2015九年级数学下册 3.8 圆内接正多边形同步练习 (新版)北师大版

2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.8圆内接正多边形一、选择题1.正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，正六边形的周长是12，则⊙O 的半径是（）A 、B 、2C 、2D 、2 +2.下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图 形是（）A 、正三角形B 、正方形C 、正五边形D 、正六边形 +3.已知正方形MNOK 和正六边形ABCDEF 边长均为1，把正方形放在正六边形 中，使OK 边与AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B 顺时针旋转，使KM 边与BC 边重合，完成第一次 旋转；再绕点C 顺时针旋转，使MN 边与CD 边重合，完成第二次旋转；…在这样 连续6次旋转的过程中，点B ，M 间的距离可能是（）A、1.4B、1.1C、0.8D、0.5+4.若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）A、B、2 C、D、1+5.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A、B、C、D、+6.下列说法正确的是（）A、圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等B、在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点C、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根D、将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等+7.如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A、π+1B、π+2C、π﹣1D、π﹣28.如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG=18°；②FG=3﹣；③（S四边形CDEF）2=9+2 ；④DF2﹣DG2=7﹣2）．其中结论正确的个数是（A、1B、2C、3D、4+9.如图，在平面直角坐标系中，边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上，点B在反比例函数y=位于第一象限的图象上，则k的值为（??）A、9B、9C、3D、3+10.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6间的大小关系是（）A、S3＞S4＞S6B、S6＞S4＞S3C、S6＞S3＞S4D、S4＞S6＞S3二、填空题11.如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是．+12.如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ = ．+13.如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．+14.如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a的取值范围是．+15.如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是．+16.半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为．+三、解答题17.如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．(1)、求证：四边形PEQB为平行四边形；(2)、填空：①当t=②当t= + s时，四边形PBQE为菱形；s时，四边形PBQE为矩形．18.如图，正五边形ABCDE中．(1)、AC与BE相交于P，求证：四边形PEDC为菱形；(2)、延长DC、AE交于M点，连BM交CE于N，求证：CN=EP；(3)、若正五边形边长为2，直接写出AD的长为．+。

圆内接正多边形课后作业一．基础性作业（必做题）1．圆内接正三角形的边长为6，则该圆的半径是（）A ．2B ．4C ．32D ．342．如图1，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论错误的是（）A ．弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长；B ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长；C ．弧AC ＝弧BC ；D ．∠BAC ＝30°．3．正方形内接于圆，它的一边所对的圆周角等于．4．如图2，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径OC ＝4，OG ⊥BC ，垂足为点G ，则正六边形的中心角＝°，边长＝，边心距＝．5.如图3，在圆内接正五边形ABCDE 中，对角线AC ，BD 交于点P ．则∠APD 的度数等于．6．如图5，已知正方形ABCD 的外接圆为⊙O ，点P 在劣弧CD 上（不与C 点重合）．（1）求∠BPC 的度数；（2）若⊙O 的半径为8，求正方形ABCD 的边长．图1图2图4图3二、拓展性作业（选做题）1．如图5，请用直尺和圆规确定已知圆的圆心，并作出此圆的内接正六边形ABCDEF ；（保留作图痕迹，不写作法）2．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．若设⊙O 的半径为R ，圆内接正n 边形的边长、面积分别为a n ，S n ，圆内接正2n 边形边长、面积分别为a 2n ，S 2n ．刘徽用以下公式求出a 2n 和S 2n ．22222))21(()21(n n n a R R a a --+=，R na n 21S n 2=．如图6，若⊙O 的半径为1，则⊙O 的内接正八边形AEBFCGDH 的面积为．图5图63．【探索发现】小迪同学在学习圆的内接正多边形时，发现：如图7，若P是圆内接正三角形ABC 的外接圆的弧BC上任一点，则∠APB＝60°，在PA上截取PM＝PC．连接MC，可证明△MCP 是（填“等腰”“等边”或“直角”）三角形，从而得到PC＝MC，再进一步证明△PBC ≌，得到PB＝MA，可证得：PB+PC＝PA．【拓展应用】小迪同学对以上推理进行类比研究，发现：如图8，若P是圆内接正四边形ABCD 的外接圆的弧BC上任一点，则∠APB＝∠APD＝°，分别过点B、D作BM⊥AP于M、DN⊥AP于N．【猜想证明】分别过点B，D作BM⊥AP于M，DN⊥AP于N．请写出PB、PD与PA之间的数量关系，并说明理由．图7图8。

8圆内接正多边形知识点1正多边形与圆的有关概念及计算1．若正六边形的边心距是3，则它的边长是()A．1 B．2 C．2 3 D．3 32．下列正多边形中，中心角等于内角的是()A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形3．如图3－8－1，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，图3－8－1则下列关系式错误的是()A．R2－r2＝a2B．a＝2R sin36°C．a＝2r tan36°D．r＝R cos36°4．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是()A．互余B．互补C．互余或互补D．不能确定5．已知一个圆的半径为5 cm，则它的内接正六边形的边长为________．知识点2正多边形的画法6．利用等分圆可以作正多边形，下列只利用直尺和圆规不能作出的正多边形是()A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正七边形7．用尺规作图(不要求写作法和证明，但要保留作图痕迹)．(1)如图3－8－2，已知正五边形ABCDE，求作它的中心O；(2)如图3－8－3，已知⊙O，求作⊙O的内接正八边形．3－8－23－8－38．[2017·达州]以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()A.22B.32C. 2 D. 3图3－8－49．如图3－8－4，从一个半径为10 cm的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为________．10．如果圆的半径为a，它的内接正方形的边长为b，该正方形的内切圆的内接正方形的边长为c，那么a，b，c之间的数量关系为______________．11．如图3－8－5①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.图3－8－5(1)求图①中∠MON的度数；(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．详解1．B [解析] ∵正六边形的边心距为3，∴OB ＝3，AB ＝12OA .∵OA 2＝AB 2＋OB 2， ∴OA 2＝(12OA )2＋(3)2，解得OA ＝2.故选B. 2．C 3.A4．B [解析] 设正多边形的边数为n ，则正多边形的中心角为360°n ，正多边形的一个外角等于360°n ，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角互补，所以正多边形的中心角与该正多边形的一个内角互补．故选B.5．5 cm [解析] 圆的内接正六边形的边长与它的半径相等． 6．D7．解：(1)如图，点O 即为所求．(2)如图，八边形ABCDEFGH 即为所求．8．A [解析] 如图①，∵OC ＝2，∴OD ＝2×sin30°＝1； 如图②，∵OB ＝2，∴OE ＝2×sin45°＝2； 如图③，∵OA ＝2，∴OD ＝2×cos30°＝ 3. 则该三角形的三边长分别为1，2， 3. ∵12＋(2)2＝(3)2，∴该三角形是直角三角形， ∴该三角形的面积是12×1×2＝22.故选A.9．10 2 cm[解析] 由题意知∠BOC＝90°，BC＝OB2＋OC2＝102＋102＝10 2 (cm)．10．a＝c＝2 2b11．解：(1)方法一：如图①，连接OB，OC.图①∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°；方法二：如图②，连接OA，OB.图②∵正三角形ABC内接于⊙O，∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°. ∵BM＝CN，∴AM＝BN.又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，∴∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝120°.(2)90° 72° (3)∠MON ＝360°n.。

