第十一章 第二节 参数方程

第二节参数方程A组基础题组1.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s 为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.解析易知直线l的普通方程为x-2y+8=0.因为点P在曲线C上,所以可设P(2s2,2s),从而点P到直线l的距离d==.当s=时,dmin=.因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值.2.已知曲线C的参数方程为(θ为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C'.(1)求曲线C'的普通方程;(2)若点A在曲线C'上,点D(1,3),当点A在曲线C'上运动时,求AD的中点P的轨迹方程. 解析(1)将代入得曲线C'的参数方程为∴曲线C'的普通方程为+y'2=1.(2)设点P(x,y),A(x0,y),∵D(1,3),且AD的中点为P,∴又点A在曲线C'上,∴(2x-1)2+4(2y-3)2=4,1 / 62 / 6∴动点P 的轨迹方程为(2x-1)2+4(2y-3)2=4.3.(2018合肥第一次质量检测)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1:(θ为参数),在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ-2cos θ=0. (1)求曲线C 2的直角坐标方程;(2)若曲线C 1上有一动点M,曲线C 2上有一动点N,求|MN|的最小值. 解析 (1)由ρ-2cos θ=0得ρ2-2ρcos θ=0. ∵ρ2=x 2+y 2,ρcos θ=x,∴x 2+y 2-2x=0, 即曲线C 2的直角坐标方程为(x-1)2+y 2=1. (2)由(1)可知,圆C 2的圆心为C 2(1,0),半径为1. 设曲线C 1上的动点M(3cos θ,2sin θ), 由动点N 在圆C 2上可得|MN|min =|MC 2|min -1. ∵|MC 2|==,∴当cos θ=时,|MC 2|min =, ∴|MN|min =|MC 2|min -1=-1.4.(2018昆明高三摸底调研)在平面直角坐标系xOy 中,已知倾斜角α的直线l 过点A(2,1).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ,直线l 与曲线C 分别交于P,Q 两点.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|,求直线l 的斜率k. 解析 (1)直线l 的参数方程为(t 为参数). 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2y.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,得t2+(4cos α)t+3=0,由Δ=(4cos α)2-4×3>0,得cos2α>,由根与系数的关系,得t1+t2=-4cos α,t1·t2=3,由参数的几何意义知,|AP|=|t1|,|AQ|=|t2|,|PQ|=|t1-t2|,由题意知,(t1-t2)2=t1·t2,则(t1+t2)2=5t1·t2,得(-4cos α)2=5×3,解得cos2α=,满足cos2α>,所以sin2α=,tan2α=,所以直线l的斜率k=tan α=±.B组提升题组1.(2018课标全国Ⅲ,22,10分)在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l与☉O交于A,B两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.解析(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.当α=时,l与☉O交于两点.当α≠时,记tan α=k,则l的方程为y=kx-.l与☉O交于两点当且仅当<1,解得k<-1或k>1,即α∈或α∈.综上,α的取值范围是.(2)l的参数方程为.设A,B,P对应的参数分别为tA ,tB,tP,则tP=,且tA,tB满足t2-2tsin α+1=0.于是tA +tB=2sin α,tP=sin α.又点P的坐标(x,y)满足3 / 6所以点P的轨迹的参数方程是.2.直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为(1+sin2θ)ρ2=2.(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,若点P为(1,0),求+的值.解析(1)消去参数t得直线l的普通方程为x-y-=0.曲线C的极坐标方程为ρ2+ρ2sin2θ=2,化为直角坐标方程为x2+2y2=2,即+y2=1.(2)将直线l的参数方程代入曲线C:x2+2y2=2,得7t2+4t-4=0.设A,B两点在直线l的参数方程中对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-,t1t2=-,所以+=+===,即+的值为.3.(2018课标全国Ⅰ,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.解析(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.4 / 6当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.4.(2018湖北五校联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(a,1),其参数方程为(t为参数,a∈R).以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cos θ-ρ=0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)已知曲线C1与曲线C2交于A,B两点,且|PA|=2|PB|,求实数a的值.解析(1)∵曲线C1的参数方程为(t为参数,a∈R),∴曲线C1的普通方程为x-y-a+1=0.∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cos θ-ρ=0,∴ρ2cos2θ+4ρcos θ-ρ2=0,又ρcos θ=x,ρ2=x2+y2,∴x2+4x-x2-y2=0,即曲线C2的直角坐标方程为y2=4x.(2)设A,B两点所对应的参数分别为t1,t2,由得t2-2t+2-8a=0.Δ=(-2)2-4(2-8a)>0,即a>0,∴5 / 6根据参数方程中参数的几何意义可知|PA|=|t1|,|PB|=|t2|,∴由|PA|=2|PB|得t1=2t2或t1=-2t2,∴当t1=2t2时,有解得a=>0,符合题意,当t1=-2t2时,有解得a=>0,符合题意.综合上所述,a=或a=.6 / 6。

