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1.3.1圆的极坐标方程

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1.3.1 圆的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)(2)

1.3.1 圆的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)(2)
OP＝OD· θ， cos ∵OP＝ρ，OD＝2r， ∴ρ＝2rcos θ(ρ≠0，ρ≠2r)． 这就是所求轨迹的方程．
[悟一法] (1)求曲线的极坐标方程的步骤如下：
①建立适当的极坐标系．
②设P(ρ，θ)是曲线上任一点． ③列出ρ，θ的关系式． ④化简整理． (2)极坐标中的坐标是由长度与角度表示的，因此，建立
[研一题] [例 3] 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化
(1)y2＝4x；(2)y2＋x2－2x－1＝0； 1 (3)ρcos 2＝1；(4)ρ cos 2θ＝4；(5)ρ＝ . 2－cos θ
2 2θ
[精讲详析]
本题考查极坐标与直角坐标的互化公式．
(1)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 y2＝4x， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ. 化简，得 ρ标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，
其求解过程同曲线的极坐标方程的求法． (2)特别地，当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r2＝ρ＋ρ2 －2ρρ0cos θ；若再有ρ0＝r，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2rcos θ； 若ρ0＝r，θ0≠0，则方程为ρ＝2rcos (θ－θ0)，这几个方程经常用 来判断图形的形状和位置．
[读教材· 填要点]
1．曲线的极坐标方程 在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中 至少有一个 满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合f(ρ，θ)＝0的 点 都在曲线C上 ，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方
程．
2．圆的极坐标方程 圆心为C(a,0)(a>0)半径为a的圆的极坐标方程为 ρ＝2acos θ .
[研一题] [例2] 求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程． 在圆周上任取一点P(如图)

1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4) - 副本

1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4) - 副本
x ( y 2) 4
2 2
2、极坐标方程分别是 ＝cos和＝sin 的两个 圆的圆心距是多少？
1 解：圆＝cos 圆心的坐标是( , 0) 2 圆 sin cos( ) cos( ) 2 2 1 2 圆＝sin 的圆心坐标是( , ), 所以圆心距是 2 2 2
2 化为直角坐标系为 2＝4 sin
2 2 2 2

即x y 4 y x ( y 2) 4
6、已知圆C1 : 2cos ,圆C2 : 2 2 3 sin 2 0, 试判断两圆的位置关系。
解：将两圆都化为直角 坐标方程为 C1 : ( x 1) 2 y 2 1,圆心O1 (1,0)半径为 1 C2 : x 2 ( y 3 ) 2 1，圆心O2 (0, 3 )半径为 1 O1O2 2所以两圆相外切。
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos (３)中心在(a,/2)，半径为a； ＝2asin
(４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。 2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
题组练习2
1、曲线的极坐标方程 ＝4 sin 化为直角坐标 方程是什么？
所以， 2a cos就是圆心在C (a,0)(a 0),半径 为a的圆的极坐标方程。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐 标系，可以使圆的极坐标方程简单？
M

O

r x
解：如果以圆心 为极点，从O出发的一条射线 O 为极轴建立坐标系（如 图），那么圆上各点的 几 何特征就是它们的极径 都等于半径r. 设M ( , )为圆上任意一点，则 OM r ,即
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极 坐标( , ) 满足的条件，另一方面 ，可以验证，坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。

1.3.1《-圆的极坐标方程》课件

1.3.1《-圆的极坐标方程》课件
所以， 2a cos就是圆心在 C(a,0)(a 0), 半径
为a的圆的极坐标方程。
第6页，共24页。
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系
（１）曲线Ｃ上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个） 符合方程f(,)=0;
（２）方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。 则称曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
为极轴建立坐标系（如图），那么圆上各点的几 何特征就是它们的极径都等于半径r.
设M (, )为圆上任意一点，则OM r,即 ＝r
显然，使极点与圆心重合时的极坐标方程在形式 上比(1)简单。
第9页，共24页。
M
O
C
A
（a,0）
ρ=2acosθ
M
ρ θ
Or
x
M
· ρ a
θ
O
x
ρ=2asinθ
ρ=r
第10页，共24页。
圆心为(a, )(a 0)半径为a 圆的极坐标方程为＝2a cos( )
此圆过极点O
第15页，共24页。
例3.已知一个圆的方程是ρ＝5 3cosθ- 5sinθ 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5sin两边同乘以得
2＝5 3 cos－5 sin即化为直角坐标为
x2 y2 5 3x 5y 即(x 5 3 )2 ( y 5)2 25
下列圆的极坐标方程 (１)中心在极点，半径为2；
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos
(３)中心在(a,/2)，半径为a；
＝2asin (４)中心在Ｃ(0,０)，半径为r。
2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
第13页，共24页。

