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4.4 两个三角形相似的判定一、选择题（共10小题；共50分）1. 如图，四边形的对角线，相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若，则下列结论中一定正确的是A. ①和②相似B. ①和③相似C. ①和④相似D. ②和④相似2. 下列判断中，不正确的是A. 两直角边长分别是，和，的两个直角三角形相似B. 斜边和一直角边长分别是，和，的两个直角三角形相似C. 两条边长分别是，和，的两个直角三角形相似D. 两个等腰直角三角形相似3. 如图所示，有点光源在平面镜上方，若点恰好在点光源的反射光线上，并测得，，，且，则点光源到平面镜的距离的长度为A. B. C. D.4. 如图，在正方形网格上有个三角形：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．② ⑥中与①相似的是A. ②③④B. ③④⑤C. ④⑤⑥D.②③⑥5. 下列的正方形网格中，小正方形的边长均为，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是A. B.C. D.6. 如图，小明在做选择题"如图，四边形中，，，，，则的长为多少"时遇到了困难．小明通过测量发现，试题给出的图形中，，，且各角度符合条件，因此小明猜想下列选项中最可能正确的是A. B. C. D.7. 如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是A. B.C. D.8. 如图，是的边上一点，，，．如果的面积为，那么的面积为A. B. C. D.9. 若两个扇形满足弧长的比等于它们的半径的比，则称这两个扇形相似．如图所示，如果扇形与扇形是相似扇形，且半径（为不等于的常数），那么下面的四个结论：① ；② ；③ ；④扇形与扇形的面积之比为．成立的个数为A. 个B. 个C. 个D. 个10. 如图，在中，，于点，于点，为边的中点，连接，，则下列结论：① ；② ；③ 为等边三角形；④当时，．其中正确的个数是( )A. 个B. 个C. 个D. 个二、填空题（共10小题；共50分）11. 两边且夹角的两个三角形相似．利用这种方法判定两个三角形相似时，寻找的条件必须满足“两边夹一角”，如果改为“两边与一组对应角相等”，这两个三角形就不一定相似了．12. 如图，在中，，点在上．要使，可添加的一个条件是．13. 的三边长分别为，，，的两边长分别为，，当的第三边长为时，．14. 如图，在四边形中，，，，，，如果边上的点，使得以，，为顶点的三角形与，，为顶点的三角形相似，这样的点有个．15. 在中，，是边上的高，并且，则的度数为．16. 如图，在平面直角坐标系中，点为轴上的一点，且点坐标为，过点的直线轴，点为直线上的一动点，连接，交直线于点，则的值为．17. 已知的三边长分别为，，，的两边长分别为和，要判定，那么的第三边长应为．18. 如下图，矩形纸片中，，，点是边上的动点．现将纸片折叠，使点与点重合，折痕与矩形边的交点分别为，．（1）当点恰好为的中点时，折痕的长度为；（2）设，要使折痕始终与边，有交点，的取值范围是．19. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以每秒个单位长度的速度运动，动点从点开始沿边向点以每秒个单位长度的速度运动，连接，点，分别从点，同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒（）．（1）当秒时，点，，所构成的三角形与相似．（2）在整个运动过程中，线段的中点所经过的路程长为．20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别，，是的中点，过作轴的垂线垂足为．动点从点出发，沿向匀速运动，过点做轴的垂线，垂足为，连接，．当所在直线与所在直线第一次垂直时，点的坐标为．三、解答题（共5小题；共65分）21. 如图，在锐角三角形中，，上的高，相交于点，写出图中的两对相似三角形．22. 如图，在中，，，是两条高．求证；．23. 如图，四边形和四边形都是矩形，且点恰好在上．若，，则．24. 网格图中每个方格都是边长为的正方形．若，，，，，都是格点，试说明．25. 阅读下面材料：小骏遇到这样一个问题：画一个和已知矩形面积相等的正方形．小骏发现：延长到，使得，以为直径作半圆，过点作的垂线，交半圆于点，以为边作正方形，则正方形即为所求．请回答：，和的数量关系为．参考小骏思考问题的方法，解决问题：画一个和已知平行四边形面积相等的正方形，并写出画图的简要步骤．答案第一部分1. B2. C3. C4. B5. B6. A7. C8. D9. D 10. D第二部分11. 成比例；相等12. 答案不唯一．如或等．13.14.15.16.17.18. （1）；（2）19. ；20.第三部分21. ，．22. ，是两条高，，，，，，，，，，，．23.24. ，，，，，，，．25. ．解决问题：方法一：过点作于点，延长到，使得，以为直径作半圆，过点作垂线，交半圆于点，以为边作正方形，正方形即为所求．方法二：如图，过点作于点，过点作交延长线于点，将平行四边形转化为等面积矩形，后同小骏的画法．。
4.4.两个三角形相似的判定（一）一．选择题1.已知下列命题：①含有o 30角的直角三角形都相似；②所有等腰直角三角形都相似；③有一个角是o 60的等腰三角形都相似；④有一个角是o 45的等腰三角形都相似.其中真命题有（ ）A. 1个B.2个C.3个D.4个2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=o 90,BC=3，AC=4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E,则CE 的长为( )A. 23B. 67C. 625 D. 2 3．点Ｅ是□ABCD 的边BC 延长线上的一个点，AE 与CD 相交于G ，则图中相似三角形共有（ ）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对4.如图，在△ABC 中，∠ABC=o 90，BD ⊥AC, DE ⊥BC,垂足分别为D,E,则图中与△ABC 相似的三角形共有（ ）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个(第2题) (第3题) (第4题)5．如图，已知点E,F 分别是△ABC 中AC,AB 边的中点，BE,CF 相交于点G,FG=2，则CF 的长为 （ ）A. 4B. 4.5C. 5D. 6二．填空题6.已知，如图四边形ABCD 是平行四边形，则图中相似三角形有_________对7. 如图，在锐角△ABC 中，高CE 和BF 相交于点D,请写出图中的两对相似三角形：_______________________(用相似符号连结)(第5题) (第6题) (第7题)8.如图，∠DAB=∠CAE,请补充一个条件：________________,使△ABC ∽△ADE9．如图，∠BAC=o 90，AD ⊥BC,则△ABC ∽________∽_________10.如图，点D 和E 分别在△ABC 的边AB 和AC 上，且∠AED=∠ABC,若DE=3，BC=6，AB=8，则AE 的长为__________,(第8题) (第9题) (第10题)三．解答题11.如图，已知□ABCD 中，EF//AB,DE:EA=2：3，EF=4，求CD 的长12.如图，△PMN 是等边三角形，∠APB=o 120，求证：AP PN PM AM ∙=∙13. 如图，在△ABC 中，AD 是中线，EF//BC,EF 交AD 于H,求证：EH=FH14.如图，M 为线段AB 的中点，AE 于BD 交于C, ∠DME=∠A=∠B,且DM 交AC 于F,ME 交BC 于G,写出图中三对相似三角形，并证明其中一对。
4.4 两个三角形相似的判定（2）1．将图所示正方形ABCD 的边BC 延长到E ，使CE=AC ，AE 与边DC 相交于点F ，那么CE ：FC=_________．2．在△ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，如果AD=9，BD=16，那么CD=_________，AC=_________．3．如图，NM ∥AC ，AB ：NB=13：9，若DE=2cm ，则BE=_________．4．如图，△ABC 中，DE ∥AC ，5,4AB AC AB BE EC AC ==，AB ：BD=_________．5．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，F 是AB 上的点，AD2=AB·AF ，请问：EF 是否与CD 平行？说明理由．6．已知：如图，D.E 分别是AB.AC 上两点，CD.BE 交于O ，如果AD·AB=AE·AC ，请问△ODB 与△OEC 相似吗？为什么？DC BA7．如图，△ADE 与△ABC 有公共顶点A ，∠BAD=∠CAE ．（1）请你写一个适当的条件，使△ADE ∽△ABC ，则需添加的条件可以是，并选择其中之一证明．（2）由（1）能否得出其他的相似三角形？如果能，请说明理由．参考答案1．）： 12．12 153．924．8：55．平行.证明：∵DE ∥BC ，∴=，∵AD2=AB•AF ，∴=，∴，∴=，∴EF∥DC．6．△ODB∽△OEC证明：∵AD·AB=AE·AC，即AB：AE=AC：AD，∠A为公共角，∴△ACD∽△ABE，∴∠BDO=∠CEO，又∵∠BOD=∠COE，∴△ODB∽△OEC．7．解：（1）使△ADE∽△ABC，则需添加的条件可以是：∠ADC=∠ABC或∠AED=∠ACB，理由：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE，即∠DAE=∠CAB，又∵∠ADC=∠ABC，∴△ADE∽△ABC，故答案为：∠ADC=∠ABC或∠AED=∠ACB；（2）△ABD∽△ACE．理由：∵△ADE∽△ABC，∠BAC=∠DAE，∴=，∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠CAE，∴=，∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．。
两个三角形相似的判定(二)1．下列条件中能判定△ABC ∽△A′B′C′的是 ( C )A ．∠A ＝30°，∠B ＝40°，∠A ′＝35°，∠B ′＝105°B ．∠A ＝30°，∠B ＝50°，∠B ′＝30°，∠C ′＝105°C ．AB ＝AC ，∠A ＝∠A′，A ′B ′＝A′C′D ．∠A ＝30°，∠A ′＝30°，AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝122．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠C ＝∠F ＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是 ( C )A ．∠A ＝55°，∠D ＝35°B ．AC ＝9，BC ＝12，DF ＝6，EF ＝8C ．AC ＝3，BC ＝4，DF ＝6，DE ＝8D ．AB ＝10，AC ＝8，DE ＝15，EF ＝93．如图4－4－18，D 是△ABC 的边AC 上一点，那么下面四个命题中错误的是( D )A ．如果∠ADB ＝∠ABC ，那么△ADB ∽△ABCB ．如果∠ABD ＝∠C ，那么△ABD ∽△ACBC ．如果AB AC ＝AD AB，那么△ABC ∽△ADB D ．如果AD AB ＝AB BC，那么△ADB ∽△ABC图4－4－184．如图4－4－19，若OA OB ＝__OC OD__，则△OAC ∽△OBD. 【解析】 ∵OA OB ＝OC OD，∠AOC ＝∠BOD ， ∴△OAC ∽△OBD.图4－4－19 图4－4－205．如图4－4－20所示，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，连结CD ，要使△ADC 与△ABC 相似，应添加的条件是__∠ACD ＝∠B 或∠ADC ＝∠ACB 或AD AC ＝AC AB__ (写出一个条件即可)．6．如图4－4－21，已知△ABC ∽△DEF ，AM ，DN 是中线，试判断△ABM 与△DEN 是否相似，为什么？图4－4－21解：相似．∵△ABC ∽△DEF ，∴AB DE ＝BC EF ＝BM EN，∠B ＝∠E ，∴△ABM ∽△DEN. 7．如图4－4－22，已知∠DAE ＝∠BAC ，AD ∶AB ＝1∶2，点E 是AC 的中点．求证：△ADE ∽△ABC.图4－4－22证明：∵E 是AC 的中点，∴AE AC ＝12， 又∵∠DAE ＝∠BAC ，AD AB ＝AE AC ＝12， ∴△ADE ∽△ABC.。
