江苏省如东高级中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题 Word版

2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )A ．0.05B ．0.35C ．0.7D ．0.95 2．全称命题“2,54x R x x ∀∈+=”的否定是( )A ．2000,54x R x x ∃∈+=B ．2,54x R x x ∀∈+≠C ．2000,54x R x x ∃∈+≠D ．以上都不正确3.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则乙组数据的中位数为( )A ．6B ．8C ．10D ．144．某程序框图如图所示，若输出的结果是62，则判断框中可以是( ) A ．7?i ≥ B ．6?i ≥ C ．5?i ≥ D ．4?i ≥5．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是圆22680x y x +-+=的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(2,0)-B ．(3,0)-C ．(4,0)-D ．(5,0)- 7．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到 定点A 的距离|PA |1<|的概率为( )A.πB.2π C.4π D ．6π8．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅ 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8二、填空题（每题5分，共6个小题，满分30分） 9．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分 成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为 4、12、8.若用分层 抽样方法抽取6个 城市，则甲组中应抽取的城市数为________．10．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1， 则输出的n 的值为________．11．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示， 据图知，样本数据在[8，10)内的频数为 12.已知点M 是圆224x y +=上任意一点，过点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，则线段MN （包括MN 重合） 的中点的轨迹方程为13.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x轴上，离心率为2．过点1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为 ． 14．有下列命题：①“若0x y +>，则00x y >>且”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若1m ≥，则22(m 1)x m 30mx -+++>的解集是R ”的逆命题； ④“若7a +是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确命题的序号是三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(满分13分)设命题p ：x y c =为R 上的减函数，命题q ：函数2(x)234f x x c =-+>在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求c 的取值范围．第18题图16．（满分13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查，调查问卷共10道题，答题情况如下表所示．(1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率率；(2)从答对题目数小于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．17．（满分13分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD，AC ，22AB BC ==，AC FB ⊥．（1）求证：⊥AC 平面FBC ；（II ）线段AC 的中点为M ，求证EA //平面FDM18（满分14分）.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （Ⅱ）计算甲班的样本方差；(Ⅲ)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.19．(满分14分)某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在[25，55]岁的人群中随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并求,,n a p 的值；(2)从年龄在[40，50)岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率．20.（满分14分）已知椭圆的标准方程为：22221(0)43x y a a a+=>（1）当1a =时，求椭圆的焦点坐标及椭圆的离心率； （2）过椭圆的右焦点2F 的直线与圆222:4(0)C x y a a +=>常数交于,A B 两点，求22|F ||F |A B ⋅的值.2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )A ．0.95B ．0.7C ．0.35D ．0.05解析：“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.答案：D2．全称命题“∀x ∈R ，x 2＋5x ＝4”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋5x 0＝4 B ．∀x ∈R ，x 2＋5x ≠4 C ．∃x 0∈R ，x 20＋5x 0≠4 D ．以上都不正确解析：选C 全称命题的否定为特称命题．3.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则乙组数据的中位数为( )A ．6B ．8C ．10D ．14解析：由甲组数据的众数为14得x ＝y ＝4，乙组数据中间两个数分别为6和14，所以中位数是6＋142＝10.答案：C4．某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．i >6？B ．i >7？C ．i ≥6？D ．i ≥5?解析：根据题意可知该程序运行情况如下： 第1次：S ＝0＋21＝2，i ＝1＋1＝2； 第2次：S ＝2＋22＝6，i ＝3； 第3次：S ＝6＋23＝14，i ＝4； 第4次：S ＝14＋24＝30，i ＝5； 第5次：S ＝30＋25＝62，i ＝6； 第6次：S ＝62＋26＝126，i ＝7；此时S ＝126，结束循环，因此判断框应该是“i >6？”．答案：A5．“a <0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 方程ax 2＋1＝0至少有一个负根等价于x 2＝－1a，故a <0，故选C.6．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是圆22680x y x +-+=的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(2,0)-B ．(3,0)-C ．(4,0)-D ．(5,0)-【解析】圆心坐标为(3,0)，∴c ＝3，又b ＝4，∴5a =. ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)． 【答案】 D7．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|PA |<1的概率为( )A.14B.12C.π4D ．π 解析：如图所示，动点P 在阴影部分满足|PA |<1，该阴影是半径为1，圆心角为直角的扇形，其面积为S ′＝π4，又正方形的面积是S ＝1，则动点P到定点A 的距离|PA |<1的概率为S ′S ＝π4. 答案：C 8．直线l 经过椭圆的一个短轴顶点顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋yb＝1，即bx ＋cy －bc ＝0．由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12．故选B ．二、填空题（每题5分，共6个小题，满分30分）9．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8.若用分层抽样方法抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为________．答案：110．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1， 则输出的n 的值为________．答案：311．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图知，样本数据在[8，10)内的频数为( )A ．38B ．57C ．76D ．95 答案：C12.已知点M 是圆224x y +=上任意一点，过点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，则线段MN （包括MN 重合）的中点的轨迹方程为2214x y += 13.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2．过点1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为_________．【答案】221168x y +=14．有下列命题：①“若x ＋y >0，则x >0且y >0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ”的逆命题； ④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是 ①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(满分13分)设命题p ：x y c =为R 上的减函数，命题q ：函数2(x)234f x x c =-+>在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求c 的取值范围．解：由p ∨q 真，p ∧q 假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可． 若p 真，由y ＝c x为减函数，得0<c <1. .....................3分 当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由不等式2(x 1)22-+≥(x ＝1时取等号)知(x)f 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2 ......................6分若q 真，则42c <，即12c < .......................8分 若p 真q 假，则112c ≤<； .......................10分 若p 假q 真，则0c ≤. ......................12分 综上可得，(]1,0,12c ⎡⎫∈-∞⎪⎢⎣⎭......................13分16．（满分13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查，调查问卷共10道题，答题情况如下表所示．(1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，计算被调查的出租车司机对新法规知晓情况比较好的频率；(2)从答对题目数小于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．解：(1)答对题目数小于9的人数为55，记“答对题目数大于等于9”为事件A ，P (A )＝1－55100＝0.45. .......................6分 （2）记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为事件M ，设答对题目数小于8的司机为A ，B ，C ，D ，E ，其中A ，B 为女司机，任选出2人包含AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，共10种情况，.......................9分（3）至少有一名女出租车司机的事件为AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，共7种 ..12分则P (M )＝710＝0.7. ......13分16．（满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD，AC ，22AB BC ==，AC FB ⊥．（1）求证：⊥AC 平面FBC ；（II ）线段AC 的中点为M ，求证EA //平面FDM第3题图17．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：在△ABC 中，因为AC =，2AB =，1BC =，所以 BC AC ⊥． ………………3分 又因为 AC FB ⊥， 因为BC FB B =所以 ⊥AC 平面FBC ． ………………6分 （Ⅱ）M 为AC 中点时，连结CE ，与DF 交于点N ，连结MN ．因为 CDEF 为正方形，所以N 为CE 中点． ……………8分 所以 EA //MN ． ……………10分 因为 ⊂MN 平面FDM ，⊄EA 平面FDM ， ………12分 所以 EA //平面FDM ． …………13分18（满分14分）.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （Ⅱ）计算甲班的样本方差；(Ⅲ)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率. 规范解答不失分 （Ⅰ）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179:之间， 而乙班身高集中于170180: 之间．因此乙班平均身高高于甲班 ...............4分 （Ⅱ）158162163168168170171179182170.10x ++++++++==...............6分 甲班的样本方差为:222222222221(158170)(162170)(163170)(168170)10(168170)(170170)(171170)(179170)(179170)(182170)57.2.s ⎡=-+-+-+-⎣+-+-+-+-+-+-=...............8分（Ⅲ）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）（181，176）（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）(178, 176) （176，173）共10个基本事件，...............10分而事件A含有4个基本事件；...............12分所以42().105P A ...............14分19．(满分14分)某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并求n，a，p的值；(2)从年龄在[40，50)岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率．解：(1)第二组的概率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以频率组距＝0.35＝0.06.............2分 频率分布直方图如下：............4分第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2， 所以n ＝2000.2＝1 000 .............6分 因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300，所以p ＝195300＝0.65. 第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1 000×0.15＝150.所以a ＝150×0.4＝60 .............8分(2)因为年龄在[40，45)岁的“低碳族”与[45，50)岁的“低碳族”的人数的比为60∶30＝2∶1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40，45)中有4人，[45，50)中有2人．设[40，45)中的4人为a ，b ，c ，d ，[45，50)中的2人为m ，n ，则选取2人作为领队的情况有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，d )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，(m ，n )，共15种， ............10分(3)其中恰有1人年龄在[40，45)岁的情况有(a ，m )，(a ，n )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，共8种， ............12分(4)所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率P ＝815.............14分 20.（满分14分）已知椭圆的标准方程为：22221(0)43x y a a a+=> （1）当1a =时，求椭圆的焦点坐标及离心率；（2）过椭圆的右焦点2F 的直线与圆222:4(0)C x y a a +=>常数交于,A B 两点，证明22|F ||F |A B ⋅为定值. 解：（1）焦点坐标12(1,0),F (1,0)F - ..........2分离心率12e = ..........3分（2）当斜率不存在时11|||F B |F A ===此时212|FA ||F B|3a ⋅= 5分当斜率不存在=时，设1122(x ,y ),B(x ,y )A:()AB y k x a =-由222(x a)x 4y k y a =-⎧⎨+=⎩ 得222222(1k )x 240ak x k a a +-+-= 7分 222212122224,11ak k a a x x x x k k -+==++ 9分11|FA |x a |==-22|F A |x a |==-所以22111212|FA||FB|(1)|x x a(x )a |k x ⋅=+-++ 12分 22222222242(1k )|a |11k a a a k k k -=+-+++23a = 13分 所以 22|F ||F |A B ⋅为定值23a .。

