2010年江西高考理科数学试题及答案

2010年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)数学本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由ac2＞bc2⇒a＞b，但由a＞b推不出ac2＞bc2.答案：B2．若集合A＝{x| |x|≤1}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝()A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．∅解析：A＝{x| |x|≤1}＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝{x|0≤x≤1}．答案：C3．(1－x)10展开式中x3项的系数为()A．－720 B．720 C．120 D．－120解析：由通项公式T r＋1＝C r10(－x)r＝(－1)r C r10·x r，令r＝3，可得T3＋1＝－C310x3＝－120x3.答案：D4．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝()A．－1 B．－2 C．2 D．0解析：由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.答案：B5．不等式|x－2|＞x－2的解集是()A．(－∞，2) B．(－∞，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：当x－2≥0时，|x－2|＝x－2，此时原不等式的解集为∅；当x－2＜0，即x＜2时，|x－2|＞0＞x－2，故原不等式的解集为(－∞，2)．答案：A6．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54] 解析：y ＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54，因为－1≤sin x ≤1，所以当sin x ＝－12时，y 取最小值－54，当sin x ＝1时，y 取最大值1. 答案：C7．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n ＝( )A ．(－2)n －1B ．－(－2)n －1C ．(－2)nD ．－(－2)n解析：记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1，当a 1＝－1时，a 5＝－16＜a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16＞a 2＝－2，符合题意，故a n ＝a 1q n －1＝(－2)n －1. 答案：A8．若函数y ＝ax 1＋x的图象关于直线y ＝x 对称，则a 为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．任意实数解析：若函数y ＝f (x )＝ax 1＋x的图象关于直线y ＝x ，对称，则f (x )＝f －1(x )，易求得f －1(x )＝x a －x，故a ＝－1. 答案：B9．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p (0＜p ＜1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为( )A ．(1－p )nB ．1－p nC ．p nD ．1－(1－p )n 解析：显然n 位同学参加某项选拔测试可看作n 次独立重复试验，其中没有一位同学能通过测试的概率为(1－p )n ，故至少有一位同学能通过测试的概率为1－(1－p )n .答案：D10．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A ．[－34，0]B ．[－33，33]C ．[－3，3]D ．[－23，0]解析：如图，记题中的圆的圆心为C (2,3)，作CD ⊥MN 于D ，则|CD |＝|2k |1＋k 2，于是有|MN |＝2|MD |＝2|CM |2－|CD |2＝24－4k 21＋k 2≥23，即4－4k 21＋k 2≥3， 解得－33≤k ≤33. 答案：B11．如图，M 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列四个命题： ①过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都相交；②过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都垂直；③过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都相交；④过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都平行．其中真命题是( )A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③ 解析：将过点M 的平面CDD 1C 1绕直线DD 1旋转任意非零的角度，所得的平面与直线AB ，B 1C 1都相交，故③错误，排除ABD ，选C.答案：C12．四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数y ＝sin2x ，y ＝sin(x ＋π6)，y ＝sin(x －π3)的图象如下，结果发现恰有一位同学作出的图象有错误，那么有错误的图象是( )解析：当x ＝2k π(k ∈Z)时，y ＝sin 2x ＝sin2(2k π)＝0，y ＝sin(x ＋π6)＝sin(2k π＋π6)＝12＞0，y ＝sin(x －π3)＝sin(2k π－π3)＝3－2＜0，显然周期最小的函数为y ＝sin 2x ，如图，过函数y ＝sin 2x 的图象上的点(2k π，0)(k ∈Z)作一直线x ＝2k π(k ∈Z)，则此直线与另外两条曲线的两个交点的纵坐标分别为12，－32，结合各选项可知错误的图象为C. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中的横线上．13．已知向量a ，b 满足|b|＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是________． 解析：b 在a 上的投影是|b|cos 〈a ，b 〉＝2cos 60°＝1.答案：114．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．解析：由题意知，不同的分配方案的种类为N ＝C 25C 23A 22·A 33＝10×32×6＝90. 答案：9015．点A (x 0，y 0)在双曲线x 24－y 232＝1的右支上，若点A 到右焦点的距离等于2x 0，则x 0＝________.解析：由题意知a ＝2，b ＝42，则c ＝a 2＋b 2＝6，所以右准线为x ＝a 2c ＝23，由双曲线的第二定义知2x 0x 0－23＝e ＝3,2x 0＝3x 0－2，故x 0＝2. 答案：216．长方体ABCD －A1B 1C 1D 1的顶点均在同一个球面上，AB ＝AA 1＝1，BC ＝2，则A ，B 两点间的球面距离为________．解析：设球的半径为R ，由题知球的直径等于长方体的体对角线长，即2R ＝AB 2＋AA 21＋BC 2＝2，所以R ＝1，设O 为球的球心，△ABO是边长为1的正三角形，故A ，B 两点间的球面距离为π3×1＝π3. 答案：π3三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .(1)若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，求实数a 的值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解：f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .(1)由已知有f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a 18＝1，所以a ＝9； (2)由于Δ＝36(a ＋2)2－4×18×2a ＝36(a 2＋4)＞0.所以不存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数．18．(本小题满分12分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．(1)求走出迷宫时恰好用了1小时的概率；(2)求走出迷宫的时间超过3小时的概率．解：(1)设A 表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，则P (A )＝13. (2)设B 表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，事件B 包括两种情况，一是系统第一次为你选择2号通道，返回智能门后再为你选择了3号通道，二是系统第一次为你选择了3号通道．所以P (B )＝13×12＋13＝12. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin(x ＋π4)sin(x －π4)． (1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈[π12，π2]，求f (x )的取值范围． 解：(1)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos2x ＝1－cos2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12，由tan α＝2得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35， 所以f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin2x ＋cos2x )＋12＝22sin(2x ＋π4)＋12， 由x ∈[π12，π2]得2x ＋π4∈[5π12，5π4]，所以sin(2x ＋π4)∈[－22，1]，从而f (x )＝22sin(2x ＋π4)＋12∈[0，1＋22]．20．(本小题满分12分)如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB ＝2 3.(1)求直线AM 与平面BCD 所成角的大小；(2)求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值．解：法一：(1)取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD .又平面MCD ⊥平面BCD ，所以MO ⊥平面BCD ，所以MO ∥AB ，A 、B 、O 、M 共面，延长AM 、BO 相交于E ，则∠AEB 就是AM 与平面BCD 所成的角．因为OB ＝MO ＝3，MO ∥AB ，所以EO EB ＝MO AB ＝12，EO ＝OB ＝3，所以EB ＝23＝AB ，故∠AEB ＝45°.(2)CE 是平面ACM 与平面BCD 的交线．由(1)知，O 是BE 的中点，则四边形BCED 是菱形．作BF ⊥EC 于F ，连AF ，则AF ⊥EC ，∠AFB 就是二面角A －EC －B 的平面角，即平面ACM 与平面BCD 所成二面角的平面角，设为θ.因为∠BCE ＝120°，所以∠BCF ＝60°.所以BF ＝BC ·sin60°＝3，又AB ＝23，AB ⊥BF ，所以AF ＝15，所以sin θ＝255. 即所求二面角的正弦值是255.法二：取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD ，又平面MCD ⊥平面BCD ，所以MO ⊥平面BCD .以O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图所示． 由OB ＝OM ＝3，可知各点坐标分别为O (0,0,0)，C (1,0,0)，M (0,0，3)，B (0，－3，0)，A (0，－3，23)，(1)设直线AM 与平面BCD 所成的角为α.因AM ＝(0，3，－3)，平面BCD 的一个法向量为n (0,0,1)．则有sin α＝|cos 〈AM ，n 〉|＝|AM ·n | AM |·|n ||＝36＝22，所以α＝45°. (2) CM ＝(－1,0，3)，CA ＝(－1，－3，23)．设平面ACM 的一个法向量n 1为(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧ n 1⊥CM n 1⊥CA 得⎩⎨⎧－x ＋3z ＝0－x －3y ＋23z ＝0， 解得x ＝3z ，y ＝z ，取n 1＝(3，1,1)．