燕尾模型

燕尾模型公式推导过程燕尾模型，这个名字听上去就有点高大上，对吧？它的背后可是有一番故事。

你知道吗？燕尾模型主要用于描述一些经济和金融现象，特别是那些极端事件的概率，比如说股市崩盘、自然灾害等等，简直就是生活中的“黑天鹅”事件的好帮手。

想象一下，你正在喝咖啡，突然看到新闻报道某个地方发生了大地震，股市瞬间下跌。

哎呀，这种情况真是让人心慌意乱。

燕尾模型就像是一个提前预警的机器，让我们在这些突发事件面前有个心理准备。

这个燕尾模型到底是怎么来的呢？最早是由几个聪明的经济学家们提出的。

他们发现，很多时候，现实世界中的数据可不是那么乖巧的，往往呈现出“胖尾”的特征。

就好比你身边的朋友，有的人特别高，有的人又矮，这样一来，平均值就显得不那么靠谱。

燕尾模型就是为了捕捉那些极端事件，让我们能够更好地理解数据背后的故事。

就像打麻将时，明明手里有一把好牌，却总被一个意外的“炸弹”给打败，真是让人哭笑不得。

我们得聊聊燕尾模型的公式。

哎，说到公式，很多人一听就头疼，别担心，我这就给你简单讲讲。

公式其实没那么复杂，最核心的部分是正态分布。

你想，正态分布就像一个大肚子的小胖子，中心的位置就是平均值，两边逐渐收窄，慢慢走向零。

这看起来很简单，但如果我们往两边加点料，让它的尾巴变得更长，哇，这样一来，极端事件的可能性就上来了，咱们的模型也就建立起来了。

这个过程就像烤蛋糕一样，你要把配方调整得当，才能烤出外酥里嫩的蛋糕。

而燕尾模型就是调整那些“配方”，让我们在看待风险时更具前瞻性。

你能想象吗？在某个大雨滂沱的日子里，外面一片狼藉，你坐在家里，心里却有了底，不会被突如其来的变故吓到。

因为你知道，燕尾模型已经告诉你，哦，极端事件的发生几率可不低。

而且啊，这个模型不仅仅是理论上的玩意儿，它在实际应用中也大展拳脚。

许多金融机构在制定投资策略时，都会考虑到这个模型的影响。

想象一下，如果你是个投资者，手里捏着一把钱，你自然希望把风险降到最低。

三角形中的特殊模型-燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）模型 近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。

熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。

本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型）图1 图2 条件：如图1，凹四边形ABCD ； 结论：①BCD A B D ∠=∠+∠+∠；②AB AD BC CD +>+。

条件：如图2，线段BO 平分∠ABC ，线段OD 平分∠ADC ； 结论：∠O =12（∠A +∠C ）。

飞镖模型结论的常用证明方法：例1．（2023·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 有趣的“飞镖图”如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．（即如图1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C ）理由如下：方法一：如图2，连接AB，则在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD 中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如图3，连接CD 并延长至F，∵∠1 和∠3 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，. . . . . .大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是；(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；(3)应用：如图4，AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，AE 与BF 交于G，若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C 的大小．【答案】(1)三角形内角和定理（或三角形的内角和等于180°）；(2)见解析；(3)70°【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可求解；（2）根据三角形外角的性质可得∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，从而得到∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B，即可求证；（3）由（2）可得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C，从而得到∠CAE+∠CBF=110°-∠C，∠CAD+∠CBD=150°-∠C，再由AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，可得150°-∠C=2（110°-∠ C），即可求解．【详解】（1）解：三角形内角和定理（或三角形的内角和等于180°）（2）证明：连接CD 并延长至F，∵∠1 和∠2 分别是△ACD 和△BCD 的一个外角，∴∠1=∠2+∠A，∠3=∠4+∠B，∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B ，即∠ADB=∠A+∠B+∠ACB ；（3）解：由（2）得：∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C ，∠AGB=∠CAE+∠CBF+∠C ，∵∠ADB=150°，∠AGB=110°，∴∠CAD+∠CBD+∠C=150°，∠CAE+∠CBF+∠C=110°，∴∠CAE+∠CBF=110°-∠ C ，∠CAD+∠CBD=150°-∠C ，∵AE 是∠CAD 的平分线，BF 是∠CBD 的平分线，∴∠CAD =2∠CAE ，∠CBD=2∠CBF ，∴∠CAD+∠CBD=2（∠CAE+∠CBF ），∴150°-∠C=2（110°-∠ C ），解得：∠C=70°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 例2．（2023·成都市·七年级专题练习）如图，BE 平分ABD ∠，CF 平分ACD ∠，BE 与CF 交于点G ，若140BDC ∠=︒，100BGC ∠=︒，则A ∠=（ ）A ．80°B ．75°C ．60°D ．45°【答案】C 【分析】连接,BC 先求解,DBC DCB ∠+∠ 再求解,GBC GCB ∠+∠ 可得,GBD GCD ∠+∠ 再利用角平分线的定义可得：,ABD ACD ∠+∠ 从而可得：,ABC ACB ∠+∠ 再利用三角形的内角和定理可得A ∠的大小.【详解】解：连接,BC 140,BDC ∠=︒ 18014040,DBC DCB ∴∠+∠=︒−︒=︒100,BGC ∠=︒ 18010080,GBC GCB ∴∠+∠=︒−︒=︒40,GBD GCD GBC GCB DBC DCB ∴∠+∠=∠+∠−∠−∠=︒BE 平分ABD ∠，CF 平分ACD ∠，()280,ABD ACD GBD GCD ∴∠+∠=∠+∠=︒+8040120,ABC ACB ABD ACD DBC DCB ∴∠+∠=∠∠+∠+∠=︒+︒=︒()18060.A ABC ACB ∴∠=︒−∠+∠=︒ 故选：.C【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键. 例3．（2023·湖北·八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果52,25A B ︒︒∠=∠=，30,35,72C D E ︒︒︒∠=∠=∠=，那么F ∠的度数是（ ）．A ．72︒B ．70︒C ．65︒D ．60︒【答案】B 【分析】延长BE 交CF 的延长线于O ，连接AO ，根据三角形内角和定理求出,BOC ∠再利用邻补角的性质求出DEO ∠DFO ∠，根据邻补角的性质即可求出DFC ∠的度数．【详解】延长BE 交CF 的延长线于O ，连接AO ，如图，∵180,OAB B AOB ∠+∠+∠=︒ ∴180,AOB B OAB ∠=︒−∠−∠同理得180,AOC OAC C ∠=︒−∠−∠∵360,AOB AOC BOC ∠+∠+∠=︒∴360BOC AOB AOC ∠=︒−∠−∠ 360(180)(180)B OAB OAC C =︒−︒−∠−∠−︒−∠−∠107,B C BAC =∠+∠+∠=︒∵72,BED ∠=︒ ∴180108,DEO BED ∠=︒−∠=︒∴360DFO D DEO EOF ∠=︒−∠−∠−∠ 36035108107110,=︒−︒−︒−︒=︒∴180********DFC DFO ∠=︒−∠=︒−︒=︒,故选：B ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：180(2)n ︒−．例4.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC 中，AB AC BC >>，为三角形内任意一点，连结AP ，并延长交BC 于点D . 求证：（1）AB AC AD BC +>+；（2）AB AC AP BP CP +>++. AB DC P【详解】（1）∵AB AC >，∴ABD ACD ∠<∠∵ADB ACD ∠>∠，∴ADB ABD ∠>∠，∴AB AD >∵AC BC >，∴AB AC AD +>+ AB DC P E F（2）过点P 作EF BC ∥，交AB 、AC 于E 、F ，则AEF ABC ∠=∠，AFE ACB ∠=∠由（1）知AE AF AP EF +>+∵BE EP BP +>，CF FP CP +> ∴()()()AE BE AF CF EP FP AP BP CP EF +++++>+++即AB AC AP BP CP +>++（几何证明中后一问常常要用到前一问的结论）例5．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究BDC ∠与A ∠、B ∠、C ∠之间的关系，并说明理由；应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC ∆上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，若60A ∠=︒，则ABX ACX ∠+∠= ；②如图o 3，ABE ∠、ACE ∠的2等分线（即角平分线）BF 、CF 相交于点F ，若60BAC ∠=︒，130BEC ∠=︒，求BFC ∠的度数；拓展：（3）如图4，i BO ，i CO 分别是ABO ∠、ACO ∠的2020等分线（12320182019i =，，，，，），它们的交点从上到下依次为1O 、2O 、3O 、…、2019O ．已知BOC m ∠=︒，BAC n ∠=︒，则1000BO C ∠= 度．【答案】（1）BDC A B C ∠=∠+∠+∠，理由见详解； （2）①30；②95°；（3）5051101m n+【分析】（1）连接AD 并延长至点E ，利用三角形外角的性质得出,,BDE BAD B CDE CAD C ∠=∠+∠∠=∠+∠左右两边相加即可得出结论；（2）①直接利用（1）中的结论有BXC A ABX ACX ∠=∠+∠+∠，再把已知的角度代入即可求出答案； ②先根据BEC BAC ABE ACE ∠=∠+∠+∠求出ABE ACE ∠+∠，然后结合角平分线的定义再利用1()2BFC BAC ABF ACF BAC ABE ACE ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠即可求解；（3）先根据BOC BAC ABO ACO ∠=∠+∠+∠求出ABO ACO ∠+∠，再求出10001000ABO ACO ∠+∠的度数，最后利用100010001000BO C BAC ABO ACO ∠=∠+∠+∠求解即可．【详解】（1）如图，连接AD 并延长至点E∵,,BDE BAD B CDE CAD C ∠=∠+∠∠=∠+∠又∵,,BDC BDE CDE BAC BAD CAD ∠=∠+∠∠=∠+∠∴BDC BAC B C ∠=∠+∠+∠（2）①由（1）可知BXC A ABX ACX ∠=∠+∠+∠∵60A ∠=︒，90BXC ∠=︒∴906030ABX ACX BXC A ∠+∠=∠−∠=︒−︒=︒②由（1）可知BEC BAC ABE ACE ∠=∠+∠+∠∵60BAC ∠=︒，130BEC ∠=︒∴1306070ABE ACE BEC BAC ∠+∠=∠−∠=︒−︒=︒ BF 平分ABE ∠ ，CF 平分ACE ∠ 11,22ABF ABE ACF ACE ∴==1()952BFC BAC ABF ACF BAC ABE ACE ∴∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒（3）由（1）可知BOC BAC ABO ACO ∠=∠+∠+∠∵BOC m ∠=︒，BAC n ∠=︒ ∴ABO ACO BOC BAC m n ∠+∠=∠−∠=︒−︒∵i BO ，i CO 分别是ABO ∠、ACO ∠的2020等分线（12320182019i =，，，，，） ∴10001000505010002020101m n m n ABO ACO ︒−︒︒−︒∠+∠=⨯= ∴1000100010005051101m n BO C BAC ABO ACO ︒+︒∠=∠+∠+∠=【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质和角平分线的定义是解题的关键．模型2、风筝模型（鹰爪模型）或角内翻模型图1 图21）鹰爪模型：结论：∠A +∠O =∠1+∠2；2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A +∠O=∠2-∠1。

三角形中的模型（一）知识点详解1“燕尾模型”：面积比转化为边之比D 是BC 上任意一点，1423:::S S S S BD DC==证明：法一：S 1与S 4共边ED,则S 1与S 4同高，令S 1：S 4=BD:DC=ma:mb ，同理，令S △ABD ：S △ADC ＝BD:DC=na:nb 则S2:S3=(na-ma):(nb-mb)=a:b=BD:DC法二：△BED 与△CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；△ABE 与△EBD 同高，12::S S ED EA =；△ACE 与△CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.2题目类型(1)基础类型可直接利用三角形三条边上的燕尾模型，由“底边之比决定面积之比”来解题。

