圆的标准方程导学案1

§4.1.1 圆的标准方程 使用日期：2014.12.18一．学习目标：1.掌握圆的标准方程及其推导过程；2. 能准确判断点与圆的位置关系；3. 会根据已知条件求圆的标准方程。

二．知识链接：:（1）、初中我们是怎样给圆下定义的？（2）、111(,)P x y 222(,)P x y 两点间的距离公式三、学习新知1、【圆的标准方程推导】在平面直角坐标系中，已知：圆心为),(b a A , 半径长为r ，圆上的任意一点),(y x M【学以致用】(1)写出下列圆的圆心坐标和半径。

圆心坐标 半径 6)1()4(22=-+-y x __________ __________ 4)4()1(22=++-y x __________ __________x9)2(22=++y x __________ ___________ 8)3(22=-+y x _________ __________ 222)3(-=+y x __________ __________ 222()m (0)x a y m -+=≠ ___________ ___________(2)根据下列条件，写出圆的标准方程。

(1) 圆心在)1,2(A ，半径长为4； __________________________(2) 圆心在)4,3(-A ，半径长为5； __________________________(3) 圆心在)2,3(--A ，半径长为5； __________________________ 2【典例讲解】例 1：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(57),(1)M M --是否在这个圆上。

分析：点在圆上，则点的坐标满足圆的方程；反之，点的坐标满足圆的方程，则点在圆上。

解：变式练习1写出圆心为（-2，3），半径为2的圆的方程，并判断点A(-4,3)，B （-2,2），C （1,1）与圆的位置关系尝试总结1：22200(,)()()M x y x a y b r -+-=点与圆C ：的位置关系及判断方法例2 ⊿ABC 的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。

圆与圆的方程2.1圆的标准方程（导学案）使用说明：1．用15分钟左右的时间，阅读课本内容，自主高效预习，理解公式中各量的含义。

2．限时完成导学案的预习案部分，找出自己的疑惑和需要解决的问题，准备课上讨论探究。

【学习目标】⑴ 掌握确定圆的几何要素⑵ 掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程 ⑶ 能从圆的标准方程中求出它的圆心和半径【重点难点】重点是圆的标准方程，难点是根据不同的条件求圆的标准方程相关知识：1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？教材助读：1.设圆心坐标为(,)C a b ，半径为r ，设),(y x P 为这个圆上任意一点，那么Ｐ，C 与r 有什么关系？能用坐标表示吗？2.圆心在(,)C a b ，半径为r 的圆的标准方程：___________________________________________________________________3.圆心为坐标原点、半径为r 的圆的方程是： 圆心在圆点、半径为1的圆的方程： 思考：确定圆的标准方程的基本要素？预习自测1.写出下列各圆的方程：（1） 以C(2，-1)为圆心，半径等于3； （2） 圆心在圆点，半径为5；（3） 经过点P(5,1)，圆心在点C(6，-2)； （4） 以A(2,5)，B(0，-1)为直径的圆。

2.圆22(3)(2)13x y -++=的圆心为 半径为基础知识探究1.试由圆的标准方程的推导过程思考，若点P 在圆内，在圆上，在圆外时，00,x y 应满足怎样的关系式P P P ⇒⎧⎪⇒⎨⎪⇒⎩点在圆内点在圆外点在圆上2.若点),3(a 在圆1622=+y x 的内部，则a 的取值范围是综合应用探究1.已知ABC Rt ∆ 的斜边AB 的端点A 的坐标为（-2,1），B 的坐标为（4,3），直角顶点C 在什么曲线上？并求出它的方程？预习案 探究案2.求圆心在直线02=-+y x 上，且经过两点)2,1(),0,1(-Q P 的圆的方程。

圆的标准方程导学案 一、学习目标 1.正确掌握圆的标准方程及其推导过程； 2.会根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程以及从圆的标准方程熟练地求出圆心和 半径；由不同的已知条件求得圆的方程. 3.掌握点和圆的位置关系. 二、温故知新回顾直线方程的知识完成下列问题：（1）直角坐标系中任意两点),(11y x A ，),(22y x B 的距离=||AB ；特殊的，),(y x P 与原点的距离为 ；AB 的中点M 的坐标为 ．（2）已知两点)2,2(),1,1(-B A ，则线段AB 的垂直平分线的方程是 ．三、合作探究任务一 推导圆的标准方程．（类比直线的方程）任务二 认识圆的标准方程．写出下列圆的圆心坐标和半径.圆心坐标 半径6)1()4(22=-+-y x4)4()1(22=++-y x9)2(22=++y x8)3(22=-+y x2223)(-=+y x222)(a y a x =+-任务三 圆的标准方程的应用模块一 判断点和圆的位置关系例1 写出圆心为)1,0(O ，半径为25的圆的方程，并判断点)8,1(A ，)2,2(B ，)5,6(C 是否在圆上．点),(00y x P 与圆222)()(:r b y a x C =-+-的位置关系判定方法：模块二 求圆的标准方程例2 ABC ∆的三个顶点的坐标分别为)82(),37(),15(--，，，C B A ，求它的外接圆的方程．例3 已知圆心为C 的圆经过点)1,1(A 和)2,2(-B ，且圆心C 在直线01:=+-y x l 上，求圆心为C 的圆的标准方程．练习题1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝9B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝3C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝3D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝92．点)5,(m P 与圆2522=+y x 的位置关系（ ）A ．在圆外 B.在圆上 C. 在圆内 D.在圆上或在圆外3．圆x 2＋y 2＝1上的点到点M(3，4)的距离的最小值是( )A ．1B ．4C ．5D ．64．若点)12,15(a a P +在圆1)1(22=+-y x 的外部，则a 的取值范围为________．5. 一圆经过点P(－4，3)，圆心在直线2x －y ＋1＝0上，且半径长为5，求该圆的方程．6．平面直角坐标系中有A(0，1)，B(2，1)，C(3，4)，D(－1，2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？。