4.4 两个三角形相似的判定一、选择题（共9小题）1. 如图所示，如果 ∠BAD =∠CAE ，那么添加下列一个条件后，仍不能判定 △ABC ∽△ADE 的是 ( )A. ∠B =∠DB. ∠C =∠AEDC. AB AD =DEBCD. AB AD =ACAE2. 如图所示，在方格纸中，△ABC 和 △EPD 的顶点均在格点上，要使 △ABC ∽△EPD ，则点 P 所在的格点为 ( )A. P 1B. P 2C. P 3D. P 43. 如图所示，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且 FC =14BC ，则图中的相似三角形共有 ( )A. 4 对B. 3 对C. 2 对D. 1 对4. 如图所示，在等边三角形 ABC 中，点 D ，E 分别在 AC ，AB 上，且 ADAC =13，AE =BE ，则有 ( )A. △AED∽△BEDB. △AED∽△CBDC. △AED∽△ABDD. △BAD∽△BCD5. 如图所示，已知正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中不能推出△ABP与△ECP相似的是( )A. ∠APB=∠EPCB. ∠APE=90∘C. P是BC的中点D. BP:BC=2:36. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90∘，AB=8，AD=3，BC=4，P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 如图所示，已知P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB=3，BF⊥BP于点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，BM的值为( )A. 3B. 253C. 3或5 D. 3或2538. 如图所示，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC，DE交于点O．下列四个结论：①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A，O，C，E四点在同一个圆上．一定成立的结论有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 如图所示，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中，错误的是( )A. ∠ACD=∠DABB. AD=DEC. AD2=BD⋅CDD. CD⋅AB=AC⋅BD二、填空题（共5小题）10. 如图所示，在边长为1的正方形网格中有点P，A，B，C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是．11. 如图所示，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90∘，AC=6，AD=2，当AB=时，这两个直角三角形相似．12. 如图所示，已知，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠DEC，且E为AB边中点，则图中有对相似三角形．13. 如图所示，平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60∘，P是射线AD上的一个动点（与点A不重合），BP与AC交于点E，设AP=x，当x=时，△ABP与△EBC相似．14. 如图所示，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为时，△ADP和△ABC相似．三、解答题（共7小题）15. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且AB2=DB⋅CE．求证：△ADB∽△EAC．16. 如图所示，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；（2）请分别说明两对三角形相似的理由．17. 如图所示，AB=3AC，BD=3AE，BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．（1）求证：△ABD∽△CAE．（2）如果AC=BD，AD=22BD，设BD=a，求BC的长．18. 如图所示，已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG在同一条直线上，且AB=3，BC=1，连接BF分别交AC，DC，DE于点P，Q，R．（1）求证：△BFG∽△FEG，并求出BF的长．（2）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答．19. △ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90∘，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1所示，DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2所示，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，除（1）中的一对相似三角形外，再找出一对相似三角形并证明你的结论．20. 如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC，BD交于点E，DC2=CE⋅CA．（1）求证：BC=CD．（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD=22，求DF的长．21. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=12 cm，BC=8 cm．点E，F，G分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方问移动．点E，G的速度均为2 cm/s，点F的速度为4 cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t(s)时，△EFG的面积为S(cm2)．（1）当t=1(s)时，S的值是多少?（2）写出S关于t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围．（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似?请说明理由．答案1. C2. C3. B4. B5. C6. C7. D8. D9. D10. △APB∽△CPA11. 3或3212. 313. 814. 4或915. ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∴∠ABD=∠ACE．∵AB2=DB⋅CE，∴ABCE =DBAB．∴ABCE =DBAC．∴△ADB∽△EAC．16. （1）△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE．（2）∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE．∵∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE．∴ABAD =ACAE．∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．17. （1）因为BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，因为 ABAC =BDAE =3，所以 △ABD ∽△CAE ．（2） 因为 AB =3AC =3BD ，AD =22BD ，所以 AD 2+BD 2=8BD 2+BD 2=9BD 2=AB 2．所以 ∠D =90∘．因为 △ABD ∽△CAE ，所以 ∠E =∠D =90∘．因为 AE =13BD ，EC =13AD =232BD ，AB =3BD ，所以BC 2=(AB +AE )2+EC 2=3BD +13BD2+BD 2=12BD 2=12a 2.所以 BC =23a ．18. （1） ∵ △ABC ≌△DCE ≌△FEG ，∴ BC =CE =EG =13BG =1，FG =AB =3．∴ BG =3． ∴ FGEG =BGFG =33=3．∵ ∠BGF =∠FGE ， ∴ △BFG ∽△FEG ． ∵ △FEG 是等腰三角形， ∴ △BFG 是等腰三角形． ∴ BF =BG =3．（2） 问题：求证 BP =PR ．证明：∵ ∠ACB =∠REB ， ∴ AC ∥DE ．又 ∴ BC =CE ， ∴ BP =PR ．19. （1） ∵ △ABC 是等腰直角三角形， ∴ ∠MBE =45∘．∴ ∠BME +∠MEB =135∘． ∵ △DEF 是等腰直角三角形， ∴ ∠DEF =45∘．∴ ∠NEC +∠MEB =135∘．∵ ∠B =∠C =45∘， ∴ △BEM ∽△CNE ． （2） △ECN ∽△MEN ．证明：与（1）同理得 △BEM ∽△CNE ， ∴ BECN =EMNE ． ∵ BE =EC ， ∴ ECCN =EMNE ．∵ ∠ECN =∠MEN =45∘， ∴ △ECN ∽△MEN ．20. （1） 因为 DC 2=CE ⋅CA ，所以 DCCE =CADC ．所以 △CDE ∽△CAD ．所以 ∠CDB =∠DAC ．所以 BC =CD ．所以 BC =CD ．（2） 如图所示，连接 OC ，过点 O 作 OG ⊥CD 于点 G ．因为 BC =CD ，所以 ∠BAD =∠BOC ．所以 OC ∥AD ．所以 △PCO ∽△PDA ．所以 PCPD =POPA ．因为 PB =OB ，CD =22，所以 PCPC +22=23．所以 PC =42．因为 OG ∥AF ，所以 △PGO ∽△PFA ．所以 PGPF =POPA ．所以 PC PD =PGPF ．所以 4242+22=42+242+22+DF，解得 DF =322．21. （1） 当 t =1(s) 时，AE =2(cm)，EB =10(cm)，BF =4(cm)，FC =4(cm)，CG =2(cm)，S =S 梯形GCBE ―S △EBF ―S △FCG=12(EB +CG )×BC ―12EB ×BF ―12FC ×CG =12×(10+2)×8―12×10×4―12×4×2=24(cm 2). （2） ①如图1所示，当 0 s ≤t ≤2 s 时，点 E ，F ，G 分别在边 AB ，BC ，CD 上移动，此时 AE =2t (cm)，EB =(12―2t )(cm)，BF =4t (cm)，FC =(8―4t )(cm)，CG =2t (cm)， S =S 梯形GCBE ―S △EBF ―S △FCG=12(EB +CG )×BC ―12EB ×BF ―12FC ×CG =12×8×(12―2t +2t )―12×4t (12―2t )―12×2t (8―4t )=8t 2―32t +48. ②当点 F 追上点 G 时，4t =2t +8，解得 t =4(s)．如图2所示，当 2 s <t ≤4 s 时，点 E 在边 AB 上移动，点 F ，G 都在边 CD 上移动，此时 CF =(4t ―8)(cm)，CG =2t (cm)，FG =CG ―CF =2t ―(4t ―8)=8―2t (cm)，S =12FG ×BC =12(8―2t )×8=―8t +32.∴S =8t 2―32t +48,0≤t≤2―8t +32.2<t ≤4． （3） 如图1所示，当点F在矩形BC上移动时，0≤t≤2．在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90∘．①若EBFC =BFCG，即12―2t8―4t =4t2t，解得t=23．当t=23时，△EBF∽△FCG．②若EBGC =BFCF，即12―2t2t =4t8―4t，解得t=32．当t=32时，△EBF∽△GCF．综上所述，当t=23或t=32时，以点E，B，F为顶点的三角形与以F，C，G为顶点的三角形相似．。
新浙教版九年级数学上册课后练习：4．4两个三角形相似的判定(第1题)1. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有(B)A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一个定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有(C)A．1条 B．2条C．3条 D．4条,(第2题)) ,(第3题)) 3．如图，点A，B，C，D，E，F，G，H，O都是5×7方格中的格点，为使△DEM∽△ACB，则点M应是F，G，H，O四点中的点(C)A．F B．GC．H D．O4．下列叙述中，不正确的是(C)A．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝20°，在Rt△A′B′C′中，∠C′＝90°，∠A′＝20°，则△ABC与△A′B′C′相似B．△ABC的两个角分别是35°和100°，△A′B′C′的两个角分别是45°和35°，则这两个三角形相似C．等腰△ABC和等腰△A′B′C′都有一个角为25°，则△ABC与△A′B′C′相似D．等腰△ABC和等腰△A′B′C′都有一个角为105 °，则△ABC与A′B′C′相似(第5题)5．如图，已知∠1＝∠2，可补充条件__∠E＝∠C或∠D＝∠B(不唯一)__(写出一个即可)，使△ADE∽△ABC.6. 已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝2 cm，BC＝3 c m，AC＝4 cm，A′B′＝5 cm，则△A ′B ′C ′的周长是__22.5__cm(第7题)7．如图，已知AC⊥CD，垂足为C ，BD ⊥CD ，垂足为D ，AB 与CD 交于点O.若AC ＝1，BD ＝2，CD ＝4，则AB ＝__5__．8. 如图，BE ，CF 是△ABC 的中线且交于点G .求证：BG ＝2EG .(第8题)【解】 连结EF.∵BE ，CF 为△ABC 的中线， ∴EF 为△ABC 的中位线， ∴EF∥BC，∴△EGF ∽△BGC ， ∴EG BG ＝EF BC ＝12， ∴BG ＝2EG.9．如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩石上观察到一个特别明显的标志点O ，再在他们所在的同一侧选点A ，B ，D 使得AB⊥AO，DB ⊥AB ，然后确定DO 和AB 的交点C.测得AC ＝120m ，CB ＝60m ，BD ＝50m ，你能帮助他们算出大峡谷的宽AO 吗？(第9题)【解】 ∵AB⊥AO，DB ⊥AB ， ∴∠A ＝∠B＝90°. 又∵∠OCA ＝∠DCB ， ∴△ACO ∽△BCD ，∴AC BC ＝AO BD ，即12060＝AO 50， ∴AO ＝100(m)．(第10题)10．如图，△ABC 内接于⊙O，∠BAC 的平分线分别交⊙O，BC 于点D ，E ，连结BD ，则图中相似三角形有(C )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【解】 ∵∠D＝∠C，∠CAD ＝∠DB E ， ∴△BDE ∽△ACE.∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD ＝∠CAD. 又∵∠D＝∠C， ∴△AB D∽△AEC.∵∠DBC ＝∠CAD＝∠BA D ，∠D ＝∠D， ∴△BDE ∽△ADB.∴共有3对相似三角形．11．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，AC ⊥BD 于点E ，过点O 作OF⊥BC 于点F.求证：(第11题)(1)△AEB∽△OFC； (2)AD ＝2OF.【解】 (1)连结OB ，则∠BAE＝12∠BOC.∵OB ＝OC ，OF ⊥BC ， ∴∠COF ＝12∠BOC.∴∠BAE ＝∠COF. ∵AC ⊥BD ，OF ⊥BC ， ∴∠OFC ＝∠AEB＝90°， ∴△AEB ∽△OFC . (2)∵△AEB ∽△OFC ， ∴AE BE ＝OF CF.由圆周角定理，得∠D ＝∠BCE ，∠DAE ＝∠CBE ， ∴△ADE ∽△BCE ，∴AD BC ＝AE BE，∴OF CF ＝ADBC.∵OB ＝OC ，OF ⊥BC ，∴BC ＝2CF ， ∴AD ＝BC CF·OF ＝2OF ， 即AD ＝2OF .12．