高二数学第三次月考文科数学

智才艺州攀枝花市创界学校一中2021--2021年度下学期第二次月考高二年级文科数学试卷一、选择题 1．设{}{},3,022x y y B x x x A ==<--=那么=B A 〔〕A.),0(+∞B.)2,0(C.)0,1(-D.)2,1(-2．312-=a ,31log 2=b ,31log 21=c ,那么c b a ,,的大小关系为() A.c b a >> B.b c a >> C.a b c >> D.b a c >>p ,0>a 那么,R x ∈∀都有1)(>x f 〞的否认是“假设,R x ∈∀都有1)(>x f ，那么0≤a 〞； q ：在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 那么“B A >〞是“b a >〕A.q p ∧⌝)(B.)(q p ⌝∨ C.q p ∧ D.)()(q p ⌝∧⌝4．假设关于x 的不等式a x x <---43无解，那么实数a 的取值范围是〔〕．A.1-≤aB.1-<aC.1-≥aD.1->a5．在极坐标系中，直线2)sin cos 3(=-θθρ与圆θρsin 4=交点的极坐标为〔〕A.)6,2(πB.)3,2(πC.)6,4(πD.)3,4(π6．函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数〔〕A.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭B.(),2ππ C.35,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()2,3ππ 7．假设0b a <<，那么以下不等式：①a b >；②a b ab +<；③2b aa b+>；④22a a b b <-中，正确的不等式有〔〕A.1个B.2个C.3个D.4个8．函数xx y 1sin +=的局部图象大致为〔〕 A. B. C. D.9、设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在)0,(-∞上是增函数,那么()2f -与()223f a a -+〔a R ∈〕的大小关系是〔〕A ．()2f -<()223f a a -+B ．()2f -≥()223f a a -+C ．()2f ->()223f a a -+D ．与a 的取值无关假设函数10．参数方程)(,sin 22cos 2sin 为参数αααα⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x 的普通方程为〔〕 A.122=-x y B.122=-y xC.)2(122≤=-x x y D.)2(122≤=-x y x11．)(x f 为偶函数，对任意)2()(,x f x f R x -=∈恒成立，且当10≤≤x 时，222)(x x f -=.设函数,log )()(3x x f x g -=那么)(x g 的零点的个数为〔〕A.6B.7C.8D.9 12．直线l 是曲线x y e =与曲线22x y e =-的一条公切线，l 与曲线22x y e =-切于点(),a b ，且a是函数()f x 的零点，那么()f x 的解析式可能为〔〕A.()()222ln211x f x e x =+--B.()()222ln212x f x e x =+--C.()()222ln211x f x e x =--- D.()()222ln212x f x e x =---二、填空题02,00200>-+>∃mx x x 〞的否认是__________．14．0,0,3ab a b >>+=______．15．函数,0)2(02)(⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=x x f x x f x 那么__________)2017()3()2()1(=++++f f f f16．假设关于x 的方程0ln)2(1=--x e x k 在),1(+∞上有两个不同的解，其中e 为自然对数的底数，那么实数k 的取值范围是___________. 三、解答题:p 关于a 的不等式;04,22>+-∈∀a x x R x :q 关于x 的一元二次方程01)1(2=-+++a x a x )0(012:22>≥-+-m m a a r 的解集.〔1〕假设q p ∨a 的取值范围；〔2〕假设r ⌝是p ⌝的必要不充分条件，务实数m 的取值范围.18．以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M 的直角坐标为),0,1(假设直线l 的极坐标方程为,01)4cos(2=-+πθρ曲线C 的参数方程是,442⎩⎨⎧==my m x 〔m 为参数).〔1〕求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；〔2〕设直线l 与曲线C 交于B A ,两点，求MBMA 11+. 19．()1f x x x m =++-.〔1〕假设()2f x ≥，求m 的取值范围；〔2〕1m >，假设()1,1x ∃∈-使()23f x x mx ≥++成立，求m 的取值范围.20、设函数.9)(,3)(x x x h x g ==〔1〕解方程]9)([log ]8)(2[log 33+=-+x h x g x ;〔2〕假设bx g ax g x f +++=)()1()(是R 上的奇函数,且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立,务实数k 的取值范围. 21．设函数x x ax x f ++=23)(.〔1〕讨论函数)(x f 的单调性；〔2〕对),0(+∞∈∀x 恒有xx x g 1ln )(+≤成立,求a 的取值范围. 22．函数x xm x x f ln 2)(2-+=,.R m ∈.〔1〕求函数)(x f 的单调增区间；〔2〕假设函数)(x f 有两个极值点21,x x ，且21x x <，证明：1)(22-<x x f .答案BDAAABCBBCCB1423151617【答案】〔1〕]2,1[.〔2〕．18【答案】〔1〕，；〔2〕119【答案】〔1〕x=2〔2〕k<2 21【答案】〔1〕；〔2〕1-≤a .22详解：〔Ⅰ〕由，得：设函数当时，即时，，，所以函数在时，即时， 令得，，当时，即时，在上，，;在上，，.所以函数在，上单调递增，在上单调递减.当时，即时，在上，，;在上，，.所以函数在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.〔Ⅱ〕证明：∵函数有两个极值点，且，∴有两个不同的正根，∴∴.欲证明，即证明，∵，∴证明成立，等价于证明成立.∵，∴.设函数，求导可得.易知在上恒成立，即在上单调递增，∴，即在上恒成立，∴函数有两个极值点，且时，.。

卜人入州八九几市潮王学校蕉岭二零二零—二零二壹第二学期高二级第三次质检文科数学试题 第一卷一、选择题：本大题一一共12小题，一共60分，在每个小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的{}(){}2|0,|lg 21A x x x B x y x =-≥==-，那么集合A B =〔〕A.10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.[]0,1C.1,12⎛⎤⎥⎝⎦D.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】因为1{|01},2A x x B x x ⎧⎫=≤≤=⎨⎬⎩⎭，所以1{|1}2AB x x =<≤，应选答案C 。

2(1)1i z i+=-，那么z =〔〕A.1【答案】B 【解析】∵复数22(1)22(1)1111i i i i z i i i i ++====-+---∴z ==应选B.3.甲、乙两名运发动各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，那么他们选择一样颜色运动服的概率为()A.13B.12C.23D.34【答案】A 【解析】甲，乙两名运发动各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为〔红，红〕，〔红，白〕，〔红，蓝〕，〔白，红〕，〔白，白〕，〔白，蓝〕，〔蓝，红〕，〔蓝，白〕，〔蓝，蓝〕．他们选择一样颜色运动服有3种不同的结果，即〔红，红〕，〔白，白〕，〔蓝，蓝〕，故他们选择一样颜色运动服的概率为3193=，应选A ． 点睛：古典概型中根本领件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适宜于较为复杂的问题中的根本领件的探求.对于根本领件有“有序〞与“无序〞区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素根本领件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目详细化. 4.如图1，九章算术中记载了一个“折竹抵地〞问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何意思是:有一根竹子,原高一丈〔1丈=10尺〕,现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的间隔三尺，问折断处离地面的高为〔〕尺. A.5.45 B.4.55C.4.2D.5.8【答案】B 【解析】 如图，10AC AB +=，3BC =，2229AB AC BC -==∴()()9AB AC AB AC +-=，解得0.9AB AC -=，∴100.9AB AC AB AC +=⎧⎨-=⎩，解得 5.454.55AB AC =⎧⎨=⎩ .应选B.α满足sin 51cos αα=-，那么1cos sin αα+=()A.15 B.52C.5或者15D.5【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式整理条件得15tan α=，再将所求式子利用二倍角公式化简可求得结果. 【详解】22sincossin 12251cos tan 112sin 2αααααα===--+ 此题正确选项：D【点睛】此题考察三角恒等式，通过二倍角公式化简可得结果，属于根底题.sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12〔纵坐标不变〕，再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增〔〕A.,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭B.,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C.,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D.2,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】将函数πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12，可得πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再往上平移1个单位，得函数πsin 216y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象.∵πsin 216y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的单调区间与函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭一样∴令πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈，解得：ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈. 当0k=时，该函数的单调增区间为ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭.应选C.点睛：由sin y x =的图象，利用图象变换作函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是ϕ个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是ϕω个单位．()1221,0,0x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，假设()01f x >，那么0x 的取值范围是〔〕A.(1,1)-B.(1,)-+∞C.(,2)(0,)-∞-+∞D.(,1)(1,)-∞-+∞【答案】D 【解析】试题分析：由得00211,{0x x -->≤或者01200{1x x >>，解得01x <-或者01x >，应选D 。

2021-2021学年度第二学期普集高中高二第3次月考试题文 科 数 学〔总分150分 时间是：120分钟〕一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)1．设复数z 满足(1+i)z=2，其中i 为虚数单位，那么Z= 〔 〕A ．1+iB ．1-iC ．2+2iD ．2-2i2. “2x >〞是“24x >〞的 〔 〕A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3..设x ,y ∈R ,x 2+2y 2=6,那么x+y 的最小值是( ) B.- C.-3 D.-4．直线⎩⎨⎧ x ＝4－3t ，y ＝5＋3t (t 为参数)上与点P (4,5)的间隔 等于2的点的坐标是( )A ．(－4,5)B ．(3,6)C ．(3,6)或者(5,4)D ．(－4,5)或者(0,1)5．变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．以下结论中正确的选项是( )A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关6. 通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好“踢毽子运动〞，计算得到统计量值2κ的观测值892.4≈k ，参照下表，得到的正确结论是〔 〕A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该运动与性别有关〞B. 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该运动与性别无关〞C. 有99%以上的把握认为“爱好该运动与性别有关〞D ．有99%以上的把握认为“爱好该运动与性别无关〞7.极坐标方程ρ=cos θ和参数方程(t 为参数)所表示的图形分别是( ) A .圆、直线 B .直线、圆 C .圆、圆 D .直线、直线8. 圆θθρsin 35cos 5+=的圆心坐标是 〔 〕A ．4(5,)3π-- B ．(5,)3π- C ．(5,)3π D ．5(5,)3π-9．焦点为1016（，）的抛物线的HY 方程为 〔 〕A ．214y x = B. 214y x = C. 218y x = D. 218y x =10．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4t ，y ＝2－2t (t 为参数)与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的交点坐标是() A ．(0,2)或者(2,0) B ．(4,0)或者(0,4)C ．(0,2)或者(4,0)D ．(4,2)11.“因为指数函数x a y =是增函数(大前提)，而xy )31(=是指数函数(小前提)， 所以xy )31(=是增函数(结论)〞，上面推理错误的选项是( )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提错都导致结论错12. 