圆的标准方程学案圆的标准方程学案一、教学目标1、理解圆的标准方程的意义，掌握圆的标准方程的推导过程；2、会根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，掌握圆的标准方程的应用；3、通过对圆的标准方程的学习，初步了解解析几何的基本思想和方法，提高数学思维能力和解决实际问题的能力。

二、教学内容1、圆的标准方程的推导2、圆的标准方程的形式及其意义3、圆的标准方程的应用三、教学过程1、引入：通过实例展示圆的结构和特点，引出圆的标准方程的概念。

2、圆的标准方程的推导：通过几何法和代数法两种方法，推导出圆的标准方程。

3、圆的标准方程的形式及其意义：介绍圆的标准方程的形式，解释各项参数的意义，明确圆心坐标和半径的求解方法。

4、圆的标准方程的应用：通过实例演示，说明圆的标准方程在解决实际问题中的应用，如求圆与直线的交点、求圆的外接正方形边长等。

四、教学步骤1、教师引导学生通过实例理解圆的结构和特点，引出圆的标准方程的概念。

2、教师介绍圆的标准方程的推导过程，通过几何法和代数法两种方法，推导出圆的标准方程。

3、教师解释圆的标准方程的形式，说明各项参数的意义，明确圆心坐标和半径的求解方法。

4、教师通过实例演示，说明圆的标准方程在解决实际问题中的应用，如求圆与直线的交点、求圆的外接正方形边长等。

五、教学重点与难点1、教学重点：掌握圆的标准方程的推导过程，理解圆的标准方程的意义，掌握圆的标准方程的应用。

2、教学难点：理解圆的标准方程的意义，掌握圆的标准方程的应用。

六、教学方法与手段1、教学方法：讲解、演示、练习、互动交流。

2、教学手段：PPT、板书、实物展示。

七、教学评估1、课堂练习：通过练习题检验学生对圆的标准方程的理解和掌握情况。

2、课后作业：布置相关题目，加强学生对圆的标准方程的掌握和应用能力。

3、课堂讨论：引导学生对圆的标准方程的应用进行讨论，提高学生对该知识的理解和应用能力。

八、教学反思1、总结课堂效果：对本次课程的教学效果进行总结，分析学生的掌握情况。

圆的标准方程
一、课前导学
1、自学课本P118-P120.
2、思考问题：具有什么性质的点的轨迹称为圆
3、圆的标准方程为
4、P120 练习1（1）（2）（填入答案）
5、说出下列圆的圆心和半径：
(1)(x-3)2+(y-2)2=5；圆心半径
(2)(x+4)2+(y+3)2=7；圆心半径
(3)(x+2)2+ y2=4 圆心半径
二、课堂导学
1、推导圆的标准方程（重点：轨迹方程的求法）
2、例题
例1写出下列各圆的方程：(请四位同学演板)
(1)圆心在原点，半径是3；
(3)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；
(4)圆心在点C(1，3)，并且和直线3x-4y-7=0相切．
例2 (1)已知两点P1(4，9)和P2(6，3)，求以P1P2为直径的圆的方程；
(2)试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
例3课本P120例3
三、课堂小结
1．圆的方程的推导步骤；
2．圆的标准方程的特点：点(a，b)、r分别表示圆心坐标和圆的半径；3．求圆的方程的两种方法：(1)待定系数法；(2)轨迹法．
四、课堂练习
1．求下列条件所决定的圆的方程：
(1)经过点P(-2，1)，圆心在点C(3，-3)；
(2)圆心为 C(3，-5)，并且与直线x-7y+2=0相切；
(3)过点A(3，2)，圆心在直线y=2x上，且与直线y=2x+5相切．。

§4.1.1 圆的标准方程导学案【学习目标】1.掌握圆的标准方程并了解推导过程。

2.会根据已知条件求圆的标准方程。

3.能准确判断点与圆的位置关系。

【重难点】求圆的标准方程。

【预习案】一．复习：1.回忆两点间距离公式： . 二．练习：（1）写出下列圆的标准方程：①圆心为半径为 ②圆心为半径为（2）求圆的圆心，坐标与半径：①()16)2(322=++-y x ②2)2()1(22=+++y x ③122=+y x2.点与圆的位置关系练习：圆的方程16)2(32=++-y x 判断下列各点位置(1))5,4(1-M ;(2))1,5(2M ;(3))6,3(3-M☞我的疑惑：请将预习中不能解决的问题写下来，供课堂解决。

【探究案】探究点一：圆的标准方程例1.求满足下列条件的圆的标准方程（1）经过点)1,5(P ，圆心在点)3,8(C （2）以)7,1(),5,1(-B A 为直径的圆的方程.（3）已知圆过点)3,4(-P ，圆心在直线012=+-y x 上且半径长为5，求圆的方程探究点二：点与圆的位置关系例 2.求过)5,1(),9,1(),2,8(C B A --三点的圆的方程，并判断点)11,5(),1,1(),4,3(---M M P 与圆的位置关系.探究点三：综合应用例3.圆心为C 的圆经过点)2,2(),1,1(-B A 且圆心 C 在直线01:=+-y x l 上，求圆 C 的标准方程。