如图，在⊙O 上，位于直径AB 的异侧有一个定点C 和一个动点P ，AC ＝12AB ，点P在半圆弧AB 上运动(不与A ，B 两点重合)，过点C 作直线PB 的垂线CD 交PB 于点D .(1)如图①，求证：△PCD ∽△ABC ；(2)当点P 运动到什么位置时，△PCD ≌△ABC ？请在图②中画出此时的△PCD ，并说明理由．(第12题)【解】 (1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.∵PD ⊥CD ，∴∠D ＝90°， ∴∠D ＝∠ACB .∵∠A 与∠P 是BC ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠P ， ∴△PCD ∽△ABC .(2)如图②，当PC 是⊙O 的直径时(此时B ，D 两点重合)，△PCD ≌△ABC .理由如下： ∵AB ，PC 是⊙O 的直径，∴∠PDC ＝∠ACB ＝90°，AB ＝PC . 又∵∠A ＝∠P ， ∴△PCD ≌△ABC .(第13题)13．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A＝∠B＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于点G ，连结FG.(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；(2)如果α＝45°，AB ＝4 2，AF ＝3，求FG 的长．【解】 (1)△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM 等． 下面证明△AMF ∽△BGM ：∵∠A ＝∠B ＝∠DME ＝α，∠AFM ＝∠DME ＋∠E ， 又∵∠BMG ＝∠A ＋∠E ，∴∠AFM ＝∠BMG ， ∴△AMF ∽△BGM .(2)由α＝45°，可知AC ⊥BC 且AC ＝BC . ∵M 为AB 的中点，AB ＝4 2， ∴AM ＝BM ＝2 2，AC ＝BC ＝4. ∵△AMF ∽△BGM ，∴AF BM ＝AMBG， 即32 2＝2 2BG ，∴BG ＝83.∵AC ＝BC ＝4，∴CG ＝4－83＝43，CF ＝1，∴在Rt△CFG 中，FG ＝CG 2＋CF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋12＝53.14．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4.点Q 是线段AC 上的一个动点，过点Q 作AC 的垂线交线段AB (如图①)或线段AB 的延长线(如图②)于点P .(1)当点P 在线段AB 上时，求证：△AQP ∽△ABC ； (2)当△PQB 为等腰三角形时，求AP 的长．,(第14题))【解】 (1)∵PQ⊥AC，∠ABC ＝90°， ∴∠AQP ＝∠ABC . 又∵∠A ＝∠A ， ∴△AQP ∽△ABC .(2)在Rt△ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理，得AC ＝AB 2＋BC 2＝5.当△PQB 为等腰三角形时，分情况讨论： ①当点P 在线段AB 上时，如图①. ∵∠QPB 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝PQ . 由(1)，得△AQP ∽△ABC ，∴AP AC ＝QP BC ，即3－PB 5＝PB 4，解得PB ＝43，∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53.②当点P 在线段AB 的延长线上时，如图②. ∵∠QBP 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝BQ . ∵BP ＝BQ ，∴∠BQP ＝∠P .∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°， ∴∠AQB ＝∠A ， ∴BQ ＝AB ， ∴BP ＝AB ，∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6.。
度浙教新版九年级数学上第4章相似三角形4一．选择题〔共12小题〕1．如图，10×2网格中有一个△ABC，图中与△ABC相似的三角形的个数有〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个2．以下条件不能判定△ADB∽△ABC的是〔〕A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD•AC D．=3．如图，点P在△ABC的边AC上，假设添加一个条件后可以失掉△ABP∽△ACB，那么以下添加的条件中，不正确的选项是〔〕A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．AB2=AP•AC D．4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC=∠DBC，那么以下结论不一定正确的选项是〔〕A．△AOD∽△BOC B．△AOB∽△DOC C．CD=BC D．BC•CD=AC•OA 5．如图，在△ABC中，点D、E、F区分在边AB、AC、BC上，且∠AED=∠B，再将以下四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE和△BDF相似的是〔〕A．B．C．D．．6．以下说法：①一切等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60°的两个直角三角形相似，其中正确的说法是〔〕A．②④B．①③C．①②④D．②③④7．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE 相似，还需满足以下条件中的〔〕A．=B．=C．=D．=8．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，那么CD 的长为〔〕A．1B．C．2D．9．如图，△ABC中，AD是中线，BC=4，∠B=∠DAC，那么线段AC的长为〔〕A．B．2C．3D．10．如图，在△ABC中，点D，E区分在边AB，AC上，且==，那么S△ADE：S四边形BCED的值为〔〕A．1：B．1：3C．1：8D．1：911．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，衔接AE交BD于点F，那么△DEF的面积与△BAF的面积之比为〔〕A．3：4B．9：16C．9：1D．3：112．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，假定∠APD=60°，那么CD的长是〔〕A．B．C．D．二．填空题〔共8小题〕13．在△ABC中，AB=9，AC=6．点M在边AB上，且AM=3，点N在AC边上．当AN=时，△AMN与原三角形相似．14．如图，：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=2，当AB的长为时，△ACB 与△ADC相似．15．如图，要使△ABC∽△ACD，需补充的条件是．〔只需写出一种〕16．如图，在平面直角坐标系中有两点A〔4，0〕、B〔0，2〕，假设点C在x轴上〔C与A不重合〕，当点C的坐标为或时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似〔至少找出两个满足条件的点的坐标〕．17．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP 相似时，DP=．18．如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，衔接DF．假=1，那么S△ADF的值为．定S△AEF19．如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，△DEF的面积为1，那么平行四边形ABCD的面积为．20．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，假定BD=1，AD=3，那么CD=．三．解答题〔共8小题〕21．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P在BD上由点B向点D方向移动，当点P移到离点B多远时，△APB和△CPD相似？22．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，〔1〕求证：AC2=AB•AD；〔2〕求证：△AFD∽△CFE．23．如图，在矩形ABCD中，AB=24，BC=12，点E沿BC边从点B末尾向点C以每秒2个单位长度的速度运动；点F沿CD边从点C末尾向点D以每秒4个单位长度的速度运动，假设E、F同时动身，用t〔0≤t≤6〕秒表示运动的时间，当t为何值时，以点E、C、F为顶点的三角形与△ACD相似？24．如图，在平面直角坐标系中，OA=12厘米，点P从点O末尾沿OA边向点A 以1厘米/秒的速度移动．：点Q从点B末尾沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．假设P、Q同时动身，用t〔秒〕表示移动的时间〔0≤t≤6〕，那么，当t为何值时，△POQ与△AOB相似？25．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A动身，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时动身，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应中止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？26．如图，△ABC是等边三角形，点D、E区分在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．〔1〕试说明△ABD≌△BCE；〔2〕△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．27．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=8，M是AD的中点，N，E是BC的三等分点，P是AB上一动点．〔1〕当MP∥BD时，求MP的长；〔2〕能否存在点P，满足△AMP与一点B，N，P为顶点的三角形相似？假定存在，求出AP的长；假定不存在，说明理由．28．：在△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F．如图甲，当AC=BC时，且CE=EA时，那么有EF=EG；〔1〕如图乙①，当AC=2BC时，且CE=EA时，那么线段EF与EG的数量关系是：EF EG；〔2〕如图乙②，当AC=2BC时，且CE=2EA时，请探求线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论；〔3〕当AC=mBC时且CE=nEA时，那么线段EF与EG的数量关系，并直接写出你的结论〔不用证明〕．参考答案一．选择题1．C．2．D．3．D．4．D．5．C．6．A．7．C．8．C．9．A．10．C．11．B．12．C．二．填空题13．2或4.5．14．4．15．∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或AD：AC=AC：AB时16．﹣1，0〕；〔1，0〕．17．1或4或2.5．18．．19．12．20．9三．解答题21．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°，∴当或时，△PAB与△PCD是相似三角形，∵AB=6，CD=4，BD=14，∴或，解得：BP=2或12或，即PB=2或12或时，△PAB与△PCD是相似三角形．22．〔1〕证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB•AD；〔2〕证明：∵E为AB的中点，∴CE=BE=AE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD，∴△AFD∽△CFE．23．解：依据题意，可分为两种状况：①假定△EFC∽△ACD，那么=，所以=，解得t=3，即当t=3时，△EFC∽△ACD．②假定△FEC∽△ACD，那么=，所以=，解得t=1.2，即当t=1.2时，△FEC∽△ACD．因此，当t为3或1.2时，以点E，C，F为顶点的三角形与△ACD相似．24．解：①假定△POQ∽△AOB时，=，即=，整理得：12﹣2t=t，解得：t=4．②假定△POQ∽△BOA时，=，即=，整理得：6﹣t=2t，解得：t=2．∵0≤t≤6，∴t=4和t=2均契合题意，∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．25．解：设运动了ts，依据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，那么AQ=AC﹣CQ=16﹣3t〔cm〕，当△APQ∽△ABC时，，即，解得：t=；当△APQ∽△ACB时，，即，解得：t=4；故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是：s或4s．26．〔1〕证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=∠BAC，又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE；〔2〕答：相似；理由如下：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∴∠BAC﹣∠BAD=∠CBA﹣∠CBE，∴∠EAF=∠EBA，又∵∠AEF=∠BEA，∴△EAF∽△EBA．27．解：〔1〕∵PM∥BD，AM=MD，∴AP=PB，∴PM=BD，∵BD==10，∴PM=5．〔2〕存在点P使得两三角形相似．∵BN=4，设AP=x，那么PB=8﹣x，当△MAP∽△NBP时，解得x=．当△MAP∽△PBN时，解得x=2或6，∴存在点P使得两三角形相似，此时AP的长为或2或4．28．图甲：衔接DE，∵AC=BC，CD⊥AB，∴AD=BD，∠ACD=45°，∴CD=AD=AB，∵AE=EC，∴DE=AE=EC=AC，∴∠EDC=45°，DE⊥AC，∵∠A=45°，∴∠A=∠EDG，∵EF⊥BE，∵∠AEF+∠FED=∠EFD+∠DEG=90°，∴∠AEF=∠DEG，∴△AEF≌△DEG〔ASA〕，∴EF=EG．〔1〕EF=EG；〔2〕解：EF=EG．证明：作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，∵EM∥CD，∴△AEM∽△ACD，即EM=CD，同理可得，EN=AD，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴tanA=，又∵EM⊥AB，EN⊥CD，∴∠EMF=∠ENG=90°，∵EF⊥BE，∴∠FEM=∠GEN，∴△EFM∽△EGN，即EF=EG；〔3〕由〔1〕当AC=2BC时，且CE=EA时，EF=EG，当AC=2BC时，且CE=2EA时，EF=EG，可以得出：当AC=mBC时且CE=nEA时，EF=EG．。
