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1.1 矢量分析

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精品课件-电磁场与电磁波-第1章

精品课件-电磁场与电磁波-第1章
第1章 矢量分析基础
第1章 矢量分析基础
1.1 矢量分析 1.2 场论 1.3 标量场的方向导数和梯度 1.4 矢量场的通量及散度 1.5 矢量场的环量和旋度 1.6 亥姆霍兹定理 1.7 圆柱坐标系和球坐标系
第1章 矢量分析基础 1.1 矢量分析 矢量分析讨论矢性函数的求导、积分等内容，它是矢量代 数的继续，也是场论的基础。在物理学和工程实际中，许多物 理量本身就是矢量，如电场强度、磁场强度、流体的流动速度、 物质的质量扩散速度及引力等。采用矢量分析研究这些量是很 方便的。有些物理量本身是标量，但是描述它们的空间变化特 性用矢量较为方便。如物体的引力势，描述它的空间变化就需 要用引力。再比如，空间的电位分布，描述其变化采用电场强 度较为方便。
记为
，u 即
l M0
u lim u(M ) u(M0 )
l M0 M M0
M0M
(1-7)
第1章 矢量分析基础 图1-6 梯度和方向导数
第1章 矢量分析基础
2. 方向导数的计算公式
设有向线段l的单位矢量为l°=l/l，这个单位矢量的方
向余弦为(cosα, cosβ, cosγ)，则标量场在某点的方向导
第1章 矢量分析基础
例1-1 若两个点电荷产生的电位 u(x, y, z) kq kAq r r1
为 r x2 y2 z2 r1 ,其(x a)2 y2 z2
中
，
，A、q和k是常数。求
电位等于零的等位面方程。
解 令u＝0，则有1/r=A/r1，即Ar=r1, 左右同时平方, 得
(xA2(x2a+y2+)z22)=(yx2+a)z22+y2+z2A2a 2
若问题的本身就是两个变量的函数，这种情形叫做平面标 量场。此时，标量场一般可以写为u(x，y)。标量场具有相同 数值的点，就组成标量场的等值线，等值线方程为

第1章 - 1 矢量坐标系梯度

第1章 - 1 矢量坐标系梯度

12
第一章 矢 量 分 析
1 .2 .1 正交坐标系
任意矢量A：
A A
Au21 Au22 Au23
任意矢量B：
（1-22） （1-23） （1-24）
（1-25） （1-26）
13
第一章 矢 量 分 析
e e e u1
u2
u3
A B Au1 Au2 Au3
B B B u1
u2
u3
（1-27）
d , d, dz
拉梅系数：
r
h1 1, h2 , h3 1 （1-58）
位置矢量为： r = e + ez z
线元微分元为： dr = d (e + ez z)
e d de ezdz zdez e d e de ezdz
（1-59） （1-60）
26
第一章 矢 量 分 析
第一章 矢 量 分 析
1 .2 .3 圆柱坐标系
ez
e
e
(u1，u2，u3 ) (,, z)
（1-48）
ez P(ρ0 ,φ0 , z0 )
e e
0 0 2
z
e e ez
e ez e
（1-49）
图 1 -6 柱坐标系
ez e e
21
第一章 矢 量 分 析
ez ez
ex e cos e sin ， ey e sin e cos ， ez ez
（1-51-2）
22
第一章 矢 量 分 析
园柱坐标系中矢量：
A e A e A ez Az
直角坐标系中：
A ex Ax ey Ay ez Az
坐标变换矩阵为：
Ax cos

第一章 矢量分析(电磁场与电磁波)

第一章 矢量分析(电磁场与电磁波)