第十二章 第二节 参数方程课下练兵场1．(2010·南京模拟)过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t(t 为参数)相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．解：曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1ty ＝t －1t的普通方程为x 2－y 2＝4.过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线方程为y ＝33x ＋3， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋3，x 2－y 2＝4消去y 得， 23x 2－2x －7＝0， ∴x 1x 2＝－212.x 1＋x 2＝3，∴AB ＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝217.2．(2009·江苏高考)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝3(t ＋1t )(t 为参数，t >0)．求曲线C 的普通方程．解：因为x 2＝t ＋1t －2，所以x 2＋2＝t ＋1t ＝y3，故曲线C 的普通方程为：3x 2－y ＋6＝0.3．(2009·福建高考)已知直线l ：3x ＋4y －12＝0与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，试判断它们的公共点个数．解：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， 其圆心为C (－1,2)，半径为2. 由于圆心到直线l 的距离d ＝|3×(－1)＋4×2－12|32＋42＝75<2，故直线l 与圆C 的公共点个数 为2.4．已知直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋2t(t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin(θ＋π4)(θ为参数)．(1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线l 和圆C 的位置关系．解：(1)消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为y ＝2x ＋1； ρ＝22sin(θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， 消去参数θ，得⊙C 的直角坐标方程为： (x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)圆心C 到直线l 的距离 d ＝|2－1＋1|22＋12＝255＜2，所以直线l 和⊙C 相交．5．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θy ＝t sin θ(t 为参数，θ为直线l 的倾斜角)，圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ＋12＝0.(1)若直线l 与圆C 相切，求θ的值；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求θ的取值范围．解：因为直线l 的直角坐标方程为y =x tan θ或x =0，圆C 的直角坐标方程为(x -4)2+y 2=4. 由图形可知：(1)当直线l 与圆C 相切时，θ= π6或θ= 5π6；(2)当直线l 与圆C 有公共点时，θ∈[0，π6]∪[5π6，π)．6．设方程⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝3＋sin θ，(θ为参数)表示的曲线为C ，求曲线C 上到原点O 距离最小的点P 的坐标． 解：因为曲线C 的普通方程为 (x －1)2＋(y －3)2＝1.∴曲线C 是圆心为A (1，3)，半径为1的圆． 如图，连结OA 交圆A 于点P ， ∵OA ＝2，PA ＝1.∴P 为OA 的中点，坐标为(12，32)．7．在椭圆x 24＋y 2＝1上求一点P ，使点P 到直线x －y ＋4＝0的距离最小．解：∵点P 在椭圆x 24＋y 2＝1上，可设P (2cos φ，sin φ)，则有d ＝|2cos φ－sin φ＋4|2＝4－sin φ＋2cos φ2＝4－5sin(φ－θ)2.当φ－θ＝π2时，d min ＝42－102.其中cos θ＝15＝55，sin θ＝25＝255.∴P (－455，55)．8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆C 相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π6y ＝1＋t sin π6，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t .(2)把⎩⎨⎧x ＝1＋32ty ＝1＋12t 代入x 2＋y 2＝4，得(1＋32t )2＋(1＋12t )2＝4，即t 2＋(3＋1)t －2＝0. 则点P 到A ，B 两点的距离之积为2.。

第二节参数方程1.曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数. (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).参数方程与普通方程互化的注意点(1)在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性. (2)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程轨迹 普通方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎝⎛⎭⎫α≠π2，点斜式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) [熟记常用结论]经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).若A ，B 为直线l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量.( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、选填题1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上.2.若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)相切，则实数m 的值为( )A.－4或6B.－6或4C.－1或9D.－9或1解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)，得曲线C ：x 2＋(y －m )2＝5，因为直线l 与曲线C 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m －1|22＋12＝5，解得m ＝－4或m ＝6.故选A.3.在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，则其普通方程为____________.解析：依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝04.已知两曲线的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，则它们的交点坐标为________.