往往题目会只给出两条由定点出发的分先，需自己添加第三条分线为辅助线，即形成“”形状。

(2)拓展类型利用“多于两条分先围成的面积不可直接求”先判断哪些部分可利用燕尾模型直接求解，然后制定求解策略、逐一求解。

例题详解例1分析：份为令△1BDF S 53231:1::62:1::31:1::22:1:+⇒==⇒==⇒==⇒=份均为、份为份为份为△△△△△△△△△△△S S EC AE S S S DC BD S S S EC AE S S S DC BD EFC AEF EFC AEF AFC AFC ABF ABF BFC ABF DFC例2分析：1:8:1:8:8)31(21:2::33:1:1=∴==+×⇒==⇒=OE BO S S S DC BD S S S EC AE S AOE ABO AOB AOC AOB EOC AEO △△△△△△△∵份为份为份为令例3分析：16:27::16:124:3::27:129:4::==∴======FB AF S S EC EA S S DC BD S SBOC AOC BOC AOB AOC AOB△△△△△△例5分析：2296321232222112221121:1::21:1::11:1::1cm S ABCD AGCD S EB AE S S S FB CF S S S EB AE S S SAGCD GCB GCB AGC AGC AGB AGC GEB GEB AGE AEG=×==×+++++++∴∴==∴==∴==）（的占正方形四边形份为，∵份为，∵份为，∵份为令△△△△△△△△△△例6分析：135144135144648381262)216(45120)45(80)216(40408021645::408045216::==∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=−=−⎩⎨⎧+=+=+++=⇒==++⇒===AOE BOF BOC ABO COE AOE AOC ABO ODC OBD AOE BOF S S y x x y x y x y y x xy S S S S y x S S S S yS x S △△△△△△△△△△△△，解得整理得即∵∵，例4分析：△GHI 是由3条等分线围成的不可直接求，制定间接求解策略△AGC 是由两条等分线围成的可用燕尾直接求解，其求解过程与△AHB 、△BIC 完全一样，即AGCABC GHI S S S △△△3−=求解AGC S △：设BGC S △看成1份，则AGC S △=1×2=2份，AGB S △=2×2=4份713721724212=×−==++=∴GHI AGC S S S S △△，则家庭作业1分析：72216,218,722142,21186421182443121:2::12262:1::62)21(1:2::22:1::33:2:,1====+==++++=∴=×==÷=⇒===×⇒===×+⇒==⇒==⇒=ABF BFD EFDC AE FDC FDC FDC BFD BFC BFC ABF ABF AFC ABF EFC EFC AEF DFC AEF S S S S S S DC BD S S S EC AE S S S DC BD S S S EC AE S S S DC BD S △△△△△△△△△△△△△△△△△△份份，份为份为份为份为份为令2分析：731733311733734:3:::11:3::31:1::31:3:,1 ,CE =∴==++++⇒===⇒==⇒==⇒=阴影△△△△△△△△△△△△△△∵面积的阴影部分占△份为份为份为份为份为令S S ABC S FC AF S S S S S DC BD S S S DE AE S S S DC BD S ABC AEF BEC ABE EFC AEF AEC AEC ABE BED BED ABE BDECED 3分析：2:56:15::6:103:5::15:103:2::===∴======FB AF S S EC EA S S DC BD S S BGC AGC BGC ABC AGC ABG △△△△△△4分析：△GHI 是由3条等分线围成的不可直接求，制定间接求解策略△AGC 是由两条等分线围成的可用燕尾直接求解，其求解过程与△AHB 、△BIC 完全一样，即AGCABC GHI S S S △△△3−=求解AGC S △：设BGC S △看成9份，则AGC S △为9÷3×4=12份，AGB S △为12÷3×4=16份23717437133712137129161212=×=∴=×−==++=∴GHI ABC GHI ABC AGC S S S S S △△△△△，则5分析：2DFE 5522452)21333(2332:1::31:1::3211:1:::22:1:: 1 S cm S ABCD S S EC DE S S S FC BF S S S FG DF S S S S S EC DE S S BFG BDF GHD BGH BHD BFC DFB FGC BFG DFB CFG DFC EFC EFC DEF =×=∴=×+++++∴==∴===+∴===∴==阴影△△△△△△△△△△△△△△△△面积的阴影部分占长方形份为、，∵份为，∵份为，∵份为，∵E D B6分析：设yS x S EOC AOF ==△△，24646422*********262::4262::=+++++=∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=−=−++=⇒==++⇒=ABC BOC AOC BOF AOF AOC ABO ODC OBD S y x y x y x yx S S S S y x S S S S △△△△△△△△△解得整理得∵∵超常挑战N M GA BCD EF分析：若知道△AMN 占ABC △的面积的比即可只ABC △的面积，△AMN 是由3条等分线围成的不可直接用燕尾求面积。

燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ， 那么，::ABO ACO S S BD DC ∆∆=OFE DCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题 证明燕尾定理：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==S 3S 1S 4S 2EDCBA【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；例题精讲燕尾定理综上可得， 1423:::S S S S BD DC ==.【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA33321F EDC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△,设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADES BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，所以1103ABE ABC S S ==△△，1152ABD ABC S S ==△△．根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BDS CD==△△,所以17.54ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，所以阴影部分面积是30107.512.5--=．(法二)连接DE ，由题目条件可得到1103ABE ABC S S ==△△，11210223BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABE BDE S AF FD S ==△△，1111112.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211032CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以阴影部分的面积为12.5．【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBAABC DEF FEDCBA【解析】 连接CF ，根据燕尾定理，2639ABF ACF S BD S DC ===△△，36510ABF CBF S AE S EC ===△△, 设6ABF S =△份，则9ACF S =△份,10BCF S =△份，5459358EFC S =⨯=+△份，310623CDF S =⨯=+△份，所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm )88DCFE S =÷++⨯+=⨯+=【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △面积的几分之几？OE DCBA13.54.59211213O E D CBA【解析】 连接CO ,设1AEO S =△份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABC S =+++=△份，所以四部分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59,,,30306030103020+===【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．XQPABC XQPABC4411XQPCBA【解析】 方法一：连接PQ ．由于12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQ ABC S S =V V ，1126BPQ BCQ ABC S S S ==V V V ．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===V V V V ，所以441226 2.455255ABX ABP ABC ABC S S S S ==⨯==⨯=V V V V ．方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积， 所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++⨯=△【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F48621ABCDEF【解析】 连接CF ，设1AEF S =△份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以121AEF S =△,62217ABF S ==△,821BDF S =△,242217FDCE S +==【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．A BCDE FA BCDEF 2.41.62A BC DEF 12【解析】 连接CF ,根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，23ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，2ABF S =△份，4AFC S =△份，24 1.623AEF S =⨯=+△ 份,34 2.423EFC S =⨯=+△份,如图所标,所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份,2349ABC S =++=△份 所以222 4.4945(cm )ABCS =÷⨯=△【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？【解析】 连接BN ．ABC △的面积为3223⨯÷=根据燕尾定理，::2:1ACN ABN CD BD ==△△； 同理::1:1CBN CAN BM AM ==△△设AMN △面积为1份，则MNB △的面积也是1份，所以ANB △的面积是112+=份，而ACN △的面积就是224⨯=份，CBN △也是4份，这样ABC △的面积为441110+++=份，所以AMN △的面积为31010.3÷⨯=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A【解析】 设1DEF S =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 2】 如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为________．OFEDBA684621O F E DB A【解析】 连接,AO BD ,根据燕尾定理::1:2ABO BDO S S AF FD ==△△,::2:1AOD BOD S S AE BE ==△△,设1BEO S =△,则其他图形面积，如图所标，所以221224BODC AEOF S S ==⨯=.【例 3】 ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形AGCD 的面积是_________平方厘米．GFE DCBAGFE D CA【解析】 连接AC 、GB ，设1AGC S =△份，根据燕尾定理得1AGB S =△份，1BGC S =△份，则11126S =++⨯=正方形（）份，314ADCG S =+=份，所以22126496(cm )ADCG S =÷⨯=【例 4】 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．EDCBEDCB【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).【例 5】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE D C BAFE DCB A【解析】 连接CD ．由于:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△， 根据燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△．【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？A BCDE OABCDE O【解析】 连接OC ．因为:3:2BD DC =，根据燕尾定理，::3:2AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即32AOB AOC S S ∆∆=； 又:3:1AE EC =，所以43AOC AOE S S ∆∆=．则3342223AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=， 所以::2:1AOB AOEOB OE S S ∆∆==．【巩固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？A B CDE O【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC ． 连接OC ．A B CDE O因为:2:1BD DC =，根据燕尾定理，::2:1AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即2AOB AOC S S ∆∆=； 又:1:3AE EC =，所以4AOC AOE S S ∆∆=．则2248AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=， 所以::8:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==．【例 6】 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且13AE AB =，14CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG ∆与CGF ∆的面积之和为 ．BEH BEBE【解析】 (法1)如图，过F 做CE 的平行线交AB 于H ，则::1:3EH HB CF FB ==，所以122AE EB EH ==，::2AG GF AE EH ==，即2AG GF =，所以122311033942AEG ABF ABCD S S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=X ．且22313342EG HF EC EC ==⨯=，故CG GE =，则1152CGF AEG S S ∆∆=⨯⨯=．所以两三角形面积之和为10515+=．(法2)如上右图，连接AC 、BG ．根据燕尾定理，::3:1ABG ACG S S BF CF ∆∆==，::2:1BCG ACG S S BE AE ∆∆==，而1602ABC ABCD S S ∆==X ，所以3321ABG S ∆=++，160302ABC S ∆=⨯=，2321BCG S ∆=++，160203ABC S ∆=⨯=，则1103AEG ABG S S ∆∆==，154CFG BCG S S ∆∆==，所以两个三角形的面积之和为15．【例 7】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△ ::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =GF EDCBA【解析】 根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCGS S ==△△,所以:15:65:2:ACG BCG S S AF BF ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDC BAI HG FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==； 根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=；那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=；同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGC S △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =△△,619BIC ABC S S =△△, 所以1966611919GHI ABC S S ---==△△ 三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCB【分析】 如图，连接AI ．根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==， 所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGCS S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△, 所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【巩固】如图在ABC △中，13DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::3:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::3:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得3AGC S =△(份)，9ABG S =△(份),则13ABC S =△(份)，因此313AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得13ABH ABC S S =△△,313BIC ABC S S =△△, 所以1333341313GHI ABC S S ---==△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:::4:3AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是74，求角形GHI的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGC S △=12份根据燕尾定理，::4:312:9AGC BGC S S AF FB ===△△，::4:316:12ABG AGC S S BD DC ===△△得9BGC S =△(份)，16ABG S =△(份)，则9121637ABC S =++=△(份)，因此1237AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得1237ABH ABC S S =△△,1237BIC ABC S S =△△, 所以3712121213737GHI ABC S S ---==△△ 三角形ABC 的面积是74,所以三角形GHI 的面积是174237⨯=【例 9】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？【解析】方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．设三角形为ABC，BE和CD交于F，则BF FE=，再连结DE．所以三角形DEF的面积为3.设三角形ADE的面积为x，则()():33:10:10x AD DB x+==+，所以15x=，四边形的面积为18．方法二：设ADFS x=△，根据燕尾定理::ABF BFC AFE EFCS S S S=△△△△,得到3AEFS x=+△，再根据向右下飞的燕子，有(37):7:3x x++=，解得7.5x=四边形的面积为7.57.5318++=【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是．【解析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：()2:13:4S=+阴影，解得2S=阴影.方法二：回顾下燕尾定理，有2:41:3S+=阴影（），解得2S=阴影.【例 10】如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多少?35304084OFED CBA【解析】设BOFS x=△，由题意知:4:3BD DC=根据燕尾定理,得::4:3ABO ACO BDO CDOS S S S==△△△△,所以33(84)6344ACOS x x=⨯+=+△，再根据::ABO BCO AOE COES S S S=△△△△，列方程3(84):(4030)(6335):354x x++=+-解得56x=:35(5684):(4030)AOE S =++△,所以70AOE S =△所以三角形ABC 的面积是844030355670315+++++=【例 11】三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F 为BC 中点，求阴影部分的面积．F CBAF CBA【解析】 令BE 与CD 的交点为M ，CD 与EF 的交点为N ，连接AM ，BN ．在ABC △中，根据燕尾定理，::1:1ABM BCM S S AE CE ==△△,::1:1ACM BCM S S AD BD ==△△,所以13ABM ACM BCN ABC S S S S ===△△△△由于1122AEM AMC ABM S S S ==△△△S ，所以:2:1BM ME =在EBC △中，根据燕尾定理，::1:1BEN CEN S S BF CF ==△△::1:2CEN CBN S S ME MB ==△△ 设1CEN S =△(份)，则1BEN S =△(份)，2BCN S =△(份)，4BCE S =△(份)，所以1124BCN BCE ABC S S S ==△△△,1148BNE BCE ABC S S S ==△△△，因为:2:1BM ME =,F 为BC 中点,所以221133812BMN BNE ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,11112248BFN BNC ABC S S S ==⨯=△△△,所以115515 3.1251282424ABC ABC S S S ⎛⎫=+==⨯= ⎪⎝⎭△△阴影(平方厘米)【例 12】如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BCD EF【解析】 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABC S S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABCABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【巩固】(2007年四中分班考试题)如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．F ABCDEM NFABCDEMN【解析】 由于点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，如果能求出BN 、NM 、MD 三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF 的面积． 连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::2:1ABM ACM S S BF CF ∆∆==，而2ACM ADM S S ∆∆=，所以24ABM ACM ADM S S S ∆∆∆==，那么4BM DM =，即45BM BD =．那么421453215BMF BCD BM BF S S BD BC ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=，14721530CDMF S =-=四边形． 另解：得出24ABM ACM ADM S S S ∆∆∆==后，可得111155210ADM ABD S S ∆∆==⨯=，则11731030ACF ADM CDMF S S S ∆∆=-=-=四边形．【例 13】如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPM S =△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，139********MNED S =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？K JI HABC D EF GKJI HA BCD EFG【解析】 连接CK 、CI 、CJ ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==，所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247ACK S ∆==++，11321AGK ACK S S ∆∆==．类似分析可得215AGI S ∆=．又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=．那么，111742184CGKJ S =-=．根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070-=．【例 14】如右图，面积为1的ABC △中，::1:2:1BD DE EC =，::1:2:1CF FG GA =，::1:2:1AH HI IB =，求阴影部分面积．CBB【解析】 设IG 交HF 于M ，IG 交HD 于N ，DF 交EI 于P ．连接AM ， IF ．∵:3:4AI AB =，:3:4AF AC =，916AIF ABC S S ∴=△△ ∵::2FIM AMF S S IH HA ==△△，::2FIM AIM S S FG GA ==△△，∴19464AIM AIF ABC S S S ==△△△ ∵:1:3AH AI = ∴364AHM ABC S S =△△，∵:1:4AH AB = :3:4AF AC = ∴316AHF ABC S S =△△ ．同理 316CFD BDH ABC S S S ==△△△ ∴716FDH ABC S S =△△ 33::1:46416HM HF ==，∵ :3:4,:3:4AI AB AF AC ==，∴IF BC ∥ ，又∵:3:4,:1:2IF BC DE BC ==，∴:2:3,:2:3DE IF DP PF ==，同理 :2:3HN ND =，∵:1:4HM HF =，∴:2:5HN HD =，∴17710160160HMN HDF ABC S S S ===△△△． 同理 6个小阴影三角形的面积均为7160．阴影部分面积721616080=⨯=．【例 15】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.GCBAGCBA【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份),所以14ABM ACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△,所以111()12126ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQE S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABC S S =△△在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△所以15ABP ABC S S =△△所以1111152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11105所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 16】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△, ::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC S S =△△所以222117777RQS S =---=△同理17MNP S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形【例 17】（2009年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 的面积是2009平方厘米，1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，6B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．A 4B 5A 3A 45A 3【解析】 （方法一）因为空白的面积等于23A A G △面积的6倍，所以关键求23A A G △的面积，根据燕尾定理可得2312333117732A A G A A A S S S ==⨯⨯△△正六边形，但在123A A A △用燕尾定理时，需要知道13,A D A D 的长度比，连接1363,A A A A ,1A G ,过6B 作12A A 的平行线，交13A A 于E ，根据沙漏模型得1A D DE =,再根据金字塔模型得13A E A E =,因此13:1:3A D A D =,在123A A A △中，设121A A G S =△份，则233A A G S =△份,313A A G S =△份，所以2312333111773214A A G A A A S S S S ==⨯⨯=△△正六边形正六边形，因此141620091148147S S =-⨯=⨯=阴影正六边形（）（平方厘米）（方法二）既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形我们可以用下图的割补思路，把正六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为82009114814⨯=（平方厘米）FA 3A【例 18】已知四边形ABCD ，CHFG 为正方形，:1:8S S =乙甲，a 与b 是两个正方形的边长，求:?a b =baHFEDbaMED【解析】 观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解 连接EO 、AF ，根据燕尾定理：::AOE AOF S S a b =△△，::AOF EOF S S a b =△△ 所以 22::AOE EOF S S a b =△△，作OM ⊥AE 、ON ⊥EF ， ∵AE =EF∴22::OM ON a b = ∴33::1:8S S a b ==乙甲 ∴:1:2a b =。