1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)

1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)

解：方程可化为 － cos 4 2 即2 ＝4＋x 两边平方得： 2＝( x 4) 2 4 4 x 2 4 y 2 x 2 8 x 16 3x 8 x 4 y 16
2 2
4、圆＝10 cos( )的圆心坐标是 （ C ） 3 2 C、 , ) (5 (5 A、 ,0) B、 , ) (5 D、 , ) (5 3 3 3 5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的 2 极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。 解：＝4 cos( ) 4sin
＝r
显然，使极点与圆心重 合时的极坐标方程在形 式 上比(1)简单。
思考：已知一个圆的方程是＝5 3 cos 5sin 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5sin 两边同乘以 得
＝5 3 cos －5 sin 即化为直角坐标为
2
5 3 2 5 2 x y 5 3 x 5 y 即( x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ), 半径是5 2 2
1.3简单曲线的极坐标方程
曲线的极坐标 方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标 中至少有一个)符合方程f(,)=0 ； (２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点 都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
如图，半径为a的圆的圆心坐标为C (a, 0)(a 0) 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 ( , )满足的条件吗？
2 2
你可以用极坐标方程直接来求吗？
解：原式可化为 3 1 ＝10(cos sin ) 10 cos( ) 2 2 6 所以圆心为(5, ), 半径为5 6

极坐标参数方程知识点总结

极坐标参数方程知识点总结

极坐标参数方程知识点总结一、介绍1.1 极坐标参数方程极坐标参数方程是用极坐标表示的函数关系，其中角度和半径是参数。

极坐标是一种在平面上描述点位置的坐标系统，通过半径和角度确定点的位置。

极坐标参数方程可以用来描述各种曲线和图形。

1.2 极坐标参数方程的形式极坐标参数方程的一般形式为：r = f(θ)其中，r为半径，θ为角度，f(θ)为关于角度的函数。

1.3 极坐标与直角坐标的转换极坐标和直角坐标是两种不同的坐标系统，它们可以相互转换。

极坐标到直角坐标的转换公式如下：x = r * cos(θ) y = r * sin(θ)直角坐标到极坐标的转换公式如下：r = sqrt(x^2 + y^2) θ = atan2(y, x)二、常见的极坐标参数方程2.1 圆的极坐标参数方程圆的极坐标参数方程为：r = a其中，a为圆的半径。

2.2 椭圆的极坐标参数方程椭圆的极坐标参数方程为：r = a * (1 - ε^2) / (1 - ε * cos(θ))其中，a为椭圆的长轴半径，ε为离心率，θ为角度。

2.3 双曲线的极坐标参数方程双曲线的极坐标参数方程为：r = a * (1 + ε * cos(θ))其中，a为双曲线的焦距，ε为离心率，θ为角度。

2.4 阿基米德螺线的极坐标参数方程阿基米德螺线的极坐标参数方程为：r = a + bθ其中，a和b为常数，θ为角度。

三、极坐标参数方程的应用3.1 图形绘制极坐标参数方程可以用来绘制各种曲线和图形，如圆、椭圆、双曲线等。

通过确定参数的取值范围，可以得到不同形状的图形。

3.2 面积计算极坐标参数方程可以用来计算曲线所围成的面积。

可以通过对θ的积分来计算曲线所围成的面积。

3.3 物理问题极坐标参数方程在物理学中有广泛的应用。

例如，可以用极坐标参数方程描述天体运动的轨迹，计算物体在旋转过程中的角度和位置等。

3.4 工程应用极坐标参数方程在工程领域也有一些应用，例如，在航空工程中可以用来描述飞机的飞行路径，计算飞机的位置和速度等。

1.3.1圆的极坐标方程(学生学案)