例:已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求: (1) 该矢量场的旋度; (2) 该矢量沿半径为3的四分 之一圆盘的线积分, 如图所 示, 验证斯托克斯定理.
y B r=3
O
A x
四分之一圆盘
第 7,8 学时 , 1.4 标量的方向导数和梯度
1.4.1标量的方向导数和梯度 标量的方向导数和梯度 一个标量场u可以用一个标量函数来表示.在直角坐标 系中, 可将u表示为 u=u(x, y, z) 令 u(x, y, z)=C, C为任意常数.该式在几何上一般表示 一个曲面,在这个曲面上的各点,虽然坐标(x, y, z)不同, 但函数值相等,称此曲面为标量场u的等值面 等值面. 随着C 等值面 的取值不同,得到一系列不同的等值面,如下图所示. 同理,对于由二维函数v=v(x, y)所给定的平面标量场, 可按v(x, y)=C得到一系列不同值的等值线.
S → P
∫ lim
l
A dl
S
称固定矢量R为矢量A 的旋度 旋度,记作 旋度 rotA=R 上式为旋度矢量在n方 向的投影,如图所示, 即
rotA 旋旋旋
n
P l
S → P
∫ lim
l
A dl
S
= rotn A
旋度及其投影
矢量场的旋度 旋度仍为矢量 矢量.在直角坐标系中,旋度的表达式为 旋度 矢量
C C=A× B an aA A (a)
图 1 - 3 矢量积的图示及右手螺旋 (a) 矢量积 (b) 右手螺旋
O
aB B
B A
θ
(b)
矢量积又称为叉积 叉积(Cross Product),如果两个不为零的 叉积 矢量的叉积等于零,则这两个矢量必然相互平行,或者 说,两个相互平行矢量的叉积一定等于零.矢量的叉积 不服从交换律,但服从分配律,即 A×B= -B×A × × A×(B+C)=A×B+A×C × × ×

矢量1

矢量1




B

ds
S
研究了矢量在闭合面的性质，面上某个点处矢量的 性质如何研究呢？
§1.3.1
A S AnS
自然现象中的通量 A
S
n

AS cos
25
散度定义：单位体积的净流散通量 Divergence——div
divA
lim


A

ds

“求模”： A A A
“判断正交”： A B 0
标量积的结
果是个标量！
8
§1.1
矢量运算 标量积
标量积的应用：证明“三角形余弦定理”
C
B
A
C A2 B2 2AB cos
思路：C边的长度就是矢量 C 的“模”
C AB
C C C C (A B)(A B) 9
B

Bcos
A
z
Z
P(X, Y, Z) r az
ax O
X
Y ay y
x
• 直角坐标系中的单位矢量有下列关系：

ax

a
y

a
x

a
z

ay

a
z

0
ax ax ay ay az az 1
• 直角坐标系中两矢量点积的计算公式：
A Axax Ayay Azaz ,
直角系中

ax
x

ay
y
az
z
直角系中u

ax
u x
ay

矢量分析

矢量分析

二、方向导数 在实际应用中，不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还要知道在不同 方向上场变化的情况。方向导数表征标量场空间中，某点处场沿各个方向变 化的规律。
取等位面 u 1、定义：
x, y , z
增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
v ˆ ˆ ˆ 矢量表示： A = e x Ax + e y Ay + e z Az
v 位置矢量： r = e x x + e y y + e z z ˆ ˆ ˆ
v ˆ ˆ ˆ dr = e x dx + e y dy + e z dz 微分长度元：
（2）球面坐标系下矢量运算
v ˆ ˆ ˆ A = er Ar + eθ Aθ + eϕ Aϕ v ˆ ˆ ˆ B = er Br + eθ Bθ + eϕ Bϕ
v v ˆ ˆ ˆ A ± B = er ( Ar ± Br ) + eθ ( Aθ ± Bθ ) + eϕ ( Aϕ ± Bϕ )
v v A• B = Ar Br + Aθ Bθ + Aϕ Bϕ
e 单位矢量：ˆ ρ
ρ
,φ
ˆ , eφ
,z
ˆ , ez
0 ≤ ρ < ∞ , 0 ≤ φ ≤ 2π , − ∞ < z < ∞
ˆ ˆ ˆ e z = e ρ × eφ ˆ ˆ ˆ e ρ = eφ × e z ˆ ˆ ˆ eφ = e z × e ρ
ˆ ˆ ˆ ↑ e ρ 、eφ 、e z
分别代表ρ、φ、z 增加的方向，相互垂直且满足右手螺旋法则
ˆ 由于 θ、ϕ 不是常矢量，与 er
ˆ ∂er ˆ =eθ ∂θ ˆ ∂ eθ ˆ = −er ∂θ ˆ ∂ eϕ = 0 ∂θ

