小学五年级奥数 燕尾模型(一)

燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．OFE DCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==S 3S 1S 4S 2EDCBA【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.【例 1】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△ ::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！例题精讲燕尾定理【答案】27:16【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【答案】10:9【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =GF EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空【解析】 根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCG S S ==△△,所以:15:65:2:ACG BCG S S AF BF ===△△【答案】5:2【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【答案】15:8【例 2】 如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少?35304084O FED CBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设BOF S x =△，由题意知:4:3BD DC =根据燕尾定理,得::4:3ABO ACO BDO CDO S S S S ==△△△△,所以33(84)6344ACO S x x =⨯+=+△，再根据::ABO BCO AOE COE S S S S =△△△△，列方程3(84):(4030)(6335):354x x ++=+-解得56x =:35(5684):(4030)AOE S =++△,所以70AOE S =△所以三角形ABC 的面积是844030355670315+++++=【答案】315【例 3】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△,设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADES BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【答案】512【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，所以1103ABE ABC S S ==△△，1152ABD ABC S S ==△△．根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BDS CD==△△,所以17.54ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，所以阴影部分面积是30107.512.5--=．(法二)连接DE ，由题目条件可得到1103ABE ABC S S ==△△，11210223BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABE BDE S AF FD S ==△△， 1111112.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211032CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以阴影部分的面积为12.5．【答案】12.5【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBAABC DEF FEDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接CF ，根据燕尾定理，2639ABF ACF S BD S DC ===△△，36510ABF CBF S AE S EC ===△△, 设6ABF S =△份，则9ACF S =△份,10BCF S =△份，5459358EFC S =⨯=+△份，310623CDF S =⨯=+△份，所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm )88DCFE S =÷++⨯+=⨯+= 【答案】93【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △面积的几分之几？OE DCBA 13.54.59211213O E D CBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 连接CO ,设1AEO S =△份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABC S =+++=△份，所以四部分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59,,,30306030103020+===【答案】920【巩固】如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．XQPABC XQPABC4411XQPCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】香港圣公会数学竞赛【解析】 方法一：连接PQ ．由于12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQABC SS =，1126BPQ BCQ ABCS S S ==．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===，所以441226 2.455255ABX ABP ABC ABC S S S S ==⨯==⨯=．方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积，所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++⨯=△【答案】2.4【巩固】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．设三角形为ABC ，BE 和CD 交于F ，则BF FE =，再连结DE ． 所以三角形DEF 的面积为3.设三角形ADE 的面积为x ，则()():33:10:10x AD DB x +==+，所以15x =，四边形的面积为18．方法二：设ADF S x =△，根据燕尾定理::ABF BFC AFE EFC S S S S =△△△△,得到3AEF S x =+△，再根据向右下飞的燕子，有(37):7:3x x ++=，解得7.5x =四边形的面积为7.57.5318++=【答案】18【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F48621ABCDEF【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 连接CF ，设1AEF S =△份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以121AEF S =△,62217ABF S ==△,821BDF S =△,242217FDCE S +==【答案】27【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．A BCDE FA BCDEF 2.41.62A BC DE F 12【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空【解析】 连接CF ,根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，23ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，2ABF S =△份，4AFC S =△份，24 1.623AEF S =⨯=+△ 份,34 2.423EFC S =⨯=+△份,如图所标,所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份,2349ABC S =++=△份 所以222 4.4945(cm )ABCS =÷⨯=△【答案】45【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BN ．ABC △的面积为3223⨯÷=根据燕尾定理，::2:1ACN ABN CD BD ==△△； 同理::1:1CBN CAN BM AM ==△△设AMN △面积为1份，则MNB △的面积也是1份，所以ANB △的面积是112+=份，而ACN △的面积就是224⨯=份，CBN △也是4份，这样ABC △的面积为441110+++=份，所以AMN △的面积为31010.3÷⨯=．【答案】0.3【例 4】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE D C B AFE DCB A【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接CD ．由于:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△， 根据燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△．【答案】3:4【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？A BCDE OABCDE O【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 连接OC ．因为:3:2BD DC =，根据燕尾定理，::3:2AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即32AOB AOC S S ∆∆=； 又:3:1AE EC =，所以43AOC AOE S S ∆∆=．则3342223AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=， 所以::2:1AOB AOEOB OE S S ∆∆==．【答案】2:1【巩固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？A B CDE O【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC ． 连接OC ．A B CDE O因为:2:1BD DC =，根据燕尾定理，::2:1AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即2AOB AOC S S ∆∆=； 又:1:3AE EC =，所以4AOC AOE S S ∆∆=．则2248AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=， 所以::8:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==．【答案】8:1【例 5】 如图9，三角形BAC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD:DC=1:2，AD 与BE 交于点F ，则四边形DEFC 的面积等于 。

燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．OFE DCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==S 3S 1S 4S 2EDCBA【解析】 三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.【例 1】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△ ::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！例题精讲燕尾定理【答案】27:16【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【答案】10:9【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =GF EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空【解析】 根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCG S S ==△△,所以:15:65:2:ACG BCG S S AF BF ===△△【答案】5:2【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【答案】15:8【例 2】 如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少?35304084O FED CBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 设BOF S x =△，由题意知:4:3BD DC =根据燕尾定理,得::4:3ABO ACO BDO CDO S S S S ==△△△△,所以33(84)6344ACO S x x =⨯+=+△，再根据::ABO BCO AOE COE S S S S =△△△△，列方程3(84):(4030)(6335):354x x ++=+-解得56x =:35(5684):(4030)AOE S =++△,所以70AOE S =△所以三角形ABC 的面积是844030355670315+++++=【答案】315【例 3】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，初赛【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△,设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADES BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【答案】512【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，所以1103ABE ABC S S ==△△，1152ABD ABC S S ==△△．根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BDS CD==△△,所以17.54ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，所以阴影部分面积是30107.512.5--=．(法二)连接DE ，由题目条件可得到1103ABE ABC S S ==△△，11210223BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABE BDE S AF FD S ==△△， 1111112.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211032CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以阴影部分的面积为12.5．【答案】12.5【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBAABC DEF FEDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接CF ，根据燕尾定理，2639ABF ACF S BD S DC ===△△，36510ABF CBF S AE S EC ===△△, 设6ABF S =△份，则9ACF S =△份,10BCF S =△份，5459358EFC S =⨯=+△份，310623CDF S =⨯=+△份，所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm )88DCFE S =÷++⨯+=⨯+= 【答案】93【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △面积的几分之几？OE DCBA 13.54.59211213O E D CBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 连接CO ,设1AEO S =△份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABC S =+++=△份，所以四部分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59,,,30306030103020+===【答案】920【巩固】如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．XQPABC XQPABC4411XQPCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】香港圣公会数学竞赛【解析】 方法一：连接PQ ．由于12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQABC SS =，1126BPQ BCQ ABCS S S ==．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===，所以441226 2.455255ABX ABP ABC ABC S S S S ==⨯==⨯=．方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积，所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++⨯=△【答案】2.4【巩固】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．设三角形为ABC ，BE 和CD 交于F ，则BF FE =，再连结DE ． 所以三角形DEF 的面积为3.设三角形ADE 的面积为x ，则()():33:10:10x AD DB x +==+，所以15x =，四边形的面积为18．方法二：设ADF S x =△，根据燕尾定理::ABF BFC AFE EFC S S S S =△△△△,得到3AEF S x =+△，再根据向右下飞的燕子，有(37):7:3x x ++=，解得7.5x =四边形的面积为7.57.5318++=【答案】18【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F48621ABCDEF【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 连接CF ，设1AEF S =△份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以121AEF S =△,62217ABF S ==△,821BDF S =△,242217FDCE S +==【答案】27【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．A BCDE FA BCDEF 2.41.62A BC DE F 12【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空【解析】 连接CF ,根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，23ABF CBF S AE S EC ==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，2ABF S =△份，4AFC S =△份，24 1.623AEF S =⨯=+△ 份,34 2.423EFC S =⨯=+△份,如图所标,所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份,2349ABC S =++=△份 所以222 4.4945(cm )ABCS =÷⨯=△【答案】45【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BN ．ABC △的面积为3223⨯÷=根据燕尾定理，::2:1ACN ABN CD BD ==△△； 同理::1:1CBN CAN BM AM ==△△设AMN △面积为1份，则MNB △的面积也是1份，所以ANB △的面积是112+=份，而ACN △的面积就是224⨯=份，CBN △也是4份，这样ABC △的面积为441110+++=份，所以AMN △的面积为31010.3÷⨯=．【答案】0.3【例 4】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE D C B AFE DCB A【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接CD ．由于:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△， 根据燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△．【答案】3:4【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？A BCDE OABCDE O【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 连接OC ．因为:3:2BD DC =，根据燕尾定理，::3:2AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即32AOB AOC S S ∆∆=； 又:3:1AE EC =，所以43AOC AOE S S ∆∆=．则3342223AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=， 所以::2:1AOB AOEOB OE S S ∆∆==．【答案】2:1【巩固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？A B CDE O【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC ． 连接OC ．A B CDE O因为:2:1BD DC =，根据燕尾定理，::2:1AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即2AOB AOC S S ∆∆=； 又:1:3AE EC =，所以4AOC AOE S S ∆∆=．则2248AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=， 所以::8:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==．【答案】8:1【例 5】 如图9，三角形BAC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD:DC=1:2，AD 与BE 交于点F ，则四边形DEFC 的面积等于 。

