，S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩S)∩(∁S P) D．(M∩P)∪(∁V S)5．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3<x<5}，则能使A⊇B成立的实数a的范围是()A．{a|3<a≤4}B．{a|3≤a≤4}C．{a|3<a<4}D．∅二、填空题6．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．7．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1∉A，x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为____．8．已知全集U＝{3,7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}，∁U A＝{5}，则a＝________.9．设U＝R，M＝{x|x≥1}，N＝{x|0≤x<5}，则(∁U M)∪(∁U N)＝________________.三、解答题10．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．(1)求A∩B；(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．11．某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A，B，C三道知识题作答情况如下：答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A，B 者5人，答错A，C者3人，答错B，C者4人，A，B，C都答错的有1人，问A，B，C都答对的有多少人？能力提升12．对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有几个？13．设数集M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，求集合M∩N的长度的最小值．1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解交、并、补集的意义，并能将题目中符号语言准确转化为文字语言．2．集合运算的法则可借助于Venn图理解，无限集的交集、并集和补集运算可结合数轴，运用数形结合思想．3．熟记一些常用结论和性质，可以加快集合运算的速度．4．在有的集合题目中，如果直接去解可能比较麻烦，若用补集的思想解集合问题可变得更简单．§1.1习题课双基演练1．C[∵A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<3}，∴A∩B＝{x|－1<x<3}，故选C.]2．A[画出数轴，将不等式－3<x≤5，x<－5，x>5在数轴上表示出来，不难看出M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．]3．D4．A[∵∁I M＝{d，e}，∁I N＝{a，c}，∴(∁I M)∩(∁I N)＝{d，e}∩{a，c}＝∅.]5．A＝B解析4k－3＝4(k－1)＋1，k∈Z，可见A＝B.6．解∵A＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}(1)又∵B∩C＝{3}，∴A∪(B∩C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6}．(2)又∵B∪C＝{1,2,3,4,5,6}，∴∁A(B∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}∴A∩(∁A(B∪C))＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1,0}．作业设计1．B[Q＝{x|－2<x<2}，可知B正确．]2．B[集合P内除了含有元素a外，还必须含b，c中至少一个，故P＝{a，b}，{a，c}，{a，b，c}共3个．]3．B[∵a∈N*，∴x＝a2＋1＝2,5,10，….∵b∈N*，∴y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1,2,5,10，….∴P.]4．C [阴影部分是M ∩S 的部分再去掉属于集合P 的一小部分，因此为(M ∩S )∩(∁S P )．]5．B [根据题意可画出下图．∵a ＋2>a －1，∴A ≠∅.有⎩⎨⎧a －1≤3，a ＋2≥5.解得3≤a ≤4.]6．a ≤2解析 如图中的数轴所示，要使A ∪B ＝R ，a ≤2. 7．1解析 当x ＝1时，x －1＝0∉A ，x ＋1＝2∈A ； 当x ＝2时，x －1＝1∈A ，x ＋1＝3∈A ； 当x ＝3时，x －1＝2∈A ，x ＋1＝4∉A ； 当x ＝5时，x －1＝4∉A ，x ＋1＝6∉A ； 综上可知，A 中只有一个孤立元素5. 8．4解析 ∵A ∪(∁U A )＝U ， 由∁U A ＝{5}知，a 2－2a －3＝5， ∴a ＝－2，或a ＝4.当a ＝－2时，|a －7|＝9,9∉U ，∴a ≠－2. a ＝4经验证，符合题意． 9．{x |x <1或x ≥5}解析 ∁U M ＝{x |x <1}，∁U N ＝{x |x <0或x ≥5}， 故(∁U M )∪(∁U N )＝{x |x <1或x ≥5}或由M ∩N ＝{x |1≤x <5}，(∁U M )∪(∁U N )＝∁U (M ∩N ) ＝{x |x <1或x ≥5}． 10．解 (1)∵B ＝{x |x ≥2}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}．(2)∵C＝{x|x>－a2}，B∪C＝C⇔B⊆C，∴－a2<2，∴a>－4.11.解由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，A表示答错A的集合，B 表示答错B的集合，C表示答错C的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此A∪B∪C中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A，B，C全对的有50－32＝18人．12．解依题意可知，“孤立元”必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．因此，符合题意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6个．13．解在数轴上表示出集合M与N，可知当m＝0且n＝1或n－13＝0且m＋34＝1时，M∩N的“长度”最小．当m＝0且n＝1时，M∩N＝{x|23≤x≤34}，长度为34－23＝112；当n＝13且m＝14时，M∩N＝{x|14≤x≤13}，长度为13－14＝112.综上，M∩N的长度的最小值为1 12.§1.2函数及其表示1．2.1 函数的概念课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．1．函数(1)设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的__________，使对于集合A 中的____________，在集合B中都有________________和它对应，那么就称f：________为从集合A到集合B的一个函数，记作__________________．其中x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________，与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．(2)值域是集合B的________．2．区间(1)设a，b是两个实数，且a<b，规定：①满足不等式__________的实数x的集合叫做闭区间，表示为________；②满足不等式__________的实数x的集合叫做开区间，表示为________；③满足不等式________或________的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为______________．(2)实数集R可以用区间表示为__________，“∞”读作“无穷大”，“＋∞”读作“__________”，“－∞”读作“________”．我们把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为________，________，________，______.一、选择题1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有()①y是x的函数②对于不同的x，y的值也不同③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来A．1个B．2个C．3个D．4个2．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有()A．①②③④B．①②③C．②③D．②3．下列各组函数中，表示同一个函数的是()A．y＝x－1和y＝x2－1 x＋1B．y＝x0和y＝1C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2D．f(x)＝(x)2x和g(x)＝x(x)24．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y＝2x2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有()A．10个B．9个C．8个D．4个5．函数y＝1－x＋x的定义域为()A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|x≥1或x≤0}D．{x|0≤x≤1}6．函数y＝x＋1的值域为()A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，0] D．(－∞，－1]二、填空题7．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：8．如果函数f (x )满足：对任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )f (b )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋f (4)f (3)＋f (5)f (4)＋…＋f (2011)f (2010)＝________. 9．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为______________．10．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________． 三、解答题11．已知函数f (1－x 1＋x )＝x ，求f (2)的值．能力提升12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．1．函数的判定判定一个对应关系是否为函数，关键是看对于数集A中的任一个值，按照对应关系所对应数集B中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数．2．由函数式求函数值，及由函数值求x，只要认清楚对应关系，然后对号入座就可以解决问题．3．求函数定义域的原则：①当f (x )以表格形式给出时，其定义域指表格中的x 的集合；②当f (x )以图象形式给出时，由图象范围决定；③当f (x )以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x 的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．§1.2 函数及其表示 1．2.1 函数的概念知识梳理1．(1)对应关系f 任意一个数x 唯一确定的数f (x ) A →B y ＝f (x )，x ∈A 自变量 定义域 函数值 值域 (2)子集2．(1)①a ≤x ≤b [a ，b ] ②a <x <b (a ，b ) ③a ≤x <b a <x ≤b [a ，b )，(a ，b ] (2)(－∞，＋∞) 正无穷大 负无穷大 [a ，＋∞) (a ，＋∞) (－∞，b ] (－∞，b ) 作业设计1．B [①、③正确；②不对，如f (x )＝x 2，当x ＝±1时y ＝1；④不对，f (x )不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．]2．C [①的定义域不是集合M ；②能；③能；④与函数的定义矛盾．故选C.]3．D [A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.]4．B [由2x 2－1＝1,2x 2－1＝7得x 的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．] 5．D [由题意可知⎩⎨⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.]6．B 7．3 2 1解析 g [f (1)]＝g (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝2，g [f (3)]＝g (1)＝1. 8．2010解析 由f (a ＋b )＝f (a )f (b )，令b ＝1，∵f (1)＝1， ∴f (a ＋1)＝f (a )，即f (a ＋1)f (a )＝1，由a 是任意实数， 所以当a 取1,2,3，…，2010时，得f (2)f (1)＝f (3)f (2)＝…＝f (2011)f (2010)＝1.故答案为2010.9．{－1,1,3,5,7}解析 ∵x ＝1,2,3,4,5，∴f (x )＝2x －3＝－1,1,3,5,7. 10．[0，13]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤1，0≤x ＋23≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12，－23≤x ≤13，即x ∈[0，13]．11．解 由1－x 1＋x＝2，解得x ＝－13，所以f (2)＝－13.12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11∶00至12∶00他骑了13千米．(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋(2＋2h )]h 2＝h 2＋2h (m 2)．。

