线性代数1-小结

Laplace 展开定理二、Laplace 定理行列式按某几行或几列展开定义:12(1)k i i i +++- ()22111k kj j j i i i M +++++++'- 即，中,k n (1)≤≤个元素，按原来的顺序,余下的元素按原来的顺序,余子式.其中ki i i 12,,, kj j j 12,,, 12kj j j ++++ ，D =M '525435+24++如Da aa aa a=111221223132a a111314a a313334Laplace 定理a ab b 1212+213+34c c 34d d c c0000a a=)......k kk a a a a 1111 ...a ...rb b 111...11a...b b 11k a 1.. 01．利用行列式定义直接计算2．利用行列式的性质计算3．化为三角形行列式4．降阶法5．逆推公式法6．利用已知行列式（范德蒙行列式）7．加边法（升阶法）8．数学归纳法9. 分拆法2123n n n降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用Laplace 定理a100 00naa+.0n x x D -=D=加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。

x a +na1n a D =。

线性代数教案第（1）次课授课时间（）1.教学内容: 二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；阶行列式的定义2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第一节 二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。

设二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22222211212111b x a x a b x a x a用消元法,当021122211≠-a a a a 时,解得211222111212112211222112121221,a a a a b a b a x a a a a b a b a x --=--=令2112221122211211a a a a a a a a -=,称为二阶行列式 ,则如果将D 中第一列的元素11a ,21a 换成常数项1b ,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D 表示,于是有2221211a b a b D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。

同理将 中第二列的元素a 12,a 22 换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 表示,于是有2121112b a b a D =按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和: ,这就是公式（2）中 的表达式的分子。

于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==D D x D D x 2211 其中0≠D例1. 解线性方程组 .1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-x x x x 同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a用消元法解得定义 设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211a a a a a a a a a 记 333231232221131211a a a a a a a a a D =322113312312332211a a a a a a a a a ++=332112322311312213a a a a a a a a a ---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆: 从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2.计算三阶行列式 .(-14) 例3.求解方程 （ ） 例4.解线性方程组 解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-= 再计算 321,,D D D515754101121-=--=D ,315534011222=--=D ,55730112123=---=D得 23171==D D x ,69312-==D D y ,6953-==D D z第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）1.教学内容: 行列式按行（列）展开；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第5节 行列式按行（列）展开定义 在 阶行列式中, 把元素 所处的第 行、第 列划去, 剩下的元素按原排列构成的 阶行列式, 称为 的余子式, 记为；而 称为 的代数余子式.引理 如果 阶行列式中的第 行除 外其余元素均为零, 即: .则： .证 先证简单情形:再证一般情形:定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和, 即按行: 按列: 证:（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnn n ini i n a a a a a a a a a D212111211000000+++++++++=nnn n in n nnn n i n nn n n i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21112112121121121111211000000+++=).,2,1(2211n i A a A a A a in in i i i i =+++=例1 : . 解:例2: 21122112----=n D解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r)()()()()()21331122213311n n n n n n n x x x x x x x x x x x -----, 并提出因子 ）()2321111--n n n x x x x x x()1-n 阶范德蒙行列式(1n x x -行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零第（ 4 ）次课授课时间（）1.教学内容: 克拉默法则；2.时间安排: 2学时；教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示.4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第（5）次课授课时间（）1.教学内容: 矩阵；矩阵的运算；2.时间安排: 2学时；3.教学方法: 讲授与讨论相结合；4.教学手段: 黑板讲解与多媒体演示。