4.4 两个三角形相似的判定(二)1．如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)(第1题) (第2题)2．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(B)3．如图，在方格纸中，△ABC和△PED的顶点均在格点上，要使△ABC∽△PED，则点P所在的格点为(C)A. P1B. P2C. P3D. P4(第3题)4．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，有下列条件：①∠AED ＝∠B ；②AD AC ＝AE AB ；③DE BC ＝ADAC.其中能够判断△ADE 与△ACB 相似的有(A)A.①②B.①③C.①②③D.①(第4题) (第5题)5．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是(D)A. ∠ABP ＝∠CB. ∠APB ＝∠ABCC. AP AB ＝AB ACD. AB BP ＝AC CB6．如图，在平面直角坐标系中，有两点A(4，0)，B(0，2)，点C在x轴上(点C 与点A不重合)．当点C的坐标为(1，0)或(－1，0)或(－4，0)时，以B，O，C为顶点的三角形与△AOB相似(至少写出两个满足条件的点的坐标)．(第6题)7．根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．∠A＝100°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A′＝100°，A′B′＝3cm，A′C′＝6cm.【解】△ABC∽△A′B′C′.理由如下：∵ABA′B′＝73，ACA′C′＝146＝73，∴ABA′B′＝ACA′C′.又∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.(第8题)8．如图，AB·AD＝AC·AE.求证：△ABC∽△AED. 【解】∵AB·AD＝AC·AE，∴AB AE ＝AC AD. 又∵∠BAC ＝∠EAD ， ∴△ABC ∽△AED.9．在△ABC 中，E 是AB 上一点，AE ＝2，BE ＝3，AC ＝4.在AC 上取一点D ，使△ADE 与△ABC 相似，则AD 的值是(C)A. 85B. 52C. 85或52D. 85或25(第9题解)【解】 如解图．①当△ADE ∽△ABC 时，有AD AE ＝AB AC.∵AE ＝2，BE ＝3，∴AB ＝5. ∴AD 2＝54，∴AD ＝52.②当△AED ∽△ABC 时，有AE AD ＝ABAC，∴2AD ＝54，∴AD ＝85. 10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D ＝90°，AD ＝2，BC ＝5，DC ＝8.若DC 边上有一点P ，使△PAD 与△PBC 相似，则符合条件的点P 有(C)(第10题)A.1个B.2个C.3个D.4个 【解】 设PD ＝x ，则PC ＝8－x. 在△PAD 与△PBC 中，∠D ＝∠C ＝90°.①若△PAD ∽△PBC ，则AD BC ＝PD PC ，即25＝x 8－x，解得x ＝167，符合题意．②若△PAD ∽△BPC ，则AD PC ＝PD BC ，即28－x ＝x5，解得x ＝4±6，均符合题意．综上所述，符合条件的点P 有3个．(第11题)11．如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且FC ＝14BC ，那么图中相似的三角形共有多少对？并证明．【解】 图中相似三角形共有3对．证明如下： ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D ＝∠C ＝90°，AD ＝DC ＝CB.∵DE ＝EC ，FC ＝14BC ，∴EC ＝12BC ＝2CF ，∴AD DE ＝ECCF＝2，∴△ADE ∽△ECF ， ∴AE EF ＝ADEC，∠DAE ＝∠CEF ， ∴AE EF ＝AD DE ，即AD AE ＝DE EF. ∵∠DAE ＋∠AED ＝90°， ∴∠CEF ＋∠AED ＝90°， ∴∠AEF ＝90°，∴∠D ＝∠AEF ，∴△ADE∽△AEF.由相似三角形的传递性，得△AEF∽△ADE∽△ECF，即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF.12．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，M，N分别是斜边AB，DE的中点，P是AD的中点，连结AE，BD，PM，PN.(1)猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论．(2)现将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，得到图②，AE与MP，BD，BC分别交于点G，H，O.请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC＝kAC，CD＝kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．(第12题)【解】(1)PM＝PN，PM⊥PN.理由如下：∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°.在△ACE 和△BCD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ＝90°，CE ＝CD ，∴△ACE ≌△BCD(SAS)． ∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠CBD.∵M ，N 分别是斜边AB ，DE 的中点，P 是AD 的 中点，∴PM ＝12BD ，PN ＝12AE ，∴PM ＝PN.易得∠NPD ＝∠EAC ，∠MPA ＝∠BDC ，∠EAC ＋∠BDC ＝90°，∴∠MPA ＋∠NPD ＝90°， ∴∠MPN ＝180°－90°＝90°，即PM ⊥PN. (2)成立．证明如下：同(1)可得△ACE ≌△BCD(SAS)， ∴AE ＝BD ，∠CAE ＝∠CBD. 又∵∠AOC ＝∠BOE ， ∴∠BHO ＝∠ACO ＝90°.∵P ，M ，N 分别是AD ，AB ，DE 的中点， ∴PM ＝12BD ，PN ＝12AE ，∴PM ＝PN.易得PM ∥BD ，PN ∥AE. ∴∠MGE ＋∠BHA ＝180°. ∴∠MGE ＝∠BHO ＝90°. ∴∠MPN ＝∠MGE ＝90°. ∴PM ⊥PN.(3)PM ＝kPN.证明如下： ∵△ABC 和△CDE 是直角三角形， ∴∠ACB ＝∠ECD ＝90°.∴∠ACB ＋∠BCE ＝∠ECD ＋∠BCE. ∴∠ACE ＝∠BCD. ∵BC ＝kAC ，CD ＝kCE ， ∴BC AC ＝CDCE＝k ，∴△BCD ∽△ACE ， ∴BD ＝kAE.∵P ，M ，N 分别是AD ，AB ，DE 的中点， ∴PM ＝12BD ，PN ＝12AE.∴PM ＝kPN.。
浙教版九年级数学上册同步测试：4.4 两个三角形相似的判定一、选择题 1．如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，直径AC=6，对角线AC 、BD 交于E 点，且AB=BD ，EC=1，则AD 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．32．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC 与△DCA 的面积比为（）A ．2：3B ．2：5C ．4：9D ．：3．如图，△ABC 中，AD 、BE 是两条中线，则S △EDC ：S △ABC =（ ）A ．1：2B ．2：3C ．1：3D ．1：44．如图，在△ABC 中，两条中线BE 、CD 相交于点O ，则S △DOE ：S △COB =（ ）A ．1：4B ．2：3C ．1：3D ．1：25．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD=2AD ，DE ∥BC 交AC 于点E ，若线段DE=5，则线段BC 的长为（）A．7.5 B．10 C．15 D．206．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（）A．B．C．D．7．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD=CE．若AB：AC=3：2，BC=10，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．68．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG、DE，DE和FG相交于点O，设AB=a，CG=b（a＞b）．下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③ =；④（a﹣b）2•S△EFO=b2•S△DGO．其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个9．如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC 面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA′是（）A．﹣1 B．C．1 D．10．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB=DE，EF ⊥AC于点F，以下结论：（1）∠DBM=∠CDE；（2）S△BDE ＜S四边形BMFE；（3）CD•EN=BN•BD；（4）AC=2DF．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．如图，AE，BD交于点C，BA⊥AE于点A，ED⊥BD于点D，若AC=4，AB=3，CD=2，则CE= ．12．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=4，DB=2，则的值为．13．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB=4，AC=5，AD=4，则⊙O的直径AE= ．14．如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为．15．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则= ．16．如图，在△ABC中，DE∥BC， =，△ADE的面积是8，则△ABC的面积为．17．如图，在直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，在OC上依次截取点P1，P2，P3，…，Pn，使OP1=1，P1P2=3，P2P3=5，…，Pn﹣1Pn=2n﹣1（n为正整数），分别过点P1，P2，P3，…，Pn向射线OA作垂线段，垂足分别为点Q1，Q2，Q3，…，Qn，则点Qn的坐标为．18．如图，在△ABC 中，AB=AC=15，点D 是BC 边上的一动点（不与B ，C 重合），∠ADE=∠B=∠α，DE 交AB 于点E ，且tan ∠α=，有以下的结论：①△ADE ∽△ACD ；②当CD=9时，△ACD 与△DBE 全等；③△BDE 为直角三角形时，BD 为12或；④0＜BE ≤，其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）19．如图，在平面直角坐标系中，等腰△OBC 的边OB 在x 轴上，OB=CB ，OB 边上的高CA 与OC 边上的高BE 相交于点D ，连接OD ，AB=，∠CBO=45°，在直线BE 上求点M ，使△BMC 与△ODC 相似，则点M 的坐标是 ．20．如图，△ABC ，∠C=90°，AC=BC=a ，在△ABC 中截出一个正方形A 1B 1C 1D 1，使点A 1，D 1分别在AC ，BC 边上，边B 1C 1在AB 边上；在△BC 1D 1在截出第二个正方形A 2B 2C 2D 2，使点A 2，D 2分别在BC 1，D 1C 1边上，边B 2C 2在BD 1边上；…，依此方法作下去，则第n 个正方形的边长为 ．21．如图，已知△ABC 中，AB=5，AC=3，点D 在边AB 上，且∠ACD=∠B ，则线段AD 的长为 ．22．如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l 1∥l 2∥l 3，l 1与l 2之间距离是1，l 2与l 3之间距离是2，且l 1，l 2，l 3分别经过点A ，B ，C ，则边AC 的长为 ．23．将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于．一、选择题1．A；2．C；3．D；4．A；5．C；6．A；7．B；8．B；9．A；10．C；二、填空题11．；12．；13．5；14．1：4；15．；16．18；17．（ n2， n2）；18．②③；19．（1， -1）或（-，）；20．（）n a；21．；22．；23．1：3；初中数学试卷。
