大学物理第五章机械振动课件

平衡位置O：物体受合外力 为零的位置。
k
m o x
X
单摆: 较小
f t mg sin mg
d 2 f t mg mat ml 2 dt 2 d g 0 2 dt l
d 2x F ma kx m 2 dt 2 d x k x0 2 dt m
弹性力 -kx
d 2x
阻尼力
b
dx dt
周期性策动力 f=F0cost
2. 振动方程
2
dx m 2 kx b f dt dt
d x dx F0 2 2 0 x cos t 2 dt dt m
其中
0
k m
b 2m
是典型的常系数、二阶、 线性、非齐次微分方程。
2
mg-kx0=0 x
1 1 2 2 E E k E p mv kx 2 2 1 kA 2 2
注意： 只要以平衡位置为坐标原点和零势点
1 2 E p kx 2
准弹性势能: （包括重力势能、弹性势能） 振动系统总能量
1 2 E kA 2
5-2 阻尼振动
定义：振动系统因受阻力作用作振幅不断减小的振动
T1
T1 T2
kx0 mg sin
二、简谐振动的运动规律 谐振动微分方程
F kx
定义：物体受到的作用力 与位移正比反向的振动。 谐振动（运动）方程
d2x 2 x0 2 dt
结论：
x(t)=Acos( t+)
简谐振动——凡是位移是时间的正弦 或余弦函数表示的运动都是简谐振动。
x(t ) Ae t cos(t 0 ) 这种情况称为弱阻尼

2 0 2
阻力使周期增大
A和初相位 0由初始条件决定
t 0 , x (0) x0 ,
即有：x0 A cos 0
dx V0 dt t 0
x(t )
t
弱阻尼
V0 A sin 0 A cos 0
d2x 2. 加速度 a 2 2 A cos( t ) dt
vm cos( t ) 2

vm A
am cos( t )
am A
2
四、简谐振动的描述方法 1. 解析法 由 x=Acos( t+ )
已知表达式 A、T、 已知A、T、 表达式
(2) 势能（以平衡点为势能零点）
1 2 1 2 E p kx kA cos 2 ( t ) 2 2 E p max , E p min , E p 情况同动能。
五、简谐振动的能量
以水平弹簧振子为例
k
m
x=Acos( t+ )
1 2 2 Ek kA sin ( t ) 2
x(t)=Acos( t+)
dx A sin( t ) dt 2 t 0 2 2 2 0 A x 2 A x 0 x0 v0 2
3. 相位
(1) ( t + )是 t 时刻的相位 (2) 是t =0时刻的相位------ 初相
已知 t 0
x(t )
t
过阻尼
（3）如果 2 = 02 方程的解：
x (t ) (C1 C 2 t )e
C1 , C 2 是由初始条件
t
x (t )
t
2
决定的积分常数。
2 是从有周期性因子 0 到无周期性的临界点。
临界阻尼
5-3 受迫振动与共振
一. 受迫振动 1. 系统受力
k
EP=0 x 0
k m
O
k x
1 k ( x x 0 ) 2 kx 0 ( x x 0 ) 2
1 2 1 2 kx kx 0 2 2
1 1 1 2 E E P E K ( kx 2 mv 2 ) kx0 2 2 2 1 1 kA 2 kx02 恒量 2 2
T1
T1 T2
mg sin T1 ma
T1 R T2 R J
T2 k ( x0 x)
kx0 mg sin
k
a R
k d 2x k x 0 a x J J dt 2 m J m 2 m 2 2 R R R
Байду номын сангаас
【例题1】系统开始处于静止状态， 证明m在外界干扰下将作简谐振动。 解：如图建立坐标，考虑m沿 X轴正方向移动一小位移x 分析步骤： 1、找到平衡位置O，建立坐标系； 2、沿X轴正方向移动一小位移x； 2 d x 3、证明 2 x0 2 dt
dx 物体在流体中受到摩擦阻尼时 f r bv b dt
弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：
kx b x m x
d 2x dx 2 2 0x 0 2 dt dt
k 令： m
2 0

