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第8讲 正弦定理和余弦定理的应用举例1.两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A ．北偏东10° B ．北偏西10° C ．南偏东80° D ．南偏西80°解析：选D.由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．(2016·郑州模拟)已知A 、B 两地间的距离为10 km ，B 、C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( ) A ．10 km B ．103km C ．10 5 km D ．107 km 解析：选D.如图所示，由余弦定理可得：AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700， 所以AC ＝107(km)．3．(2016·唐山模拟)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ，则cos ∠DAC ＝( )A.1010B.31010 C.55D.255解析：选 B.由已知条件可得图形，如图所示，设CD ＝a ，在△ACD 中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC ×cos ∠DAC ，所以a 2＝(2a )2＋(5a )2－2×2a ×5a ×cos ∠DAC ， 所以cos ∠DAC ＝31010.4．(2016·淮北质检)如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 解析：选B.依题意可得AD ＝2010(m)，AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22， 又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. 5．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h 解析：选B.设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2. 6．(2014·高考四川卷)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析：选C.如图，在△ACD 中，∠CAD ＝90°－30°＝60°，AD ＝60 m ，所以CD ＝AD ·tan 60° ＝603(m)．在△ABD 中，∠BAD ＝90°－75°＝15°，所以BD ＝AD ·tan 15°＝60(2－3)(m)． 所以BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3) ＝120(3－1)(m)．7．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°，距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为______海里/小时．解析：由题意知，在△PMN 中，PM ＝68海里，∠MPN ＝75°＋45°＝120°，∠MNP ＝45°.由正弦定理，得MNsin 120°＝68sin 45°，解得MN ＝346海里，故这只船航行的速度为3464海里/小时＝1762海里/小时．答案：17628．某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________km.解析：由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin 30°＝AB sin 45°，所以BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝3 2.答案：3 29．(2016·佛山一模)如图，为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B 、C ；并测量得到：CD ＝2，CE ＝23，∠D ＝45°，∠ACD ＝105°，∠ACB ＝48.19°，∠BCE ＝75°，∠E ＝60°，则A 、B 两点之间的距离为________.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 48.19°取23 解析：依题意知，在△ACD 中，∠A ＝30°，由正弦定理得AC ＝CD sin 45°sin 30°＝22，在△BCE中，∠CBE ＝45°，由正弦定理得BC ＝CE sin 60°sin 45°＝32，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝10， 所以AB ＝10，即A 、B 两点之间的距离为10. 答案：1010．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.解析：根据题图，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得AC sin 45°＝AMsin 60°⇒AM ＝100 3 m.在△AMN 中，MNAM＝sin 60°，所以MN ＝1003×32＝150(m)． 答案：15011.某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D .求AB 的长度．解：在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5.在△ABD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝72＋72－AB 22×7×7.由∠C ＝∠D 得cos C ＝cos D ，解得AB ＝7，所以AB 的长度为7米． 12．(2016·贵阳监测考试)如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos B ＝33. (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长． 解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos B ＝33， 所以cos D ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝－13.因为∠D ∈(0，π)， 所以sin D ＝1－cos 2D ＝223. 因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin D ＝12×1×3×223＝ 2.(2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ＝12，所以AC ＝2 3. 因为BC ＝23，AC sin B ＝ABsin ∠ACB，所以23sin B ＝AB sin （π－2B ）＝AB sin 2B ＝AB 2sin B cos B ＝AB 233 sin B sin B ，所以AB ＝4.。
