燕尾定理详细解析.题库教师版

燕尾定理燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．OFE DCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==S 3S 1S 4S 2EDCBA【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.【例 1】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【答案】27:16【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .例题精讲O F EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【答案】10:9【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =GF EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCG S S ==△△,所以:15:65:2:ACG BCG S S AF BF ===△△ 【答案】5:2【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【答案】15:8【例 2】 如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少?35304084O FED CBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 设BOF S x =△，由题意知:4:3BD DC =根据燕尾定理,得::4:3ABO ACO BDO CDO S S S S ==△△△△,所以33(84)6344ACO S x x =⨯+=+△，再根据::ABO BCO AOE COE S S S S =△△△△，列方程3(84):(4030)(6335):354x x ++=+-解得56x =:35(5684):(4030)AOE S =++△,所以70AOE S =△所以三角形ABC 的面积是844030355670315+++++=【答案】315【例 3】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛 【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△,设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【答案】512【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，所以1103ABE ABC S S ==△△，1152ABD ABC S S ==△△．根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BDS CD==△△,所以17.54ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，所以阴影部分面积是30107.512.5--=．(法二)连接DE ，由题目条件可得到1103ABE ABC S S ==△△，11210223BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABE BDE S AF FD S ==△△， 1111112.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211032CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以阴影部分的面积为12.5．【答案】12.5【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBAABC DEF FEDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接CF ，根据燕尾定理，2639ABF ACF S BD S DC ===△△，36510ABF CBF S AE S EC ===△△,设6ABF S =△份，则9ACF S =△份,10BCF S =△份，5459358EFC S =⨯=+△份，310623CDF S =⨯=+△份，所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm )88DCFE S =÷++⨯+=⨯+= 【答案】93【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △面积的几分之几？OE DCBA13.54.59211213O E D CBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接CO ,设1AEO S =△份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABC S =+++=△份，所以四部分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59,,,30306030103020+===【答案】920【巩固】如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．XQPABC XQPABC4411XQPCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】香港圣公会数学竞赛 【解析】 方法一：连接PQ ．由于12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQ ABC S S =，1126BPQ BCQ ABCS S S==．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===，所以441226 2.455255ABX ABP ABC ABC S S S S ==⨯==⨯=．方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积，所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++⨯=△【答案】2.4【巩固】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．设三角形为ABC ，BE 和CD 交于F ，则BF FE =，再连结DE ． 所以三角形DEF 的面积为3.设三角形ADE 的面积为x ，则()():33:10:10x AD DB x +==+，所以15x =，四边形的面积为18． 方法二：设ADF S x =△，根据燕尾定理::ABF BFC AFE EFC S S S S =△△△△,得到3AEF S x =+△，再根据向右下飞的燕子，有(37):7:3x x ++=，解得7.5x =四边形的面积为7.57.5318++=【答案】18【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F48621ABCDEF【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 连接CF ，设1AEF S =△份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以121AEF S =△,62217ABF S ==△,821BDF S =△,242217FDCE S +==【答案】27【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．A BCDE FA BCDEF 2.41.62A BC DE F 12【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空【解析】 连接CF ,根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，23ABF CBF S AE S EC ==△△,设1BDF S =△份，则2D C FS =△份，2ABF S =△份，4AFC S =△份，241.623AEF S =⨯=+△ 份,34 2.423EFC S =⨯=+△份,如图所标,所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份,2349ABC S =++=△份 所以222 4.4945(cm )ABCS =÷⨯=△【答案】45【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BN ．ABC △的面积为3223⨯÷=根据燕尾定理，::2:1ACN ABN CD BD ==△△； 同理::1:1CBN CAN BM AM ==△△设AMN △面积为1份，则MNB △的面积也是1份，所以ANB △的面积是112+=份，而ACN △的面积就是224⨯=份，CBN △也是4份，这样ABC △的面积为441110+++=份，所以AMN △的面积为31010.3÷⨯=．【答案】0.3【例 4】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE D C B AFE DCB A【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接CD ．由于:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△， 根据燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△．【答案】3:4【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？A BCDE OABCDE O【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接OC ．因为:3:2BD DC =，根据燕尾定理，::3:2AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即32AOB AOC S S ∆∆=； 又:3:1AE EC =，所以43AOC AOE S S ∆∆=．则3342223AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=， 所以::2:1AOB AOEOB OE S S ∆∆==．【答案】2:1【巩固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？A B CDE O【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC ． 连接OC ．A BCDE O因为:2:1BD DC =，根据燕尾定理，::2:1AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即2AOB AOC S S ∆∆=； 又:1:3AE EC =，所以4AOC AOE S S ∆∆=．则2248AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=，所以::8:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==．【答案】8:1【例 5】 如图9，三角形BAC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD:DC=1:2，AD 与BE 交于点F ，则四边形DEFC 的面积等于 。

燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．【例 2】 如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为________．【例 3】 ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形AGCD 的面积是_________平方厘米．【例 4】 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．【例 5】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．【例 6】 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且13AE AB =，14CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG ∆与CGF ∆的面积之和为 ．【例 7】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．【例 9】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？【例 10】 如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少?【例 11】 三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F 为BC 中点，求阴影部分的面积．【例 12】 如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?【例 14】 如右图，面积为1的ABC △中，::1:2:1BD DE EC =，::1:2:1CF FG GA =，::1:2:1AH HI IB =，求阴影部分面积．【例 15】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.【例 16】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.【例 17】 （2009年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 的面积是2009平方厘米，1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，6B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．【例 18】 已知四边形ABCD ，CHFG 为正方形，:1:8S S =乙甲，a 与b 是两个正方形的边长，求:?a b =。

燕尾定理燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么，上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==【解析】【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得，1423:::S S S S BD DC ==.【例 1】【例 2】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △面积的几分之几？【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于．【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积．【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?【例 3】【例 4】 如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为________．【例 5】【例 6】 ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形AGCD 的面积是_________平方厘米．【例 7】【例 8】 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．【例 9】【例 10】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC =．【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =，:3:1AE EC =，求:OB OE =？【巩固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =，:1:3AE EC =，求:OB OE =？【例 11】【例 12】 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且13AE AB =，14CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG ∆与CGF ∆的面积之和为．【例 13】 【例 14】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .【例 15】【例 16】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．【巩固】如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC的面积．【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． 课后作业1、如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △面积的几分之几？2、两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？3、右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是．4、如图，三角形ABC的面积是1，2CE AE=，AD与BE相交于点F，请写出这4部分=，2BD DC的面积各是多少?5、如右图，三角形ABC中，:4:9AF FB．CE EA=，求:BD DC=，:4:3。

燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．OFE DCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==S 3S 1S 4S 2EDCBA【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以142::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.例题精讲燕尾定理【例 1】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△ ::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【答案】27:16【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【答案】10:9【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =GF EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空【解析】 根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCG S S ==△△,所以:15:65:2:ACG BCG S S AF BF ===△△【答案】5:2【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【答案】15:8【例 2】 如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少?35304084O FED CBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设BOF S x =△，由题意知:4:3BD DC =根据燕尾定理,得::4:3ABO ACO BDO CDO S S S S ==△△△△,所以33(84)6344ACO S x x =⨯+=+△，再根据::ABO BCO AOE COE S S S S =△△△△，列方程3(84):(4030)(6335):354x x ++=+-解得56x =:35(5684):(4030)AOE S =++△,所以70AOE S =△所以三角形ABC 的面积是844030355670315+++++= 【答案】315【例 3】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FEDCBA33321F EDC BAABCDEF【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛 【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标 所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△，111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【答案】512【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.BB【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线， (法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，所以1103ABE ABC S S ==△△，1152ABD ABC S S ==△△．根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BDS CD==△△, 所以17.54ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，所以阴影部分面积是30107.512.5--=．(法二)连接DE ，由题目条件可得到1103ABE ABC S S ==△△，11210223BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABE BDE S AF FD S ==△△， 1111112.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211032CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以阴影部分的面积为12.5．【答案】12.5【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBAABC DEF FEDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接CF ，根据燕尾定理，2639ABF ACF S BD S DC ===△△，36510ABF CBF S AE S EC ===△△, 设6ABF S =△份，则9ACF S =△份,10BCF S =△份，5459358EFC S =⨯=+△份，310623CDF S =⨯=+△份，所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm )88DCFE S =÷++⨯+=⨯+= 【答案】93【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？OE DCBA13.54.59211213O E D CBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 连接CO ,设1AEO S =△份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABC S =+++=△份，所以四部分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59,,,30306030103020+===【答案】920【巩固】如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．XQPABC XQPABC4411XQPCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】香港圣公会数学竞赛 【解析】 方法一：连接PQ ．由于12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQABCSS =，1126BPQBCQABCSS S ==．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQBPQABCABCAX XP S SS S ===，所以441226 2.455255ABXABPABCABCSS S S ==⨯==⨯=． 方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积， 所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++⨯=△ 【答案】2.4【巩固】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．设三角形为ABC ，BE 和CD 交于F ，则BF FE =，再连结DE ． 所以三角形DEF 的面积为3.设三角形ADE 的面积为x ，则()():33:10:10x AD DB x +==+，所以15x =，四边形的面积为18．方法二：设ADF S x =△，根据燕尾定理::ABF BFC AFE EFC S S S S =△△△△,得到3AEF S x =+△，再根据向右下飞的燕子，有(37):7:3x x ++=，解得7.5x =四边形的面积为7.57.5318++= 【答案】18【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F48621ABCDEF【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 连接CF ，设1AEF S =△份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以121AEF S =△,62217ABF S ==△,821BDF S =△,242217FDCE S +== 【答案】27【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC 的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．A BCDE FA BCDEF 2.41.62A BC DE F 12【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接CF ,根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，23ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2D C F S =△份，2ABF S =△份，4AFC S =△份，24 1.623AEF S =⨯=+△ 份,34 2.423EFC S =⨯=+△份,如图所标,所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份,2349ABC S =++=△份所以222 4.4945(cm )ABC S =÷⨯=△【答案】45【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？A【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BN ． ABC △的面积为3223⨯÷=根据燕尾定理，::2:1ACN ABN CD BD ==△△； 同理::1:1CBN CAN BM AM ==△△设AMN △面积为1份，则MNB △的面积也是1份，所以ANB △的面积是112+=份，而ACN △的面积就是224⨯=份，CBN △也是4份，这样ABC △的面积为441110+++=份，所以AMN △的面积为31010.3÷⨯=． 【答案】0.3【例 4】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE D C B AFE DCB A【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接CD ．由于:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△， 根据燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△． 【答案】3:4【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？A BCDE OABCDE O【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接OC ．因为:3:2BD DC =，根据燕尾定理，::3:2AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即32AOB AOC S S ∆∆=；又:3:1AE EC =，所以43AOC AOE S S ∆∆=．则3342223AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=，所以::2:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==． 【答案】2:1【巩固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？A B CDE O【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC ． 连接OC ．A B CDE O因为:2:1B D D C =，根据燕尾定理，::2:1A O B A O CS S B D B C ∆∆==，即2AO BA O CS S ∆∆=；又:1:3AE EC =，所以4AOC AOE S S ∆∆=．则2248AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=， 所以::8:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==．【答案】8:1【例 5】 如图9，三角形BAC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD:DC=1:2，AD 与BE 交于点F ，则四边形DEFC 的面积等于 。

燕尾模型知识框架共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。

共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则S PM PABS QM QAB∆=∆特殊情况：当PQ∥AB时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB例题精讲【例 1】如图，三角形ABC中，:4:9BD DC=，:4:3CE EA=，求:AF FB．O F EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△ ::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【答案】27:16。

【巩固】如图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【答案】10:9。

【例 2】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA33321F EDC BAABCDEF【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标 所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADES BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【答案】512。

燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，C F 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．OFE DCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为A B O ∆和A C O ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==S 3S 1S 4S 2EDCBA【解析】 三角形BED 与三角形C ED 同高，分别以BD 、D C 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形AC E 与三角形C ED同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是A C 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD D C =，AD 与BE 交于点F ．则四边形D FEC 的面积等于 ．FED CBA33321F E DC BAABCDEF例题精讲燕尾定理【解析】 方法一：连接C F ，根据燕尾定理，12ABF AC FS BD S D C==△△，1ABF C BFS A E S EC==△△,设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标 所以551212DC EF ABC S S ==△方法二：连接D E ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11A B D A D ES B F F ES ==△△，111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323C D E ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形D FEC 的面积等于512．【巩固】如图，已知BD D C =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.D CD C B D CB【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接C F ，因为BD D C =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，所以1103ABE ABC S S ==△△，1152ABD ABC S S ==△△．根据燕尾定理，12A B F C B FS A E S E C==△△，1A B F A C F S B DS C D==△△, 所以17.54ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，所以阴影部分面积是30107.512.5--=．(法二)连接D E ，由题目条件可得到1103ABE ABC S S ==△△，11210223BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11A B E B D ES A FF DS ==△△，111111 2.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△， 而211032C D E ABC S S =⨯⨯=△△．所以阴影部分的面积为12.5．【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在A C 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD D C =，AD与BE 交于点F ．则四边形D FEC 的面积等于 ．FED CBAABCDEFF EDCBA【解析】 连接C F ，根据燕尾定理，2639A B F A C FS B D S D C===△△，36510A B F C BFS AE S EC===△△,设6ABF S =△份，则9ACF S =△份,10BCF S =△份，5459358EFC S =⨯=+△份，310623CDF S =⨯=+△份，所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm )88DCFE S =÷++⨯+=⨯+=【巩固】如图，已知3BD D C =，2EC AE =，BE 与C D 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △面积的几分之几？OE DCBA13.54.59211213O E D CBA【解析】 连接C O ,设1AEOS =△份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABC S =+++=△份，所以四部分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59,,,30306030103020+===【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在ABC △中，12CP CB=，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．XQPA BC XQP ABC4411XQPCBA【解析】 方法一：连接PQ ．由于12C P C B=，13CQ CA =，所以23ABQ ABCS S =，1126BPQ BC Q ABCS S S ==．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S === ，所以441226 2.455255ABX ABP ABC ABC S S S S ==⨯==⨯= ．方法二：连接C X 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积， 所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++⨯=△【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD D C =，2C E AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F48621ABCDEF【解析】 连接C F ，设1AEFS =△份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以121AEF S =△,62217ABF S ==△,821BD F S =△,242217FD C E S +==【巩固】如图，E 在A C 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD D C =，AD 与BE 交于点F ．四边形D FEC的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．A BCDE FA BCDEF 2.41.62A BC DE F 12【解析】 连接C F ,根据燕尾定理，12ABF AC FS BD S D C==△△，23A B F C B FS A E S E C==△△,设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，2ABF S =△份，4AFC S =△份，241.623AEF S =⨯=+△ 份,34 2.423EFC S =⨯=+△份,如图所标,所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份,2349ABC S =++=△份所以222 4.4945(cm )ABC S =÷⨯=△【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2C D =，3C B =，AM BM =，那么三角形AM N (阴影部分)的面积为多少？A【解析】 连接B N ．ABC △的面积为3223⨯÷=根据燕尾定理，::2:1AC N ABN C D BD ==△△； 同理::1:1C BN C AN BM AM ==△△设A M N △面积为1份，则M N B △的面积也是1份，所以AN B △的面积是112+=份，而A C N △的面积就是224⨯=份，C BN △也是4份，这样ABC △的面积为441110+++=份，所以A M N △的面积为31010.3÷⨯=．【巩固】如图，长方形ABC D 的面积是2平方厘米，2EC D E =，F 是D G 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?y B CD EGE D CBAEDB A【解析】 设1DEF S =△份，则根据燕尾定理其他面积如图所示551212BC D S S ==△阴影平方厘米.【例 2】 如图所示，在四边形ABC D 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEO F 的面积是12，那么平行四边形B O D C 的面积为________．OFE DBA684621O F E DB A【解析】 连接,A O B D ,根据燕尾定理::1:2ABO BDO S S AF FD ==△△,::2:1AOD BOD S S AE BE ==△△,设1BEO S =△,则其他图形面积，如图所标，所以221224BODC AEOF S S ==⨯=.【例 3】 ABC D 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与C E 交于G ，则四边形A G C D 的面积是_________平方厘米．GFE DCBAGFE D CBA【解析】 连接A C 、G B ，设1A GCS =△份，根据燕尾定理得1AGB S =△份，1BGC S =△份，则11126S =++⨯=正方形（）份，314ADCG S =+=份，所以22126496(cm )ADCG S =÷⨯=【例 4】 如图，正方形ABC D 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形B G H F 的面积是_____平方厘米．EDC B EDCB因此122)210S =++⨯=正方形（份，127236BFHG S =+=，所以712010146BFH G S =÷⨯=(平方厘米).【例 5】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE D C B AFE DCB A【解析】 连接C D ．由于:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△，根据燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△．【巩固】在A B C ∆中，:3:2BD D C =， :3:1AE EC =，求:O B O E =？A BCDE OABCDE O【解析】 连接O C ．因为:3:2BD D C =，根据燕尾定理，::3:2AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即32AOB AOCS S ∆∆=；又:3:1AE EC =，所以43AOC AOES S ∆∆=．则3342223AOB AOC AOE AOES S S S ∆∆∆∆==⨯=，所以::2:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==．【巩固】在A B C ∆中，:2:1BD D C =， :1:3AE EC =，求:O B O E =？A B CDE O【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接O C ． 连接O C ．A B CDE O因为:2:1BD D C =，根据燕尾定理，::2:1AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即2AOB AOC S S ∆∆=； 又:1:3AE EC =，所以4AOC AOE S S ∆∆=．则2248AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=， 所以::8:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==．【例 6】 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABC D 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且13AE AB=，14C F BC=，AF 与C E 相交于G ，若矩形ABC D 的面积为120，则A E G ∆与C G F ∆的面积之和为．BEH BEBE【解析】 (法1)如图，过F 做C E 的平行线交AB 于H ，则::1:3EH H B C F FB ==，所以122AE EB EH ==，::2AG G F AE EH ==，即2AG G F =，所以122311033942AEG ABF ABCD S S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯= ．且22313342EG HF EC EC==⨯=，故C G G E =，则1152C G F AEG S S ∆∆=⨯⨯=．所以两三角形面积之和为10515+=． (法2)如上右图，连接A C 、B G ．根据燕尾定理，::3:1ABG ACG S S BF CF ∆∆==，::2:1BCG ACG S S BE AE ∆∆==， 而1602ABC ABC D S S ∆== ，所以3321ABG S ∆=++，160302ABC S ∆=⨯=，2321BC G S ∆=++，160203ABC S ∆=⨯=，则1103AEG ABG S S ∆∆==，154CFG BCG S S ∆∆==，所以两个三角形的面积之和为15．【例 7】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD D C =，:4:3C E EA =，求:A F F B ．O F EDCBA::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AO B △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AO B △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD D C =，:5:6AE C E =，求:A F F B .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AO B △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【巩固】如图，:2:3BD D C =,:5:3AE C E =,则:AF BF =GF EDCBA【解析】 根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCG S S ==△△,所以:15:65:2:ACG BCG S S AF BF===△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD D C =，:5:4EA C E =，求:A F F B .O F EDCBA【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AO B △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AO B △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD D C C E AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形A G E 的面积为________，三角形G H I 的面积为______．I HGFEDC BAI HG FEDCBA【分析】 连接AH 、BI 、C G ．由于:3:2C E AE =，所以25AE AC=，故2255ABE ABC S S ∆∆==；根据燕尾定理，::2:3ACG ABG S S CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419AC G S ∆=，919BC G S ∆=；那么2248551995AG E AG C S S ∆∆==⨯=；同样分析可得919ACH S ∆=，则::4:9A C G A C H E G E H S S ∆∆==，::4:19ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10E G G H H B =，同样分析可得::10:5:4AG G I ID =，所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519G H I BIE S S ∆∆==⨯=．【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD D C C E AE ===，且三角形G H I 的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGC S △=6份根据燕尾定理，::3:26:4AGC BGC S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△ 得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此619A G C AB CS S =△△,同理连接AI 、CH 得619A B H A B CS S =△△,619B IC A B CS S =△△,所以1966611919G H I A B CS S ---==△△三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级)如图，A B C ∆中2BD DA =，2C E EB =，2AF FC =，那么A B C ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．