则cos 〈n 1，n 〉＝n 1·n |n 1|·|n|＝15. 设所求二面角为θ，则sin θ＝1－(15)2＝255. 21．(本小题满分12分)如图，已知抛物线C1：x 2＋by ＝b 2经过椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点． (1)求椭圆C 2的离心率；(2)设点Q (3，b )，又M ，N 为C 1与C 2不在y 轴上的两个交点，若△QMN 的重心在抛物线C 1上，求C 1和C 2的方程．解：(1)因为抛物线C1经过椭圆C 2的两个焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，所以c 2＋b ×0＝b 2，即c 2＝b 2，由a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以椭圆C 2的离心率e ＝22. (2)由(1)可知a 2＝2b 2，椭圆C 2的方程为：x 22b 2＋y 2b 2＝1 联立抛物线C 1的方程x 2＋by ＝b 2得：2y 2－by －b 2＝0.解得：y ＝－b 2或y ＝b (舍去)，所以x ＝±62b ， 即M (－62b ，－b 2)，N (62b ，－b 2)，又因为Q (3，b )， 所以△QMN 的重心坐标为(1,0)．因为重心在C 1上，所以12＋b ×0＝b 2，得b ＝1.所以a 2＝2.所以抛物线C 1的方程为：x 2＋y ＝1，椭圆C 2的方程为：x 22＋y 2＝1. 22．(本小题满分14分)正实数数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，且{a 2n }成等差数列．(1)证明数列{a n }中有无穷多项为无理数；(2)当n 为何值时，a n 为整数，并求出使a n ＜200的所有整数项的和．解：(1)证明：由已知有：a 2n ＝1＋24(n －1)，从而a n ＝1＋24(n －1)，法一：取n －1＝242k －1，则a n ＝1＋242k (k ∈N *)． 用反证法证明这些a n 都是无理数．假设a n ＝1＋242k 为有理数，则a n 必为正整数，且a n ＞24k ，故a n －24k ≥1.a n ＋24k ＞1，与(a n －24k )(a n ＋24k )＝1矛盾，所以a n ＝1＋242k (k ∈N *)都是无理数，即数列{a n }中有无穷多项为无理数． 法二：因为a 2n ＋1＝1＋24n (n ∈N)，当n 的末位数字是3,4,8,9时，1＋24n 的末位数字是3或7，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时a n ＋1＝1＋24n 不是有理数，因这种n 有无穷多，故这种无理项a n ＋1也有无穷多．(2)要使a n 为整数，由(a n －1)(a n ＋1)＝24(n －1)可知：a n －1，a n ＋1同为偶数，且其中至少一个必为3的倍数，所以有a n －1＝6m 或a n ＋1＝6m ，当a n ＝6m ＋1时，有a 2n ＝36m 2＋12m ＋1＝1＋12m ·(3m ＋1)(m ∈N)，又m (3m ＋1)必为偶数，所以a n ＝6m ＋1(m ∈N)满足a 2n ＝1＋24(n －1)即n ＝m (3m ＋1)2＋1(m ∈N)时，a n 为整数； 同理a n ＝6m －1(m ∈N *)时，有a 2n ＝36m 2－12m ＋1＝1＋12m (3m －1)(m ∈N *)，也满足a 2n ＝1＋24(n －1)，即n ＝m (3m －1)2＋1(m ∈N)时，a n 为整数； 显然a n ＝6m －1(m ∈N *)和a n ＝6m ＋1(m ∈N)是数列中的不同项； 所以当n ＝m (3m ＋1)2＋1(m ∈N)和n ＝m (3m －1)2＋1(m ∈N *)时，a n 为整数； 由a n ＝6m ＋1＜200(m ∈N)有0≤m ≤33.由a n ＝6m －1＜200(m ∈N *)有1≤m ≤33.设a n 中满足a n ＜200的所有整数项的和为S ，则S ＝(5＋11＋...＋197)＋(1＋7＋13＋ (199)＝5＋1972×33＋1＋1992×34＝6 733.。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知（x+i ）(l- i)=y,则实数x,y 分别为 A ．x=-1 y=1 B.x=-1,y=2 C ．x=1 y=1 D. x=1,y=2 2．若集合A=A ．{|x -1≤ x ≤1 } B. {|x x ≥0} C ．{|x 01x ≤≤} D.∅3.不等式22||x x x x++>的解集是 A ．（0，2） B. （-∞，0） C ．（2，+∞） D. （-∞，0）⋃（0，+∞）4lim x →∞(1+13 +213+…+x 13)=A.5/3B.3/2C. 2D.不存在5.等比数列| a n |中 a 1 = 2，a x = 4,函数f （x ）=x(x - a 1)(x – a 2 )…(x - a x ),责f x (0)= A. 26 B.29 C .212 D. 2156.(2-x )8 展开始终不含x 4想的系数的和为A.-1B.0C. 1D.27．E ，F 是等腰直角ABC V 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF= A ．2627 B ．23 C 3 D ．348．直线y=kx+3与圆()23x -+()22y -= 4 相交于M , N 两点，若MN ≥3,则k 的取值范围是A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦∪[)0,+∞ C ．3333⎡-⎢⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9．给出下列三个命题： ①函数y =12ln 1cos 1cos x x -+与y =ln tan 2x是同一函数； ②若函数y = f(x)与y =g(x)的图像关于直线 y = x 对称，则函数 y =f (2x)与 y =12g(x)的图像也相关于直线y = x 对称；③若奇函数f(x)对定义域内任意x 都有f(x)= f(2-x)，则f(x)为周期函数，期中真命题是 A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②10.过正方体1111ABCD A B C D -顶点A 做直线1l ，使l 与棱1AB 1AD 1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作A.1条B.2条C.3条D.4条11.一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II ）（数学理）【教师简评】按照“保持整体稳定，推动改革创新，立足基础考查，突出能力立意”命题指导思想，本套试卷的总体印象是:题目以常规题为主，难度较前两年困难，得高分需要扎扎实实的数学功底.1.纵观试题，小题起步较低，难度缓缓上升，除了选择题11、12、16题有一定的难度之外，其他题目难度都比较平和.2.解答题中三角函数题较去年容易，立体几何难度和去年持平，数列题的难度较去年有所提升，由去年常见的递推数列题型转变为今年的数列求极限、数列不等式的证明，不易拿满分，概率题由去年背景是“人员调配”问题，转变为今年的与物理相关的电路问题，更体现了学科之间的联系.两道压轴题以解析几何和导数知识命制，和去年比较更有利于分步得分.3.要求考生有比较强的计算能力，例如立体几何问题，题目不难，但需要一定的计算技巧和能力.不管题目难度如何变化，“夯实双基(基础知识、基本方法)”，对大多数考生来说，是以不变应万变的硬道理..（1）复数231i i -⎛⎫=⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i +（2）.函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是A211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+>（C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈（3）.若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35（5）不等式261x x x ---＞的解集为（A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ） {}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种(7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像 （A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位（8）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB a =u u r，CA b =uu r ，1a =，2b =，则CD =uu u r（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b +（9）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 （A ）1 （B（C ）2 （D ）3（10）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = （A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8（11）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B（C（D ）2（13）已知a 是第二象限的角，4tan(2)3a π+=-，则tan a = ．（14）若9()a x x -的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．（15）已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)Ml 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =，则p = ．（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN =三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ．（18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2()3n n S n n =+ ． （Ⅰ）求limnn n a S →∞； （Ⅱ）证明：12222312n n a a a n +++…＞（19）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB的中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =．（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线；（Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°，求二面角111A AC B --的大小．（20）（本小题满分12分）如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999． （Ⅰ）求p ；（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．（21）（本小题满分12分）己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()2222100x y a b a b -=＞，＞相交于B 、D 两点，且BD 的中点为()1,3M ．（Ⅰ）求C 的离心率；（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF = ，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．（22）（本小题满分12分） 设函数()1xf x e -=-．（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1xf x x ≥+；（Ⅱ）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求a 的取值范围．参考答案1【答案】A【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦.2【答案】D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。