燕尾模型燕尾模型，研究的是怎样把一个三角形内部两个成燕子尾巴关系的三角形（其实两个三角形的关系是共边）面积的比转化成线段长度之间的比。

一、燕尾模型基本结论如下图，燕尾模型的基本结论为：S1：S2=L1:L2=S3：S4=（S1+S3）：（S2+S4），其中S3：S4=（S1+S3）：（S2+S4）=L1：L2 是共高得到的结论，S1：S2=L1：L2是燕尾模型的结论。

需注意，一个三角形内部，内部某个点与三个顶点分别相连后，会形成左、右、下三个燕尾三角形，并会形成（左、右）（左、下）（右、下）三组燕尾。

这三组燕尾就是燕尾模型研究的对象！虽然燕尾模型研究的是左、右、下这三个燕尾三角形，但是上面这个图显然无法把两个燕尾三角形的面积比转成成线段的比，所以燕尾模型中最常见的图为下图：图中，根据燕尾模型的结论，有：S△AGB：S△AGC=BE：EC，S△AGB：S△BGC=AF：FC，S△AGC：S△BGC=AD：DB以上就是燕尾模型的基本结论。

二、燕尾模型常考图形其实，燕尾模型经常考察的图形是下面这个图。

即只画出三个顶点中两个顶点出发的两条线AD、BE交于一点O，并且告诉我们两条线AD、BE分三角形两条边成的两条线段的比BD：DC，AE：EC(即两个外比）。

比如说，已知三角形ABC中，BD：DC=1:1，AE：EC=1：2。

接下来我们就来看一下，这样一个图形中，在就知道这两个外比的情况下，能推出什么样的结论。

对于这个图，因为是在考燕尾模型，所以一定首先要首先作出辅助线，构造出三个燕尾三角形，如下图虚线，此时根据BD：DC=1：1，AE：EC=1:2两个外比，我们可以解决下面三个问题：（1）另一个外比AF：FB（2）图中三条线BE、AD、CF分成的S1、S2、S3、S4、S5、S6六个小三角形的份数关系（3）三个内比，即AG：GD，CG：GF，BG：GE而求解这三个问题的过程是统一的，基本思路就2步：（1）求三个燕尾三角形S左（三角形ABG）、S右（三角形AGC）、S下（三角形BGC）的连比（2）用份数表示每个三角形的面积。

燕尾模型知识框架共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。

共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则S PM PABS QM QAB∆=∆特殊情况：当PQ∥AB时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB例题精讲【例 1】如图，三角形ABC中，:4:9BD DC=，:4:3CE EA=，求:AF FB．O F EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△ ::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【答案】27:16。

【巩固】如图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【答案】10:9。

【例 2】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA33321F EDC BAABCDEF【考点】燕尾定理 【难度】3星 【题型】填空【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标 所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADES BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【答案】512。