解析：消去参数θ得普通方程为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)，表示椭圆的一部分.消去参数t 得普通方程为y 2＝45x ，表示抛物线，联立两方程，可知两曲线有一个交点，解得交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.答案：⎝⎛⎭⎫1，255 5.曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1).答案：y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)考点一 参数方程与普通方程的互化 [基础自学过关][题组练透]1.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围. 解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，2 5 ].2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45，当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.[名师微点]将参数方程化为普通方程消参的3种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.考点二 参数方程的应用 [师生共研过关][典例精析](2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点.(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. [解] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k 2＜1， 解得k ＜－1或k ＞1， 即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4＜α＜3π4.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4＜α＜3π4.[解题技法]一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.[过关训练]已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用 [师生共研过关][典例精析](2019·柳州模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (1)求曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程；(2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，求|AP ||AM |·|AN |的值.[解] (1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2 θ4＝1，即ρ2＝364＋5sin 2θ.因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364＋5sin 2θ，曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)由点A ⎝⎛⎭⎫22，π4，得⎩⎨⎧x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，所以A (2,2).因为直线l 过点A (2,2)且倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3(t 为参数)，代入x 29＋y 24＝1可得，314t 2＋(8＋183)t ＋16＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－32＋72331，t 1t 2＝6431，所以|AP ||AM |·|AN |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝4＋9316.[解题技法]参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.[过关训练](2018·合肥质检)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 过点 P (1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA |＋|PB |＝5，求直线l 的倾斜角α.解：(1)由ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y ⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2，故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)由条件可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入圆的方程，有t 2－2t sin α－1＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2sin α， t 1t 2＝－1，|PA |＋|PB |＝|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4sin 2α＋4＝5，解得sin α＝12或sin α＝－12(舍去)，故α＝π6或5π6.[课时跟踪检测]1.设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数). (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围. 解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)， 所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率k ＝52.(2)由圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)，得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2.由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)(斜率存在)， 即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径， 即|5－2k |k 2＋1＜2，解得k ＞2120.即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120，＋∞. 2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率.解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tanα·x ＋2－tan α；当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.3.