2010年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2010•江西）已知（x+i）（1﹣i）=y，则实数x，y分别为（）A．x=﹣1，y=1 B．x=﹣1，y=2 C．x=1，y=1 D．x=1，y=2【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，利用复数相等求出x、y即可．【解答】解：考查复数的乘法运算．可采用展开计算的方法，得（x﹣i2）+（1﹣x）i=y，没有虚部，即，解得：x=1，y=2．故选D．【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．2．（5分）（2010•江西）若集合A={x||x|≤1，x∈R}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|0≤x≤1} D．∅【考点】交集及其运算．【分析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算．常见的解法为计算出集合A、B的最简单形式再运算．【解答】解：由题得：A={x|﹣1≤x≤1}，B={y|y≥0}，∴A∩B={x|0≤x≤1}．故选C．【点评】在应试中可采用特值检验完成．3．（5分）（2010•江西）不等式||＞的解集是（）A．（0，2）B．（﹣∞，0）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）【考点】绝对值不等式．【专题】计算题；转化思想．【分析】首先题目求不等式||＞的解集，考虑到分析不等式||＞含义，即的绝对值大于其本身，故可以得到的值必为负数．解得即可得到答案．【解答】解：分析不等式||＞，故的值必为负数．即，解得0＜x＜2．故选A．【点评】此题主要考查绝对值不等式的化简问题，分析不等式||＞的含义是解题的关键，题目计算量小，属于基础题型．4．（5分）（2010•江西）…=（）A．B．C．2 D．不存在【考点】极限及其运算；等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】先求和，由…，得，由此可得…的值．【解答】解：…=，故选B．【点评】考查等比数列求和与极限知识，解题时注意培养计算能力．5．（5分）（2010•江西）等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=（）A．26B．29C．212D．215【考点】导数的运算；等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】对函数进行求导发现f′（0）在含有x项均取0，再利用等比数列的性质求解即可．【解答】解：考虑到求导中f′（0），含有x项均取0，得：f′（0）=a1a2a3…a8=（a1a8）4=212．故选：C．【点评】本题考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法．6．（5分）（2010•江西）展开式中不含x4项的系数的和为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去x4项系数C8820（﹣1）8=1即为所求【解答】解：中，令x=1得展开式的各项系数和为1的展开式的通项为=令得含x4项的系数为C8820（﹣1）8=1故展开式中不含x4项的系数的和为1﹣1=0故选项为B【点评】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反．7．（5分）（2010•江西）E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】约定AB=6，AC=BC=，先在△AEC中用余弦定理求得EC，进而在△ECF中利用余弦定理求得cosECF，进而用同角三角函数基本关系求得答案．【解答】解：约定AB=6，AC=BC=，由余弦定理可知cos45°==；解得CE=CF=，再由余弦定理得cos∠ECF==，∴【点评】考查三角函数的计算、解析化应用意识．8．（5分）（2010•江西）直线y=kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．C．[﹣]D．[﹣，0]【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；直线和圆的方程的应用．【专题】压轴题．【分析】先求圆心坐标和半径，求出最大弦心距，利用圆心到直线的距离不大于最大弦心距，求出k的范围．【解答】解：解法1：圆心的坐标为（3，2），且圆与x轴相切．当，弦心距最大，由点到直线距离公式得解得k∈；故选A．解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可，不取+∞，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，故选A．【点评】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考查数形结合的运用．解法2是一种间接解法，选择题中常用．9．（5分）（2010•江西）给出下列三个命题：①函数与是同一函数；②若函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（2x）与的图象也关于直线y=x对称；③若奇函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）=f（2﹣x），则f（x）为周期函数．其中真命题是（）A．①②B．①③C．②③D．②【考点】判断两个函数是否为同一函数；函数的周期性；反函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数的三要素可得①不正确；根据互为反函数的两个函数的图象特征可得②正确；根据奇函数的定义、周期函数的定义可得f（x）是周期为4的周期函数，可得③正确，从而得出结论．【解答】解：对于函数=ln=ln，要求tan∈R，而函数则要求tan＞0，故①中2个函数解析式不同，即对应关系不同，而且定义域也不同，故不是同一个函数，故排除A．若函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（x）与函数y=g（x）互为反函数，故函数y=f（2x）与也互为反函数，故它们的图象也关于直线y=x对称，故②正确．验证③，f（﹣x）=f[2﹣（﹣x）]=f（2+x），又通过奇函数得f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x），∴f（4+x）=f（x），所以f（x）是周期为4的周期函数，故选：C．【点评】本题考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识，考虑定义域不同，属于基础题．10．（5分）（2010•江西）过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A作直线L，使L与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线L可以作（）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】异面直线及其所成的角．【专题】分类讨论．【分析】直线与直线的所成角为锐角或直角所以要对过点A的直线进行分类，分两类第一类：通过点A位于三条棱之间，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，进行讨论即可．【解答】解：第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条．故选D．【点评】本题主要考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力，属于基础题．11．（5分）（2010•江西）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为P1和P2．则（）A．P1=P2B．P1＜P2C．P1＞P2D．以上三种情况都有可能【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型；等可能事件的概率．【专题】计算题；压轴题．【分析】每箱中抽到劣币的可能性都相等，故可用独立重复试验求解，又因为事件“发现至少一枚劣币”的对立事件是“没有劣币”，概率好求．方法一概率为1﹣0.9910；方法二概率为1﹣（）5，做差比较大小即可．【解答】解：方案一：此方案下，每箱中的劣币被选中的概率为，没有发现劣币的概率是0.99，故至少发现一枚劣币的总概率为1﹣0.9910；方案二：此方案下，每箱的劣币被选中的概率为，总事件的概率为1﹣（）5，作差得P1﹣P2=（）5﹣0.9910，由计算器算得P1﹣P2＜0∴P1＜P2．故选B【点评】本题考查独立重复试验的概率和对立事件的概率问题，以及利用概率知识解决问题的能力．12．（5分）（2010•江西）如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S（t）（S（0）=0），则导函数y=S′（t）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】压轴题；创新题型．【分析】本题利用逐一排除的方法进行判断，结合选项根据最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，以及总面积一直保持增加，没有负的改变量，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断进行判定即可．【解答】解：最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A．故选A．【点评】本题考查函数图象、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2010•江西）已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角为60°，则|﹣|=．【考点】向量的模．【专题】计算题；数形结合．【分析】根据题意和根据向量的减法几何意义画出图形，再由余弦定理求出||的长度．【解答】解：如图，由余弦定理得：||===故答案为：．【点评】本题考查的知识点有向量的夹角、向量的模长公式、向量三角形法则和余弦定理等，注意根据向量的减法几何意义画出图形，结合图形解答．14．（4分）（2010•江西）将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有90种（用数字作答）．【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题．【分析】根据分组分配问题的思路，先将5人分成3组，计算可得其分组情况，进而将其分配到三个不同场馆，由排列公式可得其情况种数，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，首先将5人分成3组，由分组公式可得，共有=15种不同分组方法，进而将其分配到三个不同场馆，有A33=6种情况，由分步计数原理可得，不同的分配方案有15×6=90种，故答案为90．【点评】本题考查排列组合里分组分配问题，注意一般分析顺序为先分组，再分配．15．（4分）（2010•江西）点A（x0，y0）在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x0，则x0=2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题设条件先求出a，b，由此能求出x0的值．【解答】解：a=2．c=6，∴右焦点F（6，0）把A（x0，y0）代入双曲线，得y02=8x02﹣32，∴|AF|=∴．故答案为：2．