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.8圆内接正多边形》同步测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径作，，若AB ＝1，则阴影部分图形的周长是（）A．π+1B．πC．π+1D．π2．如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．有下列3个结论：①AO⊥BE，②∠CGD＝∠COD+∠CAD，③BM＝MN＝NE．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③3．有一个正五边形和一个正方形边长相等，如图放置，则∠1的值是（）A．15°B．18°C．20°D．9°4．如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是（）A．60°B．70°C．72°D．144°5．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD 的度数为（）A．30°B．36°C．60°D．72°6．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是（）A．45度B．60度C．72度D．90度7．一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是（）A．83°B．84°C．85°D．94°8．如图，边长为3的正五边形ABCDE，顶点A、B在半径为3的圆上，其他各点在圆内，将正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为（）A．12°B．16°C．20°D．24°9．边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABO的度数为（）A．24°B．48°C．60°D．72°10．如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（）A．10B．9C．8D．7二．填空题（共10小题，满分40分）11．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，F是CD弧的中点，则∠CBF的度数为．12．如图，正五边形形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则的长为．（结果保留π）13．已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是．14．阅读下列材料：问题：如图1，正方形ABCD内有一点P，P A＝，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连接PP′．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：（1）图2中∠BPC的度数为；（2）如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且P A＝2，PB＝4，PC＝2，则∠BPC的度数为，正六边形ABCDEF的边长为．15．如图，⊙O经过正五边形OABCD的顶点A，D，点E在优弧AD上，则∠E等于度．16．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是°．17．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是度．18．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝．19．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接对角线AC，AD，则下列结论：①BC∥AD；②∠BAE＝3∠CAD；③△BAC≌△EAD；④AC＝2CD．其中判断正确的是．（填序号）20．如图，正三角形AMN与正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠BOM的度数是．三．解答题（共4小题，满分40分）21．O是边长为a的正多边形的中心，将一块半径足够长，圆心角为α的扇形纸板的圆心放在O点处，并将纸板绕O点旋转．（1）若正多边形为正三角形，扇形的圆心角α＝120°，请你通过观察或测量，填空：①如图1，正三角形ABC的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为；②如图2，正三角形ABC的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为；（2）若正多边形为正方形，扇形的圆心角α＝90°时，①如图3，正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为；②如图4，正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为多少？并给予证明；（3）若正多边形为正五边形，如图5，当扇形纸板的圆心角α为时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值a．（4）一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，并将纸板绕O点旋转．当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为定值a．22．如图，正五边形ABCDE中，点F、G分别是BC、CD的中点，AF与BG相交于H．（1）求证：△ABF≌△BCG；（2）求∠AHG的度数．23．比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如：它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形．请你再写出它们的两个相同点和不同点：相同点：①；②．不同点：①；②．24．如图，分别是正方形、正五边形和正六边形，（1）试分别计算这三种正多边形的相邻两条对角线的夹角的度数；（2）探究正n边形相邻两条对角线的夹角满足的规律．参考答案一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB＝1，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝1，∠A＝∠D＝108°，∴的长＝的长＝＝π，∴阴影部分图形的周长＝的长+的长+BC＝π+1．故选：A．2．解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴＝，∴AO⊥BE，故①正确；∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴的度数＝＝72°，∴∠COD＝72°，∵∠COD＝2∠CAD，∴∠CAD＝36°；连接CD∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴＝＝＝，∴∠BDC＝∠DCE＝∠CAD＝36°，∴∠CGD＝108°，∴∠CGD＝∠COD+∠CAD，故②正确；连接AB，AE，∴∠MBA＝∠MAB＝36°，∴AM＝BM，∵∠MAN＝36°，∠ANM＝∠DAE+∠AEB＝72°，∴AM≠MN，∴BM≠MN③错误！则∠BAM＝∠ABM＝∠EAN＝∠AEN＝36°，∵AB＝AE，∴△ABM≌△AEN（ASA），∴BM＝EN＝AM＝AN，∵∠MAN＝36°，∴AM≠MN，∴③错误．故选：A．3．解：正五边形的内角的度数是×（5﹣2）×180°＝108°，正方形的内角是90°，则∠1＝108°﹣90°＝18°．故选：B．4．解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠ABC＝∠C＝＝108°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝＝36°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，故选：C．5．解：如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故选：B．6．解：连接OA、OB、OC，∠AOB＝＝72°，∵∠AOB＝∠BOC，OA＝OB，OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBC，在△AOM和△BON中，，∴△AOM≌△BON（SAS）∴∠BON＝∠AOM，∴∠MON＝∠AOB＝72°，故选：C．7．解：由题意：∠AOE＝108°，∠BOF＝120°，∠OEF＝72°，∠OFE＝60°，∴∠EOF＝180°﹣72°﹣60°＝48°，∴∠AOB＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，故选：B．8．解：设点E第一次落在圆上时的对应点为E′，连接OA、OB、OE′，如图，∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠EAB＝108°，∵正五边形ABCDE绕点A逆时针旋转，点E第一次落在圆上E′点，∴AE＝AE′＝3，∵OA＝AB＝OB＝OE′＝3，∴△OAE′、△OAB都为等边三角形，∴∠OAB＝∠OAE′＝60°，∴∠E′AB＝120°，∴∠EAE′＝12°，∴当点E第一次落在圆上时，则点C转过的度数为12°．故选：A．9．解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°，∴∠BOA＝360°﹣120°﹣108°＝132°，∵AO＝BO，∴∠ABO＝∠OAB＝＝24°故选：A．10．解：∵五边形的内角和为（5﹣2）•180°＝540°，∴正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，360°÷36°＝10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3＝7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选：D．二．填空题（共10小题，满分40分）11．解：设圆心为O，连接OC，OD，BD，∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠O＝＝72°，∴∠CBD＝O＝36°，∵F是的中点，∴∠CBF＝∠DBF＝CBD＝18°，故答案为：18°．12．解：连接CF，DF，则△CFD是等边三角形，∴∠FCD＝60°，∵在正五边形ABCDE中，∠BCD＝108°，∴∠BCF＝48°，∴的长＝＝π，故答案为：π．13．解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠ABC＝∠C＝＝108°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝＝36°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，故答案为：72°．14．解：（1）如图2．∵△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A，∴∠P′BP＝90°，BP′＝BP＝，P′A＝PC＝1，∠BP′A＝∠BPC，∴△BPP′为等腰直角三角形，∴PP′＝PB＝2，∠BP′P＝45°，在△APP′中，AP＝，PP′＝2，AP′＝1，∵（）2＝22+12，∴AP2＝PP′2+AP′2，∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P＝90°∴∠BP′A＝45°+90°＝135°，∴∠BPC＝∠BP′A＝135°；（2）如图3．∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠ABC＝120°，把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，∴∠P′BP＝120°，BP′＝BP＝4，P′A＝PC＝2，∠BP′A＝∠BPC，∴∠BP′P＝∠BPP′＝30°，过B作BH⊥PP′于H，∵BP′＝BP，∴P′H＝PH，在Rt△BP′H中，∠BP′H＝30°，BP′＝4，∴BH＝BP′＝2，P′H＝BH＝2，∴P′P＝2P′H＝4，在△APP′中，AP＝2，PP′＝4，AP′＝2，∵（2）2＝（4）2+22，∴AP2＝PP′2+AP′2，∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P＝90°，∴∠BP′A＝30°+90°＝120°，∴∠BPC＝120°，过A作AG⊥BP′于G点，∴∠AP′G＝60°，在Rt△AGP′中，AP′＝2，∠GAP′＝30°，∴GP′＝AP′＝1，AG＝GP′＝，在Rt△AGB中，GB＝GP′+P′B＝1+4＝5，AB＝＝＝2，即正六边形ABCDEF的边长为2．故答案为135°；120°，2．15．解：∵⊙O经过正五边形OABCD的顶点A，D，∴∠AOD＝108°，∴∠E＝AOD＝54°，故答案为：54．16．解：∵AF是⊙O的直径，∴＝，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴＝，∠BAE＝108°，∴＝，∴∠BAF＝∠BAE＝54°，∴∠BDF＝∠BAF＝54°，故答案为：54．17．解：连接OA、OB、OC，∠AOB＝＝72°，∵∠AOB＝∠BOC，OA＝OB，OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBC，在△AOM和△BON中，∴△AOM≌△BON，∴∠BON＝∠AOM，∴∠MON＝∠AOB＝72°，故答案为：72．18．解：连接OA，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°，∵△AMN是正三角形，∴∠AOM＝＝120°，∴∠BOM＝∠AOM﹣∠AOB＝48°，故答案为：48°．19．解：①∵∠BCD＝180°﹣72°＝108°，∠E＝108°，∴∠ADE＝×（180°﹣108°）＝36°，∴∠ADC＝108°﹣36°＝72°，∴∠BCD+∠ADC＝108°+72°＝180°，∴BC∥AD，故本选项正确；②∵∠BAE＝108°，∠CAD＝×＝36°，∴∠BAE＝3∠CAD，故本选项正确；③在△BAC和△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SSS），故本选项正确；④∵AB+BC＞AC，∴2CD＞AC，故本选项错误．故答案为：①②③．20．解；连接AO，∵正三角形AMN与正五边形ABCDE内接于⊙O，∴∠AOM＝×360°＝120°，∴∠AOB＝×360°＝72°，∵∠BOM＝∠AOM﹣∠AOB，∴∠BOM＝120°﹣72°＝48°故答案为：48°三．解答题（共4小题，满分40分）21．解：（1）①a；（1分）②a；（2分）（2）①a；（3分）②正方形ABCD的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为a．（4分）理由：证明：连接OA、OD∵四边形ABCD是正方形，点O为中心∴OA＝OD，∠OAM＝∠ODN＝45°又∵∠AOD＝∠POQ＝90°∴∠AOM+∠AOQ＝90°∠DON+∠AOQ＝90°∴∠AOM＝∠DON∴△AOM≌△DON∴AM＝DN∴AM+AN＝DN+AN＝AD＝a（8分）（3）∵正五边形的内角为（5﹣2）×180°÷5＝108°∴当扇形纸板的圆心角α为72°时，正五边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度仍为定值a．（10分）（4）∵正多边形的中心角为，∴当扇形纸板的圆心角为时，正n边形的边被扇形纸板覆盖部分的总长度为定值a．（12分）22．（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD，（2分）∵F、G分别是BC、CD的中点，∴BF＝CG，（4分）在△ABF和BCG中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD，BF＝CG，（5分）∴△ABF≌△BCG；（6分）（2）解：由（1）知∠GBC＝∠F AB，∵∠AHG＝∠F AB+∠ABH＝∠GBC+∠ABH＝∠ABC（，7分）∵正五边形的内角为108°，∴∠AHG＝108°．（9分）（注：本小题直接正确写出∠AHG＝108°不扣分）23．解：相同点不同点①都有相等的边．①边数不同；②都有相等的内角．②内角的度数不同；③都有外接圆和内切圆．③内角和不同；④都是轴对称图形．④对角线条数不同；⑤对称轴都交于一点．⑤对称轴条数不同．24．解：（1）解：由正方形ABCD，可得：AC⊥BD，∴α4＝90°；由正五边形ABCDE，可得：AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，∴∠DBC＝∠ACB＝＝36°，∴α5＝180°﹣∠DBC﹣∠ACB＝108°；同理：α6＝120°；（2）．。