假设x ，y >0，且x ＋2y ＝3，那么 1x ＋1y 的最小值是( )A ．2 B. 32 C ．1＋223 D ．3＋2 2二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在题中横线上) 34()45x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为 14.圆的极坐标方程为ρ=2cos θ,那么该圆的圆心到直线ρsin θ+2ρcos θ=1的间隔 是 .13，乙射手击中靶心的概率为12，甲、乙两人各射击一次，那么甲、乙不全击中靶心的概率为 ．16．对具有线性相关关系的变量x 和y ，由测得的一组数据求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，那么这条回归直线的方程为________.三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)17．〔10分〕当m 为何实数时,复数()2221z m m m i =+-+-是：〔Ⅰ〕纯虚数；〔Ⅱ〕实数.18..(本小题满分是12分)曲线C 为3x 2+4y 2-6=0(1)写出曲线C 的参数方程;(2)假设动点P (x ,y )在曲线C 上,求z=x+2y 的最大值与最小值.19．(12分)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝1＋2t (t 为参数)和圆C 的极坐标方程：ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(θ为参数)．(1)将直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)判断直线l 和圆C 的位置关系．20.〔12分〕 12分在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取一样的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于A ，B .假设点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |.21.〔12分〕经统计，某一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：〔1〕求每天超过20人排队结算的概率；〔2〕求2天中，恰有1天出现超过20人排队结算的概率.22. 〔12分〕为了研究某学科成绩〔满分是100分〕是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到以下图所示女生成绩的茎叶图.其中抽取的男生中有21人的成绩在80分以下，规定80分以上为优秀〔含80分〕．〔1〕请根据题意，将2×2列联表补充完好；优秀非优秀总计男生女生总计50〔2〕据此列联表判断，是否有90%的把握认为该学科成绩与性别有关？附：，其中.参考数据当≤2.706时，无充分证据断定变量A，B有关联，可以认为两变量无关联；当＞2.706时，有90%的把握断定变量A，B有关联；当＞3.841时，有95%的把握断定变量A，B有关联；当＞6.635时，有99%的把握断定变量A，B有关联．2021-2021学年度第二学期普集高中高二第3次月考文科数学试题答案一、 选择题1-5 B B C CC 6-10 A A C B C 11-12 A C二、填空题 13. －45 14 . 55 15 . 65 错误！未找到引用源。

2021年高二下学期第三次月考文科数学试题含答案一、选择题（本题共12个小题,每题只有一个正确答案，每题5分，共60分。

请把答案涂在答题卡上）1、若复数满足，则的虚部为（）A.4B.C. D.2、参数方程222sin()sinxyθθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数所表示的图形是（）A.直线B. 射线C. 线段D. 圆3、用反证法证明命题：“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时，先作出和结论相反的假设，其中，所作的假设正确的是（）A.假设三内角都不大于60°B.假设三内角都大于60°C.假设三内角至多有一个大于60°D.假设三内角至多有两个大于60°4、若复数，则= （）A．1 B．2 C．3 D．5、若点在曲线(t为参数)上，点，则等于（）A．4 B．5 C．6 D．76、在回归分析中，给出下列结论：（1）可用指数系数的值判断拟合效果，越大，拟合效果越好；（2）可用残差平方和判断拟合效果，残差的平方和越大，拟合效果越好；（3）可用相关系数的值判断拟合效果，越小，拟合效果越好；（4）可用残差图判断拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越高．以上结论中，正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47、若为实数，且，则下列不等式正确的是（）A.B.C. D.8、若是关于的实系数方程的一个复数根，则（）A. B.C. D.9、设函数的导函数为，且满足，则（）A．1 B．－1C．D．10、曲线上的点到直线的最短距离是 （ ）A ．B ．C ．D ．011、设函数在R 上可导,其导函数为,且函数的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是 （ ）A ．函数有极大值和极小值B ．函数有极大值和极小值C ．函数有极大值和极小值D ．函数有极大值和极小值12、函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+=014310cos 3x x x x x x x f 的零点个数为 （ ）A.4B.3C.2D.无数个试卷Ⅱ（共 90 分）二、填空题（本题共4个小题,每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）13、若复数()()i m m m m 36522-++-是纯虚数，其中为实数为虚数单位，则__________14、为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方程为．由以上信息，得到下表中的值为 ．天数（天）3 4 5 6 7 繁殖个数（千个）2.5 4 4.5 6 15、在平面几何中，若正三角形的内切圆面积为，外接圆面积为，则，类比上述命题，在空间中，若正四面体的内切球体积，外接球体积为，则_____.16、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是 .三、解答题（本题共6个小题，其中第17题10分，其余各题12分共计70分。

—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————2019学年高二（上）第三次月考数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“若1a b +>，则221a b +>”的逆否命题为（ ）A ．若221a b +>，则1a b +>B ．若221a b +≤，则1a b +≤C ．若1a b +>，则221a b +≤D ．若221a b +<，则1a b +<2. 若直线4y =+与直线l 垂直，则的倾斜角为（ ） A ．030 B ．060 C ．0120 D ．01503. 下列方程表示焦点在轴上且短轴长为2的椭圆是（ ）A ．2212y x += B ．2213x y += C ．22145x y += D ．22154x y += 4. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面是梯形ABCD ，//,AD BC AC BD ⊥,且PA AD =，则下列判断错误的是（ ）A ．//BC 平面PADB ．PD 与平面ABCD 所成的角为045C ．AC PD ⊥ D ．平面PAC ⊥平面PBD5. 设有下面四个命题1:p 抛物线212y x =的焦点坐标为1(0,)2； 2:p m R ∃∈，方程222mx y m +=表示圆；3:p k R ∀∈，直线23y kx k =+-与圆22(2)(1)8x y -++=都相交；4:p 过点且与抛物线29y x =有且只有一个公共点的直线有2条.那么，下列命题中为真命题的是（ ）A ．13p p ∧B ．14p p ∧C ．24()p p ∧⌝D ．23()p p ⌝∧6. “2log 3x >”是“32x >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7. 若动圆P 与圆22:(2)1M x y ++=和圆22:(3)(14)N x y λλ++=≤≤都外切，则动圆P 的圆心的轨迹（ ）A ．是椭圆B ．是一条直线C ．是双曲线的一支D ．与λ的值有关8. 当双曲线222:14x y M m m -=+的离心率取得最小值时，M 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =±C ．y =D ．12y x =±9. 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作斜率大于0的直线l 交抛物线于,A B 两点（A 在B 的上方），且l 与准线交于点C ，若3CB BF =，则AF BF= （ ） A ．2 B ．52 C ．3 D ．9410. 已知直线l 交椭圆22142x y +=于,A B 两点，且线段AB 的中点为(1,1)--，则l 的斜率为（ ）A ．2-B ．12-C ．2D ．1211. 在平面直角坐标系xOy 中，已知(0,A B P 为函数y =点，若2PB PA =，则cos APB ∠= （ ）A ．13B ．34 D ．3512.已知抛物线24x y = 上有一条长为10的动弦AB ，则弦AB 的中点到x 轴的最短距离为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.双曲线C 与双曲线2214y x -=有公共的渐近线，且C 过点(2,0)，则C 的标准方程为 ．14. 若直线4y =+与圆22:14O x y +=相交于,A B 两点，则AB = ．．15. 如图，H 是球O 的直径AB 上一点，平面α截球O 所得截面的面积为9π， 平面,:1:3AB H AH HB α==，且点A 到平面α的距离为1，则球O 的表面积为 ．16、若,A B 分别是椭圆22:1(1)x E y m m+=>短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上异于,A B 的任意一点，若直线AP 与直线BP 的斜率之积为4m -，则椭圆E 的离心率为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知:,sin cos p x R m x x ∀∈≥-；:q 方程2221mx y +=表示焦点在x 轴上的椭圆.（1）当1m =时，判断p q ∨的真假；（2）若p q ∧为假，求m 的取值范围.18. 已知圆22:20C x y x my +-+=经过点(3,1)-.（1）若直线:20l x y t -+=与圆C 相切，求t 的值；（2）若圆222:(6)(10)(0)M x y r r -+-=>与圆C 无公共点，求r 的取值范围. 19. 已知椭圆222:1(0)9x y M b b+=>的一个焦点为(2,0)，设椭圆N 的焦点为椭圆M 短轴的顶点，且椭圆N 过点(2. （1）求N 的方程；（2）若直线2y x =-与椭圆N 交于,A B 两点，求AB .20. 如图，四边形ABEF 是正四棱柱1111ABCD A B C D -的一个截面，此截面与棱1CC 交于点E ，12,1,AB CE C E BG ME BE ====⊥,其中,G M 分别为棱111,BB B C 上一点.（1）证明：平面1A ME ⊥平面ABEF ；（2）为线段BC 上一点，若四面体11A B MG 与四棱锥N ABEF -的体积相等，求BN 的长.21.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，且椭圆E 经过点，已知点(0,2)Q ，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆E 相交于,A B 两点，B '与B 关于y 轴对称.（1）求C 的方程；（2）证明：,,Q A B '三点共线.22. 已知抛物线2:2(0)C x py p =->的焦点到准线的距离为12，直线:(1)l y a a =<-与抛物线C 交于,A B 两点，过这两点分别作抛物线C 的切线，且这两条切线相交于点D .（1）若D 的坐标为(0,2)，求a 的值；（2）设线段AB 的中点为N ，点D 的坐标为(0,)a -，过(0,2)M a 的直线l '与线段DN 为直径的圆相切，切点为G ，且直线l '与抛物线C 交于,P Q 两点，证明：PQMG=试卷答案一、选择题1-5: BDACB 6-10: ADAAB 11、C 12：C二、填空题 13. 221416x y -=14.40π三、解答题17.解：因为sin cos )[4x x x π-=-∈， 所以若p为真，则m ≥由2221mx y +=得221112x y m +=，若q 为真，则112m >，即02m <<， （1）当1m =时，p 假q 真，故p q ∨为真；（2）若p q ∧2m ≤< ，所以，若p q ∧为假，则([2,)m ∈-∞+∞. 18.解：将(3,1)-代入2220x y x my +-+=，得1m =，则圆的标准方程为22(1)(2)5x y -++=，故圆心为(1,2)C -，半径r =（1）因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离等于圆的半径，=45t +=，解得1t =或9t =-.（2）圆M 的圆心为(6,10)M ，则13MC =,由题意可得圆M 与圆C内含或相离，则13r <13r >，所以(0,13(135,)r ∈++∞. 19. 解：（1）设N 的方程为22221(0)x y n m m n+=>>，则2225n m b -==， 又221321m n+=，解得221,6m n ==， 所以N 的方程为2216y x +=. （2）由22216y x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得27420x x --=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121212,77x x x x +==-，所以127AB ===， 20. （1）证明：在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1,AB BC BB ⊥⊥底面ABCD ，所以1BB AB ⊥，又1BB BC B =，所以AB ⊥平面11BCC B ，则AB ME ⊥，因为,ME BE BE AB B ⊥=，所以ME ⊥平面ABEF ，又ME ⊂平面1A ME ，所以平面1A ME ⊥平面ABEF .(2)解：在Rt BEC ∆中，BC CE =,所以045BEC ∠=，因为ME BE ⊥，所以0145MEC ∠=，因为11C E =，所以11MC =，又112B C =，所以11B M =，因为1BG =，所以12B G =，所以四面体11A B MG 的体积11112221323G A B M V V -==⨯⨯⨯⨯=.取BE 的中点H ，因为BC CE =，所以GH CE ⊥，又AB ⊥平面11BCC B ， 所以AB CH ⊥，则CH ⊥平面ABEF ,过N 作//NP CH ，交BE 于P ，则BP ⊥平面ABEF，所以12233N ABEF V NP -=⨯⨯⨯=.21.解：（1）由已知得222222112a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得224,2a b ==， 所以椭圆的方程为22142x y +=. （2）证明：当直线l 与x 轴垂直时，显然有,,Q A B '三点共线，当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1,,y kx A B =+的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， 联立22221(21)420142y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， 其判别式22(4)8(21)0k k ∆=++>，所以12122242,2121k x x x x k k +=-=-++， 因此121212112x x k x x x x ++== 易知点B 关于y 轴垂直的点B '的坐标为22(,)x y -， 又112211122212121111,QA QB y kx y kx k k k k k x x x x x x x '----===-===-+=--， 所以QA QB k k '=，即,,Q A B '三点共线.22. 解：（1）由抛物线2:2(0)C x px p =->的焦点到准线的距离为12，得12p =， 则抛物线C 的方程为2x y =-.设切线AD 的方程为2y kx =+，代入2x y =-得220x kx ++=，由280k ∆=-=得k =±，当k =A 的横坐标为2k -=2(2a =-=-，当k =-2a =-.（2）由（1）知，(0,),(0,)N a D a -，则以线段ND 为直径的圆为圆222:O x y a +=， 根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线l '即可，因为G 为直线l '与圆O 的切点，所以OG MG ⊥，1cos 22a MOG a ∠==，所以3MOG π∠=，所以,l MG k '==所以直线l '的方程为2y a =+，代入2x y =-得220x a +=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，所以12122,380x x x x a a +==∆=->，所以PQ ==，所以PQ MG ===。

