2020高考数学一轮总复习第6章不等式推理与证明6-6直接证明与间接证明模拟演练文

第六节直接证明与间接证明1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．2．了解间接证明的一种基本方法——反证法，了解反证法的思考过程、特点．知识点一直接证明1．综合法(1)定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的________，最后推导出所要证明的结论______，这种证明方法叫做综合法．(2)框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．2．分析法(1)定义：从____________出发，逐步寻求使它成立的____，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．(2)框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.答案1．(1)推理论证成立 2.(1)要证明的结论充分条件1．判断正误(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( )(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( )(4)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．要证明3＋7<25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )A．综合法 B．分析法C．反证法 D．归纳法答案：B3．已知点A n(n，a n)为函数y＝x2＋1图象上的点，B n(n，b n)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设c n＝a n－b n，则c n与c n＋1的大小关系为________．解析：由题意知，a n＝n2＋1，b n＝n，∴c n＝n2＋1－n＝1n2＋1＋n.显然，c n随着n的增大而减小，∴c n>c n＋1.答案：c n>c n＋1知识点二间接证明反证法：假设原命题________，经过正确的推理，最后得出______，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．答案不成立矛盾4．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是( )A．a，b都不能被5整除B．a，b都能被5整除C．a，b中有一个不能被5整除D．a，b中有一个能被5整除解析：对原命题的结论的否定叙述是：a，b都不能被5整除．答案：A热点一 分析法的应用 【例1】 已知a >0，证明a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.【证明】 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.只需证a 2＋1a 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)．因为a >0，所以⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a －(2－2)>0，所以只需证⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 22≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －2－22，即2(2－2)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≥8－42，只需证a ＋1a≥2.因为a >0，a ＋1a ≥2显然成立(当且仅当a ＝1a＝1时等号成立)，所以要证的不等式成立.【总结反思】(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.已知m >0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .证明：∵m >0，∴1＋m >0.所以要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )·(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证．热点二 综合法的应用【例2】 已知函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝a ＋bx －12x 2＋13x 3，函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点(0,0)处有公共切线．(1)求a ，b ；(2)证明：f (x )≤g (x )． 【解】 (1)f ′(x )＝11＋x ，g ′(x )＝b －x ＋x 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧g 0＝f 0，f ′0＝g ′0，解得a ＝0，b ＝1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－g (x ) ＝ln(x ＋1)－13x 3＋12x 2－x (x >－1)．h ′(x )＝1x ＋1－x 2＋x －1＝－x 3x ＋1.h (x )在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数． h (x )max ＝h (0)＝0，h (x )≤h (0)＝0，即f (x )≤g (x ).【总结反思】综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性.设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)．证明：由题意得，S n ＝na ＋n n －12d .由c ＝0，得b n ＝S nn＝a ＋n －12d .又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a . 从而对于所有的k ，n ∈N *， 有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .热点三 反证法的应用 考向1 证明否定性命题【例3】 设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和． (1)求证：数列{S n }不是等比数列； (2)数列{S n }是等差数列吗？为什么？【解】 (1)证明：若{S n }是等比数列，则S 22＝S 1·S 3，即a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)，∵a 1≠0，∴(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，解得q ＝0，这与q ≠0相矛盾，故数列{S n }不是等比数列．(2)当q ＝1时，{S n }是等差数列．当q ≠1时，{S n }不是等差数列．假设q ≠1时，S 1，S 2，S 3成等差数列，即2S 2＝S 1＋S 3,2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)．由于a 1≠0，∴2(1＋q )＝2＋q ＋q 2，即q ＝q 2，∵q ≠1，∴q ＝0，这与q ≠0相矛盾． 综上可知，当q ＝1时，{S n }是等差数列；当q ≠1时，{S n }不是等差数列. 【总结反思】反证法的原理是“正难则反”，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． 解：(1)当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2， 两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N *)．则2·12q ＝12p ＋12r .所以2·2r －q＝2r －p＋1.①又因为p <q <r ，所以r －q ，r －p ∈N *.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立． 所以假设不成立，原命题得证．考向2 证明“至多”，“至少”，“唯一”性命题【例4】 已知M 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意f (x )∈M ， (ⅰ)方程f (x )－x ＝0有实数根；(ⅱ)函数f (x )的导数f ′(x )满足0<f ′(x )<1.(1)判断函数f (x )＝x 2＋sin x4是不是集合M 中的元素，并说明理由；(2)集合M 中的元素f (x )具有下面的性质：若f (x )的定义域为D ，则对于任意[m ，n ]⊆D ，都存在x 0∈(m ，n )，使得等式f (n )－f (m )＝(n －m )f ′(x 0)成立．试用这一性质证明：方程f (x )－x ＝0有且只有一个实数根．【解】 (1)①当x ＝0时，f (0)＝0，所以方程f (x )－x ＝0有实数根为0； ②f ′(x )＝12＋14cos x ，所以f ′(x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，34，满足条件0<f ′(x )<1.由①②可得，函数f (x )＝x 2＋sin x4是集合M 中的元素．(2)证明：假设方程f (x )－x ＝0存在两个实数根α，β(α≠β)，则f (α)－α＝0，f (β)－β＝0.不妨设α<β，根据题意存在c ∈(α，β)． 满足f (β)－f (α)＝(β－α)f ′(c )．因为f (α)＝α，f (β)＝β，且α≠β，所以f ′(c )＝1. 与已知0<f ′(x )<1矛盾．又f (x )－x ＝0有实数根，所以方程f (x )－x ＝0有且只有一个实数根. 【总结反思】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等.已知f (x )＝x 2＋ax ＋b . (1)求f (1)＋f (3)－2f (2)．(2)求证：|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.解：(1)因为f (1)＝a ＋b ＋1，f (2)＝2a ＋b ＋4，f (3)＝3a ＋b ＋9，所以f (1)＋f (3)－2f (2)＝2.(2)证明：假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则－12<f (1)<12，－12<f (2)<12，－12<f (3)<12. 所以－1<－2f (2)<1，－1<f (1)＋f (3)<1， 所以－2<f (1)＋f (3)－2f (2)<2， 这与f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾， 所以假设错误，即所证结论成立．1．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论．3．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．。