3.8圆内接正多边形同步练习一．选择题1．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（）A．60°B．36°C．76°D．72°2．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．24﹣4πB．12+4πC．24+8πD．24+4π3．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（）A．18°B．36°C．54°D．72°4．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15厘米，则线段GH的长为（）A．厘米B．5厘米C．3厘米D．10厘米5．如图，把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHI的AB边重合叠放在一起，连接EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为（）A．90°B．85°C．84°D．80°6．圆内接正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°7．一个正多边形的边长为2，每个外角为30°，则这个正多边形外接圆的半径可以表示为（）A．sin15°B．tan15°C．D．8．如图，正五边形ABCDE内接于圆O，过点A作圆O的切线交对角线DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是（）A．AE∥BF B．AF∥CD C．D．AB＝BF9．如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于（）A．8B．10C．12D．1610．如图，在⊙O的内接正六边形ABCDEF中，OA＝2，以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点E，得到，连接CE，OE，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣4B．2π﹣2C．﹣3D．﹣2二．填空题11．中心角为36°的正多边形边数为．12．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于度．13．正方形ABCD内接于⊙O，点F为CD的中点，连接AF并延长交⊙O于点E，连接CE，则sin∠DCE＝．14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M是边CD的中点，连结AM，若⊙O的半径为2，则AM＝．15．如图，⊙O半径为，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为．三．解答题16．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．17．如图，⊙O的周长等于8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．（1）求圆心O到AF的距离；（2）求正六边形ABCDEF的面积．18．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：P A ＝PB+PC；（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：P A＝PC+PB．参考答案一．选择题1．解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，故选：D．2．解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．由题意，OA＝OB＝AB＝4，∴S弓形AmB＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×42＝π﹣4，∴S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）＝6•（•π•22﹣π+4）＝24﹣4π，故选：A．3．解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴，，∠BAE＝108°，∴，∴∠BAF＝∠BAE＝54°，∴∠BDF＝∠BAF＝54°，故选：C．4．解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，∴AG＝BG，BH＝CH，∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，连接OA，OB交AC于N，则OB⊥AC，∠AOB＝60°，∵OA＝15cm，∴AN＝OA＝（cm），∴AC＝2AN＝15（cm），∴GH＝AC＝5（cm），故选：B．5．解：由正五边形内角，得∠I＝∠BAI＝＝108°，由正六边形内角，得∠ABC＝＝120°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABK＝60°，∴由四边形的内角和，得∠BKI＝360°﹣∠I﹣∠BAI﹣∠ABK＝360°﹣108°﹣108°﹣60°＝84°．故选：C．6．解：因为多边形的外角和为360°，所以圆内接正十边形的外角和为360°，故选：B．7．解：如图所示：，∵一个正多边形的边长为2，每个外角为30°，∴此正多边形的边数为＝12，即多边形为12边形，连接OA、OB，过O作ON⊥AB，边AB对的圆心角AOB的度数为＝30°，∵OA＝OB，ON⊥AB，∴∠NOB＝∠AOB＝15°，AN＝BN＝AB＝1，∴OB＝＝，即这个正多边形的半径是，故选：C．8．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝∠ABC＝∠C＝∠EDC＝∠E＝＝108°，BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB＝×（180°﹣∠C）＝36°，∴∠ABD＝108°﹣36°＝72°，∴∠EAB+∠ABD＝180°，∴AE∥BF，故本选项不符合题意；B、∵∠F＝∠CDB＝36°，∴AF∥CD，故本选项不符合题意；C、连接AD，过A作AH⊥DF于H，则∠AHF＝∠AHD＝90°，∵∠EDC＝108°，∠CDB＝∠EDA＝36°，∴∠ADF＝108°﹣36°﹣36°＝36°＝∠F，∴AD＝AF，∴FH＝DH，当∠F＝30°时，AF＝2AH，FH＝DH＝AH，此时DF＝AF，∴此时∠F＝36°时，DF≠AF，故本选项符合题意；D、连接OA、OB，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣72°）＝54°，∵F A切⊙O于A，∴∠OAF＝90°，∴∠F AB＝90°﹣54°＝36°，∵∠ABD＝72°，∴∠F＝72°﹣36°＝36°＝∠F AB，∴AB＝BF，故本选项不符合题意；故选：C．9．解：连接AO，BO，CO．∵AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的一边，∴∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝120°，∴∠BOC＝30°，∴n＝＝12，故选：C．10．解：连接OB、OC、OD，S扇形CAE＝＝2π，S△AOC＝＝，S△BOC＝＝，S扇形OBD＝＝，∴S阴影＝S扇形OBD﹣2S△BOC+S扇形CAE﹣2S△AOC＝﹣2+2π﹣2＝﹣4；故选：A．二．填空题11．解：由题意可得：∵360°÷36°＝10，∴它的边数是10．故答案为10．12．解：连接OC、OD，如图所示：∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，∵DG⊥PC，∴∠PGD＝90°，∴∠PDG＝90°﹣∠CPD＝90°﹣36°＝54°，故答案为：54．13．解：由圆周角定理得∠DCE＝∠DAE，设正方形的边长为2a，∵F为CD的中点，∴FD＝a，由勾股定理得：AF＝＝，∴sin∠DCE＝sin∠DAE＝＝＝，故答案为：．14．解：连接AC，OB交于点H．∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，OB＝2，∴AB＝BC＝CD＝2，∠ABC＝∠BCD＝120°，∴＝，∴OB⊥AC，∴AH＝HC，∠ABH＝∠CBH＝60°，∴AH＝AB•sin60°＝，∴AC＝2AH＝2，∵∠ACB＝∠BAC＝30°，∠BCD＝120°，∴∠ACM＝90°，∵CM＝MD＝1，AC＝2，∴AM＝＝＝，故答案为．15．解：如图，取AB的中点K，以AB为直径作⊙K，∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∵AK＝BK，∴KF＝AK＝BK，∵正方形ABCD的外接圆的半径为，∴AB＝BC＝＝2，∴KF＝AK＝KB＝1，∵∠CBK＝90°，∴CK＝＝＝，∵CF≥CK﹣KF，∴CF≥﹣1，∴CF的最小值为﹣1．故答案为﹣1．三．解答题16．（1）证明：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，∴OD＝1，∴等边△ABC的边心距为1．17．解：（1）连接OC、OD，作OH⊥CD于H，∵⊙O的周长等于8πcm，∴半径OC＝4cm，∵六边形ABCDE是正六边形，∴∠COD＝60°，∴∠COH＝30°，∴圆心O到CD的距离＝4×cos30°＝2，∴圆心O到AF的距离为2cm；（2）正六边形ABCDEF的面积＝×4×2×6＝24cm2．18．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图1，∵A、B、P、C四点共圆，∴∠BAC+∠BPC＝180°，∵∠BPC+∠EPC＝180°，∴∠BAC＝∠CPE＝60°，∵PE＝PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝60°；又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，∴∠BCE＝∠ACP，∵△ABC、△ECP为等边三角形，∴CE＝PC，AC＝BC，在△BEC和△APC中，，∴△BEC≌△APC（SAS），∴P A＝BE＝PB+PC；（2）过点B作BE⊥PB交P A于E，连接OA，OB．如图2，∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°∴∠1＝∠3，∵∠APB＝∠AOB＝45°，∴BP＝BE，∴PE＝PB，在△ABE和△CBP中，，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴PC＝AE，∴P A＝AE+PE＝PC+PB；。