(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0).(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P (－2,0)，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值.解：(1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)两边同乘以ρ得， 曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a ＞0).由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去t ，得直线l 的普通方程为x －y ＋2＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t代入y 2＝2ax ，得t 2－22at ＋8a ＝0，由Δ＞0得a ＞4，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝22a ，t 1t 2＝8a ， ∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，∴|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，∴(22a )2－4×8a ＝8a ，∴a ＝5.4.(2019·青岛调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|P Q |的最小值及此时P 的直角坐标. 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|P Q |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 5.(2018·辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数).在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：y ＝kx (x ≥0)分别交C 1，C 2于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，当k ∈(1，3]时，求|OA |·|OB |的取值范围.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，可得(x －1)2＋y 2＝cos 2α＋sin 2α＝1，即C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.方程ρcos 2θ＝sin θ可化为ρ2cos 2θ＝ρsin θ (*)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式，可得x 2＝y ， 所以C 2的直角坐标方程为x 2＝y . (2)因为A ，B 异于原点，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1，y ＝kx ，可得A ⎝⎛⎭⎫2k 2＋1，2k k 2＋1；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2，可得B (k ，k 2). 故|OA |·|OB |＝1＋k 2·2k 2＋1·1＋k 2·|k |＝2|k |.又k ∈(1，3]，所以|OA |·|OB |∈(2,23].6.(2019·惠州调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数).以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，求1|PA |＋1|PB |的值. 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t 可得，曲线C 1的普通方程为4x ＋3y －2＝0. 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)由点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，可得点P 的直角坐标为(2，－2)，∴点P 在曲线C 1上.将曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数)代入y ＝x 2，得9t 2－80t ＋150＝0，设t 1，t 2是点A ，B 对应的参数， 则t 1＋t 2＝809，t 1t 2＝503＞0.∴1|PA |＋1|PB |＝|PA |＋|PB ||PA |·|PB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝815. 7.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且l 过点A ，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数).(1)求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值；(2)过点B (－1,1)且与直线l 平行的直线l 1与曲线C 1交于M ，N 两点，求|BM |·|BN |的值. 解：(1)由直线l 过点A ，得2cos ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝a ，故a ＝2，则易得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.由点到直线的距离公式，得曲线C 1上的点到直线l 的距离d ＝|2cos α＋3sin α－2|2＝|7sin (α＋φ)－2|2，⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝233，∴d max ＝7＋22＝14＋222.即曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值为14＋222. (2)由(1)知直线l 的倾斜角为3π4， 则直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝1＋t sin 3π4(t 为参数).易知曲线C 1的普通方程为x 24＋y 23＝1.把直线l 1的参数方程代入曲线C 1的普通方程， 得72t 2＋72t －5＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－107， 根据参数t 的几何意义可知|BM |·|BN |＝|t 1t 2|＝107. 8.(2019·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝m ＋12t (t为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，直线l 与圆C 交于A ，B 两点. (1)若OA ⊥OB ，求直线l 的普通方程；(2)设P (3，1)是直线l 上的点，若|AB |＝λ|PC |，求λ的值.