1.3.1圆的极坐标方程(学生学案)

SCH 南极数学高中同步教学设计人教A 版选修4-4《坐标系与参数方程》1.3.1圆的极坐标方程（学生学案）例1（课本P 例1）、已知圆O 的半径为r ，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？()()12343,0,,,,,,22 .1C a C a C a C a πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变式训练分别写出以为圆心，且经过极点的圆的极坐标方程：例2.求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程2变已知一个圆的方程是ρ＝θ-5sin θ求圆心坐标.和半径。

38cos O C ON ON ρθ例：从极点作圆：＝的弦，求的中点的轨迹方程。

2123:2cos ,:sin 20,C C ρθρθ=-+=变：已知圆圆 试判断两圆的位置关系。

课堂练习：1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是（）()().2cos .2sin .2cos 1.2sin 144A B C D ππρθρθρθρθ⎛⎫⎛⎫=-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭么？化为直角坐标方程是什＝、曲线的极坐标方程θρsin 42少？的两个圆的圆心距是多＝和＝、极坐标方程分别是θρθρsin cos 34cos()4πρθ=-、极坐标方程所表示的曲线是( )（A ）双曲线（B ）椭圆（C ）抛物线（D ）圆SCH 南极数学高中同步教学设计人教A 版选修4-4《坐标系与参数方程》班级：______ 姓名：______________ 座号：_______ 等级：________510cos()3πρθ-、圆＝的圆心坐标是( )（A ）(5，0) (B)（5，-3π） (C)(5，3π) (D (5，23π)6(2,)2A π、写出圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。

课时必记：圆心在(ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程分层作业：A 组：1．曲线的极坐标方程ρ＝4cos θ化成直角坐标方程为________．2．极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是________．3．极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ所表示的曲线是________．4、（课本P15习题1。

1.3.1圆的极坐标方程




3、已知一个圆的方程是 ＝5 3 cos 5 sin 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5 sin 两边同乘以得
＝5 3 cos－5 sin 即化为直角坐标为
2
x y 5 3x 5 y
2 2
5 3 2 5 2 化为标准方程是 x ( ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为 ( , ),半径是5 2 2
A、 ,0) (5
C、 , ) (5 3
B、 , ) (5 3
2 D、 , ) (5 3


小节： 1、极坐标方程
2、圆的极坐标方程
意一点，那么 OM AM。
在RtAMO中OM OA cosMOA
即
可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式1) ( 2
＝2a cos .......... 1) .(
所以，等式1)就是圆上任意一点的极 ( 坐标( , )满足的条件，
另一方面，可以验证， 坐标适合等式1)的点都在这个圆上。 (
圆的极坐标方程定义

M

方程
O
＝2a cos
C （a, 0）
A
就是圆心在C(a,0)(a>0)，半径为a的圆 的极坐标方程.
曲线的极坐标方程定义：
一般地，在极坐标系中 ，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中 至少有一个满足方程 f ( , ) 0并且坐标适合方程 ( , ) 0的点都 f 在曲线C上，那么方程 ( , ) 0叫做曲线C的 f 极坐标方程。
4、以极坐标系中的点 (1,1)为圆心， A 1为半径的 圆的方程是
(
C
)

1.3.1 圆的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4) - 副本

所以，等式(1)就是圆上任意一点的极坐标( , ) 满足的条件，另一方面，可以验证，坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。

极坐标方程：
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意 一点的极坐标中至少有一个满足方程f ( , ) 0 并且坐标适合方程f ( , ) 0的点都在曲线C上， 那么方程f ( , ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
2 2
你可以用极坐标方程直接来求吗？
解：原式可化为 3 1 ＝10(cos sin ) 10 cos( ) 2 2 6 所以圆心为(5, ), 半径为5 6

圆心为(a, )( a 0)半径为a 圆的极坐标方程为＝2a cos( ) 此圆过极点O
所以， 2a cos就是圆心在C (a,0)( a 0), 半径 为a的圆的极坐标方程。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐 标系，可以使圆的极坐标方程简单？
M

