2015高三三模数学(文)试题及答案

2015年高考模拟考试(山东卷)数学(文科)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2230,1,1,3,M x x x N M N =+-==-⋃=则 A.{}1,3-B.{}1,1,3-C.{}1,1,3,3--D.{}1,1,3--2.已知复数z 满足()1i z i -=（i 是虚数单位），则z 在复平面内对应的点所在象限为 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.函数y = A.[)1,+∞B.()1,+∞C.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭4.“1cos 2α=”是“3πα=”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知,,a b c R ∈，那么下列命题中正确的是 A.若a b <，则22ac bc < B.若0,0a b c >><，则c c a b< C.若a b >，则()()22a cbc +>+ D.若0ab >，则2a bb a+≥ 6.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.9 B.16 C.25 D.367.已知,x y 满足约束条件13223x x y z x y x y ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪-≤⎩，若的最大值和最小值分别为,a b ，则a b +=A.7B.6C.5D.48.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，当()12,0,x x ∈+∞时，都有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦.设()21ln,ln ,ln a b c πππ===，则A.()()()f a f b f c >>B. ()()()f b f a f c >>C. ()()()f c f a f b >>D. ()()()f c f b f a >>9. 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线一个交点是P ，且12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是 A.2 B.3 C.2D.510.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数()0f x x ωω>≤，使对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”.现给出下列函数：①()4f x x =；②()22f x x =+；③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124f x f x x x -≤-.其中是“条件约束函数”的有A.1个B.2个C.3个D.4个第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[)50,70中的学生人数是_________.12.已知ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，若sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则角C=__________.13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为3π的扇形，则该几何体的体积为__________. 14.设,,a b c r r r是单位向量，且()()0a b a c b c ⋅=-⋅-r r r r r r ，则的最大值为________.15.已知P 是直线34100x y +-=上的动点，PA ，PB 是圆222440x y x y +-++=的两条切线，A,B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分） 设函数()223cos2sin 3f x x x ωω=+-（其中0ω>），且()f x 的最小正周期为2π.（I ）求ω的值；（II ）将函数()y f x =图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调增区间.17. （本小题满分12分）某在元宵节活动上，组织了“摸灯笼猜灯谜”的趣味游戏.已知在一个不透明的箱子内放有大小和形状相同的标号分别为1，2，3的小灯笼若干个，每个灯笼上都有一个谜语，其中标号为1的小灯笼1个，标号为2的小灯笼2个，标号为3的小灯笼n 个.若参赛者从箱子中随机摸取1个小灯笼进行谜语破解，取到标号为3的小灯笼的概率为14. （I ）求n 的值；（II ）从箱子中不放回地摸取2个小灯笼，记第一次摸取的小灯笼的标号为a ，第二次摸取的小灯笼的标号为b.记“4a b +≥”为事件A ，求事件A 的概率.18. （本小题满分12分） 如图，平面PBA ⊥平面ABCD ，90,,DAB PB AB BF PA ∠==⊥o ，点E 在线段AD 上移动.（I ）当点E 为AD 的中点时，求证：EF//平面PBD ；（II ）求证：无论点E 在线段AD 的何处，总有PE BF ⊥.19. （本小题满分12分）数列{}n a 满足()111,2n n a a a n N *+==∈，n S 为其前n 项和.数列{}n b 为等差数列，且满足1143,b a b S ==.（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （II ）设2221log n n n c b a +=⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：1132n T ≤<.20. （本小题满分13分）已知函数()()0xf x e ax a a R a =+-∈≠且.（I ）若函数()0f x x =在处取得极值，求实数a 的值；并求此时()[]21f x -在，上的最大值；（II ）若函数()f x 不存在零点，求实数a 的取值范围.21. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形. （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）椭圆C 的右焦点为F ，过F 点的两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线2l 与直线4x 交于T 点. （i ）求证：线段PQ 的中点在直线OT 上； （ii ）求TF PQ的取值范围.文科数学参考答案一、选择题 CBABD BACDC二、填空题11.25 12.3π13. 2π 14. 1 三、解答题16. 解：（Ⅰ）()2sin 2f x x x ωω=+=2sin(2)3x πω+……………………4分∴2=22ππω，即12ω= ……………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x =2sin()3x π+,将函数)(x f y =的图象各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，即()g x =2sin(2)3x π+ ……………………8分由22+2232k x k πππππ-≤+≤，k Z ∈得：51212k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈，……………………10分 ∴()g x 的单调递增区间是：5[,]1212k k ππππ-++,k Z ∈ …………12分17. 解：（Ⅰ）由题意，1124n n =++，1n ∴=……………………4分（2）记标号为2的小灯笼为1a ,2a ；连续．．摸取2个小灯笼的所有基本事件为:（1, 1a ）,（1, 2a ）,(1,3),（1a ,1）,（2a ,1）,(3,1),（1a ,2a ）, (1a ,3）,（2a ,1a ）, （3,1a ）,（2a ,3）,（3, 2a ）共12个基本事件. ……………………8分A 包含的基本事件为: (1,3), (3,1),（1a ,2a ），（2a ,1a ），(1a ,3），（3, 1a ）, （2a ,3）,（3, 2a ）……………………10分8()12P A ∴=23= ……………………12分 18. （Ⅰ）证明： 在三角形PBA 中，,PB AB BF PA =⊥，所以F 是PA 的中点，连接EF ， ………………………………2分 在PDA ∆中，点,E F 分别是边,AD PA 的中点， 所以//EF PD …………………………………4分 又EF PBD ⊄平面，PD PBD ⊂平面所以EF //平面PBD .……………………………6分（Ⅱ）因为平面PBA ⊥平面ABCD ，平面PBA I 平面ABCD AB =, 90DAB ∠=o，DA AB ⊥ ,DA ABCD ⊂平面所以DA ⊥平面PBA …………………… 8分又BF PBA ⊂平面 ,所以DA BF ⊥,又BF PA ⊥，PA IDA A =,,PA DA PDA ⊂平面,所以BF PDA ⊥面 ……………………………………10分 又PE PDA ⊂平面 所以BF PE ⊥所以无论点E 在线段AD 的何处，总有PE ⊥BF . …………………………12分19. 解：（Ⅰ）由题意，{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11121--⋅=⋅=∴n n n q a a . ∴12n n a -=，21nn S =-， …………………3分设等差数列{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d = ∴1(1)221n b n n =+-⨯=-. …………………6分 （II ）∵212222log =log 221n n a n ++=+，∴22211111()log (21)(21)22121n n n c b a n n n n +===-⋅-+-+,…………………7分. …………………9分∵*N n ∈, …………………10分当2n ≥∴数列{}n T 是一个递增数列，…………………12分 20. 解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为R ，a e x f x+=)('，…………………1分0)0(0'=+=a e f ，1-=∴a .…………………2分∴'()1xf x e =-∵在)0,(-∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在),0(+∞上)(,0)('x f x f >单调递增， ∴0=x 时)(x f 取极小值.1-=∴a . …………………3分易知)(x f 在)0,2[-上单调递减，在]1,0(上)(x f 单调递增；且;31)2(2+=-e f ;)1(e f =)1()2(f f >-.…………………4分 当2-=x 时，)(x f 在]1,2[-的最大值为.312+e…………………5分（Ⅱ）a e x f x+=)('，由于0>xe .①当0>a 时，)(,0)('x f x f >是增函数，…………………7分 且当1>x 时，0)1()(>-+=x a e x f x.…………………8分 当0<x 时，取a x 1-=，则0)11(1)1(<-=--+<-a aa a f ， 所以函数)(x f 存在零点，不满足题意.…………9分 ②当0<a 时，)ln(,0)('a x a e x f x-==+=.在))ln(,(a --∞上)(,0)('x f x f <单调递减，在)),(ln(+∞-a 上)(,0)('x f x f >单调递增，所以)ln(a x -=时)(x f 取最小值.………………11分 函数)(x f 不存在零点，等价于0)ln(2)ln())(ln()ln(>-+-=--+=--a a a a a a e a f a ，解得02<<-a e .综上所述：所求的实数a 的取值范围是02<<-a e .………………13分21. 解：（Ⅰ）由题意1222c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，………………1分解得3,1,2===b c a ,………………3分所求椭圆C 的标准方程为13422=+y x ；………………4分 （Ⅱ）解法一：（i ）设:1PQ l x my =+，221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x ，化简得096)43(22=-++my y m . 09)43(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则436221+-=+m m y y ，439221+-=m y y ，……………6分 43322210+-=+=m m y y y ，4341200+=+=m my x ， 即2243(,)3434mG m m -++，……………7分 4344343322m m m m k OG-=+⋅+-=，设)1(:--=x m y l FT ，得T 点坐标（m 3,4-），43mk OT -=Θ，所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当0=m 时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分当0m ≠时，13)3()14(||222+=-+-=m m TF ，||11||122y y k PQ PQ-+==-+⋅+=2122124)(1y y y y m 4394)436(12222+-⋅-+-⋅+m m m m4311222++⋅=m m .……………11分 )1113(411243113||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF令12+=m t .则)1)(13(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)1)(13(41)(>+⋅=t tt t g 则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分 所以1)1()(=>g t g .所以||||PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……………14分 解法二：（i ）设T 点的坐标为),4(m ，当0=m 时，PQ 的中点为F ，符合题意. ……………5分 当0m ≠时，mk m k PQ FT 3,3-==.3:(1)PQ l y x m-=- ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+)1(313422x m y y x ，消去x 化简得22(12)6270m y my +--=. 027)12(43622>⋅++=∆m m设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则126221+=+m m y y .1227221+-=m y y ，……………6分 12322210+=+=m m y y y ，121231200+=-=m my x ， 即)123,1212(22++m m m G ，……………7分 4121212322m m m m k OG =+⋅+=，又4m k OT =Θ. 所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分 (ii) 当0m = 时，632PQ == , 413TF =-=,1TF PQ= ……………10分 当0m ≠时， 9)14(||222+=+-=m m TF ，||11||12y y k PQ PQ -+=.=-+⋅+=2122124)(91y y y y m 12274)126(912222+-⋅-+⋅+m m m m 129422++⋅=m m .……………11分 )939(4141299||||22222+++⋅=+⋅++=m m m m m PQ TF令92+=m t .则)3)(3(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)3)(3(41)(>+⋅=t t t t g 则函数()g t 在()3,+∞上为增函数，……………13分所以1)3()(=>g t g . 所以当||||PQ TF 的取值范围是[1,)+∞.……………14分 解法三：（i ）当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T ，符合题意. ……………5分 当直线PQ l 斜率存在时，若斜率为0，则2l 垂直于 x 轴，与 x=4不能相交，故斜率不为0 设)1(:-=x k y l PQ ，（0k ≠）⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(13422x k y y x ，消去y ，化简得. 2222(34)84120k x k x k +-+-= 4222644(34)(412)144(1)0k k k k ∆=-+-=+>设),,(),,(2211y x Q y x P PQ 的中点00(,)G x y ，则2221438k k x x +=+，222143124k k x x +-=，……………6分 222104342k k x x x +=+=，200433)1(kk x k y +-=-=， 即)433,434(222k k k k G +-+，……………7分 kk k k k k OG 43443433222-=+⋅+-=， 设)1(1:--=x k y l FT ，得T 点坐标（k 3,4-），kk OT 43-=，所以OT OG k k =，线段PQ 的中点在直线OT 上.……………9分(ii) 当直线PQ l 斜率不存在时，PQ 的中点为F ，)0,4(T .1||||,32||,3||2====PQ TF a b PQ TF .……………10分 当直线PQ l 斜率存在时，222213)3()14(||k k k TF +=-+-=，||1||122x x k PQ -+=. =-+⋅+=2122124)(1x x x x k 222222431244)438(1k k k k k +-⋅-+⋅+ 2243112kk ++⋅=.……………11分2222||34)||12(1)114TF k k PQ k k +==+++=⋅ 令211k t +=.则)1)(13(41||||>+⋅=t t t PQ TF .令)1)(13(41)(>+⋅=t t t t g 则函数()g t 在()1,+∞上为增函数，……………13分所以1)1()(=>g t g . 所以||||PQ TF 的取值范围是),1[+∞.……………14分。

余姚市高三第三次模拟考试高三数学〔文〕试题卷第一卷〔选择题局部 共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，恰有一项为哪一项符合题目要求的．1. 设全集U =R ，集合{}2|||≤=x x A ，}011|{>-=x x B ，那么()B U C A ⋂=( ) A. [2,1]-B. (2,)+∞C. ]2,1(D. (,2)-∞-2. 设n m ,为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，以下命题中为真命题的是〔 〕 A. 假设//,n//m αα，那么m//nB. 假设,m ααβ⊥⊥，那么//m βC. 假设//,m ααβ⊥，那么m β⊥；D. 假设βα//,m m ⊥，那么βα⊥ 3. ,,a b R ∈那么“221a b +≤〞是“12ab ≤〞的〔 〕 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. ()sin()()f x A x x R ωϕ=+∈的图象的一局部如图 所示，假设对任意,x R ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤， 那么12||x x -的最小值为〔 〕 A. 2πB. πC.2π D.4π 5. 实数变量,x y 满足1,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩那么3z x y =-的最大值为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足201420150,0S S ><，对任意正整数n ，都有||||n k a a ≥ ，那么k 的值为( ) A. 1006B. 1007C. 1008D. 1009〔第4题〕7. 设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 是C 的右支上的点，射线PT 平分12F PF ∠,过原点O 作PT 的平行线交1PF 于点M ,假设121||||3MP F F =,那么C 的离心率为〔 〕A. 32B. 3C. 2D. 38．实数,,a b c 满足2221a b c ++=，那么ab bc ca ++的取值范围是( ) A. (,1]-∞B. [1,1]-C. 1[,1]2-D. 1[,1]4-第二卷〔非选择题局部 共110分〕二、填空题：本大题共7小题，第9至12题，每题6分，第13至15题，每题4分，共36分．9. 假设指数函数()f x 的图像过点(2,4)-，那么(3)f = _____________；不等式5()()2f x f x +-<的解集为 . 10. 圆222:245250C x y ax ay a +-++-=的圆心在直线1:20l x y ++=上，那么a = ；圆C 被直线2:3450l x y +-=截得的弦长为____________.11. 某多面体的三视图如下图，那么该多面体最长的棱长为 ；外接球的体积为 ． 12．“斐波那契数列〞是数学史上一个著名数列， 在斐波那契数列{}n a 中，11=a ，12=a )(12*++∈+=N n a a a n n n 那么=7a ____________； 假设2017a m =，那么数列{}n a 的前2015项和是________________〔用m表示〕． 13．函数3,0()13x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+-⎪⎩，假设关于x 的方程21(2)m 2f x x ++=有4个不同的实数根，那么m 的取值范围是________________．14. 定义：曲线C 上的点到点P 的距离的最小值称为曲线C 到点P 的距离。