【点评】本题考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，解题时要注意公式的合理运用．16．（4分）（2010•江西）如图，在三棱锥O﹣ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＞OB＞OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为S3＜S2＜S1．【考点】棱锥的结构特征．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】设OA=a、OB=b、OC=c，取BC的中点D并连结OD、AD，由三角形中线的性质与锥体体积公式，可得截面OAD就是将三棱锥O﹣ABC的体积分成两等分的截面三角形，结合题意得S△OAD=S1．根据OA、OB、OC两两垂直，在Rt△OBC中算出中线OD=，从而算出Rt△AOD的面积S1=．同理求出S2=，S3=．最后根据a＞b＞c＞0比较三个表达式的大小，即可得到S1＞S2＞S3．【解答】解：设OA=a，OB=b，OC=c，则a＞b＞c＞0．取BC的中点D，连结OD、AD，∵OD是△BCD的BC边上的中线，∴S△OBD=S△OCD=S△OBC，因此V A﹣OBD=V A﹣OCD=V A﹣OBC，即截面OAD将三棱锥O﹣ABC的体积分成两等分，可得S△OAD=S1，∵OA、OB、OC两两垂直，∴OA⊥OB，OB⊥OC且OA⊥OC，∵OB、OC是平面OBC内的相交直线，∴OA⊥平面OBC，结合OD⊂平面OBC，得OA⊥OD．∵Rt△OBC中，OB=b且OC=c，∴斜边BC=，得OD=BC=．因此S△OAD=OA•OD=，即S1=．同理可得S2=，S3=．∵a＞b＞c＞0，∴a2b2+a2c2＞a2b2+b2c2＞b2c2+a2c2，可得＞＞，即S1＞S2＞S3．故答案为：S1＞S2＞S3【点评】本题给出过同一个顶点三条棱两两垂直的三棱锥，经过这三条棱分别作将三棱锥分成两等分的截面，比较三个截面的大小．着重考查了线面垂直的判定与性质、锥体的体积公式、勾股定理与解直角三角形和不等式的性质等知识，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2010•江西）已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x+msin（x+）sin（x﹣）．（1）当m=0时，求f（x）在区间上的取值范围；（2）当tana=2时，，求m的值．【考点】弦切互化；同角三角函数间的基本关系．【专题】综合题．【分析】（1）把m=0代入到f（x）中，然后分别利用同角三角函数间的基本关系、二倍角的正弦、余弦函数公式以及特殊角的三角函数值把f（x）化为一个角的正弦函数，利用x的范围求出此正弦函数角的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可得到f（x）的值域；（2）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式及积化和差公式化简得到关于sin2x和cos2x的式子，把x换成α，根据tanα的值，利用同角三角函数间的基本关系以及二倍角的正弦函数公式化简求出sin2α和cos2α的值，把sin2α和cos2α的值代入到f（α）=中得到关于m的方程，求出m的值即可．【解答】解：（1）当m=0时，=，由已知，得sin（2x﹣）∈[﹣，1]，从而得：f（x）的值域为．（2）因为=sin2x+sinxcosx+=+﹣=所以=①当tanα=2，得：，，代入①式，解得m=﹣2．【点评】考查三角函数的化简、三角函数的图象和性质、已知三角函数值求值问题．依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中档题．18．（12分）（2010•江西）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．（1）求ξ的分布列；（2）求ξ的数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题．【分析】（1）若首次到达1号通道，则ξ的取值为1；若首次到达2号通道，再次到达1号通道，则ξ的取值为3；若首次到达2号通道，再次到达3号通道，最后到达1号通道，则ξ的取值为6；同理若首次到达3号通道时，ξ的取值可为4或6，分别求出对应概率即可．（2）利用期望公式代入即可．【解答】解：（1）必须要走到1号门才能走出，ξ（2）可能的取值为1，3，4，6，，，，（2）小时．【点评】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查．19．（12分）（2010•江西）设函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间．（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为，求a的值．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）已知a=1，f′（x）=﹣+1，求解f（x）的单调区间，只需令f′（x）＞0解出单调增区间，令f′（x）＜0解出单调减区间．（2）区间（0，1]上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值．【解答】解：对函数求导得：，定义域为（0，2）（1）当a=1时，f′（x）=﹣+1，当f′（x）＞0，即0＜x＜时，f（x）为增函数；当f′（x）＜0，＜x＜2时，f（x）为减函数．所以f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，2）（2）函数f（x）=lnx+ln（2﹣x）+ax（a＞0）．因为a＞0，x∈（0，1]，所以＞0，所以函数为单调增函数，（0，1]为单调递增区间．最大值在右端点取到．所以a=．【点评】考查利用导数研究函数的单调性，利用导数处理函数最值等知识．20．（12分）（2010•江西）如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2．（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】（1）取CD中点O，连OB，OM，延长AM、BO相交于E，根据线面所成角的定义可知∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，在三角形AEB中求出此角即可；（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，作BF⊥EC于F，连AF，根据二面角的平面角的定义可知∠AFB就是二面角A﹣EC﹣B的平面角，在三角形AFB中求出此角的正弦值，从而求出二面角的正弦值．【解答】解：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD．又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，A、B、O、M共面．延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角．OB=MO=，MO∥AB，则，，所以，故∠AEB=45°．（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线．由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形．作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A﹣EC﹣B的平面角，设为θ．因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°．．所以，所求二面角的正弦值是．【点评】本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力．21．（12分）（2010•江西）设椭圆C2：=1（a＞b＞0），抛物线C2：x2+by=b2．（1）若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；（2）设A（0，b），，又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为，且△QMN的重心在C2上，求椭圆C和抛物线C2的方程．【考点】椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合．【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；方程思想．【分析】（1）由已知椭圆焦点（c，0）在抛物线上，可得：c2=b2，由a2=b2+c2，求得C1的离心率；（2）由题设可知M、N关于y轴对称，设M（﹣x1，y1），N（x1，y1）（x1＞0），由△AMN的垂心为B，根据三角形的垂心是三条高线的交点，可知，再根据三角形的重心坐标公式求得△QMN的重心，代入抛物线C2：x2+by=b2，即可求得椭圆C和抛物线C2的方程．【解答】解：（1）由已知椭圆焦点（c，0）在抛物线上，可得：c2=b2，由．（2）由题设可知M、N关于y轴对称，设M（﹣x1，y1），N（x1，y1）（x1＞0），由△AMN的垂心为B，有．由点N（x1，y1）在抛物线上，x12+by1=b2，解得：故，得△QMN重心坐标．由重心在抛物线上得：，，又因为M、N在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为x2+2y=4．【点评】此题是个中档题．考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程．考查抛物线的定义和简单的几何性质，特别是问题（2）的设问形式，增加了题目的难度，同时考查了三角的垂心和重心有关性质和公式，综合性强．22．（14分）（2010•江西）证明以下命题：（1）对任一正整a，都存在整数b，c（b＜c），使得a2，b2，c2成等差数列．（2）存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长a n，b n，c n为正整数且a n2，b n2，c n2成等差数列．【考点】等比关系的确定；等差关系的确定．【专题】证明题；压轴题．【分析】（1）要证a2，b2，c2成等差数列，考虑到结构即要证a2+c2=2b2，取特值12，52，72满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立．类似勾股数进行拼凑．（2）结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷．【解答】解（1）考虑到结构特征，取特值12，52，72满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立．（2）证明：当a n2，b n2，c n2成等差数列，则b n2﹣a n2=c n2﹣b n2，分解得：（b n+a n）（b n﹣a n）=（c n+b n）（c n﹣b n）选取关于n的一个多项式，4n（n2﹣1）做两种途径的分解4n（n2﹣1）=（2n﹣2）（2n2+2n）=（2n2﹣2n）（2n+2）4n（n2﹣1）对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立，考察三角形边长关系，可构成三角形的三边．下证互不相似．任取正整数m，n，若△m，△n相似：则三边对应成比例，由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似．【点评】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力．考查学生对等比关系和等差关系确定的能力．。