《圆内接正多边形》分层练习◆基础题1．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）A．互余B．互补C．互余或互补D．不能确定2．正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为（）A．3：2：1 B．4：3：2 C．4：2：1 D．6：4：33）A．1 B．2 C．D．4．如图，⊙O的一条弦AB垂直平分半径OC，且AB的面积为（）A．6 B．C．12 D．5．正八边形的中心角等于度．6．如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为．7．如图，在正八边形ABCDEFGH中，若四边形BCFG的面积是12cm2，则正八边形的面积为cm2．8．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、GC是两条对角线，则∠ACG= °．9．如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB，求⊙O的半径．10．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG=CH，AG交BH 于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度数．◆能力题1．如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（）A B．C D．2．若一个正多边形的中心角等于其内角，则这个正多边形的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．63．古代数学家祖冲之和他的儿子根据刘徽的“割圆术”（用圆内接正多边形的周长代替圆周长），来计算圆周率π的近似值．他从正六边形算起，一直算到正24576边形，将圆周率精确到小数后七位，在世界上领先一千多年．根据这个办法，由圆内接正六边形算得的圆周率π的近似值是（）A．2.9 B．3 C．3.1 D．3.144．如果正n边形的中心角为2α，边长为5，那么它的边心距为．（用锐角α的三角比表示）5．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正六边形，内接正方形的一边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于．6．如图，P、Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB、BC上的点，BP=CQ，则∠POQ= ．7．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t= s时，四边形PBQE为菱形；②当t= s时，四边形PBQE为矩形．8．（1）如图1，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，求正六边形的边长．（2）如图2，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12．求证：AB=AC．◆提升题1．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是（）A．△CDF的周长等于AD+CD B．FC平分∠BFDC．AC2+BF2=4CD2D．DE2=EF•CE2．如图，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为10，则正八边形ABCDEFGH 的面积为何（）A．40 B．50 C．60 D．80【答案】A3．小刚在纸上画了一个面积为6分米2的正六边形，然后连接相隔一点的两点得到如图所示的对称图案，他发现中间也出现了一个正六边形，则中间的正六边形的面积是分米2．4．阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．例如：图中①的三角形被一个圆覆盖，②中的四边形被两个圆所覆盖．已知长宽分别为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，则r的最小值是cm．5．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、A E．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．6．教材的《课题学习》要求同学们用一张正三角形纸片折叠成正六边形，小明同学按照如下步骤折叠：请你根据小明同学的折叠方法，回答以下问题：（1）如果设正三角形ABC的边长为a，那么CO= （用含a的式子表示）；（2）根据折叠性质可以知道△CDE的形状为三角形；（3）请同学们利用（1）、（2）的结论，证明六边形KHGFED是一个六边形．答案和解析◆基础题1．【答案】B解：设正多边形的边数为n，则正多边形的中心角为360n，正多边形的一个外角等于360 n ︒，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角的互补，所以正多边形的中心角与该正多边形一个内角互补．2．【答案】A解：如图，△ABC是等边三角形，AD是高．点O是其外接圆的圆心，由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心．∵AD⊥BC，∠1=∠4=30°，∴BO=2OD，而OA=OB，∴AD=3OD，∴AD：OA：OD=3：2：1．3．【答案】B，∴OB AB=12OA，∵OA2=AB2+OB2，∴OA2=（12OA）2+2，解得OA=2．4．【答案】C解：如图，连接OA；取AC的中点D，连接AD、CD、OD；过点D作DE⊥OC于点E；∵OF=12OA，且∠OFA=90°，∴∠OAF=30°，∠AOC=60°，∠AOD=∠COD=30°；∵圆的内接正十二边形的中心角=36012︒=30°，∴AD、DC为该圆的内接正十二边形的两边；∵OC⊥AB，且AB∴AF；在△AOF中，由勾股定理得：2R==；在△ODE中，∵∠EOD=30°，∴DE=12OD=1，112OCDS OC DE∆=⋅=，∴这个圆的内接正十二边形的面积为12．5．【答案】45解：正八边形的中心角等于360°÷8=45°．6．【答案】cm解：设正多边形的中心是O ，其一边是AB ，∴∠AOB =∠BOC =60°，∴OA =OB =AB =OC =BC ，∴四边形ABCO 是菱形，∵AB =6cm ，∠AOB =60°，∴cos ∠BAC =AMAB，∴AM =6cm ），∵OA =OC ，且∠AOB =∠BOC ，∴AM =MC =12AC ，∴AC =2AM （cm ）．7．【答案】24解：连接HE ，AD ，在正八边形ABCDEFGH 中，可得：HE ⊥BG 于点M ，AD ⊥BG 于点N ，∵正八边形每个内角为：()821808-⨯︒=135°，∴∠HGM =45°，∴MH =MG ，设MH =MG =x ，则HG =AH =AB =GF ，∴BG ×GF =2+1）x 2=12，∴四边形ABGH 面积=12（AH +BG ）×HM =+1）x 2=6，∴正八边形的面积为：6×2+12=24（cm 2）．8．【答案】45°解：设正八边形ABCDEFGH 的外接圆为⊙O ；∵正八边形ABCDEFGH 的各边相等，∴18AH GH ==圆周长，∴AHG 的度数为23608⨯︒=90°，∴圆周角∠ACG =190452⨯︒=︒．9．解：过点O 作OD ⊥BC 于点D ，连接BO ，∵正三角形ABC 内接于⊙O ，∴点O 即是三角形内心也是外心，∴∠OBD =30°，BD =CD =12BC =12AB∴cos 30°=2BD BO BO ==，解得：BO =2，即⊙O 的半径为2cm ．10．（1）证明：∵在正六边形ABCDEF 中，AB =BC ，∠ABC =∠C =120°，在△ABG 与△BCH 中120AB BCABC C BG CH =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△BCH ；（2）解：由（1）知：△ABG ≌△BCH ，∴∠BAG =∠HBC ，∴∠BPG =∠ABG =120°，∴∠APH =∠BPG =120°． ◆ 能力题1．【答案】B解：延长AB ，然后作出过点C 与格点所在的直线，一定交于格点E ．正六边形的边长为1，则半径是1，则CE =4，中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离则△BCE 的边EC，△ACE 边EC，则S △ABC =S △AEC ﹣S △BEC =12×42．【答案】B解：360°÷n =()2180n n-⨯︒．故这个正多边形的边数为4．3．【答案】B解：由题意n =6时，π≈62l rd r==3． 4．【答案】52tan α解：如图所示：∵正n 边形的中心角为2α，边长为5，∵边心距OD =52tan α．5．【答案】12解：连接AO ，BO ，CO ．∵AB 、AC 分别为⊙O 的内接正六边形、内接正方形的一边，∴∠AOB =3606︒=60°，∠AOC =3604︒=90°，∴∠BOC =30°，∴n =36030︒=12．6．【答案】72°解：连接OA 、OB 、OC ，∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，∴∠AOB =∠BOC =72°，∵OA =OB ，OB =OC ，∴∠OBA =∠OCB =54°，在△OBP 和△OCQ 中，OB OCOBP OCQ BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OBP ≌△OCQ ，∴∠BOP =∠COQ ，∵∠AOB =∠AOP +∠BOP ，∠BOC =∠BOQ +∠QOC ，∴∠BOP =∠QOC ，∵∠POQ =∠BOP +∠BOQ ，∠BOC =∠BOQ +∠QOC ，∴∠POQ =∠BOC =72°．7．（1）证明：∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，∴AB =BC =CD =DE =EF =FA ，∠A =∠ABC =∠C =∠D=∠DEF=∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP=DQ=t，PF=QC=4﹣t，在△ABP和△DEQ中，AB DE A D AP DQ=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP=EQ，同理可证PE=QB，∴四边形PEQB是平行四边形．（2）解：①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s．②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，∴∠BPE=120°﹣30°=90°，∴此时四边形PBQE是矩形．当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t=0s或4s时，四边形PBQE是矩形．8．（1）解：连接OD，如图所示：∵六边形ABCDEF是圆O的内接正六边形，∴∠O=3606︒=60°，∵OC=OD，∴△OCD是等边三角形，∴CD=OC=4，即正六边形的边长为4；（2）证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD=12BC=5，∵AB=13，AD=12，∴BD2+AD2=52+122=169=132=AB2，∴△ABD是直角三角形，AD⊥BC，又∵BD=CD，∴AB=AC．◆提升题1．【答案】B解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE，∴四边形ABCF是菱形，∴CF=AF，∴△CDF的周长等于CF+DF+CD，即△CDF的周长等于AD+CD，故A选项正确；∵四边形ABCF是菱形，∴AC⊥BF，设AC与BF交于点O，由勾股定理得OB2+OC2=BC2，∴AC2+BF2=（2OC）2+（2OB）2=4OC2+4OB2=4BC2，∴AC2+BF2=4CD2．故C选项正确；由正五边形的性质得，△ADE≌△CDE，∴∠DCE=∠EDF，∴△CDE∽△DFE，∴C E D ED E E F，∴DE2=EF•CE，故D选项正确．2．【答案】A解：取AE中点I，则点I为圆的圆心，圆内接正八边形ABCDEFGH是由8个与△IDE全等的三角形构成．易得△IDE的面积为5，则圆内接正八边形ABCDEFGH为8×5=40．3．【答案】2解：设O是原正六边形的中心，连接AO，FO，MO，设FO与AE交于点Q，AO与BE交于P，∵一个面积为6分米2的正六边形，连接相隔一点的两顶点得到如图所示的对称图案，∴∠AOF=16×360°=60°，S△AOF=16×6=1（分米2），∴△OAF是等边三角形，∵AB=AF，∴OA⊥BF，∴AP=OP，∴AM=OM，同理：OF⊥AE，OQ=FQ，∴OM=FM，∴点M是△AOF的外心，∴S△OAM=13S△AOF=13（分米2），∴S△OPM=12S△OAM=16（分米2），∴中间的正六边形的面积是：12×S△OPM=2（分米2）．4．【答案】2解：如图：矩形ABCD 中AB =1，BC =2，则覆盖ABCD 的两个圆与矩形交于E 、F 两点，由对称性知E 、F 分别是AD 和BC 的中点，则四边形ABFE 、EFCD 是两个边长为1的正方形，所以圆的半径r =2，两圆心距=1． 5．解：（1）如图1中，连接OA 、OD ．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠AOD =90°，∴∠AED =12∠AOD =45°． （2）如图2中，连接CF 、CE 、CA ，作DH ⊥AE 于H ．∵BF ∥DE ，AB ∥CD ，∴∠ABF =∠CDE ，∵∠CFA =∠AEC =90°，∴∠DEC =∠AFB =135°，∵CD =AB ，∴△CDE ≌△ABF ，∴AF =CE =1，∴AC =AD AC ，∵∠DHE =90°，∴∠HDE =∠HED =45°，∴DH =HE ，设DH =EH =x ，在Rt △ADH 中，∵AD 2=AH 2+DH 2，∴344=（4﹣x ）2+x 2，解得x =32或52，∴DE DH =2或2． 6．解：（1）∵正三角形ABC 的边长为a ，由折叠的性质可知，点O 是三角形的重心，∴CO ； （2）△CDE 为等边三角形；（3）由（2）知△CDE 为等边三角形，∴CD =CE =DE =12CO ÷cos 30°=13a ，∠ADE=∠BED=120°，同理可得，AH=AK=KH=13a，BG=BF=GF=13a，∠CKH=∠BHK=120°，∵AB=BC=AC=a，∴DE=DK=KH=HG=GF=FE=13a，∠ADE=∠BED=∠CKH=∠BHK=∠CFG=∠AGF=120°，∴六边形KHGFED是一个正六边形．。