完整版)小学奥数几何(燕尾模型)燕尾定理是一个关于三角形内部相交线段和三角形面积比的定理。

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么，S△下面通过一个例题来证明燕尾定理：如图，D是BC上任意一点，请你说明：解析：三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC 为底，所以有另外，还有一个关于四边形面积的例题：如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且解析：方法一：连接CF，根据燕尾定理，△ABF/△ACF=BD/DC=1/2，设△BDF的面积为1份，则△DCF的面积为2份，△ABF的面积为3份，△AEF的面积和△XXX的面积都为3份。

所以四边形DFEC的面积为11/12.方法二：连接DE，由题目条件可得到S△ABD=S△ABC=1/3，S△ADE=S△ADC=(1/3)×S△ABC。

所以S△DEF=(1/2)×S△DEB=(1/2)×(2/3)×S△BEC=(1/3)×S△ABC=1 /3.而S△CDE=(1/3)×S△ABC。

所以四边形DFEC的面积为1−1/3−1/3=1/3.已知BD=3DC，EC=2AE，可以发现三角形ABC被分成的四个部分是三角形ABO、三角形AEO、三角形BDC和四边形BCOE。

因为BD=3DC，所以三角形BDC的底边BC上的高是三角形ABO的底边AO上的高的3倍，所以三角形BDC的面积是三角形ABO的面积的3倍。

同理，因为EC=2AE，所以三角形AEO的底边AE上的高是三角形ABO 的底边AO上的高的2倍，所以三角形AEO的面积是三角形ABO的面积的2倍。

因此，四个部分分别占据三角形ABO面积的1/6、1/3、3/10和2/15.解析】连接CF，设S△ABF=1份，则S△ACF=2份，S△CBF=3份，S△BDF=4份，S△DCF=8份。

由于S四边形DFEC=22，所以S△AFC+S△BDF+S△DCF=22.代入可得8份+4份+2份=22，因此S△ABC=3份。

燕尾模型知识点总结一、燕尾模型的基本概念1.1 燕尾模型的定义燕尾模型（Power Law Model）是一种用于描述长尾分布的统计模型，其概率密度函数（PDF）形式为：P(x) = Cx^(-α)其中，P(x)为随机变量x的概率密度函数，C为归一化常数，α为燕尾指数（也称为幂指数），x为随机变量。

燕尾模型表征了在大部分样本中出现频率较高的现象，而在极端情况下出现频率很低但占据了绝大比例的现象，这种分布模式称为长尾分布。

1.2 燕尾指数燕尾指数α是燕尾模型中的重要参数，它决定了长尾分布的形状。

当α>1时，燕尾模型呈现出强烈的长尾特征，α越大，长尾越陡峭；当0<α<1时，燕尾模型的长尾特征减弱，α越小，长尾越平缓。

1.3 燕尾模型的特点燕尾模型具有以下特点：（1）具有幂律分布的特性，即在大部分样本中，随机变量的频率较高，而在极端情况下，出现频率很低但占据了绝大比例。

（2）长尾模型适用于描述大量样本中的极端现象，如社交网络中的用户粉丝数、互联网上的网页点击数等。

（3）燕尾模型的参数估计需要考虑到样本量的大小和采样方式，且模型的拟合结果对于数据的分布情况较为敏感。

二、燕尾模型的参数估计方法2.1 最大似然估计法最大似然估计是燕尾模型参数估计的常用方法之一。

假设我们有一组独立同分布的样本{x1, x2, ..., xn}，我们可以通过最大化对数似然函数来估计燕尾模型的参数。

对于燕尾模型P(x) = Cx^(-α)，其对数似然函数为：L(α|{x}) = Σ[ln(C) - αln(x)]通过对对数似然函数求导，并令导数等于0，即可得到燕尾指数的最大似然估计值。

2.2 极大似然估计法极大似然估计是一种在参数空间中选择最优参数的方法，可以通过最大化似然函数来估计燕尾模型的参数。

估计的过程与最大似然估计方法类似，但是极大似然估计在处理样本较少或者观测变量较稀疏的情况下有更好的性能。

2.3 基于数据拟合的方法在实际应用中，我们可以通过利用已知样本数据进行燕尾模型的拟合，从而得到参数的估计值。

前两次课分别为大家讲解了小学几何五大模型中的等积模型和蝴蝶模型，今天为大家讲解一下五大模型中的燕尾模型。

燕尾模型也是小学几何中的难点，希望对大家学习小学几何有所帮助。

燕尾模型又称燕尾定理，是指在一个三角形中分别从三个角点向所对的边做三条直线并相交于一点。

如图：S△ABO：S△ACO=BD：DC证明：在△ ABC中△ ABD与△ ACD的高相等，故S△ ABD：S△ACD=BD：DC；又因为△ OBD与△ OCD的高也相等，故S△ OBD：S△OCD=BD：DC，那么（S△ ABD-S△ OBD）：（S△ ACD- S△ OCD ）= S△ABO：S△ACO=BD：DC同理可得：S△ABO：S△BCO=AE：EC；S△BCO：S△ACO=BF：FA【例题1】如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD：DC=1：2，AD与BE交于点F，求四边形DFEC的面积？【解题思路】连接FC做辅助线【例题2】如图，三角形ABC的面积是8平方厘米，AF=FD，BD=2/3BC，AD与BE交于点F，求阴影面积？【解题思路】连接FC做辅助线；【例题3】如图，长方形ABCD的面积为120平方厘米，AB=3AE，BD=4FD，求阴影部分面积？【解题思路】连接BG，连接AD做辅助线；【例题4】如图，在四边形ABCD中，AB=3BE，AD=3AF，四边形AEOF的面积是12平方厘米，求平行四边形BODC的面积？【解题思路】连接AO，连接BD做辅助线；设S△BEO的面积为1份；S△BEO：S△AEO=BE：EA=1：2，故S△AEO的面积为2份；根据燕尾定理,S△ABO：S△BDO=AF：FD=1：2，故S△BDO的面积为6份；S△ADO：S△BDO=AE：EB=2：1，故S△ADO的面积为12份；S△AFO：S△DFO= AF：FD=1：2，故S△AFO的面积为12÷3=4份，S△AFO的面积为12÷3×2=8份；四边形AEOF面积为6份与三角形BDO面积相等，故平行四边行BODC的面积=12×2=24平方厘米。

燕尾模型燕尾模型，研究的是怎样把一个三角形内部两个成燕子尾巴关系的三角形（其实两个三角形的关系是共边）面积的比转化成线段长度之间的比。

一、燕尾模型基本结论如下图，燕尾模型的基本结论为：S1：S2=L1:L2=S3：S4=（S1+S3）：（S2+S4），其中S3：S4=（S1+S3）：（S2+S4）=L1：L2 是共高得到的结论，S1：S2=L1：L2是燕尾模型的结论。

需注意，一个三角形内部，内部某个点与三个顶点分别相连后，会形成左、右、下三个燕尾三角形，并会形成（左、右）（左、下）（右、下）三组燕尾。

这三组燕尾就是燕尾模型研究的对象！虽然燕尾模型研究的是左、右、下这三个燕尾三角形，但是上面这个图显然无法把两个燕尾三角形的面积比转成成线段的比，所以燕尾模型中最常见的图为下图：图中，根据燕尾模型的结论，有：S△AGB：S△AGC=BE：EC，S△AGB：S△BGC=AF：FC，S△AGC：S△BGC=AD：DB以上就是燕尾模型的基本结论。