第七章 线性变换(小结)本章的重点: 线性变换的矩阵以及它们对角化的条件和方法. 本章的难点: 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系.线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空间的整体结构以及向量之间的内在联系起着重要作用.线性变换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科,都有极为广泛的应用.本章的中心问题是研究线性变换的矩阵表示,在方法上则充分利用了线性变换与矩阵对应和相互转换. 一、线性变换及其运算1. 基本概念: 线性变换,可逆线性变换与逆变换; 线性变换的值域与核，秩与零度; 线性变换的和与差, 乘积和数量乘法, 幂及多项式.2. 基本结论(1) 线性变换保持零向量、线性组合与线性关系不变; 线性变换把负向量变为象的负向量、把线性相关的向量组变为线性相关的向量组(2) 线性变换的和、差、积、数量乘法和可逆线性变换的逆变换仍为线性变换.(3) 线性变换的基本运算规律(略).(4) 一个线性空间的全体线性变换关于线性变换的加法与数量乘法作成一个线性空间.(5) 线性空间V 的线性变换A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0) (a) A 的象Im(A )= A V 与核ker A = A -1(0)是V 的(A -)子空间. (b)若dim(V )=n ,则Im(A )由V 的一组基的象生成: 即设V 的一组基n ααα,...,,21, Im(A )= A V =L(A α1, A α2,… ,A αn )={ A α|α∈V }.ker A = A -1(0)= { α∈V | A α=0}.(c)A 的秩(dim Im(A ))+A 的零度(dim ker A )=n .(d)A 是双射⇔A 是单射⇔ Ker(A )={0}⇔A 是满射.(e)像空间的一组基的原像与核空间的一组基合并就是线性空间V 的一组基:取Im A 的一组基r βββ ,,21,存在,,...,21r ααα使得A i i βα=,i=1,2,…,r. 再取ker A 的基,,...1n r αα+则,,...,21r ααα,,...1n r αα+就是V 的一组基. 二、线性变换与矩阵1.基本概念:(1)线性变换在基下的矩阵:设A ∈L(V),取定n 维线性空间V 的一组基n ααα,...,,21,则A α1, A α2,… ,A αn 可由α1,α2,…,αn 线性表示, 即(A α1, A α2,… ,A αn )=( n ααα,...,,21)A ,矩阵A 称为线性变换A 在此基下的矩阵.(2) 一个线性变换在不同基下的矩阵相似:设n ααα,...,,21,n βββ,...,,21是线性空间V 的两组基,(n βββ,...,,21)=(n ααα,...,,21)P, (A α1, A α2,… ,A αn )=( n ααα,...,,21)A ,则(A β1, A β2,… ,A β n )=(n βββ,...,,21)AP P 1-.2.基本结论(1) 若n ααα,,,21 是线性空间V 的一个基, V n ∈∀βββ,,,21 ,则存在唯一A )(V L ∈,使得A n i i i ,,2,1,)( ==βα.(2) 在取定n 维线性空间V 的一个基之后,将V 的每一线性变换与它在这个基下的矩阵相对应,则这个对应使得线性变换的和、乘积、数量乘积的矩阵分别对应于矩阵的和、乘积、数量乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵。

线性代数方程组求解线性代数方程组是线性代数中一个重要的概念，它描述了一组线性方程的集合。

求解线性代数方程组是线性代数中的一项基本任务，它对于解决实际问题和数学推理都具有重要意义。

本文将介绍线性代数方程组的求解方法，包括矩阵消元法和矩阵的逆。

矩阵消元法矩阵消元法是求解线性代数方程组的一种常用方法。

它通过消元和回代两个步骤来求解方程组。

具体步骤如下：1.构造增广矩阵：将线性方程组的系数矩阵和常数向量按列合并，得到增广矩阵。

2.初等行变换：对增广矩阵进行初等行变换，将其转化为阶梯形矩阵或行最简形矩阵。

3.回代求解：从最后一行开始，逐步代入求解未知数，得到方程组的解。

矩阵消元法的优点是简单直观，容易理解和实现。

然而，当矩阵的行数和列数较大时，矩阵消元法的计算复杂度会很高，需要消耗大量的时间和计算资源。

矩阵的逆除了矩阵消元法，我们还可以使用矩阵的逆来求解线性代数方程组。

矩阵的逆是一个与原矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵。

对于给定的线性方程组Ax=b，我们可以通过以下步骤求解：1.计算矩阵A的逆矩阵A^-1。

2.将方程组转化为x=A^-1b。

3.计算x的值。

求解矩阵的逆的方法有多种，包括伴随矩阵法和初等变换法等。

其中，伴随矩阵法是一种常用的求解逆矩阵的方法。

它通过求解伴随矩阵和矩阵的行列式来计算矩阵的逆。

使用矩阵的逆求解线性代数方程组的优点是计算速度快，尤其适用于行数和列数较大的情况。

然而，矩阵的逆并不是所有矩阵都存在，如果矩阵不存在逆矩阵或逆矩阵存在但计算困难，则无法使用矩阵的逆求解方程组。

小结线性代数方程组的求解是线性代数中的一个重要问题，涉及到实际问题的解决和数学推理。

本文介绍了两种求解线性代数方程组的方法：矩阵消元法和矩阵的逆。

矩阵消元法通过消元和回代的过程来求解方程组，简单直观但计算复杂度较高；矩阵的逆通过求解矩阵的逆矩阵来求解方程组，计算速度快但存在逆矩阵不存在的情况。

根据具体问题的需求和矩阵性质的条件，选择合适的方法来求解线性代数方程组是十分重要的。

第一章行列式1．为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。

答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展，它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。