第1章-矢量分析

第1章-矢量分析

⎝
2⎠
⎝
2⎠
Ay
⎜⎛ x,y+Δy,z ⎟⎞ ⎝ 2⎠
=
Ay
(x,y,z)
+
∂Ay ∂y
(x,y,z)
Δy 2
+
1 2!
∂2 Ay ∂y2
( Δy )2 2
+ ...
得
ΔΨr
=
( Ay
+
∂Ay ∂y
Δy 2
+ .........) ΔxΔz
divA 直角坐标表示式的推导
11
§1.2通量、散度、散度定理
8
§1.2通量、散度、散度定理
作业：1.1-1,1.1-3,1.1-5
S为封闭面时： 若Ψ > 0， 有净通量流出，说明S内有源； 若Ψ < 0， 有净通量流入，说明S内有洞(负源); 若Ψ = 0， 则净通量为零，说明S内无源。
举例：
由《大学物理》知，电通量 Ψe = ∫sD ⋅ ds = Q（高斯定理） 水流的单位时间流量（米3/秒）＝ v ⋅ d s
A 矢量的模：
γ
β o
Ay
α Ax
y
A = A = Ax2 + Ay 2 + Az 2
x
A 的单位矢量：
Aˆ = A = xˆ Ax + yˆ A y + zˆ Az AA AA
= xˆ cosα + yˆ cos β + zˆ cosγ
2
§1.1矢量代数
二、标量积和矢量积
a) 标量积（点乘）
加减乘除
∂y 4π r 5
∂Dz = q r 2 − 3z 2
∂z 4π r 5

电磁场与电磁波-第1章

电磁场与电磁波-第1章

z o x
v v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A × B = ( Ax ax + Ay a y + Az az ) × ( Bx ax + By a y + Bz az )
y
ˆ ˆ ˆ = ( Ay Bz − Az By )ax + ( Az Bx − Ax Bz )a y + ( Ax By − Ay Bx )az
第1章 矢量分析
主要内容 矢量代数、常用坐标系、 梯度、散度、旋度、亥姆量
标量：只有大小而没有方向的物理量。如温度、高度、时间等。 标量：只有大小而没有方向的物理量。如温度、高度、时间等。 矢量：不但有大小而且有方向的物理量。如力、速度、电场强度等。 矢量：不但有大小而且有方向的物理量。如力、速度、电场强度等。 矢量的数学符号用黑斜体字母表示，如A、B、E，或斜体字母上 矢量的数学符号用黑斜体字母表示， 黑斜体字母表示
两矢量的叉积又可表示为： 两矢量的叉积又可表示为：
ˆ ax v v A × B = Ax Bx
ˆ ay Ay By
ˆ az Az Bz
2、矢量运算法则
（3）乘法: 乘法: 乘法 ③ 三重积 三个矢量相乘有以下几种形式： 三个矢量相乘有以下几种形式：
v v v ( A ⋅ B)C
矢量，标量与矢量相乘。 矢量，标量与矢量相乘。
v v v v v v v v b.满足结合律 满足结合律： b.满足结合律： ( A + B ) + (C + D) = ( A + C ) + ( B + D)
矢量加法是几个矢量合成问题，反之， 矢量加法是几个矢量合成问题，反之，一个矢量也可分解为几个矢量
2、矢量运算法则

第一章矢量分析

第一章矢量分析

r u ( x, y , z , t ) 、 F ( x , y , z , t )
r u ( x, y, z )、 F ( x, y, z )
第一章 矢量分析
1.1.1 标量场的等值面
标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。 即若标量函数为 u u( x, y, z) ，则等值面方程为：
第一章 矢量分析
第一章
主 要
矢量分析
内 容
梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1. 标量场的方向导数与梯度
2. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场 5. 格林定理
6. 矢量场的惟一性定理
7. 亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系
第一章 矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量和矢量
空间中存在任意曲面S，则定义：
v v S A(r ) dS
为矢量 A(r ) 沿有向曲面 S 的通量。
矢量场的通量
第一章 矢量分析
若S 为闭合曲面
s
v v v Ñ A ( r ) dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。 说明：1) 面元矢量 dS 定义：面积很小的有向曲面。
s
第一章 矢量分析
通过闭合面S的通量的物理意义：
0