第1/10页2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（含答案）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

第I 卷1至2页。

第II 卷3至4页。

考试结束后，将本草纲目试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无交通工效．．．．．．．．．．．．。

3.第I 卷共12小题，第小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式)(()()P A BP A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 )(()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343v R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生K 次的概率 其中R 表示球的半径 ())((10,1,2,,C ηκηηρκρρκη-AA=-=⋅⋅⋅一． 选择题（1）复数3223ii+-=（A ）．i （B ）.-i （C ）.12—13i （D ）.12+13i （2） 记cos （-80°）=k ，那么tan100°=（A ）（B ）. —（C.）（D ）.第2/10页（3）若变量x ，y 满足约束条件则z=x —2y 的最大值为（A ）．4 （B ）3 （C ）2 （D ）1(4) 已知各项均为正数比数列{a n }中，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=(B) 7(C) 6(5)35的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6) 某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门。

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式： 如果事件A B 、互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A B 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π=[ ] n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k k n kn n P k C p p k n -=-=…第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．对于实数,,a b c ，“a b ＞”是“22ac bc ＞”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．若集合{}1A x x =≤，{}0B x x =≥，则A B = A ．{}11x x -≤≤ B ．{}0x x ≥C ．{}01x x ≤≤D ．∅3．10(1)x -展开式中3x 项的系数为A ．720-B ．720C ．120D ．120- 4．若函数42()f x ax bx c =++满足'(1)2f =，则'(1)f -= A ．1- B ．2- C ．2 D ．05．不等式22x x --＞的解集是 A ．(,2)-∞ B ．(,)-∞+∞ C ．(2,)+∞D ．(,2)(2,)-∞+∞6．函数2sin sin 1y x x =+-的值域为A ．[]1,1-B ．5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．51,,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．等比数列{}n a 中，11a =，528a a =-，52a a ＞，则n a =A ．1(2)n --B ．1(2)n ---C ．(2)n -D ．(2)n --8．若函数1axy x=+的图像关于直线y x =对称，则a 为A ．1B ．1-C ．1±D ．任意实数9．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是(01)p p ＜＜，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少每一位同学能通过测试的概率为A ．(1)n p -B ．1n p -C ．n pD ．1(1)n p --10．直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥则k 的取值范围是A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎣D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 11．如图，M 是正方体1111ABCD A BC D -的棱1DD 的中点，给出下列四个命题： ①过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都平行． 其中真命题是 A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④ D ．①②③ 12．四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数sin 2y x =，sin(),6y x π=+sin()3y x π=-的图像如下，结果发现恰有一位同学作出的图像有错误，那么有错误．．的图像是绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（文科）第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13．已知向量a ，b 满足2b =，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是___________．14．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有_____________种（用数字作答）．15．点()00,A x y 在双曲线221432x y -=的右支上，若点A 到右焦点的距离等于02x ，则0x = ____________．16．长方体1111ABCD A BC D -的顶点均在同一个球面上，11AB AA ==，BC ，则A ，B 两点间的球面距离为______________．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设函数()()326322f x x a x ax =+++．（1）若()f x 的两个极值点为1x ，2x ，且121x x =，求实数a 的值；（2）是否存在实数a ，使得()f x 是(),-∞+∞上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 18．（本小题满分12分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未．到过．．的通道，直至走出迷宫为止． （1）求走出迷宫时恰好用了l 小时的概率； （2）求走出迷宫的时间超过3小时的概率． 19．（本小题满分12分）已知函数()()21cot sin 2sin sin 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）若tan 2α=，求()f α；（2）若,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的取值范围． 20．（本小题满分12分）如图，BCD ∆与MCD ∆都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB =（1）求直线AM 与平面BCD 所成角的大小；（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值． 21．（本小题满分12分）如图，已知抛物线1C ：22x by b +=经过椭圆2C ：()222210x y a b a b+=＞＞的两个焦点．（1）求椭圆2C 的离心率；（2）设点()3,Q b ，又M ，N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若QMN ∆的重心在抛物线1C 上，求1C 和2C 的方程．22．（本小题满分14分）正实数数列{}n a 中，11a =，25a =，且{}2n a 成等差数列．（1）证明数列{}n a 中有无穷多项为无理数；（2）当n 为何值时，n a 为整数，并求出使200n a ＜的所有整数项的和．参考答案一、选择题；本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．A 8．B 9．D 10．B 11．C 12．C二、填空题：本小题共4小题，每小题4分，共16分． 13．1 14．90 15．2 16．3π 三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分） 解：2()186(2)2f x x a x a '=+++（1）由已知有12122()()0,1,18af x f x x x ''====从而所以9a =； （2）由2236(2)418236(4)0,a a a ∆=+-⨯⨯=+>所以不存在实数a ，使得()(,)f x -∞+∞是上的单调函数. 18．（本小题满分12分）解：（1）设A 表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，则1().3P A = （2）设B 表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则1111().6662P B =++=19．（本小题满分12分）解：（1）21cos 21()sin sin cos cos 2sin 2cos 2222x mf x x x x x x x -=++=+-所以3()5f x =（2）由（1）得111(sin 2cos 2))2242x x x π=-+=-+，又由,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得552,4124x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin(2)4x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而1())42f x x π⎡=++∈⎢⎣⎦．20．（本小题满分12分）解法一：（1）取CD 中点O ，连OB ，OM ， 则OB ⊥CD ，OM ⊥CD又平面MCD ⊥平面BCD ，则MO ⊥平面BCD ， 所以MO//AB ，A 、B 、O 、M 共面，延长AM 、BO 相交于E ，则AEB 就是AM 与平面BCD 所成的角。

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。

考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。

若在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

参考公式如果事件互斥，那么 球的表面积公式如果事件，相互独立，那么 其中表示球的半径球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．对于实数，“”是“”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】主要考查不等式的性质。

当C=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边 2．若集合，，则A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】考查集合与简单不等式。

解决有关集合的问题关键是把握住集合中的元素，由题知集合A 是由大于等于-1小于等于1的数构成的集合，所以不难得出答案 3．展开式中项的系数为,A B ()()()P A B P A P B +=+24S R π=,A B R ()()()P A B P A P B ⋅=⋅A p 343V R π=n k R ()(1)k kn k n n P k C p p -=-,,a b c a b >22ac bc >{}||1A x x =≤{}0B x x =≥AB ={}11x x -≤≤{}0x x ≥{}01x x ≤≤∅10(1)x -3xA ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】考查二项式定理展开式中特定项问题，解决此类问题主要是依据二项展开式的通项，由4．若满足，则A ．B ．C ．2D ．4【答案】B【解析】考查函数的奇偶性，求导后导函数为奇函数，所以选择B 5．不等式的解集是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】考查含绝对值不等式的解法，对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解，可以通过绝对值的意义、零点分区间法、平方等方法去掉绝对值。