8 圆内接正多边形A 卷1．边长为a 的正六边形的边心距是__________，周长是____________，面积是___________.2．如图1，正方形的边长为a ，以顶点B 、D 为圆心，以边长a 为半径分别画弧，在正方形内两弧所围成图形的面积是___________.(1) (2) (3)3．圆内接正方形ABCD 的边长为2，弦AE 平分BC 边，与BC 交于F ，则弦AE 的长为__________.4．正六边形的面积是18，则它的外接圆与内切圆所围成的圆环面积为_________.5．圆内接正方形的一边截成的小弓形面积是2π-4，则正方形的边长等于__________.6．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________.7．在半径为R 的圆中，内接正方形与内接正六边形的边长之比为___________.8．同圆的内接正n 边形与外切正n 边形边长之比是______________.9．正三角形与它的内切圆及外接圆的三者面积之比为_____________.10．正三角形的外接圆半径为4cm ，以正三角形的一边为边作正方形，则此正方形的外接圆半径长为___________.3B 卷1．正方形的内切圆半径为r ，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积为_________.2．如果正三角形的边长为a ，那么它的外接圆的周长是内切圆周长的_______倍.3．如图2，正方形边长为a ，那么图中阴影部分的面积是__________.4．正多边形的一个内角等于它的一个外角的8倍，那么这个正多边形的边数是________.5．半径为R 的圆的内接正n 边形的面积等于__________.6．如果圆的半径为a ，它的内接正方形边长为b ，该正方形的内切圆的内接正方形的边长为c ，则a,b,c 间满足的关系式为___________.7．如图3，正△ABC 内接于半径为1cm 的圆，则阴影部分的面积为___________.8．如果圆内接正六边形的边长为10cm ，则它的边心距为_______cm ，正六边形的一边在圆上截得的弓形面积是____________.9．已知正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内画半圆，则所围成的阴影部分(如图)的面积为__________.10．周长相等的正方形和正六边形的面积分别为和，则和的大小关系为__________.24S 6S 4S 6S参考答案A 卷1．2．3．点B 到弦AE 的垂线段长为，由勾股定理或射影定理，求得弦AE 的长为. 4．由正六边形的面积为18，得正六边形的边长为2，边心距为3，从而正六边形的外接圆半径为2，内切圆半径为3，故所围成的圆环面积为3π. 5．设所求正方形的边长为x ，则外接圆的半径为，正方形的一边截成的小弓形面积为，即 = 2π- 4，于是，得正方形的边长等于4.6．设正三角形的边长为a ，则内切圆半径为，外接圆半径为，高为，故内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3.7．内接正方形的边长为R ，内接正六边形的边长为R ，其比为：1.8．设圆的半径为R ，则同圆的内接正π边形和外切正n 边形的边分别为2Rsin和2Rtg ，其比为cos . 9．设正三角形的边长为a ，则内切圆半径为，外接圆半径为，其面积分别为、和，三者之比为3：π：4π . 10．求得正三角形的边长即所作正方形的边长为4，从而外接圆的半径长为2.2233;6;23a a 222a a -π552558333x 22224181x x ππ-224181x x ππ-a 63a 33a 2322n ︒180n ︒180n︒180a 63a 33243a 2121a π231a π336B 卷1．由已知得正方形的边长为2r ， 从而正方形的外接圆半径为r ，所求弓形的面积为. 2．边长为a 的正三角形的外接圆半径和内切圆半径分别为、，其周长分别为的πa 和，故它的外接圆周长是内切圆周长的2倍. 3．阴影部分面积为 4．设所求正多边形的边数为n ，则它的一个内角等于， 相应的外角等于180°- ， 则由已知，得=8×(180°-)，解之，得n = 18. 5．半径为R 的圆的内接正n 边形的边长为2Rsin ，边长距为Rcos ， 则正n 边形的面积为= 6．半径为a 的圆的内接正方形的边长为a ，即 b =a ； 边长为b 的正方形的内切圆的内接正方形的边长为b ，即 C = b ， 从而得知 a =c ，故a,b,c 三者之间的关系为：7．设正△ABC 的边长为a ，则=1，a=， 于是阴影部分的面积为π· 8．边心距×10=5()； 正六边的一边在圆上截得的弓形的面积减去三角形的面积，即 22)221(r -πa 33a 63332a π3322241)22(21)2(41a a a πππ=-︒⋅-180)2(n n ︒⋅-180)2(nn ︒⋅-180)2(n n ︒⋅-180)2(nn n ︒180n︒180n n nR n R n R n ︒⋅︒=︒⋅︒⋅⋅180cos 180sin 180cos 180sin 2212222222222c a b +=a 333))(433()3(431222cm -=⋅-π2332cm )(325350104310321222cm -=⋅-⋅⋅ππ9．图中四个半圆都通过正方形的中心，用正方形的面积减去四隙的面积，剩下的就是阴影部分的面积，而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空隙的面积，故所求阴影部分的面积为 10．设周长为a ，则正方形的正六边形的边长分别为，其面积分别为，故.22])2([22222a a a a a -=⨯⋅--ππa a 6141和222243)61(436161a a a =⋅⋅和64S S <。