0
若 0 ，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发 出矢量线的正源； 若 0 ，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负源； 若 0 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无 源，或正源负源代数和为0。 局限：只能判断闭合曲面中源的正负特性，不能显示源的特 性。如果令包围某点的闭合面无限收缩，那么该点就可以通量 可以表示源的特性。

电磁场与电磁波第1章矢量分析

电磁场与电磁波第1章矢量分析

例：已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求：
（1） 该矢量场的旋度;
（2） 该矢量沿半径为3的四分 之一圆盘的线积分， 如图所 示， 验证斯托克斯定理。
y B
r＝ 3
O
Ax
四分之一圆盘
第 7、8 学时 1.4 标量的方向导数和梯度
1.4.1标量的方向导数和梯度
一个标量场u可以用一个标量函数来表示。在直角坐标 系中， 可将u表示为
lim l A dl
SP S
称固定矢量R为矢量A的 旋度，记作
rotA=R
上式为旋度矢量在n方 向的投影，如图所示， 即
A dl
lim l
SP S
rotn A
ro tA
n
旋涡面
P l
旋度及其投影
矢量场的旋度仍为矢量。在直角坐标系中，旋度的表达式为
rotA
ax
Az y
Ay z
a
y
Ax z
Az x
z
l
式 中 ， 当 Δl→0 时 δ→0 。 将 上 式 两 边 同 除 以 Δl 并 取 极限得到方向导数的计算公式：
u u cos u cos u cos
l x
y
z
ห้องสมุดไป่ตู้
其中，cosα, cosβ, cosγ为l方向的方向余弦。
1.4.4 标量场的梯度
1. 梯度的定义
方向导数为我们解决了函数u(P)在给定点处沿某个方向的 变化率问题。然而从场中的给定点P出发，标量场u在不 同方向上的变化率一般说来是不同的，那么，可以设想，
▽ ·(▽ ×A)≡0
即如果有一个矢量场B的散度等于零，则该矢量B就可 以用另一个矢量A的旋度来表示，即当 ▽ ·B=0 则有

第1章 矢量分析

第1章 矢量分析

体积元
dV dxdydz
z
z
z0
（ 平面） ez
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z dSz ezdxdy
dz
dSy eydxdz
o
dy
dx dSx exdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
第一章 矢量分析
A Axex Ayey Azez
sin cos
0
0 ex
0
e y
1 ez
ex cos
ey
sin
ez 0
sin cos
0
0 e
0
e
1 ez
第一章 矢量分析
2、直角坐标系与球坐标系的关系
er ex sin cos ey sin sin ez cos e cos cos ex cos sin ey sin ez e ex sin ey cos
坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 面元矢量
x, y, z,( x, y, z )
ex , ey , ez
r ex x ey y ez z
dl
exdx
ey
dy
ezdz
dSx exdlydlz exdydz
dSy eydlxdlz eydxdz
dSz ezdlxdly ezdxdy
A B AxBx Ay By Az Bz
ex ey ez
A B Ax Ay Az Bx By Bz
ex
Ay By
Az Bz
ey
Ax Bx

矢量分析

矢量分析

运 算 规律： A B B A （交换律）
A (B C) A B AC （分配律）
AB
AB 0
A// B
A B AB
ex ey ey ez ez ex 0
ex ex ey ey ez ez 1
第一章 矢量分析
（4）矢量的矢量积（叉积）
A B
A B en ABsin
C=A+B
A
AB
B
C2 C C (A B) (A B)
A A B B 2A B
A2 B2 2 ABcosAB A2 B2 2 ABcos
第一章 矢量分析
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置且满足右手螺旋 规则的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴； 描述坐标轴的量称为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐 标系、圆柱坐标系和球坐标系。
B
推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边
矢量的减法
形，矢量和必为零。
第一章 矢量分析
（2）标量乘矢量（数乘）
kA exkAx eykAy ezkAz
（3）矢 量 的标量积（点积）
A B AB cos AxBx Ay By Az Bz
两矢量点积含义：矢量在另一矢量方向上的投影与另一
矢量模的乘积，其结果是一标量。
0
坐标变量
,, z 0 2
坐标单位矢量
e , e , ez
z
位置矢量
r e ez z
线元矢量
dl ed e d ezdz
面元矢量
dS
e dldlz