2016届江苏省如东高中高三上学期期中考试数学试题一、填空题1．若集合{12},{32}a A B ==，，，且}2{=B A ，则实数a 的值为________． 【答案】1【解析】试题分析：因为}2{=B A ，所以2{32}22 1.a aB a ∈=⇒=⇒=， 【考点】集合交集【名师点睛】1．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性． 2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．若ααcos 2sin =，则αα22cos 2sin +的值为________． 【答案】65【解析】试题分析：由ααcos 2sin =得tan 2α=，因此22222222sin 2cos tan 2426sin 2cos .sin cos tan 1415αααααααα++++====+++ 【考点】弦化切【名师点睛】一、同角三角函数的基本关系1．平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． 2．商数关系：tan α＝sin cos αα（α≠2π＋k π，k ∈Z ）． 二、1．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin cos αα＝tan α可以实现角α的弦切互化．2．注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α．3．已知命题02,:2≤++∈∃a x x R x p 是真命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 1.a ≤【解析】试题分析：由题意得：440 1.a a ∆=-≥⇒≤ 【考点】命题真假4．已知直线l 过直线02=+-y x 和210x y ++=的交点，且与直线320x y -+=垂直，则直线l 的方程为________．【答案】320x y ++=【解析】试题分析：由题意得：直线l 可设为30x y m ++=，又过直线02=+-y x 和210x y ++=的交点(1,1)-，所以312,m =-=直线l 的方程为320x y ++=【考点】两直线垂直 【名师点睛】在研究直线平行与垂直的位置关系时，如果所给直线方程含有字母系数时，要注意利用两直线平行与垂直的充要条件：（1）l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0（或B 1C 2－B 2C 1≠0）；（2）l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0，这样可以避免对字母系数进行分类讨论，防止漏解与增根． （3与,0l Ax By C ++=平行的直线可设为0Ax By C '++=，与,0l Ax By C ++=垂直的直线可设为0Bx Ay C '-+=5．椭圆221167x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为________． 【答案】5.2【解析】试题分析：横坐标为2的点到右焦点的距离为235(2)242.42a e a e c -=-=-⨯=【考点】椭圆定义6．函数()sin (0)f x x x x π=-≤≤的单调增区间是________．【答案】[,0]6π-【解析】试题分析：因为()s i n 3c o s2s i n ()3f x x x x π==-，所以由22()232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得522()66k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，又0xπ-≤≤，因此单调增区间是[,0]6π-．【考点】三角函数单调区间7．已知函数2()ay x a R x=+∈在1=x 处的切线与直线210x y -+=平行，则a 的值为________． 【答案】0.a =【解析】试题分析：因为22ay x x '=-，所以22,0.a a -==【考点】导数几何意义8．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,)+∞上单调递增，则满足不等式1(lg)10xf f <（）的x 取值范围是________． 【答案】10001x x ><<或 【解析】试题分析：由题意得：1(|l g|)1|lg |l g 1110110xx x xf f x x <⇒<⇒><-⇒>（））或或【考点】函数奇偶性及单调性9．在锐角ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c,8,10a b ==,ABC ∆的面积为ABC ∆的最大角的正切值是________．【答案】【解析】试题分析：由题意得12810sin sin (2233C C C C ππ=⨯⨯⨯⇒=⇒==或舍)，由余弦定理得：22218102810842c =+-⨯⨯⨯=，因此B 角最大，22cos tan B B === 【考点】正余弦定理【名师点睛】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．10．在ABC ∆中，若5,12,||||AB AC AB AC BC ==+= ，则||BA BCBC ⋅的值为________． 【答案】25.13【解析】试题分析：由题意得：AB AC ⊥，因此225.13||||BA BC BA BC BC ⋅==【考点】向量数量积11．已知a 为正实数，函数2()2f x x x a=-+，且对任意的[0,]x a ∈，都有()[,]f x a a ∈-，则实数a 的取值范围为________．【答案】0 2.a <≤【解析】试题分析：当01a <<时，(0),()f a f a a ≤≥-，即22,a a a a -+≥-因此01a <<；当1a ≥时，(0),(1f a f a f a a≤≥-≤，即212,2,a aaa a a -+≥--+≤因此12a ≤≤；综上实数a 的取值范围为0 2.a <≤ 【考点】二次函数最值12．若直线220x y +-=与椭圆221mx ny +=交于点C,D,点M 为CD 的中点，直线OM （O 为原点）的斜率为12，且OC OD ⊥，则m n +=________． 【答案】5.4【解析】试题分析：设112233(,),(,),(,)C x yD x y M x y ，则22211221,1m x n y m xn y +=+=，两式相减得：222212*********()()0()()0(2)(2)()02CD m x x n y y m x x n y y k m x n y -+-=⇒+++=⇒+-=111()0()04.222OM m nk m n n m ⇒+-=⇒+⨯-=⇒=由直线220x y +-=与椭圆2241mx my +=方程消去x 得：218840y y m -+-=，又12121212054()40OC OD x x y y y y y y ⊥⇒+=⇒-++=所以14154140.84m m -⨯-⨯+=⇒=5.4m n += 【考点】直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线与椭圆相交问题解题策略当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长；涉及求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．其中，判别式大于零是检验所求参数的值有意义的依据．13．已知函数21,0,(),2,0x xe x f x ex x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩若函数(())y f f x a =-有四个零点，则实数a 的所有可能取值构成的集合是________．【答案】1(1,1)e + 【解析】试题分析：10,(),()0, 1.xx x x f x xe f x e xe x e '≤=+=+==-因此：当1x ≤-时，1()0,()[0,)f x f x e '≤∈；当10x -<≤时，()[1,f x ∈-+∞1()0,()(0,]f x f x e '>∈；当01x <<时，()(1,0)f x ∈-；当1x ≥时，；(())0()1()2f f x a f x a f x a -=⇒-=--=或，因为函数(())y f f x a =-有四个零点，因此11(0,)a e -∈，实数a 的所有可能取值构成的集合是1(1,1)e + 【考点】函数零点14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,0)A -，点B 是圆22:(2)4C x y -+=上的点，点M 为AB中点，若直线:l y kx =上存在点P ，使得30OPM ∠=，则实数k 的取值范围为________．【答案】22k -≤≤【解析】试题分析：因为点M 为AB 中点，所以112OM CB ==,即点M 轨迹为以原点为圆心的单位圆，当PM 为单位圆切线时，OPM ∠取最大值，即30OPM ∠≥，从而12sin OP OPM =≤∠，因此原点到直线:l y kx =距离不大于2，即|222k ≤⇒-≤≤【考点】直线与圆位置关系【名师点睛】直线与圆位置关系解题策略1．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．2．利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系．3．与圆有关的范围问题，要注意充分利用圆的几何性质答题． 二、解答题15．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ为常数，且0,0,22A ππωϕ>>-<<）的部分图像如图所示．（1）求函数()f x 的解析式 （2）若6(),0,52f παα=<<求(2)12f πα+的值 【答案】（1）)6sin(2)(π-=x x f （2） 【解析】试题分析：（1）求三角函数解析式，一般根据图形结合几何意义求对应参数：由函数最值确定振幅2=A ，由最值点距离确定周期π2=T ，进而确定1=ω，最后根据最值点确定6πϕ-=（2）先由56)(=αf 确定角α满足条件：53)6sin(=-πα，因为)432sin(2)122sin(2)122(ππαπαπα+-=-=+f 2sin(2)cos 2cos(2)sin3434ππππαα=-+-因此由20πα<<得54)6cos(=-πα，从而24sin(2)2sin()cos()36625πππααα-=--=，257)6(sin )6(cos )32cos(22=---=-παπαπα，从而(2)12f πα+=25试题解析：解：（1）由图可知，2=A ，π2=T ，故1=ω，所以，)sin(2)(ϕ+=x x f ， 又2)32sin(2)32(=+=ϕππf ，且22πϕπ<<-，故6πϕ-=．于是，)6sin(2)(π-=x x f ．由56)(=αf ，得53)6sin(=-πα．因为20πα<<，所以54)6cos(=-πα．所以，2524)6cos()6sin(2)32sin(=--=-παπαπα． 257)6(sin )6(cos )32cos(22=---=-παπαπα．所以)432sin(2)122sin(2)122(ππαπαπα+-=-=+f2sin(2)cos 2cos(2)sin 3434ππππαα=-+-=．【考点】三角函数解析式，三角函数求值16．在ABC ∆中，45B ∠=,D 是边BC 上一点，5,3,7AD CD AC === （1）求ADC ∠的值； （2）求BA DA ⋅的值【答案】（1）32π=∠ADC （2）25(34【解析】试题分析：（1）在ADC △中，已知三边求一角，故应用余弦定理：222cos 2AC ADC CD AD CD AD =∠⋅-+，解得21cos -=∠ADC ，32π=∠ADC （2）因为||||cos BA DA BA DA BAD ⋅=⋅∠,而7560451805=--=∠=BAD AD ，,因此只需求边AB，这可由正弦定理解得：ADB AB ABD AD ∠=∠sinsin sin sin AD AB ADB ABD ⇒=⨯∠=∠试题解析：在ADC △中，由余弦定理得：222cos 2AC ADC CD AD CD AD =∠⋅-+．把5=AD ，3=CD ，7=AC 代入上式得21cos -=∠ADC ．因为π<∠<ADC 0，所以32π=∠ADC ．在ADC △中，由正弦定理得：ADB ABABD AD ∠=∠sin sin ．故265sin sin =∠⨯∠=ADB ABD AD AB ．所以25(35cos7524BA DA ⋅=⨯⨯=． 【考点】正余弦定理【名师点睛】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．17．已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于A,B 两点，弦AB 的中点为(0,1)M（1）求实数a 的取值范围以及直线l 的方程;（2）若以AB 为直径的圆过原点O ，求圆C 的方程．【答案】（1）3<a ，1+=x y （2）0242:22=+-++y x y x C 【解析】试题分析：（1）由点与圆位置关系得：弦中点必须在圆内部，即0412<+-a ，所以3<a ．再由圆心与弦中点连线垂直于直线得所求直线斜率，再由点斜式得直线方程：因为1-=CM k ，所以1=l k ．直线l 的方程为1+=x y ． （2）以AB 为直径的圆的圆心为弦AB 的中点(0,1)M ，半径为OM ，因此圆O 方程标准式为2220x y y +-=，两圆公共弦方程为220x y a -+=，与1+=x y 重合，因此2=a ，即圆C 的方程为222420x y x y ++-+=试题解析：解：（1）因为044222>-+a ，所以5<a ． 因为)1,0(M 在圆C 内，所以0412<+-a ，所以3<a ．综上知3<a ．因为弦AB 的中点为)1,0(M ，所以直线CM l ⊥．因为1-=CM k ，所以1=l k ．所以直线l 的方程为1+=x y ．由⎩⎨⎧+==+-++1,04222x y a y x y x 得0322=-+a x ，故231a x -=，232a x --=． 不妨设)123,23(+--a a A ，)123,23(+----aa B ．则3312022a aOA OB a --⋅=-+-=-= ，故2=a ． 故圆0242:22=+-++y x y x C ． 【考点】直线与圆位置关系，圆方程 【名师点睛】（1）若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式．（2）解决直线与圆的问题可以借助圆的几何性质；但也要理解掌握一般的代数法，利用“设而不求”的方法技巧，要充分利用一元二次方程根与系数的关系求解．18．如图，地图上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C ，与地面的接触点为G ．与圆形标志物在同一平面内的地面上点P 处有一个观测点，且PG=50m ．在观测点正前方10m 处（即PD=10m ）有一个高位10m （即ED=10m ）的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A 到F 的圆弧．（1）若圆形标志物半径为25m ，以PG 所在直线为X 轴，G 为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C 和直线PF 的方程；（2）若在点P 处观测该圆形标志的最大视角（即APF ∠）的正切值为3941,求该圆形标志物的半径．【答案】（1）22225)25(:=-+y x C ，020034=+-y x （2）40=r【解析】试题分析：（1）求圆标准方程，只需确定圆心及半径，由题意知圆心为(0,25)，半径为25r =，因此22225)25(:=-+y x C ，求直线PF 的方程实质求过点P 的圆的切线方程，利用点斜式即圆心到直线距离等于半径求解：设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，则25150252=++k k解得34=k ；（2）本题实质为已知圆的切线方程，求圆的半径，同（1）先求出直线PF 的斜率k ：因为394111)tan(tan =+-=∠-∠=∠k k GPA GPF APF ，所以940=k ．再利用圆心到切线距离等于半径求半径：直线PF 方程：)50(940+=x y ，即02000940=+-y x ，所以rr =+-81160020009，40=r试题解析：解：（1）圆22225)25(:=-+y x C ． 直线PB 方程：050=+-y x ．设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，因为直线PF 与圆C 相切，所以25150252=++k k，解得34=k ．所以直线PF 方程：)50(34+=x y ，即020034=+-y x ．设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，圆222)(:r r y x C =-+．因为394111)tan(tan =+-=∠-∠=∠k k GPA GPF APF ，所以940=k ． 所以直线PF 方程：)50(940+=x y ，即02000940=+-y x ．因为直线PF 与圆C 相切，所以rr =+-81160020009，化简得050004522=-+r r ，即0)40)(1252(=-+r r ． 故40=r ．【考点】直线与圆相切【名师点睛】过圆外一点（x 0，y 0）的圆的切线方程的求法（1）几何方法：当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k （x －x 0），由圆心到直线的距离等于半径求解．（2）代数方法：当斜率存在时，设切线方程为y －y 0＝k （x －x 0），即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆方程，得一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出．19．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，F 为椭圆的右焦点，点A,B 分别为椭圆的上下顶点，过点B 作AF 的垂线，垂足为M ．（1）若2=a ，ABM ∆的面积为1，求椭圆方程；（2）是否存在椭圆，使得点B 关于直线AF 对称的点D 仍在椭圆上，若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1222=+y x （2）不存在【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般利用待定系数法，本题难点在于条件“ABM ∆的面积为1”的坐标转化：先求两直线交点M 的横坐标222b ca ，即得三角形的高，因此1222212322==⨯⨯=a c b a c b b S ABC△，又因为2=a ，所以1==c b ．（2）由中点坐标公式得))4(,4(22222a a c b a c b D -，再根据点D 也在椭圆上，得1)4(16242222424=-+b a a c b a c b ，无解，因此不存在试题解析：解：（1）直线b x c b y AF +-=:，直线bx b cy BF -=:．联立可得))2(,2(22222a a c b a c b M -．所以1222212322==⨯⨯=a c b a c b b S ABC△．又因为2=a ，所以1==c b ．所以椭圆方程为1222=+y x ．因为))2(,2(22222a a c b a c b M -，所以))4(,4(22222a a c b a c b D -．代入椭圆方程得1)4(16242222424=-+b a a c b a c b ．化简得012224=+-e e ．因为04<-=∆，所以方程无解．所以不存在这样的椭圆，使得点B 关于直线AF 对称的点D 仍在椭圆上．【考点】椭圆标准方程 【名师点睛】（1）求椭圆的标准方程的方法：①定义法；②待定系数法；③轨迹方程法．（2）确定椭圆标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a 、b 的值．运用待定系数法时，常结合椭圆性质，已知条件，列关于a ，b ，c 的方程． 20．已知函数2()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）若2a =，求函数()f x 的极值；（2）已知函数()f x 在点(1,(1))A f 处的切线为l ，若此切线在点A 处穿过()y f x =的图像（即函数()f x 上的动点P 在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式；（3）若0a >，函数()()g x f x ax =-有且仅有一个零点，求实数a 的值． 【答案】（1）函数)(x f 的极小值为1)1(=f ．（2）2-=a （3）1=a【解析】试题分析：（1）求函数极值，先明确定义域(0,)+∞，再求函数导数：x x x x x x f )1)(1(222)(-+=-='，求出导函数在定义域上的零点1，最后列表分析函数单调性变换规律，确定函数极值（2）由题意得函数()()()h x f x l x =-，（其中()l x 为切线函数）满足1为()0h x '=唯一零点，先表示切线方程：(1)2k f a '==-，)1)(2(1--=-x a y ，构造函数()()()h x f x l x =-，求导函数(2)(1)()x a x h x x +-'=，因此2-=a （3）先分析函数()()g x f x ax =-变化规律，确定其先从正无穷递减到极点，再从极点递增到正无穷，因此函数()()g x f x ax =-有且仅有一个零点的充要条件为对应极点为零点．由于关于极点的方程为超越方程，因此本题应利用函数单调性求解。