2．《线性代数》的前导课程。

答：初等代数。

3．《线性代数》的后继课程。

答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。

4．如何学习《线性代数》？答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。

在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联系。

在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。

第一章行列式5．什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。

答：由n个数1,2,… ,n 组成的一个有序数组。

6．什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。

答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123…n。

7．什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。

答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。

例如：排列45312中，数4与3，数4与1，数4与2，数5与3，数5与1，数5与2，数3与1，数3与2都构成逆序。

数4与5，数1与2不构成逆序。

8．什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。

答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。

例如：上问中的排列45312的逆序数为8。

9．什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。

答：逆序数为奇数的排列叫奇排列；逆序数为偶数的排列叫偶排列。

例如：排列45312为偶排列。

10．对换一个排列中的任意两个数，该排列的奇偶性有什么变化？【知识点】：排列的对换对排列的奇偶性的影响。

答：对换一个排列中的任意两个数，奇排列就变成偶排列，偶排列就变成奇排列。

第3章n维向量和线性方程组向量是线性代数的重点内容之一，也是难点，对逻辑推理有较高的要求。

本章从研究向量的线性关系（线性组合、线性相关与线性无关）出发，然后讨论向量组含最多的线性无关向量的个数，即引出向量组的秩和最大无关组，最后，应用向量空间的理论研究线性方程组的解的结构。

无论是证明、判断、还是计算，关键在于深刻理解本章的基本概念，搞清楚其相互关系，并会灵活应用。

3. 1 n维向量及其运算定义（n维向量）由数域F中的n个数a-i,a2/ , a n组成的有序数组-■ - ( a i, a2, , a n)a2耳一称为数域F上的一个n维向量，前者称为行向量，后者称为列向量，其中a1, a2 / ,a n称为向量的分量（或坐标）。

分量是实（复）数的向量称为实（复）向量。

如果没有特殊的声明，以下所讨论指数域F上的向量。

行向量可以看成行矩阵，列向量看成列矩阵，向量的运算规定按矩阵的运算法则进行。

以下讨论的向量，再没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。

设有向量■■ = （a i,a2,…，a n），- - （b1 ,b2 / , b n ）则向量相等的定义为- a i = b i （i=1,2,…,n）向量的加法定义为a + P =（a i +b i a? +b2 …a* +b n T数乘向量的定义为k：（「k）二（ka i,ka2, ,ka n）T向量的加法以及数乘运算统称为向量的线性运算，它满足下列8条运算规律（其中：■,'-,为n维向量，k,l为常数）：（1）二：+：= ：+=；)( :• - ) ( - )；(3)存在零向量0= ( 0,0，…，0 ) T，使得〉+0= ;(4)存在:-的负向量-二=(_a i,_a2,…，-a n)T,使得〉+ (-二)=0；(5)仁• = ：•；(6)k(l ： )=(kl):-;(7)k(: + 1 )=k +k :;(8)(k+l)用=k : +1 :;如果记矩阵A = (a j )m n的第j列向量为：a i ja2jQ j = : , (j=1,2,…,n)貝一则由向量的线性运算，可将方程组Ax=b写成下列形式：论一：* - X2J2…'x n J n二 b而齐次线性方程组A X=0则可写成向量形式：Xv 1 ■ X2： 2 …• X n： n = 03. 2向量组的线性相关性定义(线性组合)设宀，：^，…，〉m是一组n维向量，k1, k2/ ,k m是一组常数，则称向量kr 1 k2： 2 k m： m为向量〉1,〉2,i,〉m的一个线性组合，并称k1,k2 / , k m为该线性组合的系数。