BCCB【分析】 如图，连接A I ．根据燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI S S CF AF ∆∆==，所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=， 那么，221247BCI ABC ABCS S S ∆∆∆==++．同理可知AC G ∆和ABH ∆的面积也都等于A B C ∆面积的27，所以阴影三角形的面积等于A B C ∆面积的211377-⨯=，所以A B C ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DBECFA===,求G H I ABC △的面积△的面积的值．IHG FEDCBAIHG FEDCB A【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::2:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC S =△(份)，因此27A G C AB CS S =△△,同理连接AI 、CH 得27A B H A B CS S =△△,27B IC A B CS S =△△,所以7222177G H I A B CS S ---==△△【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.【巩固】如图在ABC △中，13DC EA FB DBECFA===,求G H I ABC △的面积△的面积的值．IHG FEAIHG FEA【解析】 连接BG ,设BGC S △=1份，根据燕尾定理::3:1AGC BGC S S AF FB ==△△,::3:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得3AGC S =△(份)，9ABG S =△(份),则13ABC S =△(份)，因此313A G C AB CS S =△△,同理连接AI 、CH 得13A B H A B CS S =△△,313B IC A B CS S =△△,所以1333341313G H I A B CS S ---==△△【巩固】如右图，三角形ABC 中，:::4:3AF FB BD D C C E AE ===，且三角形ABC 的面积是74，求角形G H I的面积．IH G FEDCBAIH G FEDCBA【解析】 连接BG ，AGC S △=12份根据燕尾定理，::4:312:9AGC BGC S S AF FB ===△△，::4:316:12ABG AGC S S BD DC ===△△得9BGC S =△(份)，16ABG S =△(份)，则9121637ABC S =++=△(份)，因此1237A G C AB CS S =△△,同理连接AI 、CH 得1237A B H A B CS S =△△,1237B IC A B CS S =△△,所以3712121213737G H I A B CS S ---==△△三角形ABC 的面积是74,所以三角形GHI 的面积是174237⨯=【例 9】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．设三角形为ABC ，BE 和C D 交于F ，则BF FE =，再连结D E ． 所以三角形D EF 的面积为3.设三角形AD E 的面积为x ，则()():33:10:10x AD DB x +==+，所以15x =，四边形的面积为18．方法二：设ADF S x =△，根据燕尾定理::ABF BFC AFE EFC S S S S =△△△△,得到3AEF S x =+△，再根据向右下飞的燕子，有(37):7:3x x ++=，解得7.5x =四边形的面积为7.57.5318++=【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积是 ．【解析】 方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解.我们发现右图三角形中存在一个比例关系：()2:13:4S =+阴影，解得2S =阴影.方法二：回顾下燕尾定理，有2:41:3S +=阴影（），解得2S =阴影.【例 10】 如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少?35304084O FED CBA【解析】 设BOF S x =△，由题意知:4:3BD D C =根据燕尾定理,得::4:3ABO ACO BDO CDO S S S S ==△△△△,所以33(84)6344AC O S x x=⨯+=+△，再根据::ABO BCO AOE COE S S S S =△△△△，列方程3(84):(4030)(6335):354x x ++=+-解得56x =:35(5684):(4030)AOE S =++△,所以70AOE S =△所以三角形ABC 的面积是844030355670315+++++=【例 11】 三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F为BC 中点，求阴影部分的面积．FCBAF CBA【解析】 令BE 与CD 的交点为M ，CD 与EF 的交点为N ，连接AM ，BN ．在ABC △中，根据燕尾定理，::1:1ABM BCM S S AE CE ==△△,::1:1ACM BCM S S AD BD ==△△,所以13ABM ACM BCN ABCS S S S ===△△△△由于1122AEM AM C ABMS S S ==△△△S ，所以:2:1BM M E =在EBC △中，根据燕尾定理，::1:1BEN CEN S S BF CF ==△△::1:2CEN CBN S S ME MB ==△△ 设1CEN S =△(份)，则1BEN S =△(份)，2BCN S =△(份)，4BCE S =△(份)， 所以1124BC N BC E ABCS S S ==△△△,1148BNE BCE ABCS S S ==△△△，因为:2:1BM M E =,F 为BC 中点,所以221133812BM N BN E ABC ABCS S S S ==⨯=△△△△,11112248BFN BNC ABCS S S ==⨯=△△△,所以115515 3.1251282424A B C A B C S S S ⎛⎫=+==⨯=⎪⎝⎭△△阴影(平方厘米)【例 12】如右图，ABC △中，G 是A C 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与B G 交于M ，AF 与B G 交于N ，已知A B M △的面积比四边形F C G N 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？N M GA BCD EFNMGA BCD EF【解析】 连接C M 、C N ．根据燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15ABM ABCS S =△△；再根据燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN N F =，那么1422437A N G A F CS S =⨯=+△△，所以2515177428F CG N A F C A B C A B CS S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭△△△．根据题意，有157.2528ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米)【巩固】(2007年四中分班考试题)如图，A B C ∆中，点D 是边A C 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若A B C ∆的面积为1，那么四边形C D M F 的面积是_________．F ABCDEM NFABCDEMN【解析】 由于点D 是边A C 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，如果能求出B N 、N M 、M D 三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形C D M F 的面积． 连接C M 、C N ．根据燕尾定理，::2:1ABM ACM S S BF CF ∆∆==，而2ACM ADM S S ∆∆=，所以24ABM ACM ADM S S S ∆∆∆==，那么4BM DM =，即45BM BD=．那么421453215BM F BC D BM BF S S BDBC∆∆=⨯⨯=⨯⨯=，14721530CDM F S =-=四边形． 另解：得出24ABM ACM ADM S S S ∆∆∆==后，可得111155210AD M ABDS S ∆∆==⨯=，则11731030AC F ADM C DM F S S S ∆∆=-=-=四边形．【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD D E EC ==，C F FG G A ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?GFE D CBAN MQPGF EDCBA【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．根据燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15ABP S =△同理可得，27ABQ S =△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△．同理，335BPM S =△121BD M S =△,所以1239273570PQM N S =--=四边形，13953357042M NED S =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形【巩固】如图，A B C ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是A C 边的三等分点，那么四边形JK IH 的面积是多少？K JI HABC D EF GKJI HA BCD EFG【解析】 连接C K 、C I 、C J ．根据燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK S S AG CG ∆∆==，所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247AC K S ∆==++，11321AGK AC K S S ∆∆==．类似分析可得215AGI S ∆=．又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14AC J S ∆=．那么，111742184C G K J S =-=．根据对称性，可知四边形C E H J 的面积也为1784，那么四边形J K I H 周围的图形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JK IH 的面积为61917070-=．【例 14】 如右图，面积为1的ABC △中，::1:2:1BD D E EC =，::1:2:1C F FG G A =，::1:2:1AH H I IB =，求阴影部分面积．CBB【解析】 设IG 交H F 于M ，IG 交HD 于N ，D F 交EI 于P ．连接AM ， IF ．∵:3:4AI AB =，:3:4AF AC =，916AIF ABCS S ∴=△△∵::2FIM AMF S S IH HA ==△△，::2FIM AIM S S FG GA ==△△， ∴19464AIM AIF ABCS S S ==△△△ ∵:1:3AH AI = ∴364AHM ABCS S =△△，∵:1:4AH AB = :3:4AF AC = ∴316AH F ABCS S =△△ ．同理 316CFD BDH ABCS S S ==△△△ ∴716FD H ABCS S =△△ 33::1:46416HM HF ==，∵:3:4,:3:4A I A B A F A C ==，∴IF BC ∥ ，又∵:3:4,:1:2IF BC D E BC ==，∴:2:3,:2:3D E IF D P P F ==，同理 :2:3H N N D =，∵:1:4H M H F =，∴:2:5H N H D =， ∴17710160160HM N HDF ABC S S S ===△△△．同理 6个小阴影三角形的面积均为7160．阴影部分面积721616080=⨯=．【例 15】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.GFCBAGFCBA【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ,BI 与CE 的交点为Q ,连接AM 、BN 、CP⑴求ADM I S 四边形：在ABC △中，根据燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△设1ABM S =△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份), 所以14ABM AC M ABC S S S ==△△△，所以11312AD M ABM ABCS S S ==△△△,112AIM ABCS S =△△,所以111()12126ABC ABCADM I S S S =+=△△四边形,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是ABC △面积的16⑵求D N PQ E S 五边形：在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△,所以111133721ADN ABN ABC ABCS S S S ==⨯=△△△△,同理121BEQ ABCS S =△△在ABC △中，根据燕尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△ 所以15ABP ABCS S =△△所以1111152121105A B P A D N B E P A B C A B C D N P Q E S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭△△△△△五边形同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11105所以11113133610570S =-⨯-⨯=阴影【例 16】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBAGCBA【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR在ABC △中根据燕尾定理，::.2:1ABR ACR S S BG CG ==△△,::1:2ABR CBR S S AI CI ==△△所以27ABR ABC S S =△△,同理27AC S ABCS S =△△,27C Q B ABCS S =△△所以222117777RQ S S =---=△同理17M N P S =△根据容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形【例 17】 （2009年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 的面积是2009平方厘米，1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，6B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．A 4B 5A 33A 45A 3【解析】 （方法一）因为空白的面积等于23A A G △面积的6倍，所以关键求23A A G △的面积，根据燕尾定理可得2312333117732A A G A A A S S S ==⨯⨯△△正六边形，但在123A A A △用燕尾定理时，需要知道13,A D A D 的长度比，连接1363,A A A A ,1A G ,过6B 作12A A 的平行线，交13A A 于E ，根据沙漏模型得1A D DE =,再根据金字塔模型得13A E A E =,因此13:1:3A D A D =,在123A A A △中，设121A A G S =△份，则233A A G S =△份,313A A G S =△份，所以2312333111773214A A G A A A S S S S ==⨯⨯=△△正六边形正六边形，因此141620091148147S S =-⨯=⨯=阴影正六边形（）（平方厘米）（方法二）既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形我们可以用下图的割补思路，把正六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为82009114814⨯=（平方厘米）A 3A【例 18】已知四边形ABC D ，C H FG 为正方形，:1:8S S =乙甲，a 与b 是两个正方形的边长，求:?a b =baEDbaMED【解析】 观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解 连接EO 、AF ，根据燕尾定理：::AOE AOF S S a b =△△，::AOF EOF S S a b =△△所以 22::AOE EOF S S a b =△△，作OM ⊥AE 、ON ⊥EF ， ∵AE =EF∴22::OM ON a b = ∴33::1:8S S a b ==乙甲∴:1:2a b =。