圆内接正多边形
1．[2014·天津]正六边形的边心距为3，则该正六边形的边长是( )
图52－5
A. 3 B．2
C．3 D．2 3
2．如图52－6，正五边形ABCDE中，连接AC，AD，CE，CE交AD于点F，连接BF，下列说法不正确的是( )
图52－6
A．△CDF的周长等于AD＋CD
B．FC平分∠BFD
C．AC2＋BF2＝4CD2
D．DE2＝EF·CE
3．已知一个正n边形的中心角是它的一个内角的三分之一，则n＝______．4．[2014·曲靖]如图52－7，正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长是________．
图52－7
5．[2014·河北]如图52－8，边长为a 的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则
S 阴影S 空白
＝ ( )
图52－8
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6．如图52－9，正五边形ABCDE ，连接对角线AC ，BD ，设AC 与BD 相交于点O .
(1)写出图中所有的等腰三角形；
(2)判断四边形AODE 的形状，并说明理由．
图52－9
7．将固定宽度的纸条打个简单的结，然后系紧，使它成为平面的结(如图52－10)，求证：五边形ABCDE是正五边形．
图52－10
参考答案
1．B 2.B 3.8 4.2 3 5.C
6．(1)△ABO，△ABC，△BOC，△DOC，△BCD；
(2)四边形AODE是菱形．理由略．
7．略。