【巩固提升】1.圆)()22112x y -++=的周长是（ ）.2B π C .4D π2.点P(2m ,5)与圆2224x y +=的位置关系是( )A ．在圆外B ．在圆上C ．在圆内D ．不确定3.圆心在y 轴上，半径是1，过点(1,2)的圆的方程为（ ）22A.(2)1x y +-= 22B.(2)1x y ++= 22C.(1)(3)1x y -+-= 22D.(3)1x y +-=4.若点()2,2在圆()22(x )16a y a ++-=的内部，则实数a 的取值范围是（ ） .2a 2A -<< .0a 2B << .a 2a 2C <->或 .a 2D =±5.已知一个圆与两条直线40x y -+=，0x y -=都相切，且圆心在直线0x y +=上，则圆的方程为（ ）22A.(1)(1)2x y ++-= 22B.(1)(1)2x y -++= 22C.(1)(1)2x y -+-= 22D.(1)(1)2x y +++=6.已知点)1,1( 在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，实数a 的取值范围 .7.与圆22(2)(3)16x y -++= 同心且过点)1,1(-P 的圆的方程.8.ABC ∆的三个顶点分别为.(0,5),.(1,2),.(3,4)A B C ---，求ABC ∆外接圆的方程。

圆的标准方程学案一、教学目标1、理解圆的定义，能正确推导圆的标准方程2、会求圆的标准方程，了解圆的标准方程的简单应用二、教学重难点掌握圆的标准方程,根据圆心坐标、半径能熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；三、学前准备1、搜集有关圆的图片、资料等，回顾圆的定义及应用。

2、预习课本，完成学案。

3、学具准备：圆规、一小段棉线、一只笔。

四、授课（一）引入想一想：1、现实生活中您还见过哪些圆的例子？2、观察欣赏它们,它们给您什么感觉?做一做：您会用准备好的学具在纸上画一个圆吗?1、将棉线的两端系在笔芯上，系点移到一起。

2、按住笔芯，另用一只笔，笔尖拉紧棉线，用笔就可以画出一个圆来。

（二）自主研讨（预习教材P118-P120，结合查阅资料填空）问题1：什么叫圆？圆作为平面几何中基本图形，确定它的要素是什么呢？（1）圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

确定圆的最基本的要素是（定位置）和（定大小）问题2：平面直角坐标系中，任何一条直线可以用一个二元一次方程来表示，那么圆是否也可以用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特点呢？（2）如图，在平面直角坐标系中，圆心是C(a,b),半径是r做一做：坐标法推导圆的方程步骤：①建标设点：在坐标系中圆的坐标为（a,b），半径为r，设M（x,y）为圆C上任一点，②列式：由圆的定义可知：③坐标化：由两点间的距离公式可得④化简：C(a,b),半径是r(r>0)的圆的标准方程是 特别地，若圆心为O （0，0），则圆的方程为：问题3：圆的标准方程有什么特点？（3）圆的标准方程的特点是有两个变量x,y ，两个变量的系数都是 ，形式都是与某个实数差的平方；明确给出了圆心 和半径 。

（三）合作探究1、写出下列圆的标准方程①圆心为A （-2， -3）半径为5②圆心为（-3， 4）半径为32、求下列圆的圆心，坐标与半径①16)2(322=++-y x ）（ ②2)2(122=+++y x ）（ ③122=+y x拓展提升：④0222=-+x y x ⑤014222=++-+y x y x小结： ①先配方化为标准形式 ②再求圆心与半径（四）标准方程的应用例1、写出圆心为A （2，-3）半径为5的圆的标准方程，并判断点M1（5，-1），M2（-1，-3）是否在这个圆上？问题1：在直角坐标系中，已知点M(x 0，y 0)和圆C ：（x-a ）2+(y-b)2=r 2 ，如何判断点M 在圆外、圆上、圆内？若点到圆心的距离|MA|为d ，通过d 与圆的半径r 的大小可以判定：（1）(x 0-a)2+(y 0-b)2 r 2时,点M 在圆C 外；（2）(x 0-a)2+(y 0-b)2 r 2时,点M 在圆C 上；（3）(x 0-a)2+(y 0-b)2 r 2时,点M 在圆C 内。

《圆的标准方程》导学案一、课前预习：自主学习1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？3.设圆心坐标为(,)C a b ，半径为r ，设),(y x P 为这个圆上任意一点，那么P ，C 与r 有什么关系？能用坐标表示吗？4.圆心在(,)C a b ，半径为r 的圆的标准方程：________________5.圆心为坐标原点、半径为r 的圆的方程是：圆心在原点、半径为1的圆的方程：思考：确定圆的标准方程的基本要素？预习自测1.写出下列各圆的方程：（1） 以C(2，-1)为圆心，半径等于3；（2） 圆心在圆点，半径为5；（3） 经过点P(5,1)，圆心在点C(6，-2)；（4） 以A(2,5)，B(0，-1)为直径的圆。

2.圆22(3)(2)13x y -++=的圆心为 半径为二、学习目标1．知识目标：⑴ 掌握确定圆的几何要素⑵ 掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程⑶ 能从圆的标准方程中求出它的圆心和半径2．水平目标：本节内容通过对直线的方程的回忆基础上，引导我们用方程语言刻画圆的特征，然后通过具体例题，解决思考、探究、练习中的问题。