2016-2017学年江苏省南通市如东高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．（2015春•安庆期末）不等式x2+x﹣2≤0的解集是{x|﹣2≤x≤1}．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】把不等式x2+x﹣2≤0化为（x﹣1）（x+2）≤0，求出x的取值范围，写出不等式的解集．【解答】解：不等式x2+x﹣2≤0可化为（x﹣1）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤1；∴原不等式的解集是{x|﹣2≤x≤1}．故答案为：{x|﹣2≤x≤1}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，解题时应按照解一元二次不等式的基本步骤进行解答，是基础题．2．（2016•松江区二模）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）【点评】本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题．3．（2016秋•如东县校级期中）椭圆的离心率的值为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出椭圆的长轴与焦距，然后求解离心率即可．【解答】解：椭圆，可得a=2，c=1．所以椭圆的离心率为：．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，基本知识的考查．4．（2016秋•如东县校级期中）已知点A（l，2）在直线x+y+a=0的上方的平面区域，则实数a的取值范围是a＞﹣3．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】转化思想；定义法；不等式．【分析】根据二元一次不等式表示平面区域以及点与不等式的关系进行求解即可．【解答】解：∵点A（l，2）在直线x+y+a=0的上方的平面区域，即x+y+a＞0，∴1+2+a＞0，即a＞﹣3，故答案为：a＞﹣3【点评】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，根据点与不等式的关系是解决本题的关键．5．（2016秋•如东县校级期中）函数y=2+4x+（x＞0）的最小值为6．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】由题意x＞0，运用基本不等式，即可得到所求最小值和等号成立的条件．【解答】解：函数y=2+4x+（x＞0）≥2+2=6，当且仅当4x=，即x=时，取得最小值6．故答案为：6．【点评】本题考查函数的最小值的求法，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．6．（2012秋•南京期末）双曲线的渐近线方程为y=±3x．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程．【解答】解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得的渐近线方程为，化简可得y=±3x，故答案为：y=±3x．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．7．（2016秋•如东县校级期中）己知实数x，y满足条件，则x+y的取值范围是[2，7]．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；数形结合；函数思想；转化思想；导数的综合应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=x+y的最小值．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A（1，1）时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小，为z=1+1=2，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（5，2）代入目标函数z=x+y得z=5+2=7．故2≤z≤7．故答案为：[2，7]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．8．（2016秋•如东县校级期中）不等式ax2+bx+c＞0的解集是（1，2），则不等式cx2+bx+a＞0的解集是{x|＜x＜1}．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】通过不等式的解集，推出不等式对应方程的根，然后求出所求不等式的解集．【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是（1，2），所以，即，不等式cx2+bx+a＞0可化为2ax2﹣3ax+a＞0，即2x2﹣3x+1＜0，解得＜x＜1，所以该不等式的解集为{x|＜x＜1}．故答案为：{x|＜x＜1}．【点评】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．9．（2016秋•如东县校级期中）设F1，F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上一点，若△F1F2P 为直角三角形，该三角形的面积为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据P点为椭圆的上下顶点时，∠F1F2P取到最大值即可判断出∠F1F2P=90°，求得P点的纵坐标，从而求出△PF1F2的面积．【解答】解：当P点为椭圆的上顶点时，△F1F2P为直角三角形，∠F1F2P最大，根据椭圆的标准方程可求得∠F1F2P=90°；∴∠F1PF2不可能是直角；∴只能是PF2⊥x轴；椭圆的右焦点（3，0），2c=6，|F2P|==．三角形的面积为：=/故答案为：．【点评】考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点及顶点，以及∠F1F2P取到最大值是解题的关键．10．（2016秋•如东县校级期中）已知正数x，y满足，若x+y+a＞0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣3﹣2，+∞）．【考点】函数恒成立问题．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】x+y+a＞0恒成立⇔﹣a＜（x+y）min，利用基本不等式可求得（x+y）min=3+2，从而可得实数a的取值范围．【解答】解：∵x＞0，y＞0，，∴x+y+a＞0恒成立⇔﹣a＜（x+y）min，∵x+y=（x+y）（）=3++≥3+2（当且仅当x=2+，y=+1时取“=”），∴（x+y）min=3+2，∴﹣a＜3+2，∴a＞﹣3﹣2．故答案为：（﹣3﹣2，+∞）．【点评】本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与基本不等式的应用，分离参数a后求得（x+y）=3+2是关键，属于中档题．min11．（2016秋•如东县校级期中）过椭圆内一点M（l，l）的直线l交椭圆于两点，且M为线段AB的中点，则直线l的方程为3x+4y﹣7=0．【考点】直线与椭圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】通过直线l过点M（1，1）可设其方程为x=m（y﹣1）+1，并与椭圆方程联立，利用韦达定理及中点坐标公式计算即得结论．【解答】解：依题意，设直线l方程为：x=m（y﹣1）+1，联立，消去x整理得：（4+3m2）y2﹣6m（m﹣1）y+3m2﹣6m﹣9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，∵且线段AB的中点为M（1，1），∴=2，即m=﹣，∴直线l方程为x=﹣（y﹣1）+1，即3x+4y﹣7=0，故答案为：3x+4y﹣7=0．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．12．（2016秋•如东县校级期中）已知焦点均在x轴上的双曲线C1，与双曲线C2的渐近线方程分别为y=土k1x 与y=±k2x，记双曲线C1的离心率e1，双曲线C2的离心率e2，若k1k2=1，则e1e2的最小值为2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意设出两双曲线方程，求得e1，e2，然后利用基本不等式求得e1e2的最小值．【解答】解：由题意可设C1：（a＞0，b＞0），C2：（a＞0，b＞0），则，，∴．（当且仅当a=b时等号成立）．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．13．（2016秋•如东县校级期中）若圆x2+（y﹣2）2=1与椭圆+=1的三个交点构成等边三角形，则该椭圆的离心率的值为．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】数形结合；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意可知：圆x2+（y﹣2）2=1圆心为（0，2），半径为1，椭圆+=1的焦点在y轴上，则A（3，0），则=3，则n=9，由等边三角形ABC为圆x2+（y﹣2）2=1的内接正三角形，AC=BC=AB=，求得DC=，AD=，即可求得C点坐标，代入即可求得椭圆方程，即可求得椭圆的离心率的值．【解答】解：圆x2+（y﹣2）2=1圆心为（0，2），半径为1，则A（3，0），则椭圆+=1焦点在y轴上，即=3，则n=9，等边三角形ABC为圆x2+（y﹣2）2=1的内接正三角形，则AC=BC=AB=，∴DC=，AD=，∴OD=OA﹣AD=∴C点坐标为：（，），代入椭圆方程：，解得：m=1，∴椭圆方程：，即a=3，b=1，c=2，∴椭圆的离心率e==，故答案为：．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法及简单几何性质，考查圆的内接正三角的性质，考查数形结合思想，属于中档题．14．（2016秋•如东县校级期中）已知f（x）=，若不等式f2（x）﹣mf（x）＜0只有一个整数解，则实数m的取值范围是（﹣2，﹣1]∪[1，2）．【考点】分段函数的应用．【专题】综合题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作出函数f（x）的图象，根据不等式f2（x）﹣mf（x）＜0只有一个整数解，等价f（x）•（f （x）﹣m））＜0，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出函数f（x）的图象如图：不等式f2（x）﹣mf（x）＜0等价于f（x）（f（x）﹣m）＜0，当m＞0时，0＜f（x）＜m，不等式f2（x）﹣mf（x）＜0只有一个整数解，结合图象，可得1≤m＜2当m＜0时，m＜f（x）＜0，不等式f2（x）﹣mf（x）＜0只有一个整数解，结合图象，可得﹣2＜m≤﹣1综上所述m的取值范围为（﹣2，﹣1]∪[1，2），故答案为：（﹣2，﹣1]∪[1，2）【点评】本题主要考查不等式的解集，作出函数f（x）的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、解答题：本大题共6小题.共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2016秋•如东县校级期中）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）焦点坐标为（，0），准线方程为x=的椭圆；（2）过点（，2），渐近线方程为y=±2x的双曲线．【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】转化思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．（1）由椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为：（a＞b＞0），由c=，x=±=，【分析】求得a2=4，b2=a2﹣c2=2，即可求得椭圆的标准方程；（2）由双曲线渐近线方程为y=±2x，设双曲线的方程为：（λ≠0），将点（，2）代入双曲线方程，即可求得λ的值，即可求得双曲线方程．【解答】解：（1）由焦点坐标为（，0），可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为：（a ＞b＞0），则c=，由椭圆的准线方程为：x=±=，即a2=4，由b2=a2﹣c2=4﹣2=2，故椭圆的标准的标准方程为：；（2）由双曲线渐近线方程为y=±2x，则设双曲线的方程为：（λ≠0），由双曲线经过点（，2），代入可得：2﹣=λ，解得：λ=1，双曲线的方程为：，∴双曲线的标准方程方程为：．【点评】本题考查椭圆及双曲线的标准方程及简单几何性质，考查曲线方程的求法，考查待定系数法的应用，属于基础题．16．（14分）（2016秋•如东县校级期中）已知函数f（x）=x2+（1﹣a）x+（1﹣a）．a∈R．（1）当a=4时，解不等式f（x）≥7；（2）若对P任意的x∈（﹣1，+∞），函数f（x）的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）当a=4时，转化为x2﹣3x﹣10≥0解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在x轴上方转化为f（x）≥0（x＞﹣1）恒成立，x2+x+1≥a（x+1）在（﹣1，+∞）恒成立，再分离参数∴a≤，求解．【解答】解：当a=4是，f（x）=x2﹣3x﹣3≥7⇒x2﹣3x﹣10≥0∴x≥5或x≤﹣2．故不等式解集为{x|x≥5或x≤﹣2}．（2）∵x∈（﹣1，+∞）时，函数f（x）的图象恒在x轴上方，∴f（x）=x2+（1﹣a）x+（1﹣a）≥0⇒x2+x+1≥a（x+1）∵x＞﹣1∴x+1＞0∴a≤∵≥当且仅当x+1=，即x=0时取等号．∴a≤1．【点评】本题考查了解一元二次不等式，恒成立问题的转化思想，属于中档题．17．（14分）（2016秋•如东县校级期中）已知椭圆曲线方程为，两焦点分别为F1，F2．（1）若n=﹣1，过左焦点为F1且斜率为的直线交圆锥曲线于点A，B，求△ABF2的周长．（2）若n=4，P圆锥曲线上一点，求PF1•PF2的最大值和最小值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）求出|AB|，利用双曲线的定义，即可求△ABF2的周长．（2）若n=4，P圆锥曲线上一点，PF1+PF2=4，设PF1=x，x∈[2﹣，2+]，PF1•PF2=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+4求，即可PF1•PF2的最大值和最小值．【解答】解：（1）若n=1，方程为x2﹣y2=1，则直线AB的方程为y=（x+）．联立x2﹣y2=1，可得2x2+6x+7=0，∴|AB|==4，据双曲线定义，2a=|AF2|﹣|AF1|=|BF2|﹣|BF1|，∴4a=|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）=4，∴|AB|+|AF2|+|BF2|=12；（2）若n=4，方程为=1，∴PF1+PF2=4，设PF1=x，x∈[2﹣，2+]，∴PF1•PF2=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+4，∴PF1•PF2的最大值为4，最小值为1．【点评】本小题主要考查椭圆的定义，双曲线的定义、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．18．（16分）（2016秋•如东县校级期中）为迎接“双十一”活动，某网店需要根据实际情况确定经营策略．（1）采购员计划分两次购买一种原料，第一次购买时价格为a元/个，第二次购买时价格为b元/个（其中a≠b）．该采购员有两种方案：方案甲：每次购买m个；方案乙：每次购买n元．请确定按照哪种方案购买原料平均价格较小．（2）“双十一”活动后，网店计划对原价为100元的商品两次提价，现有两种方案：方案丙：第一次提价p，第二次提价q；方案丁：第一次提价，第二次提价，（其中p≠q）请确定哪种方案提价后价格较高．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；方程思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】（1）求出方案甲、乙的平均价格，作差，即可进行比较；（2）求出方案丙、定的价格，作差，即可进行比较．【解答】解：（1）方案甲平均价格为=，方案乙平均价格为=，∵﹣=＞0，∴方案乙平均价格较小；（2）方案丙：第一次提价p，第二次提价q，则价格为100（1+p）（1+q），方案丁：第一次提价，第二次提价，则价格为，∵100（1+p）（1+q）﹣=﹣100＞0，∴按照方案丁提价后的价格较高．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查作差方法的运用，属于中档题．19．（16分）（2016秋•如东县校级期中）已知函数f（x）=tx，（x∈R）．（1）若t=ax+b，a，b∈R，且﹣1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，求点（a，b）的集合表示的平面区域的面积；（2）若t=2+，（x＜1且x≠0），求函数f（x）的最大值；（3）若t=x﹣a﹣3（a∈R），不等式b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）≤a+4（b，c∈R）的解集为[﹣1，5]，求b，c的值．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意可得﹣1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，运用点（a，b）的集合表示的平面区域为矩形，由平行直线间的距离公式，即可得到所求面积；（2）运用基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，即可得到所求最大值；（3）运用二次不等式的解集，可得对应方程的解，运用韦达定理可得a=1，再由不等式b2+c2﹣bc﹣3b ﹣1≤f（x）的最小值，结合判别式非负，可得b=2，进而得到c的不等式，求得c=1．【解答】解：（1）当t=ax+b时，f（x）=ax2+bx，由﹣1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，可得﹣1≤a﹣b≤2，2≤a+b≤4，由两平行直线x﹣y=2和x﹣y=﹣1的距离为，两平行直线x+y=2和x+y=4的距离为，可得点（a，b）的集合表示的平面区域（矩形）的面积为×=3；（2）若t=2+，（x＜1且x≠0），则f（x）=2x+（x＜1且x≠0），由2x+=[2（x﹣1）+]+2=﹣[2（1﹣x）+]+2≤﹣2+2=2﹣2，当且仅当2（1﹣x）=，即x=1﹣时，等号成立，则函数的最大值为2﹣2；（3）若t=x﹣a﹣3（a∈R），则f（x）=x2﹣（a+3）x，f（x）≤a+4（b，c∈R）的解集为[﹣1，5]，即x2﹣（a+3）x﹣（a+4）≤0的解集为[﹣1，5]，即﹣1，5为方程x2﹣（a+3）x﹣（a+4）=0的两根，可得﹣1+5=a+3，﹣1×5=﹣（a+4），解得a=1；再由不等式b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）≤a+4（b，c∈R）的解集为[﹣1，5]，可得b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f（x）的最小值，而f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4的最小值为﹣4，则b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤﹣4，即b2+c2﹣bc﹣3b+3≤0，记g（c）=c2﹣bc+b2﹣3b+3，则△=b2﹣4（b2﹣3b+3）≥0，即﹣3（b﹣2）2≥0，但﹣3（b﹣2）2≤0，则b=2；即有4+c2﹣2c﹣6+3≤0，即c2﹣2c+1≤0，即（c﹣1）2≤0，但（c﹣1）2≥0，即c=1．【点评】本题考查函数的最值的求法，以及不等式的解法和应用，注意运用二次函数和二次方程及不等式的关系，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20．（16分）（2016秋•如东县校级期中）己知椭圆（m＞n＞0）的离心率e的值为，右准线方程为x=4．如图所示，椭圆C左右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线交椭圆C于M，N，直线AM，MB交于点P．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点P（4，），直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，求．（3）求证点P在一条定直线上．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；压轴题；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆C的离心率为，右准线的方程为x=4，建立方程，求出几何量，可得椭圆C的方程；（2）利用A，P点，求出直线AP，与椭圆方程求解M的坐标，直线MF与椭圆联立求出N的坐标，可得AN，BM的斜率分别为k1，k2，可求的值．（3）设出MN的直线方程y=k（x﹣1），利用设而不求的思想，M（x1，y1），N（x2，y2），表示出AN直线，BM直线的方程．AN直线与BM直线联立方程求解p的坐标，可得P在一条定直线上．【解答】解：（1）∵椭圆（a＞b＞0）的离心率e的值为，即，右准线方程为x=4，即解得：a=2，c=1，∵a2=b2+c2∴b=．故得椭圆的标准方程为：．（2）点P（4，），A（﹣2，0），故得直线AP方程为y=，与椭圆方程联立，求解M的坐标为（0，），那么可得MN直线方程为y=1﹣3x，与椭圆方程联立，求解N的坐标为（，），那么AN的斜率为k1=，BM的斜率k2=，则=．（3）设斜率存在的MN的直线方程为y=k（x﹣1），利用设而不求的思想，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆方程联立，可得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，那么：…①，…②由A，M的坐标可得直线AM的方程为，由B，N的坐标可得直线BN的方程为，4直线AM与直线BN联立，可得：，∴…③，将①②代入③解得：x=4．故点P在直线x=4上．当k不存在时，经验证，点P在直线x=4上满足题意．【点评】本题考查了与椭圆的标准方程的求法，椭圆与直线的关系的运用能力和计算能力，考查了数学转化思想方法，综合能力强，计算量大，属于难题，压轴题．三、(加试)解答题（共4小题，满分0分）21．（2016秋•如东县校级期中）已知圆F1：（x+1）2+y2=1，圆F2：（x﹣1）2+y2=25，若动圆C与圆F1外切，且与圆F2内切，求动圆圆心C的轨迹方程．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据两圆的方程，算出它们的圆心与半径，设动圆的半径为R，根据两圆相切的性质证出：|F1C|+|F2C|=r1+r2=1+5=6（定值），从而得到圆心C在以F1、F2为焦点的椭圆上运动，结合题意算出a、b 之值，可得动圆圆心的轨迹方程．【解答】解：∵圆F1的方程为：（x+1）2+y2=1，∴圆F1的圆心为（﹣1，0），半径r1=1；同理圆R2的圆心为（1，0），半径r2=5．设动圆的半径为R，则|F1C|=r1+R，|F2C|=r2﹣R，两式相加得：|F1C|+|F2C|=r1+r2=1+5=6（定值），∴圆心C在以F1、F2为焦点的椭圆上运动，由2a=6，c=2，得a=3，b=2，∴椭圆方程为=1．即动圆圆心C的轨迹方程为：=1．【点评】本题求动点的轨迹方程，着重考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系、平行线之间的距离公式，属于中档题．22．（2016秋•如东县校级期中）在△ABC中，B（﹣3，0），C（3，0），直线AB，AC的斜率之积，求顶点A的轨迹．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】因为直线AB、AC的斜率存在，所以先求出直线AB，AC的斜率，再根据斜率之积为，即可得到动点A的轨迹方程．【解答】解：设A（x，y），则k AB=，k AC=，（x≠±3）．由k AB•k AC=•=化简可得=1，所以动点A的轨迹方程为=1，（x≠±3）．【点评】本题考查求点的轨迹方程的方法，斜率公式，注意x≠±3，此处是易错点，属于中档题．23．（2016秋•如东县校级期中）己知F为抛物线y2=x的焦点，点P为抛物线上的动点，P到抛物线准线的距离为d．（1）若，求PF+PA域最小值；（2）若，求PB+d的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）在抛物线内部，PF+PA=d+PA≥﹣（﹣）=，可得结论；（2）在抛物线的外部，PB+d=PPF≥BF=2，可得结论．【解答】解：（1）∵在抛物线内部，∴PF+PA=d+PA≥﹣（﹣）=，∴PF+PA的最小值为；（2）∵在抛物线的外部，∴PB+d=PPF≥BF=2，∴PB+d的最小值为2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．24．（2016秋•如东县校级期中）己知抛物线若y2=2px过点P（1，2）．（1）求实数p的值；（2）若直线若l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），两点，且y1y2=﹣4，求证直线l过定点并求出该点的坐标．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；演绎法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用抛物线若y2=2px过点P（1，2），代入计算，可得结论；（2）设AB：x=my+b，代入抛物线方程，运用韦达定理，结合条件，可得b=1，即可得到定点（1，0）．【解答】（1）解：∵抛物线若y2=2px过点P（1，2），∴4=2p，∴p=2；（2）证明设AB：x=my+b，代入抛物线方程y2=4x，可得y2﹣4my﹣4b=0，y1y2=﹣4b，又y1y2=﹣4，即有b=1，即有x=my+1，则直线AB恒过定点（1，0）．【点评】本题考查抛物线的方程的运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及直线恒过定点的求法，属于中档题．。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.若集合{}2,1=A ，{}a B 2,3=，且{}2=B A ，则实数a 的值为______. 2.若ααcos 2sin =，则αα22cos 2sin +的值为______.3.已知命题02,:2≤++∈∃a x x R x p 是真命题，则实数a 的取值范围是_______.4.已知直线l 过直线02=+-y x 和012=++y x 的交点，且与直线023=+-y x 垂直，则直线l 的方程为_______.5.椭圆171622=+y x 上横坐标为2的点到右焦点的距离为_____.6.函数)0(cos 3sin )(≤≤--=x x x x f π的单调增区间是______.7.已知函数)(2R a xax y ∈+=在1=x 处的切线与直线012=+-y x 平行，则a 的值为_______.8.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间),0[+∞上单调递增，则满足不等式)10(lg)1(xf f <的x 的取值范围是_______. 9.在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，8=a ，10=b .ABC △的面积为320，则ABC △的最大角的正切值是______.10.在ABC △中，若5=AB ，12=AC ，AB AC BC +=，则BA BC BC⋅的值为______.11.已知a 为正实数，函数a x x x f +-=2)(2，且对任意的],0[a x ∈，都有],[)(a a x f -∈，则实数a 的取值范围为______.12.若直线022=-+y x 与椭圆122=+ny mx 交于点C ，D ，点M 为CD 的中点，直线OM（O 为原点）的斜率为21，且OD OC ⊥，则=+n m _______. 13.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=.0,2,0,1)(2x x x x exe x f x 若函数))((a x f f y -=有四个零点，则实数a 的所有可能取值构成的集合是_______.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点)0,2(-A ，点B 是圆4)2(:22=+-y x C 上的点，点M 为AB 的中点，若直线k kx y l 5:-=上存在点P ，使得 30=∠OPM ，则实数k 的取值范围为______.二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分）已知函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中A ，ω，ϕ为常数，且0>A ，0>ω，22πϕπ<<-）的部分图象如图所示. （1）求函数)(x f 的解析式； （2）若56)(=αf ，20πα<<，求)122(πα+f 的值.16.（本小题满分14分）在ABC △中， 45=∠B ，D 是边BC 上一点，5=AD ，3=CD ，7=AC . （1）求ADC ∠的值； （2）求⋅的值.（第15题）已知直线l 与圆042:22=+-++a y x y x C 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为)1,0(M . （1）求实数a 的取值范围以及直线l 的方程； （2）若以为直径的圆过原点O ，求圆C 的方程.18.（本小题满分16分）如图，地面上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C ，与地面的接触点为G .与圆形标志物在同一平面内的地面上点P 处有一个观测点，且m PG 50=.在观测点正前方m 10处（即m PD 10=）有一个高为m 10（即m ED 10=)的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A 到F 的圆弧.（1）若圆形标志物半径为m 25，以PG 所在直线为x 轴，G 为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C 和直线PF 的方程；（2）若在点P 处观测该圆形标志的最大视角（即APF ∠)的正切值为3941，求该圆形标志物的半径. GEDPACF第18题已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，F 为椭圆的右焦点，点A ，B 分别为椭圆的上下顶点，过点B 作AF 的垂线，垂足为M . （1）若2=a ，ABM △的面积为1，求椭圆方程；（2）是否存在椭圆，使得点B 关于直线AF 对称的点D 仍在椭圆上.若存在，求椭圆的离心率的值；若不存在，说明理由.20.(本小题满分16分）已知函数x a x x f ln )(2-=.(R a ∈) （1）若2=a ，求函数)(x f 的极值；（2）已知函数)(x f 在点))1(,1(f A 处的切线为l .若此切线在点A 处穿过)(x f y =的图像（即函数)(x f 上的动点P 在点A 附近沿曲线)(x f y =运动，经过点A 时从l 的一侧进入另一侧）.求函数)(x f 的表达式；（3）若0>a ，函数ax x f x g -=)()(有且只有一个零点，求实数a 的值.x第19题数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题10分共40分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1.已知圆152:22=++x y x C ，M 是圆C 上的动点，)0,1(N ，MN 的垂直平分线交CM 于点P ，求点P 的轨迹方程.2.已知函数)0)(3sin()(πϕϕ<<+=x x f ，)(x f '为)(x f 的导函数.若)()()(x f x f x g '+=为奇函数，求ϕ的值.3.已知P 是ABC △内一点，且满足条件32=++，设Q 为CP 的延长线与AB 的交点，令=，用表示.4.已知)(11ln )(R a xaax x x f ∈--+-=. （1）当210<<a 时，求函数)(x f 的单调区间； （2）设42)(2+-=bx x x g .当41=a 时，若对任意],1[e ex ∈，存在]2,1[2∈x ，使)()(21x g x f =，求实数b 取值范围.数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.62.563.]1,(-∞ 4.023=++y x 5.256.]0,6[π-7.0 8.),100()1,0(+∞ 9.32510.1325 11.]2,0( 12.45 13.)11,1(e+ 14.]2,2[-二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分14分） 解：（1）由图可知，2=A ，π2=T ，故1=ω，所以，)sin(2)(ϕ+=x x f ，又2)32sin(2)32(=+=ϕππf ，且22πϕπ<<-，故6πϕ-=.于是，)6sin2)(π-=x x f . ...........................................................................................6分 （2）由56)(=αf ，得53)6sin(=-πα. 因为20πα<<，所以54)6cos(=-πα. .......................................................................8分 所以，2524)6cos()6sin(2)32sin(=--=-παπαπα. 257)6(sin )6(cos )32cos(22=---=-παπαπα. ...................................................6分 所以)432sin(2)122sin(2)122(ππαπαπα+-=-=+f252314sin )32cos(24cos )32sin(2=-+-=ππαππα. ...........................................14分 16.（本小题满分14分）（1）在ADC △中，由余弦定理得：222cos 2AC ADC CD AD CD AD =∠⋅-+. 把5=AD ，3=CD ，7=AC 代入上式得21cos -=∠ADC . 因为π<∠<ADC 0，所以32π=∠ADC . ....................................................................7分（2）在ADC △中，由正弦定理得：ADBABABD AD ∠=∠sin sin .故265sin sin =∠⨯∠=ADB ABD AD AB . 所以4)33(2575cos 5265-=⨯⨯=⋅ . .......................................................14分 17.（本小题满分14分）解：（1）因为044222>-+a ，所以5<a .因为)1,0(M 在圆C 内，所以0412<+-a ，所以3<a . 综上知3<a . ......................................................................................3分 因为弦AB 的中点为)1,0(M ，所以直线CM l ⊥. 因为1-=CM k ，所以1=l k . 所以直线l的方程为1+=x y . ...........................................................................7分（2）由⎩⎨⎧+==+-++1,04222x y a y x y x 得0322=-+a x ，故231a x -=，232ax --=.不妨设)123,23(+--aa A ，)123,23(+----aa B . ........................................10分 则0223123=-=--+--=⋅a aa ，故2=a . ........................................13分故圆0242:22=+-++y x y x C . .........................................................................14分 18.（本小题满分16分）解：（1）圆22225)25(:=-+y x C . 直线PB 方程：050=+-y x .设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，因为直线PF 与圆C相切，所以25150252=++kk ，解得34=k . ...........................6分 所以直线PF 方程：)50(34+=x y ，即02034=+-y x . ........................................8分（2）设直线PF 方程：)0)(50(>+=k x k y ，圆222)(:r r y x C =-+. 因为394111)tan(tan =+-=∠-∠=∠k k GPA GPF APF ，所以940=k . ....................10分 所以直线PF 方程：)50(940+=x y ，即02000940=+-y x . 因为直线PF 与圆C相切，所以r r =+-81160020009， .......................................13分化简得050004522=-+r r ，即0)40)(1252(=-+r r . 故40=r . .......................................................................................................16分 19.（本小题满分16分） 解：（1）直线b x c b y AF +-=:，直线b x bcy BF -=:. 联立可得))2(,2(22222aa cb ac b M -. 所以1222212322==⨯⨯=acb ac b b S ABC △. 又因为2=a ，所以1==c b .所以椭圆方程为1222=+y x . .............................................................................................8分（2）因为))2(,2(22222a a c b a c b M -，所以))4(,4(22222a a c b a c b D -. 代入椭圆方程得1)4(16242222424=-+b a a c b a c b .化简得012224=+-e e . ................................................................................................13分 因为4<-=∆，所以方程无解. ..............................................................................15分所以不存在这样的椭圆，使得点B 关于直线AF 对称的点D 仍在椭圆上. ..................16分 20.（本小题满分16分）（1）当2=a 时，函数x x x f ln 2)(2-=. 因为xx x x x x f )1)(1(222)(-+=-='， 所以函数)(x f 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增. 所以函数)(x f 的极小值为1)1(=f . .................................................................................4分 （2）因为xax x f -='2)(，所以a f -='2)1(. 所以切线方程为)1)(2(1--=-x a y ，即1)1)(2(+--=x a y . 构造函数1)2(ln ]1)2[()()(2+--+-=-+--=a x a x a x a x a x f x h .因为xx a x x a x a x a x a x x h )1)(2()2(2)2(2)(2-+=--+=-+-='， 且)1(='h ，所以12=-a，所以2-=a . ....................................................................10分（3）因为ax x a x x g --=ln )(2，所以xaax x a x a x x g --=--='222)(.因为0>a ，所以令0)(='x g 可得4820a a a x ++=.所以函数)(x f 在),0(0x 上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增， 所以函数)(x f 的极小值为0)(0=x f .可得0ln 0020=--ax x a x ，02020=--a ax x . 联立可得1ln 200=+x x . ..............................................................................................14分 考查函数x x y +=ln 2，可知012>+='xy ，故其在),0(+∞上单调递增.又因为1=x 时111ln 2=+=y ，故1ln 200=+x x 有唯一解10=x .代入可得1=a . ..............................................................................................................16分2016届高三年级第二次学情检测数学（加试）参考答案1.解：由题有NC PC MP PC NP >=+=+4，故点P 的轨迹为以C 、N 为焦点，长轴长为4的椭圆. .....................................5分所以点P 的轨迹方程为13422=+y x . ...............................................................................10分2.解：因为)3cos(3)(ϕ+='x x f ，所以)33sin(2)3cos(3)3sin()(πϕϕϕ++=+++=x x x x g . .........................3分因为)(x g 为奇函数，所以3t a n-=ϕ. ......................................................................7分因为πϕ<<0，所以32πϕ=. ..............................................................................10分3.解：+= ，+=，3)(2)(=++++∴.323=+++∴.又B Q A ,, 三点共线，Q P C ,,三点共线，∴令BQ AQ λ=，QP CP μ=.323=+++∴CP BQ QP BQ μλ，)33()2(=+++μλ. ......................6分又BQ ，QP 为不共线的向量，20,330.λμ+=⎧∴⎨+=⎩解得2λ=-，1μ=-. ...............................................................................................8分CP QP PQ ∴=-=，故22CQ CP PQ CP p =+==. .......................................10分4.解：（1）)0(11ln )(>--+-=x xa ax x x f ， )0(111)(222>-++-=-+-='x xa x ax x a a x x f ， 令)0(1)(2>-+-=x a x ax x h ，由0)(='x h ，即012=-+-a x ax ，解得11=x ，112-=a x . 当210<<a 时，0111>>-a. )1,0(∈x 时，0)(>x h ，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减；)11,1(-∈ax 时，0)(<x h ，0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增； ),11(+∞-∈ax 时，0)(>x h ，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减. 当210<<a 时，函数)(x f 的增区间为)11,1(-a ，减区间为)1,0(和),11(+∞-a. ................................................................................................................5分。