正弦、余弦定理及解三角形【考纲要求】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 【知识网络】【考点梳理】要点一、三角形中的边与角之间的关系约定：ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c . 1．边的关系：(1) 两边之和大于第三边：a b c +>，a c b +>，c b a +>；两边之差小于第三边：a b c -<，a c b -<，c b a -<； (2) 勾股定理：ABC ∆中，22290a b c C +=⇔=︒. 2．角的关系：ABC ∆中，A B C π++=,222C B A ++=2π （1）互补关系：sin()sin()sin A B C C π+=-= cos()cos()cos A B C C π+=-=- tan()tan()tan A B C C π+=-=-（2）互余关系：sinsin()cos 2222A B C Cπ+=-= cos cos()sin 2222A B C C π+=-=tan tan()cot 2222A B C C π+=-=3．直角三角形中的边与角之间的关系Rt ABC ∆中，90C =︒（如图），有： c cC c b B c a A ====1sin ,sin ,sin ， cos ,cos ,cos 0b aA B C c c===.要点二、正弦定理、余弦定理应用解三角形正弦定理 余弦定理1.正弦定理：在—个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即：2sin sin sin a b c R A B C ===（R 为ABC ∆的外接圆半径）⇒⎪⎩⎪⎨⎧===CR c B R b AR a sin 2sin 2sin 22. 余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第八节正弦定理和余弦定理的应用课时作业编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第八节正弦定理和余弦定理的应用课时作业）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第八节正弦定理和余弦定理的应用课时作业A组——基础对点练1．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（)A．50 m B．100 mC．120 m D．150 m解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC ＝h,AB＝100，BC＝错误!h，根据余弦定理得，（错误!h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即（h－50）（h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m。
答案：A2．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的（）A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东80° D．南偏西80°解析:由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.答案:D3．如图,设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°,∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为( )A．50 2 m B．50 3 mC．25错误! m D．错误! m解析：由正弦定理得错误!＝错误!,∴AB＝错误!＝错误!＝50错误!,故A，B两点的距离为50错误! m.答案：A4．（2018·昆明市检测)在△ABC中，已知AB＝错误!，AC＝错误!,tan∠BAC＝－3，则BC边上的高等于（）A．1 B．错误!C. 3 D．2解析:因为tan∠BAC＝－3，所以sin∠BAC＝错误!，cos∠BAC＝－错误!.由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝5＋2－2×5×2×（－错误!）＝9，所以BC＝3,所以S△ABC＝错误!AB·AC sin∠BAC＝错误!×错误!×错误!×错误!＝错误!,所以BC边上的高h＝错误!＝错误!＝1，故选A。
高考总复习高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解一、选择题在观察，灯塔A与海洋观察站C(2010·广东六校的距离都等于)a两座灯塔km A和1B．的距离为A与灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔站C的北偏东20°，灯塔B)()km.( B.2a A．aD.3 a C．2aD答案][. ＝120°][解析依题意得∠ACB由余弦定理ABBC－＋222AC＝cos120°BC·2AC AC·BC cos120°－∴AB＝AC＋BC22221??－a2＝＝3aa＋a－2222??2D.故选＝∴AB3a.π3”是“∠A>”的(sin(2．文)(2010·广东佛山顺德区质检)在△ABC中，“A>) 23B．必要不充分条件．充分不必要条件AD．既不充分也不必要条件C．充要条件A[答案]ππ33，则∠A>，反之∠A>时，不一定有sin A>，如A＝>[解析A中，若在△ABC sin]2332π5π5π1＝sinsin A时，sin＝＝. 2666) ”的cos bB(＝cos”是“＝则“baBA中，在△理()ABC角、所对的边长为、，abaA．必要不充分条件．充分不必要条件A B D C．充要条件．既不充分也不必要条件A]答案[ ＝A时，＝当]解析[abB，cos＝A cos∴abB；＝cos a当A cos bB时，由正弦定理得A·A sincos·B sin＝B cos，含详解答案．高考总复习AB＝，∴sin2sin2 2B，或2A∴2＝Aπ＝－2Bπ＝A＋B∴A＝B或.2c＋b＝则a＝b或a222.B”，cos A＝b cos所以“a＝b”?“a A.”，故选/ “a＝ba“cos A＝b cos B”?，＝120°C两地的距离为20km，观测得∠ABC．已知A、B两地的距离为10km，B、3)则AC两地的距离为(3km B. A．10km7km5km ．10 DC．10D][答案，由余弦定120°ABC[解析]如图，△中，AB＝10，BC＝20，∠B＝理得，＝AB＋BC－2AB·BC·cos120°222AC1??－×10××2010，＝＋20－2＝70022??2D.∴选＝107km.∴ACbc－A2的ABCB、C的对应边)，则△在△4．(文)ABC中，sin、＝(ab、c分别为角A、c22)形状为(B ．直角三角形．正三角形AC．等腰直角三角形D．等腰三角形B [答案]b－cos Ac1－bA＝cos A，＝＝，∴2sin[解析]c22c2a＋c－222bb B.c，故选，∴a＋b＝∴＝222c2bc22的最大值为cos C＋，则cos A＋cos B中，河北邯郸(理)(2010·)在△ABC sin＋A cos＝B1)(5 2 A. B.43 1 D. ．C2含详解答案．高考总复习D答案][2222，∴sin BA＝sin[解析]∵sin A＋cos，B＝1. ＝B sin A＝sin B，∴A∵0<A，B<π，∴cos2A cos C ＝2cos A－故cos A＋cos B＋31 ，＋＝－2cos22)2(cos A－1A＋2cos A＋＝－22π31时，取得最大值＝0<cos A<1，∴cos A∵0<A<，∴.222的对边分别为C，角A、B、5．(文)(2010·广东汕头一中)已知△ABC的外接圆半径为R22) ，那么角C的大小为()＝(2a－b)sin a、b、c，且2R(sin－A sin BCππ B. A. 232ππ C. D. 34C[答案] ，2ab－－cb＝222a][解析由正弦定理得，c－＋b222a2 ，cos C＝＝∴22ab π＝，∴C0<C<π∵.4122，cos＝A为锐角，若sin AA－Ba、b、c是△ABC三内角A、、C的对边，且(理)已知2)则(B．b＋c≤2．b＋c<2a a AD ．b C．