市 2015 届高三年级第三次模拟考试数学2015.05注意事项：1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题 ~第 14 题）、解答题（第15 题 ~第 20 题）两部分．本试卷满分为160 分，考试时间为120 分钟．2．答题前，请务必将自己的、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格．考试结束后，交回答题纸．参考公式样本数据 x1， x2，， x n的方差 s2＝1 n －－ 1 nn ∑ (x i－ x )2，其中 x ＝n∑ x i．i ＝ 1 i ＝ 1锥体的体积公式：1h 为锥体的高．V＝ Sh，其中 S 为锥体的底面积，3一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共70 分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．2i－ 1，其中 i 为虚数单位，则z 的模为▲．1．已知复数 z＝1－i2．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9 点钟排队等候的人数及相应概率如下：排队人数0 1 2 3 4 ≥ 5 概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则该营业窗口上午9 点钟时，至少有 2 人排队的概率是▲．x＋y≤ 2，3．若变量 x， y 满足约束条件 x≥1，则 z＝2x＋ y 的最大值是▲．y≥ 0，4．右图是一个算法流程图，则输出k 的值是▲．5．如图是甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是▲．开始k← 1S←40k←k＋ 1S←S－ 2k乙S≤ 0甲N 7 8Y输出 k 9 7 8 8 93 1 0 9 6 9 结束（第 4 题图）（第 5 题图）6．记不等式 x2＋ x－ 6＜ 0 的解集为集合A，函数 y＝ lg(x－ a)的定义域为集合 B．若“ x∈ A”是“ x∈ B”的充分条件，则实数 a 的取值围为▲．27．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C： x2－y ＝ 1 的右焦点 F 作 x 轴的垂线 l，则 l 与双曲线 C3的两条渐近线所围成的三角形的面积是▲．8．已知正六棱锥P－ ABCDEF 的底面边长为2，侧棱长为 4，则此六棱锥的体积为▲．9．在△ ABC 中，ABC＝ 120 ， BA＝2， BC＝ 3，D ， E 是线段 AC 的三等分点，则 BD · BE 的值为▲．10．记等差数列 { a } 的前 n 项和为 S ．若 S－1 ＝8，S ＝ 0，S1＝－ 10，则正整数 k＝▲．n n k k k＋11．若将函数 f(x)＝∣ sin( x－6) ∣( ＞0)的图象向左平移9个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则实数的最小值是▲．4x ＋y的最大值为▲．12．已知 x，y 为正实数，则4x＋y x＋ y13．在平面直角坐标系xOy 中，圆 C 的方程为 (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 9，直线 l：y＝ kx＋ 3 与圆 C 相交于 A，B 两点， M 为弦 AB 上一动点，以 M 为圆心， 2 为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值围为▲．14．已知 a， t 为正实数，函数f(x)＝ x2－ 2x＋a，且对任意的x∈ [0， t] ，都有 f(x)∈ [ － a， a]．若对每一个正实数 a，记 t 的最大值为 g(a)，则函数 g(a)的值域为▲．二、解答题：本大题共 6 小题，共计90 分．请在答题纸指定区域作答，解答时应写出文字说明、证．．．．．．．明过程或演算步骤．15．（本小题满分14 分）在△ ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别为a， b，c．已知 acosC＋ ccosA＝ 2bcosA．（1）求角 A 的值；（2）求 sinB＋ sinC 的取值围．16．（本小题满分14 分）在四棱锥 P－ABCD 中， BC∥ AD ， PA⊥ PD ， AD＝ 2BC， AB＝ PB， E 为 PA 的中点．（ 1）求证：BE∥平面 PCD ；P（ 2）求证：平面 PAB⊥平面 PCD．EA DB C（第 16 题图）17．（本小题满分14 分）如图，摩天轮的半径 OA 为 50m，它的最低点 A 距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为 240m 的景观带 MN ，它与摩天轮在同一竖直平面，且AM ＝ 60m．点 P 从最低点 A 处按逆时针方向转动到最高点 B 处，记AOP＝，∈ (0，π)．（ 1）当2＝3时，求点 P 距地面的高度PQ；（ 2）试确定的值，使得MPN 取得最大值．BPOA Q M N（第 17 题图）18．（本小题满分16 分）在平面直角坐标系xOy 中，设中心在坐标原点的椭圆 C 的左、右焦点分别为F1、 F 2，右准线l： x＝m＋ 1 与 x 轴的交点为B， BF 2＝m．（1）已知点 ( 6， 1)在椭圆 C 上，数 m 的值；2（2）已知定点 A(－ 2， 0)．①若椭圆 C 上存在点T，使得TA＝2，求椭圆 C 的离心率的取值围；TF 1②当 m＝1 时，记 M 为椭圆 C 上的动点，直线AM ， BM 分别与椭圆 C 交于另一点P，Q，→→→→若 AM ＝λAP ， BM＝BQ ，求证：λ＋为定值．yM lPQBAF1 OF2 x（第 18 题图）19． (本小题满分16 分 )已知函数f(x)＝ x2－ x＋ t， t≥ 0， g(x)＝ lnx．（ 1）令 h( x)＝ f(x)＋ g(x)，求证： h(x)是增函数；（ 2）直线 l 与函数f(x)， g(x)的图象都相切．对于确定的正实数t，讨论直线l 的条数，并说明理由．20．（本小题满分16 分）已知数列 { a n} 的各项均为正数，其前n 项的和为S n，且对任意的m，n∈ N* ，都有 (S m＋n＋ S1)2＝ 4a2m a2n．（1）求a2的值； a1（2）求证： { a n} 为等比数列；（ 3）已知数列 { c n } ， { d n } 满足 |c n |＝ |d n|＝ a n， p(p≥ 3)是给定的正整数，数列{ c n} ， { d n} 的前 p 项的和分别为T p，R p，且 T p＝R p，求证：对任意正整数k(1≤ k≤ p)， c k＝ d k．市 2015 届高三年级第三次模拟考试数学附加题2015.05 注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟．3．答题前，考生务必将自己的、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目．．．的答案空格．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在 A 、 B、 C、 D 四小题中只要选做 2 题，每小题10 分，共计卷纸指定20 分．请在答．．．．．区域作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．A ．选修 4— 1：几何证明选讲如图， AB，AC 是⊙ O 的切线， ADE 是⊙ O 的割线，求证：BE· CD ＝ BD · CE．BEDA OC（第 21A 题图）B．选修 4－ 2：矩阵与变换已知矩阵 A ＝a1，直线l：x－y＋4＝0在矩阵A对应的变换作用下变为1 a直线 l ： x－ y＋ 2a＝ 0．（ 1）数 a 的值；（2）求 A2．C．选修 4－ 4：坐标系与参数方程在极坐标系中，设圆 C：＝ 4 cos 与直线 l：＝( ∈ R)交于 A，B 两点，求以 AB 为直径的圆4的极坐标方程．D．选修 4－ 5：不等式选讲1已知实数x， y 满足 x＞ y，求证： 2x＋x2－2xy＋y2≥ 2y＋ 3．【必做题】第22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答卷纸指定区域作答．解答应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）如图，四棱锥P－ ABCD 中， PA 平面 ABCD ， AD ∥ BC，AB AD ， BC＝2 3，AB＝1， BD ＝PAP3＝2．（1）求异面直线 BD 与 PC 所成角的余弦值；（2）求二面角 A－PD－ C 的余弦值．ADB C23．（本小题满分10 分）已知集合 A 是集合 P n＝ {1 ，2，3，，n} ( n≥3，n∈ N *) 的子集，且 A 中恰有 3 个元素，同时这3 个元素的和是 3 的倍数．记符合上述条件的集合 A 的个数为f(n)．（1）求 f(3)， f(4) ；（2）求 f(n)（用含 n 的式子表示）．市 2015 届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准2015.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共 70 分．1． 52． 0.743． 4 4． 6 5．甲 6． (－∞，－ 3] 7． 4 38． 129． 11 10． 9911．312． 413． [－ 3，＋∞ )14． (0， 1)∪{2}234二、解答题：本大题共6 小题，共 90 分．15． 解：（ 1）因为 acosC ＋ ccosA ＝ 2bcosA ，所以 sinAcosC ＋ sinCcosA ＝2sinBcosA ，即 sin(A ＋ C)＝2sinBcosA ．因为 A ＋ B ＋C ＝ π，所以 sin(A ＋ C)＝ sinB ．从而 sinB ＝2sinBcosA ．4 分因为 sinB ≠0，所以 cosA ＝ 1．2π7 分因为 0＜ A ＜ π，所以 A ＝ ．32π2π 2π（2） sinB ＋ sinC ＝ sinB ＋ sin( 3 －B)＝ sinB ＋ sin 3 cosB －cos 3 sinB3 sinB ＋ 3π 11 分＝ 2 cosB ＝ 3sin( B ＋ )． 2 6因为 0＜ B ＜ 2π π π 5π，所以 ＜B ＋ ＜ ．3 6 6 6所以 sinB ＋sinC 的取值围为 (3， 3]．14 分216．明：（ 1）取 PD 的中点 F ，接 EF ， CF．因 E PA 的中点，所以1 EF∥ AD ，EF ＝ AD ．2 1因 BC∥ AD， BC＝ AD ，2所以 EF∥ BC，EF＝BC ．所以四形 BCFE 平行四形．所以 BE∥ CF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分PE FA DB C（第 16 题图）因 BE 平面 PCD， CF 平面 PCD，所以 BE∥平面 PCD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（2）因 AB ＝ PB，EPA 的中点，所以 PA⊥BE．因 BE∥ CF ，所以 PA⊥ CF．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分因 PA⊥PD ，PD 平面 PCD ，CF 平面 PCD，PD∩CF＝F，所以 PA⊥平面 PCD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分因 PA 平面 PAB，所以平面 PAB 平面 PCD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分17．解：（ 1）由意，得 PQ＝ 50－ 50cos ．从而，当＝2 2＝75．3， PQ＝ 50－50cos 3即点 P 距地面的高度 75m．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（2）（方法一）由意，得 AQ＝ 50sin ，从而 MQ ＝ 60－ 50sin ， NQ＝ 300－ 50sin ．又 PQ＝ 50－50cos ，所以 tan NPQ＝NQ＝ 6－ sin，tan MQ ＝ 6－ 5sin．PQ 1－ cos MPQ ＝PQ 5－5cos⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯从而 tan MPN ＝ tan( NPQ－ MPQ)6－ sin－6－ 5sin＝ tan NPQ－ tan MPQ ＝ 1－cos 5－ 5cos 1＋ tan NPQ tan MPQ 6－ sin 6－ 5sin1＋1－ cos ×5－ 5cos12(1－ cos )．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯＝18sin － 5cos23－令 g( )＝12(1－ cos )，∈ (0，π)，23－18sin －5cos6分9分g ( )＝ 12× 18(sin＋ cos － 1)∈(0 ，π)．(23－ 18sin － 5cos )2，由 g ( )＝ 0，得 sin＋ cos － 1＝ 0，解得＝ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分 当 ∈ (0， ) ， g () ＞0， g() 增函数；当∈ ( ， ) ， g ( )＜ 0，g() 减函数，22所以，当＝ ， g()有极大 ，也 最大 ．2因 0＜MPQ ＜ NPQ ＜ 2，所以 0＜ MPN ＜2， 从而当 g( )＝ tanMPN 取得最大 ，MPN 取得最大 ．即当 ＝2 ，MPN 取得最大 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分（方法二） 以点 A 坐 原点， AM x 建立平面直角坐 系，O 的方程 x 2＋ (y －50)2＝502，即 x 2＋ y 2－ 100y ＝ 0，点 M(60，0)， N(300， 0)．点 P 的坐(x 0， y 0)，所以 Q (x 0 ， 0)，且 x 02＋ y 0 2－ 100y 0＝ 0．NQ 300－x 0MQ 60－ x从而 tan NPQ ＝ PQ ＝， tan MPQ ＝PQ ＝y 0y 0．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分从而 tan MPN ＝ tan( NPQ － MPQ)300－ x 060－ x 0＝ tanNPQ － tan MPQy 0 － y 0＝300－ x 060－x 01＋ tan NPQ tan MPQ1＋y 0 × y24y 0＝10y 0－ 36x 0＋ 1800．由 意知， x 0＝ 50sin ， y 0＝ 50－50cos ，所以 tan 12(1 － cos )⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分MPN ＝＝．23－18sin －5cos（下同方法一）2218． 解：（ 1） C 的方程x2＋ y2＝ 1(a ＞ b ＞ 0)．aba 2a 2＝ m ＋ 1，＝ m ＋ 1，解得 b 2＝ m ，由 意，得 c(m ＋ 1)－c ＝m ，c ＝ 1．所以 方程x 2＋y 2＝ 1．m ＋ 1 m因 C 点 (6， 1)，所以 3 ＋1＝1，2 2(m＋ 1) m1解得 m＝ 2 或 m＝－2 (舍去）．所以 m＝ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（2）① 点 T(x， y)．由TA＝2，得 (x＋ 2)2＋ y2＝ 2[( x＋ 1)2＋y2 ]，即 x2＋y2＝ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分TF 1x2＋ y2＝ 2，由 x2＋ y2＝1，得 y2＝ m2－ m．m＋ 1 m因此 0≤ m2－ m≤ m，解得 1≤ m≤ 2．所以 C 的离心率 e＝ 1 ∈ [ 3， 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分m＋ 1 3 2 ] ．②（方法一）M(x0， y0)，P(x1，y1) ，Q(x2， y2)．AM ＝ (x0＋ 2， y0)， AP ＝ (x1＋2， y1)．由AM＝ AP ，得x0＋ 2＝ (x1＋ 2)，0 1y ＝y ．从而x0＝ x1＋ 2( －1)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分0 1y ＝y ．因 x02 ＋ y02＝ 1，所以[x1＋ 2( －1)]2 ＋ ( y1)2＝ 1．2 2x12即2(2＋y12)＋2 (－1)x1＋2(－1)2－1＝0．因x212＋y12＝1，代入得 2 (－1)x1＋32－4＋1＝0．由意知，≠1，故 x1＝－3－1，所以 x0 －3．2 ＝2同理可得 x0＝－＋3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分2因此－3＝－＋ 3，2 2所以＋＝6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分（方法二）M(x0， y0)， P(x1， y1)，Q(x2， y2)．直 AM 的方程 y＝y0 (x＋ 2)．x ＋ 2将 y＝y0(x＋2) 代入x2 1 2 2 2＋ y2＝ 1，得( (x0＋ 2)2＋ y0 )x2＋4y0 x＋ 4y0－ (x0＋2) 2＝ 0(*) ．0 2 2x ＋ 2因 x 02 2 2＝ 0．2＋ y 02＝ 1，所以（ * ）可化 (2x 0＋ 3)x 2＋ 4y 0x － 3x 0－ 4x 020＋ 4． 因 x 013x 0＋4x 0，所以 x 13xx＝－2x 0 ＋3＝－2x 0＋ 3同理 x 2 ＝ 3x 0－4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分2x 0－3→→因 AM ＝ AP ， BM ＝BQ ，所以 ＋ ＝ x 0＋ 2＋x 0 － 2＝x 0＋ 2＋x 0－ 2x 1＋ 2 x 1 － 2 － 3x 0＋ 4＋ 2 3x 0－ 4－ 22x ＋ 32x － 3＝(x 0＋ 2)(2x 0＋ 3)＋ (x 0 －2)(2 x 0－ 3)＝ 6．－x 0＋ 2x 0＋2即 λ＋ 定 6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分19． 解：（ 1）由 h(x)＝ f(x)＋ g(x)＝ x 2－ x ＋ t ＋ lnx ，得 h' (x)＝ 2x － 1＋ 1， x ＞ 0．x1 ≥2 12，所以 h' (x)＞ 0，因 2x ＋2x ·＝ 2xx从而函数 h(x)是增函数．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分（ 2） 直 l 分 切 f(x)， g( x)的 象于点 (x 1， x 12－ x 1＋ t) ， (x 2， lnx 2)，由 f'(x)＝ 2x － 1，得 l 的方程 y － (x 12 －x 1 ＋t)＝ (2x 1－ 1)(x － x 1)，即 y ＝ (2x 1－ 1)x －x 1 2＋ t ．由 g'(x) ＝1，得 l 的方程y － lnx 2＝ 1 (x － x 2)，即 y ＝ 1 ·x ＋ lnx 2 －1．xx 2 x 2 2x 1－ 1＝ 1， 所以x 2 (*) － x 12＋t ＝ lnx 2－ 1．消去 x 1 得 ln x 2＋ (1＋ x 2)2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分4x 2 － (t ＋ 1)＝ 0 (**) ．2令 F(x)＝ lnx ＋ (1＋ x)2 － (t ＋1)， F' (x)＝ 1－ 1＋ x 2x 2－ x － 1 (2x ＋1)( x －1)， x ＞ 0． 2 2x 3 ＝ 3＝ 34x x 2x 2x由 F' (x)＝ 0，解得 x ＝ 1．当 0＜x ＜ 1 ， F' (x)＜ 0，当 x ＞ 1 ， F' ( x)＞ 0，所以 F(x)在 (0，1) 上 减，在 (1，＋∞ )上 增，从而 F(x)min ＝ F(1) ＝－ t ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分当 t ＝ 0 ，方程 (**) 只有唯一正数解，从而方程 (*) 有唯一一 解，即存在唯一一条 足 意的直 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分当 t ＞ 0， F(1)＜ 0，由于 F(e t ＋1 )＞ ln(e t ＋ 1)－ (t ＋ 1)＝ 0，故方程 (**) 在 (1，＋∞ )上存在唯一解；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分令 k(x)＝ lnx ＋ 1－ 1(x ≤ 1)，由于 k' (x)＝ 1－ 12＝x －2 1≤0，故 k (x)在 (0， 1]上 减，xx xx故当 0＜ x ＜ 1 ， k (x)＞ k (1)＝ 0，即 lnx ＞ 1－1，x 从而 lnx ＋ (1 ＋x)21－ 1 22－ (t ＋ 1)＞ (2x 2 ) － t ．4x所以 F(1 )＞ ( t ＋ 1)2－ t ＝ t ＋ 1＞ 0，又 0＜ 1＜ 1， 2( t ＋ 1)2 4 2( t ＋ 1) 故方程 (**) 在 (0， 1)上存在唯一解．所以当 t ＞ 0 ，方程 (**) 有两个不同的正数解，方程 (*) 有两 解．即存在两条 足 意的直 ．上，当 t ＝ 0 ，与两个函数 象同 相切的直 的条数1； 当 t ＞ 0 ，与两个函数 象同 相切的直 的条数2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分m ＋n12＝4a 2n 2m 2 1 2＝4a 22 21 2＝ 4a 2220． 解：（ 1）由 (S＋ S ) a ，得(S ＋S) ，即 (a ＋ 2a ) ．因 a 1＞ 0， a 2＞ 0，所以 a 2＋ 2a 1＝ a 2，即a 2＝ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分a 1明： （2）（方法一） 令 m ＝ 1， n ＝2，得 (S 312＝ 4a 2 4 ，即 (2a 1 23 2＝ 4a 2 4，＋ S ) a ＋ a ＋ a ) a 令 m ＝ n ＝2，得 S 4＋ S 1＝ 2a 4，即 2a 1＋ a 2＋ a 3＝a 4．所以 a 4 ＝4a 2＝ 8a 1．又因a 2＝ 2，所以 a 31．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分＝ 4aa 1由 (S m ＋ n ＋ S 1)2＝ 4a 2n a 2m ，得 (S n ＋1＋ S 1)2＝ 4a 2n a 2， (S n ＋ 2＋S 1)2＝ 4a 2n a 4．两式相除，得 (S ＋ S ) ＝ a 4，所以 S ＋ S ＝a 4＝2． n ＋ 2 1 2 a 2 n ＋2 1a 2 n ＋11 2 n ＋11(S ＋ S ) S ＋ S即 S n ＋2 ＋S 1＝ 2(S n ＋ 1＋ S 1)，从而 S n ＋3＋ S 1＝ 2(S n ＋2 ＋S 1)．所以 a n ＋3＝ 2a n ＋ 2，故当 n ≥ 3 ， { a n } 是公比 2 的等比数列．又因 a 3 ＝2a 2＝ 4a 1，从而 a n ＝ a 1· 2 n －1， n ∈ N* ．然， a n1n －1足 ，＝a · 2因此 { a n } 是首 a 1，公比2 的等比数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分（方法二） 在 (S＋n ＋ S 1)2＝ 4a2n a 2m 中，m令 m ＝ n ，得 S 2n ＋ S 1＝ 2a 2n ．① 令 m ＝ n ＋ 1，得 S 2n ＋ 1＋ S 1＝ 2 a 2n a 2n ＋ 2 ，②在①中，用 n ＋1 代 n 得， S 2n ＋2＋ S 1＝ 2a 2n ＋2．③ ②－①，得 a 2n ＋ 1 ＝ 2 a 2n a 2n ＋2 － 2a 2n ＝ 2 a 2n ( a 2n ＋ 2－ a 2n )， ④ ③－②，得 a 2n ＋ 2＝ 2a 2n ＋2－ 2 a 2n a 2n ＋2 ＝2 a 2n ＋2( a 2n ＋2－ a 2n )， ⑤ 由④⑤得 a 2n ＋ 1 a 2n 2 n ＋ 2．⑥＝ a⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分⑥代入④，得a 2n ＋1 ＝2a 2n ；⑥代入⑤得a 2n ＋ 2＝ 2a 2 n ＋ 1，所以 a 2n＋2＝ a 2n ＋1＝ 2．又 a 2＝ 2，2n ＋ 1a 2na 1a从而 a · 2 n － 1， n ∈ N* ．n ＝ a 1然， a 2 n －1 足 ，n ＝a 1·因此 { a n } 是首 a 1，公比 2的等比数列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分（3）由（ 2）知， a n ＝ a 1·2 n －1．因 |c p p 1 p －1，所以 c p p p p|＝ |d |＝ a · 2＝ d 或 c ＝－ d ． 若 c p ＝－ d p ，不妨 c p ＞ 0，d p ＜0，T p ≥ a 1· 2p －1－ (a 1· 2p － 2＋ a 1 ·2p －3＋⋯＋ a 1)＝a 1· 2p －1 － a 1 · (2p －1－ 1)＝ a 1＞ 0． R p ≤－ a 1 ·2p － 1＋ (a 1· 2p － 2＋ a 1· 2p － 3＋⋯＋ a 1)＝－ a 1· 2p －1＋ a 1· (2p －1－ 1)＝－ a 1＜ 0．与 T p ＝R p 矛盾，所以c p ＝d p ．从而 T p －1＝ R p － 1．由上 明，同理可得c p －1＝d p － 1．如此下去，可得 c p － 2＝d p － 2， c p － 3＝d p － 3．⋯， c 1 ＝d 1．即 任意正整数 k(1 ≤k ≤ p)， c k ＝d k ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分市 2015 届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2015.05 21．【做】在 A 、B 、C、 D 四小中只能做 2 ，每小 10 分，共 20 分．A ．修 4— 1：几何明明：因 AB 是⊙ O 的切，所以 ABD ＝ AEB．又因BAD ＝ EAB，所以△ BAD ∽△ EAB．所以BD＝AB．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分BE AECD AC同理，CE＝AE.．因 AB， AC 是⊙ O 的切，所以AB＝ AC．因此BD＝CD，即 BE· CD＝ BD·CE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分BE CEB．修 4— 2：矩与解：（ 1）直l 上一点 M 0(x0， y0) 在矩 A 的作用下l 上点 M(x， y)，x a 1 x ax ＋ y ，0 0 0y 1 a y0 0＋ ay 0x所以 x＝ ax0＋ y0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分y＝ x0＋ ay0．代入 l 方程得 (ax0＋y0)－ (x0＋ ay0)＋ 2a＝0，即 (a－ 1)x0－ (a－ 1)y0＋ 2a＝ 0．因 (x0， y0)足 x0－ y0＋ 4＝ 0，所以2a＝ 4，解得 a＝ 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分a－ 1（2）由 A＝ 2 1，得A2＝ 2 1 2 1 ＝ 54 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分1 2 1 2 1 2 4 5C．修 4— 4：坐系与参数方程解：以极点坐原点，极x 的正半，建立直角坐系，由意，得C 的直角坐方程x2＋y2－4x＝ 0，直 l 的直角坐方程y＝ x．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分由x2＋ y2－ 4x＝0，x＝ 0，或x＝2，y＝x，解得y＝ 0，y＝ 2．所以 A(0， 0)， B(2， 2)．从而以 AB 直径的的直角坐方程( x－ 1) 2＋ (y－ 1)2＝ 2，即 x2＋ y2＝ 2x＋ 2y．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分将其化极坐方程：2－ 2 (cos ＋ sin )＝0，即＝ 2(cos ＋sin )．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分D．修 4— 5：不等式明：因 x＞ y，所以 x－ y＞ 0，从而1左＝ (x－ y)＋ (x－ y)＋(x－y)2＋2y3 1 ＋2y≥ 3( x－y) (x－y)(x－ y)2＝ 2y＋ 3＝右．即原不等式成立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分【必做】第 22 、第23 ，每10 分，共 20 分．22．解：（ 1）因 PA 平面 ABCD ， AB 平面 ABCD ，AD 平面 ABCD ，所以 PA AB，PA AD ．又 AD AB，故分以 AB， AD， AP 所在直 x ， y ， z 建立空直角坐系．根据条件得 AD ＝ 3．z所以 B(1， 0，0)，D (0，3， 0)， C(1，23，0)，P(0，0，2)．3从而 BD＝(－1，3， 0)， PC ＝ (1， 23，－ 2)．3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分异面直 BD ， PC 所成角，PAD yB Cxcos→→BD PC＝ |cos＜ BD ， PC ＞ |＝ | |∣BD∣ ∣PC∣2 3＝ |(－ 1， 3， 0)·(1， 3 ，－2)|＝ 57．19382×3即异面直 BD 与 PC 所成角的余弦57． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分38（2）因 AB 平面 PAD ，所以平面 PAD 的一个法向量AB ＝(1，0， 0)．平面 PCD 的一个法向量n ＝ (x ， y ， z)，由 n PC ， n PD ， PC ＝ (1，2 3，－ 2)， PD ＝(0 ，3，－ 2)，32 2 3x ＝ 3z ， 得 x ＋ 3 y － 2z ＝0， 解得2 33y － 2z ＝ 0，y ＝ 3 z ．不妨取 z ＝3， 得 n ＝ (2， 2 3， 3)． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分二面角 A －PD － C 的大小，cos ＝ cos ＜ AB ， n ＞＝AB·n＝(1， 0，0)·(2， 2 3， 3)＝ 2．∣ AB ∣×∣ n ∣1× 55即二面角 A －PD － C 的余弦 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分523． 解：（ 1）f(3)＝ 1， f(4)＝ 2；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分n（ 2） A 0＝ { m ∣ m ＝ 3p ，p ∈ N* ， p ≤ 3} ，n ＋ 1A 1＝ { m ∣ m ＝ 3p －1， p ∈ N* ， p ≤3} ，n ＋ 2A 2＝ { m ∣ m ＝ 3p －2， p ∈ N* ， p ≤3 } ，它 所含元素的个数分 ∣A 0∣，∣ A 1∣，∣ A 2∣．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分①当 n ＝ 3k ， ∣ A 0∣＝∣ A 1∣＝∣ A 2∣＝ k ．1k ＝ 1， 2 ， f(n)＝ (C k )3＝ k 3；k ≥ 33 13 3， f(n)＝ 3C k ＋(C k )3＝ k 3－ k 2＋ k ．22从而 f(n)＝ 111 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分18 n3－n 2＋ n ， n ＝ 3k ，k ∈ N* ．63②当 n ＝ 3k － 1 ， ∣ A 0∣＝ k － 1，∣ A 1∣＝∣ A 2∣＝ k ．k ＝ 2， f(n)＝ f(5) ＝2× 2× 1＝ 4；k ＝ 3 ， f(n)＝ f(8) ＝1＋ 1＋ 3× 3× 2＝20；k ＞ 33 311 2 3 32 5 ， f(n)＝ C k－1＋2C k ＋ C k －1(C k ) ＝ k － 3k＋ k － 1；22从而 f(n)＝ 131 2 1 4 ， n ＝ 3k － 1， k ∈N* ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分18 n －n＋ n －639③当 n ＝ 3k － 2 ，∣ A 0∣＝ k － 1，∣ A 1∣＝ k － 1，∣ A 2∣＝ k ．k ＝ 2 ， f(n)＝ f(4) ＝2× 1× 1＝ 2；k ＝ 3 ， f(n)＝ f(7) ＝1＋ 3× 2× 2＝ 13；3 31213 3 9 2k ＞ 3 ， f(n)＝ 2C k －1 ＋ C k ＋ (C k －1)C k ＝k－ k ＋ 5k － 2；22从而 f(n)＝ 1 3 1 2 1 2 ， n ＝ 3k － 2， k ∈N* ．18 n － 6 n ＋ n －3 91 3 12 118 n － n ＋ n ， n ＝ 3k ，k ∈ N* ，63所以 f(n)＝1 3 12 14， n ＝ 3k － 1， k ∈ N* ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分18 n － n ＋ n －6 3 91 n 3－1n 2＋ 1n － 2， n ＝ 3k － 2， k ∈ N* ．18639。