3.8 圆内接正多边形1．以下边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( )(1)正三角形(2)正五边形(3)正六边形(4)正八边形A．(1)(2) B．(2)(3) C．(1)(3) D．(1)(4)2．以下说法正确的选项是A．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．B．正n边形的对称轴不一定有n条．C．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．3.假设同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3，r4，r6，那么r3：r4：r6等于( )A．B．C．D．4.如图，假设正方形A1B1C1D1内接于正方形ABCD的内接圆，那么的值为〔〕A．B．C．D．5．正六边形ABCDEF内接于⊙O，图中阴影局部的面积为，那么⊙O的半径为______________________．第5题图第6题图6．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上，那么∠BEC= ．7．将一块正六边形硬纸片〔图1〕，做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒〔侧面均垂直于底面，见图2〕，需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA/H，那么∠GA/H 的大小是度．8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，那么此正方形的边长为．9．如图五边形ABCDE 内接于⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E ．求证：五边形ABCDE 是正五边形10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正四边形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCD …，点M 、N 分别从点B 、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动。

(1)求图10－1中∠APN 的度数；(2)图10－2中，∠APN 的度数是_______，图10－3中∠APN 的度数是________。

(3)试探索∠APN 的度数与正多边形边数n 的关系〔直接写答案〕第17章 一元二次方程17.1 一元二次方程◆随堂检测1、判断以下方程，是一元二次方程的有____________.〔1〕； 〔2〕； 〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕.〔提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断.〕2、以下方程中不含一次项的是〔 〕A ．B ．C ．D ．3、方程的二次项系数___________；一次项系数__________；常数项_________.4、1、以下各数是方程解的是〔 〕N 图10－1N 图10－2 A M 图10－3M 图10－4A、6B、2C、4D、05、根据以下问题，列出关于的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.〔1〕4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长.〔2〕一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长.〔3〕一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长.分析：此题是含有字母系数的方程问题．根据一元一次方程和一元二次方程的定义，分别进行讨论求解.解：〔1〕由题意得，时，即时，方程是一元一次方程.〔2〕由题意得，时，即时，方程、一次项系数是、常数项是.◆课下作业●拓展提高1、以下方程一定是一元二次方程的是〔〕A、 B、C、 D、2、是关于的一元二次方程，那么的值应为〔〕A、＝2B、C、D、无法确定3.是一元二次方程的一个解，那么的值是〔〕A．-3 B．3 C．0 D．0或34.假设是关于的方程的根，那么的值为〔〕A．1 B．2 C．-1 D．-25.根据以下表格对应值：A、 B、3.24＜C、5＜D、＜6.假设一元二次方程有一个根为1，那么_________；假设有一个根是-1，那么b与、c之间的关系为________；假设有一个根为0，那么c=_________.7.下面哪些数是方程的根？-3、-2、-1、0、1、2、3、0，求的值是多少？9.关于的方程．〔1〕为何值时，此方程是一元一次方程？〔2〕为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。