2014--2015必修1期末复习试题一 选择题：1. 已知集合{}2A=y y x=，{}B=(,)x y y x =，则A B I 的子集个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 42.已知集合2{|log 1}A x x =<，{|0B x x c =<<，其中0}c >．若A B B =U ，则c 的取值范围是（ ）（A ）(0,1] （B ）[1,)+∞ （C ）(0,2] （D ）[2,)+∞3、已知全集U R =，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合()U A C B I 等于（ ）A 、{}|24x x -<≤B 、{}|34x x x ≤≥或C 、{}|21x x -<-≤D 、{}|13x x -≤≤ 4. 下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A ．2)(x x f =,x x g =)( B ．x x f =)(，xx x g 2)(=C ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(= D ．x a a x f log )(=a (＞0)1,≠a ,33)(x x g =5、下面的图象可表示函数y=f(x)的是 （ ）6. 已知函数(21)f x -的定义域为（1,2），则函数(1)f x +的定义域为（ ） A.（0,2） B.（1,2） C.（1,3） D.（0,3）7. 函数3()33xf x =-的值域为 （ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,0)(0,)-+∞UC ．(1,)-+∞D ．(,1)(0,)-∞-+∞U8、函数2231()2xx y -+=的单调递增区间为 （ ）A. (1,1)-B. [1,)+∞C. (,1]-∞D. (,)-∞+∞ 9.下列函数中，在R 上单调递增的是（ ）．A ．y x =B ．2log y x =C ．3y x = D ．1()2xy = 10、设5.144.09.0)21(,8,4-===c b a ，则 （ ） A ．c ＞a ＞bB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．a ＞c ＞b11.函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如下图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是()A ．[0，12]B ．[a ，1]C ．(－∞，0)∪[12，＋∞) D ．[a ，a ＋1]12.设()f x 是偶函数且在（-∞，0）上是减函数，(1)=0f -则不等式()xf x ＞0的解集 为（ ）A.（-1，0）∪（0,1）B.（-∞，-1）∪（1,+∞）C.（-1，0）∪（1,+∞）D.（-∞，-1）∪（0,1）13.已知()f x 是R 上的奇函数，且当x ≥0时，2()=2f x x x -+，则当x ＜0时，()f x 的解析式是（ ）A. ()=(2)f x x x -+B. ()=(2)f x x x -C. ()=(2)f x x x --D. ()=(2)f x x x + 14. 若函数1()(3)2x f x a a =-•是指数函数，则1()2f 的值为 （ ） A. 2 B. 22 C. 22- D. 2-15.若函数1xy a b =+-（a ＞0且a ≠1）的图象不经过第一象限，则有（ ） A. a ＞1且b ≤0 B. a ＞1且b ≤1 C. 0＜a ＜1且b ≤0 D. 0＜a ＜1且b ≤116．．根据表格中的数据，可以判定方程20xe x --=的一个根所在的区间为))(1,(N k k k ∈+，则k 的值为( )．A ．-1B ．0C ．1D ．2 17. 若0x 是方程1lg 0x x-=的根，则0x 属于区间（ ）A 、(]1,0B 、(]10,1C 、(]100,10D 、),100(+∞ 18. 如果1122log log 0x y <<，那么（ ）A 、1y x <<B 、1x y <<C 、1x y <<D 、1y x << 19.幂函数()y f x =的图象过点(4,2)，则幂函数()y f x =的图象是（ ）20..设定义域为R 的函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=--11121x ax x f x ，若关于x 的方程x－1 0 1 2 3 x e0.37 1 2.72 7.39 20.092x + 1 234522()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，32） C ．（1，2） D ．（1，32）∪（32，2）二、填空题21.若函数数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，且f (a )＋ f (－1)＝2，则a22. 已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x12-等于23. 若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = 24、若函数223()(1)x x f x am a +-=+>恒过定点（1,10），则m =_____________. 25、若函数2(2)1f x x x +=-+，则()f x 的解析式为____________________.26. f (x )＝(m 2－m －1)223mm x --是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m 的值为__________________.27.已知函数3()2cf x ax bx x=+++，(2)6f -=-，则(2)f = 28.已知函数1()2f x x=-（x ＞0），若存在实数m 、n （m ＜n ）使()f x 在区间（m ，n ） 上的值域为（tm ，tn ），则实数t 的取值范围是 三 .解答题： 29计算求值：(1)已知102,105,103abc===，求3210a b c -+的值.(2). 计算1324lg lg 8lg 45293-+30.已知函数1()26f x x x=---的定义域为集合A ，集合{}B x x =1＜＜8， {}C x x =a ＜＜2a+1（1）求A ，R C A)B I （ （2）若A ∪C=A ，求实数a 的取值范围 31.（本小题满分12分）已知函数f (x )＝2a ·4x－2x－1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )的零点； (2)若f (x )有零点，求a 的取值范围．32.已知函数()f x 的定义域为(-∞，0)∪(0,+∞),对定义域内任意的x 、y 都有()()()f xy f x f y =+，当x ＞1时，()f x ＞0且(2)=1f（1）判断()f x 奇偶性，并证明你的结论 （2）求证：()f x 在（0，+∞）上是增函数（3）解不等式：23(1)f x ＜33 . 某企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：单位是万元）（1）分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数，写出它们的函数关系式。

期末检测试卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1.命题“∃x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”的否定是( ) A.∃x ∈R ，x 3－x 2＋1<0 B.∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 C.∃x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 D.不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 『答 案』 B『解 析』 根据命题的否定知，∃x ∈R ，x 3－x 2＋1>0的否定为∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0，故选B.2.如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B.ab <b 2 C.－ab <－a 2 D.－1a <－1b『答 案』 D『解 析』 由于a <b <0，不妨令a ＝－2，b ＝－1， 可得1a ＝－12，1b ＝－1，∴1a >1b ，故A 不正确.可得ab ＝2，b 2＝1，∴ab >b 2，故B 不正确.可得－ab ＝－2，－a 2＝－4，∴－ab >－a 2，故C 不正确. 故选D.3.若正实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝1，则2a ＋5b 的最小值为( )A. 2B.2 2C.102D.2 『答 案』 D『解 析』 由正实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝1，得ab ＝10，则由基本不等式有2a ＋5b≥210ab＝2， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5b ，ab ＝10，即a ＝2，b ＝5时等号成立.故选D.4.已知角α终边上一点M 的坐标为(1，3)，则sin 2α等于( ) A.－12 B.12 C.－32 D.32『答 案』 D『解 析』 由角α终边上一点M 的坐标为(1，3)， 得sin α＝32，cos α＝12， 故sin 2α＝2sin αcos α＝32， 故选D.5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL 血液中酒精含量低于20 mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79 mg 的驾驶员即为酒后驾车，80 mg 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1 mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？( )(参考数据：lg 0.2≈－0.7，lg 0.3≈－0.5，lg 0.7≈－0.15，lg 0.8≈－0.1) A.1 B.3 C.5 D.7 『答 案』 C『解 析』 因为1小时后血液中酒精含量为(1－30%)mg/mL ， x 小时后血液中酒精含量为(1－30%)x mg/mL ，由题意知100 mL 血液中酒精含量低于20 mg 的驾驶员可以驾驶汽车， 所以(1－30%)x <0.2， 0.7x <0.2， 两边取对数得， lg0.7x <lg 0.2 ，x >lg 0.2lg 0.7＝143， 所以至少经过5个小时才能驾驶汽车. 故选C.6.若函数y ＝a |x |＋m －1(0<a <1)的图象和x 轴有交点，则实数m 的取值范围是( ) A.『1，＋∞) B.(0,1) C.(－∞，1) D.『0,1) 『答 案』 D『解 析』 函数y ＝a |x |＋m －1(0<a <1)的图象和x 轴有交点， 等价于函数y ＝a |x |的图象与y ＝1－m 的图象有交点， 0<a <1时，0<a |x |≤1，即0<1－m ≤1，解得0≤m <1， 即实数m 的取值范围是『0,1)， 故选D.7.已知函数f (x )＝x －2，若f (2a 2－5a ＋4)<f (a 2＋a ＋4)，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(2，＋∞) B.『2,6) C.⎝⎛⎦⎤0，12∪『2,6) D.(0,6)『答 案』 C『解 析』 易知函数f (x )＝x －2的定义域是『2，＋∞)，在定义域内是增函数，所以由f (2a 2－5a ＋4)<f (a 2＋a ＋4)得2≤2a 2－5a ＋4<a 2＋a ＋4， 解得0<a ≤12或2≤a <6.故选C.8.已知cos α＝13，cos(β－α)＝33，且0<β<α<π，则cos β等于( )A.－539B.