2010年普通高等学校招生全国统一考试课标卷理科数学参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{||2,R}A x x =≤∈},{|4,Z}B x x x =≤∈,则A B ⋂=( ).A.(0,2)B.[0,2]C.{0,2}D.{0,1,2} 2.已知复数23(13)z +=-ii ，z 是z 的共轭复数，则z z ∙=( ). A.14 B.12C.1D.2 3.曲线2xy x =+在点（-1，-1）处的切线方程为( ).A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-24.如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0（2，-2），角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为( ). 5.已知命题1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q ：12p p ∨，2q :12p p ∧，3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是( ). A.1q ，3q B.2q ，3q C.）1q ，4q D.2q ，4q6.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( ).A.100B.200C.300D.400 7.如果执行右面的框图，输入5N =，则输出的数等于( ). A.54 B.45C.65D.568.设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->=( ).A.{|24}x x x <->或B. {|04}x x x <>或C. {|06}x x x <>或D.{|22}x x x <->或9.若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=-( ). A.12- B. 12 C. 2 D. -210.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ).A.2πaB.27π3aC. 211π3a D.25πa11.已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是( ). A. (1,10)B. (5,6)C. (10,12)D.(20,24)12.已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为( ). A.22136x y -= B.22145x y -= C. 22163x y -= D. 22154x y -= 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …,和12,,N y y y …,，由此得到N 个点11(,)(1,2,)x y i N =…,，再数出其中满足11()(1,2,)y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分1()f x dx ⎰的近似值为 .14.正视图为一个三角形的几何体可以是______.（写出三种） 15.过点A (4,1)的圆C 与直线x -y =0相切于点B （2,1），则圆C 的方程为____. 16.在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD =12DC ，∠ADB =120°，AD =2，若△ADC 的面积为33-，则∠BAC =_______. 三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤 17.（本小题满分12分）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=,（1） 求数列{}n a 的通项公式；（2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S . 18.（本小题满分12分） 如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高 ，E 为AD 中点.（1） 证明：PE ⊥BC,（2） 若∠APB =∠ADB =60°，求直线PA 与平面PEH所成角的正弦值.19.(本小题12分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别 是否需要志愿者男 女 需要 40 30 不需要160270（1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2） 能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由. 附： )(2k K P ≥ 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.8282K =))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-.20.（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过1F 斜率为1的直线l 与E 相交于,A B两点，且22,,AF AB BF 成等差数列.（1）求E 的离心率；（2） 设点(0,1)P -满足PA PB =，求E 的方程. 21.（本小题满分12分）设函数2()1xf x x ax =---e . （1） 若0a =，求()f x 的单调区间；（2） 若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已经圆上的弧，过C 点的圆切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（Ⅰ）∠ACE =∠BCD ；（Ⅱ）BC 2=BF ×CD .23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线C 11cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），C 2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），（Ⅰ）当α=π3时，求C 1与C 2的交点坐标； （Ⅱ）过坐标原点O 做C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.24.（本小题满分10分）选修4-5，不等式选讲 设函数()241f x x =-+. （Ⅰ）画出函数()y f x =的图像，（Ⅱ）若不等式()f x ≤ax 的解集非空，求a 的取值范围.2010年普通高等学校招生全国统一考试(课标卷)理科数学试题参考答案一、 选择题1.D2.A3.A4.C5.C6.B7.D8.B9.A 10.B 11.C 12.B 二、填空题 13.1N N14.三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分） 15.22(3)2x y -+= 16.60° 三、解答题 17.解：（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，2(1)12n +-=.而 12,a =所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=. （Ⅱ）由212n n n b na n -==⋅知35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅ . ①从而23572121222322n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅++⋅. ②①-②得2352121(12)22222n n n S n -+-⋅=++++-⋅ .即211[(31)22]9n n S n +=-+.18.解：以H 为原点，,,HA HB HP 分别为,,x y z 轴，线段HA 的长为单位长， 建立空间直角坐标系如图， 则(1,0,0),(0,1,0)A B（Ⅰ）设 (,0,0),(0,0,)(0,0)C m P n mn ,则 1(0,,0),(,,0).22mD mE 可得 1(,,),(,1,0).22mPE n BC m =-=-因为0022m mPE BC ⋅=-+=,所以 PE BC ⊥.（Ⅱ）由已知条件可得 33,1,33m n C =-=-故 (,0,0)，313(0,,0),(,,0),(0,0,1)326D E P --. 设 (,,)x y x =n 为平面PEH 的法向量则 0,0,HE HP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即130,260.x y z -=⎧⎪⎨⎪=⎩因此可以取(1,3,0)n =， 由(1,0,1)PA =-，可得 2cos ,4PA n =. 所以直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值为24. 19.解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为7014%500=, （2）22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯. 由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. (III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．20.解：（I ）由椭圆定义知224AF BF AB a ++=，又222AB AF BF =+， 得43AB a =.l 的方程为y x c =+，其中22c a b =-.设()11,A x y ，()22,B x y ，则A 、B 两点坐标满足方程组 化简的()()222222220a b x a cx a c b +++-=.则()2222121222222,a c b a cx x x x a b a b --+==++. 因为直线AB 斜率为1，所以AB =()2211212224x x x x x x ⎡⎤-=+-⎣⎦,得22244,3ab a a b=+故222a b =. 所以E 的离心率2222c a b e a a -===. （II ）设AB 的中点为()00,N x y ，由（I ）知212022223x x a c x c a b +-===-+，003cy x c =+=. 由PA PB =，得1PN k =-，即0011y x +=-. 得3c =，从而32,3a b ==/故椭圆E 的方程为221189x y +=. 21.解：（1）0a =时，()1xf x e x =--，'()1xf x e =-.当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加.（II ）'()12xf x e ax =--,由（I ）知1xe x ≥+，当且仅当0x =时等号成立. 故'()2(12)f x x ax a x ≥-=-， 从而当120a -≥，即12a ≤时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =， 于是当0x ≥时，()0f x ≥. 由1(0)x e x x >+≠可得1(x e x x ->-≠.从而当12a >时，'()12(1x x xxx f x e a e e ee a--<-+-=--， 故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <.综合得a 的取值范围为1(,]2-∞. 22.解：（I ）因为AC BC =, 所以BCD ABC ∠=∠.又因为EC 与圆相切于点C ，故ACE ABC ∠=∠， 所以ACE BCD ∠=∠.（II ）因为,ECB CDB EBC BCD ∠=∠∠=∠, 所以BDC ∆∽ECB ∆，故BC CDBE BC=，即2BC BE CD =⨯.23.解：（Ⅰ）当3πα=时，1C 的普通方程为3(1)y x =-，2C 的普通方程为221x y +=.联立方程组223(1)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ ，解得1C 与2C 的交点为（1,0）1322⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，. （Ⅱ）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=. A 点坐标为()2sin cos sin ααα-. 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：P 点轨迹的普通方程为2211416x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. 故P 点轨迹是圆心为104⎛⎫ ⎪⎝⎭，，半径为14的圆. 24. 解：（Ⅰ）由于252()23x x f x x -+<⎧=⎨-≥⎩，，x 2则函数()y f x =的图像如图所示. （Ⅱ）由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知，当且仅当12a ≥或2a <-时，函数()y f x =与函数y ax =的图像有交点.故不等式()f x ax≤的解集非空时，a 的取值范围为()122⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，.。

江西历年高考数学题（理科）------解析几何2009年江西省高考数学理科6．过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A．2 BC ．12D ．1321．（本小题满分12分）已知点100(,)P x y 为双曲线222218x y b b -=（b 为正常数）上任一点,2F 为双曲线的右焦点,过1P 作右准线的垂线,垂足为A ,连接2F A 并延长交y 轴于2P .(1) 求线段1P 2P 的中点P 的轨迹E 的方程; (2) 设轨迹E 与x 轴交于B D 、两点,在E 上任取一点111,(0)Q x y y ≠（）,直线QB QD ，分别交y 轴于M N ，两点.求证:以MN 为直径的圆过两定点.2009年江西省高考数学理科 答案6. 因为2(,)b P c a -±，再由1260F PF ∠=有232,b a a =从而可得c e a == B 21．解： (1) 由已知得208303F b A b y （，），（，）,则直线2F A 的方程为:03(3)y y x b b=--, 令0x =得09y y =,即20(0,9)P y ,设P x y （，）,则0000 2952x x y y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩,即0025x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩代入22002218x y b b -=得:222241825x y b b -=, 即P 的轨迹E 的方程为22221225x y b b -=. (2) 在22221225x y b b-=中令0y =得222x b =,则不妨设00B D （，，）, 于是直线QB 的方程为:)y x =,直线QD 的方程为:)y x =,则00M N （（, 则以MN 为直径的圆的方程为: 20x y y ++=（,令0y =得:222122122b y x x b =-,而11,Q x y （）在22221225x y b b -=上,则222112225x b y -=, 于是5x b =±,即以MN 为直径的圆过两定点(5,0),(5,0)b b -.2010年江西省高考数学理科8．直线y=kx+3与圆()23x -+()22y -= 4 相交于M , N 两点，若MN ≥则k 的取值范围是（ ）A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦∪[)0,+∞ C．⎡⎢⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．点00(,)A x y 在双曲线221432x y -=的右支上，若点A 到右焦点的距离等于02x ，则0x = ；21．（本小题满分12分）已知抛物线1C ：22x by b +=经过椭圆2C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点.(1) 求椭圆2C 的离心率；(2) 设(3,)Q b ，又,M N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若QMN ∆的重心在抛物线1C 上，求1C 和2C 的方程.2010年江西省高考数学理科 答案8.A 15. 221、（本小题满分12分） 解：（1）因为抛物线2C 经过椭圆1C 的两个焦点12(,0),(,0)F c F c -，可得22c b =，由22222a b c c =+=，有2212c a =，所以椭圆1C的离心率e =。

