结构力学第4章 三铰拱

0 N D右 QD右 sin D H cos D 12 0.555 10.5 0.832 15.4kN
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。
§4-3 三铰拱的合理轴线
一、合理拱轴线的概念 在给定荷载作用下使拱内各截面处弯矩与剪力 都等于零,只有轴力时的拱轴线。 只适合于三铰平拱受 二、合理拱轴线的确定 竖向荷载作用
由上述的内力计算公式发现：
① 三铰拱的内力不但与荷载及三个铰的位置有关， 而且与拱轴线的形状有关。 ② 由于推力的存在，拱的弯矩比简支代梁的弯矩要小 ③ 三铰拱在竖向荷载作用下存在轴向受压。
注意： 1）该组公式仅适合平拱, 且承受竖向荷载；
2） 拱轴切线倾角k在拱的左半跨取正，右半跨取负；
三、内力图 （1）画三铰拱内力图的方法：水平基线描点法。
拱的合理轴线。设填土的容重为γ ，拱所受的竖向分布荷载为q = qC+γy。
解：将式 y M /H 对x微分两次，得
0
qC
x
d 2 y 1 d 2M0 dx 2 H dx 2
qC+γy A
C
f
q(x)为沿水平线单位长度的荷载值，则 l/2 l/2 d 2 y q(x) d 2M0 2 q(x) 2 dx dx H y 将q=qC+γy代入上式，得： 常数A和B可由边界条件确定： q qC d2y γ x 0, y 0 : A C y γ 2 dx H H dy 该微分方程的解可用双曲函数表示： q γ γ y Ach x Bsh x C H H γ
VAl P b1 P2b2 0 1
P b1 P2b2 VA 1 l Pi bi 0 VA l
HB
VB
C
P2
A
f
HA
VA
x l1
l P1 P2
B
l2
mA 0
Pi ai VB VB0 l
A C
0 VA
B
mc 0
VB0
H A f P (l1 a1 ) VAl1 0 1
HA VA
A
C D 4f y (x ) 2 x (l x) l
6m
3m
3m
VB VB0
0 M C 6 12 3 10 H 10 .5k N f 4 V0
3kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
10kN
A
VB0
(2) 内力计算 截面几何参数
x D 9m
10.5 16
3kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ C D 4f y (x ) 2 x (l x) l 6m 3kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M H f
例4-2 设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试 求其合理拱轴线。
q
解法1：相应简支梁的弯矩方程为
M0
f
B
y x A
C
1 1 1 qlx qx 2 qx(l x) 2 2 2
0 M C ql 2 推力H为： H f 8f
l/2
l/2
可得三铰拱合理拱轴的轴线方程为 ：
§4-1
一、梁与拱的关系 F
HA＝0 A
概
述
F
B
HA＝0 A
B
曲梁 F
拱：杆轴线为曲线，
且在竖向荷载作用下会 产生水平推力的结构。
HA≠0
A
拱
B
二、 拱的常见类型
三铰拱
两铰拱
无铰拱
超静定拱
拉杆拱
静定拱
三、 拱的各部分名称 拱顶
C
拱轴线 拱高 f
B
拱趾 A
起拱线
跨度 l
平拱：两拱趾在同一水平线上的拱 斜拱：两拱趾不在同一水平线上的拱
D
10kN 4m B 3m 10kN
10.5 12 12
A
4f y D 2 x(l x) l 4 4 2 9(16 9)＝3m 12 dy 4 f 16 tg D 2 (l 2 x ) dx l 4 4 2 12－2 9 ＝－0.667 12
3m
D 33.70
sin D 0.555
cos D 0.832
(2) 内力计算
x D 9m yD 3m
10.5 16
3kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ C D 4f y (x ) 2 x (l x) l 6m 3kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓
D 16
10kN 4m B 3m 10kN
10.5 12 12
x 0, dx
y
B
0:
qC γ
B0
γ ch x 1 H
二、内力的计算