第一章 矢量分析

第一章 矢量分析

面元矢量：
2 dSr er dl dl er r sin d d dS e dlr dl e rsin drd dS e dlr dl e rdrd
0（半平面）
球坐标系
体积元：
B
A B
A
矢量的加法
交换律 A B B A 结合律 A ( B C ) ( A B) C
B B
A
A B
矢量的减法
6
（2）标量乘矢量
kA ex kAx ey kAy ez kAz
任意空间矢量： A er Ar e A e A 位置矢量： r er r
17
⑤ 线元、面元、体积元的表示：
线元矢量：
0（圆锥面）
r r0
dl er dr e rd e rsin d
（球面）
P(r0 ,0 ,0 )
x r sin cos y r sin sin z r cos 2 2 2 r x y z 2 2 x y -1 tg 或 = tg z -1 y =tg x
0（半平面）
空间任意矢量： A ex Ax ey Ay ez Az 位置矢量： r ex x ey y ez z
坐标单位矢量： ex , ey , ez
11
线元矢量： dl e xdx e ydy e zdz
面元矢量： dS x ex dl y dlz e y dz xd
用坐标分量表示为 A B ex ( Ay Bz Az By ) ey ( Az Bx Ax Bz ) ez ( Ax By Ay Bx )

第一章 矢量分析

第一章 矢量分析
第1章 矢量分析
1
第1章 矢量分析
2
本章内容
1.1 三种常用的坐标系
1.2
1.3 1.4 1.5
矢量函数的微积分
标量函数的梯度 矢量函数的散度 矢量函数的旋度
第1章 矢量分析
3
1.1 三种常用的坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角
第1章 矢量分析 2. 矢量场的通量 问题：如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。 通量的概念
20
F ( x, y , z )
n
S
0
d F dS F n 0dS
S
dS
面积元矢量
其中： dS n 0dS ——面积元矢量； 0 ——面积元的法向单位矢量；
sin
ey
sin cos
ez
0
sin cos 0
ex sin cos
sin
0
e
ez 0 0 1 ez cos sin 0
e
ey

e
ex
圆柱坐标与 球坐标系
e
er
e
e
o

单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
d S y e y d l x d l z e y d xd z
d d xd yd z
z
dz
dS z ez dxdy
dS y ey dxdz
d S z e z d l x d l y e z d xd y
体积元

1矢量分析

1矢量分析

1.3 标量场的梯度
电位场的等值面方程： 电位场的等值面方程： u
(x ,
y,z
)=
u=c1
c
u=c2 u=c3
等值面族
标量场的等值面具有如下特点： 标量场的等值面具有如下特点： 1、常数C取不同的值会得到不同的等值面，一系列的等值面构成等值面族。 常数C取不同的值会得到不同的等值面，一系列的等值面构成等值面族。 2、标量场中的任意一点都有一个唯一的等值面通过。 标量场中的任意一点都有一个唯一的等值面通过。 3、标量场的等值面互不相交。 标量场的等值面互不相交。
A • ( B × C ) = B • (C × A) = C • ( A × B )
r A
r C
r r B×C
r B
θ2
r A
• 矢量三重积
r r r r r r r r r A × ( B × C ) = B( A • C ) − C ( A • B)
记忆：远者为正近者为负（远正近负） 记忆：远者为正近者为负（远正近负）
r ∂ r ∂ r ∂ ∇ = ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z
1.3 标量场的梯度
∂ ∂ ∂ ∂u ∂u ∂u ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ grad u = x+ y+ z=( x+ y+ z )u = ∇ u ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y
z z = z 0平面
ˆ z
P
φˆ
ˆ r
φ=φ 0半平面
ρ=ρ0(圆柱面)
O
x
φ0
y
圆柱坐标系与直角坐标系之间的变换关系
ρ = x2 + y2 ,
或者
r r r eφ × e z = eρ r r r e z × eρ = eφ r r r eρ × eφ = e z r ez