O

r x
解：如果以圆心O为极点，从O出发的一条射线 为极轴建立坐标系（如图），那么圆上各点的几 何特征就是它们的极径都等于半径r. 设M ( , )为圆上任意一点，则OM r , 即
4、圆＝ 10cos( )的圆心坐标是 （ C ） 3 2 C、 , ) (5 (5 A、 ,0) B、 , ) (5 D、 , ) (5 3 3 3 5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的 2 极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。 解：＝4 cos( ) 4sin
x ( y 2) 4
2 2
2、极坐标方程分别是＝cos和＝sin 的两个 圆的圆心距是多少？
1 解：圆＝cos 圆心的坐标是( , 0) 2 圆 sin cos( ) cos( ) 2 2 1 2 圆＝sin 的圆心坐标是( , ), 所以圆心距是 2 2 2

圆的极坐标表示

圆的极坐标表示1.引言1.1 概述概述部分的内容可以这样编写:引言是一篇文章的开始部分，用于引入文章所要讨论的主题并概述文章的内容。

本篇文章将讲述圆的极坐标表示。

在几何学中，极坐标是一种以角度和距离来描述平面上点的坐标系统，而圆的极坐标表示则是将圆的位置信息用极坐标的方式表示出来。

圆的极坐标表示在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

本文将首先介绍圆的极坐标定义，包括极径和极角的概念以及它们与直角坐标系的关系。

接着，我们将讨论极坐标系与直角坐标系之间的转换关系，探讨它们之间的数学公式和几何意义。

最后，我们将探讨圆的极坐标表示的优势以及在实际应用中的领域。

通过阅读本文，读者将了解到圆的极坐标表示的基本概念和数学性质，以及如何在极坐标系和直角坐标系之间进行转换。

同时，读者还将了解到圆的极坐标表示在各个领域中的实际应用，如在物理学中描述物体的运动轨迹、在工程学中描述圆形零件的尺寸等。

在接下来的正文部分，我们将详细介绍圆的极坐标定义以及极坐标系与直角坐标系的转换关系。

并在结论部分总结圆的极坐标表示的优势和应用领域。

希望通过本文的阅读，读者能够对圆的极坐标表示有更深入的理解，并能够在实际问题中运用相关知识。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为三个主要部分进行讨论，以便全面介绍圆的极坐标表示。

以下是各个部分的简要概括：第一部分是引言部分。

在该部分中，我们将首先对整篇文章进行概述，介绍主要内容和研究的目的。

通过引言部分，读者可以对文章的整体框架和目标有一个清晰的了解。

第二部分是正文部分。

正文部分将详细介绍圆的极坐标定义以及极坐标系与直角坐标系之间的转换关系。

我们将探讨圆的极坐标表示在数学中的重要性和应用，并展示一些相关的数学推导和示例。

通过深入地探讨圆的极坐标表示，读者将能够全面了解它的定义、性质和应用。

第三部分是结论部分。

在结论部分中，我们将总结圆的极坐标表示的优势，并讨论它在不同领域的应用。

我们将着重强调它在物理学、工程学和计算机图形学等领域的重要性，以及未来的研究方向和发展潜力。

1.3.1 圆的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)(2)