3．情感目标：通过本节知识的学习，将培养我们联系旧知识、提出问题、解决问题的探究水平，进一步培养学生学习数学的兴趣。

三、重点难点重点：1.对圆的方程的理解； 2.待定系数法求圆的方程。

难点：待定系数法的掌握和应用。

四、课堂探究：合作探究基础知识探究1.圆的标准方程是一个____元____次方程.2.写出圆心为(2,3)A -，半径长为 5 的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M -- 是否在这个圆上.3.若点),3(a 在圆1622=+y x 的内部，则a 的取值范围是4.试由圆的标准方程的推导过程思考，若点P 在圆内，在圆上，在圆外时，00,x y 应满足怎样的关系式P P P ⇒⎧⎪⇒⎨⎪⇒⎩点在圆内点在圆外点在圆上综合应用探究1.已知ABC Rt ∆ 的斜边AB 的端点A 的坐标为（-2,1），B 的坐标为（4,3），直角顶点C 在什么曲线上？并求出它的方程？2.ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8)A B C --，求它的外接圆的方程.3.求圆心在直线02=-+y x 上，且经过两点)2,1(),0,1(-Q P 的圆的方程。

§4.1.1圆的标准方程单元名称圆的方程授课班级备考班授课时间2020年4月2日授课地点B座四楼语训室学习内容分析《圆的标准方程》选自普通高中实验教科书新课程标准数学必修2第四章第一节第一课时。

在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程，它与其他图形的位置关系及其应用。

圆是解析几何中一类重要的曲线，而圆的标准方程的学习是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质这一基础上进行展开的，在学习中充分体现了数形结合的思想，以及用代数方法解决几何问题的思想，是进一步学习圆锥曲线的基础。

由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”，为了激发学生的主体意识，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识，本节内容可采用“引导探究”型教学模式进行教学设计，所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，通过小组合作，引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”,把“引”和“探”有机的结合起来。

教师的每项教学措施，都是给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题。

学习者分析学习对象为备考班学生，虽然有一定的学习能力，但基础普遍较差，对数学存在畏难情绪。

加上聋生学生几何知识困难，学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难，需要将抽象问题具体化，形象化。

另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。

知识与技能：①掌握圆的标准方程；②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程。

过程与方法：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；②加深对数形结合思想的理解；③培养学生自主探究的能力。

第四章第一节圆的标准方程三维目标1．掌握圆的标准方程，能根据圆心和半径写出圆的标准方程；2.会用待定系数法求圆的标准方程；3.初步体会求点的轨迹方程的思想.___________________________________________________________________________目标三导学做思1问题1.在平面直角坐标系中，圆的定义是什么？确定它的要素有哪些？问题2.如果一个圆以点P（a,b）为圆心，r为半径，你能否求出表示圆的方程？如果圆心在原点，方程又该如何？确定圆的标准方程的要素有哪些？.【学做思2】1.写出圆心为A（2，-3），半径等于5的圆的方程，并判断点M（5，-7），N（2，-1），P(5，2)是否在这个圆上。

【思考】点与圆的位置关系有哪几种？如何判断点与圆的位置关系？*2.已知圆的方程过点A(-4,0),B(0,2)和原点，求圆的标准方程。

【思考】从几何角度思考，该题还可以怎样解？3.已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程。

【思考】比较两个例题，你能总结出求圆的标准方程的两种方法吗？达标检测*1.方程x+1=1-y2表示的曲线是（）A．一条直线B．两条直线C．一个圆D．半个圆2.圆心在C(8，-3),且经过点M(5，1)的圆标准方程是_____________；3.若A(4,9),B(6,3)，则以A、B两点为直径的圆的标准方程是_____________；4.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则求圆C2的标准方程。

5.已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求(1)周长最小的圆的方程；(2)圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程。

圆的标准方程
【三维目标】
●知识与技能: 1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

●过程与方法: 进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过
圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决
问题的能力。