1. 理解燕尾定理，灵活运用定理解题．2. 用份数思想求面积之间的关系．本讲是在秋季所学四大模型的基础上，讲解运用燕尾定理求解面积问题．至此五大模型已讲解完毕．体会五大模型解决问题的优势．燕尾定理：S△ABG : S△AGC S△BGE :S△EGC BE:EC；S△BGA :S△BGC S△AGF :S△FGC AF:FC ；S△AGC :S△BCG S△ADG : S△DGB AD:DB ；问：为什么称之为燕尾定理？答：我们看看燕子的尾巴然后再看看右图的阴影部分，看看阴影部分是不是很像燕子的尾巴， A 是尾巴与身体的连接点，AG 是燕子尾巴的中分线，左右两个阴影三角形构成燕子尾巴的两侧翼. 同学们也可以自己动手，试试以三角形的另外两个顶点作为尾巴与身体的连接点能不能画出燕子的尾巴燕尾定理因为图形类似燕尾而得名，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径通过一道例题证明一下燕尾定理：五年级第四讲提高班｜12 ｜五年级 第四讲 提高班 ｜分析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积 . 又因为阴影部分是一个不规则四边形， 所以我们需要 对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，（ 法一 ） 连接 CF ，因为 BD DC ， EC 2AE ，三角形 ABC 的面积是 30，所以S △ABFS △ABC 7.5 ，S △BFD 15 7.5 7.5 ，4所以阴影部分面积是 30 10 7.5 12.5 ．（ 法二） 连接 DE ，由题目条件可得到 S △ABE 1S △ABC 10 ，△ ABE 3 △ ABCS△ BDE1S BEC S△ BEC 12S △ ABC 10 ，所以AF S △ABE12 23 FDS△BDE111 1 1 11S△ DEF S△ DEAS△ADCS△ ABC2.522 3 2 32而 S △CDE2 1S △ ABC 10．所以阴影部分的面积为 12.5． 32铺垫］ 右图的大三角形被分成 5 个小三角形，其中 4 个的面积已经标在图中，那 么，阴影三角形的面积是 ．S △ ABF AE 1，S △ ABF BD1 CDS△CBFEC2S△ ACFS△ ABC10， S △ ABD3△ ABC△ ABDS△ ABC2△ ABC15． 根据燕尾定理，举例 ： 如右 图 ，D 是 BC 上 任 意 一 点 ，请 你 说 明S 1:S 4 S 2:S 3 BD:DC分析】 三 角形 BED 与三角形 CED 同高，分别以 BD 、 DC 为底， 所以有 S 1:S 4 BD:DC ；三角形 ABE 与三角形 EBD 同高，S 1 : S 2ED : EA 三角形 ACE 与三角形 CED 同高， S 4: S 3 ED : EA ，所以 S 1:S 4 S 2:S 3；综上可得 S 1:S 4 S 2:S 3 BD:DC.【例 1】 用燕尾定理求面积如图，已知 BD DC ， EC 2 AE ，三角形 ABC 的面积是 30，求阴影部分面积所以S △ABEA分析】方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任五年级第四讲提高班｜3何与高或者垂直有关系的字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解们发现右图三角形中存在一个比例关系：2:S阴影1 3 :4，解得S阴影2.方法二：回顾下燕尾定理，有2（: S阴影4）1:3 ，解得S阴影2.例2】如右图，三角形ABC 中，BD :DC 4:9，CE:EA 4:3，求AF:FB. 分析】燕子尾巴非常明显.根据燕尾定理，S△ABO BD4S△ ACO DC9S△ ABOAE3，S△ CBOEC，4所以S△ ACO4 4 27S△BCO9 3 16所以 AF :FB27:16 ..我例3】如图在△ ABC 中，DCDBEA FB 1,求△GHI的面积的值EC FA 2 ,求△ ABC的面积分析】连接BG,设S△BGC 1 份，根据燕尾定理S△AGC:S△ BGCAF :FB 2:1, S△ABG :S△ AGC BD :DC 2:1 , 得S△ AGC 2（份），S△ABG4（份）, 拓展］则S△ABC 7（份），因此S△AGCS△ABC22, 同理连接7AI、CH 得S△ABHS△ABCS△BICS△ABC所以S△GHIS△ ABC72 22如右图，三角形ABC 中，AF:FB BD:DC CE:AE 3 : 2，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．4 ｜五年级第四讲提高班｜A A5 ｜五年级 第四讲 提高班 ｜分析］ 连接 BG ， S △BGC 4份根据燕尾定理， S △AGC :S △BGC AF:FB 3:2， S △ABG : S △AGC BD:DC 3:2 得 S △AGC 6(份)， S △ABG 9(份)，则S △ABC 19 (份) ，因此 S△AGC6S△ ABC19例 4 】 如图，三角形 ABC 被分成 6 个三角形，己知其中 4 个三角形的面积，问三角形 ABC 的面积是多少 ?分析】 设 S △ AOE x ， S △ BOF y ，根据燕尾定理 , 得分析】 令 BE 与 CD 的交点为 M ， CD 与 EF 的交点为 N ，连接 AM ，BN ．在 △ ABC 中，根据燕尾定理， S △ ABM :S △ BCM AE :CE 1:1 , S △ACM : S △ BCMAD :BD 1:1同理连接 AI 、CH得S△ABH6, S △ BIC6,S △ ABC19S △ ABC19所以S△GHI19 6 6 6 1S△ ABC19 19三角形GHI 的面积是 1，所以三角形 ABC 的面积是 19S△ ABO :S△ ACOS △ BDO : S △ CDOS △ ABO : S △ BOC S △ AOE : S △COE (84 y):(x 35) 4:3(84 y):(40 30) x:35 ，即3(84 y) 4(x 35) ，解得35(84 y) 70xx 70 y 56所以三角形 ABC 的面积是 84 40 30 35 56 70 315例 5 】 三角形 ABC 的面积为 15 平方厘米， D 为 AB 中点， E 为AC 中点，F 为 BC 中点，求阴影部分的面积．所以S△ABMS△ ACMS△ BCN1 S△ ABC3由于S△ AEM 11S△ AMC S△ABM S，所以BM2△ AMC 2△ABM:ME 2:1在△ EBC 中，根据燕尾定理，S△ BEN :S△CEN BF :CF1:1S△ CEN :S△ CBN ME :MB 1: 2设S△ CEN 1（份），则S△ BEN 1（份），S△ BCN2（份），S△BCE 4（份），所以S△ BCN1 1,S△BCES△ABC, S△ BNE241S△4BCE1 S△ABC ，BCES△ ABC8因为 BM :ME2:1,F 为BC中点所以S△ BMN2S2△ BNE1S△ ABC 1SS△ ABC ,11 S△ BFNS△ BNC11S△ ABC 338122248所以S阴影11 S△ ABC△ ABC5 S△ ABC△ ABC5 15 3.125 （平方厘米）128△ ABC24△ ABC24例6】如右图，△ ABC中， G是AC的中点， D 、 E 、 F是BC边上的四等分点， AD与BG交于 M，AF 与 BG 交于 N ，已知△ABM 的面积比四边形 FCGN 的面积大 7.2平方厘米，则△ABC 的面积是多少平方厘米？连接CM 、CN．