第二十五讲燕尾模型之前我们学过等高三角形的比例关系，如下左图所示，△ABC 被线段AD 一分为二，且有比例关系12::S S a b =．如下右图所示，在增加了两条线段后，图中有4个小三角形，这4个小三角形的面积之间的比例关系如图中所示．由于图中的阴影部分看起来很像燕子的尾巴，所以这个图形我们形象的把它称为燕尾模型．阴影部分我们称之为燕尾形．ab=外比：31312424S S S S BD S S S S CD +===+内比：12123434S S S S AO S S S S OD+===+--------------------------------------------------------------------例题1．如图，AD =6，CD =14，三角形ABE 的面积是24，求三角形BEC 的面积．「分析」ABE BCE S AD S DC=△△，据此就可以求出△BEC 的面积．练习1．已知三角形ABC 中，三角形ABF 的面积是60，三角形AFC 的面积是20，三角形BFC 的面积是56，求三角形BDF 和三角形CDF 的面积．------------------------------------------------------------------------------------------给出不同边上的比例关系，我们就可以用“燕尾模型”解决三角形面积的问题，下面我们先看一个给出两个外比的问题．--------------------------------------------------------------------ABCD EABDCE F----------------------练一练根据下列图中所给线段比例来标注各部分的面积份数．例题2．如图，△ABC 的面积等于28平方厘米．其中AE EC =，:3:1BD DC =，求阴影三角形的面积．「分析」图中并没有燕尾模型，所以第一步需要把它构造出来．应该连哪条线呢？练习2．在三角形ABC 中，2AE EB =，AD CD =，阴影部分占△ABC------------------------------------------------------------------------------------------有时题目给的不是两个外比，而是一个内比和一个外比，此时在利用燕尾模型解题的时候，既需要由长度的比推出面积的比，也需要由面积的比推出长度的比．这类问题较简单的一类是已知的内比和外比在同一个燕尾形中．------------------------------------------------------------------------------------------ABC DE OAB CDEOA BCDEFO外比：AD :DB =2:1外比：AF :FC =1:1外比：CD :DB =2:1外比：AE :EC =1:3外比：CD :DB =3:1外比：AE :EC =1:3B练一练根据下列图中所给线段比例来标注各部分的面积份数．例题3．如图，△ABC 中AE ED =，:1:3BD DC =，阴影部分的面积占三角形ABC 面积的几分之几？「分析」这道题目属于知道一外比和一内比的第一种类型，按顺序填份数就可以了．练习3在三角形ABC 中，2AE EC =，:1:1BF FE =，阴影部分占△ABC 的几分之几？练一练根据下列图中所给线段比例来标注各部分的面积份数．ABCO D外比：AD :DC =1:1内比：BO :OD =2:1AB COD外比：AD :DC =1:2内比：BO :OD =1:1E EABCO D外比：BE :EC =2:1内比：BO :OD =3:1AB COD外比：AE :EB =2:1内比：BO :OD =2:1EE例题4如图，△ABC 中，AF FD =，13AE AC =，求四边形CEFD 的面积是三角形ABC 的几分之几．「分析」这道题目属于知道一外比和一内比的第二种类型，按顺序填份数就可以了．练习4．在三角形ABC 中，12AE EC =，3CF DF =，四边形ADFE 的面积是三角形ABC 的几分之几？------------------------------------------------------------------------------------------有些图形不能直接使用燕尾模型，我们需要添加辅助线后方可使用燕尾模型．------------------------------------------------------------------------------------------例题5．如图，正方形ABCD 的边长是6，E 、F 分别是DC 和AD 边的中点，阴影部分的面积是多少？「分析」连结AC ，燕尾模型就出来了．ABDCFE ABD CFE例题6．如图，四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，BCDE 是平行四边形．那么四边形ABCD 的面积是多少？「分析」例题5中，我们通过连结正方形对角线构造出了燕尾模型．本题中，我们应该连结哪条线段呢？A BCDE F O含有“燕”字的诗句中国古代的诗句中，有很多都和燕子有关系。