4.4 两个三角形相似的判定一、选择题1．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CE交AD于E，点F是AB的中点，则S△AEF ：S四边形BDEF为（）A．3：4 B．1：2 C．2：3 D．1：33．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm4．如图，AB∥CD， =，则△AOB的周长与△DOC的周长比是（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且，则S △ADE ：S 四边形BCED 的值为（ ）A ．1：B ．1：2C ．1：3D ．1：46．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，AD=1，BC=4，则△AOD 与△BOC 的面积比等于（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC ，AD=AF ，点D 、E 为BC 边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF 、BF ，则下列结论：①△AED ≌△AEF ；②△ABE ∽△ACD ；③BE+DC ＞DE ；④BE 2+DC 2=DE 2，其中正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．48．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：EC=（ ）A ．2：5B ．2：3C ．3：5D ．3：29．如图，Rt △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC 于点D ，若BD ：CD=3：2，则tanB=（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发，沿着A →B →A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜6），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ）A ．2B ．2.5或3.5C ．3.5或4.5D ．2或3.5或4.511．已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻的两条平行直线间的距离均为h ，矩形ABCD 的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则tan α的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．12．如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C=∠E ，AD=4，BC=8，BD ：DC=5：3，则DE 的长等于（ ）A ．B ．C ．D ．13．如图，边长为2的正方形ABCD 中，P 是CD 的中点，连接AP 并延长，交BC 的延长线于点F ，作△CPF 的外接圆⊙O ，连接BP 并延长交⊙O 于点E ，连接EF ，则EF 的长为（ ）A．B．C．D．14．如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=2，则MF的长是（）A． B．C．1 D．15．如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线．若∠ABE=∠C，AE：ED=2：1，则△BDE与△ABC的面积比为何？（）A．1：6 B．1：9 C．2：13 D．2：15二、填空题16．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，则BC= ．17．△ABC中，D、E分别是边AB与AC的中点，BC=4，下面四个结论：①DE=2；②△ADE∽△ABC；③△ADE 的面积与△ABC的面积之比为 1：4；④△ADE的周长与△ABC的周长之比为 1：4；其中正确的有．（只填序号）18．如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AB，AC的中点，则△ADE和△ABC的周长之比等于．19．如图，在△ABC中，EF∥BC， =，S四边形BCFE =15，则S△ABC= ．20．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是．21．DE是△ABC的中位线，则△ADE与△ABC的面积之比是．22．如图，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O．若AC=1，BD=2，CD=4，则AB= ．23．在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2，则BF：BE= ．24．如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G 在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为．三、解答题25．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．（1）求证：△APB≌△APD；（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．①求y与x的函数关系式；②当x=6时，求线段FG的长．26．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点E．若AE=4，CE=8，DE=3，梯形ABCD的高是，面积是54．求证：AC⊥BD．27．如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F．（1）求证：△ABF∽△ECF；（2）如果AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，求CE的长．28．如图所示，AB是半圆O的直径，AB=8，以AB为一直角边的直角三角形ABC中，∠CAB=30°，AC与半圆交于点D，过点D作BC的垂线DE，垂足为E．（1）求DE的长；（2）过点C作AB的平行线l，l与BD的延长线交于点F，求的值．29．如图l，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AO⊥BC于点0，F是线段AO上的点（与A，0不重合），∠EAF=90°，AE=AF，连结FE，FC，BE，BF．（1）求证：BE=BF；（2）如图2，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K．①求证：△AGC∽△KGB；②当△BEF为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：BF的值．30．如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q．（1）求线段PQ的长；（2）问：点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．初中数学试卷。
4.3两个三角形相似的判定第1题. 如图，AC BD ⊥，垂足为C ，过D 点作DF AB ⊥，垂足为F ，交AC 于E答案：解：（1）因为90A A AFE ACB ∠=∠∠=∠=o ， 所以AFE ACB △∽△．（2）因为90AEF DEC AFE DCE ∠=∠∠=∠=o ，， 所以AFE DCE △∽△． 所以A D ∠=∠．（3）因为A D ∠=∠，90AFE DFB ∠=∠=o ， 所以AFE DFB △∽△．（4）因为D A ∠=∠，90DCE ACB ∠=∠=o ， 所以DCE ACB △∽△．（5）因为D A ∠=∠，90DFB ACB ∠=∠=o ， 所以DFB ACB △∽△．（6）因为D A ∠=∠，90DCE DFB ∠=∠=o ， 所以DCE DFB △∽△．第2题. 如图，一艘军舰从点A 向位于正东方向的C 岛航行，在点A 处测得B 岛在其北偏东75o ，航行75n mile 到达点D 处，测得B 岛在其北偏东15o ，继续航行5nＢＡＢＤmile 到达C 岛，此时接到通知，要求这艘军舰在半小时内赶到正北方向的B 岛执行任务，则这艘军舰航行速度至少为多少时才能按时赶到B 岛？答案：解：根据题意，可得1590A CBD BCD ACB ∠=∠=∠=∠=o o ，． 所以.BCD ACB △∽△由相似三角形对应边成比例，得BC AC DC BC =，即805BC BC=． 所以240020BC BC ==，．要求军舰在半小时内赶到正北方向的B 岛执行任务，因此航行速度至少是200.540=÷(n mile/h)第3题. 如图，点E C 、分别在AB AD 、上，BC 与DE 相交于一点O ，若B D ∠=∠， 则图中相似三角形有几对？分别写出来说明理由．答案：2对BAC DAE BOE DOC △∽△，△∽△．理由略第4题. 如图，已知:3:4DE BC AD DB =∥，，若5DE =cm ，求BC 的长．ＡＣ ＯＤ ＢＥＡＤＥＣＢ答案：353cm 第5题. 如图，已知ABC ACB ∠=∠，若3AD =cm ，7AB =cm ，试求AC 的长．第6题. 如图，4cm 9cm 5cm 12cm AO DO AB BC O ====，，，，为BC 的中点，求CDO △的周长．答案：解：由12cm BC =，O 为BC 的中点，得6BO CO ==cm ．由4cm 9cm AO DO ==，，得23AO BO CO DO ==． 因为两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似， 所以AOB COD △∽△． 由相似三角形对应边成比例，得AB AO CD CO =，即523CD =．ＡＢＡＢＯＤＣ所以537.52CD ==×(cm)． 因此，CDO △的周长是67.5922.5++=(cm)．第7题. 已知ABC △的三条边长之比为3:7:9，与其相似的另一个A B C '''△最大的边长为18cm ，则A B C '''△最小的边长为 cm ，周长为 cm ． 答案：638第8题. 如图，在ABC △中，点D E 、分别在边AC AB 、上，且23AE AD AC AB ==，若4DE =cm ，则BC = cm ． 答案：6第9题. 如图，点D E 、分别为边AB AC 、的三等分点（即：1133AD AB AE AC ==，），若22.5cm ADE S =△，求ABC S △的大小．答案：222.5cm第10题. 如图，在ABC △中，345AB AC BC D ===，，，是AB 上的一点，2AD =，在AC 上是否存在一点E ，使A D E 、、三点组成的三角形与ABC △相似？如果存在，请求出AE 的长；如果不存在，请说明理由．ＡＥＢＣ Ｄ ＡＤＥＣＢＡＢ答案：解：存在．因为22225AB AC BC +==，所以ABC △是直角三角形，90A ∠=o ． 设所求AE 的长为x ，在ADE △与ABC △中，90A A ∠=∠=o ，（1）若AD AEAB AC =，则ADE △∽ABC △． 此时234x =．解得83x =．（2）若AD AEAC AB =，则ADE ACB △∽△． 此时243x =．解得32x =．所以，当AE 取83或32时，A D E 、、三点组成的三角形与ABC △相似．第11题. 如图，下列条件中不能判定ACD ABC △∽△的是（ ） (A)AB ADBC CD= (B)ADC ACB ∠=∠ (C)ACD B ∠=∠(D)2AC AD AB =gＡＤＢ答案：(A)第12题. 已知：如图，点C D ，在线段AB 上，PCD △是等边三角形．（1）当AC CD DB ，，满足怎样的关系式时ACP PDB △∽△；（2）当ACP PDB △∽△时，求APB ∠的度数．答案：解：（1）当2CD AC DB =g 时，ACP PDB △∽△； （2）当ACP PDB △∽△时，120APB ∠=o ．第13题. 在ABC △和A B C '''△中，326cm 10cm 32A AB A B A '''∠===∠=o o ，，，， 3cm AC =，5cm A C ''=，则ABC △与A B C '''△是否相似？ （填“是”或“不是”）． 答案：是第14题. 下列四组图形中不一定相似的是 ． Ａ．有一个角等于40o 的两个等腰三角形 Ｂ．有一个角为50o 的两个直角三角形Ｃ．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 Ｄ．有一个角是60o 的两个等腰三角形 答案：Ａ第15题. 能判定ABC △与A B C '''△相似的条件是 ． Ａ．AB ACA B A C='''' Ｂ．AB A B AC A C''=''，且A C '∠=∠ＰＡＣＤＢＣ．AB BCA B A C=''''且B A'∠=∠Ｄ．AB ACA B A C=''''，且B B'∠=∠答案：Ｃ第16题. 已知：如图，9086ABD BCD AB BD∠=∠===o，，，当BC为多少时，图中的两个三角形相似．答案：BC为3.6或4.8第17题. 如图，线段AC BD，相交于点O，要使AOB DOC△∽△，已具备条件，还需要补充的条件是，或或．答案：BO OA AOB DOC B C A DOC OD ∠=∠∠=∠∠=∠=，，，第18题. 如图，D为ABC△的边BC上的一点，连接AD，要使ABD CBA△∽△，应具备下列条件中的（）Ａ．AC ABCD BD=Ｂ．2AB BD BC=gＣ．AB BCCD AD=Ｄ．2AC CD CB=g答案：Ｂ第19题. 如图，已知1234∠=∠∠=∠，．（1）图中有哪几对相似三角形？把它们写出来；（2）证明你所写出的结论．ＡＢＣＣＡＤＯＢＡＢＤＣＤＣＯＥ1234答案：（1）解：图中的相似三角形有三对，它们分别是AOD BOC AOB DOC △∽△，△∽△，ABD EBC △∽△（2）证明：12AOD BOC ∠=∠∠=∠Q ，，AOD BOC ∴△∽△，AO OD OB OC =Q，即AO OBOD OC=， 又DOC AOB ∠=∠，AOB DOC ∴△∽△ 又34∠=∠，43EBD EBO ∴∠+∠=∠+∠ 即ABD EBC ∠=∠ABD EBC ∴△∽△．第20题. 如图12，P 是y 轴上一动点，是否存在平行于y 轴的直线x t =，使它与直线y x =和直线122y x =-+分别交于点D E 、（E 在D 的上方），且PDE △为等腰直角三角形．若存在，求t 的值及点P图122+答案：解：存在．方法一：当x t =时，y x t ==；当x t =时，112222y x t =-+=-+．E ∴点坐标为1(2)2t t -+，，D 点坐标为()t t ，．E Q 在D 的上方，132222DE t t t ∴=-+-=-+，且43t <． 3分PDE Q △为等腰直角三角形，PE DE PD DE PE PD ∴===或或．若022t PE DE t t >=-+=3，时，，4182.525t t ∴=-+=，P ∴点坐标为805⎛⎫⎪⎝⎭，．若3022t PD DE t t >=-+=，时，，4.5t P ∴=∴点坐标为405⎛⎫⎪⎝⎭，．