注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷包括第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。

第一卷从第1页至第9页，第二卷从第10页至第12页。

考生答题全部答在答题纸上，答在本试卷上无效。

本次考试时间为120分钟，满分120分。

考试结束后，请将答题纸交监考老师。

2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸的相应位置，并将考试证号用2B铅笔将答题纸上考试证号相应的数字涂黑。

3．答选择题必须用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置答题一律无效。

第一卷（选择题共85分）第一部分：听力（共两节，满分20分）第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）听下面5段对话，每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. Why does the woman want the man to ask Mary?A. Mary has read the bookB. Mary may have the bookC. Mary knows where do borrow the book2. What can we know about the man when he was a child?A. He didn’t like the pianoB. He enjoyed playing the pianoC. He took piano lessons3. What are the speakers going to do?A. To get on planeB. To get their plane ticketsC. To see their friends off4. Why does the woman look forward to Nina’s parties?A. The food is goodB. There are many friendsC. The music is great5. What’s the probable relationship between the speakers?A. Boss and clerkB. Interviewer and intervieweeC. Teacher and student第二节（共15小题；每小题1分，满分15分）听下面5段对话或独白。

（图1）江苏省如东高级中学2016届高三年级开学考试数 学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.已知复数z 的实部为2-，虚部为1，则z 的模等于 . 2.已知集合{}3,,0,1-=A ，集合{}2-==x y x B ，则=B A .3.右图1是一个算法流程图，若输入x 的值为4-，则输出y 的值为 .4.函数)1(log 21)(2---=x x f x的定义域为 .5.样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图2所示，则这组数据的方差等于 ．6.设,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,||,,n n m αβαβ⊂= 则||n m ；②若,m n αα⊂⊂，,m n ββ∥∥，则αβ∥；③若,,,m n n m αβαβα⊥=⊂⊥ ，则n β⊥；④若,,m m n ααβ⊥⊥∥，则n β∥.其中正确的命题序号为7.若圆222)5()3(r y x =++-上有且只有两个点到直线234:=-y x l 的距离等于1，则半径r 的取值范围是 . 8.已知命题()()2:,2,P b f x x b x c ∀∈-∞=++在(),1-∞-上为减函数；命题0:Q x Z ∃∈，使得021x <.则在命题P Q ⌝⌝∨，P Q ⌝⌝∧，P Q ⌝∨，P Q ⌝∧中任取一个命图2题，则取得真命题的概率是 9.若函数2()(,,)1b x cf x a b c R x a x +=∈++),,,(R d c b a ∈，其图象如图3所示，则=++c b a . 10.函数2322)(223+--=x a x a x x f 的图象经过四个象限，则a 的取值范围是 ．11.在ABC ∆中,已知角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sin sin sin A C Bb c a c-=-+，则函数22()cos ()sin ()22x x f x A A =+--在3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间是 .12. “已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式02>++a bx cx .”给出如下的一种解法：参考上述解法：若关于x 的不等式0<++++c x b x a x b 的解集为)1,21()31,1( --，则关于x 的不等式0>----cx bx a x b 的解集为 . 13.2014年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列{}n a 满足 ()2110n n n n a a +--=，定义使2log k a 为整数的实数k 为“青奥吉祥数”，则在区间[1，2014]内的所有“青奥吉祥数之和”为________ 14.已知()22,032,0x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，设集合(){},11A y y f x x ==-≤≤，{},11B y y ax x ==-≤≤，若对同一x 的值，总有12y y ≥，其中12,y A y B ∈∈，则实数a 的取值范围是二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，图3向量()(1sin ,1),1,sin cos 2Cm n C C =--=+ ，且.n m ⊥（1）求sin C 的值；（2）若()2248a b a b +=+-，求边c 的长度.16.如图4，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，PAD △ 是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积．17.如图5，GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF （其中边EF 在GH 上），现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB = AC + 1，且∠ABC = 60o ．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为1万元/km ，两条道路造价为3万元/km ，问：x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？18. 如图6，椭圆22221x y a b +=(0)a b >>过点3(1,)2P ，其左、右焦点分别为12,F F ，离心率ABCMPD图4 公 路HG F E DC B A 图512e =，,M N 是椭圆右准线上的两个动点，且120F M F N ⋅= ．（1）求椭圆的方程； （2）求MN 的最小值；（3）以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．19.已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求曲线()y f x =在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 的单调增区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．20. 已知数列{a n }中，a 2=a(a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足S n =n(a n －a 1)2(n ∈N*)． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a=2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；（3）是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第23-p 项？若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，从圆O 外一点P 引圆的切线PC 及割线PAB ，C 为切点． 求证：AP BC AC CP ⋅=⋅．21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，计算2M β．21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是2(12x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．若直线l 与圆C 相切，求正数m 的值．21D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知不等式2|1|a b x +-≤对于满足条件1222=++c b a 的任意实数c b a ,,恒成立,求实数x 的取值范围．P（第21 - A 题）（第22题）【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）22. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PA =M 为PC 的中点．（1）求异面直线PB 与MD 所成的角的大小；（2）求平面PCD 与平面PAD 所成的二面角的正弦值．23．（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n ． （1）求随机变量X 2的概率分布及数学期望E (X 2)；（2）求随机变量X n 的数学期望E (X n )关于n 的表达式．江苏省如东高级中学2016届高三年级开学考试数学答案一、填空题1.52..{}0,1-3.24.),2()2,1(+∞5.7.26. ①③7.8. 149.4 10. ),1(4481,+∞⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞- 11. []0,π 12.)1,31()21,1( -- 13.2047 14. []1,0-提示：1.i z +-=2，则i z --=2，则5)1()2(22=-+-=z .2.{}{}{}2022≤=≥-=-==x x x x x y x B ，又{}3,,0,1-=A ，所以{}0,1-=B A .3. 当4-=x 时，34>-，则7=x ；当7=x 时，37>，4=x ；当4=x 时，34>，1=x ；当1=x 时，31>不成立，则输出221==y .4.要使原式有意义，则⎩⎨⎧≠->-1101x x ，即1>x 且2≠x .5.2出现44.010=⨯次，5出现22.010=⨯次，8出现44.010=⨯次，所以[]2.7)55(4)55(2)52(41012222=-⨯+-⨯+-⨯=s . 6. 逐个判断。