b 2m
称0为振动系统的固有角频率，称为阻尼系数
（1）阻尼较小时，此方程的解：
【例题2】 一简谐振动的振幅为A，角频率为，以下 列各种情况为起始时刻，分别写出简谐振动的表达式： ①物体过平衡位置向X轴正方向运动； ②物体被压缩到最大位移处； ③过 A 处向X轴负方向运动； 2 ④过 3 A 处向X轴正方向运动。 2
解：先写出简谐振动的标准 表达式，并画旋转矢量图
x A cos(t )
v A sin( t )
O
X
x A cos(t )
v A sin( t )
A cos 0 v A sin 0
③ ②
X
①物体过平衡位置向X轴正方向运动； x A cos(t ) 2 ②物体被压缩到最大位移处；
A x A cos( t ) ③过 处向X轴负方向运动； ① 3 2 3 x A cos( t ) ④过 A 处向X轴正方向运动。 6 2
mg-kx0=0 x
恰当选择零势点，可去掉第二项。 如何选？以平衡位置为坐标原点和势能零点
Ep 1 1 2 k ( x x 0 ) 2 mgx kx 0 2 2
1 1 k ( x x 0 ) 2 kx 0 x kx 02 2 2
k
EP=0 x 0
k m
O
k x


1 kx 2
当 sin 时

mg
d 2
mgl 复摆的角谐振动方程 0 J dt 2
J T 2 mgl
mgl J
2
竖直悬挂的弹簧振子 以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点 以平衡位置为坐标原点 1 2
Ep 2 k ( x x0 ) mg ( x x0 ) )
2 其解为：x(t ) A' e t cos( 0 2 t ) A cos(t )
3. 稳态解
x=Acos( t+)
4. 特点 稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化 (1)频率: 等于策动力的频率
F0 / m (2)振幅: A 2 2 2 2 2 1/ 2 [( 0 ) 4 ] 2 tg 2 (3)初相: 0 2
(3) 机械能
o x A sin( t )
X
1 2 E p kA cos 2 ( t ) 2
1 2 E E k E p kA 2
简谐振动系统机械能守恒
六、复摆（物理摆）
d mgl sin J 2 dt
2
O C
OC l
J 为m绕O点转动的转动惯量。
x A cos(t )
O
④
机械振动
作业： 5 -2 -10 -19 -24
【例题3】已知： A = 24cm, T = 3s, t = 0时 x0 12cm,v0 0, 求：质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。 解：作t = 0时刻的旋转矢量 A0 作x = -12cm处的旋转矢量 A
2. 曲线法
m o x0 = 0 已知曲线 A、T、 已知 A、T、 曲线 A o x -A
x T t
= /2
x 0 A cos
v 0 A sin
2 x A cos( t ) T 2
相位差 : =( 2 t+ 2)-(1 t+ 1) 对两同频率的谐振动 = 2- 1
当 = 2k , ( k =0,1,2,…), 两振动步调相同,称同相
x A1 A2 o - A2 -A1
x2
初相差
当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,…), 两振动步调相反 , 称反相 。
x A1 T A2 t o - A2 -A1
x1
同相
x1
反相
T t
x2
若 = 2- 1>0, 则 x2比 x x1较早达到正最大, 称x2比 A x1超前 (或x1比x2落后)。 o
A
2 x0

(V0 x0 ) 2

2
,
V0 x0 tg 0 x 0
（2）阻尼较大时， 此方程的解：
x(t ) C1e
2 ( 2 0 )t
C2 e
2 ( 2 0 )t
其中C1，C 2是积分 常数，由初始条件 来决定，这种情况 称为过阻尼。 无振动发生。
x 0 A cos
x 0 v0
v 0 A sin
由此可得出： tg
x0 或 cos A
确定其中的一个
三、简谐振动的速度、加速度 1.速度 dx A sin( t ) A cos( t ) dt 2