若0t PE PD >=，时，即DE 为斜边，322.2t t ∴-+=47t DE ∴=，的中点坐标为114t t P ⎛⎫+∴ ⎪⎝⎭，，点坐标为807⎛⎫⎪⎝⎭，． 若0t PE DE PD DE <==，和时，由已知得32402DE t t t t =--+=-=>，，（不符合题意，舍去）， 此时直线x t =不存在．若0t <，PE PD =时，即DE 为斜边，由已知得32222DE t t t =--+=-，，14104t t P ∴=-+=∴，，点坐标为(00)，．综上所述：当45t =时，PDE △为等腰直角三角形，此时Ｐ点坐标为805⎛⎫ ⎪⎝⎭，或405⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当47t =时，PDE △为等腰直角三角形，此时Ｐ点坐标为807⎛⎫⎪⎝⎭，； 当4t =-时，PDE △为等腰直角三角形，此时Ｐ点坐标为(00)，．方法二：设直线122y x =-+交y 轴于点A ，交直线y x =于点B ，过B 点作BM垂直于y 轴，垂足为M ，交DE 于点N ．x t =Q 平行于y 轴，MN t ∴=．43142..23y x x y x y ⎧==⎧⎪⎪⎪⎨⎨=-+⎪⎪=⎩⎪⎩Q ，，解得B ∴点坐标为444.333BM ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，， 2分当0x =时，1222y x A =-+=∴，点坐标为(02) 2.OA ∴=，，3分PDE Q △为等腰直角三角形，.PE DE PD DE PE PD ∴===或或如图４，若0t PE DE >=，和PD DE =时，PE t PD t DE OA ∴==Q ，，∥，BDE BOA ∴△∽△，DE BNOA BM∴=． 443.4253t t t -∴=∴=，当45t =时，1842.255y x y x =-+===，P ∴点坐标为805⎛⎫ ⎪⎝⎭，或405⎛⎫ ⎪⎝⎭，．若0t PD PE >=，时，即DE 为斜边，22DE MN t ∴==．.DE BNDE OA BDE BOA OA BM∴∴∴=∥，△∽△， 42434273MNMN MN t DE -∴=∴==，，中点的纵坐标为181.47t P +=∴点坐标图4为807⎛⎫ ⎪⎝⎭， 如图5，若0t PE DE PD DE <==，或时，DE OA Q ∥，.DE BNBDE BOA OA BM∴∴=△∽△， 4DE =-（不符合题意，舍去），此时直线x t =存在．10分 若0t PE PD <=，时，即DE 为斜边，22DE MN t ∴==-..DE BNDE OA BDE BOA OA BM∴∴=Q ∥，△∽△ 4213 4.4104243MNMN MN t t +∴=∴=∴=-+=，，P ∴点坐标为（０，０）． 综上述所述：当45t =时，PDE △为等腰直角三角形，此时P 点坐标为805⎛⎫⎪⎝⎭，或405⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当47t =时，PDE △为等腰直角三角形，此时P 点坐标为807⎛⎫⎪⎝⎭，；当4t =-时，PDE △P 点坐标为（０，０）． 第21题. 如图，P是Rt ABC △的斜边BC 上异于B P点作直线截ABC △，使截得的三角形与ABC △相似，满足这样条件的直线共有（ ）条 Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：C第22题. ．如图５，ABCD 是平行四边形，则图中与DEF △相似的三角形共有（ ）(A)１个(B)２分CＢE图５(C)３个 (D)4个答案：B第23题. 如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，BD 为对角线，中位线EF 交BD 于O 点，若FO －EO=3，则BC －AD 等于A ．4B ．6C ．8D ．10答案：B第24题. 如图，AF CE ⊥，垂足为点O AO =，（1）求证：点FBC 为的中点； （2）求四边形BEOF 的面积．答案：解：（1）连结EF AC ，∵21AO CO EO FO ====，，12EO FO OC OA ==∴． EF AC ∴∥．12BF EF EO BC AC OC ===∴． F BC ∴为的中点．（2）由（1）知，F BC 为的中点．113(21)1222BEF CEF S S CE OF ===⨯+⨯=V V g ∴．又11111222OEF S OE OF ==⨯⨯=V g ， C第12题CB C B∴31222BEF OEF BEOF S S S =+=+=V V 四边形 第25题. 小胖和小瘦去公园玩标准的．．．跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘到1米25，甚至更高！”（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明； （2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明． 解：答案：解：（1）小胖的话不对．小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1 米高”，情形如图（1）所示，OP 是标准跷跷 板支架的高度，AC 是跷跷板一端能翘到的最 高高度1米，BC 是地面．.OP BC AC BC OBP ABC OBP ABC ∠=∠∴Q ⊥，⊥，，△∽△.BO OPBA AC∴= 又Q 此跷跷板是标准跷跷板，BO OA =，12BO BA ∴=，而1AC =米，得0.5OP =米． 若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a 米(0)a >． 如图（2）所示，BD a =米，AE a =米地面第23题图ＣBO OA BO a OA a =∴+=+Q ，，即DO OE =．12DO DE ∴=，同理可得DOP DEF △∽△． DO OPDE EF ∴=，由0.5OP =米，得1EF =米．跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP 所以不可能翘得更高．（2）方案一：如图（3）所示，保持BO OA 延长一半至E ，即只将小瘦一边伸长一半．使12AEOA =，则25BO BE =．由BOP BEF △∽△，得.BO OPBE EF=1.25EF ∴=米．方案二：如图（4）所示，只将支架升高0.125米．12B O B O P B AC B A ''''''''=''Q ，△∽△，又0.50.1250.625O P ''=+=米．B O O P B A A C''''∴=''''． 1.25A C ''∴=米．第26题. 在△ABC 中，DE BC ∥，2AD =，3AE =，4BD =，则AC = ． 答案：9Ｃ （3）F'（4）CP 'B '。
《两个三角形相似的判定》习题一、请你填一填(1)如图，在△ABC中，AC是BC、DC的比例中项，则△ABC∽________，理由是________.(2)如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，则△DEF∽________，理由是________.(3)如图，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AB＝2AD，若BC＝3 cm，则DE＝________cm.(4)如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端分别在CB、CD上滑动，那么当CM＝________时，△ADE与△MN C相似.二、认真选一选(1)如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是( )A ．AB AC AD AE = B ．∠B ＝∠ADE C ．BCDE AC AE = D ．∠C ＝∠AED (2)在□ABCD 中，E 在BC 边上，AE 交BD 于F ，若BE ∶EC ＝4∶5，则BF ∶FD 等于( )A ．4∶5B ．5∶4C ．5∶9D ．4∶9(3)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝2，BD ＝1，则AD 的长是( )A ．1B ．2C ．2D ．4三、开动脑筋哟如图4-6-14，在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，∠ABD ＝∠ACD ，试找出图中的相似三角形，并加以证明.图4-6-14四、用数学眼光看世界如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A ，再在河的这一边选定点B 和点C ，使得AB ⊥BC ，然后选定点E ，使EC ⊥BC ，确定BC 与AE 的交点D ，若测得BD ＝180米，DC ＝60米，EC ＝50米，你能知道小河的宽是多少吗？初中数学试卷。
4.4 两个三角形相似的判定（3）三边对应成比例的两个三角形相似．1.已知△ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一边长为4cm，若这两个三角形相似，则△DEF的另两边长可能是(C).A.2cm，3cmB.4cm，5cmC.5cm，6cmD.6cm，7cm2.如图所示，在正方形网格中，与△ABC相似的三角形是(A).A.△AFDB.△AEDC.△FEDD.不能确定（第2题）（第4题）（第6题）3.在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：①；②；③∠A=∠A′；④∠C=∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定△ABC∽△A′B′C′的共有(C).A.1组B.2组C.3组D.4组4.如图所示，图1，图2中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图2中AB，CD交于点O，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是(A).A.都相似B.都不相似C.只有图1中相似D.只有图2中相似5.下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.其中真命题是②③（把所有真命题的序号都填上）．6.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，N是AC上的点，且AN=AB，连结BN，作AD⊥BN于D，M是BC上的动点，则当BM= 5 时，△BMD∽△BCN．7.如图所示，在8×8的正方形网格中，△CAB 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，AC 与网格上的直线交于点M ．（第7题）（1）AC= 25 ，AB= 210 ．（2）求∠ACB 的值．（3）判断△CAB 和△DEF 是否相似，并说明理由．【答案】(1)25 210 (2)∵BC=2242+=25,AC=25，AB=210，∴AC 2+BC 2=AB 2.∴∠ACB=90°.(3)△CAB 和△DEF 相似.理由如下：DE=DF=2221+=5，EF=2231+=10.∴DE AC =DFBC =EFAB =2.∴△CAB ∽△DEF. 8.如图所示，在△ABC 中，点D 在AC 上，AE 分别交BD ，BC 于点F ，G ，∠1=∠2，EF AF =BF DF . 求证：BF 2=FG·EF． （第8题）【答案】∵EF AF =BFDF ，∠AFD=∠EFB，∴△ADF ∽△EBF.∴∠1=∠E.∵∠1=∠2，∴∠2=∠E. ∵∠BFG=∠EFB，∴△BEF ∽△GBF.∴BF EF =FG BF ，即BF 2=FG·EF.9.下列条件中，能判定△ABC ∽△A′B′C′的是(C ).A.∠A=50°，∠B=40°，∠A′=40°，∠C′=80°B.∠A=∠A′=130°，AB=4，AC=10，A′B′=10，A′C′=24C.AB=48，BC=80，CA=60，A′B′=24，C′A′=30，B′C′=40D.∠A=∠A′=90°，AB=1，AC=2，A′C′=3，B′C′=610.如图所示，在正方形网格中有6个斜三角形：①△ABC ；②△BCD ；③△BDE ；④△BFG ；⑤△FGH ；⑥△EFK ，在②～⑥中，与三角形①相似的是(B ).A.②③④B.③④⑤C.④⑤⑥D.②③⑥（第10题） （第11题）（第12题）11.如图所示，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上（小正方形的顶点）.P 1，P 2，P 3，P 4，P 5是△DEF 边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D 构成的三角形与△ABC 相似，写出所有符合条件的三角形： △DP 2P 5，△DP 2P 4，△DP 4P 5 ．12.P 是等边△ABC 的边AB 上一点，连结PC ，点Q ，D 在PC ，BC 上，连结BQ ，DQ ，AD ，∠PQB=∠BQD=∠CQD，若BQ=3，QC=6，则AD 的长为 7 ．13.如图所示，四边形ABCD ，DCFE ，四边形EFGH 都是正方形．（1）求证：△ACF ∽△GCA ．（2）求∠1+∠2的度数．（第13题）【答案】(1)设正方形的边长为a ，则AC=2a ，∴CA CF =CG AC =22.∵∠ACF=∠GCA，∴△ACF ∽△GCA. (2)∵△ACF ∽△GCA ，∴∠1=∠CAF.∴∠1+∠2=∠CAF+∠2=∠ACB=45°.14.如图所示，在正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，连结AE ，作BF⊥AE 交AE 于点H ，交CD 于点F ，作CG∥AE，交BF 于点G.求证：（第14题）（1）CG=BH ．（2）FC 2=BF·GF． （3）22AB FC =GBGF ． 【答案】(1)∵BF⊥AE，CG∥AE，∴CG⊥BF.∴∠CBG+∠BCG=90°,∠BAH+∠ABH=90°. ∵∠ABH+∠CBG=90°,∴∠BAH=∠CBG,∠ABH=∠BCG.∵AB=BC.∴△ABH ≌△BCG.∴CG=BH.(2)∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=90°，∴△CFG ∽△BFC.∴BF FC =FCGF ，即FC 2=BF·GF. (3)同(2)可知BC 2=BG·BF.∵AB=BC，∴AB 2=BG·BF.∴22AB FC =BF BG BF FG ⋅⋅=BG FG .15.图中的每个点（包括△ABC 的各个顶点）都在边长为1的小正方形的顶点上，在P ，Q ，G ，H 中找一个点，使它与点D ，E 构成的三角形与△ABC 相似，这个点可以是 Q,G .（写出满足条件的所有的点）（第15题） （第16题）16.如图所示，已知点A （1，0），点B （b ，0）（b ＞1），P 是第一象限内的动点，且点P 的纵坐标为4b ，若△POA 和△PAB 相似，则符合条件的点P 的坐标是 (1，21)或(1，2+3)或(1，2-3 ) ．17.如图所示，在四边形ABCD 中，∠A=∠B=90°，P 是线段AB 上的一个动点.（1）若AD=2，BC=6，AB=8，且以A ，D ，P 为顶点的三角形与以B ，C ，P 为顶点的三角形相似，求AP 的长.（2）若AD=a ，BC=b ，AB=m ，则当a ，b ，m 满足什么关系时，一定存在点P 使△ADP ∽△BPC ？请说明理由.（第17题）【答案】(1)设AP=x.∵以A ，D ，P 为顶点的三角形与以B ，C ，P 为顶点的三角形相似， ①当△ADP ∽△BPC 时，则BP AD =BC AP ，∴x -82=6x ，解得x=2或6. ②当△ADP ∽△BCP 时，则BC AD =PB PA ，∴62=xx -8，解得x=2.∴当以A ，D ，P 为顶点的三角形与以B ，C ，P 为顶点的三角形相似时，AP 的值为2或6. (2)设PA=x.∵△ADP ∽△BPC ，∴BP AD =BC AP .∴x m a -=bx ，整理得x 2-mx+ab=0.由题意Δ≥0，∴m 2-4ab ≥0.∴当a ，b ，m 满足m 2-4ab ≥0时，一定存在点P 使△ADP ∽△BPC.。