－33C.239D.539『答 案』 D『解 析』 ∵ cos α＝13，cos(β－α)＝33，且0<β<α<π，∴－π<β－α<0，∴sin α＝1－19＝223，sin(β－α)＝－1－13＝－63， ∴cos β＝cos 『(β－α)＋α』 ＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α ＝13×33－223×⎝⎛⎭⎫－63＝539，故选D. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.下列四个命题：其中不正确的命题是( )A.函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0』上单调递增，则f (x )在R 上是增函数B.若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2与x 轴没有交点，则b 2－8a <0且a >0C.当a >b >c 时，则有bc >ac 成立D.y ＝1＋x 和y ＝(1＋x )2不表示同一个函数 『答 案』 ABC『解 析』 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，ln x ，x >0，满足在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0』上单调递增，但f (x )在R 上不是增函数，A 错；a ＝b ＝0时，f (x )＝2，它的图象与x 轴无交点，不满足b 2－8a <0且a >0，B 错； 当a >b >c ，但c ＝0时，ac ＝bc ，不等式bc >ac 不成立，C 错； y ＝(1＋x )2＝|x ＋1|，与y ＝x ＋1的对应关系不相同，值域也不相同，不是同一个函数，D正确.10.已知0<a <b <1，则下列不等式成立的是( ) A.⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛⎭⎫12bB.ln a >ln bC.1a >1bD.1ln a >1ln b『答 案』 ACD『解 析』 因为0<a <b <1，y ＝⎝⎛⎭⎫12x为减函数， 所以⎝⎛⎭⎫12a >⎝⎛⎭⎫12b ，因为0<a <b <1，y ＝ln x 为增函数，所以ln a <ln b <0，又因为y ＝1x 在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上也单调递减，所以1ln a >1ln b ，同理可得，1a >1b ，故选ACD.11.下列选项中，值为14的是( )A.cos 72°cos 36°B.sin π12sin 5π12C.1sin 50°＋3cos 50°D.13－23cos 215° 『答 案』 AB『解 析』 对于A ，cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.对于B ，sin π12sin 5π12＝sin π12cos π12＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.对于C ，原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝12cos 50°＋32sin 50°14×2sin 50°cos 50°＝sin 80°14sin 100°＝sin 80°14sin 80°＝4.对于D ，13－23cos 215°＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30°＝－36.12.已知函数f (x )＝x 4＋2x 2＋a x 2＋1(x ∈R )的值域为『m ，＋∞)，则实数a 与实数m 的取值可能为( )A.a ＝0，m ＝0B.a ＝1，m ＝1C.a ＝3，m ＝3D.a ＝2，m ＝ 2 『答 案』 ABD『解 析』 f (x )＝x 4＋2x 2＋a x 2＋1＝(x 2＋1)2＋a －1x 2＋1＝x 2＋1＋a －1x 2＋1， 设x 2＋1＝t ，t ≥1，则y ＝t ＋a －1t.当a ＝0时，y ＝t －1t在『1，＋∞)上单调递增，t ＝1时，y ＝0，故y ∈『0，＋∞)，A 正确；当a ＝1时，y ＝t 在『1，＋∞)上单调递增，t ＝1时，y ＝1，故y ∈『1，＋∞)，B 正确； 当a ＝3时，y ＝t ＋2t 在『1，2)上单调递减，在『2，＋∞)上单调递增，故y min ＝22，C错误；当a ＝2时，y ＝t ＋2－1t在『1，＋∞)上单调递增，t ＝1时，y ＝2，故y ∈『2，＋∞)，D 正确. 故选ABD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.lg 4＋lg 25－(0.5－2－2)×23278⎛⎫⎪⎝⎭的值是________. 『答 案』 －52『解 析』 原式＝lg 100－2×94＝2－92＝－52.14.已知a >0，b >0，a ＋2b ＝4，则a ＋1a 的最小值为________，1a ＋1b 的最小值为________.(本题第一空2分，第二空3分) 『答 案』 23＋224『解 析』 a ＋1a ≥2a ·1a ＝2，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时“＝”成立； 1a ＋1b ＝14⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋2b ) ＝14⎝⎛⎭⎫1＋2＋2b a ＋a b ≥14⎝⎛⎭⎫3＋22b a ·a b ＝3＋224. 当且仅当2b a ＝ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝42－4，b ＝4－22时“＝”成立.15.已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围为________. 『答 案』 {a |a ≥2}『解 析』 由题意，集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，可得∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}， 又由A ∪(∁R B )＝R ，所以a ≥2.16.设常数a ∈R ，则方程|x ＋a |·e x ＝1的解的个数组成的集合是A ＝________.『答 案』 {1,2,3}『解 析』 由题意得，|x ＋a |·e x ＝1⇔|x ＋a |＝1e x ，设f (x )＝⎝⎛⎭⎫1e x ，g (x )＝|x ＋a |，在直角坐标系中分别画f (x )，g (x )的图象，如图所示，所以方程解的个数可能为1或2或3. 故『答 案』为{1,2,3}.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知p ：函数f (x )＝(a －m )x 在R 上是减函数，q ：关于x 的方程x 2－2ax ＋a 2－1＝0的两根都大于1.(1)当m ＝5时，p 是真命题，求a 的取值范围；(2)若p 为真命题是q 为真命题的充分不必要条件，求m 的取值范围. 解 (1)因为m ＝5，所以f (x )＝(a －5)x ， 因为p 是真命题，所以0<a －5<1，所以5<a <6. 故a 的取值范围是(5,6).(2)若p 是真命题，则0<a －m <1，解得m <a <m ＋1.关于x 的方程x 2－2ax ＋a 2－1＝0的两根分别为a －1和a ＋1. 若q 是真命题，则a －1>1，解得a >2.因为p 为真命题是q 为真命题的充分不必要条件， 所以m ≥2.18.(12分)已知函数f (x )＝3sin 3x －a cos 3x ＋a ，且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝3. (1)求a 的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间. 解 (1)因为f ⎝⎛⎭⎫2π9＝3，所以3sin ⎝⎛⎭⎫3×2π9－a cos ⎝⎛⎭⎫3×2π9＋a ＝3，所以32＋a 2＋a ＝3，即32＋32a ＝3，解得a ＝1.(2)由(1)可得f (x )＝3sin 3x －cos 3x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π6＋1， 则f (x )的最小正周期为T ＝2π3.令2k π－π2≤3x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π3－π9≤x ≤2k π3＋2π9，k ∈Z ，故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π3－π9，2k π3＋2π9，k ∈Z .19.(12分)已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25. (1)试求函数f (x )的『解 析』式； (2)证明函数在定义域内是增函数. (1)解 由f (0)＝0得b ＝0， 由f ⎝⎛⎭⎫12＝25得a ＝1， 所以f (x )＝x 1＋x2. (2)证明 任取x 1，x 2∈(－1,1)，x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1(1＋x 22)－x 2(1＋x 21)(1＋x 21)(1＋x 22)＝(x 1－x 2)＋x 1x 2(x 2－x 1)(1＋x 21)(1＋x 22)＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22)， ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0，(1＋x 21)(1＋x 22)>0，∴x 1x 2<1，∴1－x 1x 2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )＝x 1＋x2在定义域内是增函数. 20.(12分)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)，其中a ，b 均为实数. (1)若函数f (x )的图象经过点A (0,2)，B (1,3)，求函数y ＝1f (x )的值域；(2)如果函数f (x )的定义域和值域都是『－1,1』，求a ＋b 的值. 解 (1)函数f (x )的图象经过点A (0,2)，B (1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 0＋b ＝2，a 1＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，所以f (x )＝2x ＋1，因为2x >0,2x ＋1>1，即f (x )>1，所以y ＝1f (x )∈(0,1)， 故y ＝1f (x )的值域为(0,1). (2)利用指数函数的单调性建立关于a ，b 的方程组求解. 当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在『－1,1』上单调递增，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＋b ＝－1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2＋1，b ＝－2，a ＋b ＝1，当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在『－1,1』上单调递减，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＋b ＝1，a ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2－1，b ＝－2，a ＋b ＝－1.综上，a ＋b ＝±1.21.(12分)如图，在半径为3，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点N ，M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y .(1)按下列要求写出函数的关系式： ①设PN ＝x ，将y 表示成x 的函数关系式； ②设∠POB ＝θ，将y 表示成θ的函数关系式； (2)请你选用(1)中的一个函数关系式，求出y 的最大值. 解 (1)①因为QM ＝PN ＝x ，所以MN ＝ON －OM ＝3－x 2－x3， 所以y ＝MN ·PN ＝x ·3－x 2－33x 2⎝⎛⎭⎫0<x <32. ②当∠POB ＝θ时，QM ＝PN ＝3sin θ，则OM ＝sin θ，又ON ＝3cos θ，所以MN ＝ON －OM ＝3cos θ－sin θ， 所以y ＝MN ·PN ＝3sin θcos θ－3sin 2θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π3. (2)由②得，y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6－32， 当θ＝π6时，y 取得最大值为32.22.(12分)已知函数f (x )＝log 2(4x ＋1)＋mx . (1)若f (x )是偶函数，求实数m 的值；(2)当m >0时，关于x 的方程f ⎣⎡⎦⎤8(log 4x )2＋2log 21x ＋4m －4 ＝1在区间『1,22』上恰有两个不同的实数解，求m 的取值范围. 解 (1)f (x )＝log 2(4x ＋1)＋mx ，f (－x )＝log 2(4－x ＋1)－mx ，f (x )＝f (－x )， 即log 2(4x ＋1)＋mx ＝log 2(4－x ＋1)－mx ， 化简得到2x ＝－2mx ，∴m ＝－1.(2)m >0，函数f (x )＝log 2(4x ＋1)＋mx 单调递增，且f (0)＝1， f ⎣⎡⎦⎤8(log 4x )2＋2log 2 1x ＋4m －4＝1＝f (0)， 故8(log 4x )2＋2log 2 1x ＋4m－4＝0，设log 2x ＝t ，t ∈⎣⎡⎦⎤0，32，即－2t 2＋2t ＋4＝4m，画出y ＝－2t 2＋2t ＋4的图象，如图所示，根据图象知4≤4m <92，解得89<m ≤1，即m ∈⎝⎛⎦⎤89，1.。