2 侧视图俯视图 第5题图正视图4.cm11 2015届第三次模拟试卷 数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分钟，考试时间120分钟。

考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2．答卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答．．．．．题无效．．．。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 为虚数单位，若2(,)a ib i a b R i+=-∈，则a b +=( ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．42. 已知集合{0,1,3}A =，{|ln(1)}B x y x ==-，则A B =（ ）A ．ΦB ．{3}C ．{1,3}D ．{0,1,3}3. .如图，若()()32log ,log f x x g x x ==，输入0.25x =，则输出()h x =（ ） A.0.25 B.31log 222C.32log 2-D.2- 4. 下列关于命题的说法错误的是 ( )A ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则 0232≠+-x x ”；B ．“2a =”是“函数()log a f x x =在区间(0,)+∞上为增函数”的充分不必要条件；C ．若命题p ：,21000nn N ∃∈>，则p ⌝：,21000nn N ∀∈≤； D ．命题“(,0),23xxx ∃∈-∞< ”是真命题5. 某几何体的三视图（单位：cm ）如右图所示，其中侧视图是一个边长为 2的正三角形，则这个几何体的体积是( )A.33cmB. 32cmC. 33cmD. 333cm 6. 已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P (12，y )，则sin (2π＋2α)＝( ) A .12 B .1 C .－12D .－327. 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，此双曲线的离心率为 （ ） A.2 B.3 C.312+ D.512+8．设数列{}n a 是以3为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列 则4321a a a a b b b b +++ =（ ）A ．15B ．60C ．63D ．729. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:32C x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，,AP AQ 分 别切圆C 于,P Q 两点，则线段PQ 的取值范围是（ ）A. 214,223⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B.214,223⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 14,23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭10．已知函数22|2|,04,()23,46x x x f x x ---≤<⎧=⎨-≤≤⎩，若存在12,x x ，当12046x x ≤<≤≤时， 12()()f x f x = 则12()x f x ⋅的取值范围是（ ）A.[0,1)B.[1,4]C.[1,6]D.[0,1][3,8] 二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置）11. 已知()f x ={234,01,(1)1, 1.x x x f x x -+≤<-+≥ 则(3)f = 12. 设函数()f x =2cos ωx （0>ω）在区间[0，34π]上递减，且有最小值1，则ω的值等于13. 在等腰ABC ∆中，90,2,2,BAC AB AC BC BD ∠====3AC AE =，则AD BE ⋅的值为()4,ABC ∈∆1. 已知三角形三边长分别为x 、y 、1且x,y 0,1则ABC 为锐角三角形的概率是2212122221+1,(,),x y F F P m n PF F a bPF F αβ=∠=∠=——————15.椭圆、为左右焦点，为椭圆上异于顶点的一点，记 ，下列结论正确的是 ①若12PF F ∆是锐角三角形，则sin cos αβ< ② sin()sin sin e αβαβ+=+椭圆的离心率③若12PF F ∆是锐角三角形，则它的外心到三边距离之比为sin :sin :sin()αβαβ+ ④2P PF 存在一个定圆与以为圆心为半径的圆相切⑤2221111a b m n ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭(2)cos cos ,()2Aa c Bb C f -=求三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015届高三第三次模拟考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题纸和答题卡一并交回．第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座位号和准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置．2．答题时，考生需用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={x |-1<x <1}，B ={x |x 2-3x ≤0}，则A ∩B 等于( )． A ．[-1，0] B ．(-1，3] C ．[0，1) D ．{-1，3} 2．已知(1)2i z i +=⋅，那么复数z 对应的点位于复平面内的( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．函数f (x )=sin(-2x )的一个递增区间是( )．A ．(0,)4πB ．(,)2ππ--C ．3(,2)4ππD ．(,)24ππ--4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 1-a 4=0，则42SS =( )．A ．-8B ．8C ．5D ．155．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△P AC 在该正方体各个面上的射影可能是( )．A ．①④B ．②③C ．②④D ．①② 6．直线ax +by -a =0与圆x 2+y 2+2x -4=0的位置关系是( )．A ．相离B ．相切C ．相交D ．与a ，b 的取值有关7．已知△ABC 是非等腰三角形，设P (cos A ，sin A )，Q (cos B ，sin B )，R (cosC ，sin C )，则△PQR 的形状是( )．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定8．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm )，则这个几何体的体积是A B C D1A 1B1C 1DP ① ③④ ②( )．A ．8cm 3B ．12cm 3C ．24cm 3D ．72cm 39．下图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是( )．A ．n >2B ．n >3C ．n >4D ．n >510．P 是双曲线24x -y 2=1右支(在第一象限内)上的任意一点，A 1，A 2分别是左右顶点，O 是坐标原点，直线P A 1，PO ，P A 2的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则斜率之积k 1k 2k 3的取值范围是( )．A ．(0，1)B ．(0，18)C ．(0，14)D ．(0，12)11．已知函数f (x )=|2x -1|，f (a )>f (b )>f (c )，则以下情 况不可能．．．发生的是( )． A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <c <a D ．b <a <c12．点P 在直径为5的球面上，过P 作两两互相垂直的三条弦(两端点均在球面上的线段)，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和的最大值是( )．A ．B ．CD第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必修作答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若平面区域||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩是一个三角形，则k 的取值范围是___________．14．一个立方体骰子的六个面分别标有数字1，2，2，3，3，4；另一个立方体骰子的六个面分别标有数字1，3，4，5，6，8．掷两粒骰子，则其最上面所标的两数之和为7的概率是___________． 15．设a =(4，3)，a 在b，b 在x 轴上的投影为1，则b =___________． 16．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n =(a +1)n 2+a ，某三角形三边之比为a 2：a 3：a 4，则该三角形的(第8题图)面积___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)数列{a n }中，a 1=2，a n +1=a n +kn (k 是不为零的常数，n ∈N *)，且a 1，a 2，a 3成等比数列． (Ⅰ)求k 的值和{a n }的通项公式；(Ⅱ)求数列{n n a kn k-⋅}的前n 项和T n ．18．(本小题满分12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =BC =CA =AA 1=2，侧棱AA 1⊥面ABC ，D 、E 分别是棱A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF =14AB ．(Ⅰ)求证：EF ∥平面BDC 1； (Ⅱ)求三棱锥D －BEC 1的体积．19．(本小题满分12分)为了调查高一新生中女生的体重情况，校卫生室 随机选取20名女生作为样本测量她们的体重(单位：kg )，获得的所有数据按照区间(40，45]，(45，50]，(50，55]，(55，60]进行分组，得到频率分布直方图如图所示．已知样本中体重在区间(45，50]上的女生数与体重在区间(55，60]上的女生数之比为4:3． (Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)从样本中体重在区间(50，60]上的女生中随机抽取两人，求体重在区间(55，60]上的女生至少有一人被抽中的概率．20．(本小题满分12分) 已知⊙C 过点P (1，1)，且与⊙M ：(x +2)2+(y +2)2=r 2(r >0)关于直线x +y +2=0对称． (Ⅰ)求⊙C 的方程； (Ⅱ)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A ，B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．(Ⅱ)设g (x )=f (x )-3x，试问过点(2，2)可作多少条直线与曲线y =g (x )相切？请说明理由．(第18题图)a请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲在△ABC 中，AB =AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 延长线于点D ．(Ⅰ)求证：PC PDAC BD=； (Ⅱ)若AC =2，求AP ·AD 的值．23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy 中，动点A 的坐标为(2-3sin α，3cos α-2)，其中α∈R ．以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程为ρcos(θ -4π)=a ．(Ⅰ)判断动点A 的轨迹表示什么曲线； (Ⅱ)若直线l 与动点A 的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a 的值．24．(本小题满分10分)选修4-5；不等式选讲若实数a ，b 满足ab >0，且a 2b =4，若a +b ≥m 恒成立． (Ⅰ)求m 的最大值； (Ⅱ)若2|x -1|+|x |≤a +b 对任意的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围．D文科数学参考答案一、选择题 1．C 解析：∵A =(-1，1)，B =[0，3]，则A ∩B =[0，1)．故选C ． 2．A 解析：2211111i i iz i i i i-==⋅=+++-．故选A ． 3．D解析：f (x )=-sin(2x )，由2k π+2π≤2x ≤2k π+32π得k π+4π≤x ≤k π+34π，取k =-1．故选D ． 4．C解析：8a 1-a 4=0⇒q 3=8⇒q =2，242222S S q S S S +==1+q 2=5．故选C ． 5．A 解析：△P AC 在上下底面上的射影为①，在其它四个面上的射影为④．故选A ．6．C 解析：直线即a (x -1)+by =0，过定点P (1，0)，而点P 在圆(x +1)2+y 2=5内，故相交． 故选C ． 7．B 解析：易知这三个点都在单位圆上，而且都在第一，二象限，由平几知识可知，这样的三个点构成的必然是钝角三角形．故选B ． 8．B 解析：三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面三棱锥，底面是底边长为6高为4的等腰三角形，三棱锥的高为3，∴这个几何体的体积V =1132⨯×6×4×3=12．故选B ．9．B 解析：由框图的顺序，s =0，n =1，s =(s +n )n =(0+1)×1=1；n =2，依次循环s =(1+2)×2=6，n =3；注意此刻3>3仍然是“否”，所以还要循环一次s =(6+3)×3=27，n =4，此刻输出s =27．故选B ．10．B 解析：k 1k 2k 3=3322111122(4)44428y y y y y y x x x x x x y x ⋅⋅===⋅<⋅=+--⋅．故选B ．11．D 解析：当x ≤0时，f (x )递减；当x ≥0时，f (x )递增，∴b <a <c 不可能．故选D ． 12．C 解析：设三条弦长分别是a ，2a ，h ，则a 2+(2a )2+h 2=25，即5a 2+h 2=25，三条弦长之和S =3a +h ，将h =S -3a 代入5a 2+h 2=25，得14a 2-6aS +S 2-25=0，由∆≥0得S 2≤70．故选C ． 二、填空题 13．(-∞，-2)∪(0，23]． 解析：直线y +2=k (x +1)过定点(-1，-2)，作图得k 的取值范围是 (-∞，-2)∪(0，23]． 14．16解析：在36对可能的结果中，和为7的有6对：(1，6)，(2，5)，(2，5)，(3，4)，(3，4)，(4，3)．∴得到两数之和为7的概率是61366=． 15．(1，-1) 解析：由题意可知b 的终点在直线x =1上，可设b =(1，y )，则||⋅=a b b=，17y 2+48y +31=0，∴y =-1或y =-3117(增解，舍去)，∴b =(1，-1)．16解析：∵{a n }是等差数列，∴a =0，S n =n 2，∴a 2=3，a 3=5，a 4=7． 设三角形最大角为θ，由余弦定理，得cos θ=-12，∴θ=120°．∴该三角形的面积S =12×3×5×sin120°=三、解答题17．(Ⅰ)解：a 1=2，a 2=2+k ，a 3=2+3k ，由a 22=a 1a 3得，(2+k )=2(2+3k )，∵k ≠0，∴k =2．······················································································2分 由a n +1=a n +2n ，得a n -a n -1=2(n -1)， ∴a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+···+(a n -a n -1)=2+2[1+2+···+(n -1)]=n 2-n +2．·························6分(Ⅱ)解：(1)122n n n n a k n n n n k n ---==⋅⋅．·······························································8分 ∴T n =12301212222n n -+++⋅⋅⋅+， 2341101221222222n n n n n T +--=+++⋅⋅⋅++，························································10分 两式相减得，234111111111111111(1)22222222222n n n n n n n n n T +-++--+=+++⋅⋅⋅+-=--=-，∴T n =1-12nn +．·······················································································12分 18．(Ⅰ)证明：设O 为AB 的中点，连结A 1O ，∵AF =14AB ，O 为AB 的中点，∴F 为AO 的中点，又E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1O ．又∵D 为A 1B 1的中点，O 为AB 的中点，∴A 1D =OB ． 又A 1D ∥OB ，∴四边形A 1DBO 为平行四边形． ∴A 1O ∥BD ．又EF ∥A 1O ，∴EF ∥BD ． 又EF ⊄平面DBC 1，BD ⊂平面DBC 1． ∴EF ∥平面DBC 1．…………………6分 (Ⅱ)解：∵AB =BC =CA =AA 1=2，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，AF =14AB ，∴C 1D ⊥面ABB 1A 1． 而11D BEC C BDE V V --=，1111BDE ABA B BDB ABE A DE S S S S S ∆∆∆∆=---=1113222121112222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．∵C 1D∴111113332D BEC C BDE BDE V V S C D --∆==⋅=⨯=．………………………………12分19．(Ⅰ)解：样本中体重在区间(45，50]上的女生有a ×5×20=100a (人)，·····················1分(第18题解图)样本中体重在区间(50，60]上的女生有(b +0.02)×5×20=100(b +0.02)(人)，··············2分 依题意，有100a =43×100(b +0.02)，即a =43×(b +0.02)．①·································3分 根据频率分布直方图可知(0.02+b +0.06+a )×5=1，②··········································4分 解①②得：a =0.08，b =0.04．······································································6分 (Ⅱ)解：样本中体重在区间(50，55]上的女生有0.04×5×20=4人，分别记为 A 1，A 2，A 3，A 4，··················································································7分体重在区间(55，60]上的女生有0.02×5×20=2人，分别记为B 1，B 2．··················8分 从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)， (A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)．·······10分 其中体重在(55，60]上的女生至少有一人共有9种情况：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)， (B 1，B 2)．····························································································11分记“从样本中体重在区间(50，60]上的女生随机抽取两人，体重在区间(55，60]上的女生 至少有一人被抽中”为事件M ，则P (M )=93155=．··········································12分 20．(Ⅰ)解：设圆心C (a ，b )，则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩．·······················3分则圆C 的方程为x 2+y 2=r 2，将点P 的坐标代入得r 2=2，故圆C 的方程为x 2+y 2=2．·····································································5分 (Ⅱ)解：由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数， 故可设P A ：y -1=k (x -1)，PB ：y -1=-k (x -1)，且k ≠0，······································6分 由221(1)2y k x x y -=-⎧⎨+=⎩，得(1+k 2)x 2-2k (k -1)x +k 2-2k -1=0，······································7分 ∵点P 的横坐标x =1一定是该方程的解，故可得x A =22211k k k --+．····················8分同理，x B =22211k k k +-+．···········································································9分∴(1)(1)2()B A B A B A AB B A B A B A y y k x k x k k x x k x x x x x x ------+===---=1=k OP ．······················11分∴直线AB 和OP 一定平行．·····································································12分依题设，f (1)=5，f ′(1)=-3，∴a =-3，b =-2．···················································4分∴f ′(x )=2-22232223x x x x x ---=，令f ′(x )>0，又x >0，∴x ．∴函数的单调增区间为，+∞)．······················································6分 (Ⅱ)g (x )=f (x )-3x =2x -2ln x ，g ′(x )=2-2x．设过点(2，2)与曲线g (x )的切线的切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0-2=g ′(x 0)(x 0-2)，即2x 0-2ln x 0-2=(2-02x )(x 0-2)，∴ln x 0+02x =2．·····················8分令h (x )=ln x +2x -2，则h ′(x )=212x x-，∴x =2． ∴h (x )在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增．······································10分 ∵h (12)=2-ln2>0，h (2)=ln2-1<0，h (e 2)=22e>0． ∴h (x )与x 轴有两个交点，∴过点(2，2)可作2条曲线y =g (x )的切线．···············12分22．(Ⅰ)证明：∵∠CPD =∠ABC ，∠D =∠D ，∴△DPC ～△DBA ． ∴PC PD AB BD=． 又∵AB =AC ，∴PC PDAC BD=．·····································································5分 (Ⅱ)解：∵∠ACD =∠APC ，∠CAP =∠CAD ，∴△APC ～△ACD ． ∴AP AC AC AD =，∴AC 2=AP ·AD =4．·······························································10分 23．(Ⅰ)解：设动点A 的直角坐标为(x ，y )，则23sin ,3cos 2.x y αα=-⎧⎨=-⎩∴动点A 的轨迹方程为(x -2)2+(y +2)2=9，其轨迹是以(2，-2)为圆心，半径为3的圆．·····················································5分(Ⅱ)解：直线l 的极坐标方程ρcos(θ-4π)=a化为直角坐标方程是x +y a ．=3，得a =3，或a =-3．··························································10分24．(Ⅰ)解：由题设可得b =24a >0，∴a >0．∴a +b =a +24a =2422a a a++≥3， 当a =2，b =1时，a +b 取得最小值3，∴m 的最大值为3．·································5分 (Ⅱ)解：要使2|x -1|+|x |≤a +b 对任意的a ，b 恒成立，须且只须2|x -1|+|x |≤3．用零点区分法求得实数x 的取值范围是-13≤x ≤53．········································10分。