b＋c＝2a＋c≥2aB][答案11 ，＝－，∴cos2A22＝A][解析∵sin A－cos22 ，120°BA又A为锐角，∴＝60°，∴＋C＝C＋BCB－cos2sin C sin Bcb＋sin＋22＝∴＝Aa2sin23CB－cos＝.≤1，∴a2cb＋≤235) ．6(2010·cos则，B sin＝A已知中，ABC在△)北京顺义一中月考cos，＝C(的值为513含详解答案．高考总复习5616 A. B. 6565561616 C. D．－或656565A答案][3512 B，sin B，∴A>＝，∴sin A＝>∵cos A＝[解析]5131343)]＋B＝cos[π－(AB＝，∴cos B＝，∴cos C sin∵5516＝cos BB－cos A cos(A＋B)＝sin A sin＝－.65.BB?A>A点评]在△ABC中，有sin>sin[，又测得塔100m D测得一电视塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进7．在地面上一点)________m．(尖的仰角为60°，则此电视塔高约为227 ．237 B．A257D247 C．．A][答案＝100，∠DAC＝15°，，∠[解析]如图，∠D＝45°ACB＝60°，DC sin45°DC·＝，∵AC sin15°sin60°＝AC·AB∴sin60°sin45°100·＝sin15°32××10022＝A.237.∴选≈26－4π＝acb、c成等差数列，且B)在△ABC中，∠＝，三边长a、(8．文)(2010·青岛市质检3)b的值是(6，则 B.3 2 A.6C.5D.D][答案a＋＋＝ac2ac＝＋c12＋，22222b＝ba4，∴＋c2解析[]由条件b＋c－＋cb－222222aa1 ＝，，∴B又cos＝122ac2 ，＋＝c＋∴a6b222含详解答案．高考总复习6.4，∴bb＝∴＝18＋b22，ac＝的内角)△ABCA、B、C的对边分别为a、b、、c.若ab2、c成等比数列，且(理)＝(则cos B31 B. A. 4422 C. D.43B][答案，2a＝ac，又∵c＝2bca、b成等比数列，∴、解析[]∵a4a－－b＋2＋c222222aa3＝＝2a，∴cos B＝＝∴b22.42aca×22a在知识的交汇处命题是高考命题的基本原则．本题融数列与三角函数于一体，[点评]三角函数等内容余弦定理、等比数列等基础知识．同时也体现了数列、集中考查正弦定理、是高考中的热点问题，复习时要注意强化．的双曲线，若△为焦点，且经过点A9．如图所示的曲线是以锐角△ABC的顶点B、C3sin Ac)(＝6，＝，b、c，且a则此双曲线的离心率为＝4，b、ABC的内角的对边分别为a2a773－3＋B. A. 22 ．3－7 ．D3 ＋7CD ][答案π33accc sin A，为锐角，所以C＝＝＝＝，因为C＝?[解析]sin C?C23sin Aa2sin3217 228，∴c＝×＋46－2×46×＝cos－a由余弦定理知c＝＋b2abC＝2222226a7.＝3＋＝∴e＝7－26b－c22yx在双曲P的两个焦点，b>01(＝－是双曲线、F))(2010·(10．文山东济南设Fa，>0)2122ba含详解答案．高考总复习→→→→)(c为半焦距)线上，若，则双曲线的离心率为PF·PF＝0，|PF|·|PF|(＝2ac212113＋3－1 A.B. 221＋5 2 D. C ．2D答案][＝PF(|＝|PFF，根据双曲线定义得：4a＝＋|22222|)|由条件知，|PF|－|F||[解析PF]221112，4ac4－ac＝4c－＋|PF－2|PF2222|F||F＝||·|PF||PF212112，－e＝＝00，∴1＋e∴aac＋－c2221＋5＝ee>1，∴∵.21C→→→→→，)＝0AB·(CA＋CB·安徽安庆联考)如图，在△ABC中，tan＝，AHBC＝0，(理)(2010·22)(以A、H为两焦点的双曲线的离心率为经过点B15＋1 5－ A. B. 215－ 1 D.C.5 ＋2A][答案→→，，∴AH⊥BC＝0BC∵]AH·[解析C2tan2AH4C1 ＝＝，C∵tan＝，∴tan＝CH2C322tan1－2→→→CBAB＋又∵，CB0，∴CA·(CA＝)＝??180°－CAHC 2＝，＝cottan∴B＝tan＝??BH2??23＝CH2x，∴＝＝设BHx，则AHAB＝22AHC，由条件知双曲线中5ABx，＝x2＝＝x,a2含详解答案．高考总复习1)x，(－5BH－＝15＋2c A.＝＝，故选∴e＝2a15－二、填空题CABC，测得∠．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B和对岸标记物11 ________米．AB＝120米，则河的宽度为30°＝，∠CBA＝45°，1)－]答案60(3[ ＝30°，－＝120x，又∵∠CAB则于⊥ABD，设BD＝x，CD＝x，AD点作][解析过CCD3x 1)．＝，解之得，x60(3－∴＝3x－120位于BA，B，灯塔如图，海岸线上有相距12．(2010·福建三明一中)5海里的两座灯塔相距A的北偏西75°方向，与灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A则两艘轮船处．海里的B相距5C与B海里的32D处；乙船位于灯塔的北偏西60°方向，海里．之间的距离为________13答案][ ，＝，＝如图可知，∠][解析ABC60°ABBC含详解答案．高考总复习DAC45°BAC∴＝AC＝＝60°5，，∠，从而∠AD，∴由余弦定理得，＝3又213. ·cos45°2＝AD·AC＋AC－22AD＝CD，、cC所对的边分别是a、b山东日照模拟)在△ABC中，三个内角A、B、文13．()(2010·π________.b＝的面积等于3，则a＋已知c＝2，C＝，△ABC34][答案π1 4，3，∴ab＝＝sin由条件知，ab[解析]324－＋b22aπ，∵cos＝ab23 ，8＝16b＋2ab ＝8＋＋a∴＋b＝8，∴(a＋b)＝a222224.＝a＋b∴1222，a＝a10)，、c，面积S＝(bc＋若－、)(理在△ABC中，角A、BC的对边分别为a、b4 的最大值是______．则bc2＋50[答案]10011ac－＋222 )b，bc sin A＝([解析]由题意得，42π100又根据余弦定理得A＝，sin A ＝cos A，∴∠bc＝∴ab＋c－2sin A，结合余弦定理得，22241002.＋50，∴bc≤＝1002－＝b＋c2bc≥2bc－bc2222－海里的灯塔恰10)(2010·山东日照)一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距文14．(方向上，另一60°好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西小时．________海里/灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是10答案][v3＝AC，，v＝[解析]设该船的速度为v海里AD/小时，如图由题意知，22tan30°tan45°＋＋3，2＝∵tan75°＝tan30°－1tan45°含详解答案．高考总复习v3＋102AB10. ＝＝，解得v tan75°＝，∴2＋3又vAD2的方位角为A处测得某岛M)(理)(2010·合肥质检如图，一船在海上自西向东航行，在范围n km角，后在B处测得该岛的方位角为北偏东β已知该岛周围北偏东α角，前进m km 时，该船没有触礁危险．α与满足条件β________内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行．当)β>n cossin(α－β[答案]m cosαAMBAMB＝90°－α＋∠AMB－∠MAB＝90°α，∠MBC，∴∠＝90°－β＝∠MAB＋∠[解析] ＝α－β，αBMmm cos，BM＝ABM中，根据正弦定理得＝，解得由题可知，在△?－βsin?