人教A版高一数学必修第一册全册复习检测题卷（共30题）一、选择题（共10题）1.对于任意实数x，⟨x⟩表示不小于x的最小整数，例如⟨1.1⟩=2，⟨−1.1⟩=−1，则“∣x−y∣<1”是“⟨x⟩=⟨y⟩”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.设全集U=R，集合A={x∣ x2−2x−3<0}，B={x∣ x−1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A．{x∣ x≤−1或x≥3}B．{x∣ x<1或x≥3}C．{x∣ x≤1}D．{x∣ x≤−1}3.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，M={1,3,5,7}，N={5,6,7}，则∁U(M∪N)=( )A．{5,7}B．{2,4}C．{1,3,5,6,7}D．{1,3,4,6}4.下列选项中，p是q的必要不充分条件的是( )A．p:x=1，q:x2=xB．p:∣a∣>∣b∣，q:a2>b2C．p:x>a2+b2，q:x>2abD．p:a+c>b+d，q:a>b且c>d∣a>b,a∈A,b∈A}，则A∩B=( )5.设集合A={2,3,4,6}，B={abA．{2}B．{2,3}C．{2,3,4}D．{2,3,4,6}6.设全集U={1,2,3,4,5}，A={1,2}，B={2,3,4}，则(∁U A)∩B=( )A．{3,4}B．{3,4,5}C．{2,3,4,5}D．{1,2,3,4}7.设全集U={1,2,3,4,5,6}，A={1,2}，B={2,3,4}，则A∩(∁U B)=( )A．{1,2,5,6}B．{1,2,3,4}C．{2}D．{1}8.已知{1,2}∪{x+1,x2−4x+6}={1,2,3}，则x=( )A．2B．1C．2或1D．1或39.已知命题p:∃x∈R，x2+2x−3≥0，则命题p的否定¬p为( )A．∃x∈R，x2+2x−3≤0B．∀x∈R，x2+2x−3≥0C．∃x∈R，x2+2x−3<0D．∀x∈R，x2+2x−3<010.将“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题，下列说法正确的是( )A．对任意x,y∈R，都有x2+y2≥2xyB．存在x,y∈R，使x2+y2≥2xyC．对任意x>0，y>0，都有x2+y2≥2xyD．存在x<0，y<0，使x2+y2≥2xy二、填空题（共10题）11.已知A={−3,−2,−1,0,1,2,3}，a,b∈A，则满足∣a∣<∣b∣的情况有种．12.终边在x轴上的角的全体用集合表示是．13.已知集合A={1,2}，B={x∣ x2+mx+1=0,x∈R}，若B⊆A，则实数m的取值范围为．14.下列命题是全称量词命题的是；是存在量词命题的是．①正方形的四条边相等；②有两个角是45∘的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．15.集合的分类（1）有限集：含有个元素的集合叫做有限集．（2）无限集：含有个元素的集合叫做无限集．规定：元素的集合叫做空集，记作∅．16.设集合A={x∣ −1<x<3,x∈R}，B={x∣ x≥a,x∈R,a∈R}，满足A⊂∁RB，则a的取值范围是．17.已知集合P中含有0，2，5三个元素，集合Q中含有1，2，6三个元素，若定义集合P+Q中的元素为a+b，其中a∈P，b∈Q，则集合P+Q中所有元素的和为．18.已知A={x∣ x2−3x+2<0}，B={x∣ 1<x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是．19.已知命题p：“∃x0∈R，4x0−2x0+1+m=0”．若命题¬p是假命题，则实数m的取值范围是．20.设集合A={2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B=．三、解答题（共10题）21.写出下列命题的否定：(1) ∀x∈R，2x+4≥0；(2) ∃x,y∈N，2x+y=10．22.判断集合A与B的包含关系，并证明：(1) A={x∣ x=k2+14,k∈Z}，B={x∣ x=k4+12,k∈Z}；(2) A={x∣ x=14m+36n,m∈Z,n∈Z}，B={x∣ x=2k,k∈Z}．23.下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1) p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；(2) p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；(3) p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集．24.设集合A={x∣ −2<x<4}，集合B={x∣ x2−3ax+2a2=0}．(1) 求使A∩B=B的实数a的取值范围；(2) 是否存在实数a，使A∩B≠∅成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．25.设集合A={(x−1)2,7x−3,5}，B{25,6x+1,5x+9}，若A∩B={25}，求A∪B．26.用描述法表示下列集合：(1) 正奇数集；(2) 被3除余2的正整数集；(3) 平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合；(4) 方程x−y=−1的所有解组成的集合．27.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1) 平面直角坐标系下每条直线都与x轴相交；(2) 每个二次函数的图象都是轴对称图形；(3) 存在一个三角形，它的内角和小于180∘；(4) 存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上．28.已知“▫x∈{x∣ −1<x<1}，使等式x2−x−m=0成立”是真命题．(1) 求实数m的取值集合M；(2) 设不等式(x−a)(x+a−2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求实数a的取值范围．29.已知集合A={x∣ x=m2−n2,m,n∈Z}．求证：偶数4k−2(k∈Z)不属于集合A．30.试判断“一个自然数能被5整除”是“这个自然数的末位数是5”的什么条件？说明理由．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】B【解析】令x=1.8，y=0.9，满足∣x−y∣<1，但⟨1.8⟩=2，⟨0.9⟩=1，⟨x⟩≠⟨y⟩；而当⟨x⟩=⟨y⟩时，必有∣x−y∣<1，所以“∣x−y∣<1”是“⟨x⟩=⟨y⟩”的必要不充分条件．【知识点】充分条件与必要条件2. 【答案】D【解析】由图象可知阴影部分对应的集合为∁U(A∪B)，由x2−2x−3<0得−1<x<3，即A=(−1,3)，因为B={x∣ x≥1}，所以A∪B=(−1,+∞)，则∁U(A∪B)=(−∞,−1]．【知识点】集合基本运算的Venn图示3. 【答案】B【解析】M={1,3,5,7}，N={5,6,7}，则M∪N={1,3,5,6,7}，又全集U={1,2,3,4,5,6,7}，∁U(M∪N)={2,4}．【知识点】交、并、补集运算4. 【答案】D【解析】A中，x=1⇒x2=x，x2=x⇒x=0或x=1⇒x=1，故p是q的充分不必要条件；B中，因为∣a∣>∣b∣，根据不等式的性质可得a2>b2，反之也成立，故p是q的充要条件；C中，因为a2+b2≥2ab，由x>a2+b2，得x>2ab，反之不成立，故p是q的充分不必要条件；D中，取a=−1，b=1，c=0，d=−3，满足a+c>b+d，但是a<b，c>d，反之，由同向不等式可加性得a>b，c>d⇒a+c>b+d，故p是q的必要不充分条件．综上所述，故选D．【知识点】充分条件与必要条件5. 【答案】B【解析】当b=2时，ab 的值为32，2，3；当b=3时，ab 的值为43，2；当b=4时，ab 的值为32，所以B={32,2,3,43}，故A∩B={2,3}．【知识点】交、并、补集运算6. 【答案】A【知识点】交、并、补集运算7. 【答案】D【解析】因为全集U={1,2,3,4,5,6}，B={2,3,4}，所以∁U B={1,5,6}，又因为A={1,2}，所以A∩(∁U B)={1}．【知识点】交、并、补集运算8. 【答案】C【解析】因为并集中含有3，所以x+1=3或x2−4x+6=3，当x+1=3，即x=2时，x2−4x+6=2，满足题意，当x2−4x+6=3时，解得x=1或x=3，若x=1，则x+1=2，满足题意，若x=3，则x+1=4，不满足题意，故x=1或x=2．【知识点】集合相等9. 【答案】D【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题p:∃x∈R，x2+2x−3≥0的否定是：∀x∈R，x2+2x−3<0．【知识点】全（特）称命题的否定10. 【答案】A【解析】“任意”是全称量词，x，y的取值为全体实数R，显然A选项正确．【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断二、填空题（共10题）11. 【答案】18【解析】枚举法：a−3−2−10123 b无3,−3±3,±2±3,±2,±1±3,±23,−3无种数0246420【知识点】元素和集合的关系12. 【答案】 {x∣ x =kπ,k ∈Z }【知识点】集合的表示方法13. 【答案】 [−2,2)【解析】①若 B =∅，则 Δ=m 2−4<0，解得 −2<m <2．②若 1∈B ，则 12+m +1=0，解得 m =−2，此时 B ={1}，符合题意； ③若 2∈B ，则 22+2m +1=0， 解得 m =−52，此时 B ={2,12}，不合题意． 综上所述，实数 m 的取值范围为 [−2,2)． 【知识点】包含关系、子集与真子集14. 【答案】①③；②④【解析】①③是全称量词命题，②④是存在量词命题． 【知识点】全称命题与特称命题15. 【答案】有限；无限；不含任何【知识点】集合的概念16. 【答案】 [3,+∞)【知识点】交、并、补集运算17. 【答案】 42【解析】由 a ∈P ，b ∈Q 得 a +b 的取值分别为 1，2，3，4，6，7，8，11． 故集合 P +Q 中所有元素的和为 42． 【知识点】元素和集合的关系18. 【答案】 [2,+∞)【解析】因为 A ={x∣ x 2−3x +2<0}={x∣ 1<x <2}⊆B ，所以 a ≥2． 【知识点】包含关系、子集与真子集19. 【答案】 (−∞,1]【解析】因为命题 ¬p 是假命题，所以 p 是真命题，即 ∃x 0∈R ，4x 0−2x 0+1+m =0， 所以 m =−4x +2x+1，x ∈R 有解即可，令 y =−4x +2x+1=−(2x )2+2×2x ，2x >0，利用二次函数可知 y ≤1，故 m ≤1． 【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断20. 【答案】{2,3,4,5}【知识点】交、并、补集运算三、解答题（共10题）21. 【答案】(1) 这是一个全称量词命题，其否定为存在量词命题，即∃x∈R，2x+4<0．(2) 这是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题，即∀x,y∈N，2x+y≠10．【知识点】全（特）称命题的否定22. 【答案】(1) A⫋B．理由如下：任取a∈A，则存在k1∈Z，使得a=k12+14=2k1+14=2k1−1+24=2k1−14+12，因为2k1+1是整数，所以a∈B，这表明A⊆B．另外，发现12∈B，但12∉A．综上，有A⫋B．(2) A=B．理由如下：任取x∈A，则存在m∈Z，n∈Z，使得x=14m+36n，于是x=2(7m+18n)∈B，这表明A⊆B；另一方面，任取x∈B，则存在k∈Z，使得x=2k，因为2k=14(−5k)+36(2k)∈A，于是x∈A，这表明B⊆A．综上，A=B．【知识点】包含关系、子集与真子集23. 【答案】(1) p是q的充要条件．(2) p不是q的充要条件．(3) p不是q的充要条件．【知识点】充分条件与必要条件24. 【答案】(1) −1<a<2．(2) −2<a<4．【知识点】交、并、补集运算25. 【答案】由 A ∩B ={25} 得 25∈A ，所以 (x −1)2=25 或 7x −3=25， 解得 x =6 或 x =−4 或 x =4．当 x =6 时，A ={25,39,5}，B ={25,37,39}，A ∩B ={25,39}，不满足题意，故 x =6 舍去； 当 x =−4 时，A ={25,−31,5}，B ={25,−23,−11}，A ∩B ={25}，满足题意，此时 A ∪B ={25,−31,5,−23,−11}；当 x =4 时，A ={9,25,5}，B ={25,25,29}，B 中元素不满足集合中元素的互异性，故 x =4 舍去．