文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I 卷(选择题 共50分)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合11,22A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,集合{}2,B y y x x A =|=∈,则AB =( )(A )12⎧⎫⎨⎬⎩⎭(B ){}2 (C ){}1 (D )φ 2. 已知i 是虚数单位,若()32i z i -⋅=,则z =( )(A )1255i - (B )2155i -+ (C )2155i -- (D )1255i +3. 下列函数中,在区间()0,+∞上为增函数的是( ) (A )()ln 1y x =- (B )1y x =-(C )13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭(D )sin 2y x x =+4.抛物线214y x =-的焦点坐标是( ) (A )()1,0- (B )()2,0- (C )()0,1- (D )()0,2- 5.将函数sin y x =的图象上所有的点向右平移10π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( ) (A )sin 25y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭(B ) sin 210y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭(C )1sin 210y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ (D )1sin 220y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6.已知A ,B ,C 为ABC ∆的三个内角,命题p :A B =;命题q :sin sin A B =.则p ⌝是q ⌝的( ) (A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件7.若直线1x y a +=+被圆()()22224x y -+-=所截得的弦长为则a =( ) (A )1或5 (B )1-或5 (C )1或5- (D )1-或5-8.已知向量()3,4OA =-,()6,3OB =-,()2,1OC m m =+,若AB ∥OC ,则实数m 的值为( )(A )15 (B )35- (C )17- (D )3-9.对任意实数a 、b ,定义运算“⊙”：a ⊙b ,1,1b a b a a b -≥⎧=⎨-<⎩，设()()21f x x =-⊙()4x k ++，若函数()f x 的图像与x 轴恰有三个公共点，则k 的取值范围是（ ） (A )()2,1- (B )[]0,1 (C )[)2,0- (D )[)2,1-10. P 为椭圆2211615x y +=上任意一点，EF 为圆()22:14N x y -+=的任意一条直径，则 PE PF ⋅的取值范围是（ ）(A )[]0,15 (B )[]5,15 (C )[]5,21 (D )()5,21第II 卷(非选择题 共100分)二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11．已知直线1:260l ax y ++=，()22:110l x a y a +-+-=，若12l l ⊥，则a =＿＿。