矢量分析-PPT

矢量分析-PPT

0
2 2 2 2
x2 y2 z2
1 .4 .2 格林定理
将散度定理中矢量A表示为某标量函数的梯度 ψ与另一标 量函数 φ的乘积, 则有
A ( ) 2
取上式在体积V内的积分, 并应用散度定理, 得
(2 )dv
V
s( ) nˆds
s
n
ds
(1 -49)
式中S是包围体积V的封闭面, nˆ 是封闭面S的外法线方向单位矢
量。此式对于在体积V内具有连续二阶偏导数的标量函数φ和ψ都 成立, 称为格林( G .Green)第一定理。
divA A
A
xˆ
x
yˆ
y
zˆ
z
(xˆAx
yˆAy
zˆAz
)
Ax Ay Az x y z
利用哈密顿算子, 读者可以证明, 散度运算符合下列规则:
(A B) A B
(A) A A
1 .2 .3 散度定理
既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, 因此直观地可知, 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总 通量, 即
ds nˆds
nˆ 是面元的法线方向单位矢量。nˆ 的取法(指向)有两种情形: 对
开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选
定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方向就是 nˆ 的方 向, 如图1 -4所示; 对封闭曲面上的面元, nˆ 取为封闭面的外法线方
向。
图 1 -4 开曲面上的面元
为A , B崐所在平面的右手法向 n:ˆ
A B nˆAB sin aAB
它不符合交换律。 由定义知,
A B (B A)
并有
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 0 xˆ yˆ zˆ, yˆ zˆ xˆ, zˆ xˆ yˆ
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2
一、标量与矢量
标量: 仅由数量确定的物理量。
特点Hale Waihona Puke 只有大小而没有方向的量. Scalar
温度，高度，长度，质量
矢量: 用数值与方向表示的物理量。
特点：不但有大小而且有方向特征的量. Vector
力，位移，动量，电场强度
矢量描述
r
a 数学表示： a，或
图示：有向线段，
电磁场与电磁波
3
标量场与矢量场
y
dV dxdydz
x
电磁场与电磁波
11
柱坐标系
——Cylindrical Coordinates
M (r,, z) 或者
v R

evr
r

evz
z
M (,, z)
z
z平面
单位矢量为
rr r (er , e , ez )
r,, z
rr
r
r柱面
r
A Arer Ae Azez

ev
rd

ev r
sin
d
er

R(r, ,)
z dr
r drSr dSr dS
evr (r sin d)(rd

evev((rrdsin)
d)
dr

dr
)
d



e
d
电磁场与电磁波
x
dl
R1 (r1,1,1 ) e
电磁场与电磁波
10
直角坐标系中微分长度、面积、体积
微分长度（长度元）
微分面积（面积元）

dSx exdydz
dSy

eydzdx
dSz ezdxdy

dl
dS
ex
dx
eydy

z ez
ez
dy
dz
dl
dz
ex
dx ey
R
微分体积（体积元）
v
A(,,
z)

ev
A

ev
A

evz
Az
v A


ev
A


A
ev

ev
A

A
ev

evz
A z

A z
evz


ev
(
A


A
)

ev
(
A


A
)

evz
A z

电磁场与电磁波
29
球坐标系
evr r
Az y

A z

ex
Ax z
ey
Ay z
ez
Az z
电磁场与电磁波
26
矢量函数
v
A(,,
z)