综上，A ∪B ={25,−31,5,−23,−11}． 【知识点】交、并、补集运算26. 【答案】(1) 正奇数集可表示为 {x∣ x =2n −1,n ∈N ∗}．(2) 被 3 除余 2 的正整数集可表示为 {x∣ x =3n +2,n ∈N }．(3) 平面直角坐标系中坐标轴上的点 (x,y ) 的特点是横、纵坐标中至少有一个为 0，即 xy =0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合可表示为 {(x,y )∣ xy =0}．(4) 因为方程 x −y =−1 的解是满足方程的有序实数对 (x,y )，所以所有解组成的集合为 {(x,y )∣ x −y =−1}． 【知识点】集合的表示方法27. 【答案】(1) 假命题，命题的否定：平面直角坐标系下存在一条直线不与 x 轴相交．(2) 真命题，命题的否定：存在一个二次函数的图象，它不关于一条直线对称．(3) 假命题，命题的否定：所有三角形的内角和大于或等于 180∘．(4) 真命题，命题的否定：所有四边形的四个顶点在同一个圆上．【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断、全（特）称命题的否定28. 【答案】(1) 由题意，知 m =x 2−x =(x −12)2−14． 由 −1<x <1，得 −14≤m <2， 故 M ={m∣ −14≤m <2}．(2) 由 x ∈N 是 x ∈M 的必要条件，知 M▫N ．①当 a >2−a ，即 a >1 时，N ={x∣ 2−a <x <a }，则 {a >1,2−a <−14,a ≥2,解得 a >94．②当 a <2−a ，即 a <1 时，N ={x∣ a <x <2−a }， 则 {a <1,a <−14,2−a ≥2,解得 a <−14．③当 a =2−a ，即 a =1 时，N =∅，不满足 M▫N ． 综上可得，实数 a 的取值范围为 {a∣ a <−14或a >94}．【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断、充分条件与必要条件29. 【答案】假设 4k −2(k ∈Z )∈A ，则存在 m,n ∈Z ，使 4k −2=m 2−n 2=(m +n )(m −n ) 成立．①当 m ，n 同奇或同偶时，m +n ，m −n 均为偶数，所以 (m +n )(m −n ) 为 4 的倍数，与 4k −2 不是 4 的倍数矛盾；②当 m ，n 一奇一偶时，m +n ，m −n 均为奇数，所以 (m +n )(m −n ) 为奇数，与 4k −2 是偶数矛盾． 所以假设不成立．综上，偶数 4k −2(k ∈Z ) 不属于集合 A ． 【知识点】元素和集合的关系30. 【答案】必要非充分条件，理由如下：当一个自然数的末位数是 5 时，这个自然数能被 5 整除；而当一个自然数的末位数是 0 时，这个自然数也能被 5 整除，如 10 能被 5 整除． 故“一个自然数能被 5 整除”是“这个自然数的末位数，是 5”的必要非充分条件．【知识点】充分条件与必要条件。

一、选择题1．设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式是（ ）A ．21x +B ．21x -C ．23x -D ．27x + 2．函数)23(,32)(-≠+=x x cx x f 满足,)]([x x f f =则常数c 等于（ ） A ．3 B ．3- C ．33-或 D ．35-或3．已知)0(1)]([,21)(22≠-=-=x xx x g f x x g ，那么)21(f 等于（ ） A ．15 B ．1C ．3D ．304．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ）A ．[]052， B. []-14， C. []-55， D. []-37，5．函数2y =的值域是（ ）A ．[2,2]-B ．[1,2]C ．[0,2] D．[6．已知2211()11x x f x x --=++，则()f x 的解析式为（ ） A ．21x x + B ．212x x+-C ．212x x +D ．21x x+-二、填空题1．若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪==⎨⎪<⎩，则((0))f f = ．2．若函数x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = .3．函数()f x =的值域是 。

4．已知⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解集是 。

5．设函数21y ax a =++，当11x -≤≤时，y 的值有正有负，则实数a 的范围 。

三、解答题1．设,αβ是方程24420,()x mx m x R -++=∈的两实根,当m 为何值时,22αβ+有最小值?求出这个最小值.2．求下列函数的定义域 （1）y =（2）11122--+-=x x x y （3）xx y ---=11113．求下列函数的值域 （1）x x y -+=43 （2）34252+-=x x y （3）x x y --=214．作出函数(]6,3,762∈+-=x x x y 的图象。

1BH1C1D 1A高一（上）数学第一学期期末复习卷 2015-1-30一、选择题：1、已知直线l 的方程为1y x =+，那么该直线l 的倾斜角大小等于（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．1352、已知全集{}12345U =，，，，，且{}234A =，，，{}12B =，，那么)(B C A U ⋂等于（ ） A ．{}2B ．{}5C ．{}34，D ．{}2345，，，3、已知两个球的表面积之比为1∶9，则这两个球的半径之比为（ ） A ．1∶3 B ．1∶3 C ．1∶9 D ．1∶814、下列结论中正确的是（ ）A 、幂函数的图象都通过点（0，0），（1，1）B 、幂函数的图象可以出现在第四象限C 、当幂指数α=-1时，幂函数y x =α是其定义域上的减函数D 、当幂指数α取1，12，3时，幂函数y x =α是其定义域上的增函数 5、下列命题：①平行于同一平面的两直线相互平行；②平行于同一直线的两平面相互平行；③垂直于同一平面的两平面相互平行；④垂直于同一直线的两平面相互平行；⑤垂直于同一直线的两直线相互平行. 其中正确的有（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个6、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，，分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角大小等于（ ） A ．45B ．60C ．90D ．1207、过直线x y +-=10与直线x y -+=10的交点，且与直线357x y +=平行的直线的方程是（ ）A. 5330x y +-=B. 5330x y -+=A B C xOyC. 3550x y +-=D. 3550x y ++= 8、函数()0.5log 43y x =-的定义域是（ ）A 、[)1,+∞B 、3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C 、3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D 、3,14⎛⎤⎥⎝⎦9、直线063=--y x 被圆04222=--+y x y x 截得的弦AB 长度等于（ ） A 、210 B 、10 C 、510 D 、5102 10、某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（ ）A ．108元B 、105元C 、106元D 、118元11、若函数22)(23--+=x x x x f 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)=-2f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984 f(1.375)=-0.260 f(1.438)=0.165f(1.4065)=-0.052则方程02223=--+x x x 的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5 12、若函数()11x mf x e =+-是奇函数,则实数m 的值是（ ） A ．0 B ．21C ．1D ．2 二、填空题:13、圆36)3()1(22=-++y x 与圆1)1()2(22=++-y x 的位置关系是 ． 14、如图所示，ACB 为一圆拱形，且A ，B ，C 的坐标分别为(4,0),(4,0),(0,2),-那么该圆拱形所在的圆的方程是 ． 15、已知正方体1111ABCD A B C D -不在同一表面上的两顶点的坐标为)1,2,1(--B ，)3,2,3(1-D ，则此正方体的体积等 于 ．16、老师给出了一个函数y f x =()，四个同学各指出了这个函数的一个性质：甲：对于任意实数x ，都有)1()1(x f x f +=-； 乙：在(]-∞，0上递减；丙：在)0(∞+，上递增； 丁：f(0)不是它的最小值. 如果其中恰有三个答对了，请写出一个这样的函数__________________．三、解答题:17、已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点。

一、选择题1．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼会很快失去新鲜度.已知某种鱼失去的新鲜度h 与其出水后时间t （分）满足的函数关系式为t h m a =⋅．若出水后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出水后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%．那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知lg 20.3≈，结果取整数）（ ）A ．33分钟B ．43分钟C ．50分钟D ．56分钟2．具有性质：1()()ff x x=-的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数.给出下列函数：①1ln 1x y x -=+；②2211x y x -=+；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==-> 其中满足“倒负”变换的函数是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①3．设一元二次方程22210mx x m -++=的两个实根为1x ，2x ，则2212x x +的最小值为（ ） A ．178-B ．154C ．1D ．44．如图是指数函数①y =x a ；②y =x b ；③y =c x ；④y =d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是（ ）A ．a <b <1<c <dB ．b <a <1<d <cC ．1<a <b <c <dD ．a <b <1<d <c5．函数2y 34x x =--+ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 6．函数32ln ||()x x f x x-=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．对二次函数()2f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）． A ．1-是()0f x =的一个解 B ．直线1x =是()f x 的对称轴 C ．3是()f x 的最大值或最小值D ．点()2,8在()f x 的图象上8．若函数()()21225,012,1bb x f x x x b x x -⎧-+<<⎪=⎨⎪+-≥⎩对于任意的实数12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，则实数b 的取值范围为（ ）A ．1,42⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[)4,+∞C ．[]1,4D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭9．函数sin y x x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知集合{|0}M y y =≥，2{|1}N y y x ==-+，则M N =（ ）A ．()0,1B ．[]0,1C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞11．记有限集合M 中元素的个数为||M ，且||0∅=，对于非空有限集合A 、B ，下列结论：① 若||||A B ≤，则A B ⊆；② 若||||AB A B =，则A B =；③ 若||0A B =，则A 、B 中至少有个是空集；④ 若AB =∅，则||||||A B A B =+；其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知集合2{|120}A x x x =--≤, {|211}B x m x m =-<<+.且A B B =，则实数m 的取值范围为 ( ) A ．