ααsin?90°－α?sin?－β?βαcos m cos＝)sin(90°－βBM要使船没有触礁危险需要α>n sin(α>n，所以α与β满足m coscosβ?β?αsin－)－β时船没有触礁危险．三、解答题AB＋cos bA、B、C所对的边，且ab15．(2010·河北唐山)在△ABC中，a、、cos c分别是角1.＝；求c(1)→→CB的最大值．B)＝－3，求CA·＋(2)若tan(A 1及正弦定理得，＋b cos A＝由[解析](1)a cos BB sin cc sin A 1，＋·cos A·＝cos BC sin C sin ，＝sin CB∴c sin(A＋) 0，)＝sin C≠C)sin(又A ＋B＝sin(π－1.＝∴c2π，＝A<π＋0<3)＋tan((2)∵AB＝－，AB，∴＋B3含详解答案．高考总复习π＝B∴)C＝π－(A＋.3 由余弦定理得，ab－ab≥2ab－ab＝＝＝a＋b－2ab cos Ca＋b2222211→→→→，＝2CA，∴CA≤·CB·CB2 ＝1时取“＝”号．当且仅当a＝b1→→的最大值是CA所以，.·CB2由于地形的C)广东玉湖中学如图，要计算西湖岸边两景点B与16．(的距离，文)(2010·＝14km，∠BAD＝10km，AB＝限制，需要在岸上选取A和⊥D两点，现测得ADCD，AD＝，30.1km)．参考数据：2＝1.414＝，∠BCD135°，求两景点B与C的距离(精确到60°2.236.5＝1.732，，xABD中，设BD＝[解析]在△，cos∠BDAADBD＋AD－2BD·则BA＝222·cos60°，－x＋102·10x14即＝222 0，＝－10x－96整理得：x2x解之得，)，x＝－6(舍去16＝，21由正弦定理得，BDBC，＝BCD∠∠CDB sinsin16＝∴BC11.3(km)82≈·sin30°＝sin135°11.3km.C的距离约为答：两景点B与经规划调长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．理)(2010·湖南十校联考)(是原R的圆面．该圆的内接四边形ABCD研确定，棚改规划建筑用地区域可近似为半径是2CD6BC4ADAB棚户建筑用地，测量可知边界＝＝万米，＝万米，＝万米．含详解答案．高考总复习R的值；(1)请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径可以调整．为了提高、BC(2)因地理条件的限制，边界AD、CD不能变更，而边界AB，使得棚户区改造的新建筑用地上设计一点P棚户区改造建筑用地的利用率，请在ABC APCD的面积最大，并求出其最大值．，由余弦ACABCD[解析](1)因为四边形内接于圆，所以∠ABC＋∠ADC＝180°，连接定理：＋＝46－2×4×6cos∠ABC222AC.＝4∠ADC×2×4cos＋2－222＝∠ABC∴cos.＝60°π)，∴∠ABC.∵∠ABC∈(0，211＝S则×sin60°＋sin120°6×4××2×4×ABCD四边形22 ＝83(万平方米)．中，由余弦定理：在△ABC∠ABC·2ABBC·cos AB＝＋BC－222AC17.＝2＝28AC，故＝16＋36－2×4×6×2 由正弦定理得，21212AC724＝R＝＝，∴(2R万米＝)．333ABC sin∠2 ＝S＋S，S(2)APC△APCD△ADC四边形1＝3.2CD·sin120°＝SAD·ADC△2 ＝，y，设AP＝xCP31则S＝xy·sin60°＝xy.APC△24又由余弦定理：AC＝x＋y－2xy cos60°222＝x＋y－xy＝28.22含详解答案．高考总复习.xy－≥2xyxy∴＝x＋y－xy22时取等号．28，当且仅当x＝y∴xy≤33＋＝23S∴时面积最大，其最大面积y，即当x＝＝xy≤23＋×2893APCD四边形44 万平方米．为93处各有一个CB、．17(2010·上海松江区模拟)如图所示，在一条海防警戒线上的点A、收到发自静止B50千米．某时刻，水声监测点，B、两点到点CA的距离分别为20千米和同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度CA、目标P的一个声波信号，8秒后秒．千米/是1.5的值．的距离，并求x的距离为(1)设A到Px千米，用x表示B、C到P千米)．(2)求P到海防警戒线AC的距离(结果精确到0.01 ，PC＝[解析](1)依题意，有PxA＝12. ＝x－1.5PB＝x－×820中，＝AB在△PAB?12?x＋AB－PB＋20－－222222xAP＝＝P cos AB∠20x2·2PAAB323x＋＝x550 ＝AC中，AC同理，在△Px＋PC50－＋AC－222222xPA25 ＝＝，＝AC cos∠Px·50A·AC2x2P，cos∠PACAB∵cos∠P＝32＋3x2531.x＝，解之得，＝∴x5x ADP中，⊥AC于D，在△PD(2)作25 得，PAD＝∠由cos31214 ，AD∠P ＝2cos1ADP∠sin＝－31含详解答案．高考总复习21431·＝421≈∠APD＝18.33千米，sin PPD∴＝A31答：静止目标P到海防警戒线AC的距离为18.33千米．含详解答案．。
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课时提升作业(二十三)一、选择题1.某水库大坝的外斜坡的坡度为,则坡角α的正弦值为( )(A) (B) (C) (D)2.(2013·太原模拟)如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别是β,α(α<β),则A点离地面的高度AB等于( )(A) (B)(C) (D)3.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=,则S△ABC等于( )(A) (B) (C) (D)24.(2013·咸阳模拟)如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的山坡向山顶走 1 000米到达S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为( )(A)500m (B)200m (C)1 000m (D)1 000m5.(2013·榆林模拟)如图,一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与货轮相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行,30分钟后又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮航行的速度为( )(A)20(+)海里/小时(B)20(-)海里/小时(C)20(+)海里/小时(D)20(-)海里/小时6.从某电视塔的正东方向的A处,测得塔顶仰角是60°,从电视塔的西偏南30°的B处,测得塔顶仰角为45°,A,B间距离是35m,则此电视塔的高度是( )(A)5m (B)10m(C)m (D)35m二、填空题7.(2013·延安模拟)在△ABC中,A=60°,AC=8,S△ABC=4,则BC= .8.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距m.9.(能力挑战题)如图,一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°方向上,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,且与灯塔S相距8n mile.此船的航速是32n mile/h,则灯塔S对于点B的方向角是.三、解答题10.(2013·宜春模拟)在△ABC中,sin(C-A)=1,sinB=.(1)求sinA的值.(2)设AC=,求△ABC的面积.11.