《线性代数应该这样学》学习小结（英文名：Linear Algebra Done Rig h t）我的邮箱是：o mnit omato@gm ail.c om“近年来最具创新性的线性代数教材，每一位大学生都不可错过．”这是写在中译版背后的语录．冲着“每一位大学生”，我开始读这本书．原本只是为了复习一下已经忘得差不多的大一课程，但事实证明，这“复习”比我当时“学习”还要累．这本书和常规教材的讲授顺序几乎是反过来的，它从公理化定义的线性空间（Linear Sp a ce）入手，研究向量、算子（Operator）、内积（Inner Pr oduc t）以及本征值（Eigen v a l u e），最后再揭示了迹（Tra ce）与行列式（De t e r mina n t）在整个线性代数体系中的位置和意义．整本书的思路优美流畅，既充分讲述了线代的内容，又对线代的外延做了适当的拓展．读完这本书，我感受到，数学各个分支有着密切的联系．傅里叶变换、拉普拉斯变换在谱定理（Sp e ctr a l T h e orem）的背后若隐若现；迹与行列式、韦达定理，其思想一脉相承．这本书非常好，但是我读得并不深入，因为我没有足够的时间去深究每一个命题．这本书的作者Sheldon Axler 在书的前言“致教师”里说“即便是这么薄的一本书，你也不要指望能把所有内容都讲完．一学期讲完前八章就已经是一个雄心勃勃的目标了．”所以可想而知，我三个月读完这本书是一个什么样的效果．而且我觉得读这本书理想的条件和方式是：学过一遍常规线代教材的几个人，组成一个小组，花上一年半载的时间，一起来研读这本书．因为多人讨论是一种绝佳的启发思路的方法．可惜我只满足第一个．因此，在这个小结里，我不想过多涉及具体的线代理论（具体理论，可以看看这个博客：ht tp://t i a np e ng.72pi nes.c om/），只是谈谈这本书给我在数学思想方法上的启示．1. 公理化定义 这是一种抽象的定义方式．其动机可以归纳为这么几个步骤：自然定义，特征归纳，公理 化定义．以内积和范数（Norm ）的定义为例：a. 从几何上的点积，我们有：，其中；b. 把坐标的定义域向复数拓展，同时为了保证在实数域中的结论不变，考虑到若，则有，所以定义复数域上的内积为：然定义；，其中．至此为第一步，自c. 由前面定义的复数域上的内积，可以归纳出以下性质：（在线性代数中，把内积记为< , >）正性：对所有，都有； 定性：当且仅当； 第一个位置的加性：对所有，都有；第一个位置的齐性：对所有，都有；共轭对称性：对所有，都有；这一步是归纳．尽管书上没有提，但我觉得归纳这一步，不是一次性完成的，而是 在自然定义的基础上发展出一套理论后，再根据建立这套理论所需要的性质归纳出 来．而对于数学思想方法的理解，则只需要知道归纳就够了；d. 凡是符合以上性质的运算，都可以叫做内积，因此对于，可以验证是内积的一种定义．至此为公理化定义．读完这本书，我明白了为什么以前竞赛书里往往会列举一些显而易见的性质，比如“可加性”“自反性”，这都为公理化定义做了准备，将定义抽象化，也就便于将定理拓展到其他方面运用，比如从几何拓展到代数．2. 线性的黑盒＂线性＂是这本书中以及整个线代理论中应用最广泛的一个公理化定义．百度百科给＂线性＂的定义是＂指量与量之间按比例、成直线的关系＂，这也是一直以来老师们所给的描述，但为何要＂成比例＂？为何也是直线却不是＂线性＂？有时候，对于一个抽象却又显而易见的概念，不如从它的反面去理解．线性的反面——非线性，其实在生活、工程中随处可见．人们星期一工作，但人们星期六（把星期六看做星期一×６）不工作；实际电压为1V 的时候，电压表显示为1V，实际电压上升到100V 的时候，电压表显示为10V 或者Error（反正不是100V），因为电压表爆了．所以从＂非线性＂，我们发现＂线性＂具有很好的一个性质：a.知道了一组输入、输出后，就可以推测出这一组任意倍数的输入、输出．＂线性＂还有一个很好的性质在于：b.知道了两组输入输出后，可以把两个输入相加（减），得到的新输出就是两个已知输出的和（差）．数学上的这种输入、输出对关系，叫做映射。