2010江西高考数学评析文理数学总体评价2010年江西高考数学试卷(文理)，重视双基，考查全面，难度适中，考查能力，突出了对学生的关爱和与新课程的接轨,为老高考划上了一个完美的句号，为新高考点亮了航灯．1．强化双基考查能力今年的高考数学，纵观整卷，有55%的试题属双基题，要求考生熟练地掌握基础知识和基本技能，许多试题都来原于教材和常见的教辅资料，同时又在其基础上进行了一定变化，对双基的考查十分突出．如理科第4题属教材原题，理科第8题（文科第10题）由复习资料题直接改数据而成．尽管双基题较多，但仍有不少试题坚持以能力立意，要求学生灵活运用数学知识、数学思想方法，从而区分不同类学生的能力水平．如理科第11题要求学生判断不同抽样方法的效果，第12题考查学生的抽象能力、推理思辩能力，第16题要求学生在开放的境环中探究问题，文科第12题要求学生分析数学关系、观察图象、辩视错误，文理第20题考查了学生根据具体情境灵活建立空间直角坐标系，文理第21题考查运算能力．2. 突出主干考查全面2010年江西高考数学，理科考查的着力点放在：函数与导数、三角函数、概率与随机变量、直线与平面和圆锥曲线这五大块上，文科考查的着力点放在：函数与导数、三角函数、数列、概率与统计、直线与平面和圆锥曲线这六大块上，突出高中数学的主干和核心内容，其分值和考查的知识点能力要求如下:文理所列主干知识的知识点考查率都在70%以上．从全卷来看,各章都编拟了试题进行考查,覆盖面极广，分值与课时比基本相配,总知识的考查达65%以上．3．适度创新接轨课标创新是高考试题的命题的基本要求，基于限时考试，创新的度最难把握．与往年比较，今年江西高考数学试题的仍坚持试题创新，以考查学生的创新意识，与新课程理念接轨，并且以学生水平为基础在创新要求的把握上非常适度．在试卷中，理科有12题，16题，18题，21题，22题；文科有12题，18题，21题，22题都是全新题，另外还有不少改编的新题，有的要求学生在新的情境进行知识的迁移，有的要求学生进行批判性的辩析，有的要求观察与推理结合，有的要求用不同的思维方式思考问题，从而考查了学生的创新意识，有利于其潜能的挖掘．同时，这些新题，除理科第22题外，难度都得到了控制，适合于学生的实际情况，使得新而不难，能很好地区分不同水平的学生．从新课程的角度来看，今年的高考数学由于注重双基，突出主干，覆盖全广，能力意立，重视实践应用，贴近学生的社会活动和实际水平进行创新，使新课程高考有了一个很好的有效参考，也预示了下年新高考的基本特征．4．关爱学生区别文理从整体上看，省理科平均成绩为81.7(萍乡81.32分），难度系数为0.545，省最高分为145分，文科平均成绩为71.7(萍乡71.60分)，难度系数为0.478，省最高分为147分，完全符合高考要求，使江西多年来数学考得过难的情况得到的有效的控制，体现了命题人对学生的关爱也有利于下年新高考复习思路的总体把握．而理科数学，一改过去多年一贯的16题为多选题的题型，将其改为开放的填空题（这一点与我考前的预测一致），从而降低了难度增加了得分．理科数学也没有象往年哪样以递推数列为压轴题（数列没考解答题），其导向十分对路，也减轻了学生的精神负担．由于文理要求不同，江西高考在区别文理数学试卷时一般都把握较好，今年也不例外．从试题来看，文理相同题只有2个，妹妹题有6个，不同题有14个，区分率达90%．从内容和难度来看，文科考查内容与理科考查内容基本相同，文科比理科的6个妹妹题和14个不同题其难度都进行了下调，这符合文科学生的实际水平情况．5．略显平谈翅尾太高2010年江西高考数学，可圈可点处很多，但也有点点不足．一是从流行资料改编的题较多，会促涨猜题押题之风；二是有与过去高考的重复题，如理科第3题、文科第5题，三是梯度把握得不够准确，1—21题，过渡太平坦，没有很好的区分度，而理科第22题，是一道明显的奥数题，考查内容与高中数学内容关联不大，而且解题思路十分突兀，前一题与后一题的难度跨度太大，单题翅尾十分明显，致使没有受过奥数练训的学生无从下手，也有“要高分学奥数”的不当导向．。

绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。

考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。

若在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

参考公式如果事件,A B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件,A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π= n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)kk n k n n P k C p p -=-第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】主要考查不等式的性质。

当C=0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边 2．若集合{}||1A x x =≤，{}0B x x =≥，则AB =A ．{}11x x -≤≤B ．{}0x x ≥C ．{}01x x ≤≤ D ．∅ 【答案】C【解析】考查集合与简单不等式。

解决有关集合的问题关键是把握住集合中的元素，由题知集合A 是由大于等于-1小于等于1的数构成的集合，所以不难得出答案 3．10(1)x -展开式中3x 项的系数为- 2 -A ．720-B ．720C ．120D ．120- 【答案】D 【解析】考查二项式定理展开式中特定项问题，解决此类问题主要是依据二项展开式的通项，由4．若42()f x ax bx c =++满足(1)2f '=，则(1)f '-=A ．4-B ．2-C ．2D ．4【答案】B【解析】考查函数的奇偶性，求导后导函数为奇函数，所以选择B 5．不等式22x x ->-的解集是 A ．(,2)-∞ B ．(,)-∞+∞C ．(2,)+∞D ．(,2)(2,)-∞+∞【答案】A【解析】考查含绝对值不等式的解法，对于含绝对值不等式主要是去掉绝对值后再求解，可以通过绝对值的意义、零点分区间法、平方等方法去掉绝对值。