卜人入州八九几市潮王学校2021～2021高二〔下〕第三次月考数学〔文科〕 第一卷一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.p ：x R ∀∈，210x +>，那么p ⌝为〔〕A ．0x R ∃∈，2010x +>B ．0x R ∀∈，210x +≤ C ．0x R ∃∈，2010x +<D ．0x R ∃∈，2010x +≤2.“0x=〞是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈为纯虚数〞的〔〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件()f x =3(log )2f a =，那么a =〔〕 A ．13B ．14C ．12D ．2{3,2,0,2,4}A =--，{|B x y ==，那么如图中阴影局部所表示的集合为〔〕A ．{3,2,0}-B ．{3,2,4}--C ．{0,4}D ．{2,4}1p ：常数数列既是等差数列也是等比数列； 2p ：0x R ∃∈，220log (1)0x +≤；3p ：椭圆2213y x +=〕 A ．12p p ∨B ．13()()p p ⌝∨⌝C ．13()p p ⌝∧D ．23()()p p ⌝∨⌝6.执行如下列图的程序框图，输出的S =〔〕A ．2B ．1C ．0D ．1-(1)()z a a i a R =+-∈，假设z =，那么z 在复平面内对应的点位于〔〕A ．第一或者第二象限B ．第二或者第三象限C ．第一或者第三象限D ．第二或者第四象限 8.在极坐标系中，O 为极点，曲线2cos 1ρθ=与射线3πθ=的交点为A ，那么OA =〔〕AB ．2CD ．124()44xxx f x -=-的大致图象为〔〕A ．B ．C ．D ．10.()f x 为偶函数，对任意x R ∈，()(2)f x f x =-恒成立，且当01x ≤≤时，2()22f x x =-.设函数3()()log g x f x x =-，那么()g x 的零点的个数为〔〕A ．6B ．7C ．8D ．9n 表示大于9的整数n 的十位数，例如5202=，178050=.m ，n ，p 都是大于9的互不相等的整数，现有如下4 ①假设137m =，那么9113()m =⨯；②*,m n N ∃∈，2m n =且2()m n =； ③假设n 是质数，那么n也是质数；④假设m ，n ，p 成等差数列，那么m，n，p可能成等比数列. 〕A ．②B ．③④C ．①②④D ．①②③④1222,2()1130,2x x f x x x x +⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，假设互不相等的实数a ，b ，c ，d 满足()()()()f a f b f c f d ===，那么2222a b c d +++的取值范围是〔〕A．2,146)B ．(98,146) C．2,266)D ．(98,266)第二卷二、填空题：本大题一一共6小题，每一小题5分，一共30分.把答案填在答题卡中的横线上.32,0()ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，那么1(())f f e =． xOy 中，假设直线l ：x t y t a =⎧⎨=-⎩〔t 为参数〕过椭圆C ：4cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩〔为参数〕的左顶点，那么a =． z 满足(1)3z i i +=-，那么z 的虚部为． x 和销售量y 之间的一组数据如下表所示：销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，且回归直线方程是(4)50y a x a =-+，那么a =．2()2f x x ax =-+，假设()f x 在[0,2]上有两个零点，那么a 的取值范围是．．三、解答题：本大题一一共5小题，一共60分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩〔α为参数〕，直线l 的参数方程为1212x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩〔t 为参数〕，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，以直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.〔1〕求曲线C 的极坐标方程；〔2〕点P 的极坐标为3(1,)2π，求11PA PB +的值.20.在极坐标系中，过极点O 作直线与另一直线l ：cos 8ρθ=-相交于点A ，在直线OA 上取一点M ，使16OA OM ⋅=.〔1〕记点M 的轨迹为Ω，求Ω的极坐标方程并将其化为直角坐标方程； 〔2〕假设N 为直线l 上一点，点B 的极坐标为(1,)π，MNBM ⊥，求MN的最小值.21.某电视传媒公司为了理解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进展调查，如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间是的频率分布直方图，将日均收看该体育节目时间是不低于40分钟的观众称为体育迷.〔1〕假设日均收看该体育节目时间是在(50,60]内的观众中有两名女性，现从日均收看时间是在(50,60]内的观众中抽取两名进展调查，求这两名观众恰好一男一女的概率；〔2〕假设抽取100人中有女性55人，其中女体育迷有10人，完成答题卡中的列联表并判断能否在犯错概率不超过0.05的前提下认为是体育迷与性别有关系吗？ 附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.22.〔1〕在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin()A C B +=，证明：()()()()c b c a a b a b b c +++=++；〔2〕结论：在直角三角形中，假设两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么斜边上的高ab h c=.假设把该结论推广到空间：在侧棱互相垂直的四面体A BCD -中，假设三个侧面的面积分别为1S ，2S ，3S ，底面面积为S ，那么该四面体的高H 与S ，1S ，2S ，3S 之间的关系是什么？〔用S ，1S ，2S ，3S 表示H 〕42()(log )(log )f x x x =24(log log )()x x m m R -++∈.假设()f x 在[1,]n 上的值域为区间D ，试问是否存在常数n ，使得区间D 的长度为29log 8n +？假设存在，求出所有n 的值；假设不存在，请说明理由〔注：区间[,]()p q p q <的长度为q p -〕.2021～2021高二〔下〕第三次月考数学参考答案〔文科〕一、选择题1-5:DCDDC6-10:BCAAC11、12：CB 二、填空题 1324-20.88.丙、丁 三、解答题19.解：〔1〕C 的普通方程为22(2)(1)4x y -+-=，整理得224210xy x y +--+=，所以曲线C 的极坐标方程为24cos 2sin 10ρρθρθ--+=.〔2〕点P 的直角坐标为(0,1)-，设A ，B 两点对应的参数为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程中得221(2)(11)42t -+-+-=，整理得2(240tt -++=.所以121224t t t t ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩，且易知10t >，20t >，由参数t 的几何意义可知，1PA t =，2PB t =，所以1212111111PA PB t t t t +=+=+121212t t t t +==. 20.解：〔1〕设动点M 的极坐标为(,)ρθ，A 的极坐标为0(,)ρθ，那么016ρρ=.因为0cos 8ρθ=-，所以2cos ρθ=-，此即为Ω的极坐标方程.将2cos ρθ=-化为直角坐标方程，得222xy x +=-，即22(1)1(0)x y x ++=≠.〔2〕由〔1〕知B 点即为圆22(1)1x y ++=的圆心.因为MN BM ⊥，所以MN ==所以当BN 最小时，MN最小，而BN 的最小值为B 到直线l 的间隔，即min 7BN =.于是min MN ==.21.解：〔1〕由图可得，日均收看时间是在(50,60]内的观众有5名，那么其中有3名男性，2名女性，记3名男性为1a ，2a ，3a ，2名女性为1b ，2b .从中抽取两名观众的情况有12(,)a a ，13(,)a a ，23(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，31(,)a b ，32(,)a b ，12(,)b b 10种.其中恰好一男一女的情况有6种，所以所求概率63105P ==. 〔2〕由题意得如以下22⨯联表：2K 的观测值2100(30104515)75254555k ⨯-⨯=⨯⨯⨯1003.84133=<， 故不能在犯错概率不超过0.05的前提下认为是体育迷与性别有关系.22.〔1〕证明：由sin()A CB +=，得tan B =3B π=.要证()()()()c b c a a b a b b c +++=++， 只需证222c bc a ab ab ac b bc +++=+++，即证222ca b ac +-=，只需证222122c a b ac +-=，即证1cos 2B =.而3B π=，1cos 2B =显然成立，故()()()()c b c a a b a b b c +++=++. 〔2〕解：记该四面体A BCD -的三条侧棱长分别为a ，b ，c ，不妨设112S ab =，212S bc =，312S ac =， 由11133SH S c =， 得1S c H S=，于是H ===，即H =23.解：42()(log )(log )f x x x =24(log log )x x m -++22213(log )(log )22x x m =-+. 原问题等价于213()22g t t t m =-+在2[0,log ]t n ∈上的值域的区间长度为29log 8n +.①当230log 2n <<，即3212n <<时，由2(0)(log )g g n -22213[(log )(log )]22m n n m =--+29log 8n =+，即2214(log )802n -+=，得n ∈∅.②当23log 32n ≤≤，即3228n ≤≤时，由399(0)()()284g g m m -=--+299log 88n ==+，∴1n =，又3228n ≤≤，∴1n =不合题意. ③当2log 3n >，即8n >时，由23(log )()2g n g -22213[(log )(log )]22n n m =-+2999()log 848m n --+=+.解得2log 5n =或者2log 0n =，又8n >，∴32n =.综上所述：只有32n =符合题意.。

中山市第二中学高二月考3 数学试题（文）____班_ _ _ _ _ _一、选择题：（共10小题，每小题5分，满分50分，每四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．椭圆2214xy +=的长轴长为 ( )A ．16 B ． 8 C ．4 D ．22. 椭圆1422=+y x 的离心率为（ ）A .23 B . 43C.22 D.323．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．“21x =”是“1-=x ”的充分不必要条件B ．“2=x ”是“0652=+-x x ”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有012>++x x ”． D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．4．函数762)(23+-=x x x f 的单调递减区间是（ ）A ．（－∞，－2）B ．（－2，0）C ．（0，2 ）D ．（2，+∞） 5. 已知,cos 23)(2x xx f += 则=')6(πf （ ）A. 1+πB. 1-πC. 3+πD. 3-π6. 等差数列{}n a 中, 315,a a 是方程2610x x --=的两根, 则7891011a a a a a ++++等于（ ） A. 18 B. 18- C. 15 D. 127. 抛物线2y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（ ）A ．1716B ．1516C ．78D ．08．函数]3,3[,12)(3-∈-=x x x x f 上的最小值为（ ）A ．－32B ．－16C ．－12D ．－9 9. 等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列. 若a 1＝1，则S 4=( )A ．7B ．8C ．15D ．1610．双曲线:1C 122=+ymx 的虚轴长是实轴长的2倍，双曲线2C 与1C 有共同的渐近线，且过点)2,4(，则2C 的方程是（ ）A ．12822=-yxB ．132422=-yxC ．11622=-xyD ．129222=-xy二、填空题:（4小题，每小题5分，共20分，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置）11．对于下列语句（1）2,3x Z x ∃∈= （2）2,2x R x ∃∈= （3）2,302x R x x ∀∈>++ （4）2,05x R x x ∀∈>+-其中正确的命题序号是 .12．