●情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热
情和兴趣。

【学习重点】圆的标准方程
【学习难点】会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

【教学资源】
附件: 【小结】1、圆的标准方程。

2、点与圆的位置关系的判断方法。

3、根据已知条件求圆的标准方程的方法。

4．1.1圆的标准方程课前自主预习知识点一圆的标准方程1．圆的基本要素圆的基本要素是□1圆心和□2半径．2．圆的标准方程圆的标准方程是□3(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心C为(a，b)，半径为r.知识点二点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则1．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点．2．几种特殊位置的圆的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．()(2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径．()(3)圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.()(4)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)(教材改编，P120，T1)若圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为3，则此圆的标准方程为____________________．(2)已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝(－5)2，则圆的圆心坐标和半径分别为____________．(3)(教材改编，P121，T2)已知圆的方程为x2＋(y－1)2＝2，则点A(1,0)与圆的位置关系是____________．答案(1)(x＋1)2＋(y－3)2＝3(2)(－2,2)，5(3)点A在圆上3．与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为()A ．(x ＋5)2＋(y ＋2)2＝4B ．(x －3)2＋(y ＋2)2＝4C ．(x －5)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －3)2＋y 2＝4答案 A课堂互动探究探究1 点与圆的位置关系例1 已知点A (1,2)在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围．解 ∵点A 在圆的内部，∴(1－a )2＋(2＋a )2<2a 2且a ≠0，∴2a ＋5<0，∴a <－52且a ≠0，∴a 的取值范围是a <－52.[条件探究] 将例1改为：已知点A (1,2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围．解 解法一：由题意，得点A 在圆C 上或圆C 的外部，∴(1－a )2＋(2＋a )2≥2a 2，∴2a ＋5≥0，∴a ≥－52，又a ≠0，∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞)． 解法二：由例1知点A 在圆C 的内部时，a <－52，所以点A 不在圆C 的内部时，a ≥－52，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞)．拓展提升1.判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．2．求解参数范围若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．【跟踪训练1】 若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的外部，求实数a 的取值范围．解 ∵点(1,1)在圆的外部，则点(1,1)到圆心(a ，－a )的距离大于半径2，∴ (a －1)2＋(－a －1)2>2，解得a >1或a <－1.探究2 求圆的标准方程例2 求过点A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)的圆的标准方程． 解 设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.因为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是有⎩⎪⎨⎪⎧ (0－a )2＋(5－b )2＝r 2，(1－a )2＋(－2－b )2＝r 2，(－3－a )2＋(－4－b )2＝r 2，解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝1，r 2＝25.所以，所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.[解法探究] 例2还有其他解法吗？解 因为A (0,5)，B (1，－2)，所以线段AB 的中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，直线AB 的斜率k AB ＝－2－51－0＝－7，因此线段AB 的垂直平分线的方程是y －32＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x －7y ＋10＝0.同理，得线段BC 的垂直平分线的方程是2x ＋y ＋5＝0.由⎩⎨⎧ x －7y ＋10＝0，2x ＋y ＋5＝0，得圆心的坐标为(－3,1)． 又圆的半径长r ＝(－3－0)2＋(1－5)2＝5，所以，所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.拓展提升求圆的方程的两种方法(1)确定圆的标准方程就是设法确定圆心C (a ，b )及半径r ，其求解的方法：一是待定系数法，即建立关于a ，b ，r 的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．(2)由圆的几何性质易得圆心坐标和半径时，用几何法可以简化运算，其他情况可用待定系数法．【跟踪训练2】 已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解 解法一：如图所示，由题设知|AC |＝r ＝5，|AB |＝8，∴|AO |＝4.在Rt △AOC 中，|OC |＝|AC |2－|AO |2 ＝52－42＝3.设点C 坐标为(a,0)，则|OC |＝|a |＝3，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25或(x －3)2＋y 2＝25.解法二：由题意设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝25.∵圆截y 轴线段长为8，∴圆过点A (0,4)．代入方程得a 2＋16＝25，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25或(x －3)2＋y 2＝25.探究3 与圆有关的最值问题例3 已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求：(1)x 2＋y 2的最值；(2)x ＋y 的最值．解 (1)据题意知x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大和最小值．原点O (0,0)到圆心C (－1,0)的距离d ＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12＝32，最小距离为1－12＝12.因此x 2＋y 2的最大值和最小值分别为94和14. (2)令y ＋x ＝b 并将其变形为y ＝－x ＋b .问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y 轴上的截距的最值．当直线和圆相切时在y 轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|－1－b |2＝12，解得b ＝±22－1， 即最大值为22－1，最小值为－22－1.[变式探究] 在本例条件不变的情况下，如何求x 2＋y 2－2x 的最值？解 令t ＝x 2＋y 2－2x ＝(x －1)2＋y 2－1表示圆上的点到点(1,0)距离的平方减1，而圆心C (－1,0)，故t 的最大值为214，最小值为54.拓展提升与圆有关的最值问题，常见的几种类型(1)形如u ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问题．(2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋l b 截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．【跟踪训练3】 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3.(1)求y x 的最大值和最小值；(2)求y －x 的最大值和最小值；(3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解 将实数x ，y 看作点P (x ，y )的坐标，满足(x －2)2＋y 2＝3的点P (x ，y )组成的图形是以M (2,0)为圆心，3为半径的圆，如图．(1)设y x ＝y －0x －0＝k ，即y x 是圆上的点P 与原点O 连线的斜率． 由图知直线y ＝kx 和圆M 在第一象限相切时，k 取最大值，此时有OP ⊥PM ，|PM |＝3，|OM |＝2，∴∠POM ＝60°.此时k ＝tan60°＝3，∴y x 的最大值是 3.同理知直线y ＝kx 和圆M 在第四象限相切时，k 取最小值，y x 的最小值为－ 3.(2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，b 是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距． 由图知当直线y ＝x ＋b 和圆M 在第四象限相切时，b (b <0)取最小值．