如图,某观测站C在城A的南偏西20°的方向,从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路,在C处观测到距离C处31km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去,行驶了20km后到达D处,测得C,D两处的距离为21km,这时此车距离A城多少千米?12.(能力挑战题)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.答案解析1.【思路点拨】坡角的正切值是坡度,故利用此关系可解.【解析】选B.由tanα=,得sinα=cosα,代入sin2α+cos2α=1,得sinα=.2.【解析】选A.由已知得∠DAC=β-α,由正弦定理得,=,所以AC==,故AB=AC·sinβ=.3.【思路点拨】由角A,B,C依次成等差数列可得B,由正弦定理得A,从而得C,再用面积公式求解即可.【解析】选C.∵角A,B,C依次成等差数列,∴A+C=2B,∴B=60°.又a=1,b=,∴=,∴sinA==×=.又∵a<b,∴A<B,∴A=30°,∴C=90°.∴S△ABC=×1×=.【变式备选】在△ABC中三条边a,b,c成等比数列,且b=,B=,则△ABC的面积为( )(A) (B) (C) (D)【解析】选C.由已知可得b2=ac,又b=,则ac=3,又B=,∴S△ABC=acsinB=×3×=.4.【解析】选D.∵∠SAB=45°-30°=15°,∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°-(90°-75°)=30°,在△ABS中,AB===1000,∴BC=AB·sin45°=1000×=1000(m).5.【解析】选B.由题意知SM=20,∠SNM=105°,∠NMS=45°,∴∠MSN=30°.在△MNS中利用正弦定理可得,=,∴MN==10(-)(海里),∴货轮航行的速度v==20(-)(海里/小时).6.【思路点拨】画出示意图,将条件转化为三角形的边和角,然后利用三角函数和余弦定理求解.【解析】选A.作出示意图(如图所示).设塔高为hm.在Rt△AOC中,tan∠OAC=,∴OA===.在△AOB中,∠AOB=150°,OB=h,AB=35.由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB,即352=()2+h2-2×·h·cos150°,整理得h2=352,解得h=5.【方法技巧】测量高度的一般思路解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用的三角形,准确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相对应;分清已知和待求的关系,正确地选择定理和公式,特别注意高度垂直地面构成的直角三角形.7.【解析】由条件知S△ABC=bcsinA=bc·sin60°=bc=4.∴bc=16.又b=AC=8,∴c=2.由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA=82+22-2×8×2cos60°=52.∴a=2,即BC=2.答案:28.【解析】如图,OM=OAtan45°=30,ON=AOtan30°=30×=10,由余弦定理得MN===10(m).答案:109.【解析】由已知可得,AB=32n mile/h×h=16 n mile,BS=8n mile,∠BAS=30°,由正弦定理得=,∴sin∠ASB===.又0°<∠ASB<180°,得∠ASB=45°或135°,若∠ASB=45°,则∠ABS=105°,此时,S在点B的北偏东75°方向上;若∠ASB=135°,则∠ABS=15°,此时,S在点B的南偏东15°方向上.答案:北偏东75°或南偏东15°【方法技巧】测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离.(2)用正弦定理或余弦定理解三角形.(3)将解得的结果转化为实际问题的解.同时注意把所求量放在有关三角形中,有时直接解此三角形时条件不具备,需要先在其他三角形中求解相关量.10.【解析】(1)∵在△ABC中,A,B,C∈(0,π),而sin(C-A)=1,∴C-A=,即C=A+,∴sinB=sin(A+C)=sin(2A+)=cos2A=1-2sin2A=.∴sinA=.(2)在△ABC中,由正弦定理得:=,即=,得BC=3.又由sinC=sin(A+)=cosA==,∴S△ABC=AC·BC·sinC=××3×=3.11.【解析】在△BCD中,BC=31,DB=20,DC=21,由余弦定理得cos∠BDC===-.所以cos∠ADC=,故sin∠ADC=.在△ACD中,由条件知CD=21,∠BAC=60°,所以sin∠ACD=sin(60°+∠ADC)=×+×=.在△ACD中,由正弦定理得=,即=,所以AD=×=15(km).所以此车距离A城15千米.12.【思路点拨】第(1)问建立航行距离与时间的函数关系式.第(2)问建立速度与时间的函数关系式.【解析】(1)设相遇时小艇航行的距离为s海里,则s===,故当t=时,s min=10(海里),此时v==30(海里/时),即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B处相遇,则v2t2=400+900t2-2·20·30t·cos(90°-30°),故v2=900-,∵0<v≤30,∴900-≤900,即-≤0,解得t≥.又t=时,v=30海里/时,故v=30海里/时时,t取得最小值,且最小值等于.此时,在△OAB中,有OA=OB=AB=20海里,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30°,航行速度为30海里/时,小艇能以最短时间与轮船相遇.关闭Word文档返回原板块。
高考总复习高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解一、选择题1．(2021聊·城市、银川模拟)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且sin 2A －sin 2C ＝(sinA －sinB)sinB ，那么角C 等于( )π πA.6B.3 5π2π C.6 D.3[答案] B[解析] 由正弦定理得a 2－c 2＝(a －b)·b，2 2 2由余弦定理得cosC ＝a ＋b －c ＝1，2ab 2π∵0<C<π，∴C＝ .32．(文)(2021泰·安模拟)在△ABC 中，假设A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，那么角B 的大小为()A ．30°B ．45°C ．135°D ．45°或135°[答案] B[解析] ∵AC·sin60＝°43＝26<42<43，故△ABC 只有一解，由正弦定理得，2×22＝43，sinBsin60°sinB ＝22，∵42<43，∴B<A ，∴B ＝45°.π(理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是 a 、b 、c ，A ＝，a ＝3，b ＝1，那么c ＝()3 A ．1B ．2C.3－1D.3[答案]B3[解析] ∵bsinA＝2<1< 3，∴此题只有一解．∵a＝ π3，b ＝1，A ＝，3∴根据余弦定理，cosA ＝ b 2＋c 2－a 2 ＝ 1＋c 2－3 12bc 2c ＝，2解之得，c＝2或－1，∵c>0，∴c＝2.应选B.