若实数,x y 满足2045x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则sy x =-的最大值是 _ .13．正数b a ,满足,121=+ba则b a +的最小值为__________.14．函数x x y ln =在点x ＝1处的切线方程是_______________.班别： 姓名： 学号： ____________◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆密◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆封◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆中山市第二中学高二月考3 数学试卷（文）二、填空题:（每小题5分，共20分，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置）11._________; 12.________; 13.__________; 14.________________.三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15.（12分）已知双曲线的实轴在x 轴上, 实轴长和离心率都为2.(1)求双曲线的标准方程及渐近线方程;(2)以双曲线的焦点为抛物线的焦点,求抛物线的标准方程.16. (13分) 在△ABC 中, BC ＝5, AC ＝3, sinC ＝2sinA . (1). 求边长AB 的值; (2). 求△ABC 的面积.17. (13分)已知命题,032,:2≥++∈∀x ax R x p 如果命题p ⌝是真命题，求实数a 的取值范围.18.(14分)已知椭圆,1422=+yx 过点)21,41(P 作直线l , 交椭圆于A 、B 两点.(1). 当点P 为弦AB 的中点时, 求直线l 的方程. (2). 在上述条件下, 求弦长│AB │.19.(14分) 在边长为60cm 的正方形铁皮的四角上切去相等的正方形, 再把它的边沿虚线折 起, 做成一个无盖的方底箱子, 箱底的边长x 是多少时, 箱子的容积最大? 最大容积是多少?20.(14分)数列{}n a 中, 前n 项和31nn S =+. （1）求通项公式n a ;（2）若n n S n b ⋅= ,求数列{}n b 的前n 项和n T .中山市第二中学高二月考3 数学试题（文）一、选择题：（共10小题，每小题5分，满分50分，每四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．椭圆2214xy +=的长轴长为 ( C )A ．16 B ． 8 C ．4 D ．22. 椭圆1422=+y x 的离心率为（ A ）A .23 B . 43C.22 D.323．下列有关命题的说法正确的是（ D ）A ．“21x =”是“1-=x ”的充分不必要条件B ．“2=x ”是“0652=+-x x ”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有012>++x x ”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题． 4．函数762)(23+-=x x x f 的单调递减区间是（ C ）A ．（－∞，－2）B ．（－2，0）C ．（0，2 ）D ．（2，+∞） 5. 已知,cos 23)(2x x x f += 则=')6(πf （ B ）A. 1+πB. 1-πC. 3+πD. 3-π6. 等差数列{}n a 中, 315,a a 是方程2610x x --=的两根, 则7891011a a a a a ++++等于（ C ） A. 18 B. 18- C. 15 D. 12 7. 抛物线2y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（ B ）A ．1716B ．1516C ．78D ．08.函数]3,3[,12)(3-∈-=x x x x f 上的最小值为（ B ）A ．－32B ．－16C ．－12D ．－9 9. 等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列. 若a 1＝1，则S 4=CA ．7B ．8C ．15D ．1610．双曲线:1C 122=+ymx 的虚轴长是实轴长的2倍，双曲线2C 与1C 有共同的渐近线，且过点)2,4(，则2C 的方程是（ A ）A ．12822=-yxB ．132422=-yxC ．11622=-xy D ．129222=-xy二、填空题:（4小题，每小题5分，共20分，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置） 11．对于下列语句（1）2,3x Z x ∃∈= （2）2,2x R x ∃∈= （3）2,302x R x x ∀∈>++ （4）2,05x R x x∀∈>+-其中正确的命题序号是 （2）,（3） .12．若实数,x y 满足2045x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩则sy x =-的最大值是 _ 813．正数b a ,满足,121=+ba 则b a +的最小值为__________.223+14．函数x x y ln =在点x ＝1处的切线方程是_______________. x ―y ―1＝0三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 15.（12分）解:(1)由题意知2a ＝2, ,2==ac e ∴ a ＝1,c ＝2, b ＝3, 焦点在x 轴上,故双曲线的标准方程为: 1322=-yx , 其渐近线方程为: x y 3±= .(2) 双曲线的焦点为F(±2,0),设抛物线的标准方程为: px y 22±= ,则22=p , 82=p ,故抛物线的标准方程为: x y82±= .16. (13分) 解:(1)在△ABC 中, 由正弦定理得:,sin sin ABC CAB =AB=BCAC ⋅sin sin =2BC=52.(2) 在△ABC 中, 由余弦定理得: cosA=,5522222=⋅-+AC AB BCACAB则sinA=,55cos 12=-A 故△ABC的面积S △==⋅⋅⋅A AC AB sin 2135535221=⨯⨯⨯.17. (13分) 解: 由p 命题知, 抛物线开口向上, 与x 轴相离或相切.∴⎩⎨⎧≤∆>00a 即 ⎩⎨⎧≤->01240a a ⇒ 31≥a , ∴ p 命题为: 31≥a .则p ⌝命题为: 31<a , p ⌝真, 故a 的取值范围是)31,(-∞ .18.(14分)解: (1) 设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2) , 则,142121=+y x ,142222=+y x 两式相减得:,0)()(421222122=-+-y y x x 两边同除以12x x -得:,0))(()(412121212=--+++x x y y y y x x 又∵,41221=+x x.21221=+y y,1212k x x y y =-- ∴ k ＝－2, 则直线l 的方程为:)41(221--=-x y ,即2x ＋y －1＝0.(2) 由⎩⎨⎧=+-=142122y x xy 消去y 得: 2x 2－x ＝0 , 故由弦长公式得: │AB │＝252141=⋅+.19.(14分) 解: 设箱底的边长为x cm, 则箱子的高为)(260cm x h -=,箱子的容积)600()60(21322<<-==x x x h x V . 令)(0,40,023602舍去或==∴=-='x x xx V ,当x 在(0, 60)内变化时:∴ x ＝40时, V 取极大值, 也就是最大值. 把x ＝40代入, 得 )(16000)4060(24032cm V =-=.故箱子底的边长取40cm 时, 容积最大, 最大容积为16000cm 3.20.(14分)解：(1) 在31n n S =+中令1n =，则14a =,当2n ≥时，11131(31)23n n n n n n a S S ---=-=+-+=⨯，而14a =,所以通项公式为14,123,2nn n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩(2) n T ==+⋅⋅⋅+++n b b b b 321)333323()321(32nn n ⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+++⋅⋅⋅+++令nn n P 33332332⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+=， n T =n P n n ++2)1(14323333233+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+=n n n P ，132333332+⨯-+⋅⋅⋅+++=-n nn n P 1331)31(3+⨯---=n nn ，,3412431+⋅-+=n n n P 故.34122)1(431+⋅-+++=n n n n n T。

2021-2022年高二上学期第三次月考数学试卷（文科）含解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．命题：“∀x∈R，cos2x≤cos2x”的否定为（）A．∀x∈R，cos2x＞cos2x B．∃x∈R，cos2x＞cos2xC．∀x∈R，cos2x＜cos2x D．∃x∈R，cos2x≤cos2x2．如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（）A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．三棱台3．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±4x D．y=±x4．函数y=f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）A．B．1 C．2 D．05．直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围是（）A．[，）∪（，] B．[0，]∪[，π）C．[0，] D．[，]6．已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中：①若α∥β，l⊂α，则l∥β；②若α∥β，l⊥α，则l⊥β；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β．其中，真命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个7．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A． B．1 C． D．8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．9．函数y=ax3+bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则（）A．a﹣2b=0 B．2a﹣b=0 C．2a+b=0 D．a+2b=010．若函数f（x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜11．设F1，F2是双曲线C：的两个焦点，点P在C上，且=0，若抛物线y2=16x 的准线经过双曲线C的一个焦点，则|||的值等于（）A．2 B．6 C．14 D．1612．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（每小题5分共20分）13．曲线y=e x+x在点（0，1）处的切线方程为．14．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为m315．若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为．16．椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．三、解答题17．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅱ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．18．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0（Ⅰ）求实数a，b的值（Ⅱ）求函数f（x）的极值．19．椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过M（0，﹣1）的直线l交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l交x轴于N，，求直线l的方程．20．已知函数f（x）=lnx﹣．（1）当a=﹣3时，求函数f（x）的单调增区间；（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值．21．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．（1）证明：AC⊥SB；（2）求三棱锥B﹣CMN的体积．22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M（﹣a，b）、N（a，b）、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．（1）求椭圆的方程；（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．命题：“∀x∈R，cos2x≤cos2x”的否定为（）A．∀x∈R，cos2x＞cos2x B．∃x∈R，cos2x＞cos2xC．∀x∈R，cos2x＜cos2x D．∃x∈R，cos2x≤cos2x【考点】命题的否定．【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，按命题否定的规则写出即可【解答】解：∵命题：“∀x∈R，cos2x≤cos2x”是一个全称命题∴它的否定是“∃x∈R，cos2x＞cos2x”故选B2．如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（）A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．三棱台【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图：该几何体的正视图与俯视图均为矩形，侧视图为三角形，易得出该几何体的形状．【解答】解：该几何体的正视图为矩形，俯视图亦为矩形，侧视图是一个三角形，则可得出该几何体为三棱柱（横放着的）．故选C．3．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±4x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式可得a，b的关系，再由双曲线的渐近线方程，即可得到．【解答】解：椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则=，即有=，则双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，即有y=±x．故选A．4．函数y=f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）A． B．1 C．2 D．0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用切线方程，计算f（5）、f′（5）的值，即可求得结论．