此时有|2＋b |2＝3，解得b ＝－6－2， ∴y －x 的最小值是－6－2.同理，y －x 的最大值是6－2.(3)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.1.确定圆的标准方程需具备的条件圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2中有三个参数，要确定圆的方程需要确定这三个参数，其中圆心(a ，b )是圆的定位条件，半径r 是圆的定量条件．注意：在具体问题的求解过程中，应灵活应用圆的几何性质(如弦的中垂线过圆心)确定圆心的位置和半径大小，可使问题简单化.2.求圆的标准方程的常用方法(1)几何法利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程得结果．(2)待定系数法由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：先设方程，再列式，后求解．3.求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心．(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．(3)圆心与切点的连线长是半径长．(4)圆心与切点的连线必与切线垂直．课堂达标自测1．点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32与圆x 2＋y 2＝12的位置关系是( ) A ．在圆上B ．在圆内C ．在圆外D ．不能确定答案 C 解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝14＋34＝1>12， ∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32在圆外，故选C. 2．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52答案B解析由题意可知直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为213，则半径长为13，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y ＋3)2＝13.3．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(－1,1)的圆的方程为__________________．答案(x－2)2＋(y＋3)2＝25解析因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r＝(2＋1)2＋(－3－1)2＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.4．若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________．答案2解析圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，所以k＝2.5．已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0)，B(5,0)．(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．解(1)由题意，结合图①可知圆心(3,0)，r＝2，所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.(2)如图②所示，过点C 作CD 垂直于直线x －y ＋1＝0，垂足为D .由点到直线的距离公式可得|CD |＝|3＋1|2＝22， 又P (x ，y )是圆C 上的任意一点，而圆C 的半径为2，结合图形易知点P 到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2.课后课时精练A 级：基础巩固练一、选择题1．已知A (－4，－5)、B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝116答案 B解析 圆心为AB 的中点(1，－3)，半径为|AB |2＝12(6＋4)2＋(－1＋5)2＝29，故选B.2．方程|x |－1＝1－(y －1)2所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆 答案 D解析 由题意，得⎩⎨⎧ (|x |－1)2＋(y －1)2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2＋(y －1)2＝1，x ≥1或⎩⎨⎧ (x ＋1)2＋(y －1)2＝1，x ≤－1，故原方程表示两个半圆．3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1答案 A解析 解法一：(直接法)设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.解法二：(数形结合法)根据点(1,2)到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.解法三：(验证法)将点(1,2)代入四个选择项，排除B 、D ，又由于圆心在y 轴上，排除C ，选A.4．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为( )A ．2B ．1 C. 3 D.2答案 B解析 方程(x ＋5)2＋(y －12)2＝142表示以(－5,12)为圆心，14为半径的圆，x 2＋y 2表示圆上的点到原点距离的平方，∵圆心到原点的距离为13，∴x2＋y2的最小值为14－13＝1，∴x2＋y2的最小值为1.5．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析因为y＝ax＋b过一、二、四象限，所以a<0，b>0.因为(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心坐标为(－a，－b)，所以圆心的横坐标－a>0，纵坐标－b<0，即圆心位于第四象限，选D.二、填空题6．若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C 的标准方程是________．答案(x－2)2＋(y＋1)2＝1解析圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(－2,1)，半径r＝1，则点M关于原点的对称点为C(2，－1)，圆C的半径也为1，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.7．点(5a＋1，a)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是________．答案[0,1)解析由于点在圆的内部，所以(5a＋1－1)2＋(a)2<26，即26a<26，又a≥0，解得0≤a<1.8．已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2,3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，则圆M的方程为________．答案 (x －3)2＋(y －4)2＝25解析 ∵|MA |＝(－1－3)2＋(1－4)2＝5， |MB |＝(1－3)2＋(0－4)2＝25， |MC |＝(－2－3)2＋(3－4)2＝26，∴|MB |<|MA |<|MC |，∴点B 在圆M 内，点A 在圆M 上，点C 在圆M 外，∴圆的半径r ＝|MA |＝5，∴圆M 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.三、解答题9．已知圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，求圆C 的标准方程．解 解法一：由圆心在直线2x －y －7＝0上，可设圆心坐标为(a,2a －7)，由题意得a 2＋(2a －3)2＝a 2＋(2a －5)2，解得a ＝2，所以圆心坐标为(2，－3)，圆的半径长r ＝(2－0)2＋(－3＋4)2＝5，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.解法二：圆C 的圆心在弦AB 的垂直平分线y ＝－3上，由⎩⎨⎧ 2x －y －7＝0，y ＝－3，得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝－3为所求圆的圆心坐标，半径长r ＝(2－0)2＋(－3＋4)2＝5，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.解法三：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ (0－a )2＋(－4－b )2＝r 2，(0－a )2＋(－2－b )2＝r 2，2a －b －7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－3，r 2＝5，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.B 级：能力提升练10．已知圆C 的圆心坐标为(x 0，x 0)，且过点P (4,2)．(1)求圆C 的标准方程(用含x 0的方程表示)；(2)当x 0为何值时，圆C 的面积最小？并求出此时圆C 的标准方程．解 (1)由题意，设圆C 的标准方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝r 2(r >0)． ∵圆C 过点P (4,2)，∴(4－x 0)2＋(2－x 0)2＝r 2，∴r 2＝2x 20－12x 0＋20，∴圆C 的标准方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝2x 20－12x 0＋20.(2)∵(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝2x 20－12x 0＋20 ＝2(x 0－3)2＋2，∴当x 0＝3时，圆C 的半径最小，即面积最小，此时圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝2.。