根据燕尾定理，S△ABM : S△CBM AG :GC 1:1 ，S△ ABM :S△ ACM BD :CD 1:3 ，所以1；S△ABM S△ ABC ；△ABM 5△ ABC再根据燕尾定理，S△ ABN: S△ CBN AG:GC 1:1 ，所以S△ABN :S△ FBN S△CBN:S△ FBN4:3 ，所以AN:NF 4:3 ，那么S△ ANG 14 2 2，所以SFCGN1 S△ AFC51 S△ ABC△ ABC5 S△ ABC △ABCS△ AFC 24 3 7FCGN7△AFC7428△ABC根据题意，有1S△ ABC 5SS△ABC7.2 ，可得S△ABC 336 （平方厘米）528拓展］如右图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC，分析】CF FG GA，三角形ABC 被分成9 部分，请写出这9 部分的面积各是多少?6 ｜五年级第四讲提高班｜五年级 第四讲 提高班 ｜ 7分析］ 设 BG 与 AD 交于点 P ，BG 与 AE 交于点 Q ，BF 与 AD 交于点 M ，BF 与 AE 交于点 N ．连接 CP ，CQ ， CM ，CN ．根据燕尾定理， S △ABP :S △CBP AG:GC 1: 2 ， S △ABP : S △ ACP BD:CD 1:2，设 S △ABP 1（份），分析】 观 察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题 目条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕 尾，那么我们就用燕尾定理来求解 连接 EO 、 AF ，根据燕尾定理：S △AOE:S△ AOFa :b ，S△AOF:S△EOFa :b所以 S △AOE :S △EOF a 2 :b 2 ，作 OM ⊥AE 、ON ⊥EF ，2同理可得，S △ABQ,S △ ABN,而S △ABG1，所以 S △ APQ 2 1 7 23 7 53 35 1 39 5,1 151, S四边形 MNED, S四边形 NFCE, S四边形 GFNQ四边形 MNED 335 7042 四边形 NFCE3 21 426 四边形 GFNQ42已知四边形 ABCD ，CHFG 为正方形， S 甲:S 乙1:8 ，a 与 b 是两个正方形的边长，求a:b同理， S △BPMS△BDM1 , 所以S 四边形 PQMN21则S △ ABC 1 22 5（ 份），所以 S △ABP53 ，1 21 ，S△ AQG353 72121111 3 21 68 ｜五年级 第四讲 提高班 ｜∵ AE EF22∴ OM :ON a 2 :b 2 ∴ S 甲 :S 乙 a 3 :b 3 1:8 ∴ a:b 1:2求面积方法的综合运用例 8】 如图，在平行四边形 ABCD 中， BE EC ， CF 2FD ．求阴影面积与空白面积的比．分析】方法一：因为 BE EC ， CF 2FD，所以 S △ABES 四边形 ABCD ，4S △ ADFS 四边形 ABCD ．6因为 AD 2BE ，所以 AG 2GE ，所以S △ BGE1S1S， S △ABES四边形 ABCD ，312 S△ABG2S 1SS △ ABES四边形 ABCD36同理可得，1 ， 1．S△ ADHS四边形 ABCD ，S △ DHFS 四边形ABCD ．因为S △BCD12S 四边形ABCD，所以空白部分的面积 (1212 241 2，)S四边形 ABCDS四边形 ABCD ，83所以阴影部分的面积是 1S 四边形ABCD ．3 四边形12 1:21:2 ，所以阴影面积与空白面积的比是 331:2．方法二：连接 CG 、 CH 、AC, AC 交BD 于 O ，有 AO OC 在 △ ABC 中， 根据燕尾定理可以得到 S △ABG : S △ACGBE :CE 1:1 , S △ ABG :S △ CBGAO :OC 1:1 ,所以S△BCGS△ ACGS △ABCS Y ABCD ,所以S △ BGE3 △6 Y△S△ AGOS YABCD ,12 Y同理在 △ ACD 中， 根据燕尾定理可以得到 S △ AHC1S △ ACD2△1, 1 1 , SY ABCD, S△ DCHS△ ACDSY ABCD,4 △4 △8所以S △AHO 2 S △AHC1, 1S Y ABCD , S △ DFH S △ DCH8 YABCD △DFH 3 △ DCHSY ABCD24 YABCD五年级 第四讲 提高班 ｜ 9分析］ 连 接 BN ．△ABC 的面积为 3 2 2 3所以 S 阴影S△ BEG S△AGOS△ AHOS△DHF1 1 1 1()SYABCD 12 12 8 24 YS Y ABCD3Y所以阴影面积与空白面积的比 1: 2 1:233例 9 】 如图，在一个梯形内有两个面积分别为 10 与 12 的三角形，已知梯形的上底长是下底长的 2，那3分析】 设上底为 2a, 则下底为 3a, 梯形的高为 2 10 2a 2 123a18 a梯形的面积为1.1 18 (2a 3a) 45, 2a所以阴影部分面积为 45 10 12 23BE: EC 3:1 ， D 是 AE 的中点，那么 AF :FC分析】 连接 CD ．由于S △ ABD :S △ BED1:1 ，S△ BED : S△BCD 3: 4 ，所以S △ ABD :S △BCD根据燕尾定理， AF :FCS△ ABD :S△ BCD3: 4 ．2 ，CB3 ，AM BM ，那么三角形 AMN ( 阴如图所示，在 △ ABC 中，3: 4 ，2.三角形 ABC 中， C 是直角，已知 AC 2 ， CD影部分 ) 的面积为多少？A10 ｜五年级 第四讲 提高班 ｜根据燕尾定理， △ACN :△ABN CD:BD 2:1 ； 同理 △CBN :△CAN BM :AM 1:1设△AMN 面积为 1 份，则 △MNB 的面积也是 1 份，所以 △ ANB 的面积是 1 1 2份，而 △ACN 的面积就是 2 2 4份，△CBN 也是 4份，这样△ ABC 的面积为 4 4 1 1 10份，所以 △AMN 的面积为 3 10 1 0.3．3.三角形 ABC 的面积是 1 平方厘米，且 BE 2EC ， F 是 CD 的中点．那么阴影部分的面积是 平方厘米．分析】 连接BF ，根据燕尾定理 S △ACF : S △ABF CE:BE 1: 2,又因为 F 是CD 的中点，所以 S △ACF S △ADF ， 所以 S △ ADFS △ BDF ,即D 是 AB 的中点，设 S △ECF1（ 份），则S △BEF 2（份）, S △BDF 3（份）, S 阴影 5（份）， S △ABC 2 （1 2 3） 12（份），所以 S 阴影 5 S △ABC 5 （ 平方厘米 ）12 124.如图，线段 AB 与 BC 垂直，已知 AD=EC=4，DB=BE=6，那么图中阴影部分面积是多少？分析】 这 个图是个对称图形，且各边长度已经给出，我们不妨连接这个图形的对称轴看看 . 作辅助线 BO ，则图形关于 BO 对称，设△ ADO 的面积为 2 份，则△ DBO 的面积为 3 份，直角三角形 ABE 的面积为 8 份 . 因为 S △ABE 6 10 2 30，而阴影部分的面积为 4 份， 所以阴影部分的面积为 30 8 4 15115.如图， △ABC 中AE AB ，AD AC ， ED 与BC 平行， △EOD 的面积是 1平方厘米． 那44么 △AED 的面积是平方厘米．11分析】因为AE AB，AD AC， ED与BC平行，44所以 ED:BC 1:4, EO:OC 1:4，S△EOB 4S△EOD 4，则S△CDE 4 1 5，又因为S△AED : S△CDE AD :DC 1:3 所以S△ AED 5 1 5（平方厘米）．33五年级第四讲提高班｜11A12 ｜五年级 第四讲 提高班 ｜许多追踪这个富有者的乌鸦立刻 成群飞来。