[-1，2)B ．[-1，3]C ．[-2，+∞)D ．[-1，+∞)二、填空题13．已知f (x )＝23,123,1x x x x x +≤⎧⎨-++>⎩，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为________．14．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，如[1.6]=1，[2]=2，()[]g x x x =-．若方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根，则a 的取值范围为________．15．已知函数()32log f x x =+，[]1,3x ∈，则函数()()221y f x f x =++的值域为____________. 16．已知1122x x-+=22165x x x x --+-=+-______.17．已知定义在 +R 上的函数 ()f x 同时满足下列三个条件：① ()31f =-；②对任意x y +∈R ， 都有 ()()()f xy f x f y =+；③ 1x > 时 ()0f x <，则不等式()()612f x f x <-- 的解集为___________．18．若函数2(21)1,0()(2),0b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+-≤⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，那么b 的取值范围是_____．19．已知集合(){|221,}A k k k Z απαπ=≤≤+∈，{|55}B a α=-≤≤，则A B ⋂=__________．20．设集合{}1,2,3A =，若B ≠∅，且B A ⊆，记G(B)为B 中元素的最大值和最小值之和，则对所有的B ，G(B)的平均值是_______.三、解答题21．已知函数()221g x ax x b =-++，函数()g x 有两个零点分别是1-和3.（1）若存在[]01,3x ∈，使不等式()000g x mx ≥-成立，求实数m 的取值范围；（2）记()()32f x g x kx k =-+，若方程()210xf -=有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.22．有A 、B 两城相距120km ，某天然气公司计划修建一条管道为两城供气，并在两城之间设立供气站点D （如图），为保证城市安全，规定站点D 距两城市的距离均不得少于15km ．又已知A 城一边有段10km 长的旧管道AC ，准备改造利用，改造费用为5万元//km ，其余地段都要新建，新建的费用（含站点D ）与站点D 到A 、B 两城方向上新修建的长度的平方和成正比．．．．．．．．．，并且当站点D 距A 城距离为40km 时，新建的费用为1825万元．设站点D 距A 城的距离为km x ，A ，B 两城之间天然气管道的建设总费用为y 万元．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出其定义域；（2）天然气站点D 距A 城多远时，建设总费用最小？最小总费用多少？23．已知函数22()log (23).f x x x =-++（1）求函数()f x 的定义域和值域；（2）写出函数()f x 的单调增区间和减区间（不要求证明）. 24．已知函数()lg(3)f x ax =-的图像经过定点(2,0)． (1)求a 的值；(2)设(3),(5)f m f n ==，求21log 63（用,m n 表示）；25．定义在()0,∞+的函数()f x ，满足()()()f mn f m f n =+，且当1x >时，()0f x >.（1）求证：()()m f f m f n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）讨论函数()f x 的单调性，并说明理由； （3）若()21f =，解不等式()()333f x f x +->. 26．已知全集为实数集R ，集合2{|13,},{|log 1}A x y x x y R B x x =--∈=>.（1）求AB ；（2）设1a >，集合{|1},()R C x x a D C B A =<<=，若C D ⊆，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【分析】根据已知条件可得出10200.10.2m a m a ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可求得m 、a 的值，可得出h 关于t 的函数关系式，然后令1h =求出t 的值，即可得解. 【详解】由题意可得10200.10.2m a m a ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得1101202m a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以，101220t h =⨯， 令1012120th =⨯=，可得10220t =，所以，()()210lg10lg 2101lg 210lg 2010 1.310log 2043lg 2lg 2lg 20.3t ++⨯====≈≈（分钟）. 因此，打上来的这种鱼在43分钟后开始失去全部新鲜度. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于理解题中的条件，结合给定的函数模型以及题中的数据求解函数模型的解析式，即可求解.2．C解析：C 【解析】①1ln 1x y x -=+；1111()ln ln ()111x x f f x x x x--==≠-++所以不符合题意；②2211x y x -=+；22221111()()111x x f f x x x x --===-++所以符合题意；③,01,{0,1,1, 1.x x y x x x<<==->当01x <<时11x >，故1()()f x f x x =-=-，当1,x =时11x =显然满足题意，当1x >时，101x <<，故11()()f f x x x==-符合题意，综合得选C 点睛：新定义倒负函数，根据题意逐一验证()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是否成立，在计算中要注意对数的公式得灵活变幻，对于分段函数要注意逐段去讨论3．C解析：C 【分析】由一元二次方程有两个实根,可知0m ≠且0∆≥,可求出m 的取值范围,然后结合韦达定理可得到2212x x +的表达式,结合m 的取值范围可求出答案.【详解】∵一元二次方程210mx m -++=有两个实根,∴(()20410m m m ≠⎧⎪⎨∆=--+≥⎪⎩,解得21m -≤≤且0m ≠.又12x x m+=,121m x x m +⋅=,则()2221212122x x x x x x +=+-⋅212m m m ⎛⎫+-⨯ ⎪⎪= ⎝⎭2822m m =-- 令1t m=,因为21m -≤≤且0m ≠,所以12t ≤-或1t ≥,则221222117822888t t t x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭+,当12t =-时,2212x x +取得最小值2111781288⎛⎫---= ⎪⎝⎭.故选:C. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用,考查韦达定理的应用,考查学生的计算能力与推理能力,属于中档题.4．B解析：B 【分析】根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】根据函数图象可知函数①y =x a ；②y =x b 为减函数，且1x =时，②y =1b <①y =1a ， 所以1b a <<，根据函数图象可知函数③y =c x ；④y =d x 为增函数，且1x =时，③y =c 1>④y =d 1， 所以1c d >> 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，指数函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.5．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C6．A解析：A 【分析】判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项． 【详解】解：函数的定义域为{0}xx ≠∣， 因为3322()ln ||ln ||()()()x x x x f x f x x x-----===-，所以()f x 为偶函数，所以排除C ,D,又因为当0x >时，322ln ln ()x x xf x x x x-==-， 当x →+∞时，()f x →+∞，所以排除B故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，即通过判断函数的性质，特殊的函数值或函数值的变化趋势等，排除错误选项，得出正确答案．7．A解析：A 【分析】可采取排除法，分别考虑A 、B 、C 、D 中有一个错误，通过解方程求得a ，判断a 是否为非零整数，即可得出结论. 【详解】①若A 错，则B 、C 、D 正确，直线1x =是()f x 的对称轴，则12ba-=， 3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=，点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，可得212434428b a ac baa b c ⎧-=⎪⎪-⎪=⎨⎪++=⎪⎪⎩，解得5108a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，合乎题意； ②若B 错，则A 、C 、D 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=，3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=，点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，可得20434428a b c ac b a a b c -+=⎧⎪-⎪=⎨⎪++=⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意； ③若C 错误，则A 、B 、D 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=， 直线1x =是()f x 的对称轴，则12ba-=， 点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，可得012428a b c b a a b c -+=⎧⎪⎪-=⎨⎪++=⎪⎩，解得831638a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，不合乎题意；④若D 错误，则A 、B 、C 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=， 直线1x =是()f x 的对称轴，则12ba-=， 3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=，可得2012434a b c b a ac b a⎧⎪-+=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得343294a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，不合乎题意.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用二次函数的基本性质求解参数，解本题的关键就是根据已知信息列出关于a 、b 、c 的方程组，解出参数的值，再逐一判断.8．C解析：C 【分析】根据函数单调性的定义判断出函数()f x 为()0,∞+上的增函数，进而可得出关于实数b 的不等式组，由此可解得实数b 的取值范围.【详解】对任意的正实数1x 、2x ，当12x x ≠时，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦， 不妨设12x x >，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 所以，函数()f x 为()0,∞+上的增函数，则()()120212122512b b b b b -<⎧⎪-⎪≤⎨⎪--+≤+-⎪⎩，解得14b ≤≤. 因此，实数b 的取值范围是[]1,4. 故选：C. 【点睛】思路点睛：利用分段函数的单调性求参数范围，应该各支函数在各自的区间内利用单调性以及函数在间断点处端点值的大小关系得出参数的不等式组，从而解得参数的取值范围.9．A解析：A 【分析】先判断函数奇偶性，排除CD ，再结合函数在()0,π的正负选出正确答案 【详解】设()sin y f x x x ==，求得()sin f x x x -=，故函数为偶函数，排除CD ，由三角函数图像特征可知在()0,π时sin 0x >，故在()0,π时()0f x >，故A 正确 故选：A 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.10．B解析：B 【解析】∵集合{}2{|1}1N y y x y y ==-+=≤，{|0}M y y =≥，∴[]0,1M N ⋂=，故选B.11．