数学（高二上）导学案教学过程一、自主预习任务1 什么是圆？如图，在一个平面内，线段CP绕它固定的一个端点C旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆任务2有什么特征呢？(1)圆上各点到定点（圆心)的距离都等于定长（半径r)；(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.任务3：圆的标准方程二、合作探究归纳展示任务1 我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？当圆心位置与半径大小确定后，圆就确定了。

因此一个圆的本要素是圆心和半径．如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标(a, b)表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心A (a, b) 的距离任务2符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？答：符合上述条件的集合是：任务 3 是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点M与圆心的距离是r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的方程，把它叫做圆的标准方程.即(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2称为圆心为A(a, b)半径长为r的圆的标准方程。

问题:圆的标准方程有什么特征?（1）有两个变量xy，形式都是与某个实数差的平方；（2）两个变量的系数都是1（3）方程的右边是某个实数的平方，也就是一定为正数。

任务3 圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？ 因为圆心是原点O (0, 0)，将x ＝0，y ＝0和半径 r 带入圆的标准方程：得整理例 1 写出圆心为A(2,-3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点否在这个圆上．解：圆心是 A(2,-3)，半径长等于5的圆的标准方程是：把的坐标代入方程左右两边相等，点的坐标适合圆的方程，所以点在这个圆上；把点的坐标代入此方程，左右两边不相等，点的坐标不适合圆的方程，所以点不在这个圆上．任务4 点与圆的位置关系从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上． 怎样判断点在圆内呢？还是在圆外呢？例2的三个顶点的坐标分别A (5,1), B (7,－3)，C (2, －8)，求它的外接圆的方程．分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．解：所求圆的方程是 （1）因为A (5,1), B (7,－3)，C (2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是解得所以，的外接圆的方程是),(000y x M 222)()(r b y a x =-+-ABC ∆25)3()2(22=++-y x 可以看到：点在圆外——点到圆心的距离大于半径 r ；点在圆内——点到圆心的距离小于半径 r ．222)()(r b y a x =-+-⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-222222222)8()2()3()7()1()5(r b a r b a r b a。

【⼈教A版】：4.1.1圆的标准⽅程精品导学案第四章圆与⽅程4.1 圆的⽅程4.1.1 圆的标准⽅程学习⽬标1.会推导圆的标准⽅程.2.能运⽤圆的标准⽅程正确地求出其圆⼼和半径.3.掌握圆的标准⽅程的特点,能根据所给有关圆⼼、半径的具体条件准确地写出圆的标准⽅程.4.体会数形结合思想,初步形成代数⽅法处理⼏何问题能⼒.能根据不同的条件,利⽤待定系数法求圆的标准⽅程.学习过程⼀、设计问题,创设情境前⾯我们已经学习过直线⽅程,初中也学习过圆的⼀些知识,请同学们思考:问题1:在平⾯直⾓坐标系中,两点能确定⼀条直线,⼀点和直线的倾斜⾓也能确定⼀条直线.那么在平⾯直⾓坐标系中确定⼀个圆的⼏何要素是什么呢?问题2:根据前⾯我们所学的直线⽅程的知识,应该怎样确⽴圆的⽅程呢?⼆、学⽣探索,尝试解决若设圆的圆⼼坐标为A(a,b),半径为r(其中a,b,r都是常数,r>0),试求圆的⽅程.三、信息交流,揭⽰规律1.在直⾓坐标系中,当与确定后,圆就唯⼀确定了,因此,确定圆的基本要素是.2.在平⾯直⾓坐标系中,若⼀个圆的圆⼼A(a,b),半径长为r,则圆的标准⽅程为.推导的步骤是.若点M(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则点M的坐标就适合⽅程,即;反之,若点M的坐标适合⽅程,这就说明与的距离为r,即点M在圆⼼为A的圆上.3.圆⼼在坐标原点,半径为r的圆的⽅程为.4.若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2内,则满⾜条件;若点P(x0,y0)在圆x2+y2=r2外,则满⾜条件;同理,若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内,则满⾜条件;若点P(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外,则满⾜条件.5.△ABC外接圆的圆⼼即为外⼼,即的交点.四、运⽤规律,解决问题6.写出下列各圆的标准⽅程:(1)圆⼼在原点,半径为3.(2)圆⼼为(2,3),半径为.(3)经过点(5,1),圆⼼在(8,-3).7.根据圆的⽅程写出圆⼼和半径:(1)(x-2)2+(y-3)2=5;(2)(x+2)2+y2=(-2)2.8.写出圆⼼为A(2,-3),半径长等于5的圆的⽅程,并判断点M1(5,-7),M2(-,-1)是否在这个圆上.总结规律:(试总结如何判断“点与圆的位置关系”)9.△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的⽅程.总结规律:(试总结如何根据题设条件求圆的标准⽅程,是⽤的什么⽅法?)10.已知圆⼼为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆⼼C在直线l:x-y+1=0上,求圆⼼为C的圆的标准⽅程.总结规律:(试总结如何根据题设条件求圆的标准⽅程,是⽤的什么⽅法?)五、变练演编,深化提⾼同学们仿照上述例题,⾃⼰试着编⼏道写、求圆的标准⽅程,或判断点与圆的位置关系的题⽬.六、信息交流,教学相长(请同学们把你编写的较为典型的题⽬选⼏个写在下⾯)七、反思⼩结,观点提炼1.圆的标准⽅程:(x-a)2+(y-b)2=r22.求圆的标准⽅程的⽅法:待定系数法.3.要求⼀个圆的标准⽅程,需要三个条件:圆⼼的横坐标、纵坐标和半径.4.点与圆的位置关系:点在圆上,点在圆外,点在圆内.参考答案三、1.圆⼼半径圆⼼和半径2.(x-a)2+(y-b)2=r2建系、设点、列式、化简(x0-a)2+(y0-b)2=r2点M 圆⼼3.x2+y2=r24.r2(x0-a)2+(y0-b)2r25.△ABC三边垂直平分线四、6.(1)x2+y2=9(2)(x-2)2+(y-3)2=5(3)(x-8)2+(y+3)2=257.(1)圆⼼(2,3),半径(2)圆⼼(-2,0),半径28.圆的⽅程为(x-2)2+(y+3)2=25把点M1(5,-7)坐标代⼊圆的⽅程:(5-2)2+(-7+3)2=9+16=25所以点M1(5,-7)在圆上.把点M2(-,-1)坐标代⼊圆的⽅程:(--2)2+(-1+3)2=13+4≠25,所以点M2(-,-1)不在圆上.9.设所求圆的⽅程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则:解得所求圆的⽅程为(x-2)2+(y+3)2=25.10.(1)利⽤圆的标准⽅程(x-a)2+(y-b)2=r2,只要能构造三个⽅程求出a,b,r便可.(2)确定⼀个圆只需确定圆⼼位置与半径⼤⼩.圆⼼为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),由于圆⼼C与A,B两点的距离相等,所以圆⼼C 在线段AB的垂直平分线m上,⼜圆⼼C在直线l 上,因此圆⼼C是直线l与直线m的交点,半径长等于|CA|或|CB|.解法⼀:设所求的圆的标准⽅程为(x-a)2+(y-b)2=r2,将点A(1,1)和B(2,-2)代⼊得⼜圆⼼在l:x-y+1=0上,所以a-b+1=0.联⽴⽅程组解得a=-3,b=-2,r=5.所以所求的圆的标准⽅程为(x+3)2+(y+2)2=25.解法⼆:因为A(1,1)和B(2,-2),所以线段AB的中点坐标为(,-),直线AB的斜率为k AB==-3,故线段AB的垂直平分线⽅程为y+(x-),即x-3y-3=0.由解得因此圆⼼C的坐标为(-3,-2),半径r=|AC|==5,所以所求的圆的⽅程为(x+3)2+(y+2)2=25.点评:⽐较解法⼀与解法⼆,不难看出解法⼆直接明了,思路明确,易于理解,⽽解法⼀则笼统,较繁.圆的⼏何性质的运⽤使圆的⽅程的求解运算简单、⽅便、快捷,这也是解析⼏何中以形助数的精髓,在以后的解题中要注意应⽤.教师个⼈研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能⼒和学校整体的教研实效，是摆在每⼀个学校⾯前的⼀项重要的“校本⼯程”。