【解答】解：将x=5代入切线方程y=﹣x+8，可得y=3，即f（5）=3∵f′（5）=﹣1∴f（5）+f′（5）=3﹣1=2故选C．5．直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围是（）A．[，）∪（，]B．[0，]∪[，π）C．[0，]D．[，]【考点】直线的倾斜角．【分析】本题考查的知识点是直线的斜率与倾斜角之间的转化关系，由直线的方程xcosα+y+2=0，我们不难得到直线的斜率的表达式，结合三角函数的性质，不得得到斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，进一步可以得到倾斜角的取值范围．【解答】解：设直线的倾斜角为θ，则tanθ=﹣cosα．又﹣1≤cosα≤1，∴﹣≤tanθ≤．∴θ∈[0，]∪[，π）．故选B6．已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中：①若α∥β，l⊂α，则l∥β；②若α∥β，l⊥α，则l⊥β；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β．其中，真命题有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①若α∥β，l⊂α，则l∥β，由线面平行的定义进行判断；②若α∥β，l⊥α，则l⊥β，由线面垂直的判定定理进行判断；③若l∥α，m⊂α，则l∥m，由线面平行的性质定理进行判断；④若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β，由线面垂直的性质定理进行判断．【解答】解：①若α∥β，l⊂α，则l∥β 是真命题，由α∥β，l⊂α知l与β没有公共点，由定义即；②若α∥β，l⊥α，则l⊥β是真命题，因为两平行平面中的一个垂直于一条直线，另一个也必垂直于这条直线；③若l∥α，m⊂α，则l∥m 是假命题，因为l∥α，m⊂α 两直线的关系可以是平行，也可以是异面；④若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β，是假命题，由面面垂直的性质定理知只有当m⊂α时，结论者正确的，题设条件不能保证这一点．综上①②正确，③④错误故选C．7．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1 C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：∵F是抛物线y2=x的焦点，F（）准线方程x=，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=，∴|AF|+|BF|==3解得，∴线段AB的中点横坐标为，∴线段AB的中点到y轴的距离为．故选C．8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选择C．9．函数y=ax3+bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则（）A．a﹣2b=0 B．2a﹣b=0 C．2a+b=0 D．a+2b=0【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】由函数极值的性质可知，极值点处的导数为零，且左右两侧导数异号，据此可以列出关于a，b的方程（组），再进行判断．【解答】解：设f（x）=ax3+bx2（a≠0），则f′（x）=3ax2+2bx，由已知得且a＞0，即化简得a+2b=0．故选D10．若函数f（x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数f（x）进行求导，然后令导函数等于0，由题意知在（0，1）内必有根，从而得到b的范围．【解答】解：因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上．令f'（x）=3x2﹣3b=0，得x2=b，显然b＞0，∴x=±．又∵x∈（0，1），∴0＜＜1．∴0＜b＜1．故选A．11．设F1，F2是双曲线C：的两个焦点，点P在C上，且=0，若抛物线y2=16x的准线经过双曲线C的一个焦点，则|||的值等于（）A．2 B．6 C．14 D．16【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的准线方程x=﹣4，可得双曲线的c=4，由向量垂直的条件和勾股定理，可得PF12+PF22=F1F22=4c2=64，①由双曲线的定义可得|PF1﹣PF2|=2a=6，②，运用平方相减即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=16x的准线为x=﹣4，由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣4，0），即有c=4，由=0可得PF1⊥PF2，由勾股定理可得，PF12+PF22=F1F22=4c2=64，①由双曲线的定义可得|PF1﹣PF2|=2a=6，②①﹣②2，可得2PF1•PF2=28，即有|||的值等于14．故选：C．12．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．二、填空题（每小题5分共20分）13．曲线y=e x+x在点（0，1）处的切线方程为y=2x+1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求在点（0，1）处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=e x+x，∴y′=e x+1，∴曲线y=e x+x在点（0，1）处的切线的斜率为：k=2，∴曲线y=e x+x在点（0，1）处的切线的方程为：y﹣1=2x，即y=2x+1．故答案为：y=2x+1．14．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为2m3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积S=2×1=2m2，棱锥的高h=3m，故体积V==2m3，故答案为：215．若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为（﹣1，1]∪{﹣} ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】曲线表示以原点O（0，0）为圆心、半径等于1的半圆，数形结合求得当直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围．【解答】解：曲线即x2+y2=1 （x≥0），表示以原点O（0，0）为圆心、半径等于1的半圆（位于y轴及y轴右侧的部分），如图：当直线经过点A（0，﹣1）时，求得b=﹣1；当直线经过点C（0，1）时，求得b=1；当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得=1，求得b=（舍去），或b=﹣，数形结合可得当直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为（﹣1，1]∪{﹣}，故答案为：（﹣1，1]∪{﹣}．16．椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，可得，进而．设|MF2|=m，|MF1|=n，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a，c即可．【解答】解：如图所示，由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tanα，∴α=60°．又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴，∴．设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得．∴该椭圆的离心率e=．故答案为．三、解答题17．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅱ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，推导出EF∥BG，由此能证明EF∥面ABC．（Ⅱ）连结EC，V A﹣BCDE =V E﹣ABC+V E﹣ADC，由此能求出四棱锥A﹣BCDE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，∵F，G分别是AD，AC的中点∴FG∥CD，且FG=DC=1．∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等∴EF∥BG．∵EF⊄面ABC，BG⊂面ABC，∴EF∥面ABC．解：（Ⅱ）连结EC，该四棱锥分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC．∴四棱锥A﹣BCDE的体积V A﹣BCDE =V E﹣ABC+V E﹣ADC==．18．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0（Ⅰ）求实数a，b的值（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b（Ⅱ）对f（x）求导，分别令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的单调区间，继而确定极值．【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b从而f′（x）=6y=f′（x）关于直线x=﹣对称，从而由条件可知﹣=﹣，解得a=3又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3+3x2﹣12x+1f′（x）=6x2+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2）令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函数；当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是减函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．从而f（x）在x=﹣2处取到极大值f（﹣2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=﹣6．19．椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过M（0，﹣1）的直线l交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l交x轴于N，，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据右焦点到直线的距离为，可得，利用椭圆的离心率为，可得，从而可得，，故可求椭圆的方程；（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0），利用，可得x2﹣x0，y2），设直线l的方程为y=kx﹣1（k≠0）．与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0，由此即可求得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设右焦点为（c，0）（c＞0）∵右焦点到直线的距离为，∴∴∵椭圆的离心率为，∴∴∴∴椭圆的方程为；（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0）∵，∴x2﹣x0，y2）∴①易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立于是设直线l的方程为y=kx﹣1（k≠0）．与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0②∴③④由①③可得，代入④整理可得：8k4+k2﹣9=0∴k2=1此时②为5y2+2y﹣7=0，判别式大于0∴直线l的方程为y=±x﹣120．已知函数f（x）=lnx﹣．（1）当a=﹣3时，求函数f（x）的单调增区间；（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）要求函数f（x）的单调增区间，即求导函数值大于等于0的区间，我们根据求出函数导函数的解析式，结合函数的定义域，即可得到答案．（2）由（1）中函数的导函数的解析式，我们对a的取值进行分析讨论，求出对应的函数的单调区间，并分析函数f（x）在[1，e]上何时取最小值，分析后即可得到答案．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣，∴函数的定义域为（0，+∞）且f'（x）=+=，a=﹣3时：f′（x）=令f ′（x ）＞0，解得：x ＞3，故f （x ）在（3，+∞）递增；（2）由（1）可知，f'（x ）=，①若a ≥﹣1，则x +a ≥0，则f'（x ）≥0恒成立，函数f （x ）在[1，e ]上为增函数∴f （x ）的最小值为：f （1）=﹣a=，此时a=﹣（舍去）②若a ≤﹣e ，则f'（x ）≤0恒成立，函数f （x ）在[1，e ]上为减函数∴f （x ）的最小值为：f （e ）=1﹣=，此时a=﹣（舍去）③若﹣e ＜a ＜﹣1，当1＜x ＜﹣a 时，则f'（x ）＜0，当﹣a ＜x ＜e 时，f'（x ）＞0，∴f （x ）的最小值为：f （﹣a ）=ln （﹣a ）+1=，此时a=﹣，综上所述：a=﹣．21．在三棱锥S ﹣ABC 中，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=2，M 、N 分别为AB 、SB 的中点．（1）证明：AC ⊥SB ；（2）求三棱锥B ﹣CMN 的体积．【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取AC 中点D ，连接SD ，DB ，证明AC ⊥平面SDB ，由线面垂直的性质可得AC ⊥SB ；（2）由V B ﹣CMN =V N ﹣CMB ，即可求得三棱锥B ﹣CMN 的体积．【解答】（1）证明：取AC 中点D ，连接SD ，DB ．因为SA=SC ，AB=BC ，所以AC ⊥SD 且AC ⊥BD ，因为SD ∩BD=D ，所以AC ⊥平面SDB ．又SB ⊂平面SDB ，所以AC ⊥SB ；（2）解：因为AC ⊥平面SDB ，AC ⊂平面ABC ，所以平面SDC ⊥平面ABC ． 过N 作NE ⊥BD 于E ，则NE ⊥平面ABC ，因为平面SAC ⊥平面ABC ，SD ⊥AC ，所以SD ⊥平面ABC ．又因为NE ⊥平面ABC ，所以NE ∥SD ．由于SN=NB ，所以NE=SD=所以S △CMB =CM•BM=所以V B ﹣CMN =V N ﹣CMB =S △CMB •NE==22．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1和F 2，由4个点M （﹣a ，b ）、N （a ，b ）、F 2和F 1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．