B解析：B 【分析】先阅读题意，取特例{}1A = ,{}2B =,可得①③错误，由集合中元素的互异性可得②④正确. 【详解】解：对于①，取{}1A = ,{}2B =,满足||||A B ≤，但不满足A B ⊆，即①错误； 对于②，因为||||AB A B =，由集合中元素的互异性可得A B =，即②正确；对于③，取{}1A = ,{}2B =, 满足||0A B =，但不满足A 、B 中至少有个是空集，即③错误； 对于④，A B =∅，则集合A B 、中无公共元素，则||||||A B A B =+，即④正确；综上可得②④正确，故选B. 【点睛】本题考查了对新定义的理解及集合元素的互异性，重点考查了集合交集、并集的运算，属中档题.12．D解析：D 【分析】 先求出集合A ,由A B B =,即B A ⊆,再分B φ=和B φ≠两种情况进行求解.【详解】由2120x x --≤,得34x -≤≤. 即[3,4]A =-. 由AB B =,即B A ⊆.当B φ=时，满足条件,则211m m -≥+解得2m ≥.当B φ≠时，要使得B A ⊆，则12121314m m m m +>-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩.解得：12m -≤<.综上满足条件的m 的范围是：1m ≥-. 故选：D. 【点睛】本题主要考查集合的包含关系的判断及应用，以及集合关系中的参数范围问题，考查分类讨论思想，属于中档题.二、填空题13．2【详解】把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数在同一坐标系中画出这两个函数的图象由图象可知函数g(x)＝f(x)－ex 的零点个数为2解析：2【详解】 把函数的零点个数转化为方程解的个数转化为两个函数图象与象交点的个数，在同一坐标系中画出这两个函数的图象，由图象可知，函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为2.14．1)∪(1)∪(【分析】方程且有一个实根等价于函数的图象有一个交点画出函数的图象根据函数的性质分类讨论进行求解即可【详解】方程且有一个实根等价于函数的图象有一个交点画出函数的图象如下图所示：函数的定解析：[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72] 【分析】方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根等价于函数1(),log ()2a y g x y x ==-的图象有一个交点，画出函数()y g x =的图象，根据函数1log ()2a y x =-的性质分类讨论进行求解即可.【详解】方程1()log ()0(02a g x x a --=>，且1)a ≠有一个实根等价于函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，画出函数()y g x =的图象，如下图所示：函数1()log ()2a y h x x ==-的定义域为1(,)2+∞，且恒过定点3(,0)2.当01a <<时，当(1)1h ≥时，函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，解得12a ≥，所以有112a ≤<；当1a >时，要想函数1(),()log ()2a y g x y h x x ===-的图象有一个交点，只需满足：(2)1h ≥或(3)1(4)1h h <⎧⎨≥⎩，解得(1，32)或 (52，72]，综上所述：a 的取值范围为[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72]. 故答案为：[12，1) ∪(1，32)∪ (52，72] 【点睛】本题考查了已知方程根的情况求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想，考查了数学运算能力.15．【分析】计算定义域为设代入化简得到计算值域得到答案【详解】函数的定义域满足：解得设故函数在上单调递增当时；当时故答案为：【点睛】本题考查了函数的值域忽略定义域是容易发生的错误解析：417,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】计算定义域为3⎡⎣，设()5,2,2f x t t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，代入化简得到()212y t =+-，计算值域得到答案. 【详解】函数()()221y f x f x =++的定义域满足：21313x x ⎧≤≤⎨≤≤⎩，解得13x ≤≤设()5,2,2f x t t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()()()2222122112y f x f x t t t =++=+-+=+-.函数在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当2t =时，min 7y =；当52t =时，max 414y =. 故答案为：417,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了函数的值域，忽略定义域是容易发生的错误.16．【分析】对平方可得再平方可得即可求解【详解】两边同时平方得：所以对两边同时平方得：则故答案为：【点睛】此题考查指数式的化简求值进行整体变形处理利用平方关系得出等量关系解析：12- 【分析】对1122x x -+=13x x -+=，再平方可得227x x -+=，即可求解. 【详解】1122x x-+=125x x -++=，所以13x x -+=对13x x -+=两边同时平方得：2229x x -++=，227x x -+=则22167615352x x x x --+--==-+--. 故答案为：12- 【点睛】此题考查指数式的化简求值，进行整体变形处理，利用平方关系得出等量关系.17．【分析】用赋值法由已知得到把转化为即再用定义法证明在上为减函数利用单调性可得答案【详解】因为对任意有令得所以令则所以可等价转化为即设当时则所以所以在上为减函数故由得得又所以原不等式的解集为故答案为：解析：()13， 【分析】用赋值法由已知得到()()()9332f f f =+=-，把()()612f x f x <--转化为()()61(9)f x f x f <-+，即()()699f x f x <-，再用定义法证明()f x 在(0,)+∞上为减函数，利用单调性可得答案. 【详解】因为对任意12,(0,)x x ∈+∞，有()()()f xy f x f y =+，令x y ==fff=+，得()231ff ==-，所以12f =-，令3x y ==，则()()()9332f f f =+=-，所以()()612f x f x <--可等价转化为()()61(9)f x f x f <-+， 即()()699f x f x <-，设120x x <<，12,(0,)x x ∈+∞，当1x > 时 ()0f x <，则()()()22211111·x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫==+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()12()f x f x >，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，故由()()699f x f x <-， 得699x x >-，得3x <，又1x >，所以原不等式的解集为(1,3). 故答案为：（1,3） 【点睛】 思路点睛：确定抽象函数单调性解函数不等式的基本思路： 第一步(定性)确定函数在给定区间上的单调性和奇偶性；第二步(转化)将函数不等式转化为不等式类似()()f M f N <等形式；第三步(去)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号f “”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步(求解)解不等式或不等式组确定解集.18．【分析】由已知得出单调增然后由及可得结论【详解】因为对任意都有成立所以为单调递增函数因此故答案为：【点睛】本题考查分段函数的单调性分段函数在定义域内单调需满足分段函数的所有段同单调及相邻段端点处的函 解析：[1,2]【分析】由已知1212()()0f x f x x x ->-得出单调增，然后由2210,02b b -->≥及10b -≥可得结论． 【详解】因为对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，所以()f x 为单调递增函数，因此21020210b b b ->⎧⎪-⎪≥⎨⎪-≥⎪⎩，12b ∴≤≤． 故答案为：[1,2]．. 【点睛】本题考查分段函数的单调性，分段函数在定义域内单调，需满足分段函数的所有段同单调及相邻段端点处的函数值满足相应的大小关系．19．或【分析】分别讨论时集合A 与集合B 的交集即可求解【详解】当时当时当时当时或故答案为： 或【点睛】本题主要考查了集合的交集分类讨论的思想属于中档题解析：{|5ααπ-≤≤- 或0}απ≤≤ 【分析】分别讨论1,0,k =-时集合A 与集合B 的交集即可求解. 【详解】(){|221,}A k k k Z απαπ=≤≤+∈,∴当1k =-时，2παπ-≤≤-,当0k =时，0απ≤≤， 当1k时，5α<，当2k ≤-时，5α<-{|55}B a α=-≤≤，A B ∴={|5ααπ-≤≤-或0}απ≤≤故答案为：{|5ααπ-≤≤- 或0}απ≤≤ 【点睛】本题主要考查了集合的交集，分类讨论的思想，属于中档题.20．4【分析】根据题意列出所有可能的集合B 求出相应的求出平均数即可【详解】因为集合若且所以集合B 为：当时当时当时当时当时当时当时则G(B)的平均值是故答案为：【点睛】本题主要考查了集合间的包含关系考查学解析：4 【分析】根据题意列出所有可能的集合B ，求出相应的()G B ，求出平均数即可. 【详解】因为集合{}1,2,3A =，若B ≠∅，且B A ⊆所以集合B 为：{}{}{}{}{}{}{}1231,21,32,31,2,3，，，，，， 当{}1B =时，()112G B =+= 当{}2B =时，()224G B =+= 当{}3B =时，()336G B =+= 当{}1,2B =时，()123G B =+= 当{}1,3B =时，()134G B =+= 当{}2,3B =时，()235G B =+= 当{}1,2,3B =时，()134G B =+=则G(B)的平均值是246345447++++++=故答案为：4 【点睛】本题主要考查了集合间的包含关系，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）(],0-∞；（2）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）首先根据函数()g x 的零点得到()223g x x x =--，由题意知存在[]01,3x ∈，使不等式()00g x mx ≥成立，等价于32x m x--≥在[]01,3x ∈上有解，再根据()32u x x x=--的单调性即可得到答案； （2）令21xt =-，分析得出关于t 的方程()()232230t k t k -++-=有两解1t 、2t ，且101t <<，21t ≥或者10t =，201t <<，利用二次函数的零点分布可得出关于k 的不等式组，由此可解得实数k 的取值范围. 【详解】 （1）()10g -=，()03g =，所以，1x =-，3x =是方程2210ax x b -++=的两个根.所以12122213x x a b x x a ⎧+==⎪⎪⎨+⎪⋅==-⎪⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩，()223g x x x ∴=--.∵存在[]01,3x ∈，使不等式()00g x mx ≥成立，等价于32x m x--≥在[]1,3x ∈上有解， 记()32u x x x =--，由于函数2y x =-、3y x=-在[]1,3上均为增函数， 所以，函数()u x 在[]1,3x ∈时单调递增，则()()max 30u x u ==，0m ∴≤， 因此，实数m 的取值范围为(],0-∞； （2）()()()2323223f x g x kx k x k x k =-+=-++-，原方程可化为()()2213221230xxk k --+-+-=.函数21xy =-的图象如下图，当0x <时，()20,1x∈，则()210,1xy =-∈，令21x t =-，当01t <<时，关于x 的方程21xt =-有两个根， 当1t ≥或0t =时，关于x 的方程21xt =-只有一个根. 要使()210xf-=有3个实数解，所以，关于t 的方程()()232230t k t k -++-=有两解1t 、2t ，且101t <<，21t ≥或者10t =，201t <<.则()()0230140f k f k ⎧=->⎪⎨=--<⎪⎩①，解得32k >. 或()()023014032012f k f k k ⎧=->⎪⎪=--=⎨+⎪<<⎪⎩②，不等式组②无实数解. 或()()023********2f k f k k ⎧⎪=-=⎪=-->⎨⎪+⎪<<⎩③，不等式组③无实数解. 综上所述，实数k 的取值范围为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解. 22．