《圆的标准方程》导学案第1课时 圆的标准方程 【学习目标】1.掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2.能判断点与圆的位置关系阅读课本P118-P119思考1、圆是怎么定义的？确定圆的要素有哪些，各要素确定了圆的什么？答：圆的定义：平面内到_____距离等于______的点的集合，定点叫圆心，定长叫半径。

确定圆的要素是_______和_________.______确定圆的位置；_______确定圆的大小2、圆心),(b a A ，半径为r 的圆的标准方程的推导过程3、两点间的距离公式.),(),,(222111y x P y x P=21P P知识点一 圆的标准方程圆心),(b a A ，半径为r 的圆的标准方程是______________________;圆心在原点的圆标准方程为_______________________________.练一练1、写圆的标准方程（1）圆心)1,2(-，半径为3； （2）圆心为原点，半径为5；（3）经过点)1,5(，圆心)2,6(-； （4）以)1,0(),5,2(-B A 为直径的圆2、圆13)2()3(22=++-y x 的圆心为____________,半径为______________.例1 写出圆心)3,2(-A ，半径成等于5的圆的方程，并判断点)7,5(1-M ，)1,5(2--M 与圆的位置关系知识点二 直线与圆的位置关系从圆标准方程推导过程思考，点),(00y x P 222,()()x a y b r -+-=，若点P 在圆内，圆上，圆外，则00,y x 应满足怎样的关系式？（1）点P 在圆内⇔（2）点P 在圆上⇔（3）点P 在圆外⇔练一练1已知圆心在),4,3(--C 且经过原点，求该圆的标准方程，并判断),0,1(1-P )4,3(),1,1(32--P P 和圆的位置关系。

2、点),3(a 在圆1622=+y x 的内部，求a 的取值范围3、点)2,1(不在圆2222)()(a a y a x =++-的内部，求实数a 的取值范围能力提升 求圆4)2()3(22=++-y x 关于直线1-=x 对称圆的方程【我的收获】本节课学到了哪些知识点？《圆的标准方程》导学案第2课时 圆的标准方程的求法 【学习目标】1会求圆的标准方程。

《圆的标准方程〔第1课时〕》教学设计献课教师：树德协进数学组刘运教材分析：圆是解析几何中一类重要的曲线，是在学生学习了直线与方程的根底知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以到达研究图形性质，圆的标准方程正是这一知识运用的延续，在学习中使学生进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力，是进一步学习圆锥曲线的根底。

对于知识的后续学习，具有相当重要的意义。

学情分析：圆是学生比拟熟悉的曲线，平面几何对圆的根本性质作了比拟系统的研究，本节之前又学习了建立直角坐标系求直线方程的方法，这些都为本节课的学习奠定的必要的根底。

再者，经过必修一、必修二的学习，高一学生对高中数学学习的根本方法也有了一定的体验和了解，具备了初步的观察、类比、归纳、概括、表达能力。

通过五种直线方程的学习，对坐标系下建立方程进行了反复训练，这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备。

教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“问题－探究〞教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近开展区上.启发学生思考问题，理解问题，解决问题。

教学目标：1．知识与技能〔1〕会推导圆的标准方程,掌握圆的标准方程;〔2〕能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程;2．过程与方法进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

3．情感态度与价值观通过利用已学知识学会分析、解决问题，品尝成功的喜悦，增强学生学习数学的兴趣，并激发学生学习数学的自信心。

教学重点与难点：重点:圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握。

难点： (1)由条件求圆的标准方程 (2)判定点和圆的位置关系知识回忆： 1、平面直角坐标系中A 〔x 1,y 1〕B 〔x 2,y 2〕间的距离d 为：2、直线的一般方程是 。

3、点〔x 0,y 0〕到直线A x +B y +C=0的距离公式 。