上海市普陀区2015届高考数学三模试卷（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1．（4分）复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是．2．（4分）已知幂函数y=f（x）图象过点（2，），则该幂函数的值域是．3．（4分）设向量，，则向量在向量方向上的投影为．4．（4分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞0的解集为．5．（4分）若二元一次线性方程组无解，则实数a的值是．6．（4分）若0≤x≤，则函数y=cos（x﹣）sin（x+）的最大值是．7．（4分）已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是cm2．8．（4分）已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x4的系数是﹣35，则m=；a1+a2+a3+…+a7=．9．（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的一个方向向量为（1，），则|PF|=．10．（4分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且的面积等于．11．（4分）函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，f（﹣1）=1，且对任意实数x都有xf（x+1）=（x+1）f（x），则f（0）+f（1）+f（2）+…+f的值是．12．（4分）若矩阵的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值，则对应的行列式的值为正数的概率为．13．（4分）设x，y满足约束条件：若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则的最小值为．14．（4分）已知集合A n={a1，a2，…，a n），a j=0或1，j=1，2，…，n（n≥2）}，对于U，V∈A n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数，若给定U∈A6，则所有的d（U，V）和为．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）“a+b＞0”是“任意的x∈[0，1]，ax+b＞0恒成立”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）若•+||2=0，则△ABC为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形17．（5分）函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．6 B．5 C．4 D．318．（5分）已知x、y均为实数，记max{x，y}=，min{x，y}=．若i表示虚数单位，且a=x1+y1i，b=x2+y2i，x1，y1，x2，y2∈R，则（）A．min{|a+b|，|a﹣b|}≤min{|a|，|b|} B．max{|a+b|，|a﹣b|}≤max{|a|，|b|} C．min{|a+b|2，|a﹣b|2}≥|a|2+|b|2D．max{|a+b|2，|a﹣b|2}≥{|a|2+|b|2三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的零点，并求反函数f﹣1（x）；（2）设g（x）=2log2，若不等式f﹣1（x）≤g（x）在区间[，]上恒成立，求实数k的范围．20．（14分）如图，已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F．（1）求证：A1C⊥平面BDE；（2）求三棱锥C﹣BDE的体积．21．（14分）如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道（直角△EFG，E是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口E是AB的中点，F，G分别落在AD，BC上，且AB=20m，AD=10m，设∠GEB=θ．（1）试将污水管道的长度l表示成θ的函数，并写出定义域；（2）当管道长度l为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．22．（16分）对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q，使得c n+1=pc n+q（p≠0）对于任意的n∈N*都成立，我们称这个数列{c n}是“M类数列”．（1）若a n=2n，b n=3.2n，n∈N*，判断数列{a n}，{b n}是否为“M类数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}是“M类数列”，则数列{a n+a n+1}、{a n•a n+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{a n}满足：a1=1，a n+a n+1=3.2n（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n，求S n的表达式，并判断{a n}是否是“M类数列”．23．（18分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．记λ=，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（1）设直线l：y=kx（k＞0），若S1=3S2，证明：B，C是线段AD的四等分点；（2）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（3）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．上海市普陀区2015届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1．（4分）复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是﹣1﹣i．考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则和共轭复数的定义即可得出．解答：解：z=i（i+1）=﹣1+i的共轭复数是﹣1﹣i．故答案为：﹣1﹣i．点评：本题考查了复数的运算法则和共轭复数的定义，属于基础题．2．（4分）已知幂函数y=f（x）图象过点（2，），则该幂函数的值域是[0，+∞）．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：设f（x）=xα，把点（2，）代入解出即可．解答：解：设f（x）=xα，∵幂函数y=f（x）图象过点（2，），∴，解得α=．∴f（x）=，∵x≥0，∴y≥0．∴该幂函数的值域是[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．点评：本题考查了幂函数的定义及其性质，属于基础题．3．（4分）设向量，，则向量在向量方向上的投影为﹣1．考点：向量的投影．专题：平面向量及应用．分析：根据投影的定义，应用公式向量在向量方向上的投影为||cos＜，＞=求解．解答：解：向量，，根据投影的定义可得：向量在向量方向上的投影为||cos＜，＞===﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．4．（4分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x ＜1}．考点：函数的图象与图象变化．分析：要求函数f（x）＞0的解集，我们可以先求出x＞0时，﹣log2x＞0的解集，再求出x≤0时，1﹣x2＞0的解集，然后求出它们的交集即可得到结论．解答：解：∵f（x）＞0，且f（x）=，∴当x＞0时，﹣log2x＞0，即log2x＜0，∴0＜x＜1，当x≤0时，1﹣x2＞0，即x2﹣1＜0，∴﹣1＜x≤0，因此﹣1＜x＜1．故答案为{x|﹣1＜x＜1}点评：分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．5．（4分）若二元一次线性方程组无解，则实数a的值是﹣2．考点：线性方程组解的存在性，唯一性．专题：矩阵和变换．分析：通过题意可知，只需系数行列式=0即可，计算即得结论．解答：解：由题可知，只需系数行列式=0即可，即=4﹣a2=0，∴a=±2，而当a=2时，二元一次方程组有无数组解，∴a=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题考查系数行列式的应用，注意解题方法的积累，属于基础题．6．（4分）若0≤x≤，则函数y=cos（x﹣）sin（x+）的最大值是．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用x的范围和正弦函数的图象和性质求得函数的最大值．解答：解：y=sinx（sinx•+cosx）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤，∴y max=+=，故答案为：．点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图形与性质．解题过程中注意运算的细心和公式的熟练运用．7．（4分）已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是πcm2．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知求出圆锥的母线长，代入圆锥的侧面积公式，可得答案．解答：解：由题意可知球的体积为：×13=cm3，圆锥的体积为：×π×12×h=hcm3，因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，所以=h，所以h=4cm，圆锥的母线：l==cm．故圆锥的侧面积S=πrl=πcm2，故答案为：π点评：本题考查球的体积与圆锥的体积公式的应用，考查计算能力．8．（4分）已知（x﹣m）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x4的系数是﹣35，则m=1；a1+a2+a3+…+a7=1．考点：二项式定理．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的指数等于4，求出r的值，根据x4的系数是﹣35，即可求得m的值．求出a0的值，再把x=1和m=1代入二项式及其展开式，可得a1+a2+a3+…+a7的值．解答：解：二项展开式的通项为T r+1= x7﹣r（﹣m）r，令7﹣r=4，可得r=3．故（﹣m）3=﹣35，解得m=1．故常数项为（﹣1）7=﹣1=a0，∴（1﹣1）7=a0+a1+a2+…+a7=0，∴a1+a2+a3+…+a7=﹣a0=1，故答案为 1； 1．点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．9．（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的一个方向向量为（1，），则|PF|=4．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．由直线EF的一个方向向量为（1，），可得k l，进而得到直线EF的方程为：y=（x﹣1），与抛物线方程联立，可得解得y E．由于PE⊥l于E，可得y P=y E，代入抛物线的方程可解得x P．再利用|PF|=|PE|=x P+1即可得出．解答：解：由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=﹣1．∵直线EF的一个方向向量为（1，），∴k l=．∴直线EF的方程为：y=（x﹣1），联立，解得y=﹣2．∴E（﹣1，﹣2）．∵PE⊥l于E，∴y P=2，代入抛物线的方程可得12=4x p，解得x P=3．∴|PF|=|PE|=x P+1=4．故答案为：4．点评：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．10．（4分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且的面积等于48．考点：双曲线的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的性质求得|PF1|，作PF1边上的高AF2则可知AF1的长度，进而利用勾股定理求得AF2，则△PF1F2的面积可得．解答：解：∵双曲线中a=3，b=4，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0）∵|PF2|=|F1F2|，∴|PF1|=2a+|PF2|=6+10=16作PF1边上的高AF2，则AF1=8，∴∴△PF1F2的面积为S=故答案为：48．点评：此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；由题意准确画出图象，利用数形结合，注意到三角形的特殊性．11．（4分）函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，f（﹣1）=1，且对任意实数x都有xf（x+1）=（x+1）f（x），则f（0）+f（1）+f（2）+…+f的值是2031120．考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：从xf（x+1）=（1+x）f（x）结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得．解答：解：∵xf（x+1）=（x+1）f（x），∴当x=0时f（0）=0，∵f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数且f（﹣1）=1，∴f（1）=f（﹣1）=1．∵xf（x+1）=（x+1）f（x），∴当x=1时f（2）=2，当x=2时f（3）=3，当x=3时f（4）=4，…当x=2014时f=2015则f（0）+f（1）+f（2）+…+f=0+1+2+3+4+5+…+2015=2031120∴故答案为：2031120点评：本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值，这类问题关键是将条件和结论有机地结合起来，作适当变形，把握递推的规律．12．（4分）若矩阵的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值，则对应的行列式的值为正数的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；二阶矩阵．专题：概率与统计．分析：先求出总得事件个数，即把4个数全排列即可，再根据对应的行列式的值为正数得到即ad＞bc，由4×8＞2×1，8×2＞4×1，即可求出满足的种数，根据概率公式计算即可．解答：解：矩阵的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值，共有A44=24种，∵=ad﹣bc＞，即ad＞bc，由4×8＞2×1，8×2＞4×1，∴对应的行列式有2A22A22=8种，故对应的行列式的值为正数的概率为P==，故答案为：．点评：本题考查行列式运算法则，古典概率的概率，排列组合等问题，属于中档题．13．（4分）设x，y满足约束条件：若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则的最小值为3+2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求则的最小值．解答：解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，4），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，即2a+4b=2，∴a+2b=1，=+=（+）×1=（+）×（a+2b）=1+2++≥3+2=3+2，当且仅当=，即a=b时取等号．故最小值为3+2，故答案为：3+2．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．14．（4分）已知集合A n={a1，a2，…，a n），a j=0或1，j=1，2，…，n（n≥2）}，对于U，V∈A n，d（U，V）表示U和V中相对应的元素不同的个数，若给定U∈A6，则所有的d（U，V）和为192．考点：元素与集合关系的判断．专题：推理和证明．分析：易知A n中共有2n个元素，分别记为v k（k=1，2，3，…，2n，v=（b1，b2，b3，…b n）b i=0的v k共有2n﹣1个，b i=1的v k共有2n﹣1个然后求和即可得到d（U，V）和与n的关系式，将n=6代入即可得到答案．．解答：解：易知A n中共有2n个元素，分别记为v k（k=1，2，3，…，2n），V=（b1，b2，b3，…，b n）∵b i=0的v k共有2n﹣1个，b i=1的v k共有2n﹣1个．∴d（U，V）=2n﹣1（|a1﹣0|+|a1﹣1|+|a2﹣0|+a2﹣1|+|a3﹣0|+|a3﹣1|+…+|a n﹣0|+|a n﹣1|）=n×2n﹣1∴d（U，V）=n×2n﹣1．故答案为：n×2n﹣1当n=6时，n×2n﹣1=192，故答案为：192点评：此题是个难题．本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点．题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于S n的，其实S n中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1，第二个定义d（U，V）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）“a+b＞0”是“任意的x∈[0，1]，ax+b＞0恒成立”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若任意的x∈[0，1]，ax+b＞0恒成立”，则设f（x）=ax+b，则满足，即a+b＞0，b＞0，则“a+b＞0”是“任意的x∈[0，1]，ax+b＞0恒成立”的必要不充分条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数关系是解决本题的关键．16．（5分）若•+||2=0，则△ABC为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：依题意，可求得c=acosB，再利用正弦定理可得sinC=sinAcosB，即sin（A+B）=sinAcosB，利用两角和的正弦将等号左端展开，可求得cosA=0，从而可得答案．解答：解：∵•+||2=0，∴accos（π﹣B）+c2=0，即c2=accosB，∴c=acosB，由正弦定理==2R得：sinC=sinAcosB，∵△ABC中，C=π﹣（A+B），∴sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB，∴cosAsinB=0，又sinB≠0，∴cosA=0，A∈（0，π），∴A=．故选：B．点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与诱导公式及两角和的正弦的综合应用，属于中档题．17．（5分）函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数的性质对称函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣cosπx（﹣2≤x≤4）的图象关于x=1对称，画出图象判断交点个数，利用对称性整体求解即可．解答：解：∵y=ln|x|是偶函数，对称轴x=0，∴函数y=ln|x﹣1|的图象的对称轴x=1，∵函数y=﹣cosπx，∴对称轴x=k，k∈z，∴函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣cosπx（﹣2≤x≤4）的图象关于x=1对称，由图知，两个函数图象恰有6个交点，其横坐标分别为x1，x2，x3，与x1′，x2′，x3′，可知：x1+x1′=2，x2=2，x3=2，∴所有交点的横坐标之和等于6故选：A．点评：本题他考查对数函数与余弦函数的图象与性质，着重考查作图与分析、解决问题的能力，作图是难点，分析结论是关键，属于难题18．（5分）已知x、y均为实数，记max{x，y}=，min{x，y}=．若i表示虚数单位，且a=x1+y1i，b=x2+y2i，x1，y1，x2，y2∈R，则（）A．min{|a+b|，|a﹣b|}≤min{|a|，|b|} B．max{|a+b|，|a﹣b|}≤max{|a|，|b|} C．min{|a+b|2，|a﹣b|2}≥|a|2+|b|2D．max{|a+b|2，|a﹣b|2}≥{|a|2+|b|2考点：复数求模；复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：通过转化为向量加法与减法的几何意义，结合题目中的取最大与最小值，对选项中的问题进行分析判断，对错误选项进行排除即可．解答：解：∵a=x1+y1i，b=x2+y2i，x1，y1，x2，y2∈R，∴可记=（x1，y1），=（x2，y2），则||=|a|，||=|b|，∴|±|2=||2+||2±2||•||，∴max{|a+b|2，|a﹣b|2}≥|a|2+|b|2成立，D正确；对于A，当⊥时，易知不等式不成立，C不正确；对于B，当=且均不为零向量时，易知不等式不成立，B不正确；对于C，当=且均不为零向量时，易知不等式不成立，C不正确；故选：D．点评：本题考查复数的几何意义的应用问题，解题时应排除法，对错误选项进行举反例说明，注意解题方法的积累，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）已知函数f（x）=．（1）求函数f（x）的零点，并求反函数f﹣1（x）；（2）设g（x）=2log2，若不等式f﹣1（x）≤g（x）在区间[，]上恒成立，求实数k的范围．考点：反函数；函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由函数f（x）==0，由，解得x即可得出．由y=，解得x=，把x与y互换，即可得出反函数．（2）k＞0，由不等式f﹣1（x）≤g（x）得到k2≤（1﹣x）（1+x）=1﹣x2，再利用二次函数的单调性即可得出．解答：解：（1）由函数f（x）==0，∴，解得x=0．∴函数f（x）的零点是x=0．由y=，解得，x=，把x与y互换，可得f﹣1（x）=，x∈（﹣1，1）．（2）∵k＞0，∴≤=，得到k2≤（1﹣x）（1+x）=1﹣x2，∵x∈[，]，当时，右边最小值为，解得．∴实数k的范围是．点评：本题考查了反函数的求法、二次函数的单调性、指数函数与对数函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（14分）如图，已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F．（1）求证：A1C⊥平面BDE；（2）求三棱锥C﹣BDE的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）先证明：BD⊥A1C，BE⊥A1C，再证明A1C⊥平面BDE；（2）利用V C﹣BDE=V E﹣BDC，求三棱锥C﹣BDE的体积．解答：（1）证明：因为BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1=A，所以BD⊥平面A1AC，所以BD⊥A1C；（3分）又因为BE⊥B1C，BE⊥A1B1，B1C∩A1B1=B1，所以BE⊥平面A1B1C，所以BE⊥A1C；因为BD∩BE=B所以A1C⊥平面BDE．（6分）（2）解：由题意CE=1，（8分）所以V C﹣BDE=V E﹣BDC==（14分）点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥C﹣BDE的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）如图，某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道（直角△EFG，E是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口E是AB的中点，F，G分别落在AD，BC上，且AB=20m，AD=10m，设∠GEB=θ．（1）试将污水管道的长度l表示成θ的函数，并写出定义域；（2）当管道长度l为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度．考点：三角函数的最值．专题：解三角形．分析：（1）根据题意分别表示出EG，EF，FG，进而表示出l的表达式．（2）设sinθ+cosθ把l转化为关于t的方程，利用单调性确定最大值．解答：（1）因为EG=，EF=，FG=，l=10（++），θ∈[，]．（2）l=•10设t=sinθ+cosθ=sin（θ+）∈[，]，l=•10=，为减函数，∴当θ=或时，有最大值20（+1），答：当θ=或时，污水净化效果最好，l最大值20（+1）m．点评：本题主要考查了三角形问题的实际应用．解题的重要的地方是建立数学模型，把实际问题转化为数学问题来解决．22．（16分）对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q，使得c n+1=pc n+q（p≠0）对于任意的n∈N*都成立，我们称这个数列{c n}是“M类数列”．（1）若a n=2n，b n=3.2n，n∈N*，判断数列{a n}，{b n}是否为“M类数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}是“M类数列”，则数列{a n+a n+1}、{a n•a n+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{a n}满足：a1=1，a n+a n+1=3.2n（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n，求S n的表达式，并判断{a n}是否是“M类数列”．考点：数列的应用．专题：证明题；等差数列与等比数列．分析：（1）运用 M类数列定义判断，（2）{a n}是“M类数列”，得出a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，求解a n+1+a n+2，a n+1a n+2的式子，结合定义判断即可（3）整体运用a n+a n+1=3.2n（n∈N*），分类得出：当n为偶数时，S n=3（2+23+…+2n﹣1）=2n+1﹣2，n为奇数时，S n=1+3（22+24+…+2n﹣1）=2n+1﹣3，化简即可得出S n，再运用反证法证明即可．解答：解：（1）因为a n+1=a n+2，p=1，q=2是“M类数列”，b n+1=2b n，p=2，q=0是“M类数列”．（2）因为{a n}是“M类数列”，所以a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，所以a n+1+a n+2=p（a n+1+a n+2）+2q，因此，{a n+a n+1}是“M类数列”．因为{a n}是“M类数列”，所以a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，所以a n+1a n+2=p2（a n a n+1）+pq（a n+a n+1）+q2，当q=0时，是“M类数列”；当q≠0时，不是“M类数列”；（3）当n为偶数时，S n=3（2+23+…+2n﹣1）=2n+1﹣2，当n为奇数时，S n=1+3（22+24+…+2n﹣1）=2n+1﹣3，所以S n=．当n为偶数时a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣2﹣（2n﹣3）=2n+1，当n为奇数时，a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣3﹣（2n﹣2）=2n﹣1（n≥3），所以a n=假设{a n}是“M类数列”，当n为偶数时，a n+1=2n+1﹣1=pa n+q=p（2n+1）+qp=2，q=﹣3，当n为奇数时，a n+1=2n+1+1=pa n+q=p（2n﹣1）+q，p=2，q=3，得出矛盾，所以{a n}不是“M类数列”．点评：本题题意很新颖，解决问题紧扣定义即可，注意分类讨论，整体求解，属于难题，运算量较大．23．（18分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D．记λ=，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（1）设直线l：y=kx（k＞0），若S1=3S2，证明：B，C是线段AD的四等分点；（2）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（3）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）根据椭圆的对称性，结合S1=3S2，又因为M，N到直线l的距离相等，证出即可；（2）由n+m=λ（m﹣n），得到λ2﹣2λ﹣1=0，解出即可；（3）分别设出椭圆C1，C2和l的方程，得到（λ﹣1）x A=（λ+1）x B，通过讨论λ的范围，从而求出结论．解答：（1）证明：因为S1=3S2，又因为M，N到直线l的距离相等，所以|BD|=3|BA|，由椭圆的对称性，得到|DC|=|BA|，|CO|=|OB|，所以|BC|=2|BA|⇒|BO|=|BA|，即B是OA中点，同理，C是OD中点，B，C是AD的四分点，得证．（2）解：因为S1=λS2，所以n+m=λ（m﹣n），∴λ==，∴λ2﹣2λ﹣1=0，解得：λ=+1（小于1的根舍去）．（3）解：设椭圆C1：+=1（a＞m），C2：+=1，直线l：y=kx（k≠0），由⇒x2=，即：=，同理可得：=，又∵△BDM和△ABN的高相等，∴===，若存在非零实数k使得S1=λS2，则有（λ﹣1）x A=（λ+1）x B，即：=，解得：k2=，∴当λ＞1+时，k2＞0，存在这样的直线l；当1＜λ≤1+时，λ2≤0，不存在这样的直线．点评：本题考察了含有参数的直线和椭圆的综合问题，第三问设出椭圆C1，C2和l的方程，得到（λ﹣1）x A=（λ+1）x B是解答本题的关键．。

2015年适应性练习（三）数学（文）答案一．选择题：ACBDB DBCAB二．填空题11. 82 12. 4 13. 8383+14. 14 15. ①③④ 三．解答题16. 解：（1）2()(23sin cos )cos cos ()2f x x x x x π=-+-22=3sin 2cos sin =3sin 2cos 2x x x x x -+-，2sin(2)6x π=-， ……………3分 解3222262k x k k πππππ+≤-≤+∈Z （）得， 536k x k k ππππ+≤≤+∈Z （）， 所以函数()f x 的单调递减区间5 36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，（）. ……6分 （2）2222222a c b c a b c a c +-=+--,由余弦定理得ca c C ab B ac -=2cos 2cos 2， 由正弦定理得1cos 2B =，所以3B π=. ……………9分 所以0 3x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，2662x πππ-<-≤， 所以(]() 1 2f x ∈-，. ……………12分17. 解：（1）由表格可知，男生55名学生中有32名喜欢打球，而女生45名学生中有16名喜欢打球，所以，经过直观分析，喜欢打球的学生与性别有关. ………2分（2）从题中所给条件可以看出，喜欢打球的学生共48人，随机抽取6人，则抽样比为61488=，故男生应抽取32×18＝4(人).………6分 （3）抽取的6名同学中，男生有6人，女生有2人，记男生为A 、B 、C 、D ，女生为a 、b ，则从6名学生中任取2名的基本事件有 (A, B), (A, C), (A, D), (A, a), (A, b), (B,C), (B, D), (B, a), (B, b), (C, D), (C, a), (C, b), (D, a), (D, b), (a, b)共15个，其中恰有1名女生的有8个，故所求概率P ＝815. …………12分 18．证明（1）设DF 的中点为N ，连结MN ，则1//2MN CD . 又因为//2OA CD ，所以//MN AO ， 所以MNAO 为平行四边形，所以//OM AN ，又AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ，所以//OM 平面DAF . ……………6分(2) 因为面ABCD ⊥面ABEF ，CB AB ⊥，CB ⊂面ABCD ，面ABCD 面ABEF AB =，所以CB ⊥面ABEF ，而AF ⊂面ABEF ，所以AF CB ⊥，又AB 是圆O 的直径，所以AF BF ⊥，CB BF B =，所以AF ⊥平面CBF . ……………12分19. 解：（1）由21=(32)()6n n n S a a n *++∈N ，得 当2n ≥时，221111(33)6n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-， 整理，得11()(3)0n n n n a a a a --+--=， ……………2分110,0,3n n n n n a a a a a -->∴+>∴-= ， ………4分所以，数列{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列,故32,n a n n N *=-∈ . ……………6分（2）11=n n a a +1111=()(32)(31)33231n n n n =--+-+，………9分 所以n T 111111=1+)34473231n n -+-+--+（11(1)33131n n n =-=++. …………12分 20.解：（1）由已知得c =2222+13x y b b =+，将(1 A 代入方程得2213134b b+=+，解得21b =，221. 解: 则()11122t g x x x -⎛⎫=+≥⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当1t x x -=， 即x =时，()min g x =⎡⎤⎣⎦. ………1分()h x ==， 当1x =时，()min h x =⎡⎤⎣⎦………………2分 ∵01t <<，∴1<<01<<.由于()32f x x ax bx =-++()2x x ax b =-++，结合题意，可知，02,a a <<⎨⎪≠⎩ ………………7分 2a <. ……………8分∴2112b a =-2a <<.求a 的取值范围的其它解法：另法1：由a =22a =+ …………6分∵01t <<，∴224a <<． …………７分∵a =0>，另法2 （2 ∴当[]1,2x ∈时，()()10f x f ''≤<.∴函数()f x 在区间[]1,2上单调递减. …………12分∴函数()f x 的最大值为()2112f a a =-，最小值为()2246f a a =-+-. ……………14分。

考前须知：1．本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上。

2．本试卷总分值150分，考试用时120分钟。

答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．集合{|||1}A x x =<，{|0}B x x =>，那么A B = A ．(1,0)- B ．(1,1)- C ．)21,0(D ．(0,1)2．复数2(1)z i =+的实部是A ．2B ．1C ．0D ．1-3．向量a ，b 满足0a b ⋅=，||1a =，||2b =，那么||a b -= A ．0 B ．1 C ．2D ．54．从数字1、2、3中任取两个不同的数字构成一个两位数，那么这个两位数大于30的概率为A ．16B ．13C ．12D ．235．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin b A =3cos a B ．那么B =A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π6．某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积是3，那么正视图中的x 的值是 A ．2B ．92C ．32D ．37．在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC BC ===，11AA =，那么点A 到平面1A BC 的距离为A ．34B ．32C ．334D ．38．如图，程序输出的结果132S =, 那么判断框中应填A ．10?i ≥B ．11?i ≥C ．11?i ≤D ．12?i ≥9．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为D ，假设直线3y kx =-与平面区域D 有公 共点，那么k 的取值范围为是A ．[3,3]-B ．11(,][,)33-∞-+∞ C ．(,3][3,)-∞-+∞ D ．11[,]33-10．在直角坐标系xoy 中，设P 是曲线C ：)0(1>=x xy 上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于A ,B 两点，那么以下结论正确的选项是211正视图 侧视图 俯视图x是 否 S =S *输出完开i =i -1i =12,SA ．OAB ∆的面积为定值2 B ．OAB ∆的面积有最小值为3C ．OAB ∆的面积有最大值为4D ．OAB ∆的面积的取值范围是[3,4]11．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，假设椭圆C 的中心到直线AB 的距离为126||6F F ，那么椭圆C 的离心率e = A ．22 B ．32C ．23D ．3312．定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，假设对于任意实数x ，有()()f x f x '>，且()1y f x =-为奇函数，那么不等式()x f x e <的解集为A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．4(,)e -∞D ．4(,)e +∞第二卷本卷包括必考题和选考题两局部。

2015届高三第三次模拟试卷文科数学（考试时间：120分钟 满分：150分）注意：1．本套试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案写在答卷上，否则答题无效。