4.4两个三角形相似的判定课时1相似三角形的判定定理（1）基础知识训练知识点一、相似三角形的判定定理（1）1.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（）A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C．=D．=2.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（）A. B. C. D.3．如图，CD是Rt△ABC的高，DE⊥BC，垂足为E，则图中与△ABC相似的三角形共有（）A．5个BACD E123 A BDCB ．4个C ．3个D ．2个4． 如图，∠1＝∠2＝∠3，则图中相似三角形共有 （ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 5． 已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，则图中相似的三角形有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对6．如图，点D 、E 分别在△ABC 的边上AB 、AC 上，且∠AED ＝∠ABC ，若DE ＝3，BC ＝6，AB ＝8，则AE 的长为________.7.如图，12∠=∠，要使得△ADE ∽△ACB ，需要添加一个关于角的条件，这个条件是 .8.如图，△ABC 中，AD ＝DB ，∠EDB ＝∠DAC ．求证:△ABC ∽△EAD ．知识点二、相似三角形的判定定理的应用21EDCBA AEDCB9． 如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.点P 处放一水平的平面镜, 光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处,已知 AB ⊥BD ，CD ⊥BD , 且测得AB =1.2米，BP =1.8米，PD =12米,那么该古城墙的高度是__________.10． 如图，小明在A 时测得某树的影长为2m ，B 时又测得该树的影长为8m ，若两次日照的光线互相垂直，求树的高度．综合技能训练11． 如图所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③BCABCD AC =；④AB AD AC ⋅=2．其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．412． 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°BC ＝3，AC ＝4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为 （ ） A ．23 B ．67 C ．625 D ．213． 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°D 是AC 上一点，DE ⊥ AB 于E ，且CD ＝2，DE ＝1，则BC 的长为 （ ）A ．2B ．334 C ． 32 D ．3414．矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 形的模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为________.15．如图，点C 、D 在线段AB 上，且ΔPCD 是等边三角形，∠APB ＝120°，求证：AP 2=AC ·AB ．拓展提高训练16.如图，△ABC 是正三角形，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥ AC ，EF ⊥ AB ，FD ⊥BC ，求△DEF 的面积与△ABC 的面积之比．链接中考训练17.（ 2017安徽）如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC,则线段AC 的长为（ ） A.4 B.42 C.6 D.43ABCPD参考答案：1.解：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；当=时，△ABC∽△AED．故选D2.解：∵∠C=∠E，∠ADC=∠BDE，△ADC∽△BDE，∴=，又∵AD：DE=3：5，AE=8，∴AD=3，DE=5，∵BD=4，∴=，∴DC=，故应选A．3．B． 4．C．5．D ．6．4．7.∠B=∠D, ∠C=∠E8．证明：∵ AD＝DB∴∠B＝∠EAD∵∠EDB＝∠DAC∴∠B+∠EDB ＝∠EAD+∠EAD∴∠AED＝∠BAC∴△ABC∽△EAD．9．8米． 10．4 m．811．C 12．B 13．B 14．515．证明∵△ACD为等边三角形∴∠ACP＝120°∴∠ACP＝∠APB∵∠A＝∠A∴△ACP∽△APB∴ABAPAPAC=∴AP 2 =AC·AB．16．1∶317.解：∵∠B=∠DAC,∠C=∠C,∴△CAD∽△CBA，∴ACCDBCAC=,∵AD是中线，∴CD=21BC=4，∴ACAC48=,解得AC=42，故选择B .课时2相似三角形的判定定理（2）基础知识训练知识点一、相似三角形的判定定理（2）1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）2．下列说法错误．．的是（）A．两个等腰直角三角形相似 B．两个等腰三角形相似C．两条直角边的比相等的直角三角形相似 D．两个等边三角形相似3．已知在△ABC中，AB＝6，AC＝4，点P是AC的中点，过P的直线交AB于Q，若想得到以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则AQ的长为（）A．3 B．3或34C．3或43D．344．已知在△ABC中，AE＝1.8，BE＝0.6，AD＝1.6，CD＝1.1，∠A＝56°，∠AED＝53°，则∠C＝_____°．B．C．D．ABCDAADEAP5．如图，AB :AC ＝BD :CD ，∠B ＝76°．∠C ＝46°则∠BAD ＝_________°．6．已知AB ＝AC ，DB ＝DE ，∠BAC ＝∠BDE ＝120°．AD 与CE 的数量关系是__________． 7．已知：如图，P 为△ABC 中线AD 上的一点，且BD 2＝PD •AD ，求证：△ADC ∽△CDP ．8．已知，如图， E 是四边形ABCD 内一点，∠BAE ＝∠BDC ，∠ABE ＝∠DBC ．求证：AB ·CE ＝BE ·AD ．综合技能训练9．如图，AB • AE ＝AC • AD ，且∠1＝∠2，下列结论不一定正确．．．．．的是 （ ） Ａ．△ADE ∽△ABC Ｂ．∠B ＝∠D Ｃ．∠E ＝∠C Ｄ．∠B ＝∠EABCEDAB CDP第7题10．如图，点A B C D E F G H K，，，，，，，，都是78△∽△，方格纸中的格点，为使DEM ABC则点M应是F G H K，，，四点中的（）Ａ．FＢ．GＣ．HＤ．K1AB，在AC上取一点E，得△ADE，11．在△ABC中，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，BD＝3当AE的长为时，图中的两个三角形相似.12．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且AB＝6，BD＝2，当CE ＝时，△ABD∽△DCE.13．已知四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 、是边长为1的正方形，则∠AFC ＋∠AGC ＝ °．14．将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．15．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠ACD ，AB ＝6，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝217，求AD 的长．拓展提高训练16． 已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别是AB 、AC 上的点AD ·AB ＝AE ·AC ．ABCD试问，DE 与AB 垂直吗？为什么？链接中考训练17．（2017•随州）在△ABC 在，AB=6，AC=5，点D 在边AB 上，且AD=2，点E 在边AC 上，当AE= 时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．参考答案：1．A ．2．Ｄ．3．B ．4．53°． 5．29 ．6．AD CE 3= 7．证明：∵为AD △ABC 中线 ∴BD ＝CD ，∵BD 2=PD •AD ∴CD 2=PD •AD ∴ADCDCD PD =∵∠ADC ＝∠CDP ∴△ADC ∽△CDP ．8．证明：∵∠BAE ＝∠BDC ，∠ABE ＝∠DBC ，∴△ABE ∽△DBC （两角对应相等，两三角形相似）．∴AB BE BD BC =，即AB BDBE BC=∵∠ABE ＝∠DBC ．∴∠ABE ＋∠EBD ＝∠DBC ＋∠EBD ，即∠ABD ＝∠EBC，∴△ABD ∽△EBC （两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）， ∴CEAD BEAB =，即AB·CE=AD·BE ．9．D 10．C ．11．5或3.2 12．34．13．45．14．712或2． 15.解：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得出ACCDCD AB =，结合∠B ＝∠ACD ，证明△ABC ∽△DCA ，再利用相似三角形的定义得出关于AD 的比例式AD AC AC CD =，从而求出AD 的长．425=AD ． 16．解：DE ⊥AB ．∵AD ·AB ＝AE ·AC ∴ABAEAC AD =， 又∵∠A ＝∠A ∴△ABC ∽△ADE ∴∠ADE ＝∠A ＝90° ∴DE 与AB 垂直17.解：当=时，∵∠A=∠A ，∴△AED ∽△ABC ，此时AE===；当=时，∵∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ABC ，此时AE===；故答案为：或．课时3相似三角形的判定定理（3）基础知识训练知识点一 、相似三角形的判定定理（3）1. 如图,小正方形的边长均为1,则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的为 （ ）2．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形 边长分别是3和4及x ，那么x 的值 （ ）A ．只有1个B ．可以有2个C ．有2个以上但有限D ．有无数个 3．在下列命题中，真．命题是 （ ） A ．两个钝角三角形一定相似 B ．两个等腰三角形一定相似C ．两个直角三角形一定相似D ．两个等边三角形一定相似 4．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD ＝1，DE ＝2，BD ＝3，则BC ＝______．5．如图，△ABC 中，CD 是高线，AD ＝4，CD ＝3，则当DB ＝_______时，△ADC ∽△CDB ． 6．一个直角三角形的两条直角边长分别为8cm 和12cm,另一个直角三角形的两条直角边长分别是6cm 和9cm,这两个直角三角形______相似三角形（填是或不是），理由是__________________________．7．已知：如图，AB ∥DE ，BC ∥EF ，AC ∥DF ，求证：△ABC ∽△DEF ．D ．BCDEAA D BC第4题第5题FDEBCOA第7题8．已知△ABC 的边长分别为5cm ，6cm ，7cm ，4cm 是△DEF 中一边的长度，若想得到△ABC ∽△DE 你能求出△DEF 的另外两边的长度吗？试说明理由．综合技能训练9．在△ABC 与△DEF ′中，若AB ＝7，BC ＝5，CA ＝3，DE ＝37，EF =1，DF ＝35，则 （ ）A ．∠A ＝∠DB ．∠A ＝∠EC ．∠A ＝∠FD ．不能确定 10． 下列判断中，不．正确的是 A ．两条直角边长分别是3.5、2和2.8、1.6的两个直角三角形相似B ．斜边长和一条直角边长分别是42的两个直角三角形相似C ．两条边长分别是7、4和14、8的两个直角三角形相似D ．斜边和一条直角边长分别是5、3和2.5、1.5的两个直角三角形相似11． 已知△ABC 的三边长分别为6 cm ，7.5 cm ，9 cm ，△DEF 的一边长为4 cm ，若想得到这两个三角形相似，则△DEF 的另两边长是下列的A ．2 cm ，3 cmB ．4 cm ，5 cmC ．5 cm ，6 cmD ．6 cm ，7 cm 12．如图，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸的格点，为使△ABC ∽△PQR ，则点R 应是甲、乙、丙、丁4点中的（ ）A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁13． 