2010年江西省高考试题（数学文）2010年一般高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分． 考生注意1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡粘 贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.3.考试终止，监考员将试题卷、答题卡一并收回. 参考公式：假如事件A B 、互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=假如事件A B 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式假如事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．关于实数,,a b c ，“a b ＞”是“22ac bc ＞”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．若集合{}1A x x =≤，{}0B x x =≥，则A B =A ．{}11x x -≤≤ B ．{}0x x ≥ C ．{}01x x ≤≤ D ．∅ 3．10(1)x -展开式中3x 项的系数为A ．720-B ．720C ．120D ．120-4．若函数42()f x ax bx c =++满足'(1)2f =，则'(1)f -=A ．1-B ．2-C ．2D ．0 5．不等式22x x --＞的解集是A ．(,2)-∞B ．(,)-∞+∞C ．(2,)+∞D ．(,2)(2,)-∞+∞6．函数2sin sin 1y x x =+-的值域为 A ．[]1,1- B ．5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．51,,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．等比数列{}n a 中，11a =，528a a =-，52a a ＞，则n a = A ．1(2)n -- B ．1(2)n --- C ．(2)n - D ．(2)n--8．若函数1axy x=+的图像关于直线y x =对称，则a 为 A ．1 B ．1- C ．1± D ．任意实数9．有n 位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率差不多上(01)p p ＜＜，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少每一位同学能通过测试的概率为A ．(1)np - B ．1np - C ．np D ．1(1)np --10．直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于,M N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范畴是A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,3⎡⎤-⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 11．如图，M 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，给出下列四个命题： ①过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都平行． 其中真命题是A ．②③④ B．①③④ C．①②④ D． ①②③12．四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数sin 2y x =，sin(),6y x π=+sin()3y x π=-的图像如下，结果发觉恰有一位同学作出的图像有错误，那么有错误．．的图像是绝密★启用前2010年一般高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13．已知向量a ，b 满足2b =，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是 ． 14．将5位理想者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）．15．点()00,A x y 在双曲线221432x y -=的右支上，若点A 到右焦点的距离等于02x ，则0x = ．16．长方体1111ABCD A B C D -的顶点均在同一个球面上，11AB AA ==，2BC =，则A ，B 两点间的球面距离为 ．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 设函数()()326322f x x a x ax =+++.（1）若()f x 的两个极值点为1x ，2x ，且121x x =，求实数a 的值；（2）是否存在实数a ，使得()f x 是(),-∞+∞上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 18．（本小题满分12分） 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要通过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过．．．的通道，直至走出迷宫为止．（1）求走出迷宫时恰好用了l 小时的概率； （2）求走出迷宫的时刻超过3小时的概率． 19．（本小题满分12分） 已知函数()()21cot sin 2sin sin 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）若tan 2α=，求()fα；（2）若,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的取值范畴． 20．（本小题满分12分）如图，BCD ∆与MCD ∆差不多上边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，23AB =．（1）求直线AM 与平面BCD 所成角的大小；（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值． 21．（本小题满分12分）如图，已知抛物线1C ：22x by b +=通过椭圆2C ：()222210x y a b a b+=＞＞的两个焦点．（1）求椭圆2C 的离心率； （2）设点()3,Q b ，又M ，N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若QMN ∆的重心在抛物线1C 上，求1C 和2C 的方程．22．（本小题满分14分）正实数数列{}n a 中，11a =，25a =，且{}2n a 成等差数列． （1）证明数列{}n a 中有无穷多项为无理数；（2）当n 为何值时，n a 为整数，并求出使200n a ＜的所有整数项的和．绝密★启用前 隐秘★启用后2010年一般高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCDBACABDBCC二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．1 14．90 15．2 16．3π三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17．（本小题满分12分） 解： 2()186(2)2f x x a x a '=+++（1）由已知有12()()0f x f x ''==，从而122118ax x ==，因此9a =； （2）由2236(2)418236(4)0a a a ∆=+-⨯⨯=+>， 因此不存在实数a ，使得()f x 是R 上的单调函数.18．（本小题满分12分）解：(1)设A 表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，则1()3P A =. (2) 设B 表示走出迷宫的时刻超过3小时这一事件，则1111()6662P B =++=.19．（本小题满分12分）解：（1）2()sin sin cos cos 2f x x x x x =++1cos 21sin 2cos 222x x x -=++ 11(sin 2cos 2)22x x =++ 由tan 2α=得2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos 1tan 5ααααααα===++， 222222cos sin 1tan 3cos 2sin cos 1tan 5ααααααα--===-++，因此3()5f α=.（2）由（1）得111()(sin 2cos 2))22242f x x x x π=++=++由[,]122x ππ∈得552[,]4124x πππ+∈，因此sin(2)[4x π+∈从而11())[0,]2422f x x π+=++∈.20．（本小题满分12分）解法一：（1）取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD .又平面MCD ⊥平面BCD ,则MO ⊥平面BCD ，因此MO ∥AB ，A 、B 、O 、M 共面.延长AM 、BO 相交于E ，则∠AEB 确实是AM 与平面BCD 所成的角.OB =MOMO ∥AB ，则12EO MO EB AB ==，EO OB ==，因此EB AB ==，故45AEB ∠=.（2）CE 是平面ACM 与平面BCD 的交线. 由（1）知，O 是BE 的中点，则BCED 是菱形.作BF ⊥EC 于F ，连AF ，则AF ⊥EC ，∠AFB 确实是二面角A -EC -B 的平面角，设为θ.因为∠BCE =120°，因此∠BCF =60°.sin 603BF BC =⋅=tan 2ABBFθ==，sin 5θ=解法二：取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD ，又平面MCD ⊥平面BCD ,则MO ⊥平面BCD .以O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图.OB=OM O （0，0，0），C （1，0，0），M （0，0，B （0，，0），A （0，，，（1）设直线AM 与平面BCD 所成的角为α.因AM =（，平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =.则有3sin cos ,26AM n AM n AM nα⋅====⋅，因此45α=. （2）(CM =-，(1,CA =-.设平面ACM 的法向量为1(,,)n x y z=，由11nCM n CA⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩得0x x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩.解得x =，y z =，取1(3,1,1)n =.又平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =，则111cos ,5n n n n n n⋅<>==⋅ zDBA_C _H _M _D _E _B _O _A _F设所求二面角为θ，则sin θ==. 21. （本小题满分12分）解：（1）因为抛物线1C 通过椭圆2C 的两个焦点12(,0),(,0)F c F c -，因此220c b b +⨯=，即22c b =，由22222a b c c =+=得椭圆2C 的离心率2e =. （2）由（1）可知222a b =，椭圆2C 的方程为：222212x y b b+= 联立抛物线1C 的方程22x by b +=得：2220y by b --=， 解得：2by =-或y b =（舍去），因此2x b =± ，即(,),,)2222b bM N ---，因此QMN ∆的重心坐标为(1,0). 因为重心在1C 上，因此2210b b +⨯=，得1b =.因此22a =. 因此抛物线1C 的方程为：21x y +=，椭圆2C 的方程为：2212x y +=. 22．（本小题满分14分）证明：（1）由已知有：2124(1)n a n =+-，从而n a =方法一：取21124k n --=，则n a =（*k N ∈）用反证法证明这些n a 差不多上无理数.假设n a =为有理数，则n a 必为正整数，且24kn a >， 故241k n a -≥.241k n a ->,与(24)(24)1k kn n a a -+=矛盾，因此n a =（*k N ∈）差不多上无理数，即数列{}n a 中有无穷多项为无理数;方法二：因为21124,()n a n n N +=+∈，当n 的末位数字是3,4,8,9时，124n +的末位数字是3和7，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故现在1n a +=理数，因这种n 有无穷多，故这种无理项1n a +也有无穷多．(2) 要使n a 为整数，由(1)(1)24(1)n n a a n -+=-可知：1,1n n a a -+同为偶数，且其中一个必为3的倍数，因此有16n a m -=或16n a m +=当61n a m =+时，有2236121112(31)n a m m m m =++=++（m N ∈） 又(31)m m +必为偶数，因此61n a m =+（m N ∈）满足2124(1)n a n =+-即(31)12m m n +=+（m N ∈）时，n a 为整数； 同理*61()n a m m N =-∈有2236121112(31)n a m m m m =-+=+-（*m N ∈） 也满足2124(1)n a n =+-，即(31)12m m n -=+（*m N ∈）时，n a 为整数； 明显*61()n a m m N =-∈和61n a m =+（m N ∈）是数列中的不同项；因此当(31)12m m n +=+（m N ∈）和(31)12m m n -=+（*m N ∈）时，n a 为整数；由61200n a m =+<（m N ∈）有033m ≤≤， 由61200n a m =-<（*m N ∈）有133m ≤≤. 设n a 中满足200n a <的所有整数项的和为S ，则(511197)(17199)S =+++++++519711993334673322++=⨯+⨯=。