二、燕尾模型常考图形其实，燕尾模型经常考察的图形是下面这个图。

即只画出三个顶点中两个顶点出发的两条线AD、BE交于一点O，并且告诉我们两条线AD、BE分三角形两条边成的两条线段的比BD：DC，AE：EC(即两个外比）。

比如说，已知三角形ABC中，BD：DC=1:1，AE：EC=1：2。

接下来我们就来看一下，这样一个图形中，在就知道这两个外比的情况下，能推出什么样的结论。

对于这个图，因为是在考燕尾模型，所以一定首先要首先作出辅助线，构造出三个燕尾三角形，如下图虚线，此时根据BD：DC=1：1，AE：EC=1:2两个外比，我们可以解决下面三个问题：（1）另一个外比AF：FB（2）图中三条线BE、AD、CF分成的S1、S2、S3、S4、S5、S6六个小三角形的份数关系（3）三个内比，即AG：GD，CG：GF，BG：GE而求解这三个问题的过程是统一的，基本思路就2步：（1）求三个燕尾三角形S左（三角形ABG）、S右（三角形AGC）、S下（三角形BGC）的连比（2）用份数表示每个三角形的面积。

燕尾模型原理
燕尾模型（Peacock tail model）是一种心理学模型，用于解释
人们在社交场合中呈现出的各种花哨和引人注目的行为。

该模型的基本原理是，人们通过展示自己的独特特质和能力，试图吸引他人的注意和赞赏，从而提高自己在社交关系中的地位和吸引力。

燕尾模型的名称来源于孔雀的尾巴，孔雀通过展开美丽绚丽的尾巴来吸引雌性孔雀的注意。

类似地，人们在社交场合中也展示自己的特点和能力，以及个人的魅力和吸引力，以吸引他人的注意和赞赏。

燕尾模型认为，人们在社交场合中呈现出各种花哨和引人注目的行为，可以帮助他们获得他人的认可和赞赏，进而提高自己的地位和吸引力。

这种行为通常表现为个人从事某种俗称为“摆拍”的行为，例如炫耀自己的成就、展示自己的优点或技能、穿戴华丽的服装和饰品等等。

燕尾模型还指出，人们在社交场合中呈现出的花哨行为通常与他们自我认同和自尊心有关。

通过展示自己的独特特质和能力，个人可以证明自己的价值和重要性，从而增强自尊心和自信心。

总而言之，燕尾模型认为，人们在社交场合中呈现出引人注目和花哨的行为，是为了获得他人的认可和赞赏，提高自己在社交关系中的地位和吸引力。

这种行为可以增强个人的自尊心和自信心，从而促进社交互动和人际关系的发展。

共边定理（边与面积的关系）CA BDS1:S2 =DE:EA S4:S3=DE:EA所以S1:S2= S4:S3即S1:S4=S2:S3=BD:DC我们其实已经证明了燕尾模型！！燕尾模型：为什么说是燕尾模型呢？:::AGB AGC EGB EGCS S S S EB EC∆∆∆∆==:::BGA BGC FGA FGCS S S S FA FC∆∆∆∆==:::CGA CGB DGA DGBS S S S DA DB∆∆∆∆==燕尾模型的特点：三角形有一个点，这个点连接三个顶点如果具有这个特点，优先考虑燕尾模型S3S1S4S2EDCBAG FEDCBA燕尾模型常用技巧：1、 做辅助线构造燕尾模型2、 设三角形面积为若干份3、 例方程（方程组）解题例1如图，已知ABC ∆的面积是49，BDE ∆的面积是6，CDE ∆的面积是8.求ACD ∆的面积是多少？86DE CB A解题过程：6384ABD BDE ACD CDE ∆∆===∆∆那么ABD ∆占3份，ACD ∆占4份又496835ABD ACD ∆+∆=--=所以()3534420ACD ∆=÷+⨯=秀情总结：燕尾模型常用份数法例2如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF = .GF ED C B A解题过程：::2:310:15ABG ACG BD CD ∆∆===::5:310:6ABG BCG AE CE ∆∆===所以::15:65:2AF BF ACG BCG =∆∆==秀情总结：面积要统一找最小公倍数例3如图，已知:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,BDG ∆的面积是12.求ABC ∆的面积是多少？GF ED C B A解题过程：25:2:33032BDG BD DC BCG BDG CDG ∆=⇒=⇒∆=∆=∆ 555:5:33050333ABG AE CE ABG BGC BGC ∆=⇒=⇒∆=∆=⨯=∆ 23:2:37532ABG BD DC ACG ABG ACG ∆=⇒=⇒∆=∆=∆ 503075155ABG ACG BCG ∆+∆+∆=++=秀情总结： 燕尾模型 特殊的共边定理跟一般的共边定理相结合例4（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，ABC ∆的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．DECB AF解题过程：33321F A B C E D连接CF1:1:22ABE BD DC ACF ∆=⇒=∆ E 是AC 的中点1ABE CBF∆⇒=∆,设1BDF ∆=份，则 2DCF ∆=份3ACF ∆=份3AEF ECF ∆=∆=份如图所标所以四边形DCEF 的面积2351233312ABC +=∆=++++ 秀情总结： 使用燕尾定理解题时，习惯上设最小的图形的面积为1份例5如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC 的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．F D EC B A 4221AB CEDF解题过程：连接CF ，根据燕尾定理12ABFBDACF DC ∆==∆，23ABFAE CBF EC ∆==∆设1BDF ∆=份，则2DCF ∆=份，2ABF ∆=份，4ACF ∆=份24 1.623AEF ∆=⨯=+ 份34 2.423CEF ∆=⨯=+份如图所标所以四边形2 2.4 4.4CDFE =+=份2349ABC ∆=++=份所以222 4.4945(cm )ABC ∆=÷⨯=秀情总结：像燕尾？造辅助线使它成为燕尾例6如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．I H G F E D C B A I HGFED C B A解题过程：连接BG ,设BGC S △=1份根据燕尾模型::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份)则7ABC S =△(份) 因此27AGCABC S S =△△同理连接AI、CH得27ABHABCSS=△△,27BICABCSS=△△所以7222177 GHIABCSS---==△△秀情总结：图形具有旋转对称性“同理可得”。

燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么，::ABO ACOS S BD DCOFEDCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO 和ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明燕尾定理：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DCS3S 1S 4S 2E DCBA 【解析】三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC ；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA ；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA ，所以1423::S S S S ；综上可得，1423:::S S S S BD DC .例题精讲燕尾定理【例 1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．FEDCBA33321F EDC BAABCDEF【解析】方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABFACFS BD S DC△△，1ABF CBFS AE S EC△△,设1BDF S △份，则2DCFS △份，3ABF S △份，3AEFEFCS S △△份，如图所标所以551212DCEF ABCS S △方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABCS S △△，11212233ADE ADC ABC S S S △△△，所以11ABD ADE S BF FES △△，111111122323212DEF DEB BEC ABCS S S S △△△△，而211323CDEABCS S △△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【巩固】如图，已知BDDC ，2EC AE ，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.D EFC BAD EFC B AD EFCB A【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接CF ，因为BD DC ，2ECAE ，三角形ABC 的面积是30，所以1103ABE ABC S S △△，1152ABDABCS S △△．根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC △△，1ABFACF S BD S CD△△,所以17.54ABFABCS S △△，157.57.5BFDS △，所以阴影部分面积是30107.512.5．(法二)连接DE ，由题目条件可得到1103ABEABCS S △△，11210223BDE BECABC S S S △△△，所以11ABE BDE S AF FD S △△，111111 2.5223232DEF DEA ADCABCS S S S △△△△，而211032CDEABCS S △△．所以阴影部分的面积为12.5．【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC,:2:3BD DC ，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．FED CBAABCDEFFEDCBA【解析】连接CF ，根据燕尾定理，2639ABF ACFS BD S DC△△，36510ABF CBFS AE S EC△△, 设6ABF S △份，则9ACF S △份,10BCFS △份，5459358EFC S △份，310623CDFS △份，所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm )88DCFES 【巩固】如图，已知3BD DC ，2EC AE ，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC△面积的几分之几？OE DCBA13.54.59211213O EDCBA【解析】连接CO ,设1AEOS △份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABCS △份，所以四部分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59,,,30306030103020【巩固】(2007年圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CPCB ，13CQCA ，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于．XQPABC XQPAB C4411XQPCBA【解析】方法一：连接PQ ．由于12CPCB ，13CQCA ，所以23ABQ ABC S S V V ，1126BPQBCQABC S S S V V V ．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S V V V V ，所以4412262.455255ABXABPABCABCS S S S V V V V ．方法二：连接CX 设1CPX S △份，根据燕尾定理标出其他部分面积，所以6(1144)42.4ABXS △【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BDDC ，2CE AE ，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F48621ABCDEF【解析】连接CF ，设1AEFS △份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以121AEFS △,62217ABFS △,821BDFS △,242217FDCES 【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC,:1:2BD DC，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积．A BCDE FA BCDE F2.41.62A BCDEF12【解析】连接CF ,根据燕尾定理，12ABF ACFS BD S DC△△，23ABF CBFS AE S EC△△,设1BDF S △份，则2DCF S △份，2ABF S △份，4AFC S △份，24 1.623AEFS △份,342.423EFC S △份,如图所标,所以22.44.4EFDCS 份,2349ABCS △份所以222 4.4945(cm )ABCS △【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC ，2CD ，3CB ，AM BM ，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？ABCDM NABCDM N【解析】连接BN ．ABC △的面积为3223根据燕尾定理，::2:1ACN ABN CD BD △△；同理::1:1CBN CAN BM AM △△设AMN △面积为1份，则MNB △的面积也是1份，所以ANB △的面积是112份，而ACN △的面积就是224份，CBN △也是4份，这样ABC △的面积为441110份，所以AMN △的面积为31010.3．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE ，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?x yy xABCD E F GGFE D CBA33GF EDCB A213【解析】设1DEFS △份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCDS S △阴影平方厘米.【例 2】如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE ，3AD AF ，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为________．OFE DCBA684621O F E DCBA 【解析】连接,AO BD ,根据燕尾定理::1:2ABO BDOS S AF FD △△,::2:1AOD BOD S S AE BE△△,设1BEOS △,则其他图形面积，如图所标，所以221224BODCAEOFS S .【例 3】ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形AGCD 的面积是_________平方厘米．GFEDCBAGFEDCBA【解析】连接AC 、GB ，设1AGCS △份，根据燕尾定理得1AGBS △份，1BGCS △份，则11126S 正方形（）份，314ADCGS 份，所以22126496(cm )ADCGS 【例 4】如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．HGFEDCBAHGFEDCBA【解析】连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD,设1BHCS △份，根据燕尾定理2CHDS △份，2BHD S △份，因此122)210S 正方形（份，127236BFHGS ，所以712010146BFHGS (平方厘米).【例 5】如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC，D 是AE 的中点，那么:AF FC．FE D C BAFE DCB A【解析】连接CD ．由于:1:1ABD BEDS S △△，:3:4BED BCDS S △△，所以:3:4ABD BCD S S △△，根据燕尾定理，::3:4ABD BCDAF FCS S △△．【巩固】在ABC 中，:3:2BD DC，:3:1AE EC ，求:OB OE ？ABCDE OABCDE O 【解析】连接OC ．因为:3:2BD DC ，根据燕尾定理，::3:2AOBAOCSS BD BC ，即32AOBAOCS S；又:3:1AE EC ，所以43AOCAOESS．则3342223AOBAOCAOEAOESSSS，所以::2:1AOBAOEOB OESS．【巩固】在ABC 中，:2:1BD DC，:1:3AE EC，求:OB OE ？ABCDE O【解析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC ．连接OC ．ABCDE O因为:2:1BD DC ，根据燕尾定理，::2:1AOB AOCS S BD BC ，即2AOB AOCS S ；又:1:3AE EC ，所以4AOCAOE SS ．则2248AOBAOCAOEAOES SSS，所以::8:1AOB AOEOB OES S．【例 6】（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且13AEAB ，14CFBC ，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG 与CGF 的面积之和为．A BCDEF GHA BC DE F GA BCDEF G【解析】(法1)如图，过F 做CE 的平行线交AB 于H ，则::1:3EH HB CF FB ，所以122AE EB EH ，::2AG GF AE EH ，即2AG GF ，所以122311033942AEG ABF ABCD S S S X ．且22313342EG HF EC EC ，故CG GE ，则1152CGF AEG S S ．所以两三角形面积之和为10515．(法2)如上右图，连接AC 、BG ．根据燕尾定理，::3:1ABG ACG S S BF CF ，::2:1BCG ACG S S BE AE ，而1602ABCABCDSS X ，所以3321ABGS ，160302ABCS，2321BCGS ，160203ABCS，则1103AEGABGSS，154CFGBCGS S，所以两个三角形的面积之和为15．【例 7】如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC ，:4:3CE EA ，求:AF FB ．OFEDCBA【解析】根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD △△::3:412:16AOB BOCS S AE CE△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:27:16:AOC BOC S S AF FB△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC ，:5:6AE CE ，求:AF FB .OF EDCBA【解析】根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD △△::5:615:18AOB BOCS S AE CE△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB△△【巩固】如图，:2:3BD DC,:5:3AE CE ,则:AF BFGF EDCBA【解析】根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S △△,:5:310:6ABG BCGS S △△,所以:15:65:2:ACG BCGS S AF BF△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC ，:5:4EA CE，求:AF FB .OF EDCBA【解析】根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD △△::5:410:8AOB BOCS S AE CE△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:15:8:AOC BOC S S AF FB△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 8】(2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBAI HGFEDCBA【分析】连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE ，所以25AEAC ，故2255ABEABCSS；根据燕尾定理，::2:3ACGABGSS CD BD，::3:2BCG ABGS S CE EA，所以::4:6:9ACG ABGBCGS S S ，则419ACG S ，919BCGS；那么2248551995AGEAGCSS；同样分析可得919ACH S ，则::4:9ACG ACH EG EH S S ，::4:19ACG ACBEG EBS S，所以::4:5:10EG GH HB ，同样分析可得::10:5:4AG GI ID ，所以5521101055BIE BAE S S ，55111919519GHI BIES S ．【巩固】如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FBBD DC CE AE，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】连接BG ，AGCS △6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGCS S AF FB△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC △△得4BGCS △(份)，9ABGS △(份)，则19ABCS △(份)，因此619AGC ABCS S △△,同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S △△,619BIC ABCS S △△,所以1966611919GHI ABCS S △△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，ABC 中2BD DA ，2CE EB ，2AF FC ，那么ABC 的面积是阴影三角形面积的倍．A BCDEFGHI IHGFEDCBA 【分析】如图，连接AI ．根据燕尾定理，::2:1BCIACI SSBD AD ，::1:2BCIABISS CF AF，所以，::1:2:4ACIBCIABIS SS ，那么，221247BCIABCABCS SS．同理可知ACG 和ABH 的面积也都等于ABC 面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC 面积的211377，所以ABC 的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】连接BG,设BGCS △1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGCS S AF FB△△,::2:1ABG AGCS S BD DC△△,得2AGC S △(份)，4ABG S △(份),则7ABCS △(份)，因此27AGC ABCS S △△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S △△,27BIC ABC S S △△, 所以7222177GHI ABCS S △△【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【巩固】如图在ABC △中，13DC EA FB DBECFA,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】连接BG,设BGCS △1份，根据燕尾定理::3:1AGC BGCS S AF FB△△,::3:1ABG AGCS S BD DC△△,得3AGC S △(份)，9ABG S △(份),则13ABCS △(份)，因此313AGC ABCS S △△,同理连接AI 、CH 得13ABH ABC S S △△,313BIC ABC S S △△,所以1333341313GHI ABCS S △△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:::4:3AF FBBD DCCE AE ，且三角形ABC 的面积是74，求角形GHI 的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】连接BG ，AGCS △12份根据燕尾定理，::4:312:9AGC BGCS S AF FB△△，::4:316:12ABG AGC S S BD DC△△得9BGCS △(份)，16ABGS △(份)，则9121637ABCS △(份)，因此1237AGC ABCS S △△,同理连接AI 、CH 得1237ABH ABCS S △△,1237BIC ABCS S △△,所以3712121213737GHI ABCS S △△三角形ABC 的面积是74,所以三角形GHI 的面积是174237【例 9】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？773773FEDCBAx+3x 773FE D CBA【解析】方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．设三角形为ABC ，BE 和CD 交于F ，则BF FE ，再连结DE ．所以三角形DEF 的面积为 3.设三角形ADE 的面积为x ，则:33:10:10x AD DB x ，所以15x ，四边形的面积为18．方法二：设ADF S x △，根据燕尾定理::ABF BFCAFE EFC S S S S △△△△,得到3AEFS x△，再根据向右下飞的燕子，有(37):7:3xx ，解得7.5x四边形的面积为7.57.5318【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是．4321【解析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：2:13:4S 阴影，解得2S 阴影. 方法二：回顾下燕尾定理，有2:41:3S 阴影（），解得2S 阴影.【例 10】如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少?35304084OFEDCBA【解析】设BOFS x △，由题意知:4:3BD DC根据燕尾定理,得::4:3ABO ACOBDO CDOS S S S △△△△,所以33(84)6344ACO S x x △，再根据::ABO BCO AOECOE S S S S △△△△，列方程3(84):(4030)(6335):354x x解得56x:35(5684):(4030)AOE S △,所以70AOES △所以三角形ABC 的面积是844030355670315【例 11】三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F 为BC 中点，求阴影部分的面积．FEDCBANMFEDCBA【解析】令BE 与CD 的交点为M ，CD 与EF 的交点为N ，连接AM ，BN ．在ABC △中，根据燕尾定理，::1:1ABM BCM S S AE CE △△,::1:1ACM BCMS S AD BD△△,所以13ABM ACM BCN ABCS S S S △△△△由于1122AEMAMCABM S S S △△△S ，所以:2:1BM ME在EBC △中，根据燕尾定理，::1:1BEN CEN S S BF CF△△::1:2CEN CBNS S ME MB△△设1CEN S △(份)，则1BENS △(份)，2BCNS △(份)，4BCES △(份)，所以1124BCN BCE ABC S S S △△△,1148BNEBCEABC S S S △△△，因为:2:1BM ME ,F 为BC 中点,所以221133812BMN BNEABC ABC S S S S △△△△,11112248BFN BNCABC S S S △△△,所以1155153.1251282424ABC ABCS S S △△阴影(平方厘米)【例 12】如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCDEFNMGABCD EF 【解析】连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC△△，::1:3ABM ACMS S BD CD△△，所以15ABMABC S S △△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBNS S AG GC △△，所以::4:3ABN FBN CBN FBNS S S S △△△△，所以:4:3AN NF ，那么1422437ANG AFCS S △△，所以2515177428FCGNAFCABCABC S S S S △△△．根据题意，有157.2528ABCABCS S △△，可得336ABCS △(平方厘米)【巩固】(2007年四中分班考试题)如图，ABC 中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC 的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．FABCDEM NFABCDEMN【解析】由于点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，如果能求出BN 、NM 、MD 三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF 的面积．连接CM 、CN ．根据燕尾定理，::2:1ABMACMSSBF CF，而2ACMADMSS，所以24ABMACMADMSSS，那么4BM DM ，即45BMBD ．那么421453215BMFBCDBMBF SS BDBC，14721530CDMFS 四边形．另解：得出24ABMACMADMS S S 后，可得111155210ADMABDS S，则11731030ACFADMCDMFS S S四边形．【例 13】如图，三角形ABC 的面积是1，BDDEEC ，CF FG GA ，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFED CBANMQPGFEDCBA【解析】设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC△△，::1:2ABP ACPS S BD CD△△，设1ABPS △(份)，则1225ABCS △(份)，所以15ABPS △同理可得，27ABQ S △,12ABNS △,而13ABGS △，所以2137535APQ S △，1213721AQGS △．同理，335BPM S △121BDMS △,所以1239273570PQMNS 四边形，13953357042MNEDS 四边形,1151321426NFCE S 四边形,1115321642GFNQS 四边形【巩固】如图，ABC 的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？KJIHABC DEF GKJIHABCD EFG【解析】连接CK 、CI 、CJ ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S SCD BD，::1:2ABKCBKSS AG CG ，所以::1:2:4ACKABKCBKSSS，那么111247ACKS ，11321AGKACKSS．类似分析可得215AGIS．又::2:1ABJCBJSSAF CF ，::2:1ABJ ACJS S BD CD，可得14ACJS．那么，111742184CGKJS ．根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJAGIABES SS，所以四边形JKIH 的面积为61917070．【例 14】如右图，面积为1的ABC △中，::1:2:1BD DE EC，::1:2:1CF FG GA ，::1:2:1AH HI IB ，求阴影部分面积．IHGFED C BA PNMA BCD EFGHI【解析】设IG 交HF 于M ，IG 交HD 于N ，DF 交EI 于P ．连接AM ，IF ．∵:3:4AI AB，:3:4AF AC，916AIFABCS S △△∵::2FIM AMF S S IH HA △△，::2FIM AIMS S FG GA△△，∴19464AIMAIFABCS S S △△△∵:1:3AH AI∴364AHM ABC S S △△，∵:1:4AH AB :3:4AF AC ∴316AHF ABC S S △△．同理316CFDBDHABC S S S △△△∴716FDHABC S S △△33::1:46416HM HF，∵:3:4,:3:4AI ABAF AC，∴IF BC ∥，又∵:3:4,:1:2IF BC DE BC ，∴:2:3,:2:3DE IF DP PF ，同理:2:3HN ND ，∵:1:4HM HF，∴:2:5HN HD，∴17710160160HMNHDFABCS S S △△△．同理6个小阴影三角形的面积均为7160．阴影部分面积721616080．【例 15】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.IGHFED CBAIN MQPGHF EDCBA【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P,BI 与CE 的交点为Q,连接AM 、BN 、CP ⑴求ADMI S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI△△::1:2ACM CBMS S AD BD △△设1ABM S △(份)，则2CBMS △(份),1ACMS △(份),4ABC S △(份),所以14ABM ACMABC S S S △△△，所以11312ADM ABMABC S S S △△△,112AIMABC S S △△,所以111()12126ABCABC ADMIS S S △△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求DNPQES 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF△△::1:2ACN BCN S S AD BD△△,所以111133721ADNABNABCABC S S S S △△△△,同理121BEQABCS S △△在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF△△,::1:2ABP CBPS S AI CI△△所以15ABPABCS S △△所以1111152121105ABPADNBEPABCABCDNPQES S S S S S △△△△△五边形同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11105所以11113133610570S 阴影【例 16】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.IGHFED CBAS RINMQ P GHFEDCBA【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACRS S BG CG △△,::1:2ABR CBR S S AI CI△△所以27ABR ABC S S △△,同理27ACS ABCS S △△,27CQBABCS S △△所以222117777RQS S △同理17MNPS △根据容斥原理，和上题结果11131777010S 六边形【例 17】（2009年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 的面积是2009平方厘米，1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，6B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米．A 6B 4B 5B 3B 2B 6B 1A 5A 4A 3A 2A 1GB 3B 2A 6B 4B 5B 6B 1A 5A 4A 3A 2A 1ED【解析】（方法一）因为空白的面积等于23A A G △面积的6倍，所以关键求23A A G △的面积，根据燕尾定理可得2312333117732AA GA AA S S S △△正六边形，但在123A A A △用燕尾定理时，需要知道13,A D A D 的长度比，连接1363,A A A A ,1A G ,过6B 作12A A 的平行线，交13A A 于E ，根据沙漏模型得1A DDE ,再根据金字塔模型得13A E A E ,因此13:1:3A D A D,在123A A A △中，设121A AGS △份，则233A A GS △份,313AA GS △份，所以2312333111773214A A GA AA S S S S △△正六边形正六边形，因此141620091148147S S 阴影正六边形（）（平方厘米）（方法二）既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形我们可以用下图的割补思路，把正六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为82009114814（平方厘米）BCDAEFGE A 1A 2A 3A 4A 5B 1B 6B 5B 4A 6B 2B 3GD 【例 18】已知四边形ABCD ，CHFG 为正方形，:1:8S S 乙甲，a 与b 是两个正方形的边长，求:?a b 乙甲baGHOFEDCBA乙甲b aN MGH OFED CBA【解析】观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解连接EO 、AF ，根据燕尾定理：::AOE AOF S S a b △△，::AOF EOF S S a b△△所以22::AOE EOF S S a b △△，作OM ⊥AE 、ON ⊥EF ，∵AEEF∴22::OM ONa b∴33S S a b::1:8甲乙∴:1:2a b。