(2)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 y2＋x2－2x－1＝0， 得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简，得 ρ2－2ρcos θ－1＝0. (3)∵ρcos 2＝1， 1＋cos θ ∴ρ· 2 ＝1，即 ρ＋ρcos θ＝2. ∴ x2＋y2＋x＝2.化简，得 y2＝－4(x－1)．
[通一类] π 2．在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为(3，3)，半径为 3，Q 点在 圆周上运动． (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)若 P 是 OQ 中点，求 P 的轨迹．
解：(1)如图，设 Q(ρ，θ)为圆上任意一点，连结 DQ、OQ， 则|OD|＝6， π ∠DOQ＝3－θ，
π π 或∠DOQ＝θ－3，∠DQO＝2. π 在 Rt△ODQ 中，|OQ|＝|OD|cos (θ－3)， π 即 ρ＝6cos (θ－3)． (2)若 P 的极坐标为(ρ，θ)，则 Q 点的极坐标为(2ρ，θ)． π π ∴2ρ＝6cos (θ－3)，∴ρ＝3cos (θ－3)． ∴P 的轨迹是圆．
[研一题] [例2] 求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程． 在圆周上任取一点P(如图)
[精讲详析]
设其极坐标为(ρ，θ)．
由余弦定理知： CP2＝OP2＋OC2－2OP· OCcos ∠COP， ∴r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos (θ－θ0)． 故其极坐标方程为
r2＝ρ＋ρ2－2ρρ0cos (θ－θ0)．
[小问题· 大思维] 1． 在直角坐标系中， 曲线上每一点的坐标一定适合它的方程． 那么， 在极坐标系中，曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程？
提示： 在直角坐标系内， 曲线上每一点的坐标一定适合它的方程， 可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方 π π 程．例如给定曲线 ρ＝θ，设点 P 的一极坐标为(4，4)，那么点 P 适合方程 ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点 P 的另一个极坐 π 9π 标(4， 4 )就不适合方程 ρ＝θ 了．所以在极坐标系内，确定某一 个点 P 是否在某一曲线 C 上，只需判断点 P 的极坐标中是否有 一对坐标适合曲线 C 的方程即可．
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所以，等式(1)就是圆上任意一点的极 坐标( , ) 满足的条件，另一方面 ，可以验证，坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。

极坐标方程：
一般地，在极坐标系中 ，如果平面曲线 C上任意 一点的极坐标中至少有 一个满足方程 f ( , ) 0 并且坐标适合方程 f ( , ) 0的点都在曲线 C上， 那么方程f ( , ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
一问题的提出
在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方 程 f(x,y)=0表示，曲线与方程满足如下关系：
（1）曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解；
（2）以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上
那么，在极坐标系中， 平面曲线是否可以用 方程f ( , ) 0表示呢？
三、简单曲线的极坐标方程
学习目标
1掌握在极坐标系中简单方程的求法 2体会用方程刻画平面图形时选择适当坐标系意义
3了解柱坐标系球坐标系刻画点位置的方法,体会 与直角坐标系刻画点的位置的方法的区别
二 新知探究
1、圆的极坐标方程
探究： 如图，半径为 a的圆的圆心坐标为 C (a,0)(a 0) 你能用一个等式表示圆 上任意一点的极坐标 ( , )满足的条件吗？
＝r
显然，使极点与圆心重 合时的极坐标方程在形 式 上比(1)简单。
M θ O r ρ
x
r
M M

O
rLeabharlann · ρθ O x
C（r,0） A
2r sin
2r cos
M ρ
· r
θ
θ O x
2r cos( ) 2r cos
O
r x
ρ
·
3 2r cos( ) 2r sin 2
所以， 2a cos就是圆心在C (a,0)(a 0),半径 为a的圆的极坐标方程。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐 标系，可以使圆的极坐标方程简单？
M

O

r x
解：如果以圆心 O为极点，从O出发的一条射线 为极轴建立坐标系（如 图），那么圆上各点的 几 何特征就是它们的极径 都等于半径r. 设M ( , )为圆上任意一点，则 OM r ,即
M
四 练一练
1、曲线的极坐标方程 ＝4 sin 化为直角坐标 方程是什么？
x ( y 2) 4
2 2
2、极坐标方程分别是 ＝cos和＝sin 的两个 圆的圆心距是多少？
1 解：圆＝cos圆心的坐标是 ( ,0) 2 圆 sin cos( ) cos( ) 2 2 1 圆＝sin 的圆心坐标是 ( , ) 2 2 2 所以圆心距是 2


五课堂小结：
1、极坐标方程
2、圆的极坐标方程
M

O

C（a,0） A x
解：圆经过极点 O。设圆与极轴的另一个 交点 是A，那么OA＝2a, 设M ( , )为圆上除点O，A 以外的任意一点，那么 OM AM。在RtAMO 中 OM OA cos MOA即＝2a cos .......... .(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式 (1) 2