P Qk Mk
y a1
a2 b1 P1 k k yk C
b2
Nk
P2
HA
A HA VA
xk l1 l P1
f
x l2
B HB VB
VA
Qk0 V A0 P 1
M k0 V A0 xk P xk a1 1
P2
A k C
M k V A xk P xk a1 H A yk 1
sin D 0.555 cos D 0.832
A
3m
0 M M D Hy D 12 3 10.5 3 4.5kN m 0 QD左 QD左 cos D H sin D 2 0.832 10.5 0.555 4.16 kN 0 N D左 QD左 sin D H cos D 2 0.555 10.5 0.832 9.85kN 0 QD右 QD右 cos D H sin D 12 0.832 10.5 0.555 －4.16 kN
q
A x ql/2 l
B ql/2
1 qx(l x) M 4f 2 y 2 (l x)x ql 2 H l 8f
0
三铰拱在沿水平均匀分布的竖向荷载作用下，其合理 拱轴线为一抛物线。
解法2：
q
解：研究整体
y x A l/2 l/2 C f B
M
B
0
ql 2 VA 2
ql 2 HA 8f
0 A k
B
0 VA V x P xk a1 H A yk 1
VB0
N k V A sin k P sin k H A cos k 1 V A0 P sin k H A cos k 1 Qk0 sin k H A cos k
（2）画三铰拱内力图的步骤
1）计算支座反力 2）计算拱截面的内力（可以每隔一定水平距离取一截面， 也可以沿拱轴每隔一定长度取一截面）。 3）按各截面内力的大小和正负绘制内力图。 注意： 1）仍有 Q=dM/dx 即剪力为零处弯矩为极值； 2） M、Q、N图均不再为直线（参见书本P60 图4-6）； 3）集中力作用处Q图将发生突变； 4）集中力偶作用处M图将发生突变。
1997年建成的重庆万县长江大桥：世界上跨度最大的混凝土拱桥，主拱圈 为钢管混凝土劲性骨架箱型混凝土结构，全长 856.12米，主跨420米，桥面宽 24米，为双向四车道，是世界最大跨径的混凝土拱桥。由重庆交通大学土木建 筑学院顾安邦教授主研完成,设计施工技术的研究成果获国家科技进步一等奖
甘肃灞陵桥，又名卧桥，在渭源县城南门外的清源河上，是一座古典纯木结 构伸臂曲拱型廊桥, 主跨：40米，始建于明洪武年间(公元1368-1398年)， 后被洪水冲毁。1919年仿兰州卧桥改建，被称为“渭水长虹”。
M k0 H A yk Qk V A cos k P cos k H A sin k 1
V P cos k H A sin k 1
0 A




Qk0 cos k H A sin k
M k M k0 H A yk 内力的计算公式： Q Q 0 cos H sin k k k A k N k Qk0 sin k H A cos k
例4-1 三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线： y=4fx(l-x)/l2，求支座反力，并绘制内力图。
3kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 10kN 4m B
HB VB
解: (1) 反力计算
V A V A0 10 3 3 6 9 12 16 kN 3 6 3 10 9 12 12 kN
0 VAl1 P (l1 a1 ) M C 1 HA HB f f
反力计算公式：
V V 0 A A VB VB0 0 MC H A H B H f
在竖向荷载作用下，三铰拱(平拱)的支座反力有如下特点： 1）支座反力与拱轴线形状无关，只与荷载及三个铰的位置有关。 2）竖向支座反力与拱高无关，水平推力与拱高有关。 3）当荷载和跨度一定时，拱的水平推力H与拱高 f 成反比，即拱高 f 越大，水平推力 H 越小，反之，拱高 f 越小，水平推力H越大。 当拱高 f 趋近于零时，水平反力 H（水平推力）趋近于无穷大，此 时A、B、C三铰在一条直线上，构成瞬变体系，不能作为结构.
f
f l
高跨比
§4-2 三铰拱的计算
因为简支梁的内力计算大家非常熟练，所以 在计算三铰拱（平拱）在竖向荷载作用下的内力 时，和同跨度同荷载的简支代梁对应起来，以找 出两者在支座反力计算、内力计算方面的区别， 加以对比，便于理解和记忆。
一、支座反力的计算
y a1 P1 a2 b1 b2
mB 0
M x M 0 x Hy x
M x 0 M 0 x Hy x 0