可能用到的相对原子质量：H-1 N-14 O-16 Na-23 Mg-24 S-32 Fe-56 Cu-64一、单项选择题：在每题的4个选项中，只有1个选项符合要求。

(本部分23题，每题3分，共69分) 1．人们常说菠菜中富含铁质，这里所说的“铁质”应理解为A．铁元素B．铁单质C．铁离子D．铁原子【答案】A【解析】试题分析：菠菜中富含铁质，这里所说的“铁质”不是以单质、分子、原子、离子等形式存在，这里所说的“铁质”是强调存在的元素，与具体形态无关，故选A。

考点：考查了物质的微观构成与物质的宏观组成的相关知识。

2．游泳池里加入硫酸铜可以杀菌消毒，硫酸铜属于A．酸B．盐C．氧化物D．混合物【答案】B3．下列过程涉及氧化还原反应的是A．氯化钠溶于水B．加热氯化铵固体C．金属钝化D．海水晒盐【答案】C【解析】试题分析：A．氯化钠溶于水属于物理变化，错误；B．加热氯化铵固体，分解生成氨气和氯化氢，没有元素化合价的变化，不属于氧化还原反应，错误；C．金属钝化是金属杯强氧化剂氧化的结果，是氧化还原反应，正确；D．海水晒盐属于物理变化，错误；故选C。

【考点定位】考查氧化还原反应的判断【名师点晴】本题考查氧化还原反应，属于高频考点，把握反应中元素的化合价变化为解答的关键。

发生的反应中，存在元素的化合价变化，则为氧化还原反应；反之，不存在元素的化合价变化，则不是氧化还原反应。

4．除去碳酸氢钠溶液中混有的少量碳酸钠，最好采用的方法是A．加入过量的澄清石灰水B．加入适量的氢氧化钠溶液C．将溶液加热蒸干并灼烧D．通入足量的二氧化碳【答案】D5．SO2通入下列溶液能产生沉淀的是A．CaCl2B．Na2CO3C．NaOH D．Ba(NO3)2【答案】D【解析】试题分析：A．盐酸的反应大于亚硫酸，则二者不反应，一定不会产生沉淀，故A错误；B．酸性亚硫酸大于碳酸，则反应生成亚硫酸钠溶液，无沉淀生成，故B错误；C．二氧化硫与氢氧化钠反应生成的亚硫酸钠或亚硫酸氢钠均易溶于水，无沉淀生成，故C错误；D．硝酸钡溶液中的融入二氧化硫，在酸性溶液中硝酸根离子具有氧化性，能氧化二氧化硫为硫酸，生成硫酸钡白色沉淀，故D正确；故选D。

2016年江苏省南通市如东高中高二上学期数学期中考试试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 不等式的解集是．2. 抛物线的焦点坐标为．3. 椭圆的离心率的值为．4. 已知点在直线的上方的平面区域，则实数的取值范围是．5. 函数的最小值为．6. 双曲线的渐近线方程为．7. 己知实数，满足条件则的取值范围是．8. 不等式的解集是，则不等式的解集是．9. 设，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，若为直角三角形，该三角形的面积为．10. 已知正数，满足，若恒成立，则实数的取值范围是．11. 过椭圆内一点的直线交椭圆于两点，且为线段的中点，则直线的方程为．12. 已知焦点均在轴上的双曲线，与双曲线的渐近线方程分别为与，记双曲线的离心率，双曲线的离心率，若，则的最小值为．13. 若圆与椭圆的三个交点构成等边三角形，则该椭圆的离心率的值为．14. 已知，若不等式只有一个整数解，则实数的取值范围是．二、解答题（共10小题；共130分）15. 求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）焦点坐标为，准线方程为的椭圆；（2）过点，渐近线方程为的双曲线．16. 已知函数．．（1）当时，解不等式；（2）若对任意的，函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围．17. 已知椭圆曲线方程为，两焦点分别为，．（1）若，过左焦点为且斜率为的直线交圆锥曲线于点，，求的周长．（2）若，为圆锥曲线上一点，求的最大值和最小值．18. 为迎接“双十一”活动，某网店需要根据实际情况确定经营策略．（1）采购员计划分两次购买一种原料，第一次购买时价格为元/个，第二次购买时价格为元/个（其中）．该采购员有两种方案：方案甲：每次购买个；方案乙：每次购买元．请确定按照哪种方案购买原料平均价格较小．（2）“双十一”活动后，网店计划对原价为元的商品两次提价，现有两种方案：方案丙：第一次提价，第二次提价；方案丁：第一次提价，第二次提价，（其中）请确定哪种方案提价后价格较高．19. 已知函数．（1）若，且，，求点的集合表示的平面区域的面积；（2）若且，求函数的最大值；（3）若，不等式的解集为，求，的值．20. 已知椭圆的离心率的值为，右准线方程为．如图所示，椭圆左右顶点分别为，，过右焦点的直线交椭圆于，，直线，交于点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点，直线，的斜率分别为，，求．（3）求证点在一条定直线上．21. 已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程．22. 在中，，，直线，的斜率之积，求顶点的轨迹．23. 己知为抛物线的焦点，点为抛物线上的动点，到抛物线准线的距离为．（1）若，求域最小值；（2）若，求的最小值．24. 已知抛物线过点．（1）求实数的值；（2）若直线交抛物线于，两点，且，求证：直线过定点并求出该点的坐标．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.【解析】圆的圆心为，半径为，则，椭圆焦点在轴上，即，则，等边三角形为圆的内接正三角形，则所以，，所以，所以点坐标为：，代入椭圆方程：，解得：，所以椭圆方程：．即，，，所以椭圆的离心率．14.【解析】作出函数的图象如图：不等式等价于，当时，，不等式只有一个整数解，结合图象，可得，当时，，不等式只有一个整数解，结合图象，可得，综上所述的取值范围为．第二部分15. （1）由焦点坐标为，可知椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为：，则，由椭圆的准线方程为：，即．由．故椭圆的标准方程为：．（2）由双曲线渐近线方程为，则设双曲线的方程为：，由双曲线经过点，代入可得：，解得：，双曲线的方程为：．所以双曲线的标准方程为：．16. （1）当时，，所以或．故不等式解集为或．（2）因为时，函数的图象恒在轴上方，所以，因为，所以，所以，因为，当且仅当，即时取等号，所以．17. （1）若，方程为，则直线的方程为．联立，可得，所以，据双曲线定义，，所以，所以；（2）若，方程为，所以，设，，所以，所以的最大值为，最小值为．18. （1）方案甲平均价格为，方案乙平均价格为，因为，所以方案乙平均价格较小．（2）方案丙：第一次提价，第二次提价，则价格为，方案丁：第一次提价，第二次提价，则价格为，因为，所以按照方案丁提价后的价格较高．19. （1）当时，，由，，可得，，由两平行直线和的距离为，两平行直线和的距离为，可得点．（2）若且，则且，由当且仅当，即时，等号成立，则函数的最大值为．（3）若，则，的解集为，即的解集为，即，为方程的两根，可得，，解得．再由不等式的解集为，可得的最小值，而的最小值为，则，即，记，则，即，但，则；即有，即，即，但，即．20. （1）因为椭圆的离心率的值为，即，右准线方程为，即，解得：，，因为，所以．故得椭圆的标准方程为：．（2）点，，故得直线方程为，与椭圆方程联立，求解的坐标为，那么可得直线方程为，与椭圆方程联立，求解的坐标为，那么的斜率为，的斜率，则．（3）设斜率存在的的直线方程为，利用设而不求的思想，，，与椭圆方程联立，可得：，那么：由，的坐标可得直线的方程为，由，的坐标可得直线的方程为，直线与直线联立，可得：，所以将代入，解得：．故点在直线上，当不存在时，经验证，点在直线上满足题意．21. 因为圆的方程为：，所以圆的圆心为，半径；同理圆的圆心为，半径．设动圆的半径为，则，，两式相加得：，所以圆心在以，为焦点的椭圆上运动，由，，得，，所以椭圆方程为．即动圆圆心的轨迹方程为：．22. 设，则，．由，化简可得，所以动点的轨迹方程为．23. （1）因为在抛物线内部，所以，所以的最小值为．（2）因为在抛物线的外部，所以，所以的最小值为．24. （1）因为抛物线过点，所以，所以．（2）设，代入抛物线方程，可得，所以，又，即有，即有，则直线恒过定点．。

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分．1. 若函数错误！未找到引用源。

的图象上一点错误！未找到引用源。

及邻近一点错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

等于__________．【答案】错误！未找到引用源。

【解析】∵△y=[2(1+△x)2−1]−1=2△x2+4△x，∴错误！未找到引用源。

=4+2△x.2. 函数错误！未找到引用源。

的增区间为：__________．【答案】错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

3. 若错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

为纯虚数，则实数错误！未找到引用源。

__________．【答案】错误！未找到引用源。

【解析】试题分析：由题意得，对错误！未找到引用源。

进行化简运算（此时分母不可有虚部）得错误！未找到引用源。

=，要使其为纯虚数，实部为0，得a=错误！未找到引用源。

考点：复数的混合运算；4. 在棱长为1的正方体错误！未找到引用源。

中，在正方体内随机取一点错误！未找到引用源。

，则点错误！未找到引用源。

到点错误！未找到引用源。

的距离大于1的概率为__________．【答案】错误！未找到引用源。

【解析】试题分析：错误！未找到引用源。

，正方体内到正方体各顶点的距离都等于1的点的集合为以正方体的各顶点为球心、1长为半径的球，故所求概率为错误！未找到引用源。

．考点：几何概型．5. 某算法流程图如下图所示，则运行结束时输出结果为__________．【答案】错误！未找到引用源。

6. 设错误！未找到引用源。

是函数错误！未找到引用源。

的导函数，错误！未找到引用源。

的图象如下图所示，则错误！未找到引用源。

的图象最有可能的是__________．（填序号）【答案】③【解析】由图可知：当x<0时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增，当0<x<2时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减，当x>2时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增，符合以上条件的只有③.故答案为：③.7. 阅读下列程序：输出的结果是__________．Read 错误！未找到引用源。

江苏省如东高级中学2017-2018学年高二上学期期中考试试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程，请将答案直接填写在相应位置..1. 命题：“，”的否定为__________.2. 不等式的解集是__________．3. 已知数列的前项和为，且，则数列的首项为__________．4. 关于的不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是__________．5. 若正项等比数列满足，则的最大值为__________．6. 若直线上存在点满足条件，则实数的取值范围为__________．7. 等比数列的前项和为，已知，，则公比__________．8. 设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么__________．10. 下列说法中所有正确命题的序号是__________．①“”是“”成立的充分非必要条件；②、，则“”是“”的必要非充分条件；③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；④设等比数列的前项和为，则“”是“”成立的充要条件.11. 设是数列的前项和，且，，则__________．12. 已知实数，满足约束条件，若（）的最大值为，则的最小值为__________．13. 对于数列，定义为的“优值”，现在已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________．14. 已知，均为正数，且，则的最小值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 设（，）（1）若不等式的解集为，求，的值；（2）记，若且，求的取值范围．16. 命题：已知实数，满足约束条件，二元一次不等式恒成立，命题：设数列的通项公式为，若，使得．（1）分别求出使命题，为真时，实数的取值范围；（2）若命题与真假相同，求实数的取值范围.17. 设数列的前项和，满足（）；（1）记，求数列的前和.（2）记，且数列的前和为，若不等式，对任意恒成立，求实数的最小值.18. 服装厂拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用（）万元满足.已知年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要投入万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2017年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该服装厂2017年的促销费用投入多少万元时，利润最大？19. 数列，定义为数列的一阶差分数列，其中，（），设（1）若，求证：是等比数列，并求出的通项公式；（2）若，又数列满足：：①求数列的前和；②求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列中其他两项之积.20. 已知函数.（1）若任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：对任意，，都有成立；（3）对于给定的正数，有一个最大的正数，使得整个区间上，不等式恒成立，求出的解析式.附加题（共4小题，每小题10分共40分，解答对应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21. 矩阵的逆矩阵为，矩阵满足，求，.22. 已知矩阵的两个特征向量，，若，求.23. 解关于的不等式：.24. 已知数列的前项和为，满足与的等差中项为（）.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，是不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.（3）设，若集合恰有个元素，求实数的取值范围.参考答案一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程，请将答案直接填写在相应位置.1.【答案】，【解析】由题意得，根据全称命题与特称命题的关系可知，命题“”的否定为“”2.【答案】【解析】由题意得，不等式可化为，所以不等式的解集为.3.【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，由，得，所以.4.【答案】【解析】由题意得，不等式的解集为，要使得不等式成的充分不必要条件是，则，解得，所以不存在这样的实数，所以实数的取值范围为.5.【答案】2【解析】根据等比中项可知，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.6.【答案】【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，因为过坐标原点，其中表示直线的斜率，所以可行域内能使得斜率取得最大值，可行域内能使得斜率取得最小值，由，解得，此时，由，解得，此时，所以实数的取值范围是.7.【答案】或【解析】∵，①当时,，满足条件。