含详解答案高考总复习3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，假设a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，那么角A 的取值范围是()πππA. 0，4B. ，42π3πππC. ，4D. ，4 43[答案]A[解析]由条件知bsinA<a ，即22，2sinA<2，∴sinA<2∵a<b ，∴A<B ，∴A 为锐角，∴ π0<A< .4[点评]如图，AC ＝2 2，以C 为圆心 2为半径作⊙C ，那么⊙C上任一点(⊙C 与直线AC 交点除外)可为点B 构成△ABC ，当AB 与ππ⊙C 相切时，AB ＝2，∠BAC ＝ 4，当 AB 与⊙C 相交时，∠BAC<4，因为三角形有两解，所以直线πAB 与⊙C 应相交，∴0<∠BAC< .44．(2021湖·南理)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c.假设∠C ＝120°，c＝2a ，那么()A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定[答案]A[解析] ∵∠C ＝120°，c ＝2a ，c 2＝a 2＋b 2－2abcosCa 2－b 2＝ab ，又∵a>0，b>0，∴a －b ＝aba ＋b >0，所以a>b.5．(文)(2021天·津理)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，假设a2－b 2＝3 bc ，sinC ＝ 23sinB ，那么A ＝()A ．30 °B ．60°C ．120°D ．150°[答案]Ab 2＋c 2－a 2[解析]由余弦定理得： cosA ＝，2bcsinC ＝23sinB ，∴c ＝23b ，∴c 2＝23bc ，又∵b 2－a 2＝－ 3bc ，∴cosA ＝23，又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，应选A.含详解答案高考总复习(理)(2021山·东济南)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为222a 、b 、c ，假设(a ＋c －b)tanB＝3ac ，那么角B 的值为()ππA.6B.3 π5ππ2πC.或6D. 或36 3[答案] D[解析]222)tanB ＝a 2＋c 2－b 2 3，再由余弦定理cosB ＝由(a ＋c －b 3ac 得，ac·tanB ＝a 2＋c 2－b 23π2π2ac 得，2cosB ·tanB ＝3，即sinB ＝2 ，∴角 B 的值为 3或3，故应选D.6．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果 a 、b 、c 成等差数列，∠B＝30°，△ABC 的面积为 ，那么b 为()A ．1＋ 3B ．3＋33＋3D ．2＋3C.3[答案]C[解析]11，∴ac ＝2，2acsinB ＝2又2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝4b 2－4，3＋3由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accosB 得，b ＝3 .7．(2021厦·门市检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，假设角A 、B 、C 依次成等差数列，且 a ＝1，b ＝3，那么S △ABC 等于()A.2B. 33C.2D ．2[答案] C[解析]∵A 、B 、C 成等差数列，∴B ＝60°，3∵b＝a，∴sinA ＝asinB＝ 1×2＝1，sinB sinAb3 21A ＝30°或A ＝150°(舍去)，∴C ＝90°，3S △ABC＝2ab ＝2.2B＝ a ＋c8．(2021山·师大附中模考 )在△ABC 中，cos 2 2c (a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，那么△ABC 的形状为( )含详解答案高考总复习A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形[答案] A[解析]∵cos 2B ＝a ＋c，∴1＋cosB ＝sinA ＋sinC，22c22sinCsinCcosB ＝sinA ，sinCcosB ＝sin(B ＋C)，∴sinBcosC ＝0，π∵0<B ，C<π，∴sinB ≠0，cosC ＝0，∴C ＝，应选A.21 3 109．(2021四·川双流县质检)在△ABC 中，tanA ＝2，cosB ＝10，假设最长边为 1，那么最短边的长为()4 53 5A. 5B.52 55C. 5D.5[答案] D[解析]由tanA>0，cosB>0知A 、B 均为锐角，∵tanA ＝1<1，∴0<A<π310> 3，，cosB ＝2 410 2π∴0<B<6，∴C 为最大角，由cosB ＝310知，tanB ＝1，∴B<A ，∴b 为最短边， 10 3由条件知，sinA ＝1，cosA ＝2，sinB ＝1，5510sinC ＝sin(A ＋B)＝sinAcosB ＋cosAsinB＝1×3＋2×1＝2，5105 102由正弦定理b ＝c 知，b ＝1，∴b ＝5sinB sinC 1 2 5.10 2→→ → → → → →→AB AC AC ·BC 10．(2021山·东烟台)非零向量AB ，AC 和BC 满足→ ＋ → ·BC ＝0，且 →→ ＝|AB| |AC||AC|·|BC| 2，那么△ABC 为()2．等边三角形B ．等腰非直角三角形含详解答案高考总复习C ．直角非等腰三角形D ．等腰直角三角形[答案]D→→2AC ·BC[解析]∵→→＝cos ∠ACB ＝2，|AC||BC ·|∴∠ACB ＝45°，→→AB AC →又∵ →＋→·BC ＝0，|AB| |AC|∴∠A ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形，应选 D.二、填空题11．(文)判断以下三角形解的情况，有且仅有一解的是 ________．a ＝1，b ＝2，B ＝45°； a ＝5，b ＝15，A ＝30°；③a ＝6，b ＝20，A ＝30°；④a ＝5，B ＝60°，C ＝45°.[答案]①④2[解析]①一解，asinB ＝2<1< 2，有一解．15②两解，b ·sinA ＝ 2<5<15，有两解； ③无解，b ·sinA ＝10>6，无解．④一解，两角和一边，三角形唯一确定．(理)在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，那么边长c 的取值范围是________．[答案] 3<c< 5[解析]边c 最长时： a 2＋b 2－c 21＋4－c 2cosC ＝ 2ab＝，2×1×2>0∴c 2<5.∴0<c<5.边b 最长时：cosB ＝ a 2＋c 2－b 2 1＋c 2－42ac ＝ 2c>0，∴c 2>3.∴c>3.综上， 3<c<5.12．(2021上·海模拟)在直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A(－1,0)，C(1,0)，顶点x 2 y 2sinA ＋sinCB 在椭圆4＋ 3＝1上，那么sinB 的值为________．含详解答案高考总复习[答案] 2[解析]由题意知△ABC 中，AC ＝2，BA ＋BC ＝4，由正弦定理得sinA ＋sinC ＝BC ＋BA ＝2.sinB AC13．(文)(2021沈·阳模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是 2 2a 、b 、c ，假设b ＋c2→→＝a ＋bc ，且AC ·AB ＝4，那么△ABC 的面积等于________．[答案]232 22[解析]∵b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴cosA ＝b ＋c －a＝1，2bc 2→ →∴ ∵AC ·AB ＝4，∴b ·c ·cosA ＝4，∴bc ＝8，S ＝1AC ·ABsinA ＝1×bc ·sinA ＝23.