2．答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题。

3．选择题，请用2B 铅笔，把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑。

非选择题，请用 0. 5mm 黑色字迹签字笔在答题卡指定位置作答。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合 {}{}(2)|ln(2),|21,x x A x N y x B x A B -=∈=-=≤=A ． {}|1x x ≥B ． {}|12x x ≤<C ． {}1D ． {}0,12．已知复数z 满足方程z ii z+=（i 为虚数单位），则 z = A. 1122i + B ． 1122i - C ． 1122i -- D ． 1122i -+3．一个四棱锥的三视图如右图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. l B ．2 C 3． D ．44．已知正数组成的等比数列 {}n a ，若 120100a a ⋅=，那么 318a a + 的最小值为A.20 B ．25 C. 50 D ．不存在5．若实数x ，y 满足约束条 330,240,220.x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z=x+y 的最大值为A.1 B ．2 C. 3 D ．56.已知抛物线的焦点F 到准线的距离为4，若抛物线上一点P 到y 轴的距离是1，则等于A.2 B ．3 C.4 D ．57.命题p:已知αβ⊥，则l α∀⊂，都有l β⊥命题q:已知//l α，则m α∃⊂，使得l 不平行于m （其中αβ、是平面，l 、m 是直线），则下列命题中真命题的是A. ()q ⌝∧⌝(p) B ． ()p q ∨⌝ C. ()p q ∧⌝ D ． q ⌝∧(p) 8．在△ABC 中,A=60，若a,b,c 成等比数列，则sin b Bc=A.12 B ． 2 C. 2 D ． 49．一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O xyz -中的坐标分别是(1，0，1)，(1，l ，0)， (0，1,0)， (1，1，1)，则该四面体的外接球的体积为A.B ．π C. D ． 2π10．设函数 1()cos 2f x x ω=对任意的 x R ∈，都有 ()()66f x f x ππ-=+，若函数 ()23sin g x x ω=-+，则 ()6g π的值是A. 1 B ． -5或3 C. -2 D ．1210.点 (,)M x y 在直线x+y-10=0上，且x ，y 满足 55x y -≤-≤，则 围是A. 0,2⎡⎢⎣⎦ B ． 0,⎡⎣ C. 2⎡⎢⎣⎦ D ．5,2⎡⎢⎣⎦11．过双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点 (,0)(0)F c c ->，作圆 2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若 2OF OE OP =-，则双曲线的离心率为A.B ．5 C. 2D ． 12.直线y=m 分别与曲线y=2x+3， ln y x x =+交于A ，B ，则 AB 的最小值为A.32 B ．4C. 2 D ． 3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.在 ∆ABC 中，若 31,32AB AC AB AC ==⋅=,则 ABC S ∆为_________。

2015潍坊三模 高三数学(文)2015．5本试卷共5页，分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟．第I 卷(选择题 共50分)注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.i 是虚数单位，复数221ii-=+ A.2B. 2-C.2iD. 2i -2.已知集合(){}{}22ln ,90A x y x x B x xA B ==-=-≤⋂=，则A. [][]3013-⋃，，B. [](]3013-⋃，，C. ()01，D. []33-，3.在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别为,,,3,2,cos a b c a b B A A ==∠=∠若则的值为A.B.C.D.4.设01a a >≠且.则“函数()()log 0a f x x =+∞是，上的增函数”是“函数()()1xg x a a =-⋅”是R 上的减函数的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.一个几何体的三视图如图所示，其中左视图为直角三角形，则该几何体的体积为A.B.C.D.6.运行如图所示的程序框图，若输出的S 是254，则①处应为 A. 5n ≤ B. 6n ≤ C. 7n ≤D. 8n ≤7.已知函数()2321cos ,,,432f x x x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则的大小关系是A. 132243f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B. 123234f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 321432f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 213324f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8.当0a >时，函数()()22xf x x ax e =+的图象大致是9.已知抛物线21:2C y x =的焦点F 是双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>的一个顶点，两条曲线的一个交点为M ，若32MF =，则双曲线2C 的离心率是A.B.C.D.10.已知函数()f x 和()g x 是两个定义在区间M 上的函数，若对任意的x M ∈，存在常数0x M ∈，使得()()()()()()0000,f x f x g x g x f x g x ≥≥≤，且，则称函数()f x 和()g x 在区间M 上是“相似函数”.若()()()322log 138f x x b g x x x =-+=-+与在5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“相似函数”，则函数()f x 在区间5,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为A.4B.5C.6D.92第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：将第II 卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥+成立的概率为_________.12.已知圆C 的圆心是直线10x y x -+=与轴的交点，且圆C 与圆()()22238x y -+-=相外切，则圆C 的方程为__________.13.已知,x y 满足约束条件002040x y x y x y <⎧⎪>⎪⎨+-≤⎪⎪-+≥⎩，若目标函数()0z x my m =+≠取得最大值时最优解有无数个，则m 的值为___________.14.已知数列{}n a 是等差数列，n S .是它的前n 项和，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.由此类比：数列{}n b 是各项为正数的等比数列，n T 是它的前n 项积，则数列{}_______为等比数列（写出一个正确的结论）.15.已知函数()f x 对任意x R ∈满足()()()11f x f x f x +=-，且是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()21f x x =-+，若方程()f x a x =至少有4个相异实根，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）如右图，茎叶图记录了某校甲班3名同学在一学年中去社会实践基地A 实践的次数和乙班4名同学在同一学年中去社会实践基地B 实践的次数.乙班记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x 表示.（I ）如果7x =，求乙班4名同学实践基地B 实践次数的中位数和方差；（II ）如果9x =，从实践次数大于8的同学中任选两名同学，求选出的两名同学分别在甲、乙两个班级且实践次数的和大于20的概率.17. （本小题满分12分） 已知函数())()2sin sin f x xx x x R ωωω=+∈的图象的一条对称轴为x π=，其中ω为常数，且1,13ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若63,35f A b c ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，求a 的最小值.18. （本小题满分12分）如右图，斜三棱柱1111111ABC A B C A B A C -=中，,点E,F 分别是1111,B C A B 的中点，111,60AA AB BE A AB ===∠=.（I ）求证：1//AC 平面1A BE ； （II ）求证：BF ⊥平面111A B C .19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 与{}n b 满足：(){}1232log .n n n a a a a b n N a *+++⋅⋅⋅+=∈若为等差数列，且1322,64a b b ==. （I ）求n n a b 与；（II ）设(){}212n a n n n c a n c -=++⋅，求数列的前n 项和n T .20. （本小题满分13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>O 为坐标原点，椭圆C 与曲线y x =的交点分别为A,B （A 在第四象限），且32OB AB ⋅=uu u r uu u r .（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）定义：以原点O 22221x y a b+=的“伴随圆”.若直线l 交椭圆C 于M,N 两点，交其“伴随圆”于P ,Q 两点，且以MN 为直径的圆过原点O ，证明：PQ 为定值.21. （本小题满分14分）已知函数()()()21ln ,f x x x g x a x =-=，其中a R ∈.（I ）若曲线()y f x =与曲线()2y g x x ==在处的切线互相垂直，求实数a 的值； （II ）记()()()1F x f x g x =+-，讨论函数()F x 的单调性；（III ）设函数()()()G x f x g x =+两个极值点分别为1212,x x x x <，且， 求证：()211ln 242G x >-.。

第题图侧视图2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．函数()f xA．(],0-∞B．（0,∞-）C．)21,0(D．（21,∞-）2. 复数512i+的共轭复数是A. 12i- B. 12i+ C. 12i-+D. 12i--3．已知向量)1,(λ=，)1,2(+=λ-=+，则实数λ的值为A．2 B．2-C．1 D．1-4．设等差数列{}n a的前n项和为n S，若94=a，116=a，则9S等于A．180 B．90 C．72 D．1005．已知双曲线)0,0(12222>>=-babxay的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为A．xy22±=B．xy2±=C．xy2±=D．xy21±=6．下列命题正确的个数是A．“在三角形ABC中，若sin sinA B>,则A B>”的逆命题是真命题；B．命题:2p x≠或3y≠，命题:5q x y+≠则p是q的必要不充分条件；C．“32,10x R x x∀∈-+≤”的否定是“32,10x R x x∀∈-+>”；D．“若,221a ba b>>-则”的否命题为“若a b≤，则221a b-≤”；A．1 B．2 C．3 D．47．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于A．73πB．16πC．8πD．283π8．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是A．5 B．6 C．7 D．89．已知函数x x x x f 2231)(23++-=，若存在满足 003x ≤≤的实数0x ，使得曲线()y f x =在点 00(,())x f x 处的切线与直线100x my +-=垂直，则实数m 的取值范围是 A ．[6,)+∞ B ．(,2]-∞ C ．[2,6] D ．[5,6]10．若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+的最小值是 A ．12 B ．－12C ．－2D ．4 11．设不等式组2020x y mx y ++≥⎧⎨++≤⎩表示的区域为1Ω，不等式221x y +≤表示的平面区域为2Ω．若1Ω与2Ω有且只有一个公共点，则m 等于A． BC． D12．已知函数()sin()32mf x x π=+-在[]0,π上有两个零点，则实数m 的取值范围为 A．2⎡⎤⎣⎦B．)2 C．2⎤⎦ D．2⎤⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设函数22,(0)()log ,(0)xx f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤，则方程21)(=x f 的解集为 ．14．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 . 15．若点)sin ,(cos ααP 在直线x y 2-=上，则)232cos(πα+的值等于 . 16．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱C 1D 1，C 1C 的中点．给出以下四个结论：①直线AM 与直线C 1C 相交；②直线AM 与直线BN 平行； ③直线AM 与直线DD 1异面；④直线BN 与直线MB 1异面．其中正确结论的序号为__________．(注：把你认为正确的结论序号都填上) 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，满足222a bc cb +=+ （1）求角A 的大小；（2）已知等差数列{}n a 的公差不为零，若1cos 1=A a ，且842,,a a a 成等比数列，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+14n n a a 的前n 项和n S ．18.（本题满分12分）如图，四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，PD ⊥平面ABCD ，=ADC=90BAD ∠∠o ，22,DC AB a DA ===，E 为BC 中点。

长春市普通高中2015届高三质量监测（三）数学(文科)参考答案及评分参考说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)简答与提示：1. 【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题.【试题解析】C {11}{02}{01}A B x x x x x x =-≤≤≤≤=≤≤，故选C.2. 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算，特别是复数的除法运算，对考生的运算求解能力有一定要求.【试题解析】A 由i iz -=+=1122，故选A. 3. 【命题意图】本小题主要考查平面向量的的位置关系以及平面向量的数量积运算，另外本题也对考生的分析判断能力进行考查.【试题解析】B因为⊥a b ，所以=0⋅a b ，于是由22223+=+⋅+=a b a a b b ，于是可求得+=a b B. 4. 【命题意图】本小题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积的求法，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】C由222a b c bc =+-，可得 60=A ，则所求面积3sin 21==A bc S ，故选C.5. 【命题意图】本小题通过二次不等式的解法来考查充分必要条件，是一道经典题.【试题解析】A 由2320x x -+<解得21<<x ，再根据已知条件易知选A.6. 【命题意图】本小题是一道简单题，考查双曲线离心率的表达式，以及双曲线的标准方程.【试题解析】B 由双曲线的离心率为1c e a a ===2a =. 故选B. 7. 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析.【试题解析】C ∵1111124612++=，因此应选择6n =时满足， 而8n =时不满足条件∴6n ≤，故选C.8. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.【试题解析】D 由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条侧棱两两垂直，长度都为4， ∴其体积为643，故选D. 9. 【命题意图】本小题结合函数的对成性来考查三角函数的图像与性质，不但要求考生对三角函数的图像与性质有着深刻的认识，更重要的是对基本抽象函数的表达有着充分的认知.【试题解析】B 由()()44f x f x ππ+=-可知函数图像关于直线4π=x 对称，则在4π=x 处取得最值，所以2)4(±=πf ，故选B. 10. 【命题意图】本小题主要考查二元一次不等式组所表示的可行域的获取以及目标函数的几何意义，是线性规划的一种简单应用，对学生的数形结合思想提出一定要求.【试题解析】C根据线性规划的方法可求得最优解为点)6,2(，此时2x y +的值等于14，故选C.11. 【命题意图】本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，对学生的运算求解能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】D 将⎪⎩⎪⎨⎧=-=xy x y 4)1(32联立，解得31,3==B A x x ， 因为所给直线经过抛物线的焦点F ，且其准线为1-=x ，所以A 点到准线的距离为4，B 点到准线的距离为34，据抛物线定义可有FB AF 3=，结合已知条件即可确定，故选D.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. [0,]6π14. 17 15. (,1][3,)-∞+∞ 16. 3简答与提示：12. 【命题意图】本小题主要考查辅助角公式的应用以及三角函数单调区间的求取，属于基本试题.【试题解析】∵1sin sin()23y x x x π=+=+， ∴函数的增区间为5[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈，又[0,]2x π∈，∴增区间为[0,]6π. 13. 【命题意图】本小题主要考查系统抽样的基本概念，属于概念题，也是考生必须准备的简单题.【试题解析】根据系统抽样的概念，所取的4个样本的编号应成等差数列，故所求编号为17.14. 【命题意图】本小题主要考偶函数的性质以及函数图像的平移变换等，同时对考生的数形结合思想.【试题解析】由已知21x -≥或21x -≤-，∴解集是(,1][3,)-∞+∞.15. 【命题意图】本小题通过对球的内接几何体的特征考查三角函数的计算，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题.【试题解析】设所给半球的半径为R ，则棱锥的高R h =，底面正方形中有R DA CD BC AB 2====，所以其体积324323=R，则3R = 于是所求半球的体积为ππ324323==R V . 三、解答题16. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查有关于数列的基础知识，其中包括数列基本量的求取，以及利用裂项求和等内容，属于一道中档题，对考生的运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.【试题解析】解：（Ⅰ）设数列}{n a 的公差为d ，则由已知条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+29936996211d a d a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=1231d a ，于是可求得212+-=n a n ； 6分 （Ⅱ）因为2)2(+-=n n S n ，故)211(21)2(1+--=+-=n n n n b n ，于是 )211123(21)]21514131()131211[(21+-+--=++⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++-=n n n n T n 又因为211123+-+-n n 23<，所以43->n T . 12分 17. 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括方差的求法、基本事件概率的求取等内容. 本题主要考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：（1）两个班数据的平均值都为7， 甲班的方差22222216-7+-7+-7+-7+-7=25s =（）（5）（7）（9）（8）， 乙班的方差2222222-7+-7+-7+-7+-714=55s =（4）（8）（9）（7）（7）， 因为2212s s <，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定. 6分（2）甲班1到5号记作,,,,a b c d e ，乙班1到5号记作1,2,3,4,5，从两班中分别任选一个同学，得到的基本样本空间为Ω={1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5}a a a a a b b b b b c c c c c d d d d d e e e e e Ω由25个基本事件组成，这25个是等可能的；将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作A ，则{1,1,1,1,2,4,5,1,4,5}A a b c d d d d e e e =，A 由10个基本事件组成， 所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为102255=. 12分18. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、空间几何体表面积的求法等. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：（1）证明：作FM ∥CD 交PC 于M .∵点F 为PD 中点，∴CD FM 21=. ∴FM AB AE ==21，∴AEMF 为平行四边形，∴AF ∥EM ，∵AF PEC EM PEC ⊄⊂平面，平面，∴直线AF //平面PEC.(6分) （2）连结ED 可知ED AB ⊥，,,P A A B C D P A A B A B P E F A B A B C D A B P E A B F E D E A B P E F E P E F ⎫⊥⎫⎫⇒⊥⎪⎬⎪⇒⊥⊂⎬⎪⎭⇒⊥⊥⎬⎪ ⊥⎭⎪⎪ ⊂⎭平面平面平面平面，由此111222PEF S PF ED =⋅=⋅= 111112224PBF S PF BD =⋅=⋅⋅=；111222PBE S PE BE =⋅== 111112224BEF S EF EB =⋅=⋅⋅=； 因此三棱锥P BEF -的表面积P BEF PEF PBF PBE BEF S SS S S -=+++=. 12分 19. 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中最值的求取. 本小题对考生的化归与A B CD P F E转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解：（1） 2b =，=2c e a =， 4,2a b ∴== ∴椭圆C 方程为221164x y +=.4分 （2）当切线的斜率k 存在时，设切线方程为00()y y k x x -=-，又因为00x k y =-， 故切线方程为0000()x y y x x y -=--，200x x y y r ∴+= 当k 不存在时，切点坐标为(),0r ±，切线方程为x r =±，符合200x x y y r +=， 综上，切线方程为200x x y y r +=. 8分（3）设点P 坐标为(,)p p x y ，,PA PB 是圆221x y +=的切线，切点1122(,),(,)A x y B x y ，过点A 的圆的切线为111x x y y +=，过点B 的圆的切线为221x x y y +=两切线都过P 点，112211p p p p x x y y x x y y ∴+=+=，∴切点弦AB 的方程为1p p x x y y +=，由题知0P P x y ≠ ，1(0)p M y ∴，，1(,0)p N x ，22222221111=164p p p p p p x y MN x y x y ⎛⎫⎛⎫∴=++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221111119=+++16416416416p p p p x y y x ⋅+⋅≥+=，当且仅当2163P x =， 283P y =时取等号，34MN ∴≥，MN ∴的最小值为34. 12分20. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到曲线的切线方程的求取，利用导数刻画函数的单调性等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：（1）设切点P 为00(,)x y ，则P 处的切线方程为23200000(32)()y x x x x x x =--+-. 该直线经过点(1,0)， 所以有232000000(32)(1)x x x x x =--+-，化简得3200020x x x -+=，解得00x =或01x =，所以切线方程为0y =和1y x =-. 4分（2）法一：由题得方程3210x ax x --+=只有一个根，设32()1g x x ax x =-++，则2'()321g x x ax =--，因为24120,a ∆=+> 所以'()g x 有两个零点12,x x ，即23210i i x ax --=（1,2i =），且120x x <，2312i ix a x -=，不妨设120x x <<，所以()g x 在12(,),(,)x x -∞+∞单调递增，在12(,)x x 单调递减，1()g x 为极大值，2()g x 为极小值，方程3210x ax x --+=只有一个根等价于1()0g x >且2()0g x >，或者1()0g x <且2()0g x <，又232323311()111(1,2)222i i i iii ii i i i x x g x x ax x x x x x i x -=--+=--+=--+=，设31()122x h x x =--+，所以231'()022h x x =--<，所以()h x 为减函数， 又(1)0h =，所以1x <时()0h x >，1x >时()0h x <，所以(1,2)i x i =大于1或小于1，由120x x <<知，(1,2)i x i =只能小于1， 所以由二次函数2'()321g x x ax =--性质可得'(1)3210g a =-->，所以1a <. 12分 法二：曲线)(x f y =与直线1y x =-只有一个交点，等价于关于x 的方程231ax x x =-+只有一个实根.显然0x ≠，所以方程211a x x x =-+只有一个实根. 设函数211()g x x x x =-+，则3233122'()1x x g x x x x +-=+-=.设3()2h x x x =+-，2'()310h x x =+>，()h x 为增函数，又(1)0h =.所以当0x <时，'()0g x >，()g x 为增函数； 当01x <<时，'()0g x <，()g x 为减函数； 当1x >时，'()0g x >，()g x 为增函数； 所以()g x 在1x =时取极小值1.又当x 趋向于0时，()g x 趋向于正无穷； 又当x 趋向于负无穷时，()g x 趋向于负无穷； 又当x 趋向于正无穷时，()g x 趋向于正无穷. 所以()g x 图象大致如图所示：所以方程211a x x x=-+只有一个实根时，实数a 的取值范围为(,1)-∞.12分21. 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，三角形相似等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解： (1) 连接CD CB OD BD ,,, 是圆O 的两条切线，OC BD ⊥∴， 又AB 为直径，DB AD ⊥∴，//AD OC .5分(2)由//AD OC ，DAB COB ∴∠=∠，BAD Rt ∆∴∽Rt COB ∆，AD ABOB OC=，8AD OC AB OB ⋅=⋅=. 10分22. 【命题意图】本小题主要考查不等式证明的相关知识，具体涉及到利用比较法等证明方法. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力.【试题解析】解：（1）证明：33222()()()()a b a b ab a b a b +-+=+-. 因为,a b 都是正数，所以0a b +>. 又因为a b ≠，所以2()0a b ->.于是2()()0a b a b +->,即3322()()0a b a b ab +-+> 所以3322a b a b ab +>+；5分（2）证明：因为2222,0b c bc a +≥≥，所以2222()2a b c a bc +≥. ① 同理2222()2b a c ab c +≥. ② 2222()2c a b abc +≥. ③①②③相加得2222222222()222a b b c c a a bc ab c abc ++≥++ 从而222222()a b b c c a abc a b c ++≥++.由,,a b c 都是正数，得0a b c ++>，因此222222a b b c c a abc a b c++≥++. 10分。