（1）求椭圆的方程；（2）过点F 1的直线和椭圆交于两点A 、B ，求△F 2AB 面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】解：（1）由题意知b=， =3，即a +c=3①，又a 2=3+c 2②，联立①②解得a ，c ，；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），过点F 1的直线方程为x=ky ﹣1，代入椭圆方程消掉x 得y 的二次方程，△F 2AB 的面积S==|y 1﹣y 2|=，由韦达定理代入面积表达式变为k 的函数，适当变形借助函数单调性即可求得S 的最大值；【解答】解：（1）由题意知b=， =3，所以a +c=3①，又a2=b2+c2，即a2=3+c2②，联立①②解得a=2，c=1，所以椭圆方程为：；（2）由（1）知F1（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），过点F1的直线方程为x=ky﹣1，由得（3k2+4）y2﹣6ky﹣9=0，△＞0成立，且，，△F2AB的面积S==|y1﹣y2|===12=，又k2≥0，所以递增，所以9+1+6=16，所以≤=3，当且仅当k=0时取得等号，所以△F2AB面积的最大值为3．精品文档xx2月6日35072 8900 褀V31138 79A2 禢27650 6C02 氂33817 8419 萙F}25333 62F5 拵20868 5184 冄38366 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2021年高二上学期第三次月考数学试卷（文科）含解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．抛物线y2=x的准线方程为（）A．x= B．x=﹣C．y= D．y=﹣2．命题“∃x＜0，2x＞0”的否定是（）A．∃x＜0，2x≤0 B．∃x＞0，2x≤0 C．∀x＜0，2x＞0 D．∀x＜0，2x≤0 3．双曲线5x2﹣4y2+60=0的焦点坐标为（）A．（±3，0）B．（±，0）C．（0，±3）D．（0，±）4．经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则y=（）A．﹣1 B．﹣3 C．0 D．25．已知圆C的圆心坐标为（2，﹣3），且点（﹣1，﹣1）在圆上，则圆C的方程为（）A．x2+y2﹣4x+6y+8=0 B．x2+y2﹣4x+6y﹣8=0C．x2+y2﹣4x﹣6y=0 D．x2+y2﹣4x+6y=06．已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确命题是（）A．若α⊥β，l⊥β，则l∥αB．若l上有两个点到α的距离相等，则l∥αC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β7．经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（）A． B． C． D．8．一几何体的三视图如下，则它的体积是（）A． B． C． D．9．若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（）A．±2 B． C． D．10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（）A． B． C． D．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P为其右支上一点，连接PF1交y轴于点Q，若△PQF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）A． B． C．2 D．12．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．过点（0，1）的直线l被圆（x﹣1）2+y2=4所截得的弦长最短时，直线l的方程为．14．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右焦点重合，则实数p= ．15．已知f（x）=+cosx，则f′（）= ．16．在平面直角坐标系x0y中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是．三、解答题（共6大题，共70分）17．已知p：直线y=（2m+1）x+m﹣2的图象不经过第二象限，q：方程x2+=1表示焦点在x轴上的椭圆，若（￢p）∨q为假命题，求实数m的取值范围．18．已知两条直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：2x+y+2=0的交点P，求：（1）过点P且过原点的直线l的方程；（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．19．已知圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．（Ⅰ）求过点M（3，1）的圆C的切线方程；（Ⅱ）若直线ax﹣y+4=0与圆C交于A、B两点，且|AB|=2，求实数a的值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD 的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求三棱锥C﹣PBD的体积．21．已知定义在（1，+∞）上的函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程．22．已知两定点F1（，0），F2（，0）满足条件的点P的轨迹方程是曲线C，直线y=kx ﹣2与曲线C交于A、B两点，且．（1）求曲线C的方程；（2）若曲线C上存在一点D，使，求m的值及点D到直线AB的距离．xx重庆市巫溪中学高二（上）第三次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．抛物线y2=x的准线方程为（）A．x= B．x=﹣C．y= D．y=﹣【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，由此可得抛物线y2=x的准线方程．【解答】解：抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，∴=，∴抛物线y2=x的准线方程为x=﹣．故选：B．2．命题“∃x＜0，2x＞0”的否定是（）A．∃x＜0，2x≤0 B．∃x＞0，2x≤0 C．∀x＜0，2x＞0 D．∀x＜0，2x≤0【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：根据特称命题的否定为全称命题，可得命题“∃x＜0，2x＞0”的否定是“∀x＜0，2x≤0”，故选：D．3．双曲线5x2﹣4y2+60=0的焦点坐标为（）A．（±3，0）B．（±，0）C．（0，±3）D．（0，±）【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线方程求出双曲线的几何量，即可得到结果．【解答】解：双曲线C：5x2﹣4y2+60=0的标准方程为：，焦点坐标在y轴上，可得a=，b=，c===3．双曲线的焦点坐标：（0，），故选：C．4．经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）的直线的倾斜角为，则y=（）A．﹣1 B．﹣3 C．0 D．2【考点】直线的倾斜角．【分析】首先根据斜率公式直线AB的斜率k，再由倾斜角和斜率的关系求出直线的斜率，进而求出a的值．【解答】解：因为直线经过两点A（4，2y+1），B（2，﹣3）所以直线AB的斜率k==y+2又因为直线的倾斜角为，所以k=﹣1，所以y=﹣3．故选：B．5．已知圆C的圆心坐标为（2，﹣3），且点（﹣1，﹣1）在圆上，则圆C的方程为（）A．x2+y2﹣4x+6y+8=0 B．x2+y2﹣4x+6y﹣8=0C．x2+y2﹣4x﹣6y=0 D．x2+y2﹣4x+6y=0【考点】圆的一般方程；圆的标准方程．【分析】根据题意，可设所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=r2，利用该圆过点（﹣1，﹣1）在可求得r2，从而可得这个圆的方程．【解答】解：依题意可设所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=r2．∵点（﹣1，﹣1）在圆上，∴r2=（﹣1﹣2）2+（﹣1+3）2=13，∴所求的圆的标准方程是（x﹣2）2+（y+3）2=13，即x2+y2﹣4x+6y=0，故选：D．6．已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确命题是（）A．若α⊥β，l⊥β，则l∥αB．若l上有两个点到α的距离相等，则l∥αC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由线面平行的判定方法，我们可以判断A的真假；根据直线与平面位置关系的定义及几何特征，我们可以判断B的真假；根据线面垂直的判定定理，我们可以判断C 的真假；根据空间平面与平面位置关系的定义及几何特征，我们可以判断D的真假．进而得到答案．【解答】解：A中，若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l⊂α，故A错误；B中，若l上有两个点到α的距离相等，则l与α平行或相交，故B错误；C中，若l⊥α，l∥β，则存在直线a⊂β，使a∥l，则a⊥α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故C正确；D中，若α⊥β，α⊥γ，则γ与β可能平行也可能相交，故D错误；故选C7．经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设所求双曲线为，把点代入，解得：λ=2，进而求出答案．【解答】解：由题意可得：设所求双曲线为，把点代入，解得λ=2，∴所示的双曲线方程为，即故选D．8．一几何体的三视图如下，则它的体积是（）A． B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是一个简单组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是a，底面直径是2a，这些都比较好看出，再根据圆锥的体积公式，得到结果，下面是一个特正方体，棱长是a，做出体积把两个体积相加得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是a，底面直径是2a，∴圆锥的体积是=，下面是一个棱长是a的正方体，正方体的体积是a3，∴空间几何体的体积是，故选A．9．若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（）A．±2 B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的离心率为，可得，解得即可．【解答】解：∵双曲线的离心率为，∴，解得．∴其渐近线的斜率为．故选：B．10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】设长方体的高为1，根据B1C和C1D与底面所成的角分别为600和450，分别求出各线段的长，将C1D平移到B1A，根据异面直线所成角的定义可知∠AB1C为异面直线B1C和DC1所成角，利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：设长方体的高为1，连接B1A、B1C、AC∵B1C和C1D与底面所成的角分别为600和450，∴∠B1CB=60°，∠C1DC=45°∴C1D=，B1C=，BC=，CD=1则AC=∵C1D∥B1A∴∠AB1C为异面直线B1C和DC1所成角由余弦定理可得cos∠AB1C=故选A11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P为其右支上一点，连接PF1交y轴于点Q，若△PQF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为（）A． B． C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|PF2|=x，则|PF1|=2x，求出x=2a，在△PF1F2中，由余弦定理可得c，a的关系，即可求出双曲线C的离心率．【解答】解：设|PF2|=x，则|PF1|=2x，∴|PF1|﹣|PF2|=x=2a，在△PF1F2中，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2×，∴c=a，∴=．故选B．12．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（）A． B． C． D．【考点】圆方程的综合应用；平面向量数量积的运算．【分析】要求的最小值，我们可以根据已知中，圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，结合切线长定理，设出PA，PB的长度和夹角，并将表示成一个关于x的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答．【解答】解：如图所示：设OP=x（x＞0），则PA=PB=，∠APO=α，则∠A PB=2α，sinα=，==×（1﹣2sin2α）=（x2﹣1）（1﹣）==x2+﹣3≥2﹣3，∴当且仅当x2=时取“=”，故的最小值为2﹣3．故选D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．过点（0，1）的直线l被圆（x﹣1）2+y2=4所截得的弦长最短时，直线l的方程为x﹣y+1=0 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设A（0，1），求出圆心C的坐标为（1，2），从而得到AC的斜率．由圆的性质，得当直线被圆截得弦长最短时，直线与经过A点的直径垂直，由此算出直线的斜率，即可得到所求直线的方程．【解答】解：∵圆（x﹣1）2+y2=4的圆心为C（1，0），∴设A（0，1），得AC的斜率k AC==﹣1，∵直线l经过点A（0，1），且l被圆（x﹣1）2+y2=4截得的弦长最短∴直线l与经过点A（0，1）的直径垂直的直线由此可得，直线l的斜率为k=﹣=1，因此，直线l方程为y﹣1=x﹣0，即x﹣y+1=0故答案为：x﹣y+1=0．14．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右焦点重合，则实数p= 4 ．【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】先分别求出抛物线和双曲线的焦点，让二者相等即可得到答案．【解答】解：抛物线的焦点F为（，0），双曲线﹣y2=1的右焦点F2（2，0），由已知得=2，∴p=4．故答案为415．已知f（x）=+cosx，则f′（）= ﹣1 ．【考点】导数的运算．【分析】根据函数的求导法则可知：f′（x）=﹣sinx，则f′（）=﹣sin（）=﹣1．【解答】解：f（x）=+cosx，求导，f′（x）=﹣sinx，f′（）=﹣sin（）=﹣1，故答案为：﹣1．16．在平面直角坐标系x0y中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是[0，] ．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】将圆C的方程整理为标准形式，找出圆心C的坐标与半径r，根据直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，得到以C为圆心，2为半径的圆与直线y=kx﹣2有公共点，即圆心到直线y=kx﹣2的距离小于等于2，利用点到直线的距离公式列出关于k的不等式求出不等式的解集即可得到k的范围．【解答】解：将圆C的方程整理为标准方程得：（x﹣4）2+y2=1，∴圆心C（4，0），半径r=1，∵直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与y=kx﹣2有公共点，∵圆心（4，0）到直线y=kx﹣2的距离d=≤2，解得：0≤k≤．故答案为：[0，]．三、解答题（共6大题，共70分）17．已知p：直线y=（2m+1）x+m﹣2的图象不经过第二象限，q：方程x2+=1表示焦点在x轴上的椭圆，若（￢p）∨q为假命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】首先分别找到两命题等价的m的范围，然后由（￢p）∨q为假命题，得到p为真命题，q为假命题，即可求m 的范围．