北师大版九年级数学下《 3.8 圆内接正多边形》同步习题含答案北师大版九年级数学下册第三章圆 3.8 圆内接正多边形同步习题一、选择题 (9 分×3＝27 分 )1．同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是()6364A. 2B.4C. 3D.32．周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是()A．S3＞S4＞S6B．S6＞S4＞S3C．S6＞S3＞S4D．S4＞S6＞S33．如图，△PQR是⊙ O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙ O的内接正方形， BC∥QR，则∠ AOQ的度数为()A．60° B．65°C．72° D．75°二、填空题 (9 分×2＝18 分 )4．点 M 、N 分别是正八边形相邻的边 AB 、BC 上的点，且 AM ＝BN，点 O 是正八边形中心，则∠ MON ＝____________．,第 4 题图 ),第 5 题图 )5．如图，在正八边形ABCDEFGH 中，四边形 BCFG 的面积为 20cm2，则正八边形的面积为 _______cm2.三、解答 (17 分＋ 18 分＋ 20 分＝ 55 分)6．学完正多形和后，在生共同小与，下面有几位同学了自己的想法．以上三位同学的意，自己的想法．7．如，已知 l 是⊙ O 的切，切点 A，点 B 在⊙ O 上，BC 交⊙ O 于 E，交直 l 于 C，OC 交⊙ O 于 F，且 AB ＝AO＝AC.一同学通量猜， EF ⊙ O 的内接正二十四形的一，你他的猜正确，你明；若你他的猜不正确，明理由．8．如 1，2，3，⋯，n，M 、N 分是⊙ O 的内接正三角形 ABC ，正方形 ABCD ，正五形 ABCDE ，⋯，正 n 形 ABCDE⋯的 AB 、BC 上的点，且BM ＝CN，接 OM 、ON.(1)求 1 中∠ MON 的度数；(2) 2 中∠MON 的度数是 _______； 3 中∠ MON 的度数是 ________；(3)探究∠ MON 的度数与正 n 形数 n 的关系 (直接写出答案 )．答案：1. A2. B3. D4.45°5.406.解：矩形不一定是正多边形，因为其各边不一定都相等，菱形不一定是正多边形，因为其各角不一定相等，正方形是正多边形；圆内接菱形是正方形，因为菱形各边相等，且各边所对的弧也相等，可推出其各内角也都相等；正多边形是轴对称图形，但不一定是中心对称图形．7.解：猜测正确．证明：连接 OE.∵AB ＝AO ＝AC ，又 OB＝OA ，∴△ OAB 为等边三角形，∴∠ OAB ＝60°，由∴∠ ABC ＝∠ACB ＝15°，∴∠ AOE＝30°，由l切⊙O 于 A 得 OA⊥l ，OA ＝CA，OA⊥AC 得∠A OC＝45°，360°∴∠ EOF＝15°，而＝24，15°故EF 为⊙O 的内接正二十四边形的一边．8.解：(1)连接 OB、OC.∵正△ ABC 内接于⊙ O，∴∠ OBM ＝∠ OCN＝30°，∠BOC＝120°，又∵ BM ＝CN，OB ＝OC，∴△ OBM ≌△ OCN，∴∠ BOM＝∠ CON，∴∠ MON ＝∠ BOC＝120°(2)90 ° 72°360°(3)∠MON ＝n。

北师大版九年级数学下册：3.8《圆内接正多边形》教学设计一. 教材分析《圆内接正多边形》是北师大版九年级数学下册第3.8节的内容，本节主要让学生了解圆内接正多边形的概念及其性质，学会用数学方法证明圆内接正多边形的性质，并能够运用这些性质解决一些实际问题。

教材通过引导学生在探究圆内接正多边形的过程中，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了多边形的性质，对圆的相关知识也有所了解。

但学生对圆内接正多边形的概念和性质认识尚浅，需要通过实例和证明来加深理解。

此外，学生可能对证明圆内接正多边形性质的方法感到困惑，需要教师引导和启发。

三. 教学目标1.了解圆内接正多边形的概念及其性质。

2.学会用数学方法证明圆内接正多边形的性质。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

4.能够运用圆内接正多边形的性质解决实际问题。

四. 教学重难点1.圆内接正多边形的概念及其性质。

2.如何证明圆内接正多边形的性质。

3.圆内接正多边形性质在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、启发引导学生思考和探究圆内接正多边形的性质。

2.示例法：教师通过展示实例，让学生理解圆内接正多边形的性质。

3.证明法：教师引导学生运用已学知识证明圆内接正多边形的性质。

4.练习法：学生通过做练习题，巩固对圆内接正多边形性质的理解。

六. 教学准备1.教学PPT：包含圆内接正多边形的概念、性质、证明方法及实际应用。

2.练习题：针对圆内接正多边形性质的习题，包括选择题、填空题和解答题。

3.教学黑板：用于板书关键点和证明过程。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾多边形的性质，为新课的学习做好铺垫。

例如：“我们已经学习了多边形的哪些性质？这些性质如何应用到实际问题中？”2.呈现（10分钟）教师利用PPT呈现圆内接正多边形的概念和性质，让学生初步了解。

同时，通过示例法，展示圆内接正多边形的性质在实际问题中的应用。

3.8圆内接正多边形同步练习一、选择题1．⊙O的内接正三角形和外切正方形的边长之比是（）A．：2 B．1：1 C．1：D．：2．半径为R的圆内接正三角形的面积是（）A．R2B．πR2C．R2D．R2 3．边长为a的正六边形的内切圆的半径为（）A．2a B．a C．D．4．如图，△ABC和△DEF分别是⊙O的外切正三角形和内接正三角形，则它们的面积比为（）A．4 B．2 C．D．5．边长相等的正三角形和正六边形的面积之比为（）A．1：3 B．2：3 C．1：6 D．1：6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为（）A．2 B．2C．D．47．正方形的边长为2，则正方形外接圆的半径是（）A．1 B．C．D．28．若正六边形外接圆的半径为4，则它的边长为（）A．2 B．C．4 D．9．边长为2的正方形内接于⊙M，则⊙M的半径是（）A．1 B．2 C．D．10．正六边形的半径为6cm，则该正六边形的内切圆面积为（）A．48πcm2B．36πcm2C．24πcm2D．27πcm2 11．如果一个圆的内接正六边形的周长为30cm，那么圆的半径为（）A．6 B．5 C．4 D．312．若正六边形的边长等于4，则它的边心距等于（）A．4 B．2 C．2D．13．若正六边形的边长为4，则它的内切圆面积为（）A．9πB．10πC．12πD．15π14．如图，⊙O的内接正六边形的面积为6cm2，则⊙O的周长为（）A．πcm B．B2πcm C．4πcm D．8πcm二、填空题15．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为（﹣1，0），则点C的坐标为．16.如图，⊙O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为cm2．（结果保留π）三、解答题17．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上（不与C点重合）．（1）求∠BPC的度数；（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．18．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD＝5cm，求⊙O的半径R．。