2015年河南省某校高考数学三模试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x|y=lg(x−3)}，B={x|x≤5}，则A∪B=( )A {x|3<x≤5}B {x|x≥5}C {x|x<3}D R2. 已知复数z=−1−2i(1+i)2，则z¯=()A −34+14i B −14+34i C −1+12i D −1−12i3. 若函数f(x)={x2−5x，x≥0,−x2+ax，x<0是奇函数，则实数a的值是( )A −10B 10C −5D 54. 已知d为常数，p：对于任意n∈N∗，a n+2−a n+1=d；q：数列{a n}是公差为d的等差数列，则￢p是￢q的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件5. 函数f(x)=log2(x+2)−3x(x>0)的零点所在的大致区间是（）A (0, 1)B (1, 2)C (2, e)D (3, 4)6. 为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在[10, 50]，其中支出金额在[30, 50]的学生有134人，频率分布直方图如图所示，则n=()A 150B 160C 180D 2007. 双曲线x2m2−4+y2m2=1(m∈Z)的离心率为（）A √3B 2C √5D 38. 执行如图的程序框图，则输出的S是（）A 5040B 2450C 4850D 25509. 如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形，则该几何体的体积等于（）A 12πB 16πC 20πD 24π10. 将函数f(x)=3sin(2x +θ)(−π2<θ<π2)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P(0, 3√22)，则φ的值不可能是（ ）A 3π4B πC 5π4D 7π411. 已知抛物线C:x 2=16y 的焦点为F ，准线为l ，M 是l 上一点，P 是直线MF 与C 的一个交点，若FM →=3FP →，则|PF|=( ) A 163B 83C 53D 5212. 函数f(x)的定义域为R ，f(−2)=2013，对任意x ∈R 都有f′(x)<2x 成立，则不等式f(x)<x 2+2009的解集是（ ）A (−2, 2)B (−2, +∞)C (−∞, −2)D (−∞, +∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为________．14. 若变量x ，y 满足{2x −y +2≤0x +2y −4≥0x −3y +11≥0，则z =2x +y 的取值范围是________．15. 已知平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=13|a →|，|a →−12b →|=√433，则a →与b →的夹角为________． 16. 数列{a n }前n 项和为S n ，已知a 1=13，且对任意正整数m ，n ，都有a m+n =a m ⋅a n ，若S n <a 恒成立则实数a 的最小值为________．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数f(x)=(sinx +cosx)2+2√3sin 2x ． （1）求函数f(x)的最小正周期；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足2acosC +c =2b ，求f(B)的取值范围．18. 某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示：学生的概率是多少？(Ⅱ)若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？(Ⅲ)学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，对角线AC，BD交与点M，BC // AD，AB⊥BC，AB=BC=1，AD=PD=2，PD⊥底面ABCD，点N为棱PC上一动点．(I)证明：AC⊥ND；(II)若MN // 平面ABP，求三棱锥N−ACD的体积．20. 已知抛物线C1:y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C:x2+y2＝9上．(Ⅰ)求抛物线C1的方程；(Ⅱ)已知椭圆C2:x2m2+y2n2=1(m>n>0)的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为12．直线l:y＝kx−4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围．21. 已知函数f(x)=mx−alnx−m，g(x)=xe x−1，其中m，a均为实数．(1)求函数g(x)的极值；(2)设m=1，a<0，若对任意的x1，x2∈[3, 4](x1≠x2)，|f(x2)−f(x1)|<|1g(x2)−1g(x1)|恒成立，求实数a的最小值．二.请考生在第22.23.24三题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4--1：几何证明选讲] 22. 如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB＝BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．(Ⅰ)求证：AC⋅BC＝AD⋅AE；(Ⅱ)若AF＝2，CF＝2√2，求AE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23. 在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为{x=√3cosα+sinαy=2√3sinαcosα−2sin2α+2（α为参数），若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=√22t（t为参数）．(Ⅰ)求曲线M和N的直角坐标方程；(Ⅱ)若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24. 已知函数f(x)＝|3x+2|．(Ⅰ)解不等式f(x)<4−|x−1|；(Ⅱ)已知m>0，n>0，m+n＝1，若对任意的x∈R，m>0，n>0不等式|x−a|−f(x)≤1m +1n(a>0)恒成立，求正数a的取值范围．2015年河南省某校高考数学三模试卷（文科）答案1. D2. D3. C4. A5. B6. D7. B8. B9. A10. C11. A12. B13. 25π14. [−1, 6]15. 2π316. 1217. 解：（1）函数f(x)=(sinx+cosx)2+2√3sin2x=1+sin2x+2√3×1−cos2x2=sin2x−√3cos2x+1+√3=2sin(2x−π3)+1+√3，故函数f(x)的最小正周期为2π2=π．（2）在△ABC中，∵ 2acosC+c=2b，∴ 2a⋅a 2+b2−c22ab+c=2b，∴ b2+c2−a2=bc，∴ cosA=b2+c2−a22bc =12，∴ A=π3．∴ 0<B<2π3，−π3<2B−π3<π，∴ sin(2B−π3)∈(−√32, 1]，可得f(B)∈(1,3+√3]，即f (x)的值域为(1,3+√3]．18. （1）随机调查这个班的一名学生，有50种情况，抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生，有19种情况，故概率是P=1950（2）设这7名学生为a，b，c，d，e，A，B（大写为男生），则从中抽取两名学生的所有情况是：ab，ac，ad，ae，aA，aB，bc，bd，be，bA，Bb，cd，ce，cA，cB，de，dA，dB，eA，eB，AB共21种情况，其中含一名男生的有10种情况，∴ P=1021．(Ⅲ)根据K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=50×(18×19−6×7)224×26×25×25≈11.538>10.828∴ 我们有99.9%把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系．19. 证明(1)∵ 底面四边形ABCD为直角梯形，对角线AC，BD交与点M，BC // AD，AB⊥BC，AB=BC=1，AD=2，∴ AC=√2，DC=√2，∵ AD=2，∴ 根据勾股定理得出AC⊥CD，∵ PD⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴ PD⊥AC，∵ CD∩PD=D，∴ AC⊥面PCD，∵ ND⊂底面ABCD，点N为棱PC上一动点．∴ AC⊥ND；解：(2)∵ 梯形ABCD中：BC // AD，AB⊥BC，AB=BC=1，AD=PD=2，取AD中点G，连接如图：∴ DK =BK ，GK =BK ，MK =MB ，CMMA=12，MD MB=2∵ MN // 平面ABP ， ∴ MN // AP ， ∴ CMMA =CNNP =12，作NW ⊥面ABCD ，垂足在CD 上， ∵ PD ⊥底面ABCD ， ∴ PD // NW ，可得NW PD =13即NW =13×2=23，∵ S △ACD =12×AD ×1=12×2×1=1， ∴ 棱锥N −ACD 的体积=13×1×23=29 20. （本小题满分1（1）设点G 的坐标为(x 0, y 0)，由题意可知{x 0+p2=3x 02+y 02=9y 02=2px 0⋯解得：x 0=1,y 0=±2√2,p =4， 所以抛物线C 1的方程为：y 2＝8x（2）由(Ⅰ)得抛物线C 1的焦点F(2, 0)，∵ 椭圆C 2的一个焦点与抛物线C 1的焦点重合∴ 椭圆C 2半焦距c ＝2，m 2−n 2＝c 2＝4， ∵ 椭圆C 2的离心率为12，∴ 2m =12⇒m =4，n =2√3， ∴ 椭圆C 2的方程为：x 216+y 212=1⋯设A(x 1, y 1)、B(x 2, y 2)，由{y =kx −4x 216+y 212=1 得(4k 2+3)x 2−32kx +16＝0由韦达定理得：x 1+x 2=32k4k 2+3，x 1x 2=164k 2+3⋯由△>0⇒(−32k)2−4×16(4k 2+3)>0⇒k >12或k <−12⋯①∵ 原点O 在以线段AB 为直径的圆的外部，则OA →⋅OB →>0， ∴ OA →⋅OB →=(x 1,y 1)⋅(x 2,y 2)=y 1y 2+x 1x 2=(kx 1−4)⋅(kx 2−4)+x 1x 2=(k 2+1)x 1x 2−4k(x 1+x 2)+16 =(k 2+1)×164k 2+3−4k ×32k4k 2+3+16=16(4−3k 2)4k 2+3>0⇒−2√33<k <2√33⋯② 由①、②得实数k 的范围是−2√33<k <−12或12<k <2√33⋯ 21.解：(1)g′(x)=1−x e x−1，令g ′(x)=0，得x =1，列表如下：(2)当m =1，a <0时，f(x)=x −alnx −1，x ∈(0, +∞)， ∵ f′(x)=x−a x>0在[3, 4]上恒成立，∴ f(x)在[3, 4]上为增函数， 设ℎ(x)=1g(x)=e x−1x，∵ ℎ′(x)=e x−1(x−1)x 2>0在[3, 4]上恒成立，∴ ℎ(x)在[3, 4]上为增函数， 不妨设x 2>x 1，则|f(x 2)−f(x 1)|<|1g(x 2)−1g(x 1)|等价于：f(x 2)−f(x 1)<ℎ(x 2)−ℎ(x 1)， 即f(x 2)−ℎ(x 2)<f(x 1)−ℎ(x 1)， 设u(x)=f(x)−ℎ(x)=x −alnx −1−e x−1x，则u(x)在[3, 4]上为减函数， ∴ u′(x)=1−ax −e x−1(x−1)x 2≤0在[3, 4]上恒成立，∴ a ≥x −e x−1+e x−1x[3, 4]上恒成立， ∴ a ≥(x −e x−1+e x−1x)max ，x ∈[3, 4]，设v(x)=x−e x−1+e x−1x，∵ v′(x)=1−e x−1+e x−1(x−1)x2=1−e x−1[(1x −12)2+34]，x∈[3, 4]，∴ e x−1[(1x −12)2+34]>34e2>1，∴ v′(x)<0在[3, 4]上恒成立，∴ v(x)在[3, 4]上为减函数，∴ v(x)在[3, 4]上的最大值v(3)=3−23e2，∴ a≥3−23e2，∴ a的最小值为3−23e2.22. 证明：(I)如图所示，连接BE．∵ AE是⊙O的直径，∴ ∠ABE＝90∘．又∠E与∠ACB都是AB̂所对的圆周角，∴ ∠E＝∠ACB．∵ AD⊥BC，∠ADC＝90∘．∴ △ABE∽△ADC，∴ AB:AD＝AE:AC，∴ AB⋅AC＝AD⋅AE．又AB＝BC，∴ BC⋅AC＝AD⋅AE．(II)∵ CF是⊙O的切线，∴ CF2＝AF⋅BF，∵ AF＝2，CF＝2√2，∴ (2√2)2＝2BF，解得BF＝4．∴ AB＝BF−AF＝2．∵ ∠ACF＝∠FBC，∠CFB＝∠AFC，∴ △AFC∽△CFB，∴ AF:FC＝AC:BC，∴ AC=AF⋅BCCF=√2．∴ cos∠ACD=√24，∴ sin∠ACD=√144=sin∠AEB，∴ AE=ABsin∠AEB =4√14723. （1）由x =√3cosα+sinα，得x 2＝2cos 2α+2√3sinαcosα+1， 所以曲线M 可化为y ＝x 2−1，x ∈[−2, 2]，由ρsin(θ+π4)=√22t ， 得√22ρsinθ+√22ρcosθ=√22t ， 所以ρsinθ+ρcosθ＝t ，所以N 可化为x +y ＝t ，（2）若曲线N 与曲线M 有公共点，则当直线N 过点(2, 3)时，满足要求，此时t ＝5，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍只有一个公共点，联立{x +y =t y =x 2−1 得x 2+x −1−t ＝0， △＝1+4(1+t)＝0，解得t =−54，综上可得t 的取值范围−54≤t ≤5． 24. （1）不等式f(x)<4−|x −1|，即|3x +2|+|x −1|<4，∴ {x <−23−3x −2−x +1<4 ①，或{−23≤x <13x +2+1−x <4 ②，或 {x ≥13x +2+x −1<4 ③．解①求得−54<x <−23，解②求得−23≤x <12，解③求得x ∈⌀．综上可得，不等式的解集为(−54, 12)．（2）已知m +n ＝1(m, n >0)，∴ 1m+1n=(m +n)(1m+1n)＝2+n m+m n≥2+2＝4，当且仅当m ＝n =12时，取等号． 再根据|x −a|−f(x)≤1m+1n(a >0)恒成立，可得|x −a|−f(x)≤4，即|x −a|−|3x +2|≤4．设g(x)＝|x −a|−|3x +2|={2x +2+a,x <−23−4x −2+a,−23≤x ≤a −2x −2−a,x >a，故函数g(x)的最大值为g(−23)=23+a ，再由23+a ≤4，求得 0<a ≤103．。