＝ 22(理)(2021北·京延庆县模考 )在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，假设a ＝c2b 且sinB ＝4，当△ABC 的面积为3时，b ＝________.52[答案] 2[解析]∵a ＋c ＝2b ，∴a 2＋c 2＋2ac ＝4b 2(1)1 23 ，∴ac ＝ 15∵S ABC ＝acsinB ＝ac ＝(2)△2524∵sinB ＝4，∴cosB ＝3(由a ＋c ＝2b 知B 为锐角)，55∴a 2＋c 2－b 2＝3，∴a 2＋c 2＝9＋b 2(3)2ac 5 2由(1)、(2)、(3)解得b ＝2.14．(2021合·肥市质检)在△ABC 中，sinA －sinB＝2sinA －sinC，那么角B ＝________.sinA ＋BsinA ＋sinB[答案]π4[解析]222依题意得sinA －sinB ＝sin(A ＋B)(2sinA －sinC)＝2sinAsinC －sinC ，由正弦定理知：a 2－b 2＝2ac －c 2，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，2222，由余弦定理知：cosB ＝a ＋c －b＝2ac2π∴B ＝4.三、解答题15．(文)(2021广·州六中)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，且满足含详解答案高考总复习A 2 5 →→cos 2＝5 ，AB ·AC ＝3. (1)求△ABC 的面积；(2)假设b ＋c ＝6，求a 的值．[解析](1)∵cos A ＝25，2 5∴cosA ＝2cos2A－1＝3，sinA ＝4.255→ →又由AB ·AC ＝3得，bccosA ＝3，∴bc ＝5，1S △ABC ＝2bcsinA ＝2.(2)∵bc ＝5，又b ＋c ＝6，∴b ＝5，c ＝1或b ＝1，c ＝5，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝20，∴a ＝25.(理)(2021山·东滨州)A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量m ＝(sinA ，sinB)，n ＝(cosB ，cosA)，且m ·n ＝sin2C.(1)求角C 的大小； → → →(2)假设sinA ，sinC ，sinB 成等差数列，且 CA ·(AB －AC)＝18，求边c 的长．[解析] (1)m ·n ＝sinA ·cosB ＋sinB ·cosA ＝sin(A ＋B)．在△ABC 中，由于 sin(A ＋B)＝sinC.m ·n ＝sinC.又∵m ·n ＝sin2C ，sin2C ＝sinC ，∴2sinCcosC ＝sinC.又sinC ≠0，所以cosC ＝1π .而0<C<π，因此C ＝.23(2)由sinA ，sinC ，sinB 成等差数列得，2sinC ＝sinA ＋sinB ，由正弦定理得， 2c ＝a ＋b.→→→ →→∵CA ·(AB －AC)＝18，∴CA ·CB ＝18.即abcosC ＝18，由(1)知，cosC ＝1，所以ab ＝36.2由余弦定理得， c 2＝a 2＋b 2－2abcosC(a ＋b)2－3ab.c 2＝4c 2－3×36，∴c 2＝36.c ＝6.16．(文)在△ABC 中，AB ＝ 3，BC ＝2.含详解答案高考总复习(1)假设cosB ＝－3，求sinC 的值；6(2)求角C 的取值范围．[解析] (1)在△ABC 中，由余弦定理知，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cosB3＋4－2×23×－63＝9.所以AC ＝3.又因为sinB ＝1－cos 2B ＝1－－32＝ 33，66ABAC由正弦定理得 ＝ .所以sinC ＝AB11AC sinB ＝ 6.(2)在△ABC 中，由余弦定理得， AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BCcosC ，3＝AC 2＋4－4AC ·cosC ，即AC 2－4cosC ·AC ＋1＝0.由题意知，关于 AC 的一元二次方程应该有解，令＝(4cosC)2－4≥0，得cosC ≥1，或cosC ≤－1(舍去，因为AB<BC) 22ππ所以，0<C ≤，即角C 的取值范围是0，3.3[点评]1.此题也可用图示法，如图： A 为⊙B 上不在直线BC 上的任π 0， π . 一点，由于r ＝AB ＝3，故当CA 与⊙B 相切时∠C 最大为，故C ∈332．高考命题大题的第一题一般比较容易入手，大多在三角函数的图象与性质、正余弦定理、平面向量等内容上命制，这一局部要狠抓根本原理、公式、根本方法的落实．(理)(2021东·北师大附中、辽宁省实验中学联考 )设△ABC 的内角 A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且acosC ＋12c ＝b.(1)求角A 的大小；(2)假设a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．1[解析](1)由acosC ＋2c ＝b 得1sinAcosC ＋2sinC ＝sinB含详解答案高考总复习又sinB ＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC12sinC ＝cosAsinC ， sinC ≠0，∴cosA ＝12，π又∵0<A<π，∴A ＝3.(2)解法1：由正弦定理得：asinB ＝22b ＝sinA3sinB ，c ＝ 3 sinCl ＝a ＋b ＋c ＝1＋ 2(sinB ＋sinC) 3＝ 1＋2(sinB ＋sin(A ＋B))3＝1＋231π2sinB ＋2cosB ＝1＋2sinB ＋6π2π π π5π，∵A ＝，∴B ∈0， 3 ，∴B ＋∈，6 36 6sinB ＋π∈1，1.62故△ABC 的周长l 的取值范围是(2,3]． 解法2：周长l ＝a ＋b ＋c ＝1＋b ＋c 由(1)及余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∴b 2＋c 2＝bc ＋1，(b ＋c)2＝1＋3bc ≤1＋3b ＋c 2，∴b ＋c ≤2，2 又b ＋c>a ＝1，∴l ＝a ＋b ＋c ∈(2,3]， 即△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3]．17．(文)△ABC 中内角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，向量m ＝(2sinB ，－ 3)，n ＝2B(cos2B,2cos 2－1)且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．[分析](1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决； (2)问利用余弦定理与根本不等式结合三角形面积公式解决．