燕尾定理例题精讲燕尾定理：在三角形 ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么，S ABO:S ACO BD:DCAEFOB D C上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明燕尾定理：如右图，D是BC上任意一点，请你说明：S1:S4S2:S3BD:DCAS2E S3S1S4B CD【解析】三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有S1:S4BD:DC；三角形ABE与三角形EBD同高，S1:S2ED:EA；三角形ACE与三角形CED同高，S4:S3ED:EA，所以S1:S4S2:S3；综上可得，S1:S4S2:S3BD:DC.【例 1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在 BC 上，且BD:DC1:2，AD 与BE 交于点F ．则四边形 DFEC 的面积等于．AAA3 3E E F 3 FB1 2D C BCD【解析】方法一：连接CF ，E FB CD根据燕尾定理， S △ABF BD 1，S △ABF AE 1, S △ACFDC 2S △CBF EC设S△BDF 1份，则S △DCF 2份，S △ABF3份，S △AEF S △EFC 3份，如图所标所以SDCEF 5 5S △ABC 12 12方法二：连接DE ，由题目条件可得到 S △ABD 1 S △ABC 1， 3 3S △ADE 1 S △ADC 1 2 S △ABC 1，所以BF S △ABD 1，2 23 3 FE S △ADE 1S △DEF 1 S △DEB 11 S △B EC 1 1 1 S △ABC 1，2 23 2 3 2 12而S △CDE 2 1 S △AB C 1．所以则四边形 DFEC 的面积等于5． 3 2 3 12 【巩固】如图，已知BD DC ，EC 2AE ，三角形 ABC 的面积是30，求阴影部分面积. A A A EE EFFFB DC BD C B D C【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积.又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接CF ，因为 BD DC ， EC 2AE ，三角形ABC 的面积是 30，所以S △ABE1S △ABC 10，S △ABD 1S △ABC 15．3 2根据燕尾定理， S △ABF AE 1 ， S △ABF BD1, S △CBF EC 2 S △ACF CD所以S △ABF 17.5，S △BFD 15 7.57.5， S △ABC4 30 10 7.5 12.5．所以阴影部分面积是(法二)连接DE ，由题目条件可得到S △ABE 1S △ABC10，3S△ABES△BDE 1S△BEC12S△ABC10，所以AF1，2 23 FD S△BDE 1S△DEF 1S△DEA1 1S△ADC1 1 1S△ABC 2.5，2 2 3 2 3 2而S △CDE2 1 10．所以阴影部分的面积为 12.5．3 S △ABC2【巩固】如图，三角形ABC 的面积是200cm 2，E在AC 上，点D 在BC 上，且AE:EC3:5,BD:DC 2:3，AD 与BE交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．AAAE FE F EFB BC B C DC D D【解析】连接CF ，根据燕尾定理，S △ABF BD 2 6 ， S △ABF AE 3 6 ,S△ACF DC 3 9 S△CBF EC5 10设S△ABF6份，则S △ACF 9份,S △BCF10份，S △EFC 9 5 5 45份，S △CDF 10 3 6份， 45 45 3 8 2 3所以S DCFE200 (6 9 10) ( 6) 8 ( 6) 93(cm 2) 8 8 【巩固】如图，已知 ， ， 与 CD 相交于点 O ,则 △ABC 被分成的 4部分面积各占△ABC BD3DCEC2AEBE面积的几分之几？ AA1 1 E 9 EO O 213.5 2 4.5BDC B 3D 1 C【解析】连接CO,设S △AEO 1份，则其他部分的面积如图所示，所以S△ABC 129 18 30份，所以四部 分按从小到大各占 △ABC 面积的1,24.513,9 3,13.5 930 30 60 30 10 30 20【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛 )如图所示，在△ABC 中，CP 11 2CB ，CQCA ，BQ 与AP 相交于 点X ，若△ABC 的面积为6 ，则△ABX 的面积等于3 ．CCCQ1 PQ Q4PP X 4 1 X XA B AB A B【解析】方法一：连接PQ．由于CP 1CB，CQ 1CA，所以S ABQ2S ABC，S BPQ1S BCQ1S ABC．2 3 3 2 6由蝴蝶定理知，AX:XP SABQ:SBPQ 2S ABC:1S ABC4:1，3 6所以SABX 4SABP4 1 2 22.4．5 5SABC SABC 62 5 5方法二：连接CX设S△CPX 1份，根据燕尾定理标出其他部分面积，所以S△ABX 6 (11 4 4) 42.4【巩固】如图，三角形ABC的面积是1，BD 2DC，CE2AE，AD与BE相交于点F，请写出这4部分的面积各是多少?A AE 6 1E2B FB8F4D C D C【解析】连接CF，设S△AEF 1份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以S△AEF1,S△ABF62,S△BDF8,S FDCE24221 21 7 21 21 7【巩固】如图，E 在AC上，D在BC上，且AE:EC 2:3,BD:DC 1:2，与BE交于点F．四边形DFECAD的面积等于22cm2，则三角形ABC的面积．A A AEF E2F1.6 EF2.41 2BC BCBCD D D 【解析】连接CF,根据燕尾定理，S△ABF BD 1，S△ABF AE 2,S△ACF DC 2 S△CBF EC 3设S△BDF1份，则S△D CF2份，S△ABF2份，S△AFC 4 份，S△AEF21.6432 3份,S△EFC 4 2.4份,如图所标,所以S EFDC 2 2.4 4.4份,S△ABC 2 3 4 9 份2 345(cm2)所以S△ABC22 4.4 9【巩固】三角形ABC中，C是直角，已知AC2，CD 2，CB 3，AM BM，那么三角形AMN(阴影部分)的面积为多少？A AM MN NC D B C D B【解析】连接BN．△ABC的面积为32 2 3根据燕尾定理，△ACN:△ABNCD:BD 2:1 ；同理△CBN:△CAN BM:AM1:1设△AMN面积为1份，则△MNB的面积也是1份，所以△ANB的面积是 1 1 2份，而△ACN的面积就是2 2 4份，△CBN也是4份，这样△ABC的面积为44 1 110份，所以△AMN的面积为310 1 0.3．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是 2平方厘米，EC 2DE ，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?A DA A1 DD3FEEF E x2Fy 33G x yBG C B B G C C【解析】设S △DEF 1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示 S 阴影5 S △BCD 5平方厘米.12 12【例 2】如图所示，在四边形 ABCD 中，AB3BE ，AD 3AF ，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边 形 BODC 的面积为________．AAF 4 F 2 8E O D E 1O6D6 B B C C【解析】连接AO,BD,根据燕尾定理 S △ABO :S △BDOAF:FD 1:2,S △AOD :S △BOD AE:BE2:1,设S△BEO 1,则其他图形面积，如图所标，所以 SBODC 2S AEOF 21224.【例 3】ABCD 是边长为12厘米的正方形， E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形AGCD 的面积是_________平方厘米．DCDCGFG FA EB A EB【解析】连接AC 、GB ，设S △AGC 1份，根据燕尾定理得 S△AGB 1份，S△BGC 1份，则S 正方形（1 11）26 份，S ADCG31 4份，所以S ADCG 122 64 96(cm 2)【例 4】如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形 BGHF 的 面积是_____平方厘米． ADA DEEGGH HB FC B F C【解析】连接BH,根据沙漏模型得BG:GD 1:2,设S△BHC1份，根据燕尾定理 S△CHD2份，S△BHD2份，因此S正方形（122)210份，SBFHG1 2 7，所以S BFHG12010 7 14(平方厘米).2 3 6 6【例5】如图所示，在△ABC中，BE:EC 3:1 ，D是AE的中点，那么AF:FC ．A AD FDFB E CB EC【解析】连接CD．由于S△ABD:S△BED1:1，S△BED:S△BCD 3:4，所以S△ABD:S△BCD3:4，根据燕尾定理，AF:FCS△ABD:S△BCD3:4．【巩固】在ABC中，BD:DC 3:2，AE:EC 3:1，求OB:OE ？A AO EOEB DC BD C 【解析】连接OC．因为BD:DC 3:2，根据燕尾定理，S AOB: S AOC BD:BC 3:2，即S AOB 3 SAOC；4 3 3 42又AE:EC3:1，所以S AOC SAOE．则SAOB SAOC2SAOE2SAOE，3 2 3所以OB:OE S AOB:S AOE 2:1．【巩固】在ABC中，BD:DC2:1，AE:EC1:3 ，求OB:OE ？AEOB D C【解析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC．连接OC．AEOBDC因为BD:DC 2:1，根据燕尾定理，SAOB :SAOCBD:BC 2:1 ，即SAOB 2SAOC ；又AE:EC 1:3，所以S AOC4SAOE ．则SAOB2SAOC 2 4SAOE 8SAOE ，所以OB:OESAOB :SAOE8:1．【例 6】（2009 年清华附中入学测试题）如图，四边形 ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且1 AB ，CF 1 AEG 与 CGF 的 AE BC ，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则 3 4 面积之和为 ． A D A D A DEE EGHGGB FC B F C B F C 【解析】(法1)如图，过F 做CE 的平行线交AB 于H ，则EH:HB CF:FB 1:3，1 EB 2EH ，AG:GF AE:EH 2，即AG 2GF ，所以AE2 1 2 23 1所以SAEG SABF 10．3 3 94 SABCD 2且EG 2 2 3 1 GE ，则SCGF 1 15． HF 3 EC EC ，故CG SAEG3 4 2 2所以两三角形面积之和为10 5 15． (法2)如上右图，连接 AC 、BG ．根据燕尾定理，SABG :SACG BF:CF 3:1，SBCG:SACG BE:AE 2:1， 而SABC 160， SABCD 2所以SABG 3 ，SABC 1 60 30 ，SBCG 2 ，SABC 1， 3 2 2 2 1 60201 3 3则SAEG 1 10，SCFG1SBCG 5， SABG 4 3所以两个三角形的面积之和为 15．【例 7】如右图，三角形 ABC 中，BD:DC4:9 ，CE:EA4:3 ，求AF:FB ．AFO EB DC【解析】根据燕尾定理得 S△AOB :S△AOC BD:CD4:9 12:27 S △AOB :S △BOC AE:CE 3:4 12:16 （都有△AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数）所以S△AOC :S△BOC 27:16 AF:FB 【点评】本题关键是把△AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC3:4，AE:CE 5:6 ，求AF:FB.A F O EBDC【解析】根据燕尾定理得 S △AOB :S △AOC BD:CD3:4 15:20 S △AOB :S △BOC AE:CE 5:6 15:18（都有△AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数）所以S△AOC :S△BOC20:18 10:9AF:FB 【巩固】如图， BD:DC 2:3,AE:CE 5:3 ,则AF:BFAFGEBDC【解析】根据燕尾定理有 S △ABG :S △ACG 2:310:15,S △ABG :S △BCG 5:310:6,所以 S△ACG :S△BCG15:65:2 AF:BF【巩固】如右图，三角形 ABC 中，BD:DC 2:3 ，EA:CE5:4 ，求AF:FB.AF O EBDC【解析】根据燕尾定理得 △ AO B : △BD : CD 2:3 10:15 S S AOCS △AOB :S △BOC AE:CE 5:4 10:8（都有△AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数）所以S △AOC :S △BOC 15:8 AF:FB【点评】本题关键是把△AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 8】(2008年“学而思杯”六年级数学试题 )如右图，三角形ABC 中，AF:FBBD:DCCE:AE3:2，且三角形ABC 的面积是1，则三角形 ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角 形 GHI 的面积为______．A AE G EF G FH IHIBD CB D C【分析】连接AH 、BI 、CG ．由于CE:AE 3:2，所以AE2 AC ，故SABE2 SABC 2；5 5 5根据燕尾定理，S ACG:S ABG CD:BD2:3，S BCG:S ABG CE:EA3:2，所以S ACG:S ABG:S BCG 4:6:9，则SACG4 ，SBCG 9 ；19 19那么S AGE2S AGC 2 4 8；5 5 19 95同样分析可得SACH 9，则EG:EH S ACG:S ACH 4:9，EG:EBS ACG:S ACB4:19，所以19EG:GH:HB 4:5:10，同样分析可得AG:GI:ID10:5:4，所以SBIE 5 SBAE 5 2 1，SGHI 5 SBIE 5 11．10 10 5 5 19 19 519【巩固】如右图，三角形ABC中，AF:FBBD:DC CE:AE 3:2，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积．A AF H EF HEIG IGB DC BD C【解析】连接BG，S△AGC6份根据燕尾定理，S△AGC:S△BGC AF:FB 3:2 6:4，S△ABG:S△AGC BD:DC 3:2 9:6得S△BGC4(份)，S△ABG9 (份)，则S△ABC19(份)，因此S△AGC6, S△ABC19同理连接AI、CH得S△ABH6,S△BIC 6,S△ABC 19S△ABC 19所以S△GHI19 6 66 1S△ABC19 19三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19【巩固】(2009 年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，ABC中BD 2DA，CE2EB，AF 2FC，那么ABC的面积是阴影三角形面积的倍．A ADG DGHFHF I IB EC B E C【分析】如图，连接AI．根据燕尾定理，SBCI :SACI BD:AD 2:1，SBCI :SABI CF:AF 1:2，所以，S ACI:S BCI:S ABI1:2:4，那么，S BCI2SABC21 2S ABC．4 7同理可知ACG和ABH的面积也都等于ABC面积的2，所以阴影三角形的面积等于ABC面积7的1 2 31，所以ABC的面积是阴影三角形面积的7倍．7 7【巩固】如图在△ABC中，DC EA FB 1,求△GHI的面积的值．DB EC FA 2 △ABC的面积A AE EH HFG FGI IB DC BD C【解析】连接BG,设S△BGC 1份，根据燕尾定理S△AGC:S△BGC AF:FB2:1,S△ABG:S△AGC BD:DC2:1,得S△AGC 2(份)，S△ABG4(份),则S△ABC 7(份)，因此S△AGC2,同理连接AI、CH得S△ABC 7S△ABH 2 S△BIC 2, ,S△ABC7 S△ABC 7所以S△GHI72 22 1S△ABC7 7【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【巩固】如图在△ABC中，DC EA FB 1 △GHI的面积DB EC FA 3 ,求的值．△ABC的面积A AE EH HFG FGI IB DC BD C【解析】连接BG,设△1份，根据燕尾定理△△AF:FB 3:1, △: △BD:DC3:1,S BGC SAGC:SBGC S ABG SAGC得S△AGC3(份)，S△ABG9(份), 则S△ABCS△AGC 3, 同理连接AI、CH得13(份)，因此13S△ABCS△ABH13,S△BIC 3,S△AB C S△ABC 13所以S△GHI 133 33 4S△ABC 13 13【巩固】如右图，三角形ABC中，AF:FB BD:DCCE:AE4:3，且三角形ABC的面积是74，求角形GHI 的面积．A AE EF H F HI IG GB DC BD C 【解析】连接BG，S△AGC 12份根据燕尾定理， S △AGC :S △BGC AF:FB得 S △BGC 9(份)，S △ABG 16(份)，则同理连接AI 、CH 得S △ABH12, S △B ICS△ABC 37 S△AB C所以 S△GHI 37121212 1S △ABC37374:3 12:9，S △ABG :S △AGC BD:DC4:316:12S△ABC 9121637(份)，因此 S△AGC 12S △ABC , 3712 ,37三角形ABC 的面积是1 274,所以三角形GHI 的面积是7437【例 9】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形， 如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？ AADED x x+3E 773F 7373F 7CB C7B【解析】方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算. 再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形． 设三角形为ABC ，BE 和CD 交于F ，则BF FE ，再连结DE ． 所以三角形DEF 的面积为 3.设三角形ADE 的面积为x ，则x:33AD:DB x 10:10，所以x15，四边形的面积为 18． 方法二：设S △ADF x ，根据燕尾定理S △ABF :S △BFC S △AFE :S △EFC ,得到 S △AEF x3，再根据向右下飞的燕子，有(x3 7):7 x:3，解得x 7.5四边形的面积为7.57.5 318 【巩固】右图的大三角形被分成5 个小三角形，其中 4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积 是 ．241 3【解析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系： 2:S 阴影13:4，解得S 阴影2.方法二：回顾下燕尾定理，有2（:S 阴影 4）1:3，解得S 阴影2.【例 10】 如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中 4个三角形的面积，问三角形 ABC 的面积是多 少 ? AF 84EO3540 30B D C【解析】设S△BOF x，由题意知BD:DC 4:3根据燕尾定理,得S△ABO:S△ACO S△BDO:S△CDO4:3,所以S△ACO3 (84 x) 63 3x，4 4再根据S△ABO:S△BCO S△AOE:S△COE，列方程(84x):(4030) (63 3x35):35解得x 56,所以S△AOE70 4S△AOE:35 (56 84):(40 30)所以三角形ABC的面积是84 40 30 35 56 70 315【例11】三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部分的面积．A AD EDMENBF C BF C【解析】令BE与CD的交点为M，CD与EF的交点为N，连接AM，BN．在△ABC中，根据燕尾定理，S△ABM:S△BCM AE:CE 1:1,S△ACM:S△BCM AD:BD1:1,所以S△ABM S△ACM S△BCN1S△ABC 1 13由于S△AEM2:1S△AMC S△ABM S，所以BM:ME2 2在△EBC中，根据燕尾定理，S△BEN:S△CEN BF:CF 1:1S△CEN:S△CBN ME:MB 1:2设S△CEN1(份)，则S△BEN1(份)，S△BCN2(份)，S△BCE4(份)，所以S△BCN1S△BCE1S△ABC,S△BNE1S△BCE1S△ABC，因为BM:ME2:1 ,F为BC中点,2 4 4 8所以S△BMN2S△BNE21S△ABC1S△ABC,S△BFN1S△BNC1 1 1S△ABC,3 38 12 2 24 8所以S阴影1 1S△ABC5S△ABC53.125 (平方厘米) 12 81524 24【例12】如右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？A AN GNGM MB DE FC BDEF C 【解析】连接CM、CN．根据燕尾定理，S△ABM :S△CBMAG:GC 1:1，S△ABM:S△ACMBD:CD 1:3，所以1ABC；△△SABM S5再根据燕尾定理，S△ABN :S△CBN AG:GC1:1，所以S △ABN :S △FBNS △CBN :S△FBN 4:3，所以AN:NF4:3，那么S △ANG1 4 2，所以S FCGN 12 S △AFC 5 1 S △AB C5 S △ABC ．S △AFC 243 7 7 7 4 28根据题意，有1 S △AB C 5 S △ABC7.2，可得S △ABC 336(平方厘米)5 28【巩固】(2007年四中分班考试题 )如图， ABC 中，点D 是边AC 的中点，点 E 、F 是边BC 的三等分点，若 ABC 的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．A AM D DN N MBEFCBEFC【解析】由于点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，如果能求出 BN 、NM 、MD 三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形 CDMF 的面积． 连接CM 、CN ．根据燕尾定理， SABM:SACM BF:CF 2:1，而SACM2SADM ，所以SABM 2SACM 4SADM ，那 么BM4DM ，即 BM 4BD ． 5那么S BMF BM BF SBCD 4 2 1 4，S 四边形CDMF 1 4 7．BD BC 5 3 2 152 15 30另解：得出S ABM2S ACM 4SADM 后，可得S ADM1 SABD 1 1 1，5 5 2 10 则S 四边形CDMF SACF SADM 1 1 7．3 10 30【例 13】 如图，三角形 ABC 的面积是 1，BD DE EC ，CFFG GA ，三角形ABC 被分成9部分， 请写出这 9 部分的面积各是多少 ?A AQ G GP F F M NB DEC BDEC【解析】设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，S △ABP :S△CBP AG:GC 1:2，S △ABP :S △ACP BD:CD 1:2，设S △ABP 1(份)，则 S△ABC 1 2 2 5(份)，所以S △ABP 15同理可得，S △ABQ2,S △ABN 1,而S △ABG 1，所以S △APQ 2 1 3，S △AQG1 21． 723 7 5 353 7 21 同理，S △BPM3 S △BDM 1,所以S 四边形PQMN 1 2 3 9，35 21 2 7 35 70S 13 9 5,S 11 51,S 11 15 四边形MNED 3 35 70 42 四边形NFCE 3 21 42 四边形GFNQ3 21 6 426【巩固】如图，ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形JKIH的面积是多少？C CFJ D F DJG E G EKI H KIHA B A B【解析】连接CK、CI、CJ．根据燕尾定理，SACK:SABK CD:BD1:2，SABK:SCBK AG:CG 1:2，所以S ACK:S ABK:S CBK1:2:4，那么S ACK1 141，SAGK 1 SACK 1．2 7 3 21类似分析可得SAGI2．15又S ABJ:S CBJ AF:CF 2:1，S ABJ:S ACJ BD:CD 2:1，可得S ACJ1．4那么，S CGKJ 1 1 17．4 2184根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为17，那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为84SCGKJ2SAGI SABE 17 2 2 1 61，所以四边形JKIH的面积为161 9．84 15 3 70 70 70【例14】如右图，面积为1的△ABC中，BD:DE:EC1:2:1，CF:FG:GA1:2:1，AH:HI:IB1:2:1，求阴影部分面积．AAH GH GNMI F I FPB D E CB D E C【解析】设IG交HF于M，IG交HD于N，DF交EI于P．连接AM，IF ．∵AI:AB 3:4，AF:AC 3:4，S△AIF 9S△ABC16∵S△FIM:S△AMF IH:HA2，S△FIM:S△AIM FG:GA 2，∴S△AIM1S△AIF9S△ABC∵AH:AI 1:3 ∴S△AHM3S△ABC，4 64 64∵AH:AB 1:4 AF:AC 3:4 ∴S△AHF3S△ABC．16同理S△CFD S△BDH 3S△ABC∴S△FDH7S△ABC HM:HF 3:3 1:4，16 16 64 16∵AI:AB 3:4,AF:AC3:4，∴IF∥BC，又∵IF:BC 3:4,DE:BC 1:2，∴DE:IF2:3,DP:PF2:3，同理HN:ND2:3 ，∵HM:HF 1:4，∴HN:HD 2:5，∴S△HMN1S△HDF7S△ABC7 ．10 160 160同理 6个小阴影三角形的面积均为 7．160阴影部分面积 7 621．160 80【例 15】 如图，面积为 l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴 影部分面积.AAD I D N IE H E P M HQB F GCBFG C【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P,BI 与CE 的交点为Q,连接 AM 、BN 、CP ⑴求S四边形ADMI ：在△ABC 中，根据燕尾定理， S △ABM:S △CBM AI:CI 1:2S △ACM:S △CBM AD:BD 1:2 设S △ABM 1(份)，则S △CBM2(份),S △ACM 1(份), S△ABC 4(份),所以S △ABM S △ACM 11 1 1,S △ABC ，所以S △ADM S △ABM S △ABC ,S △A IM S △ABC4 3 1212 所以S( 1 1 )S △ABC 1S △ABC , 四边形ADMI12 12 6△ABC 面积的1同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是⑵求S 五边形DNPQE ：在△ABC 中，根据燕尾定理6 S△ABN :S △ACN BF:CF 1:2S △ACN :S△BCN AD:BD 1:2,所以S △ADN 1 1 1 S △ABC 1 1 S △ABCS △ABN 3 7 S △ABC,同理S △BEQ3 21 21在△ABC 中，根据燕尾定理 S△ABP :S△ACP BF:CF 1:2,S △ABP :S △CBPAI:CI 1:2 所以 1S △ABP S △ABC5所以S 五边形DNPQE S △ABP S △ADN 1 1 1 S △AB C 11S △BEP 21 21 S △AB C5 105同理另外两个五边形面积是 △ABC 面积的11105所以S 阴影11 3 11 3 136 70105【例 16】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中 心六边形面积.A A D I DR INE H EP HQ S B C B M C F G F G【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为 N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在△ABC 中根据燕尾定理，S △ABR :S △ACR BG:CG.2:1,S△ABR :S△CBR AI:CI 1:2所以S △ABR 2S △ABC ,同理S △ACS 2S △ABC ,S △CQB 2S △ABC7 77所以S △RQS 1 2 2 2 17 7 7 7同理S △MNP 1 7根据容斥原理，和上题结果S 六边形 1 113 1 7 7 7010【例 17】 （ 2009 年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6的面积是2009 平方厘米， B B B B B B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平 1，2，3 ，4 ，5 ， 6方厘米． A 1 B 1 A 2 A 1 B 1 A 2 G B 6 B 2 B 6 D B 2EA 6 A 3 A 6A 3B 5 B 3 B 5 B 3A 4A 5B 4A 5B 4A 4【解析】（方法一）因为空白的面积等于 △A2A3G 面积的6倍，所以关键求△A2A3G 的面积，根据燕尾定理可 得S △AAG 3 3 1 1 S 正六边形，但在△A 1A 2A 3用燕尾定理时，需要知道 A 1D,A 3D 的长度比，S △AA A 2 3 7 1 2 3 7 3 2 连接A 1A 3,A 6A 3 ,A 1G,过B 6作A 1A 2的平行线，交A 1A 3于E ，根据沙漏模型得 A 1D DE,再根据金字塔 模型得 A 1E A 3E, 因此A 1D:A 3D 1:3 △ 1 份，则 S △A 2 A 3G 3 份, △ ,在△A1A2A3中，设SA 1A 2G SA 3A 1G3 份，所以S △A 3 3 1 1 1AG S △AAA S 正六边形 S 正六边形， 2 3 7 1 2 3 7 3 2 14 1 4因此S阴影（1 6）S正六边形2009 1148（平方厘米）14 7（方法二）既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形我们可以用下图的割补思路，把正六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为81148（平200914方厘米）A DEGB F C【例18】已知四边形 ABCD，CHFG为正方形，A BAa甲 aC G 甲DDOOM乙Eb F EH NA1B1A2B6G EDB2A6A3B5A5AB34B4S甲:S乙1:8，a与b是两个正方形的边长，求a:b ? BC G乙H b F【解析】观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解连接EO、AF，根据燕尾定理：S△AOE:S△AOF a:b，S△AOF:S△EOF a:b所以S△AOE:S△EOF a2:b2，作OM⊥AE、ON⊥EF，∵AE EF∴OM:ONa2:b2∴S甲:S乙a3:b31:8∴a:b1:2庄子云：“人生天地之间，若白驹过隙，忽然而已。

燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ， 那么，::ABO ACO S S BD DC ∆∆=OFE DCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题 证明燕尾定理：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==S 3S 1S 4S 2EDCBA【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得， 1423:::S S S S BD DC ==.例题精讲燕尾定理【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△,设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADES BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，所以1103ABE ABC S S ==△△，1152ABD ABC S S ==△△．根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BDS CD==△△,所以17.54ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，所以阴影部分面积是30107.512.5--=．(法二)连接DE ，由题目条件可得到1103ABE ABC S S ==△△，11210223BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABE BDE S AF FD S ==△△，1111112.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211032CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以阴影部分的面积为12.5．【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBAABC DEF FEDCBA【解析】 连接CF ，根据燕尾定理，2639ABF ACF S BD S DC ===△△，36510ABF CBF S AE S EC ===△△, 设6ABF S =△份，则9ACF S =△份,10BCF S =△份，5459358EFC S =⨯=+△份，310623CDF S =⨯=+△份，所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm )88DCFE S =÷++⨯+=⨯+=【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △面积的几分之几？OE DCBA13.54.59211213O E D CBA【解析】 连接CO ,设1AEO S =△份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABC S =+++=△份，所以四部分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59,,,30306030103020+===【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．XQPABC XQPABC4411XQPCBA【解析】 方法一：连接PQ ．由于12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQ ABC S S =V V ，1126BPQ BCQ ABC S S S ==V V V ．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===V V V V ，所以441226 2.455255ABX ABP ABC ABC S S S S ==⨯==⨯=V V V V ．方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积， 所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++⨯=△【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F48621ABCDEF【解析】 连接CF ，设1AEF S =△份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以121AEF S =△,62217ABF S ==△,821BDF S =△,242217FDCE S +==【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．A BCDE FA BCDEF 2.41.62A BC DE F 12【解析】 连接CF ,根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，23ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，2ABF S =△份，4AFC S =△份，24 1.623AEF S =⨯=+△ 份,34 2.423EFC S =⨯=+△份,如图所标,所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份,2349ABC S =++=△份 所以222 4.4945(cm )ABCS =÷⨯=△【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？【解析】 连接BN ．ABC △的面积为3223⨯÷=根据燕尾定理，::2:1ACN ABN CD BD ==△△；同理::1:1CBN CAN BM AM ==△△设AMN △面积为1份，则MNB △的面积也是1份，所以ANB △的面积是112+=份，而ACN △的面积就是224⨯=份，CBN △也是4份，这样ABC △的面积为441110+++=份，所以AMN △的面积为31010.3÷⨯=．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A【解析】 设1DEF S =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BCD S S ==△阴影平方厘米.【例 2】 如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为________．OFE DBA684621O F E DB A【解析】 连接,AO BD ,根据燕尾定理::1:2ABO BDO S S AF FD ==△△,::2:1AOD BOD S S AE BE ==△△,设1BEO S =△,则其他图形面积，如图所标，所以221224BODC AEOF S S ==⨯=.【例 3】 ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形AGCD 的面积是_________平方厘米．GFE DCBAGFE D CBA【解析】 连接AC 、GB ，设1AGC S =△份，根据燕尾定理得1AGB S =△份，1BGC S =△份，则11126S =++⨯=正方形（）份，314ADCG S =+=份，所以22126496(cm )ADCG S =÷⨯=【例 4】 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．EDCBEDCB【解析】 连接BH ,根据沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC S =△份，根据燕尾定理2CHD S =△份，2BHD S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFHG S =÷⨯=(平方厘米).【例 5】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE D C BAFE DCB A【解析】 连接CD ．由于:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△， 根据燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△．【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？A BCDE OABCDE O【解析】 连接OC ．因为:3:2BD DC =，根据燕尾定理，::3:2AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即32AOB AOC S S ∆∆=； 又:3:1AE EC =，所以43AOC AOE S S ∆∆=．则3342223AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=， 所以::2:1AOB AOEOB OE S S ∆∆==．【巩固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？A BCDE O【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC ． 连接OC ．A B CDE O因为:2:1BD DC =，根据燕尾定理，::2:1AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即2AOB AOC S S ∆∆=； 又:1:3AE EC =，所以4AOC AOE S S ∆∆=．则2248AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=， 所以::8:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==．【例 6】 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且13AE AB =，14CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG ∆与CGF ∆的面积之和为 ．BEH BEBE【解析】 (法1)如图，过F 做CE 的平行线交AB 于H ，则::1:3EH HB CF FB ==，所以122AE EB EH ==，::2AG GF AE EH ==，即2AG GF =，所以122311033942AEG ABF ABCD S S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=X ．且22313342EG HF EC EC ==⨯=，故CG GE =，则1152CGF AEG S S ∆∆=⨯⨯=．所以两三角形面积之和为10515+=．(法2)如上右图，连接AC 、BG ．根据燕尾定理，::3:1ABG ACG S S BF CF ∆∆==，::2:1BCG ACG S S BE AE ∆∆==，而1602ABC ABCD S S ∆==X ，所以3321ABG S ∆=++，160302ABC S ∆=⨯=，2321BCG S ∆=++，160203ABC S ∆=⨯=，则1103AEG ABG S S ∆∆==，154CFG BCG S S ∆∆==，所以两个三角形的面积之和为15．【例 7】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△ ::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =GF EDCBA【解析】 根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCGS S ==△△,所以:15:65:2:ACG BCG S S AF BF ===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDC BAI HG FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、CG ．由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255ABE ABC S S ∆∆==； 根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919BCG S ∆=；那么2248551995AGE AGC S S ∆∆==⨯=；同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样分析可得::10:5:4AG GI ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519GHI BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGC S △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919GHI ABC S S ---==△△ 三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCB【分析】 如图，连接AI ．根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==， 所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC S S S ∆∆∆==++．同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△, 所以7222177GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【巩固】如图在ABC △中，13DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIH G FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::3:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::3:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得3AGC S =△(份)，9ABG S =△(份),则13ABC S =△(份)，因此313AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得13ABH ABC S S =△△,313BIC ABC S S =△△, 所以1333341313GHI ABC S S ---==△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:::4:3AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是74，求角形GHI的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGC S △=12份根据燕尾定理，::4:312:9AGC BGC S S AF FB ===△△，::4:316:12ABG AGC S S BD DC ===△△得9BGC S =△(份)，16ABG S =△(份)，则9121637ABC S =++=△(份)，因此1237AGC ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得1237ABH ABC S S =△△,1237BIC ABC S S =△△, 所以3712121213737GHI ABC S S ---==△△ 三角形ABC 的面积是74,所以三角形GHI 的面积是174237⨯=【例 9】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．设三角形为ABC ，BE 和CD 交于F ，则BF FE =，再连结DE ．所以三角形DEF 的面积为3.设三角形ADE 的面积为x ，则()():33:10:10x AD DB x +==+，所以15x =，四边形的面积为18．方法二：设ADF S x =△，根据燕尾定理::ABF BFC AFE EFC S S S S =△△△△,得到3AEF S x =+△，再根据向右下飞的燕子，有(37):7:3x x ++=，解得7.5x =四边形的面积为7.57.5318++=【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是 ．【解析】 方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：()2:13:4S =+阴影，解得2S =阴影.方法二：回顾下燕尾定理，有2:41:3S +=阴影（），解得2S =阴影.【例 10】 如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少?35304084O FED CBA【解析】 设BOF S x =△，由题意知:4:3BD DC =根据燕尾定理,得::4:3ABO ACO BDO CDO S S S S ==△△△△,所以33(84)6344ACO S x x =⨯+=+△，再根据::ABO BCO AOE COE S S S S =△△△△，列方程3(84):(4030)(6335):354x x ++=+-解得56x =:35(5684):(4030)AOE S =++△,所以70AOE S =△所以三角形ABC 的面积是844030355670315+++++=【例 11】 三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F 为BC 中点，求阴影部分的面积．F CBAF CBA【解析】 令BE 与CD 的交点为M ，CD 与EF 的交点为N ，连接AM ，BN ．在ABC △中，根据燕尾定理，::1:1ABM BCM S S AE CE ==△△,::1:1ACM BCM S S AD BD ==△△,。