一、填空题.1.命题:P “2,230x R x x ∀∈+-≥”，命题P 的否定：__________. 2.不等式220x x +-<的解集为__________.3.抛物线()20y ax a =≠的准线是1x =-，那么它的焦点坐标是__________.4.若等比数列{}n a 满足2440a a +=，则前n 项和n S =___________.5.若双曲线22221x y a b-=的离心率为____________.6.等差数列{}k a 的前n 项和为k S ，若1469,2a a a =+=，当k S 取最大值时，n =___________. 7.已知命题2:450p x x -->，命题()22:2100q x x m m -+->>，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的最大值为__________.8.“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的__________条件.（必要不充分条件、充分不必要条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件中选一个作答）.9.实数,x y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，目标函数z x y =-的最小值为-2，则实数m 的值为_________.10.已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，4a 与14a的等比中项为7112a a +的最小值为_________.11.已知数列{}k a 为等比数列，前n 项和为k S ，若2125,10a a a <=，且1233,2,S S S 成等差数列，则数列{}k a 的通项公式k a =__________.12.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()11-，，则E 的方程为___________. 13.若数列{}n a 满足211n n n na a k a a ++++=（k 为常数），则称数列{}n a 为等比和数列，k 称为公比和.已知数列{}n a 是以3为公比和的等比和数列，其中121,2a a ==，则2016a = ．14.若实数,x y 满足x -=x 的取值范围是 ． 二、解答题15.（1）命题:p “[]21,2,0x x a ∀∈-≥”，命题:q “2000,220x R x ax a ∃∈++-=，若“p且q ”为假命题，求实数a 的取值范围. （2）已知()221:12,:21003x p q x x m m --≤-+-≤>，若p 是q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()2111,1,1,2,3,n n a nS n S n cn c R n +=-+=+∈=，且321,,23S S S 成等差数列． （1）求c 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式.17.如东某化学试剂厂以x 千克/小时的速度生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤）.为了保证产品的质量，需要一边生产一边运输，这样按照目前的市场价格，每小时可获得利润是310051x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元.（1）要使生产运输该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产运输900千克该产品获得的利润最大，问：该工厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>与直线()0y kx k =>相交于A,B 两点（从左至右）.过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，直线AC 交椭圆于另一点D .（1）若椭圆的离心率为2，点B 的坐标为)，求椭圆的方程；（2）若以AD 为直径的圆恰好经过点B ，求椭圆的离心率.19. 数列{}k a 的首项为()0a a ≠，前n 项和为k S ，且()10k k S t S a t +=+≠.设()121,0k k k k b S c k b b b k =+=++++>.（1）求数列{}k a 的通项公式；（2）当1t =时，若对任意*1,k n N b b ∈≥恒成立，求a 的取值范围.20.已知数列{}k a 是等差数列，{}k b 是等比数列，且满足1231239,27a a a b b b ++==. （1）若4343,a b b b m =-=.①当18m =时，求数列{}k a 和{}k b 的通项公式； ②若数列{}k b 是唯一的，求m 的值；（2）若112233,,a b a b a b +++均为正整数，且成等比数列，求数列{}k a 的公差d 的最大值.加试题21. 已知点(),P a b，先对它作矩阵1212M ⎡⎢⎥=⎥⎥⎦对应的变换，再作2002N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，得到的点的坐标为(8，求实数,a b 的值. 22. 已知1100,20201M N ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，设曲线sin y x =在矩阵MN 对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程.23.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,6BAC AB AC AA ∠====，点E F 、分别在棱11BB CC 、上，且11111,33BE BB C F CC ==. （1）求异面直线AE 与1A F 所成角的大小； （2）求平面AEF 与平面ABC 所成角的余弦值.24. 已知过抛物线()220y px p =>的焦点，斜率为的直线交抛物线于()()()112212,,,A x y B x y x x <两点，且9AB =.（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+，求λ的值.试卷答案一、填空题1. 2,230x R x x ∃∈+-< 2. ()21-， 3. ()10，4. 122n n S +=-5. y =6. 57. 28.必要不充分条件13n - 12. 221189x y += 13. 10082 14. {}[]0420⋃，二、解答题15.试题解析：（1）若P 是真命题，则2a x ≤，因为[]1,2x ∈，所以1a ≤；若q 为真命题，则方程2220x ax a ++-=有实根，所以()24420a a ∆=--≥，即1a ≥或2a ≤-，p 真q也真时，所以2a ≤-或1a =，若“p 且q ”为假命题，即()()2,11,a ∈-+∞.所以“p ⌝”： {}|102B x R x x =∈><-或，由p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件知01203110m B A m m m >⎧⎪⊆⇔-≥-⇒<≤⎨⎪+≤⎩，故m 的取值范围为03m <≤.16.（1）∵()()2111,2,3,n n nS n S n cn n +-+=+=，∴()()211,2,3,11n n S S n cnn n n n n ++-==++，∵321,,23S S S 成等差数列， ∴32122132S S S S -=-，∴14226c c ++=，∴1c =. （2）由（1）得()111,2,3,1n n S Sn n n+-==+，∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是11S ，公差为1的等差数列，∴()1111n S S n n n =+-=，∴2n S n =. 当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 当1n =时，上式也成立， ∴()211,2,3n a n n =-=，. 17.解：（1）根据题意，332005130005140x x x x⎛⎫+-≥⇒--≥ ⎪⎝⎭………………………4分 又110x ≤≤，可解得310x ≤≤………………………………6分 因此，所求x 取值范围是[]310，………………………………7分 （2）设利润为y 元，则2490031161100519103612y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=⨯--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦…………………11分故6x =时，max 457500y =元…………………………………13分因此该工厂应该以每小时6千克的速度生产才能获得最大利润，最大利润为457500元……………14分18.（1）由题意222222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2242a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆的方程为22142x y +=. （2）方法一：设()()1122A ,,,x y D x y ，则()()111B ,,,0x y C x ---21121211211,22AD AC BD y y y y y k k k k x x x x x k-+======--+.又2222112222221,1x y x y a b a b+=+=, 两式相减可得：()()()()1212121222x x x x y y y y ab+-+-+=，∴2211102k a b k ⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，化为222a b =，∴椭圆的离心率2e ==.方法二：设(),B t kt ，则()(),kt ,,0A t C t --，所以直线AD 的方程为()2ky x t =-. 由()222212x y a b k y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消y ，得()22222224a k b x x t a b +-=，即()222222222224240b a k x a k tx a k t a b +-+-=，所以2222224A D a k t x x b a k+=+， 从而2222224D a k t x t b a k =++，即2222222222234,44a k b a k D t t b a k b a k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭， 所以直线BD 的斜率222222222222224344a k t kt b b a k k a k b a kt tb a k -+'==-+-+， 由于以AD 为直径的圆恰好经过点B ，所以AB BD ⊥，即1k k '=-，所以222a b =，所以椭圆的离心率2c e a ==. 19.（1）因为1k k S t S a +=+，①当2n ≥时，1k k S t S a -=+，②， ①—②得，()12k k a t a n +=≥，又由21S t S a =+，得21a t a =， 所以，{}n a 是首项为a ，公比为t 的等比数列，所以()1*n n a a t n N -=∈.（2）当1t =时，,,1n n n a a S na b na ===+，由1k b b ≥，得()()131,3320na a n a n a +≥+-++≥⎡⎤⎣⎦（*） 当0a >时，3n <时，（*）不成立；当0a <时，（*）等价于()()3320n n a --+≤⎡⎤⎣⎦（**） 3n =时，（**）成立， 4n ≥时，有()320n a ++≤，即23a n ≤-+恒成立，所以27a ≤-.1n =时，1420,,22a a n +≥≥-=时，有2520,5a a +≥≥-.综上，a 的取值范围是2257⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，. 20.（1）①由数列{}k a 是等差数列及1239a a a ++=，得23a =， 由数列{}k b 是等比数列及12327b b b =，得23b =，设数列{}k a 的公差为d ，数列{}k b 的公比为q ，若18m =，则有23233318d q q q +=⎧⎨-=⎩，解得33d q =⎧⎨=⎩或922d q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，所以，{}k a 和{}k b 的通项公式为133,3k k n a k b -=-=或()2912,322k k k a k b -=+=-. ②由题设43b b m -=，得233q q m -=，即2330q q m --=（*），因为数列{}k b 是唯一的，所以，若0q =，则0m =，检验知，当0m =时，1q =或0（舍去），满足题意；若0q ≠，则()23120m -+=，解得34m =代入（*）式，解得12q =， 又23b =，所以{}k b 是唯一的等比数列，符合题意. 所以，0m =或34. （2）依题意，()()113336a b a b =++，设{}k b 公比为q ，则有()336333d d q q ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，（**） 记33,33m d n d q q=-+=++，则36mn =. 将（**）中的q 消去，整理得：()()23360d m n d m n +-++-=，d=，而*,m n N ∈，所以(),m n 的可能 取值为：()()()()()()()()()136218312496694123182361,,,,,，,,,,,,,,,,,，所以，当1,36m n ==时，d21.解：依题意1201202112NM ⎡⎢⎡⎡⎤⎥==⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎦⎥⎦，由逆矩阵公式得，()11414NM -⎡⎢⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以185414⎡⎢⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎢⎢⎥⎣⎣⎢⎥⎣⎦，即有5,a b ==22.解：由题设得11100022020102MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 设所求曲线F 上任意一点的坐标为(),,sin x y y x =上任意一点的坐标为(),x y ''，则1022x x x MN y y y ⎡⎤''⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，解得212x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩， 把212x xy y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩代入sin y x ''=，化简得2sin 2y x =，所以，曲线F 的方程为2sin 2y x =.23.解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则()()()()10,0,0,E 2,0,2,0,0,6,0,2,4A A F ,从而()()12,0,2,0,2,2AE A F ==-，记AE 与1A F 的夹角为θ，则有：141cos cos ,288AE A F θ-==-.由异面直线AE 与1A F 所成角的范围为()0π，， 得异面直线AE 与1A F 所成角为60°.（2）记平面AEF 和平面ABC 的法向量分别为n 和m ， 则由题设可令(),,n x y z =，且有平面ABC 的法向量为()()()10,0,6,0,2,4,2,0,2m AA AF AE ====.由240220n AF y z m AE x z ⎧=+=⎨=+=⎩，取1x =，得()1,2,1n =-，记平面AEF 与平面ABC 所成的角为β，则6cos cos ,666n m β-===.∴平面AEF 与平面ABC 所成角的余弦值为6.24.解：（1）由题意得直线AB 的方程是2p y x ⎫=-⎪⎭， 与22y px =联立，从而有22450x px p -+=，所以1254px x +=. 由抛物线定义得12594pAB x x p p =++=+=， 所以4p =，从而抛物线的方程是28y x =.（2）由4p =知22450x px p -+=可化为2540x x -+=，从而12121,4,x x y y ===-=((1,,A B -. 设()33,C x y ，则有()33OC ,x y =，∵(((1,4OA OB λλλ+=-+=+-，∴()(33,41,4x y λ=+-，∴3341,x y λ=+=-，∵2338y x =，∴()2841λ⎡-=+⎣，即()()22141λλ-=+. ∴0λ=或2λ=.。

2016-2017如东中学高二第二学期第一次阶段测试数学Ⅰ一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分．1．若函数()2=21-f x x 的图象上一点()1,1及邻近一点()1,1+∆+∆x y ，则∆∆yx等于 ． 2．函数1ln 2-=--x y x x 的增区间为： ． 3．若12=+z a i ，234=-z i ，且12z z 为纯虚数，则实数=a ． 4．在棱长为1的正方体1111-ABCD A B C D 中，在正方体内随机取一点P ，则点P 到点A 的距离大于1的概率为 ．5．某算法流程图如下图所示，则运行结束时输出结果为 ．6．设()'f x 是函数()f x 的导函数，()'=y f x 的图象如下图所示，则()f x 的图象最有可能的是 ．（填序号）7．阅读下列程序：输出的结果是 ．Read S 1←For I from 1 to 5 step 2 S S I ←+ Print S End for End8．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后的方差是 ．9．如图下图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为i a （1=i ，2，3，4），此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为i h （1=i ，2，3，4），若1212==a a 3434==a a k ，则()412==∑i i A ih k .类比以上性质，体积为V 的二棱锥的第i 个面的面积记为i S （1=i ，2，3，4），此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为i H （1=i ，2，3，4），若1212==S S 3434==S S k ，则()41=∑i i iH 的值为 ．10．曲线()()()211e 0e 2'=-+x f f x f x x 在点()()1,1f 处的切线方程为 ． 11．{2i 2=-+≤M z z ，}C ∈I z {2i 4i --=-+zz z ，}C ∈z ，则集合M 中元素z 的模的取值范围是 ．12．设函数()()()=--f x x a x b ()-x c （a 、b 、c 是两两不等的常数），则()()()++='''a b cf a f b f c ． 13．设曲线()1=-xy ax e 在点()01,A x y 处的切线为1l ，曲线()1-=-xy x e 在点()02,B x y 处的切线为2l .若存在030,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，使得12⊥l l ，则实数a 的取值范围为 ．14．若不等式2ln 1-≥ax x 对任意(]0,1∈x 都成立，则实数a 取值范围是 ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，频率分布表如下：组号 分组 频数 频率 第一组 [)230,235 8 0.16 第二组 [)235,240① 0.24 第三组 [)240,245 15 ② 第四组 [)245,250 10 0.20 第五组[]250,2555 0.10 合计501.00（1）写出表中①②位置的数据；（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；（3）在（2）前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少1名是第四组的概率. 16．已知函数()2=-+-f x x ax b .（1）若a ，b 都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率； （2）若a ，b 都是从区间[]0,4上任取的一个数，求()10>f 成立的概率.17．设O 为原点，向量1uuu r OZ 、2uuu r OZ 分别对应复数1z 、2z ，且()218105=+-+z a i a ，()22251=+--z a i a ，∈a R ，若12+z z 是实数.（1）求实数a 的值；（2）求以1uuu r OZ 、2uuu rOZ 为邻边的平行四边形的面积.18．已知函数()2ln =+-xf x a x x a （0>a ，1≠a ）.（1）求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 单调区间；（3）若存在1x ,[]21,1∈-x ，使得()()121-≥-f x f x e （e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围. 19．某企业有两个生产车间分别在A 、B 两个位置，A 车间有100名员工，B 车间有400名员工，现要在公路AC 上找一点D ，修一条公路BD ，并在D 处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐.已知A 、B 、C 中任意两点间的距离均有1km ，设α∠=BDC ，所有员工从车间到食堂步行的总路程为s.（1）写出s 关于α的函数表达式，并指出α的取值范围； （2）问食堂D 建在距离A 多远时，可使总路程s 最少. 20．已知()=-af x x x（0>a ），()2l n =+g x x bx ，且直线22=-y x 与曲线()=y g x 相切.（1）求b 的值；（2）若对[)1,+∞内的一切实数x ，不等死()()≥f x g x 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求证：()214ln 2141=>--∑ni i n i（*∈n N ）.2016-2017如东中学高二第二学期第一次阶段测试参考答案一、填空题1．42+∆x 2．()0,2,()2,+∞ 3．83=a 4．16π- 5．()9,3- 6．③ 7．2，5，10 8．50 9．3V k 10．1e 2=-y x 11．32,9222⎡⎤+⎢⎥⎣⎦12．0 13．312∴≤≤a 14．2e 3≥a二、解答题15．解：（1）500.2412⨯=，150.350=； （2）因为15:10:53:2:1=，所以第三、四、五各组参加考核人数分别为3，2，1；（3）设第三组抽到的学生为1a ，2a ，3a ，第四组抽到的学生为1b ，2b ，第五抽到的学生为c ，则6名学生中录取2名学生有如下15种：{}12,a a ，{}13,a a ，{}11,a b ，{}12,a b ，{}1,a c ，{}23,a a ，{}21,a b ，{}22,a b ，{}2,a c ，{}31,a b ，{}32,a b ，{}3,a c ，{}12,b b ，{}1,b c ，{}2,b c ，其中至少有1名是第四组的有9种，故至少有1名是第四组的概率为93155==P 16．解：（1）a ，b 都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，则基本事件总数为5525=⨯=N 个. 函数有零点的条件为240∆=-≥a b ，即24≥a b .因为事件“24≥a b ”包含()0,0，()1,0，()2,0，()2,1，()3,0，()3,1，()3,2，()4,0，()4,1，()4,2，()4,3，()4,4，所以事件“24≥a b ”的概率为1225=P ，即函数()f x 有零点的概率为1225. （2）a ，b 都是从区间[]0,4上任取的一个数，()110=-+->f a b ，即1->a b ，此为几何模型，如图可知，事件“()10>f ”的概率为133924432⨯⨯==⨯P . 17．解：（1）3=a （2）11i =+z ，21i =+z ，2=s18．解：（1）因为函数()2ln =+-xf x a x x a （0>a ，1≠a ），所以()ln 2ln '=+-xf x a a x a ，()00'=f ，又因为()01=f ，所以函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为1=y .（2）由（1），()l n 2'=+=xf xaa x ()21l n +-x x a a .因为当0>a ，1≠a 时，总有()'f x 在R 上是增函数，又()00'=f ，令()0'>f x ，则函数()f x 的单调增区间为()0,+∞.（3）因为存在1x ，[]21,1∈-x ，使得()()12e 1-≥-f x f x 成立，而当[]1,1∈-x 时，()()12-≤f x f x ()()max min -f x f x ，所以只要()()max min e 1-≥-f x f x 即可.因为()f x 在[]1,0-上是减函数，在[]0,1上是增函数，所以当[]1,1∈-x 时，()f x 的最小值()()min 01==f x f ，()f x 的最大值()max f x 为()1-f 和()1f 中的最大值.因为()()11--f f ()11ln 1ln ⎛⎫=+--++⎪⎝⎭a a a a 12ln =--a a a ，令()12ln =--g a a a a （0>a ），因为()2121'=+-g a a a 2110⎛⎫=-> ⎪⎝⎭a ，所以()12ln =--g a a a a在()0,∈+∞a 上是增函数.而()10=g ，故当1>a 时，()0>g a ， 即()()11>-f f ；当01<<a 时，()0<g a ，即()()11<-f f .所以，当1>a 时，()()10e 1-≥-f f ，即ln e 1-≥-a a ，函数ln =-y a a 在()1,∈+∞a 上是增函数，解得e ≥a ；当01<<a 时，()()10e 1--≥-f f ，即1ln e 1+≥-a a ，函数1ln =+y a a在()0,1∈a 上是减函数，解得10e<≤a . 综上可知，所求a 的取值范围为[)10,e,e ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦U a .19．解：（1）在V BCD 中，sin 60sin α=o QBD BC ()sin 120α=-o CD， 32sin α∴=BD ，()sin 120sin αα︒-=CD ，则()sin 1201sin αα︒-=-AD32400100sin α=⋅+s ()sin 1201sin αα︒-⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦cos 450503sin αα--⋅，233ππα≤≤ （2）503'=-s ()2sin sin cos 4cos sin ααααα-⋅--⋅214cos 503sin αα-=⋅令0'=s 得1cos 4α=，记01cos 4α=，02,33ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当1cos 4α>时，0'<s ， 当1cos 4α<时，0'>s ，所以s 在0,3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在02,3πα⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 所以当0αα=，即1cos 4α=时，s 取得最小值.此15sin 5α=AD ()sin 1201sin αα︒-=- 31cos sin 221sin ααα+=-13cos 22sin αα=-⋅=113422154-⋅=15210-所以当15210=-AD 时，总路程s 最少. 20．解：（1）设点()00,x y 为直线22=-y x 与曲线()=y g x 的切点，则有0002ln 22+=-x bx x .（*）()2'=+Q g x b x，022∴+=b x .（**）由（*）、（**）两式，解得0=b ，()2ln =g x x . （2）由()()≥f x g x 整理，得2ln ≤-ax x x， 1≥Q x ，∴要使不等式()()≥f x g x 恒成立，必须22ln ≤-a x x x 恒成立.设()22ln =-h x x x x ，()122ln ⎛⎫'=-+⋅⎪⎝⎭h x x x x x 22ln 2=--x x ， ()22''=-Q h x x，∴当1≥x 时，()0''≥h x ，则()'h x 是增函数，()()10''∴≥=h x h ，()h x 是增函数，()()11≥=h x h ，1≤a .因此，实数a 的取值范围是01<≤a .（3）证明：当1=a 时，根据（1）的推导有，()1,∈+∞x 时，()()>f x g x ， 即11ln 2⎛⎫<- ⎪⎝⎭x x x .令2121+=-k x k ，得21ln 21+-k k 1212122121+-⎛⎫<- ⎪-+⎝⎭k k k k ， 化简得()()ln 21ln 21+--k k 2441<-kk ， ()()()1ln 21ln 21ln 21=+=+--⎡⎤⎣⎦∑ni n i i 21441=<-∑ni ii。