∴ [解析] (1)∵m ∥n ，2sinB2cos 2B－1＝－3cos2B2sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－3含详解答案高中数学高考总复习方案正弦定理及余弦定理习题及详解11 / 1111高考总复习又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π π，∴B ＝.33π(2)∵B ＝3，b ＝2，∴由余弦定理cosB ＝ a 2＋c 2－b2得，2aca 2＋c 2－ac －4＝0又∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤4(当且仅当 a ＝c ＝2时等号成立)△＝13时等号成立)，S ABC2acsinB ＝ 4ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2 ＝ [点评] 此题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新疑精巧，难度也不大，即符合在知识“交汇点〞处构题，又能加强对双基的考查， 特别是向量的坐标表示及运算，大大简化了向量的关系的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算 后转化为三角函数问题，然后用三角函数根本公式结合正、余弦定理求解．(理)(2021山·师大附中模考 )在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，sinB5，且a 、b 、c 成等比数列．131 1(1)求tanA ＋tanC 的值；(2)假设accosB ＝12，求a ＋c 的值．[解析]2(1)依题意，b ＝ac 由正弦定理及 sinB ＝ 5 225 . 13得，sinAsinC ＝sinB ＝ 1691＋ 1＝cosA ＋cosC ＝sinA ＋C ＝sinB＝13tanA tanC sinAsinCsinAsinCsinAsinC 5.(2)由accosB ＝12知cosB>0，512∵sinB ＝13，∴cosB ＝13(b 不是最大边，舍去负值)212从而，b ＝ac ＝ ＝13.由余弦定理得， b 2＝(a ＋c)2－2ac －2accosB.13＝(a ＋c)2－2×13×1＋1213.解得：a ＋c ＝3 7.含详解答案。
2013年高考数学总复习（山东专用）第三章第8课时 正弦定理和余弦定理的应用举例 课时闯关（含解析）一、选择题1．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的边长是( )A.63B.62C.12D.32解析：选A.由c sin C ＝b sin B ，得b ＝c sin B sin C ＝sin45°sin60°＝63，∵B 角最小，∴最短边是b . 2．(2012·贵阳调研)在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且cos A >sin B ，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形解析：选C.cos A ＝sin(π2－A )>sin B ，π2－A ，B 都是锐角，则π2－A >B ，A ＋B <π2，C >π2.3．(2011·高考天津卷)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )A.33B.36C.63D.66解析：选D.设AB ＝a ，∴AD ＝a ，BD ＝23a ，BC ＝2BD ＝43 a ，cos A ＝AB 2＋AD 2－BD22AB ·AD ＝2a 2－43a22a 2＝13， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝223. 由正弦定理知sin C ＝AB BC·sin A ＝34×223＝66. 4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为( ) A.1762 海里/时 B ．34 6 海里/时C.1722海里/时D ．34 2 海里/时解析：选A.如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，由正弦定理，得MNsin120°＝PMsin45°，∴MN＝68×3222＝346(海里)．又由M到N所用时间为 14－10＝4(小时)，∴船的航行速度v＝3464＝1726(海里/时)．5．(2012·北师大附中月考)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是( ) A．10 2 海里B．10 3 海里C．20 2 海里D．20 3 海里解析：选A.如图所示，由已知条件可得，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，即AB＝40×12＝20(海里)，∴∠BCA＝45°，∴由正弦定理可得：ABsin45°＝BCsin30°，∴BC＝20×1222＝102(海里)．二、填空题6．在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为________ m.解析：轴截面如图，则光源高度h＝15tan60°＝5 3 m.答案：5 37．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.解析：如图所示，依题意有：AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得60sin45°＝BMsin30°，解得BM＝302(km)．答案：30 28．如图所示，客轮以速度2v由A至B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发，以速度v沿直线匀速航行，将货物送达客轮，已知AB⊥BC，且AB＝BC＝50海里，若两船同时起航出发，则两船相遇之处距C点________海里(结果精确到小数点后1位)．解析：设两船相遇之处距C点x海里，其中CD＝252，则100－x2v＝2522＋x2－2×252x cos45°v，解得x2＝50003，x≈40.8，即两船相遇之处距C点40.8海里．答案：40.8三、解答题9．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度．解：法一：作AE⊥BC，垂足为E，∵AB＝AC＝2，BC＝23，∴E为BC的中点，且EC＝ 3.在Rt△AED中，AE＝1，又∠ADE＝45°，∴DE＝1，∴AD＝ 2.法二：∵AB＝AC＝2，BC＝23，∴由余弦定理得cos C＝AC2＋BC2－AB22AC·BC＝22＋232－222×2×23＝32.又∵∠C∈(0°，180°)，∴∠C＝30°.在△ADC中，由正弦定理得ACsin∠ADC＝ADsin C，即AD＝AC·sin Csin∠ADC＝2×sin30°sin45°＝2×1222＝ 2.10．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船向正南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°方向，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°方向，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解：在△ABC中，BC＝30，∠B＝30°，∠ACB＝180°－45°＝135°，所以∠A＝15°.由正弦定理，得BCsin A＝ACsin B，即30sin15°＝ACsin30°，所以AC＝30sin30°sin15°＝15(6＋2)．所以A到BC的距离为AC·sin45°＝15(6＋2)×22＝15(3＋1)≈15×(1.732＋1)＝40.98(海里)．这个距离大于38海里，所以继续向南航行无触礁的危险．11．(2010·高考陕西卷)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？解：由题意知AB＝5(3＋3)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．即该救援船到达D 点需要1小时．。