【解答】解：p为真⇒⇒≤m≤2； q为真⇒0＜1﹣m＜1⇒0＜m＜1；由题意（￢p）∨q为假命题，即p为真q为假，故m∈[，0∪[1，2]．18．已知两条直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：2x+y+2=0的交点P，求：（1）过点P且过原点的直线l的方程；（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；两条平行直线间的距离．【分析】两条直线l1：3x+4y﹣2=0与l2：2x+y+2=0的方程联立可得交点P．（1）利用点斜式即可得出．（2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为x+y+C=0，由点到直线的距离公式可得C．【解答】解：由，解得，∴点P的坐标是（﹣2，2），（1）k==﹣1，可得所求直线方程为y=﹣x．（2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为x+y+C=0，由点到直线的距离公式得=3，解得c=，故所求直线方程为x+y+3=0或x+y﹣3=0．19．已知圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4．（Ⅰ）求过点M（3，1）的圆C的切线方程；（Ⅱ）若直线ax﹣y+4=0与圆C交于A、B两点，且|AB|=2，求实数a的值．【考点】圆的切线方程；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标与半径，分两种情况考虑：若切线方程斜率不存在，直线x=3满足题意；若斜率存在，设出切线方程，根据直线与圆相切时圆心到切线的距离d=r，求出k的值，综上即可确定出满足题意的切线方程；（Ⅱ）求出圆心到直线的距离为1，利用点到直线的距离公式建立方程，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由圆的方程得到圆心（1，2），半径r=2，当直线斜率不存在时，方程x=3与圆相切；当直线斜率存在时，设方程为y﹣1=k（x﹣3），即kx﹣y+1﹣3k=0，由题意得： =2，解得：k=，∴方程为y﹣1=（x﹣3），即3x﹣4y﹣5=0，则过点M的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣5=0；（Ⅱ）∵|AB|=2，∴圆心到直线的距离为1，∴=1，∴a=﹣．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD 的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求三棱锥C﹣PBD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点，要证EF∥平面PAD，只需证明EF∥PA即可；（2）求三棱锥C﹣PBD的体积，转化为P﹣BCD的体积，求出底面面积和高，即可求出体积．【解答】解：（1）证明：连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点故在△CPA中，EF∥PA，且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD（2）取AD的中点M，连接PM，∵PA=PD，∴PM⊥AD又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PM⊥平面ABCD，∴21．已知定义在（1，+∞）上的函数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导函数，令导函数等于0求出x的值1和a，由x的范围讨论a与1的大小，得到导函数的正负进而得到f（x）的单调区间；（Ⅱ）把a=2代入f（x）和导函数中确定出相应的解析式，把x=3代入导函数中求出导函数的函数值即为切线的斜率，把x=3代入f（x）中即可得到切点的纵坐标，进而得到切点的坐标，根据求出的切点坐标和斜率写出切线方程即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知f（x）的定义域为（1，+∞），f'（x）=x2﹣ax=x（x﹣a），当a≤1时，在（1，+∞）上f'（x）＞0，则f（x）在（1，+∞）单调递增；当a＞1时，在（1，a）上f'（x）＜0，在[a，+∞）上f'（x）＞0，所以f（x）在（1，a）单调递减，在[a，+∞）上单调递增；（Ⅱ）当a=2时，，f'（x）=x2﹣2x，∴f'（3）=32﹣2×3=3，，所求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为y﹣1=3（x﹣3）即3x﹣y﹣8=0．22．已知两定点F1（，0），F2（，0）满足条件的点P的轨迹方程是曲线C，直线y=kx ﹣2与曲线C交于A、B两点，且．（1）求曲线C的方程；（2）若曲线C上存在一点D，使，求m的值及点D到直线AB的距离．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的定义；双曲线的标准方程．【分析】（1）由已知两定点F1（，0），F2（，0）满足条件，可知轨迹为焦点在x轴上的双曲线的左支，进而可求曲线C的方程；（2）将直线方程代入双曲线的方程，利用弦长公式求AB的长，从而可得直线的斜率，进而利用向量求出点D的坐标，利用D满足曲线C的方程，即可求m的值及点D到直线AB的距离．【解答】解：（1）由已知两定点F1（，0），F2（，0）满足条件，可知轨迹为焦点在x 轴上的双曲线的左支．∵2a=2，∴a=1，∵，∴b2=c2=a2=1∴曲线C的方程为x2﹣y2=1（x≤﹣1）（2）由得（1﹣k2）x2+4kx﹣5=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则，解之得∴，解之得k2=4又∵∴k=﹣2∴由得，即∵D在x2﹣y2=1（x≤﹣1）上，∴，∴∴D（）∵直线AB：2x+y+2=0∴点D到直线AB的距离为xx11月15日。

2021-2022年高二下学期第三次月考数学试卷（文科）含解析(I)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点的直角坐标是（）A．B．C．D．2．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为（）A．6 B．12 C．18 D．163．命题“∃x∈R，x3﹣2x+1=0”的否定是（）A．∃x∈R，x3﹣2x+1≠0 B．不存在x∈R，x3﹣2x+1≠0C．∀x∈R，x3﹣2x+1=0 D．∀x∈R，x3﹣2x+1≠04．若a、b为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则直线a ⊥平面α的一个充分不必要条件是（）A．a∥β且α⊥βB．a⊂β且α⊥βC．a⊥b且b∥αD．a⊥β且α∥β5．直线3x+4y+10=0和圆的位置关系是（）A．相切B．相离C．相交但不过圆心D．相交且过圆心6．已知命题p：x2﹣2x﹣3≥0；命题q：0＜x＜4．若q是假命题，p∨q是真命题，则实数x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[﹣1，0]∪[3，4] D．（﹣∞，0]∪[3，+∞）7．执行题图的程序框图，则输出的结果为（）A．66 B．64 C．62 D．608．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．8 D．49．如图，在半径为的圆O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为（）A．5 B．C．D．410．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=（）A．B．C．D．411．已知点P为双曲线的右支上一点，F1、F2为双曲线的左、右焦点，若，且△PF1F2的面积为2ac（c为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（）A． +1 B． +1 C． +1 D． +112．设f（x）是R上的连续可导函数，当x≠0时，，则函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知复数z=，则它的共轭复数= ．14．经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方程： =0.254x+0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加l万元，年饮食支出平均增加万元．15．球O的球面上有三点A，B，C，且BC=3，∠BAC=30°，过A，B，C三点作球O的截面，球心O到截面的距离为4，则该球的体积为．16．如图，半径为5cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm的小圆区域，现将半径为1cm的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币随机完全落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为（，），直线的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A 在直线上．（1）求a的值及直线的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．18．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．19．如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）证明PQ⊥平面DCQ；（Ⅱ）求棱锥Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积的比值．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若kAC•k BD=﹣，（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．21．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）当a=﹣4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．（3）若a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC内接于圆O，AB=AC，AD⊥AB，AD交BC于点E，点F在DA的延长线上，AF=AE．求证：（1）BF是圆O的切线；（2）BE2=AE•DF．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点的直角坐标是（）A．B．C．D．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】由极值坐标点（ρ，θ）的直角坐标，将M点坐标代入即可求得答案．【解答】解：在坐标点的直角坐标，解得：，∴M（1，），故答案选：B．2．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为（）A．6 B．12 C．18 D．16【考点】分层抽样方法．【分析】根据四个专业各有的人数，得到本校的总人数，根据要抽取的人数，得到每个个体被抽到的概率，利用丙专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到丙专业要抽取的人数．【解答】解：∵高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生∴本校共有学生150+150+400+300=1000，∵用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查∴每个个体被抽到的概率是=，∵丙专业有400人，∴要抽取400×=16故选D．3．命题“∃x∈R，x3﹣2x+1=0”的否定是（）A．∃x∈R，x3﹣2x+1≠0 B．不存在x∈R，x3﹣2x+1≠0C．∀x∈R，x3﹣2x+1=0 D．∀x∈R，x3﹣2x+1≠0【考点】命题的否定．【分析】因为特称命题“∃x∈R，x3﹣2x+1=0”，它的否定：∀x∈R，x3﹣2x+1≠0即可得答案【解答】解：“∃x∈R，x3﹣2x+1=0”属于特称命题，它的否定为全称命题，从而答案为：∀x∈R，x3﹣2x+1≠0．故选D．4．若a、b为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则直线a ⊥平面α的一个充分不必要条件是（）A．a∥β且α⊥βB．a⊂β且α⊥βC．a⊥b且b∥αD．a⊥β且α∥β【考点】平面的基本性质及推论；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】若a⊥β且α∥β，则有a⊥α，反之不成立，于是，“a⊥β且α∥β”是“a⊥α”成立的充分不必要条件．【解答】解：若a⊥β且α∥β，则有a⊥α，反之不成立，于是，“a⊥β且α∥β”是“a⊥α”成立的充分不必要条件，故选D．5．直线3x+4y+10=0和圆的位置关系是（）A．相切B．相离C．相交但不过圆心D．相交且过圆心【考点】圆的参数方程．【分析】求出圆的普通方程，得出圆心和半径，计算圆心到直线的距离，比较距离与半径的关系得出结论．【解答】解：圆的普通方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=25，∴圆的圆心为（2，1），半径r=5．圆心到直线的距离d==4．∵0＜d＜r，∴直线与圆相交但不过圆心．故选：C．6．已知命题p：x2﹣2x﹣3≥0；命题q：0＜x＜4．若q是假命题，p∨q是真命题，则实数x的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C．[﹣1，0]∪[3，4] D．（﹣∞，0]∪[3，+∞）【考点】复合命题的真假．【分析】解出命题p．由q是假命题，p∨q是真命题，可得p是真命题，即可得出．【解答】解：命题p：x2﹣2x﹣3≥0，解得x≥3或x≤﹣1；命题q：0＜x＜4．由q是假命题，p∨q是真命题，可得p是真命题，∴，解得x≥4或x≤﹣1．则实数x的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．故选：A．7．执行题图的程序框图，则输出的结果为（）A．66 B．64 C．62 D．60【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=21+22+23+24+25的值，并输出．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：累加S=21+22+23+24+25的值，∵S=21+22+23+24+25=62．故选C．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．8 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出几何体为放倒的直三棱柱，底面为正视图，高为2，即可求出该几何体的表面积．【解答】解：根据三视图得出几何体为放倒的直三棱柱，底面为正视图，高为2，∴该几何体的表面积为+2×2×2+2×=12+4，故选：A．9．如图，在半径为的圆O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为（）A．5 B．C．D．4【考点】与圆有关的比例线段．【分析】首先利用相交弦定理求出CD的长，再利用勾股定理求出圆心O到弦CD 的距离，注意计算的正确率．