2017-2018学年度第一学期期中学情检测高二数学 第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程，请将答案直接填写在相应位置..1.命题：“x R ∃∈，20ax ->”的否定为 .2.不等式11x≥的解集是 ．3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且332310S a -=，则数列{}n a 的首项为 ．4.关于x 的不等式||1x m -<成立的充分不必要条件是14x <<，则实数m 的取值范围是 ．5.若正项等比数列{}n a 满足201520174a a +=，则2016a 的最大值为 ．6.若直线y ax =上存在点()x y ，满足条件302301x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥，则实数a 的取值范围为 ．7.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知332a =，392S =，则公比q = ． 8.设{}n a 与{}n b 是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3143n n S n T n -=-，那么65a b = ． 9.某种汽车购车时的费用为10万元，每年保险，养路费，汽油费共1.5万元，如果汽车的维修费第1年0.1万元，从第2年起，每年比上一年多0.2万元，这种汽车最多使用 年报废量合算（即年平均费用最少）.10.下列说法中所有正确命题的序号是 ． ①“2x <”是“24x <”成立的充分非必要条件； ②a 、b R ∈，则“0ab >”是“2b aa b+>”的必要非充分条件； ③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；④设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“32S S <”成立的充要条件. 11.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S = ．12.已知实数x ，y 满足约束条件020x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，若z a x b y =+（0b a >>）的最大值为2，则2a b ab +的最小值为 ．13.对于数列{}n a ，定义11233n nn a a a H n -+++=为{}n a 的“优值”，现在已知某数列{}n a 的“优值”13n n H +=，记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若5n S S ≤对任意的n 恒成立，则实数k 的取值范围是 ．14.已知a ，b 均为正数，且4ab a b =+，则228216a b a b -+-的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.设2()6f x ax bx =++（a ，b R ∈）（1）若不等式()0f x >的解集为{|23}x x -<<，求a ，b 的值； （2）记2b a =，若(1)0f ->且(2)0f -<，求a 的取值范围．16.命题p ：已知实数x ，y 满足约束条件2022x y y x y x -⎧⎪-⎨⎪-⎩≥≥≥，二元一次不等式220x y a +-≤恒成立，命题q ：设数列{}n a 的通项公式为29n n a n +=，若*x N ∃∈，使得n a a ≤．（1）分别求出使命题p ，q 为真时，实数a 的取值范围； （2）若命题p 与q 真假相同，求实数a 的取值范围. 17. 设数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2n S n =（*n N ∈）； （1）记2n a n b =，求数列{}n b 的前n 和n T . （2）记11n n n c a a +=⋅，且数列{}n c 的前n 和为n M ，若不等式n M k <，对任意*n N ∈恒成立，求实数k 的最小值.18. 服装厂拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用x （0x a ≤≤）万元满足131m x =-+.已知2017年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2017年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2017年的促销费用投入多少万元时，利润最大？19. 数列{}n a ，定义{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中1n n n a a a +∆=-，（*n N ∈），设11a = （1）若1n n a a ∆-=，求证：{1}n a +是等比数列，并求出{}n a 的通项公式； （2）若2n n n a a ∆-=，又数列{}n b 满足：12n n n a a b +=： ①求数列{}n a 的前n 和n S ；②求证：数列{}n b 中的任意一项总可以表示成该数列中其他两项之积. 20. 已知函数2()2f x x ax =-.（1）若任意[]11a ∈-，，不等式()3f x ≤恒成立，求实数x 的取值范围； （2）求证：对任意1x ，2x R ∈，都有12121()[()()]22x x f f x f x ++≤成立； （3）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()M a ，使得整个区间[0()]M a ，上，不等式|()|5f x ≤恒成立，求出()M a 的解析式.2017-2018学年度第一学期期中学情检测 高二数学加试试卷（物理方向考生作答）解答题（共4小题，每小题10分共40分，解答对应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1.矩阵1237A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭的逆矩阵为1A -，矩阵B 满足31AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求1A -，B . 2.已知矩阵21m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的两个特征向量110a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，201a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求2βM . 3.解关于x 的不等式：2(2)20ax a x +-->.4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足4n S 与2n a 的等差中项为3（*n N ∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在正整数k ，是不等式2(1)n nn k a S -<（*n N ∈）恒成立，若存在，求出k 的最大值；若不存在，请说明理由. （3）设(2)3()32nn n b n n a +=⋅*n N ∈，若集合*{|}n M n b n N λ=∈，≥恰有4个元素，求实数λ的取值范围.2017-2018学年度第一学期期中学情检测高二数学参考答案一、填空题1.x R∀∈，20ax-≤ 2.(01]， 3.1034.∅5.26.[12]-，7.1或1 2 -8.34339.10 10.②③④ 11.1n-3213.133325⎡⎤⎢⎥⎣⎦，14.6二、解答题15.解：（1）由题意得：236 23abaa ⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩解得11 ab=-⎧⎨=⎩（2）∵2b a=，∴22()6f x ax a x=++由题意得：22(1)60(2)4260f a af a a⎧-=-+>⎪⎨-=-+<⎪⎩解得21a-<<-16.解：（1）约束条件2022x yy xy x---≥≥≥，画出可行域，结合图象可得当目标函数2z x y =+过点A 时，目标函数取得最大值. 202x y y x -=⎧⎨=-⎩得(42)A ，，则2z x y =+的最大值为10. 所以命题p 为真：5a ≥由299n n a n n n+==+6≥（当且仅当9n n=，即3n =时取等号.）所以命题q 为真：6a ≥ （2）因为命题p 与q 真假相同①若p 与q 同为真：则56a a ⎧⎨⎩≥≥，∴6a ≥.②若p 与q 同为假，则56a a <⎧⎨<⎩，∴5a <.综上：5a <或6a ≥.17.解：（1）因为2n S n =（*n N ∈） 当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，1n n n a S S -=-22(1)n n =--21n =-，对1n =适用 所以21n a n =-所以2112224n a n n n b --===⋅所以2(14)2241433n n n T -==⋅--（2）因为111(21)(21)n n n c a a n n +==⋅-⋅+111()22121n n =--+所以1111111111(1)()()()()23355723212121n M n n n n ⎡⎤=-+-+-+-+-⎢⎥---+⎣⎦111(1)2212n =-<+ 故12k ≥从而k 的最小值为1218.解：（1）由题意知：每件产品的销售价格为8162mm+⨯ 所以816(816)my m m x m +=⋅-++816m x =+- 1816(3)1x x =+--+16561x x =--+（[0]x a ∈，） 所以16561y x x =--+（[0]x a ∈，） （2）由16561y x x =--+1657(1)1x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦5749-≤ 当且仅当1611x x =++，即3x =时取等号. 又[0]x a ∈，当3a ≥时，当3x =时，y 有最大值；当3a <时，易证y 关于x 为增函数，所以x a =时，y 有最大值； 答：当3a ≥时，该服装厂2017年的促销费用投入3万元时，利润最大； 当3a <时，该服装厂2017年的促销费用投入a 万元时，利润最大. 19.解：（1）因为1n n a a ∆-=.故121n n a a +=+，即112(1)n n a a ++=+，所以1121n n a a ++=+ 故数列{1}n a +为等比数列，且112a +=，所以21n n a =- （2）2n n n a a ∆-= 122n n n a a +=+111222n n n n a a ++=+，故数列2n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列， 易求出12n n a n -=⋅ ①012122232n S =⋅+⋅+⋅21(1)22n n n n --++-+⋅1221222n S =⋅+⋅21(2)2(1)22n n n n n n --++-+-⋅+⋅以上两式相减得： 12122n S -=++122n n n -++-⋅(1)21n n =-⋅-所以(1)21n n S n =-⋅+②证明：由12n n n a a b +=且12n n a n -=⋅，知1n n b n+=， 对于给定的*n N ∈，若存在k ，t n ≠，且t ，*k ∈N ， 只需111n k t n k t +++=⋅只需(1)n k t k n+=- 取1k n =+，则(2)t n n =+ 所以对于数列{}n b 中的任意一项1n n b n+=， 都存在121n n b n ++=+与2(2)2212n n n n b n n +++=+，使得1(2)n n n n b b b ++=⋅，即数列{}n c 中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积. 20.解：（1）因为[11]a ∈-，，223x ax -≤恒成立， 令2()2g a ax x =-+ [11]a ∈-，，则max ()3g a ≤ 所以22(1)23(1)23g x x g x x ⎧-=+⎪⎨=-⎪⎩≤≤，解得11x -≤≤ （2）对任意1x ，2x R ∈，12122()[()()]2x x f f x f x +-+22121212()422x x x x a x ++=--212222ax x ax +-+ 222212121222x x x x x x ++=--212()02x x -=-≤12121()[()()]22x x f f x f x ++≤（3）222()2()f x x ax x a a =-=--对称轴0x a =>，[]0()x M a ∈，由不等式|()|5f x ≤恒成立得max ()5f x ≤且min ()5f x -≥因为0a >，当25a -<-，即a ()M a a <，()f x 在[]0()M a ，为减函数. 由题意知：(())5f M a =- 由()5f x =-且x a <解得：x a =所以a()M a a =当250a --<≤，即0a <min ()5f x -≥总成立max ()5f x ≤ 由题意得：()M a a >，()f x 在(0)a ，为减函数. ()f x 在[]0()M a ，为增函数，又(0)0f =，则(())5f M a =，()M a a > 由()5f x =，x a >解得x a =所以0a <()M a a =综上()0a a M a a a ⎧>⎪=⎨<⎪⎩数学（加试）参考答案21.解：由逆矩阵公式，1db ad bcad bc A c a ad bc ad bc --⎡⎤⎢⎥--=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦7231-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦则1723311B A AB --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦198⎡⎤=⎢⎥⎣⎦22.解：设矩阵M 的特征向量1α对应的特征值为1λ，特征向量2α对应的特征值为2λ，则由111222M M αλααλα⎧=⎪⎨=⎪⎩可解得：0m n ==，12λ=，21λ=又1102201β⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦122αα=+，所以2222121122(2)2M M βααλαλα=+=+10442012⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦23.解：（1）0a =，原不等式的解为1x > （2）0a ≠，原不等式可化为(2)(1)0ax x +->方程(2)(1)0ax x +-=的解为2a -和1①0a >原不等式的解为：2x a <-或1x >②0a <当2a <-时，原不等式的解集为2|1x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭当2a =-时，原不等式的解集为∅当20a -<<，原不等式的解集为21x a <<- 综上：当2a <-时，原不等式的解集为2|1x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭当2a =-时，原不等式的解集为∅当20a -<<，原不等式的解集为2|1x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭当0a =时，原不等式的解集为{|1}x x >当0a >时，原不等式的解集为2|1x x x a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或24.解：（1）由4n S 与2n a 的等差中项为3得426n n S a +=，① 当2n ≥时，11426n n S a --+=②①-②得，113n n a a -=，有因为在①中令1n =，得11a ={}n a 是以11a =，公比为13q =的等比数列 数列{}n a 的通项公式为113n n a -=（2）原问题等价于2(1)1111(1)3323n n nk --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-<-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（*n N ∈）恒成立.当n 为奇数时，对任意正整数k 不等式恒成立；当n 为偶数时，等价于2(1)11123033n n k --⎛⎫⎛⎫+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，令113n t -⎛⎫= ⎪⎝⎭，103t <<，则等价于2230kt t +-<对103t <<恒成立 *k N ∈故2()23f t kt t =+-在103t <<上递增 故max 128()()0393f t f k ==-<即12k <故正整数k 的最大值为11（3）由(2)3()32n n n b n n a +=⋅*n N ∈及13n n a = 得(1)2n n n n b +=，21122n n n n n b b ++-++-= 当1n =时，21b b >；当2n ≥时，1n n b b +<132b =，22b =，3158b =，432b =，53532b =由集合*{|}n M n b n N λ=∈，≥恰有4个元素，得353322λ<≤。