小学奥数-几何五大模型(燕尾模型)燕尾定理是一个有关于三角形的定理。

它表明在三角形ABC中，若有AD，BE，CF三条线段相交于同一点O，则可以得出以下关系：S△现在我们通过一道例题来证明燕尾定理。

如右图，D是BC上任意一点，请你说明：解析】我们可以通过以下方法来证明燕尾定理。

首先，我们连接CF，然后根据燕尾定理，我们可以得到△ABF/△ACF=BD/DC=1/2.接着，我们可以得到△ABF=3份，△DCF=2份，△AEF=△EFC=3份。

因此，我们可以得到SDFEC=S△ABC/2=1/2.另外一种证明方法是连接DE。

根据题目条件，我们可以得到S△ABD=S△ABC=1/3，S△ADE=S△ADC=1/6.因此，我们可以得到S△DEF/S△DEB=S△ADE/S△ABD*S△BEC/S△ADC=1/2*1/3*2/1=2/3.同时，我们可以得到S△CDE/S△ABC=1/3.因此，我们可以得到SDFEC=S△ABC/2=1/2.综上所述，我们证明了燕尾定理。

已知BD=3DC，EC=2AE，可以得到连接OE，可以得到△OEC和△OEB的面积比为2:3，因此△ABC被分成的第一部分面积为2/5.连接OD，可以得到△OBD和△OCD的面积比为1:3，因此△ABC被分成的第二部分面积为3/20.连接AE，可以得到△ABE和△AEC的面积比为2:5，因此△ABC被分成的第三部分面积为5/20=1/4.连接BO和CO，可以得到△BOC和△BEO的面积比为3:2，因此△ABC被分成的第四部分面积为3/20.因此，△ABC被分成的四部分面积分别为2/5、3/20、1/4、3/20，即它们各占△ABC面积的40%、15%、25%、15%。

解析】连接CF，设S△ABF=1份，则S△ACF=2份，S△BDF=1份，S△DCF=2份，S△AEF=4份，S△EFC=4份。

根据燕尾定理，SDFEC=S△ACF+S△DCF+S△BDF=5份。