ev
A

ev
A

evz
Az
ev evx cos evy sin
ev

evx sin evy cos
ev
ev evx sin evy cos

eeerrrzererrrercsoins
er cos

r e
sin

电磁场与电磁波
z

o
er z err r e er

22
三种坐标系坐标单位矢量之间的转换关系
r ex
r ey
er z

eeerrz
cos sin sin cos
0
0
0 0 1
z
M (x, y, z)
v R

erx
x

ery
y

erz
z
z M (x, y, z)
单位矢量为
(ex , ey , ez )
R
y
y
r ex

r ey

r ez
r ey

r ez

r ex
右手螺旋
x
r ez

r ex

r ey
x

A ex Ax ey Ay ez Az
电磁场与电磁波
6
二 坐标系
直角坐标系 柱面坐标系 球面坐标系
——Cartesian Coordinates ——Cylindrical Coordinates ——Spherical Coordinates
电磁场与电磁波
7
Cartesian Coordinates
M (x, y, z)
Cylindrical Coordinates

ez
dz
z

r • d
ez
dl
微分面积（面积元） dS

dSr

er (r d)dz
dS dS z
edrdz ez (r d
)dr
dz
e
dr
er

x
d
y
电磁场与电磁波
14
微分体积（体积元）
z
r • d
ez
dl
dV dr (rd) dz
电磁场与电磁波
17
球坐标系

r sind
er

R(r, ,)
z dr
d
r d

dl
R1 (r1,1,1 ) e

y

e
d x
电磁场与电磁波
z rsin
r d r d

rsin
y

d
r sin d x
18
微分面积
dS
v dl

evr dr
坐标系： 柱坐标系：
(

,

,
z;
r e
,
r e
,
r ez
)
球坐标系：
(
r,
,

;
er
,
e
,
e
)
微分长度、面积、体积
dl dS dV
电磁场与电磁波
31
电磁场与电磁波
5
一、矢量运算
4、矢量的叉积（叉乘）
r A
r B

r en
AB
sin

AB
ern ：为与矢量A，B成右手螺旋关系的单位矢量
5、矢量的三重积
矢量的标量三重积
r rr A • (B C)
为以A、B、C为边的六面体的体积
r r r rr r rr r 矢量的矢量三重积 A (B C) B( A • C) C( A • B)
x
y
电磁场与电磁波
12
柱面坐标系
z
z平面
顶视图
O
r,, z
er y
r柱面
er y
x

x, y, z
y
er x x
er r
注意：er
,
e
随坐标点位置变动而动
电磁场与电磁波
er , e , ez
右螺旋
13
柱面坐标系中微分长度、面积、体积
d微l分长er度dr（长e度(r元 d）)
电磁场与电磁波
矢量分析
静电场
恒定电场
边值问题
恒定磁场
时变电磁场
平面电磁波的传播
电磁波的反射与折射
波导
电磁波的辐射
电磁场与电磁波
1
第 1 章 矢量分析
主要内容：
标量场和矢量场 坐标系 标量的梯度 矢量的通量、散度、高斯定理 矢量的环量（流）、旋度、斯托克斯定理 亥姆霍兹定理
“三度” “三定理”
电磁场与电磁波
场 如果空间中一个区域内的每一点都有一物理 量的确定值与之对应，则在这个区域构成该物 理量的场。
1. 占有一个空间，客观存在 2. 可以用数学模型来描述 3. 除个别点和表面，物理状态连续
标量场：如温度场 Tr (x, y, z) 矢量场：如静电场 E(x, y, z)
静态场：物理状态与时间无关 动态场：随时间变化而变化——时变场
eerryz ererzsin er cos
r e

r ex
cos

r ey
sin
y er er y er

er x
err errx sin ery cos

ez ez
电磁场与电磁波
o
x 21
三种坐标系坐标单位矢量之间的转换关系
eerer柱rr坐标eerrer系scio与ns球 坐er标erzz c系soins
y
19
dV dr (rd ) (r sin d)

R(r, ,) d
er
z
dr

dl
R1 (r1 ,1 ,1 ) e
x
电磁场与电磁波


e
d
y
20
三种坐标系的坐标单位矢量之间的转换关系
直角坐标系与柱坐标系
r ex

r e
cos

r e
sin
dz
e
dr
er

x
d
y
电磁场与电磁波
15
球坐标系
——Spherical Coordinates