2016-2017学年高二上学期期中试卷数学（文科）一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．已知圆C ：x 2+y 2﹣4x=0，l 为过点P （3，0）的直线，则（ ）A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能2．圆x 2+y 2﹣4x=0在点P （1，）处的切线方程为（ ）A ．x+y ﹣2=0B ．x+y ﹣4=0C ．x ﹣y+4=0D ．x ﹣y+2=03．直线x+﹣2=0与圆x 2+y 2=4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于（ ）A ．2B ．2C ．D ．14．已知点A （2，3），B （﹣3，﹣2）．若直线l 过点P （1，1）且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．k ≥2或D ．k ≤25．已知双曲线C ：的焦距为10，点P （2，1）在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）A ．B ．C ．3D ．57．如图F 1、F 2是椭圆C 1：+y 2=1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．8．过点（）引直线l 与曲线y=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△ABO 的面积取得最大值时，直线l 的斜率等于（ ）A ．B ．C ．D ．9．设F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，P 为直线x=上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）10．已知圆C 的方程为x 2+y 2﹣2y ﹣3=0，过点P （﹣1，2）的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使|AB|最小，则直线l 的方程是______．11．过直线x+y ﹣2=0上点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是______．12．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为______．13．椭圆Γ： =1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于______．14．在平面直角坐标系xOy ，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1F 2在x 轴上，离心率为．过F l 的直线交于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为______．15．已知过抛物线y 2=9x 的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 的倾斜角为______．三、解答题（共4小题，满分40分）16．如图，圆x 2+y 2=8内有一点P （﹣1，2），AB 为过点P 且倾斜角为α的弦，（1）当α=135°时，求|AB|（2）当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程．（3）求过点P 的弦的中点的轨迹方程．17．椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e=，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线AB 的斜率为，求△ABF 2的面积．18．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l经过点M（0，1），且与椭圆C交于A，B两点，若=2，求直线l的方程．19．已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，点P是准线l上的动点，直线PF交抛物线C于A，B两点，若点P的纵坐标为m（m≠0），点D为准线l与x轴的交点．（Ⅰ）求直线PF的方程；（Ⅱ）求△DAB的面积S范围；（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．2016-2017学年高二上学期期中试卷数学（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（）A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能【考点】直线与圆的位置关系．【分析】将圆C的方程化为标准方程，找出圆心C坐标和半径r，利用两点间的距离公式求出P与圆心C间的长，记作d，判断得到d小于r，可得出P在圆C内，再由直线l过P点，可得出直线l与圆C相交．【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，∴圆心C（2，0），半径r=2，又P（3，0）与圆心的距离d==1＜2=r，∴点P在圆C内，又直线l过P点，则直线l与圆C相交．故选A．2．圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C．x﹣y+4=0 D．x﹣y+2=0【考点】圆的切线方程．【分析】本题考查的知识点为圆的切线方程．（1）我们可设出直线的点斜式方程，联立直线和圆的方程，根据一元二次方程根与图象交点间的关系，得到对应的方程有且只有一个实根，即△=0，求出k值后，进而求出直线方程．（2）由于点在圆上，我们也可以切线的性质定理，即此时切线与过切点的半径垂直，进行求出切线的方程．【解答】解：法一：x2+y2﹣4x=0y=kx﹣k+⇒x2﹣4x+（kx﹣k+）2=0．该二次方程应有两相等实根，即△=0，解得k=．∴y﹣=（x﹣1），即x﹣y+2=0．法二：∵点（1，）在圆x2+y2﹣4x=0上，∴点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直．又∵圆心为（2，0），∴•k=﹣1．解得k=，∴切线方程为x﹣y+2=0．故选D3．直线x+﹣2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于（）A．2 B．2 C．D．1【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要先求圆心（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d，即可求解【解答】解：∵圆心（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d=由直线与圆相交的性质可知，即∴故选B4．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≥2或 D．k≤2【考点】直线的斜率．【分析】首先求出直线PA、PB的斜率，然后结合图象即可写出答案．【解答】解：直线PA的斜率k==2，直线PB的斜率k′==，结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤．故选C．5．已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b 的值，即可求得双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25， =1，∴b=，a=2∴双曲线的方程为．故选：A．6．已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A．B． C．3 D．5【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可得双曲线的一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离．【解答】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合∴4+b2=9∴b2=5∴双曲线的一条渐近线方程为，即∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于故选A．7．如图F1、F2是椭圆C1： +y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】不妨设|AF 1|=x ，|AF 2|=y ，依题意，解此方程组可求得x ，y 的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C 2的离心率．【解答】解：设|AF 1|=x ，|AF 2|=y ，∵点A 为椭圆C 1：+y 2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF 1|+|AF 2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF 1BF 2为矩形，∴+=，即x 2+y 2=（2c ）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C 2的实轴长为2m ，焦距为2n ，则2m=|AF 2|﹣|AF 1|=y ﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C 2的离心率e===． 故选D ．8．过点（）引直线l 与曲线y=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△ABO 的面积取得最大值时，直线l 的斜率等于（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率．【分析】由题意可知曲线为单位圆在x 轴上方部分（含与x 轴的交点），由此可得到过C 点的直线与曲线相交时k 的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值．【解答】解：由y=，得x 2+y 2=1（y ≥0）． 所以曲线y=表示单位圆在x 轴上方的部分（含与x 轴的交点），设直线l 的斜率为k ，要保证直线l 与曲线有两个交点，且直线不与x 轴重合，则﹣1＜k ＜0，直线l 的方程为y ﹣0=，即．则原点O 到l 的距离d=，l 被半圆截得的半弦长为．则===．令，则，当，即时，S △ABO 有最大值为．此时由，解得k=﹣． 故答案为B ．9．设F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，P 为直线x=上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF 2|=|F 2F 1|，根据P 为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF 2|=|F 2F 1|∵P 为直线x=上一点∴∴故选C ．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）10．已知圆C 的方程为x 2+y 2﹣2y ﹣3=0，过点P （﹣1，2）的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使|AB|最小，则直线l 的方程是 x ﹣y+3=0 ．【考点】直线与圆相交的性质；直线的一般式方程．【分析】先判断点P （﹣1，2）在圆内，故当AB ⊥CP 时，|AB|最小，此时，k CP =﹣1，k l =1，用点斜式写直线l 的方程，并化为一般式．【解答】解：圆C 的方程为x 2+y 2﹣2y ﹣3=0，即 x 2+（y ﹣1）2=4，表示圆心在C （0，1），半径等于2的圆．点P （﹣1，2）到圆心的距离等于，小于半径，故点P （﹣1，2）在圆内．∴当AB ⊥CP 时，|AB|最小，此时，k CP =﹣1，k l =1，用点斜式写直线l 的方程y ﹣2=x+1，即x ﹣y+3=0．11．过直线x+y ﹣2=0上点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是 （，） ． 【考点】圆的切线方程；两直线的夹角与到角问题． 【分析】根据题意画出相应的图形，设P 的坐标为（a ，b ），由PA 与PB 为圆的两条切线，根据切线的性质得到OA 与AP 垂直，OB 与BP 垂直，再由切线长定理得到PO 为角平分线，根据两切线的夹角为60°，求出∠APO 和∠BPO 都为30°，在直角三角形APO 中，由半径AO 的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OP 的长，由P 和O 的坐标，利用两点间的距离公式列出关于a 与b 的方程，记作①，再由P 在直线x+y ﹣2=0上，将P 的坐标代入得到关于a 与b 的另一个方程，记作②，联立①②即可求出a 与b 的值，进而确定出P 的坐标．【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：直线PA 和PB 为过点P 的两条切线，且∠APB=60°，设P 的坐标为（a ，b ），连接OP ，OA ，OB ，∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，PO 平分∠APB ，∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=30°，又圆x 2+y 2=1，即圆心坐标为（0，0），半径r=1，∴OA=OB=1，∴OP=2AO=2BO=2，∴=2，即a 2+b 2=4①，又P 在直线x+y ﹣2=0上，∴a+b ﹣2=0，即a+b=2②，联立①②解得：a=b=，则P 的坐标为（，）．故答案为：（，）12．设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为．【考点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C 的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2．∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（﹣1，1），因点C在椭圆上，∴，∴b2=，∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，则Γ的两个焦点之间的距离为．故答案为：．13．椭圆Γ： =1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于 ． 【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，可得，进而．设|MF 2|=m ，|MF 1|=n ，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a ，c 即可．【解答】解：如图所示，由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tan α，∴α=60°．又椭圆Γ的一个交点满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，∴，∴．设|MF 2|=m ，|MF 1|=n ，则，解得．∴该椭圆的离心率e=．故答案为．14．在平面直角坐标系xOy ，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1F 2在x 轴上，离心率为．过F l 的直线交于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为 +=1 ． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】根据题意，△ABF 2的周长为16，即BF 2+AF 2+BF 1+AF 1=16，结合椭圆的定义，有4a=16，即可得a 的值；又由椭圆的离心率，可得c 的值，进而可得b 的值；由椭圆的焦点在x 轴上，可得椭圆的方程．【解答】解：根据题意，△ABF 2的周长为16，即BF 2+AF 2+BF 1+AF 1=16；根据椭圆的性质，有4a=16，即a=4；椭圆的离心率为，即=，则a=c ，将a=c ，代入可得，c=2，则b 2=a 2﹣c 2=8；则椭圆的方程为+=1；故答案为：+=1．15．已知过抛物线y 2=9x 的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 的倾斜角为或 ．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】首先根据抛物线方程，求得焦点坐标为F （，0），从而设所求直线方程为y=k （x ﹣）．再将所得方程与抛物线y 2=9x 消去y ，利用韦达定理求出x 1+x 2，最后结合直线过抛物线y 2=9x 焦点截得弦长为12，得到x 1+x 2+3=12，求出k ，得到直线的倾斜角．【解答】解：∵抛物线方程是y 2=9x ，∴2p=9，可得 =，焦点坐标为F （，0）设所求直线方程为y=k （x ﹣），与抛物线y 2=9x 消去y ，得k 2x 2﹣（k 2+9）x+k 2=0设直线交抛物线与A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系，得x 1+x 2=， ∵直线过抛物线y 2=9x 焦点，交抛物线得弦长为12，∴x 1+x 2+=12，可得x 1+x 2=，因此， =，解之得k2=3，∴k=tanα=±，结合α∈[0，π），可得α=或．故答案为：或．三、解答题（共4小题，满分40分）16．如图，圆x2+y2=8内有一点P（﹣1，2），AB为过点P且倾斜角为α的弦，（1）当α=135°时，求|AB|（2）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．（3）求过点P的弦的中点的轨迹方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）过点O做OG⊥AB于G，连接OA，依题意可知直线AB的斜率，求得AB的方程，利用点到直线的距离求得OG即圆的半径，进而求得OA的长，则OB可求得．（2）弦AB被P平分时，OP⊥AB，则OP的斜率可知，利用点斜式求得AB的方程．（3）设出AB的中点的坐标，依据题意联立方程组，消去k求得x和y的关系式，即P的轨迹方程．【解答】解：（1）过点O做OG⊥AB于G，连接OA，当α=1350时，直线AB的斜率为﹣1，故直线AB的方程x+y﹣1=0，∴OG=∵r=∴，∴=﹣2，（2）当弦AB被P平分时，OP⊥AB，此时KOP∴AB的点斜式方程为（x+1），即x﹣2y+5=0（3）设AB的中点为M（x，y），AB的斜率为K，OM⊥AB，则消去K，得x2+y2﹣2y+x=0，当AB的斜率K不存在时也成立，故过点P的弦的中点的轨迹方程为x2+y2﹣2y+x=017．椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e=，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线AB 的斜率为，求△ABF 2的面积．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率以及△ABF 2的周长为8，求出a ，c ，b ，即可得到椭圆的方程，（2）求出直线方程与椭圆方程联立，求出A ，B 坐标，然后求解三角形的面积即可．【解答】解：（1）由题意知，4a=8，所以a=2，又e=，可得=，c=1．∴b 2=22﹣1=3．从而椭圆的方程为：．（2）设直线方程为：y=（x+1）由得：5x 2+8x=0．解得：x 1=0，x 2=， 所以y 1=，y 2=，则S=c|y 1﹣y 2|=．18．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 经过点M （0，1），且与椭圆C 交于A ，B 两点，若=2，求直线l 的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的焦距为2，离心率为，求出a ，b ，即可求椭圆C 的方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线l 方程为y=kx+1，代入椭圆方程，由=2，得x 1=﹣2x 2，利用韦达定理，化简求出k ，即可求直线l 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，c=1， =，…∴a=2，b= … 故椭圆方程为． …（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当k 不存在时，直线方程为x=0，不符合题意． …当k 存在时，设直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程，消去y ，得：（3+4k 2）x 2+8kx ﹣8=0，且△＞0，…x 1+x 2=﹣①，x 1x 2=﹣②…若=2，则x 1=﹣2x 2，③… ①②③，可得k=±．…所求直线方程为y=x+1．即x ﹣2y+2=0或x+2y ﹣2=0 …19．已知点F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，点P 是准线l 上的动点，直线PF 交抛物线C 于A ，B 两点，若点P 的纵坐标为m （m ≠0），点D 为准线l 与x 轴的交点．（Ⅰ）求直线PF 的方程；（Ⅱ）求△DAB 的面积S 范围；（Ⅲ）设，，求证λ+μ为定值．【考点】直线的一般式方程；抛物线的应用．【分析】（Ⅰ）由题知点P ，F 的坐标分别为（﹣1，m ），（1，0），求出斜率用点斜式写出直线方程． （Ⅱ）设A ，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），用弦长公式求出线段AB 的长，再由点到直线的距离公式求点D 到直线AB 的距离，用三角形面积公式表示出面积关于参数m 的表达式，再根据m 的取值范围求出面积的范围．（Ⅲ），，变化为坐标表示式，从中求出参数λ，μ用两点A ，B 的坐标表示的表达式，即可证明出两者之和为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题知点P ，F 的坐标分别为（﹣1，m ），（1，0），于是直线PF 的斜率为，所以直线PF 的方程为，即为mx+2y ﹣m=0．（Ⅱ）设A ，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由得m 2x 2﹣（2m 2+16）x+m 2=0，所以，x 1x 2=1．于是．点D 到直线mx+2y ﹣m=0的距离，所以． 因为m ∈R 且m ≠0，于是S ＞4，所以△DAB 的面积S 范围是（4，+∞）．（Ⅲ）由（Ⅱ）及，，得（1﹣x 1，﹣y 1）=λ（x 2﹣1，y 2），（﹣1﹣x 1，m ﹣y 1）=μ（x 2+1，y 2﹣m ），于是，（x 2≠±1）．所以． 所以λ+μ为定值0．。