第十讲 六年级奥数——燕尾模型 （教师版）一、知识储备燕尾模型外比：S 1∶S 2＝S 3∶S 4＝(S 1＋S 3)∶(S 2＋S 4)=BD ∶DC内比：S 1∶S 3＝S 2∶S 4＝(S 1＋S 2)∶(S 3＋S 4)=AO ∶OD二、例题讲解1、已知三角形ABC 中，三角形ABF 的面积是60平方厘米，三角形AFC 的面积是20平方厘米，三角形BFC 的面积是56平方厘米，求三角形BDF 和三角形CDF 的面积。

42, 142、如图，BD ：DC=2:3，AE:CE=5:3，则AF ：BF=? 5:23、根据比例标注各部分面积份数（每个图形所占的份数）。

CD ∶DB ＝2∶1 CD ∶DB ＝3∶1 AE ∶EC ＝1∶3 AE ∶EC ＝1∶3 △AOE:△AOB:△BOD:△DOC:△COE=1:2:2:4:3 △AOE:△AOB:△BOD:四边形DOEC=3:4:3:18GF EDCBA4、如图所示，在△ABC 中，CB CP 21=，CA CQ 31=，BQ 与AP 相交于点X ，若△ABC 的面积为6，则△ABX 的面积等于多少？ 2.45、如图，三角形ABC 的面积等于28平方厘米。

其中AE=EC ，BD:DC=3:1，求阴影三角形的面积。

126、如图，已知BD=DC ，EC=2AE ，三角形ABC 的面积是30，求四边形CDFE 面积。

12.57、如图，已知BD=3DC ，EC=2AE ，BE 与CD 相交于点O ，则△ABC 被分成的4部分面积各占△ABC 面积的几分之几？△AOE 301；△AOB 103 ；△BOD 209 ；四边形DOEC 6013EF BAOE DCBAXQP ABC8、已知如图，CE 、BD 将△ABC 分成4部分，且A D ∶DC ＝2∶1，BO ∶OD ＝1∶1 ，求每部分所占份数519、在三角形ABC 中，AE=ED ，BD:DC=1:3，阴影部分的面积占三角形ABC 面积的几分之几？12510、如图，在三角形ABC 中，AF=FD ，3AE=AC ，求四边形CDEF 的面积是三角形ABC 的几分之几？12511、如图所示，在四边形ABCD 中，AB=3BE ，AD=3AF ，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为多少？ 24OFE DCBA【练习】1、三角形ABC的面积为30平方厘米，AE=EC，BC=3CD，那么三角形AEF的面积是多少？32、如图，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。

燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交於同一點O ，那麼::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．OFE DCBA上述定理給出了一個新的轉化面積比與線段比的手段，因為ABO ∆和ACO ∆的形狀很象燕子的尾巴，所以這個定理被稱為燕尾定理．該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用，它的特殊性在於，它可以存在於任何一個三角形之中，為三角形中的三角形面積對應底邊之間提供互相聯繫的途徑.通過一道例題證明一下燕尾定理：如右圖，D 是BC 上任意一點，請你說明：1423:::S S S S BD DC ==S 3S 1S 4S 2EDCBA【解析】 三角形BED 與三角形CED 同高，分別以BD 、DC 為底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 與三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 與三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；綜上可得1423:::S S S S BD DC ==.【例 1】如右圖，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．例題精講燕尾定理O F EDCBA【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 根據燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面積要統一，所以找最小公倍數） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【點評】本題關鍵是把AOB △的面積統一，這種找最小公倍數的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉化本質，我們就能達到解奧數題四兩撥千斤的巨大力量！【答案】27:16【鞏固】如右圖，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 根據燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面積要統一，所以找最小公倍數） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【答案】10:9【鞏固】如圖，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,則:AF BF =GF EDCBA【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】填空【解析】 根據燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCG S S ==△△,所以:15:65:2:ACG BCG S S AF BF===△△【答案】5:2【鞏固】如右圖，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 根據燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面積要統一，所以找最小公倍數） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【點評】本題關鍵是把AOB △的面積統一，這種找最小公倍數的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉化本質，我們就能達到解奧數題四兩撥千斤的巨大力量！【答案】15:8【例 2】如圖，三角形ABC 被分成6個三角形，已知其中4個三角形的面積，問三角形ABC 的面積是多少?35304084O FED CBA【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】解答【解析】 設BOF S x =△，由題意知:4:3BD DC =根據燕尾定理,得::4:3ABO ACO BDO CDO S S S S ==△△△△,所以33(84)6344ACO S x x =⨯+=+△，再根據::ABO BCO AOE COE S S S S =△△△△，列方程3(84):(4030)(6335):354x x ++=+-解得56x =:35(5684):(4030)AOE S =++△,所以70AOE S =△所以三角形ABC 的面積是844030355670315+++++= 【答案】315【例 3】如圖，三角形ABC 的面積是1，E 是AC 的中點，點D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 與BE 交於點F ．則四邊形DFEC 的面積等於 ．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】填空【關鍵字】希望杯，五年級，初賽 【解析】 方法一：連接CF ，根據燕尾定理，12ABF ACFS BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△, 設1BDF S =△份，則2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如圖所標所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：連接DE ，由題目條件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以則四邊形DFEC 的面積等於512．【答案】512【鞏固】如圖，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面積是30，求陰影部分面積.BBB【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 題中條件只有三角形面積給出具體數值，其他條件給出的實際上是比例的關係，由此我們可以初步判斷這道題不應該通過面積公式求面積. 又因為陰影部分是一個不規則四邊形，所以我們需要對它進行改造，那麼我們需要連一條輔助線，(法一)連接CF ，因為BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面積是30， 所以1103ABE ABC S S ==△△，1152ABD ABC S S ==△△．根據燕尾定理，12ABFCBFS AE S EC ==△△，1ABF ACF S BDS CD==△△, 所以17.54ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，所以陰影部分面積是30107.512.5--=．(法二)連接DE ，由題目條件可得到1103ABE ABC S S ==△△，11210223BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABE BDE S AF FD S ==△△， 111111 2.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211032CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以陰影部分的面積為12.5．【答案】12.5【鞏固】如圖，三角形ABC的面積是2200cm ，E 在AC上，點D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 與BE 交於點F ．則四邊形DFEC 的面積等於 ．FED CBAABCDE FFEDCBA【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】填空 【解析】 連接CF ，根據燕尾定理，2639ABF ACFS BD S DC ===△△，36510ABF CBF S AE S EC ===△△, 設6ABFS =△份，則9ACF S =△份,10BCF S =△份，5459358EFC S =⨯=+△份，310623CDF S =⨯=+△份，所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm )88DCFE S =÷++⨯+=⨯+=【答案】93【鞏固】如圖，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 與CD 相交於點O ,則ABC △被分成的4部分面積各占ABC △ 面積的幾分之幾？OE DCBA13.54.59211213O E D CBA【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】解答【解析】 連接CO ,設1AEO S =△份，則其他部分的面積如圖所示，所以1291830ABC S =+++=△份，所以四部分按從小到大各占ABC △面積的12 4.5139313.59,,,30306030103020+===【答案】920【鞏固】如圖所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 與AP 相交於點X ，若ABC△的面積為6，則ABX △的面積等於 ．XQPABC XQPABC4411XQPCBA【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】填空 【關鍵字】香港聖公會數學競賽 【解析】 方法一：連接PQ ．由於12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQ ABC S S =，1126BPQ BCQ ABC S S S ==．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===， 所以441226 2.455255ABXABPABCABCS S S S ==⨯==⨯=． 方法二：連接CX 設1CPX S =△份，根據燕尾定理標出其他部分面積， 所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++⨯=△ 【答案】2.4【巩固】 兩條線段把三角形分為三個三角形和一個四邊形，如圖所示， 三個三角形的面積 分別是3，7，7，則陰影四邊形的面積是多少？【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】解答【解析】方法一：遇到沒有標注字母的圖形，我們第一步要做的就是給圖形各點標注字母，方便後面的計算.再看這道題，出現兩個面積相等且共底的三角形．設三角形為ABC，BE和CD交於F，則BF FE=，再連結DE．所以三角形DEF的面積為3.設三角形ADE的面積為x，則()():33:10:10x AD DB x+==+，所以15x=，四邊形的面積為18．方法二：設ADFS x=△，根據燕尾定理::ABF BFC AFE EFCS S S S=△△△△,得到3AEFS x=+△，再根據向右下飛的燕子，有(37):7:3x x++=，解得7.5x=四邊形的面積為7.57.5318++=【答案】18【鞏固】如圖，三角形ABC的面積是1，2BD DC=，2CE AE=，AD與BE相交於點F，請寫出這4部分的面積各是多少?ABCDEF48621ABCDEF【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】解答【解析】連接CF，設1AEFS=△份，則其他幾部分面積可以有燕尾定理標出如圖所示，所以121AEFS=△,62217ABFS==△,821BDFS=△,242217FDCES+==【答案】27【鞏固】如圖，E在AC上，D在BC上，且:2:3AE EC=,:1:2BD DC=，AD與BE交於點F．四邊形DFEC的面積等於222cm，則三角形ABC的面積．A BCDE FA BCDEF 2.41.62A BC DE F 12【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】填空【解析】 連接CF,根據燕尾定理，12ABFACFS BD S DC ==△△，23ABF CBF S AE S EC ==△△, 設1BDF S =△份，則2DCF S =△份，2ABF S =△份，4AFC S =△份，24 1.623AEF S =⨯=+△ 份,34 2.423EFC S =⨯=+△份,如圖所標,所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份,2349ABC S =++=△份 所以222 4.4945(cm )ABC S =÷⨯=△【答案】45【鞏固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那麼三角形AMN (陰影部分)的面積為多少？A【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 連接BN ．ABC △的面積為3223⨯÷=根據燕尾定理，::2:1ACN ABN CD BD ==△△； 同理::1:1CBN CAN BM AM ==△△設AMN △面積為1份，則MNB △的面積也是1份，所以ANB △的面積是112+=份，而ACN △的面積就是224⨯=份，CBN △也是4份，這樣ABC △的面積為441110+++=份，所以AMN △的面積為31010.3÷⨯=． 【答案】0.3【例 4】如圖所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中點，那麼:AF FC = ．FE D C B AFE DCB A【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】填空 【解析】 連接CD ．由於:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△， 根據燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△． 【答案】3:4【鞏固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =，:3:1AE EC =，求:OB OE =？ABCDE OABCDE O【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 連接OC ．因為:3:2BD DC =，根據燕尾定理，::3:2AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即32AOB AOC S S ∆∆=；又:3:1AE EC =，所以43AOC AOE S S ∆∆=．則3342223AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=，所以::2:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==． 【答案】2:1【鞏固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =，:1:3AE EC =，求:OB OE =？A B CDE O【考點】燕尾定理 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 題目求的是邊的比值，一般來說可以通過分別求出每條邊的值再作比值，也可以通過三角形的面積比來做橋樑，但題目沒告訴我們邊的長度，所以應該通過面積比而得到邊長的比．本題的圖形一看就聯想到燕尾定理，但兩個燕尾似乎少了一個，因此應該補全，所以第一步要連接OC ．連接OC ．A B CDE O因為:2:1BD DC =，根據燕尾定理，::2:1AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即2AOB AOC S S ∆∆=； 又:1:3AE EC =，所以4AOC AOE S S ∆∆=．則2248AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=， 所以::8:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==．【答案】8:1【例 5】如圖9，三角形BAC 的面積是1，E 是AC 的中點，點D 在BC 上，且BD:DC=1:2，AD 與BE 交於點F ，則四邊形DEFC 的面積等於 。