（1）y 21(1307350)2x x =-+，定义域为[15,105]（2）天然气站点D 距A 城65km 时，建设总费用最小,最小总费用为1562.5万元.【分析】（1）根据站点D 距两城市的距离均不得少于15km ．可求得15105x ≤≤，设22[(10)(120)]510y k x x =-+-+⨯，根据当40x =时，1825501875y =+=，求出k ，从而可得y 与x 之间的函数关系式； （2）根据二次函数知识可求得最值. 【详解】（1）因为站点D 距两城市的距离均不得少于15km ．所以1512015x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得15105x ≤≤，设22[(10)(120)]510y k x x =-+-+⨯，15105x ≤≤，当40x =时，1825501875y =+=，所以22(3080)501875k ++=，解得14k =， 所以221[(10)(120)]5104y x x =-+-+⨯21(1307350)2x x =-+，15105x ≤≤. （2）y 21(1307350)2x x =-+21(65)1562.52x =-+，所以当65x =时，min 1562.5y =万元.所以当天然气站点D 距A 城65km 时，建设总费用最小,最小总费用为1562.5万元. 【点睛】关键点点睛：理解题意，建立正确的数学模型是解决函数应用题的关键.23．（1）定义域为(1,3)-,值域为(,2]-∞（2）递增区间为(1,1)-，递减区间为[1,3) 【分析】（1）由2230x x -++>解得结果可得定义域，根据二次函数知识求出真数的值域，根据对数函数的单调性可求得()f x 的值域；（2）在定义域内求出真数的单调区间，根据底数大于1可得函数()f x 的单调区间. 【详解】（1）由函数有意义可得2230x x -++>，即2230x x --<， 解得13x ，所以函数()f x 的定义域为(1,3)-， 因为13x，所以2223(1)4x x x -++=--+(0,4]∈，所以()(,2]f x ∈-∞，即函数()f x 的值域为(,2]-∞.（2）因为函数()f x 的定义域为(1,3)-，且函数2y x 2x 3=-++在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又对数函数的底数为21>，所以函数()f x 的递增区间为(1,1)-，递减区间为[1,3). 【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法： 有分式时：分母不为0；有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0； 有指数函数形式时：底数和指数都含有x ，指数底数大于0且不等于1；有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1. 24．（1）2a =；（2）2m nm n++ 【分析】（1）根据对数运算求a 的值；（2）利用换底公式化简求值. 【详解】(1)由已知得231a -=得：2a =(2)由(1)得()()lg 23f x x =-，则()()3lg3,5lg7f m f n ====， ∴21lg632lg3lg72log 63lg21lg3lg7m nm n++===++ 【点睛】本题考查对数换底公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 25．（1）见解析；（2）见解析；（3）3023x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）由()m f m f n n ⎛⎫=⋅⎪⎝⎭，结合题意即可得结果； （2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）将原不等式等价转化为()()324f x f x +>，结合定义域和单调性即可得结果. 【详解】解：（1）由题可得()()m m f m f n f f n n n ⎛⎫⎛⎫=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()m f f m f n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）任取1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，则211x x >， 由（1）得：()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=>⎪⎝⎭，即()()21f x f x >， ()f x ∴在()0,∞+上是增函数；（3）()21f =，()()()2224f f f ∴=+=，()()()3428f f f =+=，()()333f x f x +->，()()()338f x f x f +>+， ()()324f x f x +>，又()f x 在()0,∞+上为增函数，30,240,324,x x x x +>⎧⎪∴>⎨⎪+>⎩， 解得：0323x <<， 故不等式()()333f x f x +->的解集为3023x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用()m f m f n n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，再结合题意，即可判断函数单调性和解不等式.26．（1）{|23}x x <≤； （2）(1,3]. 【分析】（1）可求出13{|}A x x =≤≤，{|2}B x x，进行交集的运算，即可求解；（2）进行并集、并集的运算求出集合D ，根据C D ⊆，且{|1}C x x a =<<，即可求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）由1030x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得13x ≤≤，即集合13{|}A x x =≤≤，集合2{|log 1}{|2}B x x x x =>=>，所以{|23}A B x x ⋂=<≤. （2）由（1）可得{|2}R C B x x =≤，所以(){|3}R D C B A x x ==≤，因为C D ⊆，且{|1},1C x x a a =<<>， 所以13a ，所以实数a 的取值范围是(1,3].【点睛】本题主要考查了集合的标志，对数函数的单调性，以及集合的交集、并集和补集的运算等知识点的综合应用，着重考查推理与运算能力.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高中数学必修1期末复习题一、选择题：1．设全集U ＝R ，A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∩（ðU B ）＝( )．A ．{x |0≤x ＜1}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |x ＜0}D ．{x |x ＞1}2．已知x R x M |{∈=≥}22，π=a ，则下列四个式子○1M a ∈；○2}{a M ；○3a ⊆M ；○4}{a ∩M π=，其中正确的是( ) A ．○1○2B ．○1 ○4C ．○2○3D ．○1○2○4 3．已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，A={2,5,8}，B={1,3,5,7}，那么 (C U A)∩B =( )A ．{5}B ．{1, 3,4,5,6,7,8}C ．{2,8}D ．{1,3,7} 4．下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是( )．5．已知函数 f (x )＝x 2＋1，那么f (a ＋1)的值为( )．A ．a 2＋a ＋2B ．a 2＋1C ．a 2＋2a ＋2D ．a 2＋2a ＋16．若)(x f 的定义域为[0，1]，则)2(+x f 的定义域为( )A ．[0，1]B ．[2，3]C ．[－2，－1]D ．无法确定7．如下图可作为函数()y f x =的图像的是( )8．直角梯形OABC 中AB ∥OC 、AB=1、OC=BC=2，直线t x l :截该梯形所得位于l 左边图形面积为S ， 则函数S=)(t f 的图像大致为( )9．下列等式成立的是( )．A ．log 2(8－4)＝log 2 8－log 2 4B ．4log 8log 22＝48log 2 C ．log 2 23＝3log 2 2D ．log 2(8＋4)＝log 2 8＋log 2 410．下列四组函数中，表示同一函数的是( )．A ．f (x )＝|x |，g (x )＝2xB ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xC ．f (x )＝1－1－2x x ，g (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝1＋x ·1－x ，g (x )＝1－2x11．幂函数y ＝x α(α是常数)的图象( ).A ．一定经过点(0，0)B ．一定经过点(1，1)C ．一定经过点(－1，1)D ．一定经过点(1，－1)12．国内快递重量在1 000克以内的包裹邮资标准如下表：运送距离x (km ) O ＜x ≤500 500＜x ≤1 000 1000＜x ≤1 5001500＜x ≤2 000 …邮资y (元)5.006.007.008.00…如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1 300 km 的某地，他应付的邮资是A ．5.00元B ．6.00元C ．7.00元D ．8.00元13．方程2x ＝2－x 的根所在区间是( ).A ．(－1，0)B ．(2，3)C ．(1，2)D ．(0，1)14．若log 2 a ＜0，b⎪⎭⎫⎝⎛21＞1，则( ).A ．a ＞1，b ＞0B ．a ＞1，b ＜0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0 15．函数y ＝x 416－的值域是( ).A ．[0，＋∞)B ．[0，4]C ．[0，4)D ．(0，4)16．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”的是( ). A ．f (x )＝x1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln (x ＋1)17．奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，若f (－1)＝0，则不等式f (x )＜0的解集是A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)18．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧0≤ 30log 2x x f x x )，＋(＞，，则f (－10)的值是( ).A ．－2B ．－1C ．0D ．119．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋x－11的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则有( ). A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0 C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0二、填空题：20．A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |x ＞a }，若A ⊆B ，则a 取值范围是 ． 21．若f (x )＝(a －2)x 2＋(a －1)x ＋3是偶函数，则函数f (x )的增区间是 ． 22．函数y ＝2(log )2x -的定义域是 ．23．求满足8241－x ⎪⎭⎫⎝⎛＞x －24的x 的取值集合是 ．24．1)(2++=x x x f ，则)2(f = _________；=)1(af _________；=-)(b a f _________；=))2((f f _________.25．x x x f 2)12(2-=+，则)2(f = _________.26．已知A={2,3}，M={2,5,53a -a 2+}，N={1,3, 016a -a 2+}，A ⊆M ，且A ⊆N ，则a 的值为 ________.27．当{a,0,-1}={4，b ，0}时，a=_________,b=_________. 三、解答题：28．已知全集U,集合A={1,3,5,7,9}, C U A ={2,4,6,8},C U B={1,4,6,8,9},求集合B ．29．求下列函数的定义域：． ○12||-=x y ； ○2 2-=x y ·5+x ；30．奥运会历史上，鲍勃·比蒙在1968年的奥运会 跳远比赛中跳出了令人惊叹的一跳．他跳跃时高度的 变化可用函数t t t h 6.45)(2+-=0(≤t ≤)92.0 ①画出函数图象：②求他跳的最大高度．31． 已知函数f (x )＝lg (3＋x )＋lg (3－x )．(1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由．32．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？。