如图所示，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC ，②△BCD ，③△DEB ，④△FBG ，⑤△HGF ，⑥△EKF ．在②～⑥中，与①相似的三角形的序号是________（把你认为正确的都填上）．14．△ABC3，△A′B′C′的两边长分别为1当△A′B′C′的第三条边长为____________时，△ABC 与△A′B′C′相似． 15．如图，AEACDE BC AD AB ==，试说明∠BAD =∠CAE ．拓展提高训练16．如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，AD ＝9，DB ＝16，AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12．求证：△ABC 为直角三角形．链接中考训练17.（2017•枣庄）如图，在△ABC 中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）ADEBA ．B ．C ．D ．参考答案：1．B ．2．B ． 3．D ．4．8．5．496．是，三组对应边的比相等的两个三角形相似 7．证明：∵AB ∥DE ∴OBOE AB DE = ∵BC ∥EF ∴OC OFOB OE BC EF == ∵AC ∥DF ∴OC OF AC DF = ∴ACDFBC EF AB DE ==∴△DEF ∽△ABC ． 8．当△DEF 中4cm 线段与△ABC 中5cm 线段是对应边时，设另两边长为x cm ，y cm ．故有7654y x ==，从而524=x cm ，528=y cm ；当△DEF 中4cm 线段与△ABC 中6cm 线段是对应边时，有,7645yx ==故314,310==y x 当△DEF 中4cm 线段与△ABC 中7cm 线段是对应边时，有,7465==y x 此时724,720==y x 综上所述△DEF 的另外两边长应是524cm ，528cm 或310cm ，314cm 或720cm ，724cm 三种可能．9．B ．10．C ．11．C ．12．C ． 13．③④⑤ 9．22314．另两边分别是2.5、3或1. 15．∵AEACDE BC AD AB == ∴△ABC ∽△ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，即∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，故∠BAD ＝∠CAE ． 16．证明：∵43===BC CA DB DC CD AD ∴△ADC ∽△CDB ∴∠ADC ＝∠CDB ，∠ACD ＝∠B∵∠ADC+∠CDB＝180°，∴∠ADC＝∠CDB＝90°∴∠ACD+∠A＝90°∴∠B+∠A＝90°∴∠ACB＝90°，∴△ABC为直角三角形．17.解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选C．。
4.4 两个三角形相似的判定（1）（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.（2）有两个角对应相等的两个三角形相似．1.下列条件中，能判定两个等腰三角形相似的是(C ).A.都含有一个30°的内角B.都含有一个45°的内角C.都含有一个60°的内角D.都含有一个80°的内角2.如ABCD 中，E 是AD 延长线上一点，BE 交AC,DC 于点F ，G ，则下列结论中，错误的是(D ).A.△ABE ∽△DGEB.△CGB ∽△DGEC.△BCF ∽△EAFD.△ACD ∽△GCF（第2题）（第3题） （第4题）3.如图所示，F 是△ABC 的边BC 上一点，DE∥BC 交AF 于点G ，若ADDB=34，则CF GE 等于(A ).A. 73B. 74C. 43D. 34 4.如ABCD 中，F 是CD 上一点，BF 交AD 的延长线于点G ，则图中的相似三角形有(B ).A.8对B.6对C.4对D.2对5.如图所示，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，EF⊥BE，交CD 于点F ，连结BF ，则图中与△ABE 一定相似的三角形是(B ).A.△EFBB.△DEFC.△CFBD.△EFB 和△DEF（第5题）（第6题） （第7题） （第8题） 6.如图所示，E 是的边AD 上一点，AE=21ED ，CE 与BD 相交于点F ，BD=10，则DF= 4 . 7.如图所示，已知△ABC 与△DEF 均为等边三角形，则图中的相似三角形有 3 对．8.如图所示，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，∠ADE=∠B，若AE=4，AB=5，则AD= 25 .9.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，BD=CD ，CE⊥AB 于点E.求证：△ABD ∽△CBE ．（第9题）【答案】在△ABC 中，∵AB=AC，BD=CD ，∴AD⊥BC.∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°.∵∠B=∠B，∴△ABD ∽△CBE.10.如图所示，CD 为⊙O 的直径，弦AB 交CD 于点E ，连结BD ，OB.（1）求证：△AEC ∽△DEB.（2）若CD⊥AB，AB=8，DE=2，求⊙O 的半径.（第10题）【答案】(1)∵∠AEC=∠DEB，∠ACE=∠DBE，∴△AEC ∽△DEB.(2)设⊙O 的半径为r ，则CE=2r-2.∵CD⊥AB，AB=8，∴AE=BE=21AB=4.∵△AEC ∽△DEB ， ∴DE AE =BE CE ，即24=42r ，解得r=5. 11.如图所示，点D 在等边△ABC 的BC 边上，△ADE 为等边三角形，DE 与AC 交于点F ．（第11题）（1）求证：△ABD ∽△DCF ．（2）除了△ABD ∽△DCF 外，请写出图中其他所有的相似三角形．【答案】(1)∵△ABC ，△ADE 为等边三角形，∴∠B=∠C=∠ADE=60°.∵∠BDA+∠ADE=∠DFC+∠C,∴∠BDA=∠DFC.∴△ABD ∽△DCF.(2)△AEF ∽△DCF ，△ABD ∽△AEF ，△ABC ∽△ADE ，△ADF ∽△ACD.12.如图所示，在锐角三角形ABC 中，∠A=60°，BE⊥AC 于点E ，CD⊥AB 于点D ，则DE ∶BC 等于(C )．A.2∶3B.1∶3C.1∶2D.3∶2（第12题）（第13题）（第14题）13.如图所示，点E ，F 分别在菱形ABCD 的边AB ，AD 上，且AE=DF ，BF 交DE 于点G ，延长BF 交CD 的延长线于点H ，若DF AF =2，则BGHF 的值为(B ). A. 32 B. 127 C. 21 D. 125 14.如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF 的长为(A ).A.3B.4C.5D.615.如图所示，在矩形ABCD 中，BE⊥AC 分别交AC ，AD 于点F ，E ，若AD=1，AB=CF ，则AE=215 . （第15题）（第16题） 16.如ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，在BA 的延长线上取一点E ，连结OE 交AD 于点F.若CD=5，BC=8，AE=2，则AF= 916 . 17.如图所示，在正方形ABCD 中，H 为CD 的中点，延长AH 至点F ，使AH=3FH ，过点F 作FG⊥CD，垂足为点G ，过点F 作BC 的垂线交BC 的延长线于点E.求证：（1）△ADH ∽△FGH.（2）四边形CEFG 是正方形.（第17题）【答案】(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADH=90°，AD=DC.∵FG⊥CD，∴∠FGH=90°. ∴∠ADH=∠FGH.又∠AHD=∠FHG，∴△ADH ∽△FGH.(2)∵FG⊥CD，DC⊥BE，FE⊥BE，∴四边形CEFG 是矩形.∵△ADH ∽△FGH ，∴GF AD =GH DH =FHAH .∵AH=3FH，∴GF AD =GH DH =3.∴GF=31AD.又∵DH=CH，∴CG=2GH.∴CD=6GH.∴CG=31CD.∴GF=CG.∴矩形CEFG 是正方形.（第18题）18.如图所示，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，CD 平分∠ACB 交⊙O 于点D ，交AB 于点F ，弦AE⊥CD 于点H ，连结CE ，OH ．（1）求证：△ACE ∽△CFB ．（2）若AC=6，BC=4，求OH 的长．（第18题答图）【答案】(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°.∵CD 平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCB=45°.∵AE⊥CD，∴∠CAE=45°=∠FCB.∵∠E=∠ABC，∴△ACE ∽△CFB.(2)如答图所示，延长AE ，CB 交于点M.∵∠FCB=45°，∠CHM=90°，∴∠M=45°=∠CAE. ∴HA=HC=HM，CM=CA=6.∵CB=4，∴BM=6-4=2.∵OA=OB，HA=HM ，∴OH 是△ABM 的中位线.∴OH=21BM=1.19.【泰安】如图所示，在正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME⊥AM，ME 交AD 的延长线于点E.若AB=12，BM=5，则DE 的长为(B ).A.18B. 5109 C 596 D. 325 （第19题） （第20题）20.【锦州】如图所示，E ABCD 的边AB 延长线上的一点，且BE ∶AB=2∶3，连结DE 交BC 于点F ，则CF ∶AD= 3∶5 .21.如图所示，Rt△AB′C′是由Rt△ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC′交斜边于点E ，CC′的延长线交BB′于点F ．（1）求证：△ACE ∽△FBE ．（2）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α，β满足什么关系时，△ACE ≌△FBE ，请说明理由．（第21题）【答案】(1)∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′.∴∠CAB+∠BAC′=∠C′AB′+∠BAC′，即∠CAC′=∠BAB′.∴∠ACC′=∠ABB′.∵∠AEC=∠FEB，∴△ACE ∽△FBE.(2)当β=2α时，△ACE ≌△FBE.∵AC=AC′，∴∠ACC′==2180β-︒=90°-α. ∵∠ACC′+∠BCE=90°，即90°-α+∠BCE=90°，∴∠BCE=α.∵∠ABC=α，∴∠ABC=∠BCE.∴CE=BE.∵△ACE ∽△FBE ，∴∠BEF=∠CEA，∠FBE=∠ACE.∵CE=BE，∴△ACE ≌△FBE.。
4.4.两个三角形相似的判定（二）一．选择题1.如图，A,B 两点被池塘隔开，在AB 外任选一点C ，连结AC,BC,分别取其三等分点M,N,量得MN=38m ，则AB 的长（ ）A.152mB. 114mC. 76mD.104m2．△ABC 中，D,E 分别是AB,AC 上的点，若AD=2，BD=4，AE=3，EC=1，则下列结论错误的是 ( ) A. DE=31BC B. △ABC ∽△AED C. ∠ADE=∠C D. ∠AED=∠B(第1题) (第2题) (第3题)3. 已知△ABC ，则下列三角形中于△ABC 相似的是 （ ）A. B. C. D.4.如图，已知△ABC 中，P 为AB 上一点，在下列四个条件中：①∠ACP=∠B;②∠APC= ∠ACB;③AB AP AC •=2;④CB AP CP AB •=•能满足△APC 和△ACB 相似的条件是（ ）A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①②③5．如图，等边三角形ABC 的边长为3，点P 为BC 边上一点，且BP=1，点D 为AC 边上的一点，若∠APD=o 60，则CD 的长为 （ ） A.21 B. 32 C. 43 D.1(第4题) (第5题) (第6题)二．填空题6.如图，已知AB=2AD,A C=2AE, ∠BAD=∠CAE,则DE:BC=_________7.有一个角为_________度的两个等腰三角形相似（填写一个适当的数据）8.如图，D,E 分别是△ABC 的边AB,AC 上的点，则使△ABC ∽△AED 得条件是____________9．如图，边长为a 的三个正方形拼成一个矩形AEDF, △ABC 与△DBA 相似吗？_________,∠1+∠2的度数是__________(第8 题) (第9题)三．解答10.根据下列各组条件判定△ABC 与△DEF 相似，并说明理由（1）∠A=o 60，AB=3，AC=4，∠D=o 60，DF=10，DE=7.5（2）∠B=o 75，BA=3，BC=4，∠E=o 70，ED=15，EF=1811. 如图，AD,BC 交于点O,BO CO DO AO •=•,求证：△ABO ∽△CDO12.已知：如图，在边长为a 的正方形ABCD 中，M 是边AD 的中点，能否在边AB 上找到点N(不含A,B),使得△CDM 与△MAN 相似？若能请给出证明；若不能，请说明理由.13.如图，在：△ABC 中，AB=8cm ，BC=16cm,点P 从点A 出发沿AB 边向 B B 以2cm/s 的速度移动，Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动（有一点到达后即停止移动），如果P,Q 同时，经过几秒后△BPQ 和△ABC相似？14.正方形ABCD 的边长为4，M,N 分别是BC,CD 上的两个动点，当点M 在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直.(1)证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN(2)当点M 运动到什么位置时，Rt △ABM ∽Rt △AMN?求BM 的值.4.4.两个三角形相似的判定（二）1—5 BACDB6. 1:27. 60或不小于90且小于180的任何度数8. 略9. 相似，45度10.略 11. 略 12. AN=a 41，理由略 13. 0.8s 或2s 14. （1）略（2）BM=2。