【解答】解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，∴2×2=CP•1，解得：CP=4，又PD=1，∴CD=5，又⊙O的半径为，则圆心O到弦CD的距离为d==．故选：B．10．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2，则BC=（）A．B．C．D．4【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由已知条件推导出△ABC∽△CDE，从而BC2=AB•DE=12，由此能求出BC 的值．【解答】解：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．∵CE与⊙O相切于点C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．∴△CED∽△ACB．∴，又CD=BC，∴BC==2．故选：B．11．已知点P为双曲线的右支上一点，F1、F2为双曲线的左、右焦点，若，且△PF1F2的面积为2ac（c为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（）A． +1 B． +1 C． +1 D． +1【考点】双曲线的简单性质；向量在几何中的应用．【分析】先由得出△F1PF2是直角三角形得△PF1F2的面积，再把等量关系转化为用a，c来表示即可求双曲线C的离心率．【解答】解：先由得出：△F1PF2是直角三角形，△PF1F2的面积=b2cot45°=2ac从而得c2﹣2ac﹣a2=0，即e2﹣2e﹣1=0，解之得e=1±，∵e＞1，∴e=1+．故选：A．12．设f（x）是R上的连续可导函数，当x≠0时，，则函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】由题意可得，x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的．当x＞0时，利用导数的知识可得xg（x）在（0，+∞）上是递增函数，xg（x）＞1恒成立，可得xg（x）在（0，+∞）上无零点．同理可得xg（x）在（﹣∞，0）上也无零点，从而得出结论．【解答】解：由于函数g（x）=f（x）+，可得x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的，故我们考虑 xg（x）=xf（x）+1 的零点．由于当x≠0时，，①当x＞0时，（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（）＞0，所以，在（0，+∞）上，函数x•g（x）单调递增函数．又∵ [xf（x）+1]=1，∴在（0，+∞）上，函数 x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，因此，在（0，+∞）上，函数 x•g（x）=xf（x）+1 没有零点．②当x＜0时，由于（x•g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（）＜0，故函数 x•g（x）在（﹣∞，0）上是递减函数，函数 x•g（x）=xf（x）+1＞1恒成立，故函数 x•g（x）在（﹣∞，0）上无零点．综上可得，函数g（x）=f（x）+在R上的零点个数为0，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知复数z=，则它的共轭复数= ﹣2﹣i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则它的共轭复数可求．【解答】解：z==，则它的共轭复数=﹣2﹣i．故答案为：﹣2﹣i．14．经调查某地若干户家庭的年收入x（万元）和年饮食支出y（万元）具有线性相关关系，并得到y关于x的线性回归直线方程： =0.254x+0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加l万元，年饮食支出平均增加0.254 万元．【考点】回归分析的初步应用．【分析】写出当自变量增加1时的预报值，用这个预报值去减去自变量x对应的值，即可得到家庭年收入每增加 1万元，年饮食支出平均增加的数字．【解答】解：∵y关于x的线性回归直线方程： =0.254x+0.321①∴年收入增加l万元时，年饮食支出y=0.254（x+1）+0.321②②﹣①可得：年饮食支出平均增加0.254万元故答案为：0.25415．球O的球面上有三点A，B，C，且BC=3，∠BAC=30°，过A，B，C三点作球O的截面，球心O到截面的距离为4，则该球的体积为．【考点】球的体积和表面积．【分析】根据正弦定理，求出△ABC的外接圆半径r，进而根据球心O到截面的距离d=4，结合R=求出球的半径，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵△ABC中BC=3，∠BAC=30°，∴△ABC的外接圆半径r满足：2r==6．故r=3．又∵球心O到截面的距离d=4，∴球的半径R==5．故球的体积V==，故答案为：16．如图，半径为5cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1cm的小圆区域，现将半径为1cm的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币随机完全落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为．【考点】几何概型．【分析】由题意可得，硬币要落在纸板内，硬币圆心距离纸板圆心的距离应该小于7．硬币与小圆无公共点，硬币圆心距离小圆圆心要大于2，先求出硬币落在纸板上的面积，然后再求解硬币落下后与小圆没交点的区域的面积，代入古典概率的计算公式可求．【解答】解：记“硬币落下后与小圆无公共点”为事件A硬币要落在纸板内，硬币圆心距离纸板圆心的距离应该小于4，其面积为16π无公共点也就意味着，硬币的圆心与纸板的圆心相距超过2cm以纸板的圆心为圆心，作一个半径2cm的圆，硬币的圆心在此圆外面，则硬币与半径为1cm的小圆无公共点，此半径为2的圆面积是4π所以有公共点的概率为=，无公共点的概率为P（A）=1﹣=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为（，），直线的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=a，且点A 在直线上．（1）求a的值及直线的直角坐标方程；（2）圆C的参数方程为（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）运用代入法，可得a的值；再由两角差的余弦公式和直角坐标和极坐标的关系，即可得到直角坐标方程；（2）求得圆的普通方程，求得圆的圆心和半径，由点到直线的距离公式计算即可判断直线和圆的位置关系．【解答】解：（1）由点A（，）在直线ρcos（θ﹣）=a上，可得a=cos0=，所以直线的方程可化为ρcosθ+ρsinθ=2，从而直线的直角坐标方程为x+y﹣2=0，（2）由已知得圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，所以圆心为（1，0），半径r=1，∴圆心到直线的距离d==＜1，所以直线与圆相交．18．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；（2）利用古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）第3，4，5组中的人数分别为0.06×5×100=30，0.04×5×100=20，0.02×5×100=10．从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者，应从第3，4，5组各抽取人数为，， =1；（2）设“第4组至少有一名志愿者被抽中”为事件A，则P（A）==．19．如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．（Ⅰ）证明PQ⊥平面DCQ；（Ⅱ）求棱锥Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积的比值．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明本题是解决本题的关键，要在平面中寻找与已知直线垂直的两条相交直线，进行线面关系的互相转化；（Ⅱ）利用体积的计算方法将本题中的体积计算出来是解决本题的关键，掌握好锥体的体积计算公式．【解答】解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形，因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC在直角梯形PDAQ中可得，则PQ⊥DQ，又DQ∩DC=D，所以PQ⊥平面DCQ；（Ⅱ）设AB=a，由题设知AQ为棱锥Q﹣ABCD的高，所以棱锥Q一ABCD的体积由（Ⅰ）知PQ为棱锥P﹣DCQ的高而PQ=．△DCQ的面积为．所以棱锥P﹣DCQ的体积故棱锥Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积的比值为1：l．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）．（1）求椭圆的标准方程；k BD=﹣，（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若kAC•（i）求•的最值．（ii）求证：四边形ABCD的面积为定值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．【分析】（1）把点代入椭圆的方程，得到，由离心率，再由a2=b2+c2，联立即可得到a2、b2、c2；（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），设kAC=k，由kAC•k BD=﹣=﹣，可得．把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；（ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD =4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB，得到=4，代入计算即可证明．【解答】解：（1）由题意可得，解得，∴椭圆的标准方程为．（2）（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1＞0，x2＞0．设kAC =k，∵kAC•k BD=﹣=﹣，∴．可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，．联立，．解得，．∴=x1x2+y1y2===2，当且仅当时取等号．可知：当x1＞0，x2＞0时，有最大值2．当x1＜0，x2＜0．有最小值﹣2．ii）由椭圆的对称性可知S四边形ABCD =4×S△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．∴=4=4=4 =4==128，∴四边形ABCD的面积=为定值．21．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）当a=﹣4时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值及相应的x值；（2）当x∈[1，e]时，讨论方程f（x）=0根的个数．（3）若a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；不等式的证明．【分析】（1）把a=﹣4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义[1，e]分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在[1，e]上的最大值及相应的x值；（2）把原函数f（x）=alnx+x2求导，分a≥0和a＜0讨论打哦函数的单调性，特别是当a＜0时，求出函数f（x）在[1，e]上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和F（e）的值的符号讨论在x∈[1，e]时，方程f（x）=0根的个数；（3）a＞0判出函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，在规定x1＜x2后把转化为f（x2）+＜f（x1）+，构造辅助函数G（x）=f（x）+，由该辅助函数是减函数得其导函数小于等于0恒成立，分离a后利用函数单调性求a的范围．【解答】解：（1）当a=﹣4时，f（x）=﹣4lnx+x2，函数的定义域为（0，+∞）．．当x∈时，f′（x）0，所以函数f（x）在上为减函数，在上为增函数，由f（1）=﹣4ln1+12=1，f（e）=﹣4lne+e2=e2﹣4，所以函数f（x）在[1，e]上的最大值为e2﹣4，相应的x值为e；（2）由f（x）=alnx+x2，得．若a≥0，则在[1，e]上f′（x）＞0，函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；若a＜0，由f′（x）=0，得x=（舍），或x=．若，即﹣2≤a＜0，f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的个数是0；若，即a≤﹣2e2，f（x）=alnx+x2在[1，e]上为减函数，由f（1）=1，f（e）=alne+e2=e2+a≤﹣e2＜0，所以方程f（x）=0在[1，e]上有1个实数根；若，即﹣2e2＜a＜﹣2，f（x）在上为减函数，在上为增函数，由f（1）=1＞0，f（e）=e2+a．=．当，即﹣2e＜a＜﹣2时，，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是0．当a=﹣2e时，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1．当﹣e2≤a＜﹣2e时，，f（e）=a+e2≥0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是2．当﹣2e2＜a＜﹣e2时，，f（e）=a+e2＜0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的个数是1；（3）若a＞0，由（2）知函数f（x）=alnx+x2在[1，e]上为增函数，不妨设x1＜x2，则变为f（x2）+＜f（x1）+，由此说明函数G（x）=f（x）+在[1，e]单调递减，所以G′（x）=≤0对x∈[1，e]恒成立，即a对x∈[1，e]恒成立，而在[1，e]单调递减，所以a．所以，满足a＞0，且对任意的x1，x2∈[1，e]，都有成立的实数a的取值范围不存在．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC内接于圆O，AB=AC，AD⊥AB，AD交BC于点E，点F在DA的延长线上，AF=AE．求证：（1）BF是圆O的切线；（2）BE2=AE•DF．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（1）连接BD，证明BF是⊙O的切线，只需证明∠FBD=90°；（2）由切割线定理可得BF2=AF•DF，利用AF=AE，BE=BF，可得结论．【解答】证明：（1）连接BD，则∵AD⊥AB，∴BD是⊙O的直径，∵AF=AE，∴∠FBA=∠EBA，∵AB=AC，∴∠FBA=∠C，∵∠C=∠D，∠D+∠ABD=90°，∴∠FBA+∠ABD=90°，即∠FBD=90°，∴BF是⊙O的切线；（2）由切割线定理可得BF2=AF•DF，∵AF=AE，BE=BF，∴BE2=AE•DF．精品文档xx9月5日838164 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