山东省潍坊市2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i2．（5分）已知集合A={x|y=ln（x2﹣x）}，B={x|x2﹣9≤0}，则A∩B=（）A．∪B．∪（1，3] C．（0，1）D．3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=2，∠B=2∠A，则cosA的值为（）A．B．C．D．4．（5分）设a＞0且a≠1．则“函数f（x）=log a x是（0，+∞）上的增函数”是“函数g（x）=（1﹣a）•a x”是R上的减函数的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中左视图为直角三角形，则该几何体的体积为（）A．16B．C．D．6．（5分）运行如图框图输出的S是254，则①应为（）A．n≤5B．n≤6C．n≤7D．n≤87．（5分）已知函数f（x）=x2﹣cosx，则f的大小关系是（）A．B．C．D．8．（5分）当a＞0时，函数f（x）=（x2﹣2ax）e x的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）已知抛物线C1：y2=2x的焦点F是双曲线C2：的一个顶点，两条曲线的一个交点为M，若|MF|=，则双曲线C2的离心率是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）和g（x）是两个定义在区间M上的函数，若对任意的x∈M，存在常数x0∈M，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g（x0），则称函数f（x）和g（x）在区间M上是“相似函数”，若f（x）=|log2（x﹣1）|+b与g（x）=x3﹣3x2+8在上是“相似函数”，则函数f（x）在区间上的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）在区间上随机取一个数x，使得≥0成立的概率为．12．（5分）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=8相外切，则圆C的方程为．13．（5分）已知x，y满足约束条件，若目标函数z=x+my（m≠0）取得最大值时最优解有无数个，则m的值为．14．（5分）已知数列{a n}是等差数列，S n是它的前n项和，则数列是等差数列．由此类比：数列{b n}是各项为正数的等比数列，T n是它的前n项积，则数列{}为等比数列（写出一个正确的结论）．15．（5分）已知函数f（x）对任意x∈R满足f（x+1）=f（x﹣1），且f（x）是偶函数，当x∈时，f（x）=﹣x2+1，若方程f（x）=a|x|至少有4个相异实根，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）如图，茎叶图记录了某校甲班3名同学在一学年中去社会实践基地A实践的次数和乙班4名同学在同一学年中去社会实践基地B实践的次数．乙班记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x表示．（Ⅰ）如果x=7，求乙班4名同学实践基地B实践次数的中位数和方差；（Ⅱ）如果x=9，从实践次数大于8的同学中任选两名同学，求选出的两名同学分别在甲、乙两个班级且实践次数的和大于20的概率．17．（12分）已知函数f（x）=2sinωx的图象的一条对称轴为x=π，其中ω为常数，且．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求a的最小值．（12分）如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，点E，F分别是B1C1，A1B1的中点，AA1=AB=BE=1，18．∠A1AB=60°．（Ⅰ）求证：AC1∥平面A1BE；（Ⅱ）求证：BF⊥平面A1B1C1．19．（12分）已知数列{a n}与{b n}满足：a1+a2+a3+…+a n=log2b n（n∈N*）．若{a n}为等差数列，且a1=2，b3=64b2．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n═（a n+n+1）•2，求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）已知椭圆C：的离心率为，点O为坐标原点，椭圆C 与曲线|y|=x的交点分别为A，B（A在第四象限），且．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）定义：以原点O为圆心，为半径的圆称为椭圆=1的“伴随圆”．若直线l交椭圆C于M，N两点，交其“伴随圆”于P，Q两点，且以MN为直径的圆过原点O．证明：|PQ|为定值．21．（14分）已知函数f（x）=（x﹣1）2，g（x）=alnx，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=2处的切线互相垂直，求实数a的值；（Ⅱ）记F（x）=f（x+1）﹣g（x），讨论函数F（x）的单调性；（Ⅲ）设函数G（x）=f（x）+g（x）两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2，求证：G（x2）＞ln2．山东省潍坊市2015届高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i是虚数单位，复数=（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：复数===﹣2i．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）已知集合A={x|y=ln（x2﹣x）}，B={x|x2﹣9≤0}，则A∩B=（）A．∪B．∪（1，3] C．（0，1）D．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．解答：解：由A中y=ln（x2﹣x），得到x2﹣x＞0，即x＜0，或x＞1，∴A=（﹣∞，0）∪（1，+∞），由B中的不等式变形得：（x﹣3）（x+3）≤0，解得：﹣3≤x≤3，即B=，则A∩B=．故选：A点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=2，∠B=2∠A，则cosA的值为（）A．B．C．D．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理列出关系式，把a，b，∠B=2∠A代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理即可求出cosA的值即可．解答：解：∵a=3，b=2，∠B=2∠A，∴由正弦定理=，即===，整理得：cosA=，故选：A．点评：此题考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．4．（5分）设a＞0且a≠1．则“函数f（x）=log a x是（0，+∞）上的增函数”是“函数g（x）=（1﹣a）•a x”是R上的减函数的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义结合函数单调性的性质进行判断即可．解答：解：函数f（x）=log a x是（0，+∞）上的增函数，则a＞1，若“函数g（x）=（1﹣a）•a x”是R上的减函数，则或，即a＞1或0＜a＜1，故“函数f（x）=log a x是（0，+∞）上的增函数”是“函数g（x）=（1﹣a）•a x”是R上的减函数的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数的单调性求出等价条件是解决本题的关键．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中左视图为直角三角形，则该几何体的体积为（）A．16B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一侧面垂直于底面的三棱锥，画出直观图，根据数据求出体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是侧面PAC⊥底面ABC的三棱锥，如图所示；过点P作PM⊥AC，交AC与点M，连接BM，则PM⊥平面ABC，且PM=2，∴BM⊥AC，且BM=2，∴AC=2AM=2=4；∴三棱锥的体积为V三棱锥P﹣ABC=××4×2×2=．故选：D．点评：本题考查了利用几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．6．（5分）运行如图框图输出的S是254，则①应为（）A．n≤5B．n≤6C．n≤7D．n≤8考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．∵S=2+22+…+26+27=254，故①中应填n≤7．故选C ．点评： 算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．7．（5分）已知函数f （x ）=x 2﹣cosx ，则f 的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用．分析： 由f （x ）=x 2﹣cosx 为偶函数，知f （﹣）=f （），由f （x ）在（0，1）为增函数，由此能比较大小关系．解答： 解：∵f（x ）=x 2﹣cosx 为偶函数， ∴f（﹣）=f （），∵f′（x ）=2x+sinx ，由x ∈（0，1）时，f′（x ）＞0， 知f （x ）在（0，1）为增函数， ∴f（）＜f （）＜f （）， ∴f（﹣）＜f （）＜f （），故选：B ．点评： 本题考查函数值大小的比较，是基础题．解题时要认真审题，注意函数的单调性和导数的灵活运用．8．（5分）当a ＞0时，函数f （x ）=（x 2﹣2ax ）e x的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的图象；指数函数综合题；导数的乘法与除法法则．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：利用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．解答：解：由f（x）=0，解得x2﹣2ax=0，即x=0或x=2a，∵a＞0，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．设a=1，则f（x）=（x2﹣2x）e x，∴f'（x）=（x2﹣2）e x，由f'（x）=（x2﹣2）e x＞0，解得x＞或x＜．由f'（x）=（x2﹣2）e x＜0，解得，即x=﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选B．点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，充分利用函数的性质，本题使用特殊值法是判断的关键，本题的难度比较大，综合性较强．9．（5分）已知抛物线C1：y2=2x的焦点F是双曲线C2：的一个顶点，两条曲线的一个交点为M，若|MF|=，则双曲线C2的离心率是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过题意可知F（，0）、不妨记M（1，），将点M、F代入双曲线方程，计算即得结论．解答：解：由题意可知F（，0），由抛物线的定义可知：x M=﹣=1，∴y M=±，不妨记M（1，），∵F（，0）是双曲线的一个顶点，∴，即a2=，又点M在双曲线上，∴，即b2=，∴e===，故选：D．点评：本题考查求双曲线的离心率，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）和g（x）是两个定义在区间M上的函数，若对任意的x∈M，存在常数x0∈M，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0），且f（x0）=g（x0），则称函数f（x）和g（x）在区间M上是“相似函数”，若f（x）=|log2（x﹣1）|+b与g（x）=x3﹣3x2+8在上是“相似函数”，则函数f（x）在区间上的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：新定义；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由对数函数的性质可得f（x）的值域，再由导数求得g（x）的值域，根据新定义，可得b=4，即可得到所求的最大值．解答：解：f（x）=|log2（x﹣1）|+b在区间上的值域为，g（x）=x3﹣3x2+8的导数为g′（x）=3x2﹣6x，g′（x）=0解得x=2，由g（2）=4，g（）=，g（3）=8，即有g（x）的值域为，由“相似函数”可得f（2）=g（2），即b=4，则函数f（x）在区间上的最大值为b+2=6，故选：C．点评：本题考查新定义的理解和运用，主要考查对数函数的性质和导数的运用：求最值，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）在区间上随机取一个数x，使得≥0成立的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的x的范围区间长度，利用几何概型公式可得．解答：解：由题意，本题符合几何概型，区间长度为6，使得≥0成立的x的范围为（﹣1，3]，区间长度为4，由几何概型公式可得使得≥0成立的概率为：=．故答案为：．点评：本题考查了几何概型公式的运用；关键是明确所求是区间长度的比．12．（5分）已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，且圆C与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=8相外切，则圆C的方程为（x+1）2+y2=2．考点：圆与圆的位置关系及其判定；圆的标准方程；圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：求出圆心坐标，利用两圆相切，即可得到圆的半径，然后求解圆C的方程．解答：解：圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点，可得圆心坐标（﹣1，0），设圆的半径为r，所求圆与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=8相外切，可得：==2，r=．所求圆的方程为：（x+1）2+y2=2．故答案为：（x+1）2+y2=2．点评：本题考查直线与的位置关系，圆的方程的求法，考查计算能力．13．（5分）已知x，y满足约束条件，若目标函数z=x+my（m≠0）取得最大值时最优解有无数个，则m的值为1．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．解答：解：由z=x+my得y=x，若m＞0，则目标函数的斜率k=＜0，作出不等式组对应的平面区域如图：若目标函数z=x+my（m≠0）取得最大值时最优解有无数个，由平移可知当直线y=x与AC平行时，满足条件，此时=﹣1，解得m=1，若m＜0，则k=＞0，若目标函数z=x+my（m≠0）取得最大值时最优解有无数个，则直线y=x，经过点C时，目标函数取得最大值，此时最大值只有一个，不满足条件．故答案为：1点评：本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．14．（5分）已知数列{a n}是等差数列，S n是它的前n项和，则数列是等差数列．由此类比：数列{b n}是各项为正数的等比数列，T n是它的前n项积，则数列{}为等比数列（写出一个正确的结论）．考点：类比推理．专题：计算题；推理和证明．分析：仔细分析数列为等差数列，且通项为=a1+（n﹣1）•的特点，类比可写出对应数列{}为等比数列，解答：解：因为在等差数列{a n}中前n项的和为S n的通项，且写成了=a1+（n﹣1）•．所以在等比数列{b n}中应研究前n项的积为T n的开n方的形式．类比可得=．其公比为故答案为：．点评：本小题主要考查等差数列、等比数列以及类比推理的思想等基础知识．在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．15．（5分）已知函数f（x）对任意x∈R满足f（x+1）=f（x﹣1），且f（x）是偶函数，当x∈时，f（x）=﹣x2+1，若方程f（x）=a|x|至少有4个相异实根，则实数a的取值范围是．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：由题意可判断函数数f（x）的周期T=2，从而作f（x）与g（x）=a|x|的图象，结合图象可知a≥0；且当在（1，3）上相切时取得另一个临界值，利用导数求出此时的a，即可得到实数a的取值范围．解答：解：由题意知，函数f（x）的周期T=2，且f（x）是偶函数，当x∈时，f（x）=﹣x2+1；作f（x）与g（x）=a|x|的图象如下，结合图象可知，a≥0；当在（1，3）上相切时，f（x）=﹣（x﹣2）2+1，f′（x）=﹣2（x﹣2），故﹣2（x﹣2）=，解得，x=；故a=f′（）=﹣2（﹣2）=4﹣2；故实数a的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及导数的几何意义的应用，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）如图，茎叶图记录了某校甲班3名同学在一学年中去社会实践基地A实践的次数和乙班4名同学在同一学年中去社会实践基地B实践的次数．乙班记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用x表示．（Ⅰ）如果x=7，求乙班4名同学实践基地B实践次数的中位数和方差；（Ⅱ）如果x=9，从实践次数大于8的同学中任选两名同学，求选出的两名同学分别在甲、乙两个班级且实践次数的和大于20的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）当x=7时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：7，8，9，10，11，求得中位数，平均数，再根据方差公式求得s2的值．（Ⅱ）记甲班3名同学为a9，a11，a12，乙班4名同学即为b8，b9，B9，b12，列举出从实践次数大于8的同学中任选两名同学的基本事件，再找到满足两名同学分别在甲、乙两个班级且实践次数的和大于20的基本事件，根据概率公式计算即可．解答：解：（Ⅰ）当x=7时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：7，8，9，12，所以已组的中位数为=8.5，所以平均数为（7+8+9+12）=9，）方差为s2==3.5；（Ⅱ）记甲班3名同学为a9，a11，a12，乙班4名同学即为b8，b9，B9，b12，从实践次数大于8的同学中任选两名同学，基本事件有a9a11，a9a12，a9b9，a9B9，a9b12，a11a12，a11b9，a11B9，a11b12，a12b9，a12B9，a12b12，b9B9，b9b12，B9b12，共15个，选出的两名同学分别在甲、乙两个班级且实践次数的和大于20的基本事件有a9b12，a11b12，a12b9，a12B9，a12b12，共5个，故选出的两名同学分别在甲、乙两个班级且实践次数的和大于20的概率p==．点评：本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题17．（12分）已知函数f（x）=2sinωx的图象的一条对称轴为x=π，其中ω为常数，且．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求a的最小值．考点：三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）运用二倍角的正弦和余弦公式，及两角差的正弦公式，结合正弦函数的对称轴，可得ω，再由周期公式，可得所求周期；（Ⅱ）由条件f（A）=3，化简计算可得A，再由余弦定理，结合配方和基本不等式，即可得到a的最小值．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=2sinωx=（2sinωxcosωx）+2sin2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx+1=1+2sin（2ωx﹣），图象的一条对称轴为x=π，则2ωπ﹣=kπ+，即ω=+．k∈Z，由，可得ω==，则函数f（x）的最小正周期T==；（Ⅱ）由f（x）=2sin（x﹣）+1，f（A）=2sin（×A﹣）+1=3，则有sin（2A﹣）=1，A∈（0，π），即有2A﹣∈（﹣，）．则2A﹣=，可得A=，在△ABC中，a2=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2﹣3（）2==，当且仅当b=c=时，a的最小值为．点评：本题考查三角函数的恒等变换公式的运用，同时考查正弦函数的周期公式和三角形的余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，点E，F分别是B1C1，A1B1的中点，AA1=AB=BE=1，∠A1AB=60°．（Ⅰ）求证：AC1∥平面A1BE；（Ⅱ）求证：BF⊥平面A1B1C1．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连结AB1，交A1B于G，连结EG，先证明出GE∥AC1，进而利用线面平行的判定定理证明出AC1∥平面A1BE．（Ⅱ）连结EF．判断出△ABA1为等边三角形，求得BA1=1，判断出F是A1B1的中点，求得EF，然后利用勾股定理判断出△BEF为直角三角形，推断出BF⊥EF．最后利用线面垂直的判定定理证明出BF⊥EF．解答：证明：（Ⅰ）连结AB1，交A1B于G，连结EG，∵△B1AC1中，B1G=GA，B1E=EC1，∴GE∥AC1，∵GE⊂面A1BE，AC1⊄面A1BE，∴AC1∥平面A1BE．（Ⅱ）连结EF．∵AA1=AB=1，∠A1AB=60°，∴△ABA1为等边三角形，∴BA1=1，又BB1=AA1=1，∴F是A1B1的中点，∴EF=A1C1=A1B1=AB=，又知△A1BB1中，BF=，∴在△BEF中，EF2+BF2=BE2=1．∴△BEF为直角三角形，且∠BEF=90°，∴BF⊥EF．∵EF⊂面A1B1C1，A1B1⊂面A1B1C1，EF∩A1B1=F，∴BF⊥面A1B1C1．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的运用．考查了学生对基础定理和公式的熟练运用程度，和一定的空间的观察能力．19．（12分）已知数列{a n}与{b n}满足：a1+a2+a3+…+a n=log2b n（n∈N*）．若{a n}为等差数列，且a1=2，b3=64b2．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n═（a n+n+1）•2，求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）通过a3=及a1=2可得d=2，进而可得a n=2n，利用a1+a2+a3+…+a n=log2b n 可得b n=2n（n+1）；（Ⅱ）通过（I）及c n═（a n+n+1）•2可得T n、4T n的表达式，利用错位相减法计算即得结论．解答：解：（Ⅰ）由已知可得：a1+a2+a3=log2b3，a1+a2=log2b2，两式相减可得：a3==log264=6，∵a1=2，∴d=2，∴a n=2n，∵a1+a2+a3+…+a n==n（n+1）=log2b n，∴b n=2n（n+1）；（Ⅱ）由题意c n═（a n+n+1）•2=（3n+1）4n﹣1，∴T n=4+7•4+10•42+…+（3n+1）•4n﹣1，4T n=4•4+7•42+10•43+…+（3n+1）•4n，两式相减得：﹣3T n=4+3•4+3•42+…+3•4n﹣1﹣（3n+1）•4n=4+3（4+42+…+4n﹣1）﹣（3n+1）•4n=4+3•﹣（3n+1）•4n，整理得：T n=n•4n（n∈N*）．点评：本题考查求数列的通项及前n项和公式，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）已知椭圆C：的离心率为，点O为坐标原点，椭圆C 与曲线|y|=x的交点分别为A，B（A在第四象限），且．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）定义：以原点O为圆心，为半径的圆称为椭圆=1的“伴随圆”．若直线l交椭圆C于M，N两点，交其“伴随圆”于P，Q两点，且以MN为直径的圆过原点O．证明：|PQ|为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）因为，所以，得，即可求得椭圆方程．（Ⅱ）由“半椭圆”的方程与直线联立，由得x1x2+y1y2=0，代入即可解得．解答：解：（Ⅰ）因为，所以，得联立得，，故A（），B（）由得（），解得b2=1，a2=3所以椭圆方程为（Ⅱ）由题意可得“半椭圆”方程x2+y2=4当直线l斜率不存在时，设l：x=n，代入椭圆方程得M（n，），N（n，﹣）由，得，代入x2+y2=4得y=，所以|PQ|=．当直线l斜率存在时，设l为方程为y=kx+m（k，m∈R）且与椭圆得交点M（x1，y1）N（x2，y2）联立方程组整理得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0△=36k2m2﹣4（1+3k2）（3m2﹣3）＞0，即m2＜3k2+1∵x1+x2=可得y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=由得x1x2+y1y2=0，即所以，代入验证△＞0，即原点O到直线l的距离d=∵“半椭圆”的半径为2，∴综上，|PQ|为定值点评：本题主要考查了圆锥曲线的方程求法和新定义下的圆锥曲线与直线综合题的应用，属于中档题型．21．（14分）已知函数f（x）=（x﹣1）2，g（x）=alnx，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=2处的切线互相垂直，求实数a的值；（Ⅱ）记F（x）=f（x+1）﹣g（x），讨论函数F（x）的单调性；（Ⅲ）设函数G（x）=f（x）+g（x）两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2，求证：G（x2）＞ln2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）根据两曲线y=f（x）与y=g（x）在x=2处的切线互相垂直，利用导数研究曲线上某点切线的斜率求出a值；（Ⅱ）求出函数的导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，由导数的符号，解不等式即可得到函数的单调区间；（Ⅲ）对f（x）求导数，f′（x）=0有两个不同的正实根x1，x2，由判别式以及根与系数的关系求出a的取值范围；由x1、x2的关系，用x2把a表示出来，求出f（x2）的表达式最小值与比较即可．解答：解：（Ⅰ）由题意：g′（x）=，∴g（x）的图象在x=2切线的斜率为：g′（2）=，又f′（x）=2（x﹣1），∴f（x）的图象在x=2切线的斜率为：f′（2）=2，由两曲线y=f（x）与y=g（x）在x=2处的切线互相垂直得：=﹣，∴a=﹣1；（Ⅱ）F（x）=f（x+1）﹣g（x）=x2﹣alnx，（x＞0）∴F′（x）=2x﹣=（x＞0），当a≤0时，F′（x）＞0，即有F（x）在（0，+∞）递增；当a＞0时，F′（x）＞0，可得x＞，F′（x）＜0，可得0＜x＜，综上可得，当a≤0时，函数F（x）在（0，+∞）上为增函数；当a＞0时，函数F（x）在（0，）上为减函数；函数F（x）在（，+∞）上为增函数；（Ⅲ）证明：由题意，G（x）=x2﹣2x+1+alnx的定义域为（0，+∞），∴G′（x）=2x﹣2+=；∵G（x）有两个极值点x1，x2，∴G′（x）=0有两个不同的正实根x1，x2，∵2x2﹣2x+a=0的判别式△=4﹣8a＞0，解得a＜；方程的两根为x1=，x2=；∴x1+x2=1，x1•x2=＞0，∴a＞0；综上，a的取值范围为（0，）．∵0＜x1＜x2，且x1+x2=1，∴＜x2＜1，a=2x2﹣2x22，∴G（x2）=x22﹣2x2+1+（2x2﹣2x22）lnx2．令g（t）=t2﹣2t+1+（2t﹣2t2）lnt，其中＜t＜1，则g′（t）=2（1﹣2t）lnt．当t∈（，1）时，g′（t）＞0，∴g（t）在（，1）上是增函数．∴g（t）＞g（）=．故G（x2）=g（x2）＞．点评：本题考查了导数的运用：求切线方程和单调区间，利用函数的性质求参数取值与利用导数证明不等式成立的问题，是容易出错的题目．。