解：(1)消去参数t ，得直线l 的普通方程为x ＋3y ＝3＋3m ，将圆C 的极坐标方程ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6的两边同时乘ρ， 得ρ2＝43ρcos θ＋4ρsin θ，则圆C 的直角坐标方程为(x －23)2＋(y －2)2＝16，所以圆C 的圆心C (23，2)，半径为4，且经过原点O ，数形结合得，若OA ⊥OB ，则直线l 经过圆心C ，即23＋3×2＝3＋3m ，解得m ＝3， 即直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0. (2)由P (3，1)是直线l 上的点，得m ＝1，此时直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)，代入到圆C 的方程(x －23)2＋(y －2)2＝16中，得t 2＋2t －12＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－12，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4＋48＝213， 又|PC |＝2，|AB |＝λ|PC |，所以λ＝13.。

Earlybird课时规范练A 组基础对点练x＝t，x＝cos α，1．已知直线l的参数方程为{y＝mt)(t为参数)，圆C的参数方程为{y＝1＋sin α)(α为参数)．(1)若直线l与圆C的相交弦长不小于2，求实数m的取值范围．(2)若点A的坐标为(2，0)，动点P在圆C上，试求线段PA的中点Q的轨迹方程．x＝t，解析：(1)直线l的参数方程为{y＝mt)(t为参数)，普通方程为y＝mx，x＝cos α，圆C的参数方程为{y＝1＋sin α)(α为参数)，1普通方程为x2＋(y－1)2＝1.圆心到直线l的距离d＝，相交弦长＝2m2＋111－，m2＋11所以2 1－≥2，所以m≤－1 或m≥1.m2＋1(2)设P(cos α，1＋sin α)，Q(x，y)，则1 1x＝(cos α＋2)，y＝(1＋sin α)，2 21 1消去α，整理可得线段PA的中点Q的轨迹方程(x－1)2＋(y－)2＝.2 42．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是x＝1＋t cos α，{y＝t sin α)(t是参数)．(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝14，求直线l的倾斜角α的值．解析：(1)因为ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，所以曲线C的极坐标方程ρ＝4cos θ可化为ρ2＝4ρcos θ，所以x2＋y2＝4x，所以(x－2)2＋y2＝4.x＝1＋t cos α，(2)将{y＝t sin α)代入圆的方程(x－2)2＋y2＝4 得：(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝Earlybird4，化简得 t 2－2t cos α－3＝0.设 A ，B 两点对应的参数分别为 t 1，t 2，t 1＋t 2＝2cos α，则{t 1t 2＝－3，)所以|AB |＝|t 1－t 2|＝ （t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝ 4cos 2α＋12， 因为|AB |＝ 14， 所以 4cos 2α＋12＝ 14.2所以 cos α＝± . 2 因为 α∈[0，π)，π3所以 α＝ 或 α＝ π.4 4 π 3 所以直线的倾斜角 α＝ 或 α＝ π. 4 4x ＝cos α3．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为{y ＝1＋sin α)(α 为参数，α∈R )，π在以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2：ρsin (θ－4)＝ 2.(1)求曲线 C 1 的普通方程与曲线 C 2 的直角坐标方程； (2)若曲线 C 1 和曲线 C 2 相交于 A ，B 两点，求|AB |的值．x ＝cos α，x ＝cos α， 解析：(1)由{y ＝1＋sin α)⇒{y －1＝sin α)⇒x 2＋(y －1)2＝1，π22由 ρsin(θ－ ＝⇒ ρsin θ－ ρcos θ＝ ⇒y －x ＝2，即 C 2：x －y ＋2＝0.4)2222(2)∵直线 x －y ＋2＝0 与圆 x 2＋(y －1)2＝1 相交于 A ，B 两点， 又 x 2＋(y －1)2＝1 的圆心(0，1)，半径为 1，|0－1＋2|2 故圆心到直线的距离 d ＝ ＝ ，12＋（－1）222 2(2 )＝.∴|AB|＝2 12－2B 组能力提升练Earlybirdx ＝3cos θ，4．(2019·合肥模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为{y ＝2sin θ )(θ 为参数)，在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ－2cos θ＝0. (1)求曲线 C 2 的直角坐标方程；(2)若曲线 C 1 上有一动点 M ，曲线 C 2 上有一动点 N ，求|MN |的最小值． 解析：(1)由 ρ－2cos θ＝0 得 ρ2－2ρcos θ＝0， 由 ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，得 x 2＋y 2－2x ＝0， 即曲线 C 2 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)由(1)可知，圆 C 2 的圆心为 C 2(1，0)，半径为 1.设曲线 C 1 上的动点 M (3cos α，2sin α)，易知点 M 在圆 C 2 外， 由动点 N 在圆 C 2 上可得|MN |min ＝|MC 2|min －1. 因 为|MC 2| ＝ （3cos α－1）2＋4sin 2α＝5cos 2α－6cos α＋5＝3165（cos α－ ）2＋55，34 5所以当 cos α＝ 时，|MC2|min ＝ ，554 54 5所以|MN |min ＝|MC 2|min －1＝ －1，即|MN |的最小值为－1.55x ＝ 3sin α－cos α，5．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为{y ＝3－2 3sin αcos α－2cos 2α)(α 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 C 2 的极π2坐标方程为 ρsin(θ－4)＝m .2(1)求曲线 C 1 的普通方程和曲线 C 2 的直角坐标方程； (2)若曲线 C 1 与曲线 C 2 有公共点，求实数 m 的取值范围．解析：(1)曲线C1 的参数方程为x＝3sin α－cos α，{y＝3－2 3sin αcos α－2cos2α，)消去参数，可得y＝x2(－2≤x≤2)，π 2 2 2 2由ρsin(θ－)＝m，得ρsin θ－ρcos θ＝m，所以曲线C2 的直角坐标4 2 2 2 2Earlybird方程为x－y＋m＝0.y＝x2，(2)由{x－y＋m＝0，)可得x2－x－m＝0，∵曲线C1 与曲线C2 有公共点，1 2 1